Ampliacion de Problemas Algebra

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Dadas las matrices: y a) Hallar A10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B10. (PAU Septiembre 2004-2005)

a) A2= =

A3 = == O A4 = A3 x A= O x A = O ; y lo mismo A5 , A 6 por tanto A 10 = b) |B| == 1; Es una matriz triangular, |B|= 111 = 1

; Bd=;

(Bd)t = B-1= (Bd)t =

c) B2 = =

B3 = =

B4 = =

Bn =; B10 =

Dadas las matrices: , , se pide: a) Hallar dos constantes a y b, tales que . b) Sin calcular explcitamente A3 y A4, y utilizando solo la expresin anterior, obtener la matriz A5. (PAU Junio General 2009-10)

;

A3 = A2 A = ( aA +bI ) A = a A2 + bA =

A4 = A2 A2 = ( -A +3I ) ( -A +3I ) = A2 - 3A - 3A + 9I = A2 - 6A + 9I =

A5= A3 A2 = ( - A2 + 3A ) ( -A + 3I )= A3 - 3A2 - 3A2 + 9A = A3 - 6A2 + 9A =

Dada la matriz A= encontrar todas las matrices P = tales que AP = PA (PAU Junio 2005-06).

Se desea que

Por tanto debe cumplirse que: =>

Por tanto, , donde a y b son numeros cualesquiera

Hallar en funcin de a, el valor del determinante (PAU Septiembre 1998-99)

Restamos todas las columnas a la c4 =

Desarrollamos por los elementos de primera fila = 0 + 0 + 0 + a

= - a El determinante de una matriz triangular, en este caso superior es siempre el producto de los elementos de la diagonal principal.

Con lo que = - a (2 - a)

Sea la matriz A = . Para cada nmero real definimos B = A I, donde I denota la matriz identidad 2x2.a) Hallar los valores de que hacen que el determinante de B sea nulo b) Resolver el sistema B = para los distintos valores de (PAU Modelo 2001-02)

a) A = B= A I B= - = B = 0 => - 4 +2 + 3 =0 2 - 1 = 0; =1

b) = == 0 =1

x = 3y Para todo perteneciente a R Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.

= -1 Para todo perteneciente a R Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.

Dada la siguiente matriz de orden n Se pide:

a) Calcular el determinante de la matriz .

b) Calcular el valor del determinante de la matriz .

c) Calcular el valor del determinante de la matriz . (PAU Junio 2007-08)

a)

b)

c)

Calcular el rango de la matriz A segn los diferentes valores del parmetro real a: (PAU Junio 2001-02)

El rango al menos es 2, pues el menor = 15 0.

Veamos qu debe pasar para que sea 3. Para ello estudiamos los menores de orden 3, a partir del menor de orden 2

El menor = =

El menor

En consecuencia:

. .

Estudiar el rango de la matriz segn los valores del parmetro m (PAU Junio 2006-07).

=

=

Discusin:

m = 0 menor principal orden 3 en A

menor principal orden 2 en A rag A= 2

m = 2 menor principal orden 3 en A

= 1 2 = - 1 menor principal orden 2 en A rag A = 2

menor principal orden 3 en A => rag A = 3

Dada la matriz: a) Determinar el rango de M segn los valores del parametro ab) Determinar para que valores de a existe la matriz inversa de M. Calcular dicha matriz inversa de a=2 (PAU Junio 2005-06)

+ 1) = 0 =>

b)

Sea A una matriz que verifica A2+2A=I, donde I denota la matriz identidad.a) Demostrar que A no es singular (det(A) y expresar A-1 en funcin de A e I. b) Calcular dos nmeros p y q tales que A3 = pI + qA en funcin de A e Ic) Si A = cumple la relacin de partida, calcular el valor de k. (PAU Modelo 2001-02)

a) A es no singular AA + 2A = I si => => 0 0 + 2 0 =>

AA + 2A = I => (A + 2I) A = I =>

b)

=> p = 5 y q = - 2

c) A = ; + = =>

Dada la matriz: Se pide: a) Estudiar el rango de la matriz A segn los valores del parmetro . b) Obtener la matriz inversa de A para . (PAU Junio 2008-09)

a) 1 0 -3 21 1 1 -2 1 1 -2 0

b)

Sean las matrices: A = . Hallar una matriz X tal que XA = B

Hay que eliminar la multiplicando por X por la derecha de los trminos.

=>

Hallar la matriz X tal que: iendo (PAU Junio 2004-05)

; =>

Calculamos el menor complementario de A , = y su traspuesta )t

Como ; X =

Considerar el sistema de ecuaciones a) Discutirlo segn los valores del parmetro .b) Resolverlo para =0.c) Resolverlo para =3. (PAU Septiembre 1999-2000)

a)

1 + ( - 1)( - 1) - [1 - ( - 1)] =

= 1 + - + 1 - (1 + 1) = - ( - 1) = 0 = 0, 1

rg C = 3

Si rg C = rg A = n de incgnitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Solucin nica

Para =0

No existe menor principal orden 3 en C rg C < 3

0 menor principal orden 2 en C rg C=2 x y ti

No existe menor principal de orden 3 en A rg A = 2

Si rg C = rg A = 2 < n de incgnitas Sist. Compatible Indeterminado:

soluciones.

Para =1

No existe menor principal orden 3 en C rgC < 3

menor principal orden 2 en C rg C=2 x y ti

No existe menor principal orden 3 en A rg A = 2

Si rg A = rg C = 2 < n de incgnitas Sist. Compatible Indeterminado:

soluciones.

b) Para = 0

La 3 ecuacin desaparece por tener rg C = 2

c) Para = 3

ti y z

x ti z x y ti

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a) (1 punto) Discutir el sistema segn los valores del parmetro a.b) (1 punto) Resolver el sistema para a = 2.c) (1 punto) Resolver el sistema para a = 1. (PAU Septiembre 2000-2001)

Discutir segn los valores del parmetro , y resolver en los casos que sea posible el sistema: (PAU modelo 2004-05)

= 9 10 + 32 - 5 + 9 - 6 = 32- 11 + 8

= 0 32 - 11 +8 = 0; = =

Para = 8/3 = 0 = 0 m .p. orden 2 en C rg C = 2

A = = 16 + 20 + 8 - 5 18 - 256/9 0 rg A = 3

Si rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible solucin.

Para = 1 = 0 = 0 m .p. orden 2 en C rg C = 2

A = = 6 + 3 + 20 - 5 - 4 - 18 = 2 0 rg A = 3

Si rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible solucin.

8/3 y 1 0 rg C =3 = rg A = n incgnitas. => Sistema compatible determinado Solucin nica.

Para = 0 y = 2 + z

-4x = +3 x = -3/4 2 z = -3 + 9/4 = - => z = -3/8 ; y = 2 3/8 => y = 13/8

Se considera el sistema de ecuaciones. a) Comprobar que es compatible para todo valor de a b) Describir en trminos geomtricos el conjunto de soluciones para a = 1 y para a = -2c) Resolverlo para a = -2 (PAU Junio 1999-2000)

1. Para que sea compatible, el ragA = ragC, llamando A a la matriz ampliada, y C a la matriz de coeficientes.

=0

Ruffini (a - 1)(a

Para a = 1, -2 => el ragC = ragA = 2 < n de incognitas . Por ser un sistema

homogneo, es compatible indeterminado =>

a el ragC = ragA = 3 = n de incgnitas El sistema ser compatible determinado

con una nica solucin.

1. Para a = 1 me queda solo una ecuacin Su solucin es un plano

Para a = -2 al ser el rag C = 2 elimino una de las tres ecuaciones Como rag A = rag C su solucin es una recta.

1.

como el rag = 2 eliminamos una ecuacin. =>

Dado el sistema homogneo de ecuaciones:Se pide: a) Determinar para qu valores del parmetro k el sistema tiene soluciones distintas de x= y = z = 0. b) Resolver para el caso k = 3 (PAU Junio General 2009-10)

Por ser un sistema homogneo, para tener solucin distinta de la trivial, es necesario que rag C = 2 Para k = 3 y k = -5/2 rg C < 3

rg C = 2 = rg A < n de incgnitas Sistema compatible indeterminado soluciones.

b)

x = = = y = = =

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parmetro real a:Se pide: a) Discutir el sistema segn los diferentes valores del parmetro a. b) Resolver el sistema para a= 1. c) Resolver el sistema para a= 2. (PAU Junio 2001-02)

a = 0

a = 1

b) Resolvemos para a = 1

c) Resolvemos para a = 2 por el mtodo de Cramer

Dado el sistema: Se pide: a) Discutir el sistema segn los valores del parmetro . b) Resolver el sistema para . (PAU Junio 2008-09)

;

y

ya que

Sistema compatible determinado Existe solucin nica. Para

Sistema incompatible

x zPara

Sistema incompatible

Para

Sistema incompatible

b) Resolver para

Discutir segn los valores del parmetro real la posicin relativa de los planos: (PAU Septiembre 2004-2005)

; x1 = 2 ; x2 = -8/3 menor principal de orden 3 en C, rag C = 3 = rag A= n de incgnitas, el sistema sera compatible determinado; solucin nica.

menor principal de orden 3 en C; rag C

Dado el sistema de ecuaciones lineales: a) Dis-cutir si el sistema segn los valores del parmetro a. Resolverlo cuan-do la solucin sea nica. b) Determinar para qu valor o valores de a el sistema tiene una solucin en la que y = 2. (PAU. Junio 2007-08).

a)

menor principal de orden 2 en C rg C = 2 El rgA = 2 ya que no existen menores de orden 3

Si rgC = rgA = 2 = n de incgnitas => Sistema compatible determinado, existe solucin nica

a = 1 = 0 menor principal orden 2 en C rg C = 1

no existe menor principal orden 2 en A rg A = 1

Si rg C = rg A = 1 n incgnitas. Sistema compatibles indeterminado existen soluciones

a = -1 menor principal orden 2 en C rg C = 1

existe menor principal orden 2 en A rg A = 2

Si rgC rgA Sistema incompatible, no existe solucin

Para resolverlo para solucin nica

b)

Si y = 2