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AMPLIACIÓN DE

MATEMÁTICAS

Ampliación de Matemáticas 3º ESO 2014-2015

TEMA 1NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

1. De los siguientes números:

Escribe los que son racionales:

Escribe los que son irracionales:

Escribe los no reales:

Escribe los reales:

2. Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales

3. Realizar las siguientes operaciones:

(+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) =

(-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) =

(+4) – (-6) = (-7) – (-6) = (-4) – (+6) =

(+4) · (-6) = (-7) · (-6) = (+4) – (+6) =

(+2) · (+6) = (-8) : (-2) = (+4) : (+2) =

(-15) : (-3) = (+12) : (-3) = (-6) : (+2) =

(+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)= (-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)=

4. Efectuar:

1


h) [( ) ( )] ( )( ) [( ) ( )]

( ):( )14 3 4 3 53 7 2 9 10

11 13 11 10

i) ( ) [( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( )] ( )[( ) ( )]

5 12 3 14 93 11 4 1 2

12 10 7 8

j) [( ) ( )] ( )( ) [( ) ( )]

( ) ( )

4 5 8 10 42 10 4 3 8

12 16 7 9

5. Calcula de 750

6. Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

a) y b) y c) y d) y

7. Escribe una fracción equivalente a que tenga a 4 por numerador

8. Escribe una fracción equivalente a que tenga por denominador 18

9. Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes:

a) b)

10. Calcula y simplifica el resultado:

a) b)

c) d)

11. Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:

2


g) h)

i)

j)

12. He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad.

¿Cuánto mide el camino?

13. Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno. ¿Cuánto tengo?

14. Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en la operación 36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela?

15. Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

16. Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto Historia, 7/8 del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas cada apartado?

17. Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena y el resto de arroz. a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla? b) ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla?

18. Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, 1/4 son entresuelo, y el resto, anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfiteatro? ¿Qué parte del total representan?

19. Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han sobrado 36 €, ¿cuánto tenía?

3


20. De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y el resto, de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?

21. De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otra vez la mitad y, luego, los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había al principio?

22. Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9; el segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €. a) ¿Cuánto he pagado cada vez? b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar?

23. Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 de lo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuál era esa cantidad?

24. Entre tres amigos, Elena, Alejandro y Raquel se repartes 1800 eruos de modo que a Elena le corresponde 1/3, a Alejandro 2/5 y a Raquel el resto de dicha cantidad.

a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?b) ¿Qué fracción del total le corresponde a Raquel?

25. Un padre deja los 3/5 de su herencia a su hija y 1/3 para su hijo. Además deja 40000eruos a una asociación benéfica. ¿A cuánto asciende el total de la herencia?

26. Un poste de luz tiene enterrado 3/5 de metro y sobresale 2,25 metros. ¿Qué longitud tiene el poste?

27. Un jardinero siega por la mañana los 3/5 de una pradera de un parque. Por la tarde siega el resto, que equivale a 4000 metros cuadrados.

¿Cuántos metros cuadrados tiene la pradera?

28. Un vendedor tiene un puesto de golosinas. Por la mañana vende la mitad de los caramelos que tiene en una cesta. Por la tarde vende la mitad de los que quedaron por la mañana y ve que le quedan aún 50 caramelos sin vender. ¿Cuántos caramelos tenía la cesta?

29. Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril; los 7/8 del resto en coche y los 26 kilómetros restantes en motos. Calcular cuántos kilómetros recorre.

30. Mario toma ¼ de litro de leche en el desayuno, 1/5 de litro en la comida, 2/10 para merendar y 3/8 en la cena. ¿cuánta leche toma cada día?

31. ¿Qué fracción representan dos meses y medio respecto a un año.

32. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:

a) b)

d) e)

f)

4


g)

33. Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:

1) = 2) =

3) = 4)

5) 6) =

7) = 8) =

9 = 10) = 11)

34. Halla el valor de las siguientes expresiones

a) -32= b) (-3)2= c) d)

e) f) (-3)6: (-3)6=

g)

5


h)

i)

j)

k)

l)

35. Extrae las siguientes raíces:

36. Escribe como potencias los siguientes radicales:

6


37. Realiza las siguientes operaciones y pon el resultado en forma de radical:

38. Extraer los factores posibles:

39. Introduce los factores en el radical y simplifica:

40. Transforma los siguientes radicales en otros equivalentes (tres de cada uno)

41. Reduce a índice común los siguientes radicales:

a) b)

c) d)

e) f)

42. Efectuar las siguientes sumas:

7


43. Efectúa las siguientes operaciones:

44. Con 39 litros de gasolina el marcador de un coche señala 3/4 de depósito. ¿Cuál es la capacidad total del depósito del coche?

45. Calcula el valor de A y B, dando el resultado de la forma más sencilla posible:

46. Resuelve estos ejercicios de tiempos.a) Expresa el tiempo 3,2 h en horas y minutos.b) Ordena los siguientes tiempos de menor a mayor: 3,2 h; 182 min; 3 h y 10 min.

47. Pon los exponentes que faltan para que las igualdades sean verdaderas:

a) b)

48. Pedro tiene dos números. Uno de ellos es el 630 y del otro solo sabemos que es una potencia de 2.b) Escribe la descomposición factorial de 630 en números primos.

c) ¿Cuál es su máximo común divisor de esos dos números? Justifica la respuesta.

49. Dos ciclistas A y B, se cruzan en una rotonda de la que salen al mismo tiempo por dos carreteras perpendiculares entre sí. Ruedan los dos a velocidad constante: A va a 8m/s y B va a 6m/s.

a) Expresa la velocidad del ciclista B en km/h.

b) Expresa en km la distancia recorrida por el ciclista A, a partir de la rotonda, al 8


cabo de 5 minutos

50. Juan ha conducido durante 30 minutos a una velocidad de 64 km/h y durante 45 minutos a 96 km/h ¿Cuántos kilómetros ha recorrido Juan en total?

51. Calcula el valor de A, dando el resultado en la forma más sencilla posible:

52. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

53. Realiza las siguientes operaciones y da el resultado de la forma más sencilla posible:

54. a) Halla los divisores comunes de los números 120 y 165.

b) Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 120 y 165.

55. Calcula el valor de N en las ecuaciones siguientes:

56. Ordena de menor a mayor los siguientes números:a) 3/5; -7/3; 0,65; -2,65

a) ; -1; 2;

57. Realiza las siguientes operaciones. Expresa el resultado en forma de fracción:

a)

b)

58. ¿Cuál ha de ser el valor de (a) para que sean correctas las siguientes igualdades?a) 0,0034 = 34 x 10a b) 20.000.000 = 2 x 10a

59.a) Expresa en horas y minutos 6,8 horas.b) Expresa en minutos 1800 segundos.

60. Indica en cada caso cuál de los dos números es el mayor.

9


a) 3,27587 y 3,27578b)

c) y 0,999 d) 4 y

61. Calcula:

a) b)

62.a) Halla los divisores comunes de 54 y 60. b) De la siguiente lista de números, señala los que son números primos. 23; 39;

27; 91; 87.

63. a) Calcula cuántos minutos son 0,25 horas.b) Expresa en horas y minutos 6,3 horas.

64. El triatlón es un deporte individual que agrupa tres disciplinas deportivas: natación, ciclismo y carrera a pie. Hay diferentes modalidades de triatlón según las distancias de las diferentes partes de la prueba.

En la modalidad olímpica el triatleta comienza nadando 1500 m. Al salir del agua debe subir a la bicicleta para recorrer 40 km, y finalmente, tiene que cubrir corriendo una distancia de 10 km. El tiempo total de un triatleta se cuenta desde el momento en que se da la salida a la natación hasta que finaliza la carrera a pie. Quedan registrados también los tiempos empleados en cada transición, es decir, el tiempo empleado en pasa de una a otra modalidad.

El triatlón fue deporte olímpico por primera vez en los Juegos de Sydney del año 2000. En los Juegos Olímpicos de Londres, un español, Javier Gómez Noya, fue medalla de plata con un tiempo total de 1 hora, 46 minutos y 36 segundos.

Supongamos que se ha celebrado en Madrid una competición de triatlón olímpico y Juan, uno de los triatletas participantes, ha conseguido los siguientes resultados parciales:Natación: 22 min 30 s 1ª transición: 45 sBicicleta: 60 min 2ª transición: 15 sCarrera a pie: 35 min

10


Se pide:a) Tiempo total de Juan en horas, minutos y segundos.b) Diferencia del tiempo de Juan con el conseguido por Javier Gómez Noya en los

JJ.OO. de Londres.c) Calcular la velocidad media, en km por hora, de Juan en la carrera a pie.

TEMA 2

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

PROBLEMAS DE PORCENTAJES

1. Un mueble me ha costado 6000 euros. ¿Qué precio debo marcarle para que haciendo una rebaja del 10% gane todavía el 20% sobre el precio de compra?

2. Vendí géneros por 7500 euros. Vendiéndolos en 500 euros más hubiera ganado 2000 euros ¿Cuánto gané en % sobre el precio de la compra?

3. ¿Cuánto pesaba una mercancía que después de perder el 20% de su peso pesa 8’8 Kg.?

4. Un viajante cobra 600 euros de dietas y el 2’5 % sobre el importe de sus ventas. Tras una gira de 18 días le entregan 34.800 euros por dietas y comisiones ¿Cuál fue el importe de las ventas que realizó?

11


5. Un comerciante compra 5 piezas de paño de 40m a 450 euros el metro. Las revende ganando el 12% sobre la compra ¿En cuánto las vendió?

6. Se pagaron 5290 euros por cierta cantidad de azúcar cuyo precio acababa de subir el 15% ¿Cuánto se hubiera pagado antes de la subida?

7. Un labrador revende en 109.600 euros una cosechadora, ganando el 15% sobre el precio de la venta. ¿Cuánto le costó la máquina?

8. De los 524 alumnos de bachillerato de un colegio, el 12% repite curso y el 13% ha

pasado con alguna materia pendiente. ¿Cuántos alumnos han pasado con todas las materias aprobadas?

9. Entre julio y agosto de 2006, el número de infracciones graves que denunció la Dirección General de Tráfico fueron 81 835 de las que 72 533 correspondieron a hombres. ¿Qué porcentaje de denuncias correspondieron a mujeres?

10. La información nutricional de una marca de leche dice que, en un litro, hay 160 mg de calcio, que es el 20% de la cantidad diaria recomendada. Calcula la cantidad diaria que debe tomar una persona.

11. El número de plazas de un centro escolar es 450. Si el número de plazas solicitadas fue 540, ¿qué tanto por ciento representan las solicitudes?

12. Los organizadores de un concierto han decidido suspenderlo porque solo se han vendido el 0,8% de las entradas disponibles. ¿Cuántas entradas se han puesto a la venta si solo se han vendido 20? He pagado 870 € por un artículo que costaba 750 € sin IVA. ¿Qué porcentaje de IVA me han aplicado?

13. Si el precio del abono-transporte de una ciudad subió el 12%, ¿cuál era el precio anterior si ahora cuesta 35,84 €?

14. He pagado 187,2 € por un billete de avión que costaba 240 €. ¿Qué porcentaje de descuento me hicieron?

15. El precio del kilo de tomates subió un 20% y después bajó un 25%. Si antes costaba 1,80 €, ¿cuál es el precio actual?

16. El número de espectadores de un concurso de televisión que comenzó en octubre aumentó un 23% en noviembre y disminuyó un 18% en diciembre. Si al terminar diciembre tuvo 2 202 000 espectadores, ¿cuántos tenía en el mes de octubre?

17. Si un comerciante aumenta el precio de sus productos un 25% y, después, los rebaja un 25%, ¿cuál ha sido la variación porcentual que experimentan los artículos respecto al precio inicial? ¿Y si hiciera lo mismo aplicando el 50%?

INTERÉS

18. Una persona coloca 1/3 de su capital al 4 % y el resto, es decir, 600.000 euros al 3 %. Halla el interés que obtiene en 8 meses.

12


19. Debo los intereses de 5000 euros durante 6 meses al 5 %. ¿Cuánto tiempo debo colocar 4500 euros al 4 % para compensar aquellos intereses?

20. Un granjero vende una tierra y coloca su importe al 5 % que le produce 7200 euros anuales. ¿Qué extensión tenía la tierra si el comprador pagó 2400 euros por área?

21. He metido en el banco 6500 euros y 8 meses después se han convertido en 6630 euros ¿A qué % las coloqué?

22. ¿Qué es más ventajoso, colocar 480.000 euros al 4’5 % o comprar con ellas un piso que se puede alquilar en 2000 euros mensuales?

23. 6000 euros han dado 45 euros de interés desde el 23 de marzo al 21 de junio del mismo año. ¿A qué 5 % se colocaron?

24. Un viajero presta, en el momento de su partida, 34.000 euros al 4%. A su regreso recibe 40.800 euros por capital e intereses. ¿Cuánto duró su ausencia?

25. Meto cada mes 120 euros en una hucha. Después de la sexta vez retiro la cantidad ahorrada y la pongo a interés. Después de 8 meses retiro en total 732 euros. ¿ A qué % las coloqué?

26. Un tendero realiza en 3 meses un beneficio neto de 15.000 euros ¿ Cuánto tendría que colocar al 4 % los 250.000 euros que comprometió en el negocio para tener un interés igual a ese beneficio?

27. ¿Qué cantidad hay que colocar al 5% durante 10 meses para pagar con sus intereses los 1420 euros gastados en un arreglo de una casa?

28. ¿A qué % se han colocado 15.000 euros si al cabo de 3 meses y 9 días se han convertido en 15.165 euros?

29. UN señor dispone de 34.830 euros. Coloca los 8/15 al 15 % y el resto al 4’75 %. Halla su renta anual.

30. Debía pagar una deuda el 20 de enero; la pago el 8 de agosto, por lo que aumenta la deuda en 90 euros. El interés es del 3% ; halla la deuda.

31. Se han colocado 15.000 euros al 5 % y 5.000 al 3’75 %. ¿A qué % hay que colocar 20.000 euros, para obtener anualmente los 4/5 de interés que se obtenía en el primer caso?

32. Tomé prestados 6.000 euros al 5 % el 1 de junio. ¿ En qué fecha los devolví si entregué 6.225 euros por capital e intereses?

REPARTOS PROPORCIONALES

33. Descomponer 11.400 en 3 sumandos que sean inversamente proporcionales a 4, 9 y al medio proporcional de esos dos números.

13


34. En una carrera intervienen 3 corredores entre los que se reparten 11.840 euros. Los tiempos que han intervenido han sido 4, 5 y 6 minutos, respectivamente. ¿Cuánto toca a cada uno?

35. Una herencia de 600.000 euros se reparte entre 3 hermanos proporcionalmente a sus edades. La de los menores es de 2 y 5 años; el 1º cobra 80.000 euros. ¿Qué edad tiene el mayor y cuánto cobró cada uno?

36. Un billete de lotería costó 300 euros y resultó premiado con 225.000 euros. Lo compraron 3 individuos a quienes correspondió 60.000, 75.000, y 90.000 euros respectivamente. ¿Cuánto aportó cada uno a la compra?

37. Cuatro socios reúnen 5.418.000 euros para un negocio, en el que obtienen 1. 548.000 euros de ganancia. Repartida ésta, corresponden: al 1º, 350.000 euros; al 2º, 420.000 euros; al 3º,180.000 euros y al 4º, el resto. Halla el capital de cada socio.

38. Una industria paga de impuestos el 20 % de sus ganancias brutas. Si por tal motivo pagó 145.000 euros y los capitales de sus 3 socios son 1.750.000, 3.000.000 y 2.500.000 euros ¿Cuál es la ganancia neta de cada uno?

39. Se quiere repartir unos beneficios de 40.000ptas. entre tres trabajadores proporcionalmente a los años que llevan en la empresa, que son 10, 12 y 18 años. ¿Cuánto recibirá cada uno?.

40. Tres agricultores alquilan una segadora por 139.500 ptas. Si tienen 2ha., 3ha, y 4 ha. Respectivamente, ¿cuánto ha de pagar cada uno?.

41. Cuatro obreros han cobrado 65.000 €. por su trabajo. Sabiendo que el primero ha realizado los 2/8 del trabajo, el segundo 1/3, el tercero 2/7 y el cuarto el resto. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.

42. Reparte una herencia de 5.780.000 ptas. entre tres hermanos de forma inversamente proporcional a sus edades que son: 4, 6 y 18 años.

43. Reparte 1560 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4

44. Descompón 4371 en tres sumandos inversamente proporcionales a 3, 4 y 5

45. Tres municipios, A, B y C, deciden construir en común un canal de riego cuyo importe es de 91 millones de €. y deciden que cada uno pague en razón directa al número hectáreas de regadío que se crean. Si las hectáreas de regadío previstas son 3, 4 y 6, respectivamente. ¿Cuánto debe pagar cada municipio?.

46. Una herencia de 600.000 € se reparte entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades. La edad de los menores es de 2 y 5 años, y el primero cobra 80.000ptas. ¿Cuál es la edad del hermano mayor y cuánto le correspondió a cada uno?. Comprueba el resultado efectuando el reparto.

47. Repartir 18.000 € entre dos personas de forma que la primera reciba 4/5 de la segunda.

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48. Un billete de lotería resulta premiado con un cuarto de millón y es cobrado por dos personas, correspondiendo 150.000€ a una y 100.000 a la otra. ¿Si el billete costó 500. €. ¿cuánto aportó cada una?

VARIOS

49. Según una encuesta reciente, de cada 15 españoles 9 no han leído El Quijote. ¿Qué porcentaje de españoles ha leído El Quijote?

50. Para hacer una tarta de 750 gramos, Pedro ha utilizado 300 gramos de harina. Ahora quiere hacer otra tarta que pese 1 kilogramo. ¿Cuántos gramos de harina necesitará?

51. Un euro equivale aproximadamente a 1.5 dólares. ¿Cuántos euros recibirá un turista americano que cambie 600 dólares?

52. Antonio da todos los años dinero a sus sobrinos Andrés, Teresa y pedro, que este año cumplen 16, 14 y 10 años respectivamente, para que se lo repartan proporcionalmente a sus edades.

a) Este año les ha dado 936 euros. ¿Cuántos euros recibirá Pedro?

b) Como los precios suben, este año les ha dado un 4% más que el año pasado. ¿Cuántos euros dio en total Antonio a sus sobrinos el año pasado?

53. Rellena la siguiente tabla. En cada columna, el porcentaje, la fracción y el decimal deben ser equivalentes.

54. Juan y Pedro se entrenan lanzando tiros a una canasta de baloncesto desde el mismo punto. De 40 tiros, Juan ha fallado 18, y Pedro, de 50 tiros, ha encestado 28.

a) ¿Qué porcentaje de aciertos ha obtenido Juan?b) ¿Cuál de los dos es mejor encestador?

55. Dos ciclistas A y B, se cruzan en una rotonda de la que salen al mismo tiempo por

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dos carreteras perpendiculares entre sí. Ruedan los dos a velocidad constante: A va a 8m/s y B va a 6m/s.a) Expresa la velocidad del ciclista B en km/h. b) Expresa en km la distancia recorrida por el ciclista A, a partir de la rotonda, al

cabo de 5 minutos.

56. En la clase de Pablo, el 40% de los alumnos ha escogido alemán como segunda lengua y los 18 restantes ha preferido francés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase de Pablo?

57. Completa la tabla:

Porcentaje 70%Fracción 2/5Decimal 0.6

58. ¿Cuánto tiempo necesitarías para escribir a ordenador un millón de letras si eres capaz de escribir 100 letras por minuto? (Debes dar la solución den días, horas y minutos)

59. La velocidad de la luz es de 300.000km/segundo.a) ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en cinco minutos?b) La distancia media del Sol a la Tierra es, aproximadamente, 150 millones de

kilómetros. ¿Cuánto tarda en llegar hasta nosotros la luz del Sol? Expresa el resultado en minutos y segundos

60. a) El 25% de cierto número es 2. ¿Cuál es ese número? b) En la clase de Ana se han celebrado las elecciones a delegado. El 20% de la

clase se ha abstenido en la votación. De los votos emitidos, el 70% han sido a favor de Ana. En realidad, ¿qué porcentaje de alumnos de la clase ha votado a Ana como delegada?

61. El curso pasado en la comunidad de Madrid 45.000 alumnos obtuvieron el título de graduado en E.S.O. El 20% de ellos se matriculo en un Ciclo de Grado Medio, dos terceras partes lo hizo en 1º de Bachillerato, el resto no quiso seguir estudiando. Calcula y completa todos los datos que faltan en la tabla siguiente.

Matriculados en 1º bachillerato

Matriculados en 1º ciclo grado medio

No sigue estudiand

oNº alumnos graduados

Porcentaje sobre el total de alumnos graduados

20%

Fracción del total de alumnos graduados

2/3

62. Completa la siguiente tabla:

16


63. a) Expresa en horas y minutos 6,8 horas.b) Expresa en minutos 1800 segundos.

64. Un euro equivale aproximadamente a 1,3 dólares. Con este cambio:a) ¿Cuántos euros recibirá en Madrid un turista americano por 260 dólares?b) ¿Cuántos dólares recibirá un turista español en Nueva York por 500 euros?

65. Completa la tabla siguiente según el modelo indicado en la primera línea.

66. a) La escala de un mapa es 1:40000. En el mapa, la distancia entre dos puntos es

de 3cm. ¿Cuál es la distancia real entre esos dos puntos? (Expresar el resultado en km o m).b) ¿Cuál es la escala de un mapa si 3 km reales corresponden a 3cm en el mapa?

67. Cinco millas terrestres equivalen a 8 km.a) ¿A cuántos metros equivale una milla? Razona la respuesta.b) ¿Cuántos kilómetros son 25 millas? Razona la respuesta.

68. a) Calcula cuántos minutos son 0,25 horas.b) Expresa en horas y minutos 6,3 horas.

69. Un comerciante ofrece durante el mes de enero todas sus prendas con un 30% de descuento. En febrero añade un nuevo descuento del 20% sobre el precio ya rebajado.a) Calcula el precio que tendrá un abrigo en el mes de enero si costaba 120€ en diciembre.b) Calcula cuánto costará ese mismo abrigo en el mes de febrero.c) Halla el porcentaje de descuento sobre el precio de diciembre con el que el comerciante está vendiendo en febrero.

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TEMA 4

POLINOMIOS

1. Dados los siguientes polinomios:

A = 2x5 - 4x3 + 6x2 - 7x B = 4x4 - 6x3 - 2x2 + 5x - 4C = 3x4 - 5x3 - 6x2 - 9x + 3 D = 6x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 6Calcula:a) A + B + C + Db) A – B – C + Dc) (2A - 3B) - (2C + D)

2. Efectúa los siguientes productos:

a) (2x4 - 6x3 + 5x2 - 4x + 3) . (2x2 - 9x + 6)b) (2x3 - 4x2 + 5x - 4) . (3x2 - 5x + 6)

3. Calcula: a) 2x2 - 5x + 3 . 4x2 + 2x - 5 . 2x3

b) 2x2 - 4x + 5 . 3x2 - 4x + 7 - 5x2 - 4x + 32 4. Efectúa las siguientes divisiones

(18x6 - 33x5 + 7x4 - 11x3 + 31x2 - 21x + 9) : (2x2 - 5x + 3)

(10x7 - 26x5 + 33x4 + 6x3 - 31x2 + 32x - 15) : (2x3 - 4x + 5)

(6x6 + 22x5 + 23x4 - 5x3 - 34x2 + 45x - 18) : (2x2 + 4x - 3)

(18x7 - 6x6 + 27x5 - 41x4 + 6x3 + 6x2 - 17x + 12) : (2x3 + 3x - 4)

(8x6 - 20x5 + 22x4 - 32x3 + 30x2 - 20x + 12) : (2x3 - 2x2 - 4)

5. Calcula el cociente y el resto empleando las Reglas de Ruffini

6x4 - 4x3 + 2x - 6 : x - 3

5x5 - 3x4 + 4x3 - 2x2 + 5 : x + 1

3x6 + 3 : x + 1

x4 - 4x2 + 8 : x - x4 - 6x2 + 12 : x -

6. Calcula los ceros (raíces enteras) y factoriza

x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12 x4 + 9x3 + 19x2 - 9x - 20

x4 + 8x3 + 11x2 - 32x - 60 x4 + 2x3 - 19x2 - 8x + 60

7. Calcula el valor numérico de los polinomios

18


x4 - 5x2 + 2x - 3 para x = 2 x5 - 3x2 + 2x - 8 para x = ½

8. Calcula el verdadero valor de las siguientes fracciones

9. Dada la siguiente fracción

a) Factoriza sus dos términos.b) Una vez factorizados, simplifícala.

10. La expresión x4 – 7x3 + 11x2 + 7x – 12 = 0 es un polinomio ecuacional que admite como soluciones enteras x = 3; x = 4 y x = -1. ¿Cuál es la cuarta solución?

11. Sin necesidad de hacer las divisiones, explica cuál de ellas son exactas y cuáles no:

(x5 – 32) : (x + 2) (x5 + 32) : (x - 2)

(x5 – 32) : (x - 2) (x5 + 32) : (x + 2)

12. Determina el resto de las siguientes divisiones sin necesidad de efectuarlas.

a) (x4 – 16) : (x – 2) = c) (–x2 + x + 1) : ( (x + 3) =

b) (x5 + x – 2x3) : (x – 1) = d) (x3 + 2x2 – x + 1) : (x – 2) =

13. Dados los polinomios P(x) = x2 + 3x + 5; Q(x) = x2 – 4x + 4 y R(x) = x3 – 20, indica, sin hacer la división, cuales son divisibles por x – 2.

14. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = 8x3 – 4x2 + 2x + m sea divisible por (x – ½).

15. Hallar el valor de m para que el polinomio P(x) = x3 – 9x2 + mx – 32 sea divisible por (x – 4).

16. Dada la fracción:

19


a) Factoriza sus dos términos.

b) Una vez factorizada, simplifícala.

17. ¿Para qué valor de “m” el polinomio x4 + 8x3 + 11x2 - mx - 60 el resto de dividirlo por x + 3 vale 4?

18. Simplifica las siguientes fracciones:

19. Opera:

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TEMA 5

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Problemas de números 1. El doble de un número es igual a 38. ¿De qué número se trata?

2. Al sumar seis unidades al triple de un número, se obtiene 33, ¿Qué número es?3. La suma de dos números consecutivos es 121 ¿Qué números son?

4. Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el doble de ese número, es igual a 14.

5. Si a un número se le suma su tercera parte, se obtiene 148. ¿Cuál es ese número?

6. Dos números suman 100, y el mayor supera al menor en 10 unidades. Calcula los dos números.

7. Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el triple de ese número dé como resultado 40.

8. Halla dos números impares consecutivos cuya suma sea 80.

9. Una fracción (razón de dos números) es equivalente a 3/4, Si se suman 10 unidades al numerador y 10 al denominador, la fracción que resulta es equivalente a 11/14. Halla la fracción.

10. Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le sumamos 7 unidades. ¿Cuál es el número?

11. La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números.

12. La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6, ¿Cuáles son estos números?

13. Descompón el número 1000 en dos números de manera que al dividir el mayor entre el menor el cociente sea 2 y el resto 220.

14. Una fracción es equivalente a 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador en dos unidades, la nueva fracción es equivalente a 4/11. ¿De qué fracción se trata?

15. Dividir el número 77 en dos partes de modo que una de ellas dividida por la otra dé un cociente de 2 y un resto de 2.

16. ¿Qué número hay que sumar a la fracción 11/5 para obtener las 3/5 partes del número que se ha sumado?

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17. La suma de dos números impares consecutivos es 104 ¿Cuáles son los dos números?

18. Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 23 unidades. ¿Cuáles son los dos números?

19. Si aumentamos en ocho unidades el quíntuplo de un número, obtenemos 7 veces ese número. ¿Cuál es?

20. Si sumamos los números anterior y posterior a uno dado, y lo dividimos todo entre dos, obtenemos el mismo número.¿ Qué número es?

21. La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 9 ¿Cuales son los dos números?

22. Los dos tercios de un número exceden en dos unidades a la mitad de ese número, ¿Cuál es?

23. Lucia le dice a Gema: “Piensa un número, ¿ya lo tienes? Vale, ahora multiplícalo por 4 y súmale después 6. ¿De acuerdo? Calcula sus tres medios y dime lo que te sale”. Gema le responde que el número obtenido es el 33 ¿En qué número pensó Gema?

24. Las dos cifras de un número suman 12. Si se suman 48 unidades al cuadrado de dicho número se obtiene un tercio del cuadrado del cuadrado del número que resulta de invertir el orden de las cifras del primero ¿Cuál es ese número?

25. Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de invertir el orden de las cifras es 3154 ¿Cuál es ese número?

26. Halla dos números cuya suma es 175, y 5 veces el menor es igual al mayor aumentado en 11.

27. Divide 65 en dos partes, de modo que la mayor tenga dos unidades más que el duplo de la menor.

28. Halla la fracción que vale 13

cuando se añade uno al numerador, y que vale si

se añade uno al denominador.

29. El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el cuádruple del primero más el segundo es nueve ¿Qué números son?

30. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 100 y su diferencia 46

31. Divide el número 38 en dos partes, de modo que la suma del duplo del mayor con 8 veces el menor sea igual a 100.

32. La suma de dos números es 50. Calcula dichos números si siete veces el menor es igual al duplo del mayor disminuido en uno

33. Un número excede en tres unidades al duplo de otro. La diferencia entre cinco veces el menor y el duplo del mayor es igual al cuarto. Calcula ambos números.

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34. Halla un número cuyas dos cifras suman 11 y sabiendo que si se escribe invirtiendo el orden de sus cifras, el número disminuye en 63 unidades.

35. Un número de dos cifras es igual al triple de la suma de dichas cifras más tres. Si se invierte el orden de sus cifras, el número que resulta vale el séptuplo de la suma de sus cifras más nueve ¿Cuál es el número dado?

36. Halla dos números, sabiendo que están en la proporción de cinco a tres y que si se restan 10 del primero y se aumentan 10 al segundo la proporción en que se hallan es inversa de la anterior.

37. Halla dos números tales que si se divide el primero por cinco y el segundo por cuatro, la suma de los cocientes es 6; y si se multiplica el primero por tres y el segundo por dos la suma de los productos es 69.

38. La suma de dos números es 21. si de ocho veces el primero más el segundo se resta ocho veces el segundo más el primero, la diferencia es 63. ¿Cuáles son esos números?

39. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de colocación de las cifras, resulta otro número que es igual a cuatro veces el primero más 9 ¿De qué número se trata?

40. La suma de un número más su inverso es Halla el número

Problemas de edades

41. La suma de las edades de cuatro hermanos es 34 años. Averigua la edad de cada uno sabiendo que se llevan, consecutivamente, tres años cada uno.

42. Un hijo tiene 25 años menos que su padre. Dentro de 10 años la edad del padre será doble de la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

43. Un padre tiene 38 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será tres veces la de su hijo?

44. Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces la edad de su hijo, ¿Qué edad tiene cada uno?

45. Las tres cuartas partes de la edad de Luis, más sus seis quintas partes nos da como resultado un año menos que el doble de su edad. ¿Qué edad tiene?

46. Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad de la de Santiago, pero hoy en día, la edad de Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?

47. La edad de un alumno es el triple de la que tenía hace 8 años. ¿Cuál es esa edad?

48. La edad de una madre es triple de la de su hijo, Dentro de 10 años su edad será del doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

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49. La suma de las edades de dos hermanos es 18 años. Si uno de ellos tiene doble edad que el otro ¿Cuántos años tiene cada uno?

50. Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si entre los dos suman 48 años ¿Cuántos años tiene cada uno?

51. Dentro de tres años, la edad de Juan será el triple de la de Cristina, y hace dos años la edad de Cristina era la octava parte de la de Juan ¿Cuántos años tiene cada uno?

52. Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo La media geométrica de las edades de ambos supera en 10 al número de años del hijo. Halla las edades actuales de los dos.

53. La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 42 años. Dentro de nueve años la edad del padre será tres veces la del hijo. ¿Qué edad tienen ahora el padre y el hijo?

Problemas de geometría

54. La proyección de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma de la altura con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm ¿Calcula dicha proyección?

55. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 90 m y el cateto mayor, 3 m menos que la hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.

56. Determina las dimensiones de un rectángulo cuya superficie mide 8 m2, sabiendo que una diagonal mide 2 5 m.

57. La razón entre los lados de dos cuadrados es tres y la suma de los cuadrados de sus diagonales es 100 cm2. Averigua dichos lados.

58. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.

59. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13cm. Averigua las longitudes de los catetos sabiendo que su diferencia es 7 cm.

60. Si se aumenta la longitud de un cuadrado en cuatro metros, y la anchura en 1’5 m, resulta un rectángulo cuya área es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m 2, Calcula el lado del cuadrado.

61. Calcula la medida de los lados de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la altura en 5 m, el área no varía, pero si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la altura en 4 m, el área aumenta en 4 m2.

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Problemas varios:

62. Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 10€ a cada uno sobran 1’5 €., mientras que si les damos 12’5 € faltan 3’5€. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto dinero tenemos?

63. Beatriz se ha gastado 345 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan costó 35 € más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?

64. Calcula el número de ovejas de un redil sabiendo que se han contado 348 patas.

65. EL tronco de un gato mide de largo de su longitud total y la cabeza mide igual

que la cola, 6 cm. ¿Cuánto mide el gato?

66. Un poste de teléfono tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte exterior mide 8 m. ¿Cuánto mide en total el poste?

67. Un grupo de amigos prepara un fondo común de 1000€ para organizar la acampada de las vacaciones. A última hora, algunos amigos no pueden ir al campamento, por lo que los 10 amigos que van a asistir deben pagar 37’5 € más. ¿Cuántos amigos pensaban irse de vacaciones al principio?

68. Una empresa de alimentación ofrece a sus clientes dos tipos de cesta de Navidad, la especial y la extra. La extra cuesta el doble que la especial, pero, si no tenemos en cuenta el coste de la cesta (25 €), la especial costaría tres veces menos que la extra. ¿Cuánto vale cada cesta?

69. Julia e Iván van de compra. A Julia le gustan los yogures de frutas que se venden en paquetes de 2 unidades, mientras que Iván prefiere los desnatados que se venden en paquetes de 4 unidades. Si entre los dos han comprado 15 paquetes de yogures, que son 44 unidades, ¿cuántos yogures ha comprado cada uno?

70. Diez vecinos de un barrio, dueños de coches y motos, encuentran todas las ruedas pinchadas, En el taller les dicen que hay que cambiar en total 34 neumáticos. ¿Cuántas motos y cuántos coches había?

71. La caja de un despacho de aceite arroja al día el siguiente resultado: 820 botellas vendidas, 2730 € ingresados. Si en ese despacho se vende la botella de aceite de 1º a 3’1 € y la de 0’4º a 3’6 €, ¿Cuál es el número de botellas que se han vendido de cada clase?

72. Tres amigos tienen en total de 1260 € El primero tiene doble cantidad que el segundo, y éste el triple que el tercero ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

73. Escribe una ecuación de segundo grado, suponiendo que la media aritmética de sus raíces es -5 y su media proporcional 4.

74. En un recorrido de 150 Km, un ciclista llegaría dos horas y media antes si llevase una media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.

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75. Un barquero sube por un río 1800 m. Para bajar emplea 9 minutos menos que para subir, pues la corriente aumenta la velocidad en 100 metros por minuto respecto ala velocidad que llevaba al subir ¿Cuál es el tiempo que emplea en subir? ¿Y en bajar?

76. Dos grifos vierten a la vez en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo empleará cada grifo en llenar dicho depósito sise sabe que el segundo tarda tres horas más que el primero en llenarlo?

77. Al mezclar dos líquidos, se obtiene un volumen de 5 litros cuya densidad es de 0’85 kg por litro. Averigua el volumen de cada uno de los líquidos que se han mezclado, sabiendo que sus densidades son 0’7 y 1’2 kg por litro, respectivamente.

78. Si mezclamos un tipo de café de 5’76 € por kg con otro de 7’44 € por kg, conseguimos 24 kg fe café que se vende a 6’46 € por kg ¿Qué cantidad de cada clase de café se ha mezclado?

79. Tenemos dos capitales de 30 000 y 70 000 de €, depositados a distintos réditos, que juntos producen 4 300 € cada año. Si los réditos se invierten, los intereses de un año suman 4 700 € Halla los dos réditos

80. Un buque navega a razón de 20 km por hora en un río cuando lleva la dirección de la corriente. Si va en dirección contraria a la corriente, recorre 12 km por hora. Halla la velocidad del agua del río y la del buque en agua tranquila.

81. Disponemos de dos clases de billetes. Cinco billetes de la primera clase y veinte de la segunda suman 300€; cuatro billetes de la primera y cuatro de la segunda suman120€. ¿Cuál es el valor de un billete de cada clase?

82. Dos personas han hecho una apuesta de 20 €. Si gana la primera, tendrá, después de cobrar los 20€, el triple dinero que la segunda. En el caso contrario, las dos tendrán igual.¿Cuántos euros tenía cada una antes de hacer la apuesta?

83. Marca con una cruz el círculo correspondiente a V o F, a la derecha de cada igualdad:

84. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones:

85. Calcular el valor numérico del polinomio para x=-1

86. Pedro tiene al lado de casa dos cibercafés, H y K, para conectarse a Internet. En el

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cibercafé H cobran 0,5 € por el enganche a Internet y 0,02 € por minuto de conexión. En el K no cobran por el enganche, pero cobran 0,03 € por minuto de conexión.

a. Pedro piensa estar 100 minutos utilizando Internet. ¿Dónde irá para que le salga más barato? Justifica con cálculos tu respuesta

b. Pedro se da cuenta de que H sale, a la larga, más barato. ¿A partir de qué tiempo de utilización conviene entrar en H?

87. Los jueves, Andrés distribuye las 24 horas del día de la siguiente forma: estudia la mitad de lo que duerme y todavía le sobran 10 horas para el resto de sus actividades.

a. Plantea una ecuación o un sistema de ecuaciones que expresen el enunciado, indicando claramente lo que significan la o las incógnitas.

b. ¿Cuánto tiempo estudia Andrés los jueves? Exprésalo en horas y minutos.

88. Di si son verdaderas o falsas:

89. La madre de Laura y José ha pagado 122 € por un vestido y una sudadera, que ha regalado a sus hijos. José protesta porque con lo que cuesta el vestido podrían haber comprado dos sudaderas y habrían sobrado 17 €.

a) Traduce la situación al lenguaje algebraico mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando el significado de las letras que empleas.

b) Calcula el precio del vestido y la sudadera.

90. Andrea abre un libro y observa que la suma de los números de las dos páginas que tiene delante es 99. ¿Cuáles son esos números?

91. El mástil de una bandera mide 9.2 m. Una fuerte ráfaga de viento ha hecho que se partiera en dos trozos. Uno de ellos tiene 80 cm. Menos que el otro. Halla la longitud de cada trozo.

92. Comprueba que x=-1 es solución de la ecuación:

93. Pedro vendrá el próximo curso a estudiar a Madrid y se alojará en casa de su amigo

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Juan. Quiere apuntarse a un gimnasio y ha preguntado los precios en los dos que hay cerca de la casa de Juan. En uno de ellos, al que acude Juan todas las mañanas, le han dicho que cobran 70 € de matrícula y 35 € el mes. En el otro no cobran matrícula pero cuesta, 40€ al mes.A Pedro le gustaría ir al mismo gimnasio que Juan pero cree que, como solo podrá ir ocho meses, le saldrá más barato ir al otro.

a. ¿Está Pedro en lo cierto? Razona tu respuesta calculando el precio que, por ocho meses, cobra cada uno de los dos gimnasios.

b. ¿A partir de cuantos meses resulta más barato el gimnasio de Juan? Justifica tu respuesta.

94. a) Comprueba que x=-1 es solución de la ecuación:

b) ¿Cuál es el número que sumado con su quinta parte da 24?95.

a) Si al triple de un número se le resta 6, el resultado es 18. Halla razonadamente ese número.

b) La suma de tres números enteros consecutivos es 36. Halla el primero de ellos.c) Halla el número que sumado con su tercera parte da 44.d) Verifica si es cierto que x = -1 es solución de la ecuación

96. Apoyamos una escalera de 13 m de longitud sobre una pared, de forma que su base quede separada 5 m de la pared al nivel del suelo. ¿A qué altura llega la escalera? Hallar el ángulo A

97. El depósito de gasoil de la casa de Irene es un cilindro de 1 m de altura y 2 m de diámetro. Irene ha llamado al suministrador de gasoil porque en el depósito

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solamente quedan 140 litros.

a. ¿Cuál es, en dm3, el volumen del depósito? Utiliza 3.14 como valor de п.b. El precio del gasoil es de 0.80 euros el litro. ¿Cuánto tiene que pagar la

madre de Irene al suministrador para que le llene el depósito?98. Una rampa tiene una longitud de 13 m y salva un desnivel de 5 m. ¿Qué longitud

tiene la base de la rampa?

99. Dibuja la altura del triángulo ABC desde el vértice B, toma medidas con la regla y calcula su área, dando el resultado en cm2.

B

100. El patio del colegio de Ana tiene forma rectangular. Mide 40 metros de largo y 30 metros de ancho. ¿Cuánto mide la diagonal del patio?

101. a) Han instalado en casa de Juan un depósito de agua de forma cilíndrica. El diámetro de la base mide 2 metros y la altura es de 3 metros. Calcula el volumen del depósito en m3. (Tomad π=3,14)

b) ¿Cuántos litros de agua caben en el depósito?

102. En las figuras adjuntas el lado del cuadrado es de 12 cm. ¿Cuánto mide el área de las parte sombreada? (Tomad π=3,14)

a) b)

103. El esquema muestra una pista de atletismo con cuatro calles. Las rectas miden 100 m y las curvas son semicircunferencias, siendo 60 m el diámetro de la más pequeña. El ancho de las calles es de un metro. Se va a celebrar una

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competición. A cada atleta se le asigna una de las calles y no podrá salirse de ella durante la carrera.

a) Calcula la longitud de una vuelta completa por la parte interior de la calle unob) Calcula la longitud de una vuelta completa por la parte interior de la calle dosc) En una carrera de una sola vuelta, las salidas de las diferentes calles están

escalonadas para que al llegar a la meta todos los atletas hayan corrido la misma distancia. ¿A qué distancia de la línea de salida de la calle uno ha de estar la línea de salida de la calle dos?

104. En un triángulo rectángulo:a) Uno de los catetos mide 3 m y la hipotenusa mide 5 m. Halla en metros la

longitud del otro cateto.

b) Los dos catetos son iguales y la hipotenusa mide cm. Halla en centímetros la longitud del cateto.

105. Un envase de un litro de leche tiene forma de prisma, la base es un cuadrado que tiene 10 cm de lado.

a) ¿Cuál es, en cm3, el volumen del envase?b) Calcula la altura del envase en centímetros.

106. Una finca rectangular mide 1 km de largo y 500 metros de ancho.a) Calcula el área de la finca en metros cuadrados.b) Calcula el área de la finca en hectáreas.

107. Pedro quiere compara un terreno en el que se pueden poner cuatro campos de fútbol de 100 m de largo y 60 m de ancho.

a) Calcula cuántos metros cuadrados ha de tener el terreno como mínimo.b) Expresa la medida de uno de estos campos de fútbol en hectáreas.

TEMA 10

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FUNCIONES

1. Se define una función como una relación entre dos variables (x, y) de modo que a cada valor que le demos a x, le corresponde uno y solo un valor de y. Según esto, ¿cuáles de estas gráficas sí representan una función y cuáles no?

2. Esta gráfica muestra la temperatura a la que sale el agua de un grifo mientras está abierto.

a) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente?¿Qué escalas se utilizan?b) ¿Durante cuánto tiempo se hizo la observación?c) Di la temperatura del agua cuando se abre el grifo y al cabo de 1 minuto.d) Indica cuál es la temperatura máxima y mínima que alcanza el agua y en qué momentos se alcanzan.

3. Esta es la gráfica de la función que nos indica la cantidad de agua que hay en un depósito que se llena y se vacía automáticamente.

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a)¿Cuál es la capacidad del depósito?b) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse? ¿Cuántotarda en vaciarse?c) Indica cuándo está lleno y cuándo está vacío.d) Explica por qué es una función periódica.

4. Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes almacenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año.

5. a) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función? b) Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función c) Máximos y mínimos de la función

6. a) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función? b) Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función

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c) Máximos y mínimos de la función

7. Carmen tarda media hora en ir en bicicleta a casa de su amiga Maite, que está a 6 km. Se queda allí dos horas y regresa andando. El camino de vuelta lo hace en una hora y cuarto.

a) Representa la función tiempo-distancia a su casa en el camino de Carmen.b) Calcula la velocidad de ida y la velocidad de vuelta en km/h.

8. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo ( en horas ) y la distancia al instituto ( en km ):

a) ¿ A cuántos km estaba el lugar que visitaron?b) ¿ Cuánto tiempo duró la visita al lugar?c) ¿ Hubo alguna parada a la ida? ¿ Y a la vuelta?d) ¿ Cuánto duró la excursión completa?

9. La siguiente gráfica representa la variación de la velocidad de un coche:

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a) ¿ Cuánto tiempo ha durado su viaje?b) ¿ Qué velocidad llevaba el coche a las dos horas de viaje?c) ¿ Cuándo ha llevado el coche una velocidad de 60 km/hd) ¿ En qué tramos aumentó la velocidad? ¿ Cuándo la disminuyó?e) ¿ Qué significado das a los tramos horizontales?f) ¿ Cuál es la velocidad máxima alcanzada? ¿ Cuándo ha

descansado?¿ Cuánto tiempo?

TEMA 11

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FUNCIONES ELEMENTALES

1. Estudia y representa las siguientes funciones los siguientes apartados:,

contestando en cada una las propiedades y características que se indican:

a) y =f(x) = - 5¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica

¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x)

b) x = 6 Haz la gráfica

c) y = f(x) = - 5x + 1 ¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x) ¿Cuánto vale la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?

d) y = f(x) = 2x ¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica

¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x) ¿Cuánto vale la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?

e) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?

¿Qué vértice tiene?

Cortes con los ejes

Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) =

¿Para qué valores crece? ¿Para qué valores decrece? ¿Tiene máximo o mínimo? ¿Cuál es? f) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?


Cortes con los ejes

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Da dos valores a la x y obtienes la y Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) =

¿Para qué valores crece? ¿Para qué valores decrece? ¿Tiene máximo o mínimo? ¿Cuál es?

g) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?


Cortes con los ejes

Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) = ¿Para qué valores crece? ¿Para qué valores decrece? ¿Tiene máximo o mínimo? ¿Cuál es?

2. Representa gráficamente la relación con

2 3 4 51 1,5 2 2,5

a) ¿Cuál es la expresión algebraica de esta relación?

b) ¿Cuál es la pendiente de la función?

3. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

4. Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto

5. Escribe la ecuación de la recta de la que conocemos un punto y la pendiente en cada caso:

a) b)

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c) d)

6. Halla la pendiente de la recta que pasa por A y B, y escribe su ecuación en cada caso.

a) b)

c) d)

7. Observa estas gráficas, encuentra la pendiente y la ordenada en el origen y escribe la ecuación de cada recta

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8. Observa estas gráficas, encuentra la pendiente y la ordenada en el origen y escribe la ecuación de cada recta

9. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?. Represéntalas.

a) b) c) d)

10. Una receta de cocina dice que para hacer un bizcocho necesitamos 600 g de harina y 150 g de mantequilla.a) ¿Cuánta mantequilla tendremos que poner si queremos hacer el bizcocho con 800 g de harina?b) Escribe la ecuación peso de harina-peso de mantequilla para ese tipo de bizcocho y represéntala.

11. La tarifa de alquiler de bicicletas en un parque es 1,5 € fijos más 0,5 € por hora.a) Escribe la ecuación de la función tiempo-coste y represéntala.b) Di cuál es la pendiente y qué significa.

12. En la autoescuela Semáforo las tarifas son las siguientes:

a) Hemos utilizado los servicios de la autoescuela, y con 12

clases hemos obtenido el carné. ¿Cuánto hemos pagado? b) ¿Cuánto hubiese pagado por 15 clases? ¿Y por 17 clases? c) Haz la gráfica que relaciona lo que cuesta el carné según el número de clases recibidas.

13. Un taller de lavado de coches ofrece dos tipos de tarifa: I) 12 euros por hacerse socio y 6 euros por cada lavado durante un año. II) Sin hacerse socio, 8 euros por cada lavado.

a) Escribe la ecuación de la función número de lavados-precio para cada tipo de tarifa.

b) Representa ambas funciones en los mismos ejes cartesianos. c) ¿Cuál de los dos tipos de tarifas es mejor según el número de lavados que

hagamos al año?

38

Precio matrícula carné 150€Precio de cada clase 15€


14. Representa la gráfica de las funciones cuya expresión analítica es:

a) , b) , c) , d)

e) f) g)

15. Representa las siguientes funciones:

a) b) y = -3x2 – 6x + 12 c) y = x2 – 4x + 4

d) y = -x2 + 3x e) y = - x2 + 1 f) y = x2 + x

16. La compañía telefónica Movilcom tiene establecida la siguiente tarifa de llamadas al extranjero:- Por el establecimiento de la llamada: 60 céntimos.- Por cada minuto: 80 céntimos.Otra compañía, Telesmart, hace la siguiente oferta: establecimiento de la llamada sin coste y un euro por minuto.Ambas compañías facturan el tiempo real hablado. Es decir, los minutos y los segundos.

a) Completa la tabla siguiente. El coste es el precio en euros que se facturará al cliente. El tiempo es la duración en minutos de la llamada una vez establecida.

b) Calcula el coste de una llamada que ha durado 3 minutos y 30 segundos en ambas compañías.

c) Explica razonadamente a partir de cuántos minutos empezará a ser más barata la compañía Movilcom.

17. Representa en un sistema de coordenadas los siguientes puntos:

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TEMA 12

40


ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

PROBLEMAS

1. Un equipo ciclista quiere estudiar el estado de las bicicletas a lo largo de cuatro años. Toma una muestra de 20 bicicletas y mira los Kilómetros que han recorrido:

Kilómetros recorridos: xi 1 000 1 500 1 600 2 000 2 100Número de bicicletas: fi 2 3 7 3 5

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

2. Los siguientes datos corresponden al número de billetes vendidos en una atracción de feria en un mes: 10, 20, 7, 15, 25, 7, 5, 10, 10, 20, 25, 6, 3, 15, 16, 20, 25, 30, 45, 30, 10, 7, 15, 25, 10, 20, 25, 7,15,10a) Realiza una tabla y un polígono de frecuencias. b) Calcula los cuartíles. c) Encuentra la desviación típica.

3. Una casa de neumáticos para coches quiere probar 20 de los que ha fabricado. Para ello los somete a una prueba que consiste en ver cuántos Kilómetros aguantan a alta velocidad durante 2 horas. EL resultado es el siguiente

Kilómetros recorridos: xi 100 200 300Número de neumáticos: fi 5 12 3

a) Representa en forma de pictograma este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

4. En un laboratorio de Física se quiere estudiar la resistencia de un material. Para ello se someten 20 bloques de este material a cinco pesos diferentes. Los resultados son los siguientes:

Peso (Kilopondios): xi 100 200 300 400 500Número de trozos que resisten : fi 5 7 3 3 2

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

5. Cáritas ha hecho un estudio sobre el número de niños abandonados en un año en veinte capitales de provincia, obteniendo los siguientes datos:

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Número de niños: xi 10 12 15 25 30Número de capitales: fi 2 6 3 5 4

a) Calcula el número medio de niños abandonadosb) Averigua la desviación típicac) Halla los cuartiles

6. Una ONG que se dedica a la preservación del medio ambiente realiza un estudio sobre el número de truchas que se han pescado en un río durante treintas días. El resultado es el siguiente

Número de truchas: xi 10 20 25 29 30Número de días: fi 2 10 9 5 4

a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

7. Una compañía aérea quiere saber el número medio de viajeros al cabo de un

mes. Realiza un estudio y obtiene los siguientes resultados:

Número de viajeros xi Número de días: fi

[0-300) 5[300-600) 10[600-900) 12

[900-1 200) 3

a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

8. Una cadena de comidas a domicilio quiere saber el tiempo medio que tardan en

repartir a una determinada zona de la ciudad. Para ello manda a sus repartidores que apunten el tiempo que invierten. Preguntando a 25 repartidores, se obtuvieron los siguientes resultados:

Tiempo: xi [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18)Número de repartidores: fi 8 12 4 1

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el tiempo medio y la desviación típica.

9. La Inspección Técnica de Vehículos de la Comunidad de Castilla y León quiere saber cuántos vehículos pasan al año que no superan el test de gases

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contaminantes. Preguntados treinta centros de inspección se consiguieron los siguientes resultados:

Número de vehículos: xi [ 0, 3 ) [ 3, 6 ) [ 6, 9 ) [ 9, 12 )Número de ITV: fi 5 2 10 13

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de vehículos que no superan el test y halla la desviación típica.

10. Una compañía discográfica quiere estudiar el número de discos vendidos por un grupo de música independiente. Para ello realiza un seguimiento de las ventas durante un mes y llega a los siguientes resultados:

Número de discos xi Número de días: fi

[100-200) 10[200-300) 15[300-400) 3[400-500) 2

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de discos vendidos y halla la desviación típica.

11. La protectora de animales quiere investigar el número de perros abandonados durante los meses de verano en una ciudad. Encarga, durante 70 días, un estudio estadístico del número de perros abandonados en la calle. Los resultados del estudio han sido:

Número de perros: xi [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)Número de días: fi 20 10 15 17 8

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Halla el número medio de perros abandonados. c) Determina la varianza y la desviación típica.

12. Las cifras siguientes corresponden al número de pólizas que una compañía de seguros realiza durante los meses de un año y al número de accidentes que ocurren al mes:

Pólizas 30 35 52 60 83 47 25 30 82 100 53 47

Accidentes 10 15 25 42 12 20 15 18 33 26 10 35

13. La media de las edades de cuatro hermanos es 12,5 años y las edades de tres de ellos son 10, 12 y 17 años. ¿Cuál es la edad del cuarto hermano?

14. Las notas de Rosa en las dos primeras evaluaciones de matemáticas han sido de 3.5 y 4.6. Quiere tener como media del as tres evaluaciones al menos un 5. ¿Cuánto tendrá que sacar, por lo menos, en la tercera evaluación?

15. Las notas de Irene en las tres primeras evaluaciones de inglés han sido: 5,5; 7; 4,5. ¿Qué nota tendrá que sacar Irene en la 4º evaluación para tener como media de las cuatro evaluaciones?

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16. En el siguiente cuadro se dan las notas que los alumnos 3º B han tenido en el examen de matemáticas:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9Nº alumnos 1 2 4 5 4 4 5 3

a) ¿Cuántos alumnos hay en la clase?b) Calcula la nota media del examen.c) ¿Qué porcentaje de la clase representa en número de alumnos que ha

suspendido el examen?

TEMA 1344


PROBABILIDAD

1. Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda. Si A es el suceso que la moneda salga cruz y B es el suceso de obtener 1 ó 2 con el dado, indicar el significado de los siguientes sucesos:a) b) c) A B d)

2. El espacio muestral relativo a un experimento aleatorio es E = {1,2,3,4} y se consideran los sucesos A = {1,2} B = {2,4} C = {14}Calcular los siguientes sucesosa) b) c) A B d) e) C B f) A B g) C B h) A C

3. Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresar mediante operaciones con sucesos los siguientes:a) se verifica A y C pero no B.b) Se verifica al menos uno de los tres sucesos.c) Se verifican al menos dos sucesos.d) No se verifica ninguno de los tres.e) Se verifica uno solo de los tres sucesos.

4. se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados y anotar los resultados. Se pide:a) El espacio muestral.b) Elementos del suceso "obtener siete puntos".c) Elementos del suceso "obtener ocho puntos".d) Elementos del suceso "obtener al menos ocho puntos".

5. Se lanzan dos dados de distintos colores sobre una mesa y se anotan los números obtenidos. Determinar por extensión los sucesos A y B siguientes:- A: "sacar al menos un seis".- B: "sacar sólo un seis"

6. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de cacar la segunda.b) La primera bola no se devuelve.c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

7. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?.

8. ¿Cuál es la probabilidad de sacar de una sola vez dos bolas blancas o dos bolas rojas de una urna que contiene 5 bolas blancas y 7 bolas rojas?.

9. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: a) La probabilidad de que salga el siete.b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.

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c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.

10. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4 y la que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:a) de que ambos vivan 20 años.b) de que el hombre viva 20 años y su mujer no.c) de que ambos mueran antes de los 20 años.

11. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado tres veces aparezca siempre el mismo número?

12. En un cierto conjunto de números naturales la probabilidad de que uno de ellos sea divisible para 2 es 1/6, la probabilidad de que sea divisible para 5 es 1/3 y la probabilidad de que sea divisible para 10 es 1/12. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de ese conjunto sea divisible para 2 ó para 5?.

13. Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:a) La obtención de 6 puntos en una sola tirada de dos dados.b) La aparición de un rey al extraer una carta de una baraja de 40 cartas.c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

14. De una caja que contiene 5 bolas blancas, 5 rojas y 4 azules, se extrae una al azar. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea:a) blanca; b) roja; c) azul; d) no blanca; e) roja o azul

15. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 3 en dos lanzamientos de un dado.

16. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:a) Obtener 8 puntos en una sola tirada de dos dados.b) Obtener en una sola tirada con dos dados una suma de 7 u 11.c) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos con una moneda.

17. Se sacan al azar dos cartas de una baraja de 40 cartas. Hallar la posibilidad de que las dos sean oros. Hallar la posibilidad de que una sea oros y la otra espadas.

18. En una caja hay 15 lámparas, de las que 5 son defectuosas. Se eligen 3 al azar. Hallar la probabilidad de que:a) ninguna sea defectuosa.b) una exactamente sea defectuosa.

19. En una urna hay seis bolas blancas, cinco amarillas, siete azules, cinco rojas y nueve verdes. Se extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que sea azul, roja o amarilla.

20. Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja española salgan: a) dos figuras; b) por lo menos una figura; c) una un tres y la otra un as;

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Considerar las dos posibilidades: a) con reemplazamiento y b) sin reemplazamiento.

21. Se tiene una bolsa con nueve bolas numeradas del uno al nueve. Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, se anota el número y se reintegra a la bolsa. a) Halla el espacio muestral.b) Construye los siguientes sucesos: A= "obtener número par". B= "obtener número primo". C= "obtener múltiplo de tres".c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores

22. En una bolsa hay diez bolas numeradas del 11 al 20, idénticas, salvo en el color, pues unas son rojas y otras son verdes.

a. Sacamos, sin mirar, una bola. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo?

b. Se sabe que la probabilidad de sacar bola verde es 3/5. ¿Cuántas bolas hay de cada color?

23. De los 27 alumnos de 3º B, 5 tienen el pelo rubio, 7 son morenos y el resto tienen el pelo castaño. El profesor ha sacado un alumno al azar a la pizarra. ¿Cuál es la probabilidad de que ese alumno tenga el pelo castaño?

24. La clase de juan ha organizado una rifa para conseguir dinero para el viaje de fin de curso. Han numerado las papeletas con tres cifras, empezando por 000 y terminando por 999.

a) ¿Cuántas papeletas se han hecho?b) Juan ha comprado todos los números que terminan en 5. ¿Qué probabilidad tiene de que le toque?

25. Se extrae una carta de una baraja española de 40 cartas.a) Calcula la probabilidad de que la carta sea un as.b) Calcula la probabilidad de que la carta sea de oros.

TEMA 3

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SUCESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.

1) Escribe los tres primeros términos y el término 20 de las siguientes sucesiones:

2) Escribe el término general de las siguientes sucesiones:

a) 6, 12, 18, 24,...... b) 7, 10, 13, 16,...... c) 12

23

34

45

, , , ,...... d) 15

37

59

711

, , , ,......

3) Forma una progresión aritmética de 5 términos con los datos de cada apartado:

a) a1=5, d = - 3 b) a1= , d = c) a1=23

, d = -2 d) a1= - 12, d = 32

e) a1= 3 2 ,d = 2 2

4) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética. Calcula la diferencia de la progresión en cada caso:a) a5= -10 y a13= -8 b) a6= 3 y a14= -1 c) a19= -14 y a24= 16 d) a11= 6 y a35= 65 5) Interpola cinco medios diferenciales entre los dos datos de cada apartado:

a) 1 y 19 b) - 51 y - 27 c) 35

y 235

d) -7 y 29 e) 3 y 27

6) Resuelve los problemas siguientes cuyos datos e incógnitas corresponden a progresiones aritméticas:

a) Dados a1= 20, d = 2 y S = 780, determina an y n b) Dados a1= 1, d = 2 y S = 7 744, determina an y nc) Dados an= 56, d = 3 y S = 516, determina a1 y n

7) Dada la progresión aritmética 0’4, 0’6, 0’8, ..... de 50 términos, determina an y S

8) Dada la progresión aritmética 9,......, 162, de 52 términos calcula d y S.

9) Dada la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, ..... de 100 términos, determina an y S

10) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y noveno es seis. El término undécimo excede al octavo en dos unidades. Halla la diferencia de la progresión y el primer término.

11) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y segundo es –51 y la del tercero y cuarto, nueve. Forma la progresión sabiendo que tiene cinco términos.

12) El menor de los ángulos de un triángulo mide 20º. Averigua los otros dos ángulos sabiendo que las amplitudes de los tres forman una progresión aritmética.

13) El ángulo mayor de un cuadrilátero mide 120º. Calcula los otros tres ángulos sabiendo que las amplitudes de los cuatro forman una progresión aritmética.

14) Calcula la suma de:

a) Los múltiplos de seis comprendidos entre 100 y 1000

b) Los veinticinco primeros múltiplos de nueve.c) Los múltiplos de once menores que 300d) Los quince primeros términos de la progresión aritmética 3, 7,11,15,.....e) Los múltiplos de siete comprendidos entre 1000 y 10 000f) Los múltiplos de seis menores que 200

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15) La suma de los términos segundo y noveno de una progresión aritmética es – 8 y

la suma de los términos quinto y décimo, - . Halla el primer término.

16) La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y su producto, 63. Averigua esos números.

17) La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y su producto, 162. Averigua esos números.

18) La suma de los términos tercero y quinto de una progresión aritmética es 20 y la suma de los términos sexto y séptimo, 35. Halla el vigésimo término.

19) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, son tres números que forman una progresión aritmética cuya diferencia es siete.

20) Calcula en las siguientes progresiones geométricas el término que se indica:

a) a15 b) 1,3,9,27,81,......a15

21) En una progresión geométrica limitada, el primer término es 7, el último 448 y la suma 889. Calcula la razón y el número de términos de la progresión.

22) Calcula la suma se los: a) Seis primeros términos de la progresión geométrica 6, 12, 24,.....

b) Siete primeros términos de la progresión geométrica

c) 0cho primeros términos de la progresión geométrica

d) Nueve primeros términos de la progresión geométrica

23) ¿Cuál es el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es 0’73 y su razón, 0’01?

24) ¿Cuál es el séptimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es

y su razón, 6?

25) Calcula la razón de las siguientes progresiones geométricas conociendo los

términos que se indican en cada apartado:

a) a1 = y a6 = 54 b) a1 = y a7 = c) a1 = 3 y a4 = d) a1 = 2 y a7 =

26) La suma de tres primeros términos de una progresión geométrica es 105 y su producto, 8 000. Averigua esos números.27) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente es dos y el primer término, 0’5. Calcula la razón de la progresión.

28) La suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto, 216. Averigua esos números.

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29) La suma de tres números en progresión aritmética es 65 y su producto, 3 375. Averigua esos números.

30) Interpola entre los dos números de cada apartado el número de medios geométricos que se indica:

a) Siete medios entre 3 y 48 b) Cinco medios entre 2 y c) Tres medios entre 486

y 6

d) Cuatro medios entre y e) Cuatro medios entre y 81 f) Seis medios

entre 2 187 y 1

31) Averigua el producto de los seis primeros términos de cada una de las siguientes progresiones:a) 1, 3, 9, 27,...... b) 4, 8,16, 32, ....... c) 5, 20, 80, 320,......

32) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión geométrica. Calcula lo que se indica en cada uno de ellos:

a) Determina a1 y an si r = 2, n = 7 y S = 635 a) Determina n y an si a1 = 3, r = 2

y S = 765

33) Halla la suma de los términos de cada una de las siguientes progresiones geométricas ilimitadas:

a) 3, 1, b) 6, 3, c) 1, d) 18, 6, 2,

34) Las amplitudes de los tres ángulos de un triángulo están en progresión geométrica,

siendo la amplitud del menor 25º y de grado. Halla las amplitudes de los otos dos

ángulos del triángulo.

37) En una progresión geométrica la diferencia entre los términos cuarto y segundo es 120 y se sabe que el valor del tercer término es 32. Averigua la razón y los cuatro primeros términos.

38) En una progresión geométrica, la suma de los términos primero y segundo es 12 y la de los términos tercero y cuarto,108. Halla la razón y la suma de los siete primeros términos.

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