Ampliación Matemáticas - UNIVERSIDAD DE · PDF fileecuaciones de Bernoulli. a) y...
54
Transcript of Ampliación Matemáticas - UNIVERSIDAD DE · PDF fileecuaciones de Bernoulli. a) y...
Amplia ión de Matemáti asIngenieros Aeronáuti osCurso 2009-10RELACIÓNCOMPLEMENTARIADE EJERCICIOS
Índi e generalE ua iones de primer orden 1E ua iones lineales de orden superior 2Sistemas lineales de e ua iones diferen iales 5E ua iones y sistemas no lineales 9Transformada de Lapla e 12Series de Fourier 15Problemas de Contorno 16E ua iones en Derivadas Par iales 18Variable Compleja 20Números omplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Fun iones analíti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Fun iones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Transforma iones onformes elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Apli a iones a problemas de ontorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Integra ión ompleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Ceros y polos. Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28El teorema de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Apli a ion al ál ulo de integrales reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Ejer i ios que han salido en exámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Algunos Exámenes Re ientes 36
E ua iones de primer orden1. Resuelva las siguientes e ua iones separablesa) (x − 5) dx− y2 dy = 0. b) y′ = (y − 1)/(x + 3). ) y′ = (6x5 − 2x + 1)/(cos(y) + ey).2. Resuelva los siguientes problemas de valor ini ial:a) xyy′ = (x + 1)(y + 1) on y(1) = 0. b) y′ = y tan(x) on y(0) = 1.3. Mediante ambios de variable ade uados, reduz a las siguientes e ua iones a separables yresuélvalas.a) y′ = sen2(x − y + 1). b) (2x− y + 2) dx + (4x− 2y − 1) dy = 0.4. Resuelva las e ua iones siguientes, on un ambio que las transforme en homogéneasa) (y + 2)y′ + (2x + 3y) = 0. b) (x + y)y′ = 2y − 1. ) (−3x + y + 6) + (x + y + 2)y′ = 0.5. Considere la familia de re tas que pasan por el origen. A partir de la e ua ión algebrai ade di ha familia, eliminando el parámetro entre di ha e ua ión y su derivada, obtenga lae ua ión diferen ial de di ha familia. Cambiando en di ha e ua ión y′ por −1/y′ e integrandola e ua ión resultante, obtenga la familia de urvas ortogonales a la familia dada.6. Repitiendo los pasos del ejer i io anterior, obtenga la familia de urvas ortogonales a la familiade ir unferen ias que tienen entro en el eje OX y además pasan por el origen.7. Compruebe que las siguientes e ua iones son diferen iales exa tas y resuélvalas.a) xy′ + y + 4 = 0. b) ey dx + (xey + 2y) dy = 0. ) (2x3 + 3y) dx + (3x + y − 1) dy = 0. d) (x + 2/y) dy + y dx = 0.e) (y − 3x2) dx + (x − 1) dy = 0.8. Resuelva la e ua ión diferen ial y2 + 4yex + 2(y + ex)y′ = 0 sabiendo que tiene un fa torintegrante que sólo depende de x.9. Resuelva la e ua ión diferen ial (1 − (y/x) cos(y/x)) dx + cos(y/x) dy = 0, sabiendo quetiene un fa tor integrante que sólo depende de y/x.10. Dada la e ua ión (2xy − y2 − y) dx + (2xy − x2 − x) dy = 0, resuélvala hallando un fa torintegrante que dependa sólo de xy.11. Resuelva la e ua ión diferen ial (4xy + 3y4) dx + (2x2 + 5xy3) dy = 0 sabiendo que tiene unfa tor integrante de la forma xmyn. 1
12. Resuelva las siguientes e ua iones diferen iales lineales.a) y′ − 2xy = x, on y(0) = 0. b) y′ + y/x = 3x, on y(1) = 2. ) y′ − 2x−1y = x2 cos(x), on y(π2) = 3.13. La e ua ión de primer orden
y′ + p(x)y = q(x)yn, on n ∈ Z, n 6= 0, 1,re ibe el nombre de e ua ión de Bernoulli. Pruebe que el ambio de variable z = y1−n trans-forma la e ua ión de Bernoulli en lineal y resuelva la e ua ión 2y′ − 10y = −5xy3, ony(0) =
√20.14. Resuelva las siguientes e ua iones de Bernoulli.a) y′ = 2x−1y − x2y2, on y(1) = 1. b) xy′ + y = y2 log(x), on y(1) = 1. ) y′ +(2xy−xy3e−x2
) = 0, on y(0) = 1.15. La e ua ión de primer orden y′ = p(x) + q(x)y + r(x)y2 se denomina e ua ión de Ri atti.Pruebe que si se ono e una solu ión parti ular y1(x), la solu ión general tiene la formay1(x)+ z(x), donde z(x) es la solu ión general de una ierta e ua ión de Bernoulli. Aplíqueseeste pro eso a las siguientes e ua iones, sin resolverlas:a) y′ = y
x+ x3y2 − x5. b) y′ = (1 − y)(x + y).16. La e ua ión y′ = A(x)y2+B(x)y+C(x) se llama e ua ión de Ri atti. Suponga que ono emosuna solu ión parti ular y1(x).a) Demuestre que la sustitu ión (v(x) 6= 0) y(x) = y1(x)+ 1
v(x)la transforma en una linealde la forma
v′(x) + [B(x) + 2A(x)y1(x)]v(x) = −A(x)b) Aplique el resultado anterior para en ontrar la solu ión general dey′ + 2xy = 1 + x2 + y2,sabiendo que y1(x) = x es una solu ión parti ular.E ua iones lineales de orden superior1. La e ua ión (2x+1)y′′+(4x−2)y′−8y = 0 tiene una solu ión parti ular de la forma y = eax.Halle la solu ión general redu iendo el orden de la e ua ión.2. Resuelva la e ua ión (x2 +1)y′′−2xy′ +2y = 0, sabiendo que y = Ax2 +Bx+C es solu iónde la e ua ión.3. Las e ua iones (2x−x2)y′′+(x2 −2)y′−2(x−1)y = 0; y′ +y−2ex = 0 tienen una solu ión omún. Cal ule las solu iones generales de ambas.2
4. Hallar la solu ión general de la e ua ión xy′′+2y′+xy = 0, sabiendo que una de sus solu ioneses la solu ión del problema de valor ini ial xy′ + y = cos(x); y(0) = 1.5. Hallar la solu ión de xy′′ + 2y′ − 4xy = 0, sabiendo que tiene solu iones omunes on lae ua ión xy′ + (1 − 2x)y = 0.6. a) Determinar la solu ión de la e ua ión diferen ial y′ = xy−y2
x2 que pasa por el punto (1,1)integrándola omo una e ua ión homogénea.b) Probar que toda e ua ión diferen ial homogénea y′ = −P (y/x)
Q(y/x), es rita en la forma
P (y
x) dx + Q(
y
x) dy = 0, admite omo fa tor integrante a µ(x, y) =
1
xP + yQ. Apli arlo ala resolu ión de la e ua ión diferen ial (y2 − xy) dx + x2 dy = 0. ) Resolver la e ua ión diferen ial y′′ + 1−lnx
x(1+ln x)y′− 1−ln x
x2(1+ln x)y = 0 sabiendo que una solu iónparti ular es la obtenida en el primer apartado.7. Resuelva (1 + x)y′′ + (4x + 5)y′ + (4x + 6)y = e−2x, sabiendo que la e ua ión homogéneaadmite una solu ión de la forma y = eax.8. Considere la e ua ión diferen ial x2y′′ − x(x + 2)y′ + (x + 2)y = 0.a) En ontrar una fun ión f(x) de manera que f(0) = 1, f ′(0) = 1 y tal que la fun ión
y = xf(x) sea solu ión de la e ua ión anterior.b) En ontrar la solu ión general. ) Resolver el problema de valores ini iales
x2y′′ − x(x + 2)y′ + (x + 2)y = x3
y(1) = −1,y′(1) = −2.9. Resuelva las siguientes e ua iones homogéneas de oe ientes onstantes:a) y′′ + y′ − 6y = 0. b) y′′ + 2y′ + y = 0. ) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 5. d) y′′ + 8y = 0.e) y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.10. Resuelva las siguientes e ua iones homogéneas de oe ientes onstantes:a) yIV ) + 4y′′ = 0. b) yIV ) − 6y′′′ + 13y′′ − 12y′ + 4y = 0.11. Obtenga la solu ión general de las siguientes e ua iones no homogéneas de oe ientes on-stantes:a) y′′ − 4y = e2x. b) y′′ − 2y′ + y = x3 − 6x. ) y′′ + 4y = 8sen(2x). d) y′′ + y = exsen(2x).e) y′′ − 2y′ + 5y = 16x3e3x. 3
12. Obtenga la solu ión general de las siguientes e ua iones no homogéneas de oe ientes on-stantes:a) y′′ + 4y = 4 cos(2x) + 6 cos(x) + 8x2 − 4x.b) y′′ − 9y = 2 sen(3x) + 4sen(x) − 25e−2x + 27x3. ) y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 2x2 − 1.13. Resuelva la e ua ión y′′ + b2y = x cos(ax); a, b > 0.14. Resolver la e ua ión y′′ + 2y′ + 2y = e−x sen x on las ondi iones ini iales y(0) = y′(0) = 1.15. Halle la solu ión general de ada una de las siguientes e ua iones, usando el método devaria ión de los parámetros.a) y′′ + y = cosec(x). b) y′′ + 2y′ + 2y = e−x sec(x). ) y′′ + 4y = f(x).16. Una e ua ión de la forma x2y′′ + axy′ + by = 0; a, b ∈ R; x > 0 se denomina e ua iónequidimensional de Euler de segundo orden. Pruebe que el ambio x = et la transforma en unae ua ión on oe ientes onstantes. Use este he ho para resolver las siguientes e ua iones:a) x2y′′ − 4xy′ + 6y = x4 − x2. b) x2y′′ − xy′ + y = x3 log3(x). ) 2x2y′′ + y = x2√
x. d) x3y′′ + 3x2y′ + xy = 1.17. Considere la e ua ión diferen ial x2y′′ − 2y = x3ex.a) En ontrar la solu ión general de la e ua ión sabiendo que una solu ión del problemahomogéneo es y1(x) = x2.b) Resolver el mismo problema suponiendo que no se ono e ninguna solu ión del homogéneo.18. a) Dedu ir la ondi ión que debe veri arse para que la e ua ión M dx + N dy = 0 admitaun fa tor integrante de la forma µ = µ(y). Obtener un fa tor integrante que dependa solode y para la e ua ión (2x − 1) y dx + (x − x2) dy = 0 integrarla y al ular la solu ión y1 dedi ha e ua ión que veri a y1(2) = 2.b) Resolver la e ua ión x2y′′−2xy′+2y = 0 sabiendo que tiene omo solu ión la y1 al uladaen el apartado anterior. ) Resolver la e ua ión x2y′′ − 2xy′ + 2y = x sabiendo que es una e ua ión de Euler.19. Hallar, ha iendo el ambio de variable dependiente y(x) = x−1/2u(x), la solu ión general dela e ua ión y′′ + 1xy′ +
(1 − 1
4x2
)y = x3/2.20. Usando el ambio de variable independiente t = x2, en ontrar la solu ión general de la e ua ión
xy′′ + (4x2 − 1)y′ + 4x3y = 4x5 (x > 0).21. Para para x > 0, usando el ambio de variable independiente x =1
t, en ontrar la solu ióngeneral de las e ua iones:a) x4y′′ + 2x2(1 + x)y′ + y = 1
x2 .b) x4y′′ + 2x2(x − 1)y′ + 5y = 1x
. ) 4x4y′′ + 8x3y′ + y = tg(
12x
). 4
22. Hallar, ha iendo el ambio de variable independiente t = sen x, la solu ión general de lae ua ión y′′ + tg x y′ + cos2x y = 3 cos2x sen x.23. a) En ontrar las fun iones u(x) que ha en que, al apli ar el ambio de variable dependientey(x) = u(x)v(x), a la e ua ión
xy′′ + 2y′ − xy = ex,se obtenga una e ua ión de segundo orden para la nueva fun ión in ógnita v(x) en la que noapare e v′ (es de ir, el oe iente de v′ es nulo).b) Con ualquiera de las fun iones u(x) halladas, apli ar di ho ambio a la e ua ión dada, yresolver la nueva e ua ión obtenida para v(x). ) Desha er el ambio para en ontrar la solu ión general de la e ua ión dada.24. a) En ontrar las fun iones u(x) que ha en que, al apli ar el ambio de variable dependientey(x) = u(x)v(x), a la e ua ión
4(x + 1)2y′′ − 4(x + 1)y′ − (x2 + 2x − 2)y = (x + 1)7/2,se obtenga una e ua ión de segundo orden para la nueva fun ión in ógnita v(x) en la que noapare e v′ (es de ir, el oe iente de v′ es nulo).b) Con ualquiera de las fun iones u(x) halladas, apli ar di ho ambio a la e ua ión dada, yresolver la nueva e ua ión obtenida para v(x). ) Desha er el ambio para en ontrar la solu ión general de la e ua ión dada.Sistemas lineales de e ua iones diferen iales1. Resuelva los siguientes sistemas de e ua iones diferen ialesa) x′ =
[1 14 1
]x,
[c1e
−t
(1−2
)+ c2e
3t
(12
)].b) x
′ =
[1 −15 3
]x,
[c1e
2t
(− cos 2t
cos 2t − 2sen2t
)+ c2e
2t
(−sen2tsen2t + 2 cos 2t
)]. ) x
′ =
[1 123 1
]x,
[c1e
7t
(21
)+ c2e
−5t
(−21
)].d) x
′ =
[1 −11 1
]x,
[c1e
t
(−sentcos t
)+ c2e
t
(cos tsent
)].e) x
′ =
[1 10 1
]x,
[c1e
t
(10
)+ c2e
t
(t1
)].f) x
′ =
[1 22 1
]x,
[c1e
3t
(11
)+ c2e
−t
(−11
)].
5
2. Resuelva los siguientes sistemas de e ua iones diferen ialesa) x′ =
1 −1 43 2 −12 1 −1
x,
c1e
t
−141
+ c2e
3t
121
+ c3e
−2t
−111
.b) x
′ =
5 −4 2−4 5 2
2 2 8
x,
c1
−2−21
+ c2e
9t
12
01
+ c3e
9t
−110
. ) x
′ =
1 −1 01 2 1
−2 1 −1
x,
c1e
t
10−1
+ c2e
2t
−111
+ c3e
−t
127
.d) x
′ =
−1 1 01 −2 10 1 −1
x,
c1
111
+ c2e
−t
10−1
+ c3e
−3t
1−21
.e) x
′ =
1 −3 20 −1 00 −1 −2
x,
c1e
t
100
+ c2e
−t
−5−22
+ c3e
−2t
−203
.f) x
′ =
1 0 −20 1 01 −1 −1
x,
c1e
t
110
+ c2
2 cos t0
cos t + sent
+ c3
2sent0sent − cos t
.3. Resuelva los siguientes problemas de valor ini iala) x
′ =
3 1 −11 3 −13 3 −1
x, x(0) =
1−2−1
,
e2t
1−2−1
.b) x
′ =
3 2 42 0 24 2 3
x, x(0) =
141
,
8
9e8t
212
− 7
9e−t
1−20
− 7
9e−t
0−21
.4. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.
x′ =
[4 1
−2 1
]x +
[0
−2et
], x(0) =
[10
].
[(e3t + e2t − et
−e3t − 2e2t + 3et
)]5. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.x′ =
[4 23 −1
]x−
[154
]te−2t, x(0) =
[1−1
].
[(57e−2t + 2
7e5t − t2
2e−2t + 2te−2t
−87e−2t + e5t
7+ 3t2
2e−2t + te−2t
)]6. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.x′ =
[−1 1−4 3
]x +
[22
]et, x(0) =
[22
].
[et
(2 − t2
2 − 2t − 2t2
)]
6
7. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.x′ =
2 0 10 2 00 0 3
x +
101
e2t, x(0) =
111
.
2e3t − e2t
e2t
2e3t − e2t
8. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.
x′ =
1 1 −1−3 −3 3−2 −2 2
x +
1t0
, x(0) =
101
.
1 + t + t2
2+ t3
6
−t2 − t3
2
1 − t2 − t3
3
9. Resuelva el siguiente problema de valor ini ial no homogéneo al ulando la matriz eAt orre-spondiente.
x′ =
1 1 00 1 00 0 2
x +
1
te−t
0
, x(0) =
000
.
e−t
4(1 + t) + et
4(t − 1)
e−t
4(−1 − 2t) + et
4
0
10. Resuelva la e ua ión x′′′ = 0 expresándola omo un sistema de primer orden y al ulando la orrespondiente matriz eAt. [c1 + c2t + c3
t2
2
]11. Sea la e ua ión diferen ialy4) − 5y′′ − 36y = 0, on y(0) = 1, y′(0) = 3, y′′(0) = 9, y′′′(0) = 27.a) Transformar la e ua ión diferen ial en un sistema lineal de e ua iones diferen iales.b) Obtener la solu ión general del problema utilizando la té ni a matri ial. Determine asimis-mo, la solu ión del problema de valores ini iales. [e3t]12. Hallar la solu ión del problema de valores ini iales
x′(t)y′(t)z′(t)
=
0 2 00 1 11 −2 3
x(t)y(t)z(t)
+
111
,
x(0)y(0)z(0)
=
100
.13. ConsideremosA =
2 3 40 2 30 0 2
, b (t) =
0e2t
0
, x0 =
100
.a) Cal ular una matriz fundamental para el sistema x
′ = Ax.b) Usar el resultado para resolver el problema de valores ini iales
x′ = Ax + b (t) ,
x (0) = x0.7
14. Resolver el siguiente problema de valores ini ialesdx
dt=
2 1 11 2 1
−2 −2 −1
x +
e3t
02e3t
, x(0) =
100
.15. Considere la matriz
A =
a 0 0a 1 a2a 0 2
, on a ∈ R.a) En uentre, según los valores de a, una matriz fundamental del sistema x
′ = Ax.b) Para a = 0, resuelva el problema de valor ini ial
x′ = Ax + b(t)
x(0) = x0, on b(t) =
cos(t)et
e2t
y x0 =
100
.16. a) ¾Puede ser la matriz F (t) dada por
F (t) = e2t
1 t 3t − t2
20 1 −t0 0 1
una matriz fundamental de algún sistema de la forma x
′ = Ax? Razone la respuesta y, en aso armativo, al ule la matriz A del sistema.b) Dado el sistema lineal x′ = Ax, dene el on epto de matriz exponen ial eAt on t ∈ Ry pruebe que eAt = Φ(t)(Φ(0))−1 siendo Φ(t) ualquier matriz fundamental del sistema. ) DadosA =
2 1 30 2 −10 0 2
y x0 =
121
se pide: .1) Dedu ir una matriz fundamental del sistema x′ = Ax. .2) Obtener la matriz eAt on t ∈ R. .3) Resolver el sistema
x′ = Ax
x(0) = x0.17. Consideremos la matriz A =
a 0 0−a + 1 2 1a − 1 −1 0
, on a ∈ R. Se pide:a) En ontrar según los valores de a, una matriz fundamental del sistema X
′
= AX.8
b) Para a = 1, resolver el problema de valor ini ial:
X′
= AX + b(t),X(0) = X0,
on b(t) =
e2t
et
et
y X0 =
000
.18. Consideremos la matriz A =
1 0 0a − 1 1 1 − a1 − a 0 a
, on a ∈ R. Se pide:a) En ontrar, según los valores de a, una matriz fundamental del sistema X
′
= AX.b) Para a = 2, resolver el problema de valor ini ial.
X′
= AX + b(t),X(0) = X0,
on b(t) =
1et
1
y X0 =
101
.19. Considere el sistema de e ua iones diferen iales ordinarias on oe ientes onstantes x′ = Axdonde A es una matriz uadrada real.a) Dena matriz fundamental de solu iones de di ho sistema. Dena eAt. Pruebe que eAt esuna matriz fundamental de solu iones del sistema dado.b) Pruebe que, siendo X(t) una matriz fundamental de solu iones ualquiera, se tiene queeAt = X(t) X(0)−1. ) Como apli a ión, al ule eAt siendo
A =
λ 1 00 λ 10 0 λ
, donde λ ∈ R.E ua iones y sistemas no lineales1. Sin resolver las siguientes e ua iones autónomas, obtenga sus equilibrios, determine sus es-tabilidades, represente el ujo en la re ta y dibuje esquemáti amente sus solu iones frente altiempo:x′ = x, x′ = −x, x′ = cos(x),x′ = sen(x), x′ = x − x3, x′ = x3 − x.2. Obtenga expresiones de las traye torias del sistema
x′ = ey
y′ = ey cos(x)3. Obtenga y resuelva la e ua ión diferen ial de las traye torias del sistema
x′ = y(1 + x2 + y2)y′ = xy(1 + x2 + y2)Indique los puntos ríti os. 9
4. Representar el plano de fases de los siguientes sistemas linealesx =
[8 147 1
]x, x =
[2 0
−5 −3
]x, x =
[11 −23 4
]x, x =
[0 −11 −1
]x,
x =
[7 −510 −3
]x, x =
[5 −41 1
]x, x =
[−3 −1
1 −5
]x, x =
[0 −41 0
]x.
x =
[11 −23 4
]x +
[−179
], x =
[7 −510 −3
]x +
[27
].5. Obtenga y resuelva la e ua ión diferen ial de las traye torias del sistema
x′ = y(1 − x2 − y2)y′ = x(1 − x2 − y2)Indique los puntos ríti os. Anali e los aislados. Esbo e el plano de fases.6. Esbo e el plano de fases y obtenga la e ua ión artesiana de las urvas que ontienen a lastraye torias del sistema
x′ = y(1 − x)y′ = 1 − y2Cal ule la solu ión del sistema tal que x(0) = 2, y(0) = 0.7. Determine la ongura ión y la estabilidad de los puntos ríti os del sistema
x′ = −3y + xy − 4y′ = y2 − x28. Determine la ongura ión y la estabilidad de los puntos ríti os del sistema
x′ = x(1 − y2)y′ = y9. Determine la ongura ión y la estabilidad de los puntos ríti os del sistema
x′ = (2 − x − 2y)xy′ = (2 − 2x − y)y10. Esbo e el plano de fases del sistema
x′ = x2 + y2 − 1y′ = x2 − y211. Esbo e el plano de fases del sistema
x′ = x − yy′ = 4x2 + 2y2 − 6
10
12. Esbo e el plano de fases del sistema
x = y2 − 3x + 2y = x2 − y213. Esbo e el plano de fases del sistema
x = x2 + 2xy + y2 − 1y = x2 − 2xy + y2 − 114. El sistema no lineal
x = x(3 − x − y)y = y(x − 1)representa el modelo de Lotka-Volterra para una pobla ión de zorros (y(t), en ientos) y onejos (x(t), en miles), que habitan en un ierto bosque.a) Dibuje el plano de fases del sistema.b) ¾Podría prede ir la evolu ión de una pobla ión de animales que originariamente es de 3000 onejos y 500 zorros? ¾Y si hubiera 1000 zorros y ningún onejo? ¾Y si fueran 1000 los onejosy no hubiera zorros?15. Obtenga los puntos ríti os del sistema
x′ = (x − a)(y − b)y′ = x + y + cen fun ión de los parámetros a, b, c ∈ R, indi ando su tipo. Dibuje el plano de fases para el aso en que a = 1, b = c = 0.16. Dado el sistema x′ = (1 + x)(1 − y)y′ = x(y2 − 4).Se pide:a) Obtener sus puntos de equilibrio.b) Estudiar la naturaleza de di hos puntos y su estabilidad. ) Ha er un esquema del plano de fases.17. El sistema no lineal modelado por las e ua iones
x′ = x(8 − x − y)y′ = y(x− 3)representa un sistema depredador-presa donde y(t) denota el número de depredadores en ientos y x(t) el número de presas en miles. Se pide:a) Cal ular los puntos de equilibrio o puntos ríti os del sistema.b) Estudiar la ongura ión y estabilidad de di hos puntos. ) Hallar el ampo de dire iones. 11
d) Cal ular, si existen, traye torias u órbitas re tas.e) Ha er un esquema del plano de fases.f) Prede ir la evolu ión de una pobla ión original de 1000 presas y 100 depredadores. ¾Y sila pobla ión original fuese de 1000 presas y ningún depredador?18. Consideremos un sistema depredador-presa modelado por las e ua iones
x′ = x2 − 2x − xyy′ = y2 − 4y + xy.Se pide:a) Cal ular los puntos de equilibrio o puntos ríti os del sistema.b) Estudiar la ongura ión y estabilidad de di hos puntos. ) Hallar el ampo de dire iones.d) Cal ular, si existen, traye torias u órbitas re tas.e) Ha er un esquema del plano de fases.19. Se onsidera el sistema no lineal
x = x2 + y2 − 4y = y(y − x)Cal ular y analizar los puntos de equilibrio o puntos ríti os del sistema, determinando suestabilidad y la ongura ión de las traye torias próximas. Estudiar el ampo de dire iones,pre isando las líneas de tangente verti al y horizontal. Cal ular, si existen, traye torias u órbitasre tas. Ha er un esquema del plano de fases.Transformada de Lapla e1. Cal ule las transformadas de Lapla e de las siguientes fun ionesa) t2 + et sen(2t).
[2s3 + 2
(s−1)2+4
].b) e−tt sen(2t).
[4(s+1)
[(s+1)2+4]2
]. ) sen2 t.
[12s
− s2(s2+4)
].d) sen(2t) sen(5t).
[s
2(s2+9)− s
2(s2+49)
].e) cos(nt) sen(mt), m 6= n.
[n+m
2[s2+(n+m)2]+ m−n
2[s2+(m−n)2]
].f) (t − 2)3u(t − 2).
[6e−2s
s4
].g) e−at(tn + cos(bt)); a, b ∈ R, n ∈ N.
[n!
(s+a)n+1 + s+a(s+a)2+b2
].
12
h) (t + t2) sen at, a ∈ R.
[2a(s3+3s2+a2s−a2)
(s2+a2)3
].i) sen(t)u(t− 2π).
[e−2πs
1+s2
].j) 1
t(1 − cos at), a ∈ R.
[log
√1 +
(as
)2]
.2. Las siguientes fun iones se denen sobre un intervalo y se extienden periódi amente. Cal ulesus transformadas de Lapla e.a) La fun ión de onda uadradaf(t) =
1, 0 ≤ t ≤ a
−1, a < t ≤ 2a
[1
stanh
as
2
]b) La fun ión de onda dentadaf(t) =
t
a, 0 6 t < a.
[1
as2− 1
s(eas − 1)
] ) La fun ión de onda triangularf(t) =
ta
0 < t < a2a−t
aa < t < 2a
[1
as2tanh
as
2
]d) La fun ión de onda sinusoidal re ti adaf(t) = sen
(πt
a
), 0 6 t < a.
[aπ
π2 + a2s2
1
tanh(
as2
)]3. Cal ule las antitransformadas de Lapla e de las siguientes fun iones.a) 1
s2 + s4[t − sen(t)]b) log(1 +
1
s2)
[2t(1 − cos(t)
] ) e−4s 3
s − 2
[3e2(t−4)u(t − 4)
]d) ss2+4s+5
[e−2t cos(t) − 2e−2tsen(t)]e) 2s−1s2+6s+11
e−5s.[(
2e−3(t−5) cos[√
2 (t − 5)] − 7√2e−3(t−5) sen[
√2 (t − 5)]
)u(t − 5)
]4. Cal ule L−1[ s(s2+a2)2
] y L−1[ 1(s2+a2)2
] (a > 0).[
12a
tsen(at)] [ −1
2a2 t cos(at) + 12a3 sen(at)
]5. Resuelva las siguientes e ua iones diferen iales usando la transformada de Lapla e.a) y′′ + y = t; y(0) = 1, y′(0) = −2 [t + cos(t) − 3sen(t)] .b) y′′ − 6y′ + 9y = t2e3t ; y(0) = 2, y′(0) = 6[e3t
(2 + t4
12
)]. ) y′′ − y′ − 2y = 4t2; y(0) = 1, y′(0) = 4 [−2t2 + 2t − 3 + 2e2t + 2e−t] .13
6. Resuelva la e ua ión diferen ial y′′ + b2y = f(t); y(0) = y′(0) = 0 para una fun ión f(t)general y para f(t) = cos(bt).[
1b
∫ t
0f(u)sen(bt − bu)du
] [12b
tsen(bt)].7. Resuelva el siguiente problema de valores ini iales
ty′′′ + ty′ + 2y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0 [t cos t] .8. Resuelva el siguiente problema de valores ini iales on término independiente ontinuo a trozosy′′ + 16y =
cos(4t), 0 ≤ t ≤ π
0, t > π; y(0) = 0, y′(0) = 1.
t + 2
8sen(4t) 0 ≤ t ≤ π
π + 2
8sen(4t) t > π.
9. Resuelva el siguiente problema de valores ini iales on término independiente ontinuo a trozos
y′
+ y =
t, 0 ≤ t ≤ 10, t > 1
; y(0) = 0
[t − 1 + e−t 0 ≤ t ≤ 1
e−t t > 1
].10. La orriente de un ir uito RLC en serie está regida por el problema de valor ini ial
I ′′(t) + 4I(t) = g(t), I(0) = I ′(0) = 0,dondeg(t) =
1, 0 < t < 1−1, 1 < t < 2
0, 2 < t.Determine la orriente en fun ión del tiempo t.11. Resuelva el problema el problema de valores ini iales
y′′ + 4y′ + 4y = f(t) ,siendo f(t) =
t 0 ≤ t ≤ 20 t > 2
, on ondi iones ini iales y(0) = y′(0) = 0.¾Cuál es el valor y(3)?12. a) Sabiendo que f(t) es ontinua on derivada ontinua en R+ y que existen la transformadade Lapla e de f y de su derivada, pruebe que L [f ′(t)] = sL[f(t)] − f(0).b) Cal ule la transformada de Lapla e de cos(at), a ∈ R y usando el apartado anteriordeduz a la transformada de Lapla e de sen(at), a ∈ R.14
) Cal ule la transformada de Lapla e de la fun ión f(t) = eat, a ∈ R.d) Resuelva, usando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′ − 3y′ + 2y = 12e−2t
y(0) = 2, y′(0) = 6.13. a) Pruebe que L [tsen(kt)] =2ks
(s2 + k2)2 .b) Resuelva, usando la transformada de Lapla e, el problema siguiente:
x′′ + 4x = f(t)x(0) = x′(0) = 0donde la fun ión f(t) viene dada por
f(t) =
cos(2t), 0 < t < 2π0, t ≥ 2π.14. a) Sea f(x) una fun ión on transformada de Lapla e F (s) = L[f(x)]. Demuestre que
L[xf(x)] = −F ′(s).b) Resuelva, ha iendo uso de la transformada de Lapla e, el problema de valor ini ial dadopor xy′′ + (2x + 3)y′ + (x + 3)y = 3e−x
y(0) = 0.15. Se onsidera la fun ión f(t) =
t para 0 ≤ t < 11 para t ≥ 1a) Cal ular su transformada de Lapla e F (s) = L (f(t)).b) Dada una fun ión g(t), siendo G(s) = L (g(t)) y u(t) la fun ión es alón unitario, al ular
L (u(t − a)g(t − a)). ) Resolver el problema de valor ini ial: y′′ + y′ − 2y = f(t), y(0) = y′(0) = 0.16. a) Denir la transformada de Lapla e de una fun ión f(t). Hallar la transformada de f(t) =senkt, on k ∈ R.b) Obtener la transformada de t x(t) siendo X(s) la de x(t). ) Denir produ to de onvolu ión de dos fun iones. Dedu ir la fórmula para la transformadadel produ to de onvolu ión.d) Resolver el problema tx′′ − 2x′ + tx = 0, x(0) = 0.Series de Fourier1. Desarrollar las fun iones f(x) = x y g(x) = x2 en serie de Fourier en el intervalo [−1, 1].15
2. Desarrollar las fun iones f(x) = x y g(x) = x2 en serie de Fourier en el intervalo [−π, π].3. Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo [−π, π] la fun iónf(x) =
0, −π < x < 0
sen(x), 0 < x < π .4. Dada la fun ión f(x) = 1 en [0, π], hallara) el desarrollo de Fourier en serie de senos,b) el desarrollo de Fourier en serie de osenos.5. Dada la fun ión f(x) = 1 − cos2(x) en [0, π], hallara) el desarrollo de Fourier en serie de senos,b) el desarrollo de Fourier en serie de osenos.6. Desarrollar en serie de Fourier en el intervalo [−2, 2] la fun iónf(x) =
1, −2 < x < 0x, 0 < x < 2 .7. Desarrollar en serie de Fourier de tipo oseno la fun ión
f(x) =
2x, 0 < x < 1
2
2(1 − x), 12
< x < 1 .8. Hallar los desarrollos en serie de Fourier de la fun ión f(x) = |x|a) en el intervalo [−1, 1],b) en serie de senos en el intervalo [0, 1], ) en serie de osenos en el intervalo [0, 1].9. Dada la fun ión f(x) = 1 en [0, π], hallara) el desarrollo de Fourier en serie de senos de semimúltiplos impares,b) el desarrollo de Fourier en serie de osenos de semimúltiplos impares.Problemas de Contorno1. Siendo L > 0 en ontrar los autovalores y las autofun iones de los problemas de ontorno dee ua ión y′′ + λy = 0 on ondi iones de ontornoa) y′(0) = 0 = y(1), b) y′(0) = 0 = y′(π), ) y(0) = 0 = y′(2), d) y(0) = 0 = y(L),e) y(0) = 0 = y′(2), f) y(−π) = 0 = y(π),g) y(−π) = 0 = y′(π), h) y′(−L) = 0 = y′(L),i) y(−L) = y(L), y′(−L) = y′(L), j) y(0) = 0 = y(L) + τy′(L), τ > 0.16
2. Resolver los siguientes problemas de ontorno on ondi iones homogéneas por el métodoespe tral, analizando la existen ia y uni idad de solu ión. Comparar on el resultado que seobtendría integrando explí itamente la e ua ión diferen ial y apli ando posteriormente las ondi iones de ontorno.a) y′′ = −1, y(0) = y(1) = 0, b) y′′ = −1, y(0) = y′(1) = 0, ) y′′ = −1, y(0)′ = y′(1) = 0, d) y′′ = x, y(0) = y(1) = 0,e) y′′ = x, y(0) = y′(1) = 0, f) y′′ = x, y(0)′ = y′(1) = 0,g) y′′ = 2x − 1, y(0)′ = y′(1) = 0, h) y′′ + y = cos(x), y(0) = y(π) = 0,i) y′′ + y = cos(x/2), y(0) = y(π) = 0, j) y′′ + 4y = cos(x), y(0) = y(π) = 0,3. Según los valores de k real, resolver los siguientes problemas de ontorno on ondi ioneshomogéneas por el método espe tral, analizando la existen ia y uni idad de solu ión.a) y′′ + ky = −1, y(0) = y(1) = 0, b) y′′ + ky = −1, y(0) = y′(1) = 0, ) y′′ + ky = −1, y(0)′ = y′(1) = 0, d) y′′ + ky = cos(x), y(0) = y(π) = 0,e) y′′ + ky = cos(x), y′(0) = y′(π) = 0, f) y′′ + ky = sen(x), y(0) = y(π) = 0.4. Según los valores de k real, resolver el siguiente problema de ontorno on ondi iones ho-mogéneas por el método espe tral, analizando la existen ia y uni idad de solu ión.
y′′ + ky =
−1, 0 < x < π/2,
1, π/2 < x < π,y(0) = y(π) = 05. Siendo L > 0 y según los valores de k real, resolver el siguiente problema de ontorno on ondi iones homogéneas por el método espe tral, analizando la existen ia y uni idad desolu ión.
y′′ + ky =
x, 0 < x < L/2,
L − x, L/2 < x < L,y′(0) = y(L) = 06. Redu ir el siguiente problema de ontorno a uno on ondi iones homogéneas y resolverlo,según los valores de k real, por el método espe tral.
y′′ + ky = 1y(0) = 2, y(1) = 17. Redu ir el siguiente problema de ontorno a uno on ondi iones homogéneas y resolverlo,según los valores de k real, por el método espe tral.
y′′ + ky = 0y(0)′ = 2, y′(1) = 18. Redu ir el siguiente problema de ontorno a uno on ondi iones homogéneas y resolverlo,según los valores de k real, por el método espe tral.
y′′ + ky = xy(0) = 2, y′(1) = 117
E ua iones en Derivadas Par iales1. Resuelva la e ua ión del alor en [0, 50] para las siguientes ondi iones de ontorno e ini ialesu(0, t) = u(50, t) = 0,
u(x, 0) = 100 .2. Resuelva la e ua ión del alor en [0, π] para las siguientes ondi iones de ontorno e ini ialesu(x, 0) =
0, 0 < x <π
21,
π
2< x < π
.
∂u
∂x(0, t) =
∂u
∂x(π, t) = 0, t > 0.3. Resuelva la e ua ión del alor en [0, L] para las siguientes ondi iones de ontorno e ini iales
u(x, 0) = 1 + x, 0 < x < L.
∂u
∂x(0, t) =
∂u
∂x(L, t) = 0, t > 0.4. Considere una varilla lateralmente aislada, on longitud L = 50 y difusividad térmi a k = 1que tiene una temperatura ini ial de u(x, 0) = 0 y temperaturas en los extremos u(0, t) = 0,
u(50, t) = 100. En uentre la temperatura u(x, t).[Nota: ver problema 17 de E+P pag 6295. Resuelva la siguiente variante de la e ua ión del alor∂u
∂t= k
∂2u
∂x2+ αu, k > 0, α ∈ R; on las siguientes ondi iones de ontorno e ini iales
u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 1, 0 < x < π.6. Resuelva la siguiente variante de la e ua ión del alor∂u
∂t= k
∂2u
∂x2+ 2, k > 0, on las siguientes ondi iones de ontorno e ini iales
u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, 0 < x < π.
18
7. Resuelva el problema de e ua iones en derivadas par iales
uxx = 2utt 0 < x < 1, t > 0,u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = 0, 0 < x < 1,ut(x, 0) = cos (πx) , 0 < x < 1.8. Resuelva la e ua ión de ondas en el intervalo [0, π] on las ondi iones de ontorno e ini ialesque se indi an
uxx = utt 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0,u(π, t) = 0,
u(x, 0) =
x, 0 < x < π4,
π
4, π
4< x < 3π
4,
π − x, 3π4
< x < π ,ut(x, 0) = 0.9. Resuelva la e ua ión de ondas en el intervalo [0, π] on las ondi iones de ontorno e ini ialesque se indi anuxx = utt 0 < x < π, t > 0,u(0, t) = 0, u(π, t) = 0,u(x, 0) = sen(x) − 2 sen(3x),ut(x, 0) = 3 sen(2x).10. Una uerda elásti a sujeta en los extremos ( u(0, t) = u(L, t) = 0) bajo la inuen ia de lagravedad veri a la siguiente e ua ión en derivadas par iales
utt = a2uxx − g 0 < x < L, t > 0.a) En uentre la solu ión esta ionaria φ(x).b) Resolver el problema que surge uando se añaden las ondi iones u(x, 0) = 0 y ut(x, 0) =0 a la e ua ión anterior.11. Resuelva el siguiente problema de Diri hlet en el uadrado [0, π] × [0, π]
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0
u(x, 0) = πx − x2, u(x, π) = 0, 0 < x < π.
u(0, y) = u(π, y) = 0, 0 < y < π.12. Resuelva el siguiente problema de Diri hlet en el uadrado [0, π] × [0, π]
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2= 0
u(x, 0) = 0, u(x, π) = sen(x), 0 < x < π.
u(0, y) = 0, u(π, y) = sen(y), 0 < y < π.19
13. La fun ión u(x, y) satisfa e la e ua iónuxx + uyy = a2u(donde a es un parámetro real) en el interior del uadrado de lado unidad y de vérti es
O = (0, 0), A = (0, 1), B = (1, 0) y C = (1, 1). La fun ión u se anula en los lados OA, OBy BC, mientras que en el lado AC vale sen(4πx). Hallar el valor de la fun ión u en el entrodel uadrado.14. Resuelva el problema de Diri hlet para el ír ulo unidad on las siguientes fun iones de ontornoa) f(θ) =
T0 0 < θ < π−T0 π < θ < 2πb) f(θ) = θ, −π < θ < π.Variable ComplejaNúmeros omplejos.1. Compruebe quea) 5
(1 − i)(2 − i)(3 − i)=
i
2, b) 1 + 2i
3 − 4i+
2 − i
5i= −2
5, ) (3 + i)(3 − i)
(1
5+
i
10
)= 2 + i.2. Pruebe que z es real si y sólo si z = z. Pruebe que z es real o imaginario puro si y sólo si
z2 = z2.3. Pruebe que √2 |z| ≥ |Rez| + |Imz| .4. Sean z, w ∈ C. Pruebe quea) |z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2 .b) |z − w|2 = |z|2 − 2Re(zw) + |w|2 . ) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2). (Ley del paralelogramo).5. Pruebe que 1
35≤
∣∣∣∣1
z4 − 4z2 + 3
∣∣∣∣ ≤1
3para |z| = 2. Observe que en z = ±2 y en z = ±2i seal anzan las igualdades.6. Obtenga un valor de arg z paraa) z =
−2
1 +√
3i, b) z =
i
−2 − 2i, ) z = (1 +
√3i)−10.
20
7. Pruebe que si Rez1 > 0 y Rez2 > 0, enton es Arg(z1z2) = Arg(z1) + Arg(z2). ¾Es ierto elresultado, en general?8. Deduz a quea) cos(3θ) = cos3(θ) − 3 cos(θ)sen2(θ), θ ∈ R.b) sen(3θ) = 3 cos2(θ)sen(θ) − sen3(θ), θ ∈ R.9. Cal ule las siguientes raí es:a) (2i)1
2 , b) 81
6 , ) (−8 − 8√
3i)1
4 .10. Resuelva las siguientes e ua iones:a) z6 + 1 =√
3i, b) z4 + 81 = 0, ) z2 + (i − 2)z + 3 − i = 0.11. Sea a ∈ R y A =√
a2 + 1. Pruebe que las raí es uadradas de a + i son± 1√
2
[√A + a + i
√A − a
].12. Represente geométri amente los onjuntos de números omplejos dados pora) |z + 1| < 1, b) |z + 2i|+ |z − 2i| < 6, ) Im (z2) > 4,d) Im(
1
z
)≤ 4, e) ∣∣∣Argz − π
2
∣∣∣ <π
2, f) z(z + 2) = 3,g) Re(z2) = −1, h) 1 < Re(z) < 3, i) 0 < Re(iz) < 1.13. Determine en téminos de una variable ompleja, la e ua ión de las siguientes urvasa) La ir unferen ia on entro en (−2, 1) y radio 4.b) La elipse on fo os (−3, 0), (3, 0) y uyo eje mayor tiene longitud 10.14. Determine uáles de los siguientes onjuntos son errados, abiertos, dominios y a otados.a) |z − 2 + i| ≤ 1, b) |2z + 3| > 4, ) Imz = 1,d) 0 ≤ Argz ≤ π
4, e) |z − 4| ≥ |z|.15. Determine en ada aso la frontera del onjunto.a) −π < Argz < π, z 6= 0 b) |Rez| < |z|, ) Re(
1
z
)≤ 1
2, z 6= 0, d) Re (z2) > 0.
21
Fun iones analíti as.16. Determine los puntos de dis ontinuidad de las siguientes fun ionesa) Arg(z2).b) h(1 − z2), donde h(reiθ) =√
reiθ/2; r > 0,−π < θ ≤ π. ) Arg(1 − h(z)), donde h(reiθ) =√
reiθ/2; r > 0,−π < θ ≤ π.17. Para ada una de las siguientes fun iones, determine su derivada en el mayor sub onjuntoposible de C.a) f(z) =
[z + 1
z3 − 8
]2
, b) f(x + iy) = x2 + iy2, ) f(z) = zIm(z), d) f(x + iy) = (1 − y2) + i(2xy − y2).18. Pruebe que las úni as fun iones enteras que son de la forma f(x + iy) = u(x) + iv(y) estándadas por f(z) = az + b, a ∈ R, b ∈ C.19. Determine una fun ión v(x, y) tal que u + iv sea una fun ión analíti a en el dominio D quese indi a.a) u(x, y) = 2x(1 − y), D = C.b) u(x, y) =y
x2 + y2, D = C \ 0.20. Sea f(z) una fun ión entera tal que Imf ′(z) = 6x(2y − 1), f(0) = 3 − 2i, f(1) = 6 − 5i.Determine el valor de f(1 + i).Fun iones elementales.21. Cal ule los valores de exp(2 ± 3i) y de exp
(2 + π
4i
).22. Pruebe quea) exp(z) = exp z.b) exp(iz) = exp(iz) si y sólo si z = kπ, k ∈ Z.23. Determine uándo ez es real o imaginario puro.24. Cal ule los valores de log(1 + i), log i, log(−1 + i) y log(i(−1 + i)), señalando el prin ipal.25. Bus ando un ejemplo ade uado ompruebe que, en general,Log(z1z2) 6= Logz1 + Logz2.Pruebe que, sin embargo, si se veri a que −π < Argz1 + Argz2 ≤ π, enton esLog(z1z2) = Logz1 + Logz2.
22
26. Compruebe que el onjunto de valores de log(z1
n ) es el mismo que el de 1n
log z.Pruebe, mediante el ade uado ontraejemplo que, sin embargo, el onjunto de valores delog(z2) no es el mismo que el de 2 log z.27. Pruebe quea) cos(iz) = cos(iz).b) sen(iz) = sen(iz) si y sólo si z = kπi, k ∈ Z.28. Halle todos los valores de ar sen2 y arctan(1 + i).29. Pruebe quea) senh(z1 + z2) = senhz1 cosh z2 + senhz2 cosh z1.b) senh(z + πi) = −senhz. ) cosh(z + πi) = − cosh z.d) tanh(z + πi) = tanh z.30. Resuelva las siguientes e ua iones:a) 1 + i − ez = 0.b) cos z = 2. ) cos z = senz.31. Determine donde es analíti a la fun ión Log(z2 + 4)
z2 + i.32. Determine una fun ión v(x, y) tal que u + iv sea una fun ión analíti a en el dominio D quese indi a, siendo u(x, y) = ln
√x2 + y2, D ≡ Imz > 0.33. a) Probar, utilizando separa ión de variables, que la solu ión del problema
urr + 1rur + 1
r2 uθθ = 0, 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ < 2π,u(r, θ) = u(r, θ + 2π), 0 ≤ r ≤ 1,
u(1, θ) = sen2θ − 2 cos 3θ, 0 ≤ θ ≤ 2π,que permane e a otada para r = 0 viene dada por u(r, θ) = r2sen2θ − 2r3 cos 3θ.b) Dedu ir la expresión de las e ua iones de Cau hy-Riemann en oordenadas polares. ) Hallar una fun ión f(z) analíti a en el dis o unidad uya parte real sea la fun ión u delapartado anterior y tal que f(0) = 2i.Transforma iones onformes elementales.34. Determine T (i), siendo T una transforma ión de Moebius que onvierte 0 en 1, 1 en i y −1en −i.35. Determine la transforma ión de Moebius que onvierte ∞ en 1 + i, i en ∞ y 0 en −i.23
36. Des riba la imagen de la región indi ada mediante la transforma ión de Moebius orrespondi-ente:a) El primer uadrante mediante w =z − i
z + ib) El se tor angular |Argz| < π/4 mediante w =z
z − 1.37. Obtenga la imagen del re tángulo 0 ≤ Rez ≤ π/2, 0 ≤ Imz ≤ 1 mediante la fun ión
w = senz.38. Pruebe que la fun ión w = cosh z apli a la banda semiinnita x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ π del plano zsobre la mitad inferior v ≤ 0 del plano w. Indique las partes orrespondientes a los ontornos.39. Transforme el dis o unidad |z| < 1 sobre la banda |Rez| < 1.40. Transforme la región interior a |z| = 2 y exterior a |z − 1| = 1 sobre Imz > 0.41. Transforme la semibanda 0 < a < Rez < b, Imz > 0 sobre el dis o unidad.42. Transforme el semidis o |z| < 1, Imz > 0 en el primer uadrante Rez > 0, Imz > 0.43. Sea Ω = z ∈ C : 0 ≤ Imz ≤ π/2, Rez ≥ 0.a) Cal ule la imagen de Ω mediante la transforma ión w =1 − ez
1 + ez.b) Obtenga una transforma ión onforme de la semibanda Ω en el semidis o |z| ≤ 1, Imz ≥ 0.Apli a iones a problemas de ontorno.44. Observe que la fun ión Logz transforma el primer uadrante en la banda 0 < Imz < π/2.Resuelva el problema de Diri hlet en el primer uadrante para la fun ión que vale 0 en el ejereal y 1 en el eje imaginario.45. Resuelva el problema de Diri hlet en el semiplano superior para la fun ión dada en el eje realpor
φ(x) =
1, x < 00, x > 0
.46. Resuelva el problema de Diri hlet en el semiplano superior para la fun ión dada en el eje realporφ(x) =
1, |x| < 10, |x| > 1
.47. Resuelva el problema de Diri hlet en el semiplano superior para la fun ión dada en el eje realporφ(x) =
T0, x < −1T1, −1 < x < 1T2, x > 1
24
PSfrag repla ementsD Rez
Imz
C1
C2 C3
1Figura 148. Resuelva el problema de Diri hlet en la región |z| ≤ 1, |z − 1 − i| ≥ 1, para la fun ión de ontorno φ que vale T0 en el ar o de ir unferen ia de entro 0 y T1 en el ar o de ir unferen iade entro 1 + i.49. Resuelva el problema de Diri hlet en el anillo r < |w| < R para la fun ión que vale αr en la ir unferen ia interior y αR en la ir unferen ia exterior.50. Resuelva el problema de Diri hlet en la semibanda dada por |x| < π/2, y > 0 para la fun ióndada en la frontera porφ
(−π
2, y
)= φ
(π
2, y
)= 0, y > 0
φ (x, 0) = 1, |x| <π
2Para ello utili e la transforma ión w = senz.51. Dado el re into D = z ∈ C : |z| < 1, 0 < Arg(z) <2π
3, sea C1 la parte de frontera situadaen el eje real, sea C2 la parte urva de frontera y sea C3 el resto de frontera de di ho re into.Resolver el problema de ontorno
φxx + φyy = 0 para (x, y) en D
φ|C1= 0,
∂φ
∂n
∣∣∣∣C2
= 0, φ|C3= 1.52. Sea D el se tor de 60 del ír ulo unidad dibujado en la gura 1.a) Obtenga la imagen de la región D por la transforma ión T (z) =
z3 − 1
z3 + 1.(Indi a ión: Observe que T se puede expresar omo omposi ión de transforma iones massimples).b) Apli ando el apartado anterior, resuelva el problema de Diri hlet siguiente
φxx + φyy = 0 para (x, y) en el interior de Dφ|C1
= 0, φ|C2= 0, φ|C3
= 1.53. Se onsidera el re intoD =
z ∈ C : |z + i| <
√2, Imz > 0
.25
Sea C = Frontera(D) = L1 + C2, siendo L1 la parte re ta y C2 la parte urva de C.Resolver, utilizando transforma ión onforme, el problema de e ua iones en derivadas par iales:
hxx + hyy = 0 en Dh(x, y) = T1 en L1
h(x, y) = T2 en C2Integra ión ompleja.54. Cal ule las siguientes integralesa) ∫ 2π
0
eimte−int dt, n, m ∈ N, b) ∫ 2
1
(1
t− i
)2
dt.55. Determine primitivas de las fun iones ex cos x y exsenx, separando en parte real e imaginariauna primitiva de la fun ión exp[(1 + i)x].56. Cal ule las integrales ∫
C1
z dz y ∫
C2
z dz,donde C1 es el segmento que une 1 on i y C2 es laquebrada que une estos dos puntos y pasa por 1 + i.57. Cal ule la integral ∫
C
z dz a lo largo de los siguientes ontornosa) La semi ir unferen ia de radio uno, desde -1 a 1, en el semiplano superior.b) La semi ir unferen ia de radio uno, desde -1 a 1, en el semiplano inferior. ) La ir unferen ia C(0, 1), re orrida en sentido positivo.58. Cal ule la integral ∫
C
πeπz dz, donde C es el uadrado on vérti es en los puntos 0, 1, 1 + ie i, orientado en sentido positivo.59. Cal ule las siguientes integrales para un ontorno arbitrario entre los límites de integra ióna) ∫ i/2
i
eπz dz, b) ∫ π+2i
0
cos(z/2) dz, ) ∫ 3
1
(z − 2)3 dz.60. Cal ule las siguientes integralesa) ∫
C+(0,4)
ez
z2 + 4dz.b) ∫
C+(0,r)
cos z
z2(z − 1)dz, r > 0, r 6= 1. ) ∫
C
ez
z2 + 1dz, donde C es |x| + |y| = 1/2, orientado positivamente.d) ∫
C+(0,r)
z
z4 − 1dz, r 6= 1. 26
e) ∫
C+(1,2)
[1
z2 + 1+
1
z2 − z+
1
(z − 1)3
] senz dz.Series.61. Halle la representa ión en serie de M Laurin de las siguientes fun iones:a) z2 cosh(z2), b) z−1(ez − 1), ) z(z4 + 9)−1, d) Log(1 + z2).62. Desarrolle 1
1 − zen serie de Taylor entrada en z = i.63. Derivando el desarrollo en serie de M Laurin de 1
1 − z, obtenga el desarrollo de M Laurin dela fun ión 2
(1 − z)3.64. Integrando la fun ión 1
1 + z2, obtenga la serie de M Laurin de la rama prin ipal de la fun ión
arctan z.65. Desarrolle las fun ionesf(z) =
cos z
z2, g(z) =
1
z2(z − 1), h(z) = e1/z2en serie de Laurent alrededor del origen.66. Desarrolle en serie de Laurent las siguientes fun iones en los dominios que se indi ana) 1
z(z2 + 1)en 0 < |z| < 1 y |z| > 1.b) z
(z + 2)(1 − z)en |z| < 1, 1 < |z| < 2, |z| > 2, |z − 1| > 3, y 0 < |z + 2| < 3.67. Desarrolle en serie de Laurent las siguientes fun iones alrededor del punto que se indi a.Espe ique el dominio de la representa ión.a) z − 1
z + 1, z = 1/2, b) 1
z(z2 + 1), z = i, ) z2
(z − 1)2(z − 2), z = 1, d) sen(z)
(z − 2π)2, z = 2π.68. Halle la parte prin ipal del desarrollo en serie de Laurent de la fun ión
8z3
(z + 1)(z − 1)2en el punto z = +1. 27
69. Obtenga los tres primeros términos signi ativos de la serie de Laurent de ez
z(z2 + 1)en
0 < |z| < 1.Ceros y polos. Singularidades aisladas.70. Determine el orden de los eros de las siguientes fun ionesa) z sen z, b) z2 − 9, ) exp(z − 1) − 1, d) 1 − cos z.71. Clasique las singularidades aisladas de las siguientes fun ionesa) (exp(z2) − 1)−1, b) exp(z + (1/z)), ) ez − 1
z(z − 1), d) cos(1/z2)
z2,e) 1
z2+
z5
z3 + z, f) z4 − 1
z3 + 2iz2 − z,g) z
sen z (1 − cos z).El teorema de los residuos.72. Cal ule la integral de f(z) a lo largo de los ontornos que se indi an, positivamente orientadosa) f(z) =
z
sen z (1 − cos z)en C(0,5).b) f(z) =
3(z − 1)2 − 1
z3 − 3z2 + 4z − 2en el re tángulo de lados x = 0, x = 2, y = ±2. ) f(z) =
z
exp(z2) − 1en el uadrado de vérti es ±2 ± 2i.d) f(z) =
ez
z(z2 + π2)en el re tángulo de lados x = ±1, y = ±2π.e) f(z) =
cosh z
z3en el uadrado de vérti es ±2 ± 2i.73. Sea la fun ión f(z) =
Log(1 − z2)
z(ez − 1).a) Clasique las singularidades de f y obtenga los residuos de las singularidades aisladas.b) Determine los dos primeros términos signi ativos de la representa ión de f en serie deLaurent en el dominio 0 < |z| < 1. ) Cal ule ∫
C
f(z)
zdz,donde C denota la ir unferen ia de entro el origen y radio 1/2, orientada positivamente.28
74. Sea la fun ión f(z) = 1Log(z2+4)sen(πz).a) Estudie el dominio de analiti idad de f y determine aquellas singularidades uyos residuosvalen (π log(20))−1.b) Obtenga los tres primeros términos signi ativos de los desarrollos de Laurent de la fun ióng(z) =
1
z2(1 − z)2en los dominios 0 < |z| < 1 y 1 < |z| < ∞. ) Cal ule el valor de la integral de g/f sobre la ir unferen ia de entro 1 y radio 1/2orientada positivamente.75. Se onsidera la fun ión f(z) = otg(πz)
z2a) Estudiar las singularidades de f(z) y al ular los residuos en los polos.b) Siendo Γn la frontera del uadrado de vérti es ± (n + 1
2
)±
(n + 1
2
)i, orientada positiva-mente, al ular ∫
Γn
f(z) dz. ) Sabiendo que | otg(πz)| ≤ 2 en Γn dedu ir que ∞∑n=1
1
n2=
π2
6.76. Se onsidera la fun ión g(z) =
1
(z − i)(z − 2).a) Espe i ar los posibles dominios de onvergen ia de las distintas series de poten ias de zy de z − i que g(z) admite.b) Obtener todos los desarrollos en serie de poten ias men ionados en el apartado anterioren sus respe tivos dominios de onvergen ia, indi ando el valor del residuo de g(z) en z = i. ) Comprobar el valor del residuo obtenido apli ando la fórmula integral de Cau hy.Apli a ion al ál ulo de integrales reales.77. Cal ule el valor de la integral ∫ ∞
0
dx
1 + xn, n ≥ 2,integrando sobre la frontera del se tor ir ular de radio R > 1 y argumento 0 ≤ θ ≤ 2π/n.78. Cal ule el valor de ada una de las integrales reales que siguen integrando, en ada aso,una fun ión ompleja de variable ompleja ade uada, a lo largo de la frontera de un re intoade uado:a) ∫ ∞
0
dx
(1 + x2)n, n ∈ N, b) ∫ ∞
−∞
dx
(x2 + 4x + 5)2, ) ∫ ∞
0
x2 + 1
x4 + 1dx, d) ∫ ∞
−∞
x2
(x2 + a2)2dx, a > 0,e) ∫ π
−π
dt
1 + sen2t, f) ∫ 2π
0
sen(3t)
5 − 3 cos tdt,
29
Ejer i ios que han salido en exámenes.79. Dada la fun iónf(z) =
cosh zsenhz, z ∈ C,se pide:a) Hallar su dominio de analiti idad y lasi ar sus singularidades.b) Obtener los tres primeros términos del desarrollo en serie de f(z) alrededor del origen,indi ando el dominio de onvergen ia de la serie. ) Cal ular ∫
C(0,1)
f(z)dz.80. Probar razonadamente que∫ +∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2 + 2x + 2)dx =
7π
50.81. a) Considere la fun ión de variable ompleja
f(z) =1
z3 + 1.Cal ule el residuo de f en las singularidades situadas en el primer uadrante (x > 0, y > 0).b) Integrando la fun ión f(z) sobre el ontorno de la gura,PSfrag repla ements
Re2πi/3
RezImz
C1
C2
C3
R al ule la siguiente integral real: ∫ ∞
0
dx
x3 + 1.82. Cal ular el valor de la integral
∞∫
0
cos(ax)
(x2 + b2)2dx on a > 0, b > 0.
30
83. Considerar la fun ión ompleja f(z) =Log(1 − z)
z(1 + z). Se pide:a) Hallar el dominio de analiti idad de f(z).b) Estudiar las singularidades aisladas de di ha fun ión y obtener el valor del residuo de f(z)en ada una de ellas. ) Evaluar las integrales
∫
C+
f(z)dz, donde C = z ∈ C : |z| = 1/2 ,
∫
eC+
f(z)dz, donde C = z ∈ C : |z + 1| = 1/2 .d) Obtener el desarrollo de M Laurin de f(z) en el dominio |z| < 1.e) Considerar la serie numéri a real dada por∑
n≥0
bn
2ndonde, para ada n, bn = (−1)n+1
n∑
k=0
(−1)k
k + 1.Analizar si es onvergente o no di ha serie ha iendo uso de algún riterio de onvergen ia paraseries numéri as reales. En aso armativo, ¾a qué valor onverge?.84. Resolver apli ando el Teorema de los Residuos:
∫ ∞
0
dx
1 + x4.85. Dada la fun ión f(z) =
1senz − cos z.a) Estudiar sus singularidades, al ulando los residuos en todas las singularidades aisladas.b) Cal ular la integral ∫
C
f(z)
z2dz siendo C la ir unferen ia unidad, |z| = 1, orientadapositivamente.86. Se onsidera la fun ión f(z) =
ez
z(1 − z)3.a) Determinar las singularidades de f(z) y al ular los residuos en ellas.b) Desarrollar f(z) en las distintas series de Laurent en poten ias de z y de z−1 espe i ando,en ada aso, su ampo de validez y veri ando los residuos al ulados en el apartado anterior. ) Cal ular, usando la fórmula integral de Cau hy, el valor de
∮
C(0,2)
f(z) dzd) Comprobar el resultado al ulando la integral anterior usando el teorema de los residuos.31
87. Se onsidera el re into D = z ∈ C : |z| < R, 0 < Argz < π2. Sea C = Frontera(D) =
L1 + C2 + L3, siendo L1 la parte de C en que es Argz = 0, C2 la parte de C en que |z| = Ry L3 la parte de C en que es Argz = π2Resolver, utilizando transforma ión onforme, el problema de e ua iones en derivadas par iales:
uxx + uyy = 0 en D,u(x, y) = 0 en L1,u(x, y) = U0 en C2,u(x, y) = 0 en L3.88. Se onsidera la fun ión f(z) =
Log(1 − iz
2π
)
z2(eiz + 1 − 2 cos z).a) Obtener todas las solu iones de la e ua ión
eiz + 1 − 2 cos z = 0.b) Determinar el dominio de analiti idad de f(z) y lasi ar sus singularidades. ) Obtener la parte prin ipal del desarrollo en serie de Laurent de f(z) en poten ias de z,espe i ando el ampo de validez del desarrollo.d) Cal ular el valor de ∮
C
f(z) dzsiendo C la ir unferen ia de entro π y radio 4 re orrida en sentido positivo (antihorario).89. Se onsidera el polinomiop(z) = z4 + z3 + z2 + z + 1.a) Cal ular las raí es de p(z). Demostrar que, si zk es una raíz de p(z), enton es
p′(zk) =5
zk(zk − 1).(Indi a ión: Comprobar previamente que p(z) (z − 1) = z5 − 1)b) Determinar y lasi ar las singularidades de la fun ión
f(z) =1
p(z)y obtener los residuos en los polos. ) Cal ular la integral real ∫ ∞
−∞
dx
p(x).
32
90. a) Obtener la transforma ión de Moebius w = T (z) determinada por T (i) = 1, T (0) = i,T (1
2) = i
3.b) Se onsidera el re into D = z ∈ C : |z| < 1, 0 < Argz < π
2. Sea C = Frontera(D) =
L1 + C2 + L3, siendo L1 la parte de C en que es Argz = 0, C2 la parte de C en que |z| = 1y L3 la parte de C en que es Argz = π2. Obtener el re into Ω transformado de D mediante latransforma ión T del apartado anterior, espe i ando también omo se transforma la frontera. ) Resolver, utilizando transforma ión onforme, el problema de e ua iones en derivadaspar iales:
Φxx + Φyy = 0 en D,Φ(x, y) = 100 en L1,Φ(x, y) = 0 en C2,∂Φ
∂n(x, y) = 0 en L3.91. Se onsidera el re into D = z : |z| < 2, |z − 1| > 1, Im(z) < 0. Sea C = Frontera(D) =
C1 + C2 + L3 siendo C1 la parte de frontera en que |z| = 2, C2 la parte de frontera en que|z − 1| = 1 y L3 la parte re ta de la itada frontera.a) Determinar la transforma ión bilineal (o de Moebius) w = T (z) que transforma el re intoD en la semibanda
T (D) = Ω = w : Re(w) < 0, 0 < Im(w) < 1de forma que el transformado del segmento L3 sea el segmento [0, i] .b) Resolver el problema de ontorno
Φxx + Φyy = 0 en D,Φ|C1
= Φ1,Φ|C2
= Φ0,∂Φ∂n
∣∣L3
= 0.92. Se onsidera la fun iónf(z) =
zsenz (1 − cos z).a) Obtener y lasi ar sus singularidades, al ulando los residuos en los polos simples.b) Cal ular la parte singular del desarrollo de Laurent de f(z) en un entorno perforado delorigen, espe i ando el ampo de validez de di ho desarrollo. ) Cal ular la integral ∮
|z|=5f(z) dz on la ir unferen ia re orrida en sentido positivo.93. Obtener el valor de ∫ π
0
dθ
(2 + cos θ)2apli ando el teorema de los residuos.33
94. Determinar la distribu ión de temperaturas en el interior de los siguientes re intos:a) El re into D = x + iy ∈ C : (x + 1)2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0, on la ondi ión de serla temperatura en la frontera igual a T1 en el segmento re tilíneo y a T2 a lo largo de la ir unferen ia.b) El re into D∗ = x + iy ∈ C : (x + 1)2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0, on las ondi iones deser la temperatura en la frontera igual a T1 a lo largo del trozo en que x = 0, igual a T2 a lolargo del trozo de ir unferen ia y on un aislamiento térmi o en el trozo en que es y = 0.95. Se onsidera la fun ión f(z) =1 − cos z
zn(1 + z2).a) Lo alizar las singularidades de la fun ión y lasi arlas según los valores de n ∈ N. Si enalgún punto existe una singularidad evitable, obtener el valor que debe asignarse a la fun iónen di ho punto para que sea analíti a en él.b) Para el aso n = 5, obtener la parte prin ipal del desarrollo de Laurent de f(z) en unentorno perforado de z = 0, espe i ando el ampo de validez de di ho desarrollo. ) Para el aso n = 5, al ular la integral ∮
|z|=rf(z) dz, on la ir unferen ia orientadapositivamente, para los valores de r > 0 distintos de 1.96. a) Sea D ≡ z ∈ C : |Argz| < π
4. Resolver la e ua ión Hxx +Hyy = 0 en D, siendo H = 0en la por ión de la frontera en que |z| < 1 y H = 1 en el resto, transformando el re intomediante z2 y una transforma ión bilineal.b) Sea Ω ≡ z ∈ C : |z| < 1, Imz > 0, |z − 1 − i| > 1. Sean C1, C2 y C3 las por iones defrontera que orresponden, respe tivamente, a |z| = 1, Imz = 0 y |z − 1 − i| = 1. Resolver
Φxx + Φyy = 0, en Ω,∂Φ∂n
∣∣C1
= 0,
Φ|C2= 3,
Φ|C3= 5.97. a) Determinar la transforma ión bilineal w = T (z) tal que
T (1) = −1, T (i) = i, T (0) = ∞.b) Se onsidera el re intoD ≡ z ∈ C : Rez > 0, |z − i| > 1, |z − 1| > 1, Imz > 0junto on su frontera L = frontera(D) = L1 + L2 + L3 + L4, siendo L1 la parte de L enque Rez = 0, L2 la parte en que |z − i| = 1, L3 la parte en que |z − 1| = 1 y L4 la parte enque Imz = 0. Obtener el re into Ω = T (D), transformado de D mediante la transforma iónobtenida en el apartado a), espe i ando también lo que o urre on la frontera. ) Resolver el siguiente problema de ontorno en el re into D del apartado anterior:
Hxx + Hyy = 0 en D,H(x, y) = 0 en L1,∂H∂n
= 0 en L2,H(x, y) = 1 en L3,∂H∂n
= 0 en L4.34
98. a) Dada la fun ión f(z) =1
z (z + 1)2 , obtener, en ada una de sus singularidades, el desa-rrollo en serie de Laurent que propor iona el residuo. Indi ar, en ada aso, el ampo de validezdel desarrollo.b) Dada la fun ión g(z) =Log (1 + z2)
cos πz, determinar sus eros y sus singularidades. Cal ular,para los valores de r que lo permitan, la integral
∮
|z|=r
g(z) dz on la urva re orrida en sentido positivo. ) Cal ular la integral real ∫ +∞
0
xsenx
1 + x2dxutilizando el teorema de los residuos.99. Dado el re into Ω = z ∈ C : |z − 1| > 1, |z − i| > 1, |z − (2 + 2i)| < 2 y siendo Γ1,
Γ2, Γ3 las partes de su frontera orrespondientes a |z − 1| = 1, |z − i| = 1 y |z − (2 + 2i)| = 2respe tivamente, resolvera)
∆Φ = Φxx + Φyy = 0 en ΩΦ = T0 en Γ1
Φ = T1 en Γ2∂
∂nΦ = 0 en Γ3
, b)
∆Φ = 0 en Ω∂∂n
Φ = 0 en Γ1
Φ = T0 en Γ2
Φ = T1 en Γ3
.
35
Algunos Exámenes Re ientesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN SEGUNDO PARCIAL - 06/06/2007Ejer i io 1.Según los valores de k ∈ R y usando el método espe tral, determina razonadamente la existen ia yuni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′ + ky =
1 si x ∈ [0, 1/2],0 si x ∈ (1/2, 1],
y(0) = y′(1) = 0.Obtén la solu ión del problema para k = 2.Ejer i io 2. Resuelve la siguiente e ua ión en derivadas par iales en el uadrado [0, π]× [0, π] onlas ondi iones de ontorno que se indi an.
(1) uxx + uyy = sen(x), 0 < x < π, 0 < y < π,(2) u(0, y) = 0, u(π, y) = 0, 0 < y < π,(3) u(x, 0) = −sen(x), u(x, π) = sen(2x), 0 < x < π.OPCIÓN A En uentra previamente una solu ión uE(x) de las e ua iones (1),(2), realiza el ambio
u(x, y) = v(x, y) + uE(x) y resuelve el problema para v(x, y).OPCIÓN B Usa el método espe tral.Ejer i io 3.a) Obtén los eros de g(z) = ez − e3z y determina su orden.b) Clasi a las singularidades de h(z) =ez − e3z
z2(z4 − π4). ) Cal ula la integral ∮
C+(0,r)
ez
z2(z2 − π2)dz para todos los valores de r > 0 tales que la urva
C+(0, r) no pase por ninguna singularidad.Ejer i io 4.OPCIÓN A Sea D el re into denido por las desigualdades |z| ≤ 1, |z − (1 + i)| ≥ 1 y Re(z) ≥Im(z). Resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = 0 en la por ión de la fronteraen que |z| = 1, H = 1 en la por ión de la frontera en que |z − (1 + i)| = 1 y ∂H∂n
= 0 en elresto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.OPCIÓN B Resuelve la e ua ión Gxx + Gyy = 0 en el re into E = z ∈ C : 0 ≤ Arg(z) ≤ π/3,siendo G = 0 en la por ión de la frontera en que |z| < 1 y G = 1 en el resto de frontera.Para ello usa la fun ión z3 y una transforma ión bilineal.36
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL - 30/06/2007 - PRIMER PARCIALEjer i io 1. Resuelve, según los valores de λ ∈ R, la e ua ión diferen ial y′′(x) − y′(x) + λ(1 −λ)y(x) = x.Ejer i io 2. Resuelve el siguiente problema de valores ini iales:
[x(t)y(t)
]=
[1 11 1
] [x(t)y(t)
]+
[e2t + et
−e2t
],
[x(0)y(0)
]=
[20
].Ejer i io 3. Resuelve, utilizando la transformada de Lapla e el problema de valores ini iales
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) = f(t) =
0, 0 ≤ t < 2π,2( os(t) + sen(t)), 2π ≤ t < 4π,
0, 4π ≤ t,
y(0) = 0, y′(0) = 1.Cal ula el valor de y(π) y de y(5π).Ejer i io 4. Considera el sistema autónomo no lineal x = x(1 − y),y = (y − 2)(y − x).
Cal ula sus equi-librios y analiza su ongura ión. Halla las urvas de pendiente horizontal, las urvas de pendienteverti al y el orrespondiente ampo de dire iones. Determina las órbitas re tas. Haz un esbozo delplano de fases.
37
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL - 30/06/2007 - SEGUNDO PARCIALEjer i io 1.Según los valores de L > 0 y usando el método espe tral, determina razonadamente la existen ia yuni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′(x) + y(x) =
1 si x ∈ [0, L/2],0 si x ∈ (L/2, L],
y(0) = y(L) = 0.Ejer i io 2. Siendo g una fun ión regular ualquiera, onsidera el problema de ontorno para u(x, t):
(1) ut − 4uxx = g(x), 0 < t, 0 < x < 1,(2) ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, 0 < t,(3) u(x, 0) = 0, 0 < x < 1.Determina bajo qué ondi iones hay solu ión esta ionaria de las e ua iones (1) y (2). Resuelve elproblema utilizando el método espe tral.Ejer i io 3.a) Determina los puntos donde la fun ión f(x + iy) = x2 − iy2 es derivable.b) Clasi a las singularidades de z2 + 4Ch(πz) − Sh(πz) − 1
. ) Cal ula la integral real ∫ ∞
−∞
x − 1
x4 + 2x2 + 1dx utilizando el teorema de los residuos.Ejer i io 4. Sea D el re into denido por las siguientes desigualdades: |z| ≤ √
2, |z−√2(1− i)| ≥√
2 y Re(z) + Im(z) ≥ 0. Resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = 2 en la por iónde la frontera en que |z| =√
2, H = 3 en la por ión de la frontera en que Re(z) + Im(z) = 0 y∂H∂n
= 0 en el resto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.
38
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN DE SEPTIEMBRE - 18/09/2007Ejer i io 1. Resuelve la e ua ión diferen ial 2xy dx = (3x2 − y2) dy.a) Mediante el ambio y(x) = xz(x).b) Bus ando un fa tor integrante que sólo dependa de y.Ejer i io 2. Redu e el siguiente problema a uno on ondi iones homogéneas y, usando el métodoespe tral, determina razonadamente la existen ia y uni idad de solu iones, según los valores deK > 0.
y′′(x) + Ky(x) =
1 + Kx si x ∈ [0, 1],Kx si x ∈ (1, 2],
y′(0) = y′(2) = 1.Ejer i io 3.a) Siendo b un número real positivo, determina la transformada inversa de Lapla e de G(s) =s
(s2 + b2)2.b) Resuelve, usando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′(t) + 9y(t) =
cos(3t), 0 ≤ t < π,
0, π ≤ t,y(0) = 0, y′(0) = 1.Cal ula el valor de y(π/2) y de y(2π).Ejer i io 4. Sea D el re into denido por las siguientes desigualdades: |z−2| ≤ 2, Re(z) ≤ Im(z)y Re(z) + Im(z) ≤ 2. Resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = A en la por ión de lafrontera en que |z − 2| = 2, H = B en la por ión de la frontera en que Re(z) = Im(z) y ∂H
∂n= 0en el resto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.
39
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN PRIMER PARCIAL (PRIMERA PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO)- 06/02/2008Ejer i io 1.a) Resuelve la e ua ión (x− 1)y′′(x)− xy′(x) + (4− 2x)y(x) = 0 sabiendo que tiene una solu iónde la forma eαx.b) Resuelve la e ua ión de Euler x2y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = 0.Ejer i io 2. Resuelve, según los valores de a reales, el siguiente problema de valores ini iales:
x(t) =
[a 1a 1
]x(t) +
[1−a
],
x(0) =
[01
].Ejer i io 3. El siguiente sistema orresponde a un os ilador no lineal autónomo on amortiguamien-to:
x = y,y = −3y + 4x − x3.Cal ula sus equilibrios y analiza su ongura ión. Halla las urvas de pendiente horizontal, las urvasde pendiente verti al y el orrespondiente ampo de dire iones. Esboza su plano de fases.Ejer i io 4. Resuelve, utilizando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′(t) + 4y′(t) + 4y(t) =
5 os(t) + 10 sen(t), 0 ≤ t < π,
0, π ≤ t,
y(0) = 1, y′(0) = −2.Expresa la solu ión en ada uno de los intervalos de t: [0, π) y [π, +∞).
40
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICASEGUNDA PARTE EXAMEN DE FEBRERO - 14/02/2008Ejer i io 1. Redu e el siguiente problema a uno on ondi iones homogéneas y, usando el métodoespe tral, determina razonadamente la existen ia y uni idad de solu iones, según los valores deK > 0.
y′′(x) + Ky(x) =
1 + Kx si x ∈ [0, 1],Kx si x ∈ (1, 2],
y′(0) = y′(2) = 1.Ejer i io 2. Resuelve, usando el método espe tral, la siguiente e ua ión en derivadas par iales enel uadrado [0, π] × [0, π] on las ondi iones de ontorno que se indi an.
(1) uxx + uyy = 9 sen(3x), 0 < x < π, 0 < y < π,(2) u(0, y) = 0, u(π, y) = 0, 0 < y < π,(3) u(x, 0) = −sen(3x), u(x, π) = sen(4x), 0 < x < π.Ejer i io 3. Sea D el re into denido por las siguientes desigualdades: |z| ≤ √
2, |z−√2(i−1)| ≥√
2 y Re(z) + Im(z) ≥ 0. Resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = 2 en la por iónde la frontera en que |z| =√
2, H = 3 en la por ión de la frontera en que Re(z) + Im(z) = 0 y∂H∂n
= 0 en el resto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.Ejer i io 4.a) Obtén los eros de Ch(2z) − Sh(2z) − 1 y determina su orden.b) Clasi a las singularidades de Ch(2z) − Sh(2z) − 1
z2(z2 + π2). ) Cal ula la integral real ∫ ∞
−∞
1
x4 + 1dx utilizando el teorema de los residuos.
41
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN SEGUNDO PARCIAL - 11/06/2008Ejer i io 1. Según los valores de k ∈ R y usando el método espe tral, determina razonadamentela existen ia y uni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′ + ky =
1 si x ∈ [0, 2/3],0 si x ∈ (2/3, 1],
y′(0) = y(1) = 0.Ejer i io 2. Siendo g una fun ión regular ualquiera, onsidera el problema de ontorno para u(x, t):
(1) utt − uxx = g(x), 0 < t, 0 < x < π,(2) ux(0, t) = 0, ux(π, t) = 0, 0 < t,(3) u(x, 0) = cos(3x), ut(x, 0) = 0, 0 < x < π.a) Determina bajo qué ondi iones hay solu ión esta ionaria de las e ua iones (1) y (2).b) Para g(x) = 1 + cos(x), resuelve el sistema utilizando el método espe tral.Ejer i io 3.a) Obtén los eros de g(z) = (eiz − cos z)(1 − cos z) y determina su orden.b) Clasi a las singularidades de h(z) =
g(z)
z3(z4 − π4). ) Cal ula la integral ∮
C+(0,r)
h(z)dz para todos los valores de r > 0 tales que la urva C+(0, r)no pase por ninguna singularidad.Ejer i io 4.a) ¾Qué impli a la ondi ión ad − bc 6= 0 para la transforma ión bilineal f(z) =az + b
cz + d?b) Sea D el re into denido por Im(z) ≥ 0, |z| ≥ 1 y |z−3| ≥ 2. Resuelve la e ua ión Hxx+Hyy =
0 en D, siendo H = 4 en la por ión de la frontera en que |z| = 1, H = 7 en la por ión de lafrontera en que |z− 3| = 2 y ∂H∂n
= 0 en el resto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.
42
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL - 09/07/2008 - PRIMER PARCIALEjer i io 1. Considera la e ua ión (3y2 + 4xy)dx + (3xy + 2x2)dy = 0.a) Resuélvela sabiendo que tiene un fa tor integrante de la forma xαyβ.b) Resuélvela omo una e ua ión homogénea.Ejer i io 2. Resuelve, según los valores de a reales, el siguiente problema de valores ini iales:x(t) =
a 0 01 −1 −1 − a1 0 −1
x(t), x(0) =
1 + a11
.Ejer i io 3. Considera el sistema autónomo bidimensional
x = x + y,y = x(y + 2).Cal ula sus equilibrios y analiza su ongura ión. Halla las urvas de pendiente horizontal, las urvasde pendiente verti al y el orrespondiente ampo de dire iones. Determina las posibles órbitas re tas.Esboza su plano de fases.Ejer i io 4. Resuelve, utilizando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′(t) + 2y′(t) + y(t) =
0, 0 ≤ t < π,
2 os(t) + 2 sen(t), π ≤ t < 2π,
−2 os(t) − 2 sen(t), 2π ≤ t,
y(0) = 0, y′(0) = −1.Expresa la solu ión en ada uno de los intervalos de t: [0, π), [π, 2π) y [2π, +∞).
43
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL - 09/07/2008 - SEGUNDO PARCIALEjer i io 1. Determina razonadamente, según los valores de L > 0, la existen ia y uni idad desolu iones del problema de ontorno
y′′(x) + y(x) = 0,y′(0) = y′(L) = 1.Ejer i io 2. Resuelve el siguiente problema de ontorno para u(x, y):
uxx + uyy = 0, 0 < x < π, 0 < y < π,u(0, y) = sen(y), u(π, y) = sen(2y), 0 < y < π,u(x, 0) = sen(x), u(x, π) = sen(2x), 0 < x < π.Ejer i io 3.a) Determina la región donde es analíti a la fun ión Log(ez + 1).b) Clasi a las singularidades de h(z) =
(z − i)(z − 2i)
(1 − Sh(πz) − Ch(πz))2 . ) Cal ula la integral ∮
C+(0,3)
1
z3(1 + z2)dz siendo C+(0, 3) la ir unferen ia entrada en el origeny on radio 3, orientada positivamente.Ejer i io 4.a) ¾Qué impli a la ondi ión ad − bc 6= 0 para la transforma ión bilineal f(z) =
az + b
cz + d?b) Sea D el re into denido por Im(z + i) ≥ 0, |z| ≥ 1 y |z − 1 + i| ≥ 1. Resuelve la e ua ión
Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = H0 en la por ión de la frontera en que |z| = 1, H = H1 en lapor ión de la frontera en que Im(z+i) = 0 y ∂H∂n
= 0 en el resto de frontera. Usa una transforma iónbilineal.
44
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN SEPTIEMBRE - 02/09/2008Ejer i io 1. Sean A =
−1 1 1 + a0 a 00 −1 −1
, x0 =
10−1
y b(t) =
t1−t
.Op ión A: En uentra, según los valores de a reales, la solu ión de x(t) = Ax(t), x(0) = x0.Op ión B: Resuelve, para a = −1, el problema de valores ini iales x(t) = Ax(t) + b(t),x(0) = x0.Ejer i io 2. Resuelve, utilizando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′(t) + 4y′(t) + 4y(t) =
e−2t, 0 ≤ t < π,
0, π ≤ t < 2π, os(t) + 2 sen(t), 2π ≤ t,
y(0) = 0, y′(0) = 0.Expresa la solu ión en ada uno de los siguientes intervalos de t: [0, π), [π, 2π) y [2π, +∞).Ejer i io 3. Según los valores de L > 0 y usando el método espe tral, determina razonadamentela existen ia y uni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′(x) + y(x) = 0,y(0) = −L, y(L) = L.Es ribe la solu ión que se obtiene para L = 1.Ejer i io 4.a) Enun ia el teorema de Cau hy-Goursat.b) Cal ula, lasi a y representa las singularidades de la fun ión h(z) =
z
ez h(z) − eiz os(z). ) Cal ula la integral ∮
C
h(z)dz siendo C la ir unferen ia entrada en el origen y on radio 1,orientada positivamente.
45
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN PRIMER PARCIAL (PRIMERA PARTE DEL EXAMEN DE FEBRERO) 06/02/2009Ejer i io 1. En uentra las traye torias ortogonales a la familia de urvas y2 + 3x2 − 2Cx = 0siendo C un parámetro real.Ejer i io 2. Resuelve (x2 + 2)y′′(x) − 2xy′(x) + 2y(x) = (x2 + 2)2 sabiendo que la e ua iónhomogénea aso iada admite una solu ión de la forma y = Ax + B.Ejer i io 3. Considera el sistema no lineal autónomo x = y − x,y = x3 − x.Cal ula sus equilibrios y analiza su ongura ión. Halla las urvas de pendiente horizontal, las urvas de pendiente verti al y el orrespondiente ampo de dire iones. Determina la existen ia detraye torias re tas. Esboza su plano de fases.Ejer i io 4. Resuelve, utilizando la transformada de Lapla e, el problema de valores ini iales
y′′(t) − 6y′(t) + 9y(t) =
10 os(t) + 30 sen(t) + 12 t2e3t, 0 ≤ t < π,
12 t2e3t, π ≤ t,
y(0) = 2, y′(0) = 6.Expresa la solu ión en ada uno de los intervalos de t: [0, π) y [π, +∞).AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICASEGUNDA PARTE EXAMEN DE FEBRERO - 06/02/2009Ejer i io 1. Determina razonadamente, según los valores de a > 0, la existen ia y uni idad desolu iones del problema de ontorno. y′′(x) + y(x) = 2x,y′(0) = 2, y(a) = π.Ejer i io 2. Resuelve, usando el método espe tral, la siguiente e ua ión en derivadas par iales enel uadrado [0, 1] × [0, 1] on las ondi iones de ontorno que se indi an.
uxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1,ux(0, y) = 0, ux(1, y) = sen(3πy), 0 < y < 1,u(x, 0) = os(πx), u(x, 1) = 1, 0 < x < 1.Ejer i io 3. Sea D el re into denido por las siguientes desigualdades: |z| ≥ 1, |z − 1 + i| ≥ 1y |z − 1 − i| ≥ 1. Resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = A en la por ión de lafrontera en que |z−1+ i| = 1, H = B en la por ión de la frontera en que |z−1− i| = 1 y ∂H
∂n= 0en el resto de frontera. Usa una transforma ión bilineal.Ejer i io 4.a) Dedu e las ondi iones de Cau hy-Riemann en polares a partir de su expresión en artesianas.b) Determina dónde es derivable la fun ión f(z) = Log(1 − z2). ) Obtén y lasi a las singularidades de g(z) =
z2 + 9
(z − i)(1 − Sh(πz) + eπz).
46
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN SEGUNDO PARCIAL - 13/06/2009Ejer i io 1. Según los valores de k ∈ R y usando el método espe tral, determina razonadamentela existen ia y uni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′(x) + ky(x) =
0 si x ∈ [0, 1/3],1 si x ∈ (1/3, 1],
y(0) = y′(1) = 0.Ejer i io 2. Resuelve el siguiente problema de ontorno para u(x, t):
ut − uxx = sen(t) (sen(2x) − x) , 0 < x < π, 0 < t,u(0, t) = 0, u(π, t) = π os(t), 0 < t,u(x, 0) = x, 0 < x < π.Ejer i io 3. Sean D1 el re into denido por |z| ≤ 1, D2 el re into denido por |z + 1 + i| ≤ 1 y
D = D1 ∪ D2.a) Usando una transforma ión bilineal, resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = 3 enla por ión de frontera que orresponde a D1 y H = 6 en la por ión de frontera que orresponde aD2.b) Determina razonadamente qué forma tienen las urvas en las que H es onstante.Ejer i io 4.a) Determina dónde es derivable la fun ión f(x + iy) = y2 + 7 − 2x3i.b) En uentra las singularidades de la fun ión g(z) = Log(iez + 1). ) Sea C = C+(3i, r) la ir unferen ia de entro 3i y radio r, re orrida en sentido positivo. Cal ula,para todos los valores de r > 0 tales que C no pase por ninguna singularidad, la integral
∫
C
ezsen(z − 3i)
z2(z2 + 9)dz.
47
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL (PRIMER PARCIAL) - 07/07/2009Ejer i io 1.1. En uentra, usando el ambio de variable dependiente u(x) = y2(x), la solu ión en formaexplí ita del problema de valores ini iales:
xyy′ + y2 = sen(x),
y(π) = −1.2. En uentra las traye torias ortogonales a la familia uniparamétri a de urvas de e ua ión y3 =cx2.Ejer i io 2.Resuelve, según los valores del parámetro real a ≥ 0, la e ua ión de Euler
x2y′′ + xy′ − a2y = x2 + 1.Ejer i io 3.1. Cal ula la transformada de Lapla e de la fun ión f(t) = te−3tsen(2t).2. Cal ula la transformada de Lapla e del siguiente problema de valores ini iales, sin resolverlo:
y′′ − 3y′ + y =
2t − 1 si 0 ≤ t < 1,0 si t ≥ 1,
y(0) = 1, y′(0) = 2.3. Cal ula la antitransformada de Lapla e de la fun ión G(s) =s2
(s2 + 4)2.4. Cal ula la antitransformada de Lapla e h(t) de la fun ión H(s) =7s − 3
s2 + 2s + 3e−s. Evalúa
h(1/2) y h(2).Ejer i io 4.En uentra, según los valores del parámetro a ∈ R, la solu ión general del sistemax(t) =
[2 a4 2
]x(t).
48
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL (SEGUNDO PARCIAL) - 07/07/2009Ejer i io 1.Según los valores de k ∈ R y usando el método espe tral, determina razonadamente la existen ia yuni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′(x) + ky(x) =
1 si x ∈ [0, π/2],0 si x ∈ (π/2, π],
y(0) = y(π) = 0.Es ribe, siempre que sea posible, las solu iones para k = 0, k = 4 y k = 16.Ejer i io 2.Resuelve el siguiente problema de ontorno para u(x, y):
uxx + uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < π,u(0, y) = 2, u(1, y) = os(3y), 0 < y < π,uy(x, 0) = 0, uy(x, π) = sen(2πx) 0 < x < 1.Ejer i io 3.Sean D1 el re into denido por |z| ≤ 1, D2 el re into denido por |z − 1− i| ≤ 1 y D3 = D1 ∪D2.Sea D la por ión de D3 que veri a la desigualdad |z + 1 − 2i| ≥ 2. Usando una transforma iónbilineal, resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = −3 en la por ión de frontera que orresponde a D1, H = 3 en la por ión de frontera que orresponde a D2 y ∂H
∂n= 0 en el resto defrontera.Ejer i io 4.a) Dedu e las ondi iones de Cau hy-Riemann en polares a partir de su expresión en artesianas.b) Determina los puntos donde la fun ión f(z) = z + Arg∗(ez + i) es dis ontinua, siendo Arg∗ elargumento denido en el intervalo [π/2, 5π/2). ) Cal ula y lasi a las singularidades aisladas de la fun ión
g(z) =(z4 + π4)
(e2z − 1) sen2(z).
49
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN FINAL (TODA LA ASIGNATURA) - 07/07/2009Ejer i io 1.Resuelve, según los valores del parámetro real a ≥ 0, la e ua ión de Eulerx2y′′ + xy′ − a2y = x2 + 1.Ejer i io 2.Según los valores de k ∈ R y usando el método espe tral, determina razonadamente la existen ia yuni idad de solu iones del problema de ontorno
y′′(x) + ky(x) =
1 si x ∈ [0, π/2],0 si x ∈ (π/2, π],
y(0) = y(π) = 0.Es ribe, siempre que sea posible, las solu iones para k = 0, k = 4 y k = 16.Ejer i io 3.1. Cal ula la transformada de Lapla e del siguiente problema de valores ini iales, sin resolverlo:
y′′ − 3y′ + y =
2t − 1 si 0 ≤ t < 1,0 si t ≥ 1,
y(0) = 1, y′(0) = 2.2. Cal ula la antitransformada de Lapla e de la fun ión G(s) =s2
(s2 + 4)2.3. En uentra, según los valores del parámetro real a ≤ 0, la solu ión general de
x(t) =
[2 a4 2
]x(t).Ejer i io 4.Sean D1 el re into denido por |z| ≤ 1, D2 el re into denido por |z − 1− i| ≤ 1 y D3 = D1 ∪D2.Sea D la por ión de D3 que veri a la desigualdad |z + 1 − 2i| ≥ 2. Usando una transforma iónbilineal, resuelve la e ua ión Hxx + Hyy = 0 en D, siendo H = −3 en la por ión de frontera que orresponde a D1, H = 3 en la por ión de frontera que orresponde a D2 y ∂H
∂n= 0 en el resto defrontera.
50
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - INGENIERÍA AERONÁUTICAEXAMEN DE SEPTIEMBRE - 08/09/2009Ejer i io 1.1. Consideremos el problema de valores ini ialesy′ − y2 + y + 2 = 0, y(0) = 3.a) En uentra todas las solu iones de la e ua ión diferen ial anterior de la forma y(x) =
ax + b, on a, b ∈ R.b) Resuelve el problema de valores ini iales mediante el ambio de variable dependientey(x) = 2 +
1
u(x).2. En uentra la solu ión general de la e ua ión
x2y′′(x) + 2x2y′(x) + (x2 − 2)y(x) = x2e−x.Indi a ión: Haz el ambio de variable dependiente y(x) = a(x)z(x), eligiendo la fun ión a(x)para que, en la nueva e ua ión para la fun ión in ógnita z, no aparez a el término z′.Ejer i io 2.1. Sin resolver la e ua iónx′ = x4 − 5x2 + 4,obtén sus equilibrios, determina sus estabilidades, representa el ujo en la re ta y dibujaesquemáti amente sus solu iones frente al tiempo.2. Considera el sistema no lineal autónomo
x′ = 2 + y − x2,y′ = 2x(x − y).Cal ula sus equilibrios, analiza su ongura ión y esboza el plano de fases en las proximidadesde ada uno de ellos.3. Enun iando las propiedades que uses:a) Cal ula la transformada de Lapla e de la fun ión f(t) = 2 cos t sen(2t) e5tu(t − π).b) Cal ula la antitransformada de Lapla e h(t) de la fun ión H(s) =
3s − 5
s2 + 4s + 9e−2s.Evalúa h(1) y h(3).
51
Ejer i io 3. Siendo g(x) una fun ión regular ualquiera, onsidera el siguiente problema de ontornopara u(x, t):
(1) utt − uxx = g(x), 0 < x < 1, 0 < t,(2) ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 2, 0 < t,(3) u(x, 0) = x2 + x, ut(x, 0) = 0, 0 < x < 1.1. Determina las ondi iones que debe veri ar g(x) para que exista solu ión esta ionaria de lase ua iones (1) y (2).2. Para g(x) = 0, resuelve el problema de ontorno usando el método espe tral.Ejer i io 4.1. Sea E la unión de los ír ulos |z| ≤ 1 y |z − 1− i| ≤ 1. Sean D1, D2, D3 y D4 las por ionesde E que veri an las desigualdades respe tivas:
D1 : Re(z) ≥ 0,
D2 : Im(z) ≤ Re(z),
D3 : Re(z) − Im(z) ≤ 1,
D4 : |z − 2 + i| ≤ 2.Representa grá amente ada una de estas uatro regiones Dj , j = 1, 2, 3, 4 y determina si sepuede llevar mediante una transforma ión bilineal a la por ión de ír ulo unidad omprendidaen los tres primeros uadrantes. En los asos en que esto sea posible, indi a qué tres puntostransformarías, así omo sus imágenes, para al ular di ha transforma ión bilineal. Cuando nosea posible obtener di ha transforma ión, expli a razonadamente por qué.2. Cal ula la integral ∫
C+(0,r)
(e4z − 1) os2(z)
z4 − π4dz,para todos los valores de r tales que la ir unferen ia C+(0, r), de entro el origen y radio rre orrida en sentido positivo, no pase por ninguna singularidad del integrando.
52
![Alemania Informe COVID19 VFINAL - basquetrade.spri.eus · / v ( } u ] u } o } À ] r í õ v o u v ] í x /edzk h /me x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/5ee0542bad6a402d666b886c/alemania-informe-covid19-vfinal-v-u-u-o-r-v-o-u-v-.jpg)
