Análisis Teórico de la Seguridad Social.

Modelo de Samuelson – Diamond de Generaciones Superpuestas.

Individuo Representativo

• El modelo se basa en la historia de vida de un individuo que se supone representativo de toda la economía.

• El individuo nace en “t” y recibe un salario wt que iguala el producto marginal del trabajo.

• El individuo asigna su salario entre consumo presente ct y consumo futuro xt para maximizar su función de utilidad entre t y t+1 donde la tasa de interés es rt+1 .

• Lo que el individuo no consume en t es lo que ahorra, st , e invierte en el mercado de capitales.

1

Entonces:

(1 )

Las empresas emplean capital para producir y, en equilibrio,

la tasa de interés es igual al producto marginal del capital,

( )

donde f(k) es la función de producción neo

t t t

t t t

c w s

x s r

r f k

t

11

1

clásica.

El capital en t+1 es la suma de los ahorros de la población L

(1 )

donde "n" es la tasa de crecimiento poblacional

tt t t t

t

Ks L K s n

L

Generaciones Superpuestas

En , ignorando subíndices,

la restricción presupuestaria del individuo es

( - )(1 ( ))

( , ) [( - )(1

estado estacionario

w c f k x

W U c x w c

La función de utilidad a maximizar es U(c,x),

y el problema a resolver es :

( )) - ]

Las condiciones de primer orden son:

- (1 ( )) 0

- 0

Estas condiciones también se pueden expresar como:

(1 ( ))

Esta condición significa que el individuo esta indiferente

entre cons

c

x

c x

f k x

U f k

U

U f k U

t

x

umir un peso en t que le da la utilidad U

o invertirlo en el mercado de capitales

para consumir (1+f (k)) en el período t+1 con utilidad U .

Estado Estacionario

Posibilidad de Ineficiencia

Comparando este resultado con el modelo neoclásico de crecimiento se

observa que no esta asegurada una solución eficiente tipo "golden rule".

El equilibrio se obtiene por la asignación intertemporal del consumo

del individuo representativo tomando del mercado la tasa de interés

que iguala la productividad marginal del capital. O sea,

(1 ( )) ,

que no necesariamente t

c

x

Uf k

U

iene que coincidir con "n". Sin especificar la

función de producción y la función de utilidad no se puede conocer

como se estaciona la economía con respecto a la golden rule.

Transferencias Intergeneracionales y los Sistemas de Seguridad Social.

• El modelo anterior no permite transferencias entre generaciones al estilo de las que se observan en familias o en los sistemas de seguridad social.

• La observación de Samuelson (y posteriormente Diamond) con modelo de generaciones superpuestas es que la “golden rule” (u óptimo biológico según Samuelson) se puede obtener con transferencias intergeneracionales mediante un contrato social del tipo Hobbes-Rousseau.

• El contrato social establecería que las generaciones jovenes se aseguran su subsistencia en la vejez a cambio de aceptar hoy mantener a la generación mas adulta.

• Implícitamente a nivel de familia es posible este tipo de transferencia donde los hijos asumen responsabilidad por sus padres en la vejez bajo la expectativa que sus hijos haran lo mismo por ellos.

Representando con "a" la fracción del salario que se elige transferir

para el sosten de la generación adulta, la restricción presupuestaria

intertemporal se escribe tomando en cuenta que el salario disponible

en el primer período es w(1-a) y la transferencia que recibe el individuo

en el segundo período es wa(1+n), entonces el problema a resolver es:

( , ) [( (1 ) )(1 ) (1 ) ]

Las condicione

W U c x w a c r wa n x

c

s de primer orden se obtienen para c,x, y a respectivamente:

U (1 ) 0

0

( (1 ( )) (1 ) 0 (1 ) (1 )x

r

U

w f k w n r n

Transferencias Intergeneracionales.

Explicación.

La última condición establece la golden rule u óptimo biológico. O sea,

al introducir la posibilidad de establecer un sistema de transferencias

intergeneracionales que rinde "n", el equilibrio se tiene que establecer

con un rendimiento para el capital mayor o igual a "n", pero nunca menor.

No obstante que este resultado es directo, es necesario explicar como

es posible llegar a esta solución, porque tanto r como n no son variables

que controle el agente representativo. De la interacción del individuo con

el equilibrio de mercado se obtiene el equilibrio como ilustramos con el

ejemplo siguiente.

Se

1

toma un ejemplo con todas las variables en estado estacionario,

y donde la función de utilidad es

ln (1 ) ln ,

y la funcion de producción es

( )

U c x

f k k

Ejemplo.

1

1

El problema de optimización es:

Max ln (1 ) ln [ (1 ) )(1 ) (1 ) ]

Las condiciones de primer orden del agente representativo tienen en

cuenta que el agente elige c, x y a:

(1 )(1 )

(1

W c x w a c r wa n x

c r x

) (1 ), o alternativamente, ( ) .

Esta última condición requiere evaluar el equilibrio del mercado de

bienes y factores para que sean consistentes. El mercado de bienes

en equilibrio significa aho

r n f k n

rro iguala inversión, o sea,

(1 ) (1 ), o, 1

,

( )1

sw a c s k n k

nSubstituyendo

sf n

n

Ejemplo, Continuación.La última condición nos da el nivel de ahorro que requiere el óptimo,

y también el stock de capital. Este también determina el salario en el

óptimo por el equilibrio en el mercado de factores

( ) (w f k f )

Entonces, con s y w determinados, más la restricción presupuestaria y

las condiciones de primer orden se formula el siguiente sistema para

determinar c, x y a.

(1 )

(1 ) (1 )

(1 )(1 )

k k

w a c s

s n wa n x

c n

1

1

Las soluciones son:

(1 ) (1 ) 1 1- =

2 2 2

El ratio se puede expresar en función de parámetros usando ( ) :

(1 ), usando (1 ) :

(1 ) (1 )

(1 )

x

w w n sc x a

ws

f k kw

w k k k k s k n

s k n n

w k

1

1

1(1 )

1 11

1 2

n

nk

na

n

Con una función de producción con propiedades neoclásicas

la economia puede tener un stock de capital cuya productividad marginal

es menor o igual a la golden rule. Si el stock de capital es menor que el

de golden rule el sistema de capitalización rinde un retorno mayor

que el de reparto. Si el stock de capital es mayor que el stock de

golden rule el sistema de reparto rinde un retorno mayor al de

capitalización. Exactamente en la golden rule ambos sistemas rinden

el mismo retorno.

El modelo también indica que la golden rule es el óptimo social en el

sentido que maximiza la función de utilidad del individuo representativo.

El debate de sistema de capitalización vs reparto no se justifica sobre la

base que un sistema es teóricamente superior a otro. Si las transferencias

intergeneracionales se pueden instrumentar en contratos implícitos (familia)

o explícitos la solución tiende a ser la golden rule.

Fondos Privados de Pensiones vs Sistema de Reparto

11

Impacto de la contra-reforma previsional en el stock de capital.

Se supone prederminado "a=0", y se interpreta que la contra-reforma significa da>0.

El problema de optimización es:

Max ln ( ) lnW c x 1 1 1[ ( ) )( ) ( ) ]

Las condiciones de primer orden del agente representativo tienen en

cuenta que el agente elige c y x porque a está predeterminado:

Las condiciones de primer orden significan

w a c r wa n x

1

1 1

1 1

1 1

1

que

( )( )

El mercado de bienes en equilibrio significa ahorro iguala inversión, o sea,

( ) ( ),

Utilizando ( ) , ( ) el salario es ( )

Entonces ahorro=inve

c r x

w a c s k n

f k k f k k w k k k k

1 1 1

1 1 1

rsión se puede expresar como

( )( ) ( )

y el consumo,

( )( ) ( )

k a c s k n

c k a k n

AFJP y stock de Capital.

La eliminacion deAFJP reduce el stock de Capital.

1 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

Substituyendo las expresiones anteriores en la restricción de presupuesto:

( )( ) ( ) ( ) [ ( )( ) ( )]( )( )

Para simplificar redefino ( ) y divido todo por ( )

k n k k a n k a k n k

k n

1 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1

,

( ) ( ) [ ( )( ) ( )]( )

Ahora divido todo por ,

( ) ( ) [( )( ) ( ) ]( )

,

( ) . ( ) [ ( ) ) ( )( ) ](

k k a k a n kn

k

k a a n k kn

Diferenciando

dk k da da n k dk

1

1 2

1

1 2

1

1

1 1 1 11

1 1 1 1 1 11 1

1 1 1 11

1 1 1

)

[( )( ) ( ) ]( ( ) )

,

[( ) ( ) ] [ ( ) ( )( ) )( )

[( )( ) ( ) ]( ( ) ) ]

En el último término, [( )( ) ( )

kn

a n k k dkn

Luego

da k n k kn n

a n k k dkn

a n k

0

1 0

] , porque es una transformación

monotónica del consumo que se supone positivo, y como ( ) , el último término es

negativo al igual que los otros términos del segundo miembro. Esto significa que d

0k

da

Referencias.

• Samuelson, P. A., “An Exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money”, Journal of Political Economy, 66, 1958, pp 467-482.

• Diamond, P., “National Debt in a Necoclassical Growth Model”, American Economic Review, 55, 1965, pp. 1126-1150.

• Fernández, Roque, “Previsión Social y Crecimiento Económico”, Documento de Trabajo # 6, CEMA, 1979, www.cema.edu.ar/publicaciones/