AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA … · Por último en el séptimo se efectúa el estudio...

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOSDE

MATEMÁTICA APLICADA

FERNANDO LUIS GARCÍA ALONSOANTONIO PÉREZ CARRIÓ

JOSÉ ANTONIO REYES PERALES

Profesores Titulares de la

Escuela Politécnica Superiorde la

Universidad de Alicante

Ampliación de fundamentos de matemática aplicada. 3ª edición revisada© Fernando Luis García Alonso Antonio Pérez Carrió José Antonio Reyes Perales.

ISBN: 978-84-8454-977-2Depósito legal: A-98-2010

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 38 45C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/ Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

A nuestras familias

Prólogo

Las matemáticas son una herramienta para los estudiantes de las carreras técnicas, tanto conceptual como de cálculo. Conceptual porque permite comprender los desarrollos teóricos de asignaturas fundamentales, de cálculo porque ayuda a resolver los problemas que habitualmente se presentan en el ejercicio de la profesión.

Las matemáticas tienen un carácter formativo, que genera el hábito de plantear los trabajos con rigor y contribuye al desarrollo de un auténtico método científico del futuro profesional.

El objetivo fundamental que comparten las asignaturas de matemáticas en todas las carreras técnicas, tanto medias como superiores, es el de proporcionar al estudiante una formación matemática básica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplina de matemática aplicada, requerida en su ejercicio profesional, más adelante. Este objetivo puede ser formulado, más detalladamente, del modo siguiente:

Familiarizar al alumno con el lenguaje y razonamientos matemáticos, situándolo en condiciones •de adquirir por sí mismo, en el futuro, los conocimientos de matemáticas que precise como instrumento de su labor técnica específica.Proporcionarle asimismo, métodos útiles para abordar los problemas que aparecen en las •diferentes disciplinas de su titulación.Dotarle de un repertorio de conceptos, métodos y técnicas de análisis o cálculo adecuados a sus •futuras necesidades profesionales.

La presente obra ha sido concebida para tales fines, y está dirigida preferentemente a los alumnos que han elegido una carrera técnica, inspirándose su redacción en los programas de las principales universidades.

Es también voluntad de los autores que este texto constituya una herramienta útil y eficaz en la preparación de exámenes, procurando que sea lo más autosuficiente posible, en el sentido de que pueda leerse sin más conocimientos previos que los que aparecen en cualquier asignatura de Fundamentos de Matemática Aplicada.

Con esta idea se ha creído conveniente incluir en cada capítulo, además de una introducción teórica que proporciona una visión global del tema que intentamos abordar, una colección variada de problemas resueltos con observaciones y notas que tienen por objeto facilitar su comprensión. Al finalizar cada capítulo aparece una recopilación de problemas propuestos, similares a los resueltos, para que el alumno ejercite y afiance los conocimientos adquiridos.

Es también intención de los autores, que el presente libro permita asentar unas bases sólidas para ulteriores estudios.

El contenido de esta obra se estructura en siete capítulos; en los cinco primeros se estudian los conceptos de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, valores y vectores propios de un endomorfismo, transformaciones ortogonales, diagonalización ortogonal y su aplicación al estudio, clasificación y representación gráfica de cónicas. El capítulo seis presenta las ideas de límite, continuidad y diferenciabilidad de campos escalares y vectoriales. Por último en el séptimo se efectúa el estudio sobre la integración exacta de ecuaciones diferenciales ordinarias básicas.

Los autores

Índice

Capítulo 1 .....................................................................................................................1Aplicaciones Lineales ..............................................................................................1

1.1 Introducción ....................................................................................................11.2 Aplicaciones lineales. Clasificación ................................................................2

1.2.1 Definición de aplicación lineal .................................................................21.2.2 Teorema de caracterización ......................................................................21.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales ............................................................21.2.4 Propiedades ..............................................................................................31.2.5 Clasificación de homomorfismos .............................................................3

1.3 Imagen y núcleo de una aplicación lineal .......................................................31.3.1 Definiciones y consecuencias ..................................................................31.3.2 Teoremas de caracterización de monomorfismos. ...................................41.3.3 Caracterización de la imagen recíproca de un vector ..............................4

1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensión finita. ............................................51.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensión. ....................................51.4.2 Determinación de aplicaciones lineales. ..................................................51.4.3 Teoremas de caracterización de mono, epi e isomorfismos. ....................6

1.5 Matriz de una aplicación lineal .......................................................................61.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo ..............................................61.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas ...................7

1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L. ...................................81.6.1 Definición de matrices equivalentes, semejantes y congruentes .............81.6.2 Relación entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintas bases. 9

Ejercicios resueltos ................................................................................................10Ejercicios propuestos ............................................................................................28

Capítulo 2 ...................................................................................................................31Diagonalización de Endomorfismos ....................................................................31

2.1 Introducción ..................................................................................................312.2 Valores y vectores propios ............................................................................32

2.2.1 Definición de valores y vectores propios de un endomorfismo. ............322.2.2 Subespacio propio asociado a un valor propio. .....................................32

2.3 Determinación de valores y vectores propios. ..............................................332.3.1 Cálculo de valores y vectores propios. Ecuación característica ............33

2.4 Definición de endomorfismo diagonalizable. ...............................................342.4.1 Endomorfismo diagonalizable. ..............................................................342.4.2 Teorema de caracterización y consecuencias .........................................342.4.3 Primer teorema de diagonalización. .......................................................342.4.4 Teorema fundamental de diagonalización ..............................................34

2.5 Matrices diagonalizables ...............................................................................352.5.1 Definición de matrices diagonalizables .................................................352.5.2 Caracterización ......................................................................................352.5.3 Propiedades ............................................................................................352.5.4 Teoremas de anulación ...........................................................................35


Capítulo 3 ...................................................................................................................59Transformaciones Ortogonales ............................................................................59

3.1 Introducción ..................................................................................................593.2 Aplicaciones ortogonales ..............................................................................60

3.2.1 Homomorfismo ortogonal ......................................................................603.2.2 Consecuencias ........................................................................................60

3.3 Transformaciones ortogonales ......................................................................603.3.1 Definición de transformación ortogonal. ...............................................603.3.2 Teoremas de caracterización ..................................................................61

3.4. Matrices ortogonales ....................................................................................613.4.1 Definición de matrices ortogonales ........................................................613.4.2 Teorema de caracterización ....................................................................613.4.3 Transformaciones ortogonales directas e inversas .................................62

3.4.4 Transformaciones en el E.V.E. ( )2 con el p.e. canónico. ..............63


Capítulo 4 ...................................................................................................................77Diagonalización Ortogonal ...................................................................................77

4.1 Introducción ..................................................................................................77

4.2 Endomorfismos simétricos de ( )n .........................................................78

4.3 Valores y vectores propios de un endomorfismo simétrico...........................784.4 Diagonalización ortogonal de un endomorfismo simétrico ..........................794.5 Formas cuadráticas ........................................................................................79

4.5.1 Definición de forma cuadrática ..............................................................794.5.2 Expresión reducida de una forma cuadrática .........................................834.5.3 Formas cuadráticas definidas, semidefinidas e indefinidas ....................84

Ejercicios resueltos ................................................................................................85Ejercicios propuestos ..........................................................................................106

Capítulo 5 ..................................................................................................................... 109Cónicas ...................................................................................................................... 109

5.1 Introducción .................................................................................................... 1095.2 Definición y ecuación reducida ...................................................................... 1105.3 Ecuación canónica y representación gráfica de cónicas no degeneradas ...... 1125.4 Clasificación y representación gráfica de cónicas .......................................... 113

Ejercicios resueltos .................................................................................................. 118Ejercicios propuestos .............................................................................................. 154

Capítulo 6 ..................................................................................................................... 155Cálculo Diferencial .................................................................................................. 155

6.1 Introducción .................................................................................................... 1556.2 Nociones de topología de n

. ....................................................................... 1566.2.1 El espacio normado n

........................................................................... 1566.2.2 Clasificación de los puntos de n

con respecto a un conjunto nD⊆ .. 1576.3 Límites de campos escalares. .......................................................................... 159

6.3.1 Límites finitos de campos escalares ........................................................ 1596.3.2 Límites según un subconjunto ................................................................. 1596.3.3 Límites infinitos de campos escalares ..................................................... 1616.3.4 Propiedades de los límites de campos escalares. .................................... 163

6.4 Límites finitos de campos vectoriales ............................................................. 1636.5 Continuidad de funciones de varias variables. ............................................... 164

6.5.1 Continuidad local de campos escalares ................................................... 1646.5.2 Continuidad local de campos vectoriales ................................................ 164

6.6 Derivadas direccionales y derivadas parciales ............................................... 1656.6.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos escalares ...... 1656.6.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales de campos vectoriales ... 168

6.7 La diferencial .................................................................................................. 1696.7.1 Diferencial de campos vectoriales ........................................................... 1696.7.2 Matriz jacobiana ...................................................................................... 1726.7.3 Interpretación geométrica de la diferencial de campos escalares ........... 175

6.8 Diferenciación de funciones compuestas ....................................................... 175Ejercicios resueltos .................................................................................................. 177Ejercicios propuestos .............................................................................................. 242

Capítulo 7 ..................................................................................................................... 249Ecuaciones diferenciales ......................................................................................... 249

7.1 Introducción. ................................................................................................... 2497.2 Definiciones y terminología. ........................................................................... 2507.3 Problema Cauchy o de valores iniciales. ........................................................ 2507.4 Ecuaciones con variables separables. ............................................................. 2527.5 Ecuaciones homogéneas. ................................................................................ 2527.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. ....................................... 2537.7 Ecuaciones de Bernouilli. ............................................................................... 2557.8 Ecuaciones diferenciales exactas. ................................................................... 255

7.8.1 Factores integrantes. ................................................................................ 2557.8.2 Algunos tipos de factores integrantes ...................................................... 256

7.9 Trayectorias isogonales. .................................................................................. 2587.10 Ecuación diferencial lineal de orden n, con coeficientes constantes. .......... 258

7.10.1 Sistema fundamental de soluciones. ...................................................... 259

7.10.2 Cálculo de sistemas fundamentales de soluciones. ............................2597.10.3 Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n

completa con coeficientes constantes. ................................................261Ejercicios resueltos ..............................................................................................263Cuadro E.D.O. orden n .......................................................................................305Ejercicios propuestos ..........................................................................................306

Bibliografía ..............................................................................................................309

Índice alfabético de definiciones ............................................................................311

1

Capítulo 1

Aplicaciones Lineales

1.1 Introducción

Parece lógico que después de haber manejado Espacios vectoriales intentemos buscar relaciones entre ellos. Estas aplicaciones entre espacios vectoriales deben cumplir al menos con las operaciones que definen la estructura de espacio vectorial y conservar dicha estructura, es decir, deben preservar la suma y el producto por un escalar. En otras palabras estas aplicaciones, llamadas lineales, “mantienen la forma” y de ahí que también reciban el nombre de homomorfismos (igual forma).

La palabra lineal con la que se apostillan estas aplicaciones entre espacios vectoriales, proviene de la expresión en ecuaciones lineales de las imágenes. Cuando los espacios vectoriales relacionados son de dimensión finita, las ecuaciones lineales de las imágenes toman cuerpo a través de su expresión matricial, encontrándonos con un elemento tan ligado a la aplicación lineal que en ocasiones se identificarán ambos conceptos. Nos estamos refiriendo a la matriz asociada a una aplicación lineal respecto a dos bases dadas (si los EV son distintos) o respecto de una base (si son iguales), lo que finalmente nos llevará respectivamente a la equivalencia o semejanza de matrices que representan a una misma aplicación lineal.

Son muchos los fenómenos que se comportan de modo lineal a través de modelos matemáticos aplicados a distintos ámbitos científico-técnicos, como por ejemplo, en arquitectura, física, ingeniería eléctrica, ecología, economía, telecomunicaciones,...

2

Capítulo 1. Aplicaciones lineales

1.2 Aplicaciones lineales. Clasificación 1.2.1 Definición de aplicación lineal Definición. Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Una aplicación f de U en V es toda correspondencia que asocia a cada vector u U∈

un único vector ∈v V , que se llama Imagen o Transformado de u mediante f . La Aplicación :f U V→ es Lineal si verifica las condiciones siguientes:

( ) ( ) ( )1) ,f u v f u f v u v U+ = + ∀ ∈ .

( ) ( )2) f u f u u Uλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈

.

Observación: Terminológicamente son conceptos idénticos Aplicación Lineal, Homomorfismo, Transformación Lineal y Operador lineal.

1.2.2 Teorema de caracterización Teorema. La aplicación :f U V→ es lineal u homomorfismo si, y sólo si:

( ) ( ) ( ) f u v f u f v u v Uλ µ λ µ λ µ+ = + ∀ , ∈ ∀ , ∈

1.2.3 Ejemplos de aplicaciones lineales

1. Si [x]n es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que n, a coeficientes reales y con indeterminada en x, entonces la aplicación entre espacios

vectoriales 1: [x] [x]−→n nD que a cada polinomio le hace corresponder su derivada respecto de x es lineal (compruébese por el lector).

2. Sea =U C [ ],a b , a b< el espacio vectorial de las funciones reales que son continuas en el intervalo [a, b]. La aplicación entre espacios vectoriales: : →Uϕ

( ) ( )b

af x f x dx∫

es lineal (basta utilizar la linealidad de la integral definida).

3. Dado el espacio vectorial 1 2U U U= ⊕ , entonces las aplicaciones proyección de U sobre 1U y sobre 2U son lineales.

4. La aplicación identidad : → ,i U U tal que ( ) i u u u U= ∀ ∈ , es lineal.

5. La aplicación nula 0 :U V→ , tal que 0( ) 0, u u U= ∀ ∈

, es lineal.

6. Los giros y simetrías axiales son transformaciones que conservan las distancias y puede comprobar el lector que son transformaciones lineales.

3

Resumen teórico

1.2.4 Propiedades

Dada la Aplicación Lineal entre espacios vectoriales sobre el cuerpo , :f U V→ , se verifica:

a) (0) 0f =

. b) ( ) ( ) f u f u u U− = − ∀ ∈

. c) Si 1U es subespacio vectorial de 1( )U f U⇒ es subespacio vectorial de V .

d) Si 1V es subespacio vectorial de 11( )V f V−⇒ es subespacio vectorial de U .

e) Si S es un sistema generador de 1 ( )U f S⇒ es un sistema generador de 1( )f U . f) Si S es un sistema ligado en ( )U f S⇒ es un sistema ligado en V . g) Si ( )f S es un sistema libre en V S⇒ es un sistema libre en (U (contrarrecíproco de f). Observación : El sistema imagen de un sistema libre puede ser libre o ligado, dependiendo de la aplicación lineal .

1.2.5 Clasificación de homomorfismos

Definición. Una aplicación :f U V→ es:

a) inyectiva si ( ) ( )f u f v u v u v U= ⇒ = ;∀ , ∈ .

b) sobreyectiva si ( )f U V= . c) biyectiva si es inyectiva y sobre a la vez.

Definición. Sea :f U V→ una aplicación lineal u homomorfismo, entonces: 1) Si f es inyectiva, se le llama monomorfismo. 2) Si f es sobreyectiva, se le llama epimorfismo. 3) Si f es biyectiva, se le llama isomorfismo. 4) Si U V= , entonces a f se le llama endomorfismo.

A un endomorfismo biyectivo se le llama automorfismo.

Observación: En una correspondencia unívoca entre conjuntos con cardinalidad,

→:f A B , en la que todos los originales tienen una sola imagen, la inyectividad implica que

≤( ) ( )Card A Card B , la sobreyectividad implica que ≥( ) ( )Card A Card B y la biyectividad ,

que =( ) ( )Card A Card B . En estas condiciones si f es inyectiva y =( ) ( )Card A Card B entonces f es biyectiva. Claramente las dimensiones de espacios vectoriales isomorfos son iguales.

1.3 Imagen y núcleo de una aplicación lineal

1.3.1 Definiciones y consecuencias Definición. Sea :f U V→ una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , entonces:

4


Se llama I. Imagen de f al conjunto de vectores transformados de todos los vectores de U y se representa por Im( f ). Como Im( f ) = ( )f U , entonces por la propiedad c) es un Subespacio Vectorial de V. Llamamos Rango de f a la dimensión de Im( f ).

Se denomina II. Imagen recíproca de un vector v V∈ mediante f, y se

representa por 1( )f v− , al conjunto de vectores de U que tienen por imagen a v .

Se llama III. Núcleo de f , y se representa por N( f ) o Ker(f) (del inglés Kernel, o del alemán kern), al conjunto de vectores de U cuya imagen es nula (imagen recíproca del vector nulo). Por la propiedad d) como { 0

} es

un subespacio vectorial (impropio) de V y N( f ) = 1(0)f −

entonces N( f ) =

es un subespacio vectorial de U. A la dimensión del núcleo de f se le llama nulidad de f .

Si U es de dimensión finita entonces dimU = dim N(IV. f ) + dim Im( f ) = nulidad de f + rango de f .

1.3.2 Teoremas de caracterización de monomorfismos. Teoremas:

fi. es un monomorfismo ⇔ N( f ) = .fii. es un monomorfismo ⇔ La imagen de todo sistema libre de U es un sistema

libre en V.

Observación: Como consecuencia del primer teorema resulta obvio que si dim U es finita

entonces, f es monomorfismo sii dimU = rango de f = dimIm( f ) = dim U( )f .

1.3.3 Caracterización de la imagen recíproca de un vector

Sea el homomorfismo :f U V→ y v ∈Im( f ), entonces existe un vector 0u U∈ tal

que 0( )f u v= . Si u

es otro vector de U cuya imagen también es v

, es decir , un

vector cualquiera de la imagen recíproca de v

, entonces 0( ) ( )f u f u= por lo que

0 ( )− ∈ u u N f , y así podemos concluir fácilmente que :

Observación: Obviamente si N( f )=

la imagen recíproca de cualquier vector ( )∈v I m fconsta de un (mono) solo vector.

5

Resumen teórico

1.4 Homomorfismos entre E.V. de dimensión finita.

En esta sección entenderemos que nU quiere decir que el espacio vectorial U sobre el cuerpo tiene dimensión n.

Entonces la aplicación lineal : n mf U V→ se entenderá que parte de un espacio vectorial de dimensión n y llega a un espacio vectorial de dimensión m. Si no se pone el subíndice se entenderá que no es necesario el dato de la dimensión.

1.4.1 Isomorfismos entre E.V. de la misma dimensión.

Dado el espacio vectorial ( )nU , una base B = {{ }, 1, 2,...,ie i n= de éste y el vector x

del mismo, podemos expresar x

como combinación lineal única de los vectores de la

base, es decir, 1 1 n nx x e x e= + ...+

, donde los coeficientes de la combinación lineal son

escalares del cuerpo , que agrupados de la forma 1( )nx x, ..., denotan las coordenadas de x

en la base B.

La aplicación

1

( ) ( ) ( ,..., )

nn

n

Ux x x

φ : →

es lineal y biyectiva (compruébese como ejercicio).Lo que establece un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión n y el espacio vectorial n .

Observación: El isomorfismo definido dependerá en cada caso de la base elegida. Este isomorfismo

nos permite identificar nU con n para de esta forma poder trabajar con mayor simplicidad a la

hora de resolver ejercicios tanto teóricos como prácticos. n es el modelo analítico de los espacios vectoriales, n-dimensionales, sobre el cuerpo y su importancia estriba en que un sistema de coordenadas permite el estudio de la geometría vectorial de un e.v. V de dimensión n sobre .

Observación: Si recordamos la observación del apartado 1.2.5, toda aplicación lineal inyectiva entre espacios vectoriales de la misma dimensión finita es biyectiva y por lo tanto isomorfismo.

1.4.2 Determinación de aplicaciones lineales.

Teorema. Una aplicación lineal : nf U V→ queda unívocamente determinada

conociendo las imágenes de los vectores de una base de nU . Si { } 1,2,...,i i nB e

== es base

de nU y x∈ nU entonces,

1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nx x e x e f x f x e x e x f e x f e= + ...+ ⇒ = + ...+ = + ... +

.

6


1.4.3 Teoremas de caracterización de mono, epi e isomorfismos.

Sea : nf U V→ un homomorfismo,

{ } 1,2,...,i i nB e

== una base de nU y { } 1,...,

( ) ( )i i nf B f e

==

entonces:

Teoremas:fi. es epimorfismo ( )f B⇔ es sistema generador de V. fii. es monomorfismo ( )f B⇔ es libre.fiii. es isomorfismo ( )f B⇔ es base de V.

1.5 Matriz de una aplicación lineal

1.5.1 Ecuaciones y matriz de un homomorfismo

Sean { }1,...,U nB u u= y { }1 ,...,=V mB v v bases respectivas de los espacios

vectoriales nU y mV y nx U∈ e my V∈

tales que ( )f x y= .

Si conocemos las imágenes de los vectores de la base UB tendremos determinada la

aplicación lineal : n mf U V→ , en efecto:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

( )( )

...................................................( )

m m

m m

n n n nm m

f u v v vf u v v v

f u v v v

α α αα α α

α α α

= + + ...+= + + ...+

= + + ...+

Recordemos que por un lado

1 1 m my y v y v= + ...+

y que por otro

1 1

1 11 1 12 2 1 1 1 2 2

1 11 2 21 1 1 1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n

m m n n n nm m

n n m m n nm m

y f x x f u x f ux v v v x v v vx x x v x x x v

α α α α α αα α α α α α

= = + ...+ == + + ...+ + ... + + + ... + == + + ...+ + ... + + + ... +

y como la expresión de y

es única en la base VB , los coeficientes de la combinación lineal coinciden y así resulta que:

1 1 11 2 21 1

2 1 12 2 22 2

1 1 2 2

..............................................

n n

n n

m m m n nm

y x x xy x x x

y x x x

α α αα α α

α α α

= + + ...+= + + ...+

= + + ...+

7

Resumen teórico

que son las Ecuaciones de la aplicación lineal.

Expresando matricialmente el sistema anterior, que relaciona las coordenadas 1( ,..., )nx x de x en la base UB con las coordenadas 1( ,..., )my y de ( )f x en la base VB

se obtiene:

1 11 21 1 1

2 12 22 2 2

1 2

n

n

m m m nm n

y xy x

y x

α α αα α α

α α α

=

donde

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

m m nm

α α αα α α

α α α

es la Matriz de la aplicación lineal f respecto a las bases BU y BV , cuyas columnas

son las coordenadas de las imágenes de los vectores de UB respecto de la base VB .

Se puede utilizar la notación U VB Bf para aludir a dicha matriz.

Observación: A la matriz de un homomorfismo f respecto a las bases dadas también se llama matriz asociada al homomorfismo f respecto a dichas bases.

1.5.2 Operaciones con aplicaciones lineales y matrices asociadas

Sean : n mf U V→ y : n mg U V→ y UB una base de nU y VB una base de mV . Las

matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a las bases UB y VB , son respectivamente:

U VB BF f= y U VB BG g=

Suma y producto por un escalar

Definición. Se define la aplicación lineal suma f g± de la siguiente forma:

( )( ) ( ) ( ) nf g u f u g u u U± = ± ;∀ ∈ y la matriz asociada correspondiente es F ± G.

Del mismo modo se define el homomorfismo producto por un escalar fλ tal que

( )( ) ( ) , ,nf u f u u U Kλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈ y su matriz asociada es Fλ .

Con estas operaciones el conjunto de las aplicaciones lineales entre los espacios

vectoriales nU y mV , ( , )n mL U V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo

8


y es isomorfo al espacio vectorial de las matrices de orden m×n, por lo que su dimensión es m ⋅n. Composición de aplicaciones

Sean : n mf U V→ y : m ph V W→ y UB una base de nU y VB una base de mV y WB una

base de pW . Las matrices asociadas a dichos homomorfismos respecto a sus bases son respectivamente:

U VB BF f= y V WB BH h=

Definición: El homomorfismo composición (f compuesto con h)

: n ph f U W→

se define por ( )( ) [ ( )]h f u h f u=

y tiene por matriz asociada H F⋅ . De forma natural en caso de existir la aplicación inversa de f para la composición ,

1f − , su matriz asociada sería la inversa de F, es decir , 1F − .

1.6 Equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L. 1.6.1 Definición de matrices equivalentes, semejantes y congruentes

Definición. Dos matrices , ( )mxnA B M∈ son equivalentes si existen dos matrices P y Q, cuadradas y regulares, de órdenes n y m respectivamente, tales que :

1B Q A P−= ⋅ ⋅

Observación: Dos matrices que representen a una misma aplicación lineal pero en distintas bases, son equivalentes, siendo P y Q las matrices de cambio de base (en el siguiente apartado se estudiará esta situación con detalle).

Definición. Dos matrices , ( )nA B M∈ son semejantes si existe una matriz P regular, de orden n, tal que:

1−= ⋅ ⋅B P A P

Observación: Dos matrices que representen al mismo endomorfismo pero en distinta base, son semejantes, siendo P la matriz de cambio de base. Es trivial que las matrices semejantes tienen el mismo determinante.

Definición. Dos matrices , ( )nA B M∈ son congruentes si existe una matriz P regular, de orden n, tal que:

tB P A P= ⋅ ⋅

9

Resumen teórico

Observación: Dos matrices que representen al mismo endomorfismo ortogonal pero en distinta base, son congruentes, siendo P la matriz de cambio de base.

1.6.2 Relación entre matrices asociadas a una misma A.L. en distintas bases.

Sean : n mf U V→ , UB una base de nU , VB una base de mV y U VB BF f= la matriz

asociada a f en dichas bases.

Consideramos ahora las bases 'UB de nU y 'VB de mV respecto a las que la matriz

asociada a f es U VB BF f= ' '' .

La matriz de cambio de base (cuadrada y regular) de 'B a B se denota por ( )'B B: en cada espacio vectorial.

Sea nx U∈ e my V∈

tales que ( )f x y= .

La expresión en forma de matriz columna de x en la base UB viene dada por X, y en

la base 'UB por 'X .

La expresión en forma de matriz columna de y en la base VB viene dada por Y, y en

la base 'VB por 'Y . Las relaciones de cambio de base son:

( )' 'U UX B B X= : ⋅ (1) ( )' 'V VY B B Y= : ⋅ (2)

Por otro lado: Y F X= ⋅ (3), ' ' 'Y F X= ⋅ (4) (relaciones de las matrices asociadas)

Sustituyendo (1) y (2) en (3) se obtiene:

( ) ( )' ' ' 'V V U UB B Y F B B X: ⋅ = ⋅ : ⋅ (5)por lo que

( ) ( )1' ' ' 'V V U UY B B F B B X−= : ⋅ ⋅ : ⋅ (6)

y como la matriz de una aplicación lineal respecto a unas bases dadas es única, comparando (4) y (6) resulta que:

( ) ( )1' ' 'V V U UF B B F B B−= : ⋅ ⋅ :

lo que corrobora la equivalencia de las matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases.

10


EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los espacios vectoriales U y V, estudie si las siguientes aplicaciones f:U→V son lineales:

U = V = a) 3 ( ) / f(x,y,z) = (2x + y, y –z, x + y + z).

U = b) 3 ( ) ; V = 2 ( ) / f(x,y,z) = (2xy, x + 3y – 4z).

U = V = c) ( )nM / f(A) = At – A.

SOLUCIÓN:

Para que la aplicación →f : U V (entre espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo ) sea lineal u homomorfismo debe cumplirse que:

En la práctica se utiliza el teorema de caracterización (T.C.):

Dado que a) → = + − + + 3 3f : ( ) ( )/f(x, y, z) (2x y, y z, x y z)

Utilizando la caracterización anterior

λ µ λ µ λ µ λ µλ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ

λ µ λ

+ = + + + =+ + + + − + + + + + + =+ − + + + + − + + = +

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

f( (x , y , z ) (x , y , z )) f( x x , y y , z z )(2( x x ) ( y y ),( y y ) ( z z ),( x x ) ( y y ) ( z z ))

(2x y , y z , x y z ) (2x y , y z , x y z ) f(x , y , z ) µ 2 2 2f(x , y , z )

para cualquier ∈λ µ , y ∀ ∈ 31 1 1 2 2 2(x , y , z ),(x , y , z ) ( ) por lo que es f una

aplicación lineal

En este caso b) → = 3 2f : ( ) ( )/ (x, y, z) (2xy, x+3y-4z)f

Cuando las coordenadas del vector imagen son expresiones polinómicas podemos utilizar un método intuitivo para el reconocimiento de homomorfismos. Cuando las coordenadas mencionadas son polinomios de términos homogéneos de grado 1 ( lineales) entonces es homomorfismo. Por el contrario si alguna coordenada es no lineal o de grado cero (no nulo), no será aplicación lineal. En este último caso basta encontrar un ejemplo que no cumpla la definición o el T.C.

11

Ejercicios resueltos

⇒ ≠

f(2,0,0)=(0,2)f(1,1,1)=(2,0) f(2,0,0)+f(1,1,1) f(3,1,1)f(3,1,1)=(6,2)

y como consecuencia f no es homomorfismo

c) → = − f : ( ) ( )/f( ) tn nM M A A A

Utilizando el T.C.

λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ

λ µ λ µ

+ = + − + = + − − =

− + − = +

f( ) ( ) ( )

( ) ( ) f( ) f( )

t t t

t t

A B A B A B A B A B

A A B B A B

∀ ∈ ∀ ∈λ µ , ( ), ,nA B M con lo que f es una aplicación lineal.

≈≈≈≈≈≈≈

2. Determine los subespacios Im(f) y N(f) de la siguientes aplicaciones lineales:

f: a) 3 ( ) → 3 ( ) / f(x,y,z) = ( y, 0, x - y - z).

f: b) 1( )P → 1( )P / f(p(x)) = xp’(x) ( 1( )P es el e.v. de los polinomios de grado menor o igual que uno, con indeterminada en x y a coeficientes reales).

SOLUCIÓN:

Hallaremos unas ecuaciones implícitas y una base del N( f ) y de la Im( f ) en cada caso.

De la definición de fa) resulta que

= + +f(x, y, z) x(0,0,1) y(1,0,-1) z(0,0,-1)

por lo que se deduce fácilmente que

Im( f ) = <(1,0,-1), (0,0,1)>

pues (0,0,-1) es proporcional a (0,0,1) y una base de la imagen es pues {(1,0,-1),(0,0,1)}

Para hallar unas ecuaciones implícitas sea (x,y,z) ∈ Im( f ) , por lo que

αα β

α β

== + ⇒ = = − +

x(x,y,z) (1,0,-1) (0,0,1) y 0

z

12


que constituyen las ecuaciones paramétricas de las que eliminando los parámetros obtenemos una ecuación implícita que en este caso es y = 0.

En cuanto al N( f ) ={(x,y,z)/f(x,y,z)=(0,0,0)} nos conduce al sistema =

= =

y 00 0x-y-z 0

de

donde N( f ) ={(x,y,z)/y=0, x = z}={(x,0,x)/x real}=<(1,0,1)>, siendo unas ecuaciones implícitas, y = 0 , x = z y una base, {(1,0,1)}.

En este caso resulta claro que f(ax + b) = ax por lo que Im( fb) ) = <x> = {ax+b / b = 0}, siendo la ecuación implícita, b = 0 y una base de Im( f ), {x}.

De la misma forma N( f ) = {ax+b / f(ax+b) = polinomio idénticamente nulo (P.I.N)}Es decir N( f ) = {ax+b/ ax = 0x+0} = {ax+b/ a = 0} =<1> y de esta forma una base de N( f ) es {1} y una ecuación implícita es a = 0.

≈≈≈≈≈≈≈

3. Clasifique las siguientes aplicaciones lineales:

f: a) ( )nM → ( )nM / f(A) = At + A n≥2.

f: b) 3 ( ) → 2 ( ) / f(x,y,z) = ( x + y, y + z).

f: c) 2 ( ) → 3 ( ) / f(x,y) = ( 2x - y, 2y – x, 2x+2y).

SOLUCIÓN:

a) Dado que A+At es una matriz simétrica entonces Im( f ) = Sn( ) (espacio vectorial de las matrices simétricas).

Por otro lado toda matriz cuadrada real de orden n puede expresarse de forma única como suma de una matriz simétrica mas una antisimétrica, es decir,

Mn( ) = Sn( )⊕ASn( )

Además dim Mn( ) = dim Im( f ) + dim N( f ) = dim Sn( )+ dim N( f ) y de la expresión anterior podemos concluir que N( f ) = ASn( ) por lo que f sólo es endomorfismo *.

Otra forma de llegar al núcleo de f es:

N( f ) ={A∈ Mn( )/A+At = 0 (matriz nula)}={A∈ Mn( )/A= - At} es decir N(f) = ASn( ).

* Como dim Sn( ) = ( 1)

2n n +

y dim ASn( ) = ( 1)

2n n −

resulta obvio el resultado.

13


b) Im(f) = x(1,0) + y(1,1) + z(0,1) =<(1,0), (0,1)> = 2 ( ) como consecuencia f es sobre y dado que las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puede ser biyectiva luego no puede ser inyectiva y por tanto f es epimorfismo.

c) N( f ) = {(x,y)/ 2 0;2 0;2 2 0x y y x x y− = − = + = }={(0,0)} luego f es inyectiva y como las dimensiones de los espacios vectoriales son distintas f no puede ser biyectiva , por tanto f no es sobre y como consecuencia f es monomorfismo. NOTA: Si f :U→V es una aplicación lineal (entre espacios vectoriales de dimensión finita) sabemos que dimU = dim Im(f) + dim N(f). Así pues en el caso en que dimU > dimV , f no puede ser inyectiva (ya que en cualquier caso dim Im(f) ≤ dimV < dimU con lo que dim N(f) ≠

0 y entonces N(f) ≠ { 0

}).Por otro lado si dimU < dimV, f no puede ser sobreyectiva (ya que dim Im(f) ≤ dimU <

dimV ).

≈≈≈≈≈≈≈

4. Dado el endomorfismo f: 2 ( )P → 2 ( )P / f(p(x)) = xp’(x) – p(x), se pide que:

Halle una base y unas ecuaciones implícitas del núcleo y de la a) imagen de f.Determine, de forma razonada, si existe fb) -1.Compruebe si N(f) e Im(f) son suma directa.c)

SOLUCIÓN:

Dado que P2( ) es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos con indeterminada en x y a coeficientes reales, f queda definida por:

f(ax2 +bx+c) = ax2 – c

así pues,

Im( f ) a) 2x ,1= = { ax2 +bx+c / b = 0} (f no es sobre).N( f ) = { ax2 +bx+c / f(ax2 +bx+c) = 0 (PIN)} = { ax2 +bx+c / ax2 – c =

0 (P.I.N)}= { ax2 +bx+c / a = 0, c = 0} x= (f no es inyectiva).

Una base de Im( f ) es { x2 , 1} y una ecuación implícita es b = 0.Una base de N( f ) es {x} y unas ecuaciones implícitas son a = 0 y c = 0.

Puesto que f no es biyectiva , es claro que f no es inversible.b) De las estructuras de Im( f ) y de N( f ) es obvio que Pc) 2( )= Im( f ) ⊕ N( f ).

≈≈≈≈≈≈≈

14


5. Consideremos los endomorfismos f y g sobre el espacio vectorial U(K), con dimensión n, cumpliendo las siguientes condiciones :

f = i – g ( i = aplicación identidad).a)

gb) ( ) 0;u u u u= ⇔ = ∀ ∈

U.g es nilpotente de orden n. (es decir, g c) 1)−n ≠ 0, g n) = 0).

Se pide que:

Demuestre que existe fa. 1− .Halle fb. 1− en función de g.

SOLUCIÓN:

Para que f sea inversible basta ver que es inyectiva pues al ser endomorfismo 1. si es inyectivo es automorfismo.

Veamos pues la inyectividad de f:

Sea u ∈U(K) ;

u ∈N(f)⇔ f(u )= 0

⇔ (por i.) i(u )-g(u )= 0

⇔ u -g(u )= 0

⇔ g(u )=u ⇔

⇔ (por ii.) u= 0

luego N(f) ={ 0

} (es decir, f es inyectiva).

2. Sea f (i + g + g2 + … + gn ) = ( i – g ) ( i + g + g2 + … + gn ) = i – g n +1 = i , pues g es nilpotente de orden n, es decir , g n + 1 = 0 (A.I.N.) , de donde podemos concluir que:

f -1 = i + g + g2 + … + gn

siendo g n = )

...n

g g g

con n∈ .

NOTA: Las siglas A.I.N. significan aplicación idénticamente nula.

≈≈≈≈≈≈≈

6. Determine la aplicación lineal f: 2 ( )P → 3 ( ) tal que:

f(1 – x) = (2, 0 ,0) f(x2 + 2x – 1) = (0, 1, -1) f(2x2 – 1) = (1, -2, 0)

y calcule f(x2 + 4x + 4).

15


SOLUCIÓN:

Puesto que una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita queda unívocamente determinada conociendo las imágenes de una base, utilizaremos este extremo para contestar a la primera pregunta.

El sistema

1 2 3

2 21 , 2 1,2 1u u u

x x x x − + − −

es una base de 2 ( )P (compruébese), es

decir, si p(x) ∈ 2 ( )P , entonces existen tres escalares, , , ∈α β γ , tales que,

p(x) !

1 2 3u u uα β γ= + +

luego f(p(x)) = α f( 1u )+ β f( 2u )+γ f( 3u ) y en el caso que nos ocupa:

x 2 +4x +4 = 223 1u +

173 2u -

73 3u ⇒ f(x 2 +4x +4) =

223

f( 1u )+173

f( 2u )-73

f( 3u )=

=37 31 17, ,3 3 3

−

(haga el lector las pertinentes verificaciones).

NOTA: El signo de exclamación ! indica la unicidad de la expresión a la que se refiere.

≈≈≈≈≈≈≈

7. Sea f el endomorfismo de 3 ( ) , con f(x1,x2,x3) = (y1,y2,y3) de forma que :

y1 = x1 – x2 + x3 y2 = x1 + x2 y3 = x2

que son las ecuaciones del mismo.

Si U1 = {(x1,x2,x3)/ x1 + x2 = 0} y U2 = = {(x1,x2,x3)/ x3 = 0}, calcule:

fa) 1(0)−

.fb) 1− (1,2,1) sin resolver ningún sistema de ecuaciones, sabiendo que f(1,1,1)=(1,2,1).f(Uc) 1) y f(U2).

SOLUCIÓN:

fa) 1(0)−

= N(f) = {( 1 2 3x , x , x ) / f( 1 2 3x , x , x ) = (0,0,0)} y resolviendo el sistema:

16


1 2 3

1 2

2

x x x 0x +x 0x 0

− + ==

=

cuya única solución es la trivial , con lo que N(f) = { 0

}.

Dado que f es monomorfismo, la imagen recíproca de cualquier vector del b) espacio vectorial Im(f ) consta de un solo vector, luego f 1− (1,2,1) = (1,1,1).

Puesto que c)

U1 = {( 1 2 3x , x , x )/ 1 2x +x 0= }={( 1 1 3x , x , x− )/ 1 3x ,x ∈ } = <(1,-1,0),(0,0,1)>

S1 = {(1,-1,0),(0,0,1)} es un sistema generador de U1 , por tanto f(S1) es un s.g. de f(U1) y como f(S1) = {(2,0,-1),(1,0,0)} , resulta que :

f(U1)=<(2,0,-1),(1,0,0)>.

De la misma forma

U2 = {( 1 2 3x , x , x )/ 3x 0= }={( 1 2x , x ,0 )/ 1 2x ,x ∈ } = <(1,0,0),(0,1,0)>

S2 = {(1,0,0),(0,1,0)} es un sistema generador de U2 , por tanto f(S1) es un s.g. de f(U2) y como f(S2) = {(1,1,0),(-1,1,1)} , resulta que :

f(U2)=<(1,1,0),(-1,1,1)>.

≈≈≈≈≈≈≈

8. Dada la aplicación f : 3 ( ) → 2 ( )M / f(x,y,z) = + 0

x yx z

. Estudie si f es

lineal y, en este caso, halle la matriz asociada a dicha aplicación lineal en las bases canónicas.

SOLUCIÓN:

,∀ ∈λ µ y 31 1 1 2 2 2(x ,y ,z ),(x ,y ,z ) ( )∀ ∈ se tiene que

f( 1 1 1 2 2 2(x ,y ,z )+ (x ,y ,z )λ µ )=f( 1 2 1 2 1 2x + x , y + y , z + zλ µ λ µ λ µ )=

= 1 2 1 2

1 2 1 2

x x y y0 ( x x ) ( z z )λ µ λ µ

λ µ λ µ+ +

+ + + = 1 1 2 2

1 1 2 2

x y x y0 x z 0 x z

λ µ

+ + + =

= 1 1 1 2 2 2f (x ,y ,z )+ f(x ,y ,z )λ µ ) lo que prueba que f es una aplicación lineal.

17


Para hallar la matriz asociada a f en las respectivas bases canónicas procederemos

calculando los transformados de la base canónica de 3 ( ) y expresarlos en función de

los vectores de la base canónica de 2 ( )M .

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0f(1,0,0)= 1 0 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

= + + + 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

f(0,1,0)= 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 1

= + + +

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0f(0,0,1)= 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

= + + +

Las columnas de la matriz asociada a f son las constituidas por los coeficientes de las expresiones anteriores (coordenadas de los transformados de los vectores de la base

canónica de 3 ( ) en la base canónica de 2 ( )M ), es decir,

3 M ( )2C C

1 0 00 1 0

f0 0 01 0 1

=

≈≈≈≈≈≈≈

9. Sean las bases B = {(1,1), (1,0)} y B’ = {((1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} de 2 ( ) y 3 ( ) respectivamente.

Consideremos el homomorfismo →2 3: ( ) ( )f definido por:

= −( , ) ( , , )f x y y x x y

Halle la expresión matricial de f en las bases B y B’.

SOLUCIÓN:

Método 1:

Los transformados de los vectores de la base B

11 12 13

21 22 23

f (1,1) (1,1,0) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)f (1,0) (0,1,1) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)

α α αα α α

= = + += = + +

expresados en función de los vectores de la base B’ nos conducen a dos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (ambos compatibles determinados) cuyas únicas soluciones

son, respectivamente, 11 12 13 21 22 23( , , ) (0,1,0); ( , , ) (1,0, 1)α α α α α α= = − y conforman las columnas de la matriz buscada.

18


11 21

' 12 22

13 23

0 1f 1 0

0 1BB

α αα αα α

= = −

Método 2:

Si notamos con C2 y C3 las respectivas bases canónicas de 2 ( ) y de 3 ( ) y tenemos en cuenta que la definición de f nos da los transformados de C2 en función de los vectores de C3

f (1,0) (0,1,1)f (0,1) (1,0, -1)

==

entonces la expresión matricial de f en las bases canónicas es

2 3

0 1f 1 0

1 1C C

= −

por otro lado sean

P = [ B :C2] (matriz de cambio de base de B a C2) y Q = [ B’:C3] (matriz de cambio de base de B’ a C3)

con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases ( B , B’ y C2 , C3 ) es

2 3

1'f fBB C CQ P−= ⋅ ⋅

y dado que de forma obvia 1 11 0

P =

y 1 1 11 1 01 0 0

Q =

, basta hallar

1

0 0 10 1 11 1 0

Q−

= − −

y entonces

19


'

0 0 1 0 1 0 11 1

f 0 1 1 1 0 1 01 0

1 1 0 1 1 0 1BB

= − = − − −

NOTA: La forma de obtener las matrices P y Q es muy sencilla dado que se trata de expresar los vectores de la base B y B’ en función de los vectores de las bases C2 y C3 respectivamente y como los vectores de las bases B y B’ están referidos a las bases canónicas respectivas , las columnas de las matrices de cambio de base están constituidas por las coordenadas, en las bases canónicas, de dichos vectores. Recuerde también el lector que P y Q son matrices regulares.

≈≈≈≈≈≈≈

10. Sea f : 2 ( ) → 4 ( ) la aplicación lineal definida por

f(2,1) = (1,0,-1,3) y f(4,1) = (2,-2,3,1)

Calcule la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas.

SOLUCIÓN:

Método 1:

El hecho de que f(2,1)=(1,0,-1,3)f(4,1)=(2,-2,3,1)

se puede traducir a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas considerando

{ }2 1 2C u ,u= base canónica de 2 ( )

{ }4 1 2 3 4C e , e , e , e=

base canónica de 4 ( )

El sistema queda :

1 2 1 3 4

1 2 1 2 3 4

f(2u +u ) e e 3ef(4u +u ) 2e 2e 3e e

= − += − + +

y aplicando la linealidad de f, se obtiene el sistema

1 2 1 3 4

1 2 1 2 3 4

2f(u )+f(u ) e e 3e4f(u )+f(u ) 2e 2e 3e e

= − += − + +

que es compatible determinado, siendo la solución (a través de sus coordenadas)

20


1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

1f(u ) e e 2e e2

f(u ) 0e 2e 5e 5e

= − + −

= + − +

con lo que

2 4C C

1 021 2f2 51 5

−= − −

Método 2:

Puesto que B2 = {(2,1),(4,1)} es base de 2 ( ) y {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1)} es linealmente independiente, podemos completar este último sistema hasta obtener una

base de 4 ( ) . Sea B4 = {(1,0,-1,3 ),(2,-2,3,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} dicha base completada.

Por otro lado sean

P = [B2:C2] (matriz de cambio de base de B2 a C2) y Q = [B4:C4] (matriz de cambio de base de B4 a C4)

con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases ( B2 , B4 y C2 , C4 ) es

2 4 2 4 2 4 2 4

1 1B B C C C C B Bf Q f P f Q f P− −= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

siendo

2 4

1B B

1 0 1 2 0 00 1 2 4 1 4 0 2 0 01f ;P P ;Q0 0 1 1 1 2 1 3 1 020 0 3 1 0 1

−

− − = = ⇒ = = − −

y finalmente

2 4C C

11 2 0 0 1 0 01 220 2 0 0 0 1 2 1 2f1 3 1 0 0 0 1 2 51

23 1 0 1 0 0 1 5

− − −= = − −− −

≈≈≈≈≈≈≈

21


11. Determine la expresión matricial de la aplicación lineal g f,en las bases

canónicas de 3 ( ) y 4 ( ) , sabiendo que:

f: 3 ( ) → 2 ( ) /f(x,y,z) = (x+y, y+z).

g: 2 ( ) → 4 ( ) /g(x,y) = (x, 2x – y, y – x, y).

SOLUCIÓN:

Método 1: Por composición directa

Dado que (g f)(x,y,z) =g(f(x,y,z)) y utilizando las definiciones de f y g resulta que:

(g f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x+y, y+z) = [(x+y), 2(x+y)-(y+z), (y+z) – (x+y), (y+z)} =

= (x + y , 2x + y – z , z – x , y + z ).

Con lo que de forma clara * se tiene :

3 4C C

1 1 02 1 1

(g f)1 0 10 1 1

− = −

* NOTA: La primera columna está constituida por los coeficientes de x en las ecuaciones coordenadas de (g f), la segunda por los coeficientes de y, y la tercera por los de z. Esto se debe a la obtención de esta matriz respecto de las bases canónicas, en las cuales están dadas las ecuaciones de la composición. Este procedimiento equivale a hallar las coordenadas de los transformados, mediante g f, de los vectores de la base canónica C3, en la canónica C4.

Método 2: Matricialmente

La definición de f nos ofrece de manera directa la matriz asociada a f en la bases C3 C2 :

3 2C C

1 1 0f

0 1 1

=

por otro lado la definición de g también nos da trivialmente la matriz asociada a C2 C4 :

2 4C C

1 02 1

g1 10 1

− = −

22


Entonces la matriz asociada a la composición (g f) en las bases C3 C4 viene dada por el siguiente producto matricial:

3 4 2 4 3 2C C C C C C

1 0 1 1 02 1 1 1 0 2 1 1

(g f) =(g ) (f )1 1 0 1 1 1 0 10 1 0 1 1

− − × = = − −

≈≈≈≈≈≈≈

12. Dado el homomorfismo f: 2 ( ) → 3 ( ) /f(x,y) = (-y, 2x, y) calcule la expresión matricial de f respecto de las bases B = {(1,0), (1,-1)} y B’ =

{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,-1)} de 2 ( ) y 3 ( ) respectivamente.

SOLUCIÓN:

Método 1: Siguiendo el mismo procedimiento del ejercicio 9, hallamos los transformados de los vectores de la base B y los expresamos en función de los vectores de la base B’.

11 12 13

21 22 23

f (1,0) (0,2,0) (1,1,1) (1,1,0) (1,0, 1) 2(1,1,1) 4(1,1,0) 2(1,0, 1)f (1, 1) (1,2, 1) (1,1,1) (1,1,0) (1,0, 1) 2(1,1,1) 4(1,1,0) 1(1,0, 1)

α α αα α α

= = + + − = − + − −− = − = + + − = − + − −

obteniendo

BB'

2 2f 4 4

2 1

− − = − −

Método 2:

Siguiendo los mismos pasos del ejercicio 9 llegamos a que la expresión matricial de f en las bases canónicas es

2 3C C

0 1f 2 0

0 1

− =

por otro lado sean

P = [B:C2] (matriz de cambio de base de B a C2) y Q = [B’:C3] (matriz de cambio de base de B’ a C3)

23


con lo que la relación entre matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases ( B , B’ y C2 , C3 ) es

2 3

-1BB' C Cf Q f P= ⋅ ⋅

y dado que de forma obvia 1 1

P0 1

= − y

1 1 1Q 1 1 0

1 0 1

= −

, basta hallar

1

1 1 1Q 1 2 1

1 1 0

−

− = − − −

y entonces

BB'

1 1 1 0 1 2 21 1

f 1 2 1 2 0 4 40 1

1 1 0 0 1 2 1

− − − − = − − = − − − −

≈≈≈≈≈≈≈

13. Sea f: 2 ( ) →

3 ( ) una aplicación lineal y B, B’ las respectivas bases del ejercicio anterior, siendo la matriz asociada a f en estas bases:

fBB’ =

0 -11 12 3

Calcule la nueva matriz de la aplicación respecto a las bases

B ={(3,2), (4,3)} y B′={(2,1,1), (3,3,1), (2,1,2)}.

Halle también la representación matricial de f respecto a las bases canónicas.

SOLUCIÓN:

Este ejercicio es una aplicación directa de la equivalencia de matrices asociadas a una misma A.L. en distintas bases, cuya relación es:

-1BB'BB'f Q f P= ⋅ ⋅

donde P = B:B y Q = B':B' son las respectivas matrices de cambio de base.

24


La obtención de P pasa por expresar los vectores de la base B en función de los de la base B.

11 12

21 22

(3, 2) (1,0) (1, 1) 5(1,0) 2(1, 1)(4,3) (1,0) (1, 1) 7(1,0) 3(1, 1)

α αα α

= + − = − −= + − = − −

⇒5 7

P2 3

= − −

La obtención de Q -1 = B':B' requiere la expresión de B' en función de B'

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 1 2(1,1,1) (2,1,1) (3,3,1) (2,1,2) (2,1,1) (3,3,1) (2,1,2)3 3 31 1 1(1,1,0) (2,1,1) (3,3,1) (2,1,2) (2,1,1) (3,3,1) (2,1,2)3 3 3

8 1(1,0, 1) (2,1,1) (3,3,1) (2,1,2) (2,1,1) (3,3 3

β β β

β β β

β β β

−= + + = + +

−= + + = + +

−− = + + = +

53,1) (2,1,2)3−

+

⇒

-1

2 1 81Q 1 1 13

2 1 5

− = − −

y aplicando la relación de equivalencia mencionada

BB'

2 1 8 0 1 31 385 71 1f = 1 1 1 1 1 1 22 33 3

2 1 5 2 3 21 27

− − − = − − −

Para hallar la matriz de f en las bases canónicas utilizamos la relación de equivalencia de matrices asociadas a una misma aplicación lineal en distintas bases.

2 3 2 3

-1 -1BB' C C C C BB'f Q f P f Q f P= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

donde P = [ ]2B:C =1 10 1 −

⇒ -1P =1 10 1 −

y Q = [ ]3B':C =1 1 11 1 01 0 1

−

son las

respectivas matrices de cambio de base.

Y aplicando la relación dada:

2 3C C

1 1 1 0 1 3 01 1

f 1 1 0 1 1 1 10 1

1 0 1 2 3 2 2

− = = − − −

≈≈≈≈≈≈≈

AMPLIACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA … · Por último en el séptimo se efectúa el estudio...

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