AM MATES 4º

7/24/2019 AM MATES 4

1/35

ESFERA

MAT

EMTI

CAS

ATENCIN

A

LA

DIVERSIDAD

Actividades de ampliacin

AOPCIN

7/24/2019 AM MATES 4

2/35

6. a) 3370 6 12 13

2

4 19 34

97

33

70 6

23

56 4

23

56

9104

457

b) 14

23

614

14 98 38 332

7. a) Donativos subvenciones 38

16

12

34

Cuota 2141del total

16

38

2141

subvencionesdonativos cuotas

b) Cuotas: 15 30 450 , que son 2141 del total

de ingresos. Luego han obtenido 981,82 deingresos en el mes de enero. De subvenciones hanconseguido 163,64 , y de donativos, 368,18 .

8. En una hora llenan 18

112

254de piscina.

Tardarn 1 254 4,8 h 4 h 48 min.

En elCD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.

38ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

AMPLIACIN 1Los alumnos y alumnas de ampliacin deben haber madurado y consolidado todos los conceptos y procedimientostratados a lo largo de la unidad. Deben realizar operaciones con fracciones con soltura, plantear y resolver proble-mas en los que aparecen nmeros racionales con todo el rigor matemtico posible, y relacionar los conceptos tra-tados a lo largo de la unidad para resolver cuestiones terico/prcticas. Para ello, se deben plantear cuestiones yproblemas en los que se mezclen todos estos procedimientos: operar, ordenar fracciones, pasar un nmero decimala forma de fraccin, etc. Los alumnos y alumnas deben relacionar todos los conceptos entre s, y la importancia desaber un concepto para entender otro.

O R I E N T A C I ON E S M E T O D O L G I CA S

Cuadrados mgicos

El profesor dar a los alumnos una serie de cuadrados mgicos o, incluso, se les puede pedir que sean ellosmismos quienes los busquen. En internet hay diversas pginas que tratan sobre los cuadrados mgicos. Sirva deejemplo http://www.geocities.com/chilemat/basica/cuamagfr.htm.El objetivo de la actividad no es solo que los alumnos, por grupos, completen los cuadrados mgicos, sino que

estudien las propiedades de los mismos. Si se multiplica/divide un cuadrado mgico por un nmero, estudiar la relacin existente entre la constantemgica del original y del transformado.

Si se suma/resta un nmero a todas las casillas de un cuadrado mgico, estudiar la relacin existente entre laconstante mgica del original y del transformado.

Si se suman/restan/multiplican/dividen dos cuadrados mgicos (se operan las casillas correspondientes), estudiarla relacin existente entre la suma/resta/multiplicacin/divisin de las constantes mgicas de los originales conla constante mgica del cuadrado mgico resultante.

A C T I V I D A D D E G R U P O

1. Compra: 150 1,50 225

Venta: Trozo 1: 60 Trozo 2: 152 Trozo 2: 152

Beneficio: 60 152 84 225 71

2. Como 330 2 3 5 11, el nmero 47 no puedeser mltiplo de 2, 3, 5 y 11. Luego n. o 9, y elnumerador es 479.

3. Se obtiene la fraccin irreducible. Por ejemplo, m.c.d.

(24, 36) 12, luego 23

46

23es irreducible.

4. a) 34

68

00 3

4 c) 3

7708 2

57

b) 11410

502

23

53 d)

63

23

46

173

5. 0,416v 152 5,1v

496 1,7v

196

1,5v 32 0,72v

11

38 1,05v

11

98

Reduciendo a comn denominador, que es 36, seobtiene:

1

5

2 1

1

3

8 1

1

9

8 3

2 1

9

6

4

9

6

S O L U C I O N E S D E L A S A C T I V I D A D E S P R O P U E S T A S

Nmeros racionales

Atencin a la diversidad

0

16

1

38

1124

e) 85

57

82

32

7/24/2019 AM MATES 4

3/3539 ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

1 Eva compr un trozo de tela de 150 metros a 1,50 euros el metro. Despus, lo vendi de la siguiente manera: 15, a

2 euros el metro. De lo que le quedaba, dos tercios los vendi a 1,9 euros, y el resto, a 2,10 euros el metro.Qu beneficio obtuvo Eva?

2 La fraccin irreducible de un nmero racional es 34370. Halla el valor de la cifra de las unidades del numerador.

3 Si el numerador y el denominador de una fraccin se divide entre el mximo comn divisor de ambos, qu fraccinresulta? Escribe ejemplos.

4 Observa cmo se ha simplificado la siguiente fraccin:

12564436500

22

2

332

3

552 77

2

3

25 37 365

Qu procedimiento se ha seguido? Simplifica del mismo modo las siguientes fracciones.

a) 34

68

00 b)

11410

502 c)

37708 d)

63

23

46 e)

85

57

82

5 Expresa los nmeros decimales en forma de fraccin, y luego reduce las fracciones a comn denominador y ordnalasde mayor a menor.

0,416v 5,1v 1,7v 1,5v 0,72v 1,05v

6 Expresa los nmeros decimales en forma fraccionaria y luego haz las operaciones. Utiliza la jerarqua de operaciones ysimplifica al mximo el resultado.

a)1,23v6 12 0,3v2

212

132

(1,3v )1 97

b)(0,5)2 0,6v 1 343

22 1,125 38

7 Una asociacin de 15 socios ha obtenido en el mes de enero los ingresos de la siguiente manera: 38 de donativos,

16de subvenciones, y el resto, de la cuota de los socios, que pagan 30 euros al mes. Contesta razonadamente a lassiguientes cuestiones.

a)Qu fraccin de los ingresos proviene de las cuotas de los socios? Dibuja sobre una misma recta las fraccionesque representan los ingresos por donativos, subvenciones y cuotas. En vista de la representacin, ordena de ma-yor a menor las fuentes de ingresos.

b)Cules son los ingresos que han obtenido en el mes de enero? Cunto dinero han recaudado de subvenciones?Y de donativos?

8 Un grifo tarda 8 horas en llenar una piscina, y otro, 12 horas. Si se abren los dos grifos a la vez, cunto tardaranen llenar la piscina? Ayuda: halla la parte de la piscina que llenara cada grifo en una hora y la parte de piscina que

llenaran los dos grifos en una hora, si estuvieran abiertos a la vez.

1A C T I V I D A D E S D E A M P L I A C I N

Nmeros racionales


7/24/2019 AM MATES 4

4/3540ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

AMPLIACIN 2Una vez que los alumnos conozcan perfectamente los nmeros reales, sus operaciones, sus propiedades y surepresentacin, es necesario proponer actividades similares a las de la unidad, pero en las que el nivel de dificultadsea superior. Estas actividades deben tener un enunciado similar a las actividades propuestas en clase, pero su

resolucin debe exigir una mayor madurez y claridad en las ideas, ya sea por los clculos y destrezas que haya queaplicar o por la propia dificultad de comprensin de los enunciados.

Hay que tener en cuenta que no se puede considerar un fracaso el encontrar un camino o mtodo que no seasatisfactorio, ya que el propio fracaso en el intento es un buen mtodo de aprendizaje.

Es bueno que aquellos que hayan resuelto satisfactoriamente un problema expliquen a la clase cmo se les ocurriesa idea, por qu eligieron ese procedimiento, e incluso, si vieron otros mtodos o rechazaron otros procesos, porqu lo hicieron.


El nmero de oro

Se divide la clase en grupos de tres o cuatro alumnos. Cada grupo debe investigar cul es el nmero de oro,clasificarlo, redondearlo hasta las dcimas, centsimas y milsimas, e indagar sobre la historia de este nmero. Unavez que los alumnos conozcan el nmero de oro, se har una puesta en comn sobre este curioso nmero.Despus, cada grupo deber razonar las siguientes igualdades: 2 1 y1 1. Ganar el grupo quemenos tarde en demostrar correctamente las dos igualdades.


1. a)El conjunto A pertenecen el 3 y el 4, y al B,ninguno.

b) Infinitos en ambos casos.c)(10, 13)

d)(4, 3)

e)(3, 4)

2. a)| x 2 | 3

b)| x 1 | 4

c)| x 2 | 5

3. a) a

10

b d)

a b

a

2ab

b g)

10

x

9

y

2

b) 26 e)

2

737 h)

6

6

c) aa

bb f)

aab

b2ab i)428

4.

5. a) 3,7

76

81

01

012

15

5,3828 104

b) 93

1100

1

4

0

2 106 3 106 2 106 106

6. a) 19

23 c) 45

b)0 d)166

2

7.

b)La diagonal del cuadrado medir 5y, por tanto,PCUADRADO 45. Aproximamos 5 2,2360679...por 2,236. El error absoluto en el permetro es4 Ea 0,0002716... 1 milsima. LuegoP4 2,236 8,944 cm.

(2,4 108) (1,57 107)

(3,5 109) (2 103)


Nmeros reales



Por exceso 2,83 4,245 7,075Por defecto 2,828 4,24 7,07

22 32 22 32 Error mx.

0,005

V 13 0,3

A 130 0,3

Ea| V A | 310

Er | V

V

A |

110

a)

7/24/2019 AM MATES 4



Nmeros reales


1 Considera los intervalos A [3, 5) y B(7, 8). Tomamos un nmero xperteneciente al intervalo Ay un nmero ycorrespondiente al intervalo B.

a)Cuntos nmeros naturales pertenecen a A? Y a B?b)Cuntos nmeros reales pertenecen a A? Y a B?

c)A qu intervalo pertenecer x y?

d)A qu intervalo pertenecer x y?

e)A qu intervalo pertenecer y x?

2 Halla el valor de ay ren la inecuacin | x a| rpara representar los siguientes conjuntos.

a)Conjunto de los nmeros reales que distan 3 unidades del 2.

b)[5, 3]

c) E(1, 5)

3 Racionaliza y simplifica:

a)5

a

5

b

b2 d)

aa

bb g)

5

x

x3

3

y

y2

b)

32

2

6 e)

2

7

7 h)

23

32

c)a

ab

a

bb

f)

22

aa

22

bb

i)

882

4 Al aproximar un nmero real, se obtiene un error absoluto igual a 310 y un error relativo igual a

110. Halla el

verdadero valor del nmero y el valor aproximado.

5 Expresa los siguientes nmeros en notacin cientfica y resuelve:

a) b)

6 Opera:

a) 122712

3575147 c)81 1420221 1421

b)2

46

2

2 3 d)3

16 4

64 6

256

7 Los lados de un rectngulo miden 2y 3centmetros, respectivamente. Se quiere construir un cuadrado cuyo ladocoincida con la diagonal del rectngulo. Halla:

a)El permetro del rectngulo, con una aproximacin de tres decimales, y el error mximo cometido.

b)El permetro del cuadrado, con un error absoluto menor que una milsima.

90000000000

30000 2000000

0,000000024 0,000000157

0,0000000035 0,002

7/24/2019 AM MATES 4


AMPLIACIN 3Las actividades de ampliacin aqu propuestas van encaminadas a que los alumnos realicen problemas en los quedeben demostrar que han madurado los conceptos y las tcnicas desarrolladas a lo largo de las unidades. Para laresolucin de estos problemas, se requiere una mayor capacidad de relacin y sntesis.

Hay actividades cuya finalidad es que los alumnos adquieran nuevos conceptos relacionados con los polinomios,como, por ejemplo, la nmero 4, en la que se ensea la forma de aplicar la regla de Ruffini para dividir polinomiosentre binomios de la forma ax b.En cualquier caso, las actividades de ampliacin estn orientadas a despertar el inters y la curiosidad por lospolinomios y las distintas situaciones que se pueden plantear al trabajar con ellos.

O R I E N T A C IO N E S M E T O D O L G IC A S

Concurso rpido

Cada alumno de la clase debe tener una hoja dividida en 20 casillas y un rotulador de color. Las casillas irnnumeradas del 1 al 20. El juego consiste en lo siguiente: el profesor lanza una pregunta de respuesta corta yrpida. Por ejemplo: Cul es el grado del monomio 3xy4z? o Es x 1 raz del polinomio P(x) 5x4 3x 2?.Es aconsejable que el profesor escriba en la pizarra los datos importantes de la pregunta, como pueden ser en losejemplos el monomio o el polinomio. Los alumnos, en un tiempo de duracin a criterio del profesor, debernescribir la respuesta en la primera casilla de la hoja. Cuando el tiempo termine, debern dejar de escribir y levantarla hoja, para que el profesor y el resto de compaeros puedan ver la respuesta. Si un alumno no contesta o lo haceincorrectamente, quedar descalificado. Ganar el juego el alumno o los alumnos que contesten las 20 preguntascorrectamente.


1. a)4x6 2x5 3x4 4x3 12x2

34x

34

b) 4x6 x4 5x3 14x2 3x

34

2. a) a4 4a3b6a2b2 4ab3 b4

b) a2 b2 c2 2ab2ac2bc

3. C(x) 12x3 3x2

32x

72; R(x) 2x6

4. a) C(x) x3 2x2 123x

225

R(x) 40

b) C(x) 65x2

75x

151

R(x) 17

5. Por el teorema del resto, el resto de la divisin delpolinomio P(x) ax3 ax2 149 entre x 5coincide con P(5).

P(5) 125a25a149, y P(5) asi a1

6. a)Las races enteras de P(x) se encuentran entre losdivisores del trmino independiente.

ComoP(1),P(1),P(7),P(7) 0, por el teoremadel resto, P(x) no tiene races enteras.

b) P1 22 P1 22 P227

10

Por tanto, los tres son races del polinomio.

c)Como se trata de un polinomio de segundo grado,por el teorema fundamental del lgebra, puedetener como mximo dos races reales. Pero,racionalizando la tercera raz:

22

7

1 22 1

Por tanto, ambas expresiones son la misma raz,por lo que el polinomio slo tiene dos racesdistintas y, por ello, el resultado no se contradicecon el teorema fundamental del lgebra.


Polinomios



722 1

22 122 1

7/24/2019 AM MATES 4



Polinomios


1 Sea P(x) x2 32x1 y Q(x) 2x3

12. Realiza las siguientes operaciones.

a)[P(x) Q(x)] Q(x)

b)[P(x) Q(x)] [P(x) Q(x)]

2 Averigua el resultado de las siguientes operaciones, que constituyen otras identidades notables.

a)(a b)4

b)(a b c)2

3 Efecta la siguiente divisin de polinomios y comprueba el resultado usando la expresin D(x) d(x) C(x) R(x).

(x5 6x4 2x3 x2 x1) (2x2 2)

4 Como ya sabes, la regla de Ruffini sirve para dividir polinomios entre binomios de la formax a, pero tambin sepuede aplicar para efectuar la divisin del polinomio P(x) x4 3x2 2x 5 entre el binomio 2x 6, de lasiguiente forma.

1.Transformamos el binomio 2x 6 en un binomio de la formax a; para ello basta con dividirlo entre 2. As,obtenemos el binomiox 3.

(x4 3x2 2x 5) (2x 6) (x4 3x2 2x 5) (x 3)

2.Aplicamos la regla de Ruffini con el nuevo divisor.

En este caso, C(x) x3 3x2 6x 20, y R(x) 55.

3.El cociente de la divisin inicial ser el cociente de esta divisin dividido por 2 (el nmero por el que hemos divididoel divisor inicial), y el resto no vara.

Cocientex3 3x2 6x 20 x3 x2 3x 10 y Resto 55

Ahora, calcula el cociente y el resto, usando la regla de Ruffini, en las siguientes divisiones.

a)(2x4 5x2 x10) (2x4)

b)(6x3

5x2

3x5)

(5x10)

5 Halla el valor de apara que la divisin (ax3 ax2 149) (x5) tenga de resto a.

6 Se considera el polinomioP(x) x2 2x7.

a)Comprueba que no tiene races enteras.

b)Demuestra que 1 22, 1 22y22

7

1 son races del polinomio.

P(x) es de grado 2, y en el apartado anterior has comprobado que tiene tres races reales. Se contradice estehecho con el teorema fundamental del lgebra?

3 1 0 3 2 5

3 1 3 9 18 60

3 1 3 6 20 55

7/24/2019 AM MATES 4


AMPLIACIN 4Presentamos a continuacin una seleccin de ejercicios y problemas de profundizacin de ecuaciones e inecuaciones.Esta pequea coleccin se puede completar con ms ejercicios similares en funcin del tipo de alumnado quetengamos, incluyendo principalmente problemas resolubles mediante ecuaciones o inecuaciones, procurando

realizar previamente una lectura comprensiva de los mismos.

A los alumnos y alumnas que tengan una mayor facilidad en la resolucin de ecuaciones e inecuaciones, se lespuede ampliar este tema con problemas de la vida cotidiana que presenten una mayor dificultad, como los ejerci-cios 2, 4, 5 y 8, o con problemas en un contexto matemtico que puedan ser resueltos mediante ecuaciones oinecuaciones, como las actividades 3 y 7.


Cartas de ecuaciones e inecuacionesSe dividir la clase en grupos de cuatro alumnos. Cada grupo preparar 60 cartas. En una de ellas escribir unaecuacin o inecuacin, y en otra su solucin. As, cada grupo tendr 30 cartas con ecuaciones e inecuaciones, yotras 30 con sus respectivas soluciones. Es aconsejable que haya ecuaciones e inecuaciones equivalentes.

Cada grupo repartir 5 cartas por alumno, y el resto se dejar en un montn para robar. El primer alumno debelanzar una carta. El siguiente jugador tendr que echar la pareja de la carta. Si el primer alumno ha soltado unaecuacin o una inecuacin, el segundo tendr que arrojar su solucin, y si ha echado una solucin, este debersoltar su ecuacin o inecuacin asociada. Si no tiene carta para jugar, robar una del montn y pasar el turno alsiguiente jugador. Gana el alumno que antes se quede sin cartas.


1. a) x 2, x 23

b) x1, x 3

c) x 3, x 1

d) x5

e) x 2, x 2

2. x(x 48) 2x x2 50x 0 x 0 y x 50Slo es vlida esta ltima, pues no puede tener ceroaos (ya que l mismo responde).

3. a)Es compatible si a3.

b)Debe ser a7.

c)Puede ser a4, 5, 6 9.

4. Al final van 25 amigos.

5. El lado desigual mide 8 cm, y los otros, 5 cm.

6. a) x 3

b) x 10

7. Para comprobar el nmero de soluciones, hay que

estudiar el signo del discriminante. m2 4m m(m 4)

a)(0, 4)

b) x0 x4

c)(, 0) (4, )

8. xnmero de das

5x12 7x x6 das


Ecuacionese inecuaciones



7/24/2019 AM MATES 4



Ecuacionese inecuaciones


1 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)

x (x2

3)

x (x4

2)

(3x8

2)2

1

b) x

64

2 (x9

1)2

x6

2

19

c) (x

52)2

x2 4

9

(x2

3)2

15

d)2x1 x15

e)(x2 1)2 4(x2 1) 3 0

2 Al preguntar a una persona por su edad, contest: Si multiplico mi edad por la que tena hace 48 aos, se obtiene eldoble de mi edad actual.

Cul es la edad de la persona?

3 Dada la ecuacin 2ax6 x(a3), responde:

a)Halla los valores de apara que la ecuacin tenga solucin.

b)Cunto ha de valer apara que la solucin sea 32?

c)Halla los valores de apara que la ecuacin tenga por solucin un nmero natural.

4 Un grupo de amigos organiza una excursin a la playa. Alquilan un autobs y deben pagar 15 euros cada uno. Altima hora, dos de ellos fallan, y entonces cada uno debe poner 1,20 euros ms.

Calcula el nmero de amigos que finalmente van a la excursin.

5 La altura de un tringulo issceles es de 3 centmetros. Halla las dimensiones del tringulo sabiendo que el ladodesigual es 3 centmetros mayor que los otros lados.

6 Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado.

a) 3x

2

011

5x1

41

x1

07

5x2

16

b)(x1)(x1)(x2) x3 2x2 8

7 Dada la ecuacin de segundo grado x2 mx m 0, halla los valores de mpara que se cumplan las siguientescondiciones.

a)La ecuacin no tiene races reales.

b)La ecuacin posee una solucin doble y real.

c)La ecuacin tiene dos races reales y distintas.

8 Un grupo de amigos y amigas deciden irse de acampada, pero no tienen tienda de campaa. Esta se puede alquilaren el espacio joven de su localidad y en la asociacin ecologista. El espacio joven cobra 12 euros al entregarla y 5euros por cada da de alquiler, y la asociacin ecologista, 7 euros por cada da que se use la tienda.

Cuntos das deben tener alquilada la tienda de campaa para que les salga ms rentable la asociacin ecologista?

7/24/2019 AM MATES 4

10/35

5. x 2, y0; x1, y 3

6. Se encontrarn a las 13:15.

A 180 km de Ay a 180 km de B.

7. Los sumandos son 29 y 122.

8. En el derecho lleva 3,10 , y en el izquierdo,

1,90 .

46ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

AMPLIACIN 5Aunque la mayor parte de esta unidad ya se estudi en cursos anteriores, podemos realizar tambin una profundi-zacin de los contenidos resolviendo, por ejemplo, sistemas de ecuaciones de segundo grado. Sin embargo, anpodemos ampliar ms los contenidos de esta unidad para los alumnos que sean especialmente hbiles en la

resolucin de sistemas y en el planteamiento de problemas.En los ejercicios que aqu se proponen se profundiza en varios aspectos.

Se resuelven sistemas de ecuaciones que planteen mayor dificultad de clculo.

Se introduce la discusin de sistemas en funcin de un parmetro real en un caso sencillo.

Se generaliza el mtodo de resolucin grfica a sistemas de ecuaciones no lineales en el caso de que la grficade cada una de las ecuaciones sea una parbola.

Se plantean problemas en un contexto cotidiano, ya que esta es la principal utilidad prctica de este tema.


Domin de sistemas de ecuaciones

Para esta actividad se necesita recortar varias cartulinas en fichas de tamao semejante al de los naipes de unabaraja. La pizarra se dividir en dos partes. Por turnos, cada alumno saldr a la pizarra y escribir en la parteizquierda una ecuacin lineal con dos incgnitas o un sistema sencillo con soluciones enteras. En la parte derechadeber escribir su solucin. Pueden ponerse varias ecuaciones o sistemas equivalentes, por lo que no se volver aescribir esta solucin.

La clase se dividir en grupos de cuatro o cinco alumnos. Cada grupo deber realizar las fichas del domin. Paraello, en cada tarjeta escribir una ecuacin o sistema de la pizarra y, aleatoriamente, a su lado escribir unasolucin. Una vez terminadas las fichas, cada grupo intentar colocarlas una tras otra.


Sistemas de ecuaciones



1. a) x 2, y 3

b) x2, y 1

2. xnmero de monedas de 1

ynmero de monedas de 2

3. a)S, pues sumando y restando las ecuaciones entres se obtiene el segundo sistema.

b) S, porque la primera ecuacin es la suma delas dos y la segunda se consigue mediante uncambio de signo.

4. Para a 1, el sistema es compatible determinado;para a 1, es incompatible, y para ningn valor

de a, el sistema es compatible indeterminado.


x 0 4 4 6

y 3 2 1 0

X

1

O

Y

1

y= x2 4

y= (x2 2x 8)13

7/24/2019 AM MATES 4



Sistemas de ecuaciones


1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) b) 2 Tenemos 6 euros en monedas, y sabemos que estas pueden ser de 1 y de 2 euros. Calcula el nmero de monedas de

cada clase que se pueden tener.

3 Observa los siguientes sistemas y di si son equivalentes sin resolverlos.

a)

y

b)

y

4 Indica los valores que puede tomar el parmetro a en el sistema de ecuaciones para que sea

compatible determinado. Para qu valor de aes incompatible? Para algn valor de aes compatible indeterminado?

5 Resuelve grficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

Para resolver grficamente un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, se representan en un plano coordenadolas grficas de las dos funciones cuyas ecuaciones forman el sistema. Los puntos de corte sern las soluciones delsistema. Como los puntos de corte son (1, 0) y (2, 3), entonces las soluciones son x 1, y 0; x 2, y 3.

Resuelve grficamente el sistema .

6 A las 11:15 sale un coche de una ciudad A a otra Ba 90 kilmetros por hora. Media hora ms tarde, parte uncoche de Ba A a 120 kilmetros por hora. Sabiendo que de una ciudad a otra hay 360 kilmetros, calcula a quhora y a qu distancia de Ay Bse cruzarn los coches.

7 Descompn el nmero 151 en dos sumandos de manera que dividiendo el mayor entre el menor se obtenga 4 decociente y 6 de resto.

8 Pablo lleva 5 euros en monedas repartidas en los dos bolsillos de su pantaln. Si pasa 60 cntimos del bolsilloderecho al izquierdo, dispondr de la misma cantidad en ambos. Cunto dinero lleva en cada bolsillo?

y x2 4

3y x2 2x8

y x2 1y x2 2x3

ax y142x y4

2x3y5

2x2y1

3x4y 6

x2y 1

x4y 9

3x2y1

x3y 5

2x3y 4

6x

x

2 2y

13

2x y y

2x

123

x2 1

y

31

16

4x

2y21 4

XO 1

Y

1

y=x2 1

y= x2 +2x+3

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AMPLIACIN 6Se proponen varias actividades de proporcionalidad de dificultad ms elevada como ampliacin de la unidad. Enalgunos ejercicios se deben utilizar varias tcnicas de manera encadenada para su resolucin.En este tema es fundamental el uso de la calculadora, dado el elevado nmero de operaciones que hay que

realizar, y, si es posible, calculadora cientfica.Se puede ensear a los alumnos a utilizar algunas funciones de la calculadora cientfica que les ayuden a simplificarlos clculos, como la funcin para calcular potencias, el uso de parntesis, etc.


Banco, Simple y Compuesto

Dividiremos el grupo en pequeos subgrupos de tres, y llamaremos a cada uno de ellos Banco, Simple y Compuesto.A Simple y a Compuesto se les asigna una cantidad de dinero (ficticio), por ejemplo, 1000 euros, y a cada grupole corresponder un porcentaje que puede variar dependiendo del grupo. Pongamos por caso un 5%.Simple y Compuesto dan a Banco sus 1000 euros como inversin (al 5%). Cada dos minutos, Banco hace un pagode intereses, Simple los cobra y, sin embargo, Compuesto vuelve a ingresarlos junto a sus 1000 euros.Los alumnos deben simular esta accin varias veces, observar qu es lo que ocurre y sacar conclusiones.Por ltimo, en gran grupo, los diferentes bancos comentarn los resultados en funcin del porcentaje asignado asu grupo.


1. C 1 10r02

1,21 C

10r02

210r0 0,21 0

10r0 La solucin negativa no es vlida, as que r10%.

2. 4550

daksg 90 kg/da

30900

pkegr/sdonaas 0,3 kg por persona y da

0,3 kg 4 das 1,2 kg por persona durante lasegunda semana

1,2

4

kg

5

/

0

pe

k

r

g

sona

375 personas durante la segunda

semana

3. 14

15

110

2101 33

2101 60

Les corresponde:

14 60 15 puntos al ms rpido

15 60 12 puntos al siguiente

1

1

0 60 6 puntos al ms lento

0,12,1

4. a)1,02 1,03 1,025 1,035 1,1146

La subida es del 11,46%.

b) 56 1,025 1,035 59,41

c) 82,80 1,035 80

5. Directas: presin-temperatura y volumen-temperaturaInversas: presin-volumen

6. 1

10

r

0

1,1

1,1 1000 1100 el primer ao1,1 1000 1210 el segundo ao1,1 1000 1331 el tercer ao1,1 1000 1464,10 el cuarto ao1,1 1000 1610,51 el quinto ao

7. 192 : 6 32 32 3 96 a la familia de 3 miembros32 4 128 a cada familia de 4 miembros32 5 160 a la familia de 5 miembros

Como 3 4 4 5 6 22, en total se

repartieron 32 22 704

.


Proporcionalidaddirecta e inversa



10 20 10 60 5 5 25

1 1 2 0,5 5 10 1,6

100 200 200 300 250 500 400

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Proporcionalidaddirecta e inversa


1 Calcula el rdito (% de inters) necesario para que, al invertir una cantidad de dinero durante 2 aos a interscompuesto, dicha cantidad aumente un 21%.

Pista: LlamaC a la cantidad inicial. Entonces, la cantidad final ser 1,21 C.

2 El comedor de un instituto compra semanalmente 450 kilogramos de comida, y gasta todos esos alimentos durantelos das lectivos. Cierta semana (5 das) van al comedor escolar 300 alumnos. La semana siguiente tena un da fes-tivo y no sirvieron comidas, sin embargo, los 4 das lectivos dieron raciones exactamente iguales a las de la sema-na anterior. Cuntos alumnos utilizaron el comedor la segunda semana? De cuntos gramos es la racin por per-sona y da?

3 Tres amigos participan en un juego de habilidad que consiste en acabar una prueba lo ms rpido posible. Se lesdarn 33 puntos para los tres de manera inversamente proporcional al tiempo que tarde cada uno en su prueba.

El ms rpido tarda 4 minutos; el siguiente, 5 minutos, y el ms lento emplea 10 minutos.Cuntos puntos le corresponden a cada uno?

4 Los precios han subido en los ltimos cuatro aos un 2%, un 3%, un 2,5% y un 3,5%.

a)Calcula el porcentaje de subida respecto a los precios de hace cuatro aos.

b)Si hace dos aos un producto vala 56 euros, cunto costar despus de las dos correspondientes subidas?

c)Si otro producto vale ahora 82,80 euros, cunto costaba el ao pasado?

5 La ley de los gases ideales dice que si Pes la presin a la que est sometida cierta cantidad de un fluido, Ves el

volumen que ocupa y Tes la temperatura a la que se encuentra,

P

T

V

es una constante. Indica las parejas deestas magnitudes que son directamente proporcionales y las que son inversamente proporcionales, y completa lasiguiente tabla.

6 Cuando, con una calculadora cientfica, queremos multiplicar un nmero varias veces por otro nmero dado, proce-demos de la siguiente forma: escribimos el primer nmero, tecleamos dos veces la tecla de multiplicar y despusintroducimos el segundo nmero. A medida que vamos pulsando la tecla , vamos obteniendo las sucesivas multi-

plicaciones que deseamos calcular. Por ejemplo:

2 100 200 400 800

Utiliza esta combinacin de teclas para calcular el capital final de una inversin de 1000 euros al 10% de interscompuesto durante 1, 2, 3, 4 y 5 aos.

7 En una promocin publicitaria de un hipermercado se regalan vales de descuento a cinco familias de maneradirectamente proporcional al nmero de miembros de cada una: 3, 4, 4, 5 y 6 miembros, respectivamente.

A la familia de 6 miembros le correspondi un vale por 192 euros. De cunto dinero era el vale que fue asignado

a cada familia? Cunto dinero cost al hipermercado esta campaa publicitaria?

X X = = =

Presin (N/cm2) 10 20 60 5 25Volumen (l) 1 1 2 5 10Temperatura (K) 100 200 300 250 400

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AMPLIACIN 7En esta unidad se puede realizar una ampliacin bastante importante de los contenidos para aquellos alumnos quemuestren un mayor inters por el tema o que presenten una mayor facilidad para resolver los problemas que seplantean en el mismo.

Se puede ampliar el concepto de ngulo incluyendo ngulos mayores que uno completo o explicando el conceptode ngulo orientado (positivo o negativo). Tambin se les pueden presentar diferentes relaciones entre las razonestrigonomtricas, o igualdades entre expresiones que las contengan que los propios alumnos deben demostrar.

Por ltimo, los problemas que se les planteen de clculo de longitudes y ngulos mediante tcnicas trigonomtricaspueden implicar una mayor dificultad de resolucin, como en las actividades que se presentan a continuacin.


Midiendo tu entorno

Dividiremos el grupo en equipos de cuatro o cinco alumnos. Cada equipo debe construir un transportador gigante

de cartn o madera o un gonimetro rudimentario para poder medir ngulos sobre el terreno de una maneraaproximada.

La actividad consiste en aplicar los conocimientos adquiridos sobre semejanza y trigonometra para obtener medidasde objetos o lugares inaccesibles presentes en el entorno de los alumnos.

Se puede realizar la actividad dentro del aula para medir desde un extremo la pared de enfrente, la mesa delprofesor, etc., aunque preferentemente se realizar en el patio o en las proximidades del centro para medir unapista deportiva, la altura de algn edificio, la longitud de un tejado, etc.

Daremos a cada grupo las indicaciones necesarias sobre lo que hay que medir, as como un esquema de los pasosque hay que seguir para poder calcular dichas medidas. Finalmente, se compararn los resultados obtenidos por losdistintos equipos, indicando las posibles mejoras que hay que realizar en las mediciones.


1. Razn de semejanza: r7

396

8

32

AD7 32 10,5 cm

AE9 32 13,5 cm

DE8 3212 cm

2. Expresando en radianes, el arco es r , por lo

que, como 71,82

0 0,1257 rad, entonces

r0,

9122657 7367 km.

3. a) m 3500

2

18 cm, n 4500

2

32 cm

h 18 32 24 cm

b) A 30

240

502 h h 24 cm

4. a)sen 395 0,5736

b)cos 325 0,5736

c)cos 1765 0,5736

d)sen 7955 0,5736

5. a) b5,44 cm, c2,54 cm, Cp 25

b) a6,40 m, Bp 383935, Cp 512025

6. 1 tg

12 = 1

sceons2

2

sen2 sen

+2

cos2

sen

12

7. S, siempre que los datos no sean nicamente dosngulos, pues cualquier tringulo semejante a ltendra los mismos ngulos y no sera resoluble.

8. h 41,43 mtg 45

hx

tg 30 30

h x


Semejanzay trigonometra



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Semejanzay trigonometra


1 Los tringulos ABCy ADEestn en la posicin del teorema de Tales, y sabemos que AB 7 centmetros, AC 9centmetros y BC8 centmetros. Halla los lados del tringulo ADEsabiendo que su permetro es de 36 centmetros.

Cul es la razn de semejanza entre los tringulos ABCy ADE?

2 Eratstenes calcul por primera vez el radio aproximado de la Tierra enel siglo I IIa. C. Para ello, observ que a la misma hora que en Aswan losrayos de sol caan verticales, en Alejandra formaban un ngulo 7,2con la vertical. Adems, saba que ambas ciudades estn a 926 kilmetros.

Calcula la medida del radio de la Tierra que obtuvo Eratstenes.

3 Calcula la altura hen el tringulo del dibujo utilizando los siguientes mtodos.

a)Calcula m y n utilizando el teorema del cateto, y, despus,utiliza el teorema de la altura para hallar h.

b)Calcula el rea del tringulo considerando un cateto como base,e igulala a la expresin que da el rea considerando como basela hipotenusa.

4 Sabiendo que sen 35 0,5736, calcula las siguientes razones trigonomtricas.

a)sen 395 c)cos 1765b)cos 325 d)sen 7955

5 Resuelve los siguientes tringulos rectngulos, donde aes la hipotenusa, y by c, los catetos.

a) a6 centmetros, Bp 65

b) b4 metros, c5 metros

6 Demuestra que se verifica la siguiente igualdad independientemente del ngulo .

sen1

2 1

tg12

7 Se puede resolver cualquier tringulo rectngulo conociendo nicamente dos de sus medidas (lados o ngulos)?Razona tu respuesta.

8 Queremos medir la altura de un monte desde una llanura situada en su pie. Para ello, nicamente tenemos lasmedidas y ngulos del dibujo. Calcula dicha altura.

Alejandra

Aswan

r

r

50 cm

40 cm30 cm

m n

h

30 m

30o 45o

h

x

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AMPLIACIN 8Se presenta a continuacin una breve batera de problemas como complemento para los alumnos que muestrenuna mayor destreza en esta unidad.

En una unidad tan prctica como esta, el uso de la calculadora cientfica es primordial para que la gran cantidad

de clculos, en especial con nmeros decimales, no reste importancia a los conceptos geomtricos presentes en losejercicios y problemas. Se puede comenzar la unidad haciendo un breve repaso del uso de la calculadora cientfica:parntesis, fracciones, exponentes, nmero ...

Se puede tambin, como profundizacin, comenzar a resolver los problemas de clculo de reas y volmenes sinutilizar los datos numricos, poniendo letras que representen cada medida, operando algebraicamente con lasmismas y, solo en el ltimo paso, calcular el valor numrico de las expresiones obtenidas para hallar el resultado.Esto da a la resolucin del problema mayor apariencia matemtica, y favorece una mayor precisin numrica, yaque, cuando el nmero de pasos es elevado, cualquier truncamiento o redondeo puede producir grandes errores enla solucin.


Fotografa y dibujo artstico de la geometra del entorno

Es interesante que los alumnos reconozcan las figuras geomtricas que forman los elementos de nuestro entorno.Para ello, se puede organizar una exposicin fotogrfica, creada por los propios alumnos y alumnas, dondeplasmen los elementos geomtricos estudiados que hayan observado en el entorno.

Las figuras y elementos geomtricos estn presentes en casi todos los sitios de nuestro entorno: seales de trfico,fachadas, tejados, vallas, ventanas, papeleras, farolas, rotondas, bolardos, elementos ornamentales y un largo etctera.Son los propios alumnos los que deben buscar y encontrar estos elementos. Tambin puede servir de ayuda observarun plano o una vista area de su localidad o barrio.

Es conveniente formar equipos de tres o cuatro alumnos para que la bsqueda sea ms entretenida y eficaz. Asmismo, podra sustituirse la fotografa por la realizacin de dibujos artsticos que representen los elementosgeomtricos que hayan encontrado.


1. a)43,48 pulgadas

b)100 hectreas

c)62,11 arrobas

2. a)22 cm

b)Apotema lateral 7,42 cm

AL88,99 cm2

AT124,99 cm2

c)Altura 6,78 cm

V81,39 cm3

3. a)11,43 cm2

b)18 cm2

4. ab r2 rab 27 12 18 cm

5. AT47 147,65 cm2

V20 93 111,80 cm3

6. rea de cada sector 1963,50 cm2

rea solapada 150,75 cm2

rea barrida 3776,25 cm2


Problemas mtricos



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Problemas mtricos


1 Las unidades de medida que nosotros conocemos no son, ni mucho menos, las nicas que existen en el mundo. Porejemplo, la pulgada es una unidad de longitud que equivale a 23 milmetros, aproximadamente; la hectrea es una

unidad de superficie que equivale a 10 000 metros cuadrados, y la arroba, adems de una unidad de masa, es unaunidad de capacidad o volumen equivalente a 16,1 litros o decmetros cbicos.

Expresa las siguientes medidas en pulgadas, hectreas y arrobas, respectivamente.

a)1 metro b)1 kilmetro cuadrado c)1 metro cbico

2 En una pirmide cuadrangular, medimos el lado de la base, obteniendo 6 centmetros, y una de sus aristas laterales,alcanzando 8 centmetros.

a)Calcula el permetro de una de las caras laterales.

b)Halla el rea total de la pirmide.

c)Calcula el volumen de la pirmide.

3 Calcula el rea de la parte sombreada de las siguientes figuras.

a) b)

4 El rea de una elipse de semiejes ay bes ab. Si se tiene una elipse de semiejes a 27 centmetros y b 12centmetros, cunto debe valer el radio de un crculo para tener la misma rea que dicha elipse?

Obtn la expresin del radio en funcin de ay b.

5 Calcula el rea total y el volumen del siguiente cuerpo geomtrico.

6 Las escobillas de los dos limpiaparabrisas de cierto coche miden50 centmetros y, al realizar el barrido, cada uno de ellos gira 90. Silas zonas que cubren se solapan como en el dibujo, qu rea barrenentre los dos?

4 cm

6 cm

3 cm

5 cm

2 cm

6cm

40,3 cm

30o25 cm

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18/3554

AMPLIACIN 9Para los alumnos y alumnas que muestren un especial inters o habilidad por este tema, se incluyen a continuacinalgunos ejercicios que pueden servir como ampliacin del mismo.

Con este tipo de alumnado iremos reduciendo progresivamente el nmero de representaciones grficas que

utilicemos para resolver los problemas, ya que conviene que adquieran soltura en la resolucin analtica de losejercicios y problemas, diferenciando la ayuda que supone un dibujo o grfica de la propia resolucin delproblema.

Los alumnos pueden profundizar en el paso de unas ecuaciones de la recta a otras, tanto en un sentido como enotro; en obtener diferentes puntos y vectores directores de una recta utilizando cualquiera de sus ecuaciones; etc.Si el alumnado maneja con soltura las distintas ecuaciones de una recta, elegir en cada problema la ecuacin msadecuada en funcin de los datos del mismo y de las necesidades que este plantee.


Bsqueda y representacin grfica

Las coordenadas terrestres indican la posicin de un punto sobre la superficie de la Tierra, que, evidentemente, noes plana, sino esfrica. Sin embargo, cuando nos restringimos a una zona no muy extensa, como una regin o unpas de tamao medio, las coordenadas terrestres se pueden considerar como coordenadas en el plano.

La actividad consiste en que los alumnos, por grupos, se informen sobre las coordenadas geogrficas de su localidad(longitud y latitud) y de otros puntos de inters no muy lejanos, como pueden ser otras localidades de la comunidadautnoma.

Aplicarn lo aprendido para calcular la distancia entre cada pareja de puntos a partir de las coordenadas que hanobtenido, consideradas como sistema plano, y compararn los resultados con las distancias reales, que debenhaber consultado tambin previamente.


1. v (0, 50) (30,0) (0,45) (60,0) (0, 20)

v (90, 15)

d902 152153791,24 cm

2. a) v(2, 1)

b) a(0, 2)

c) w(7, 2)

3. 4

2x 1;

32 y 1 x 6, y5

El punto simtrico es (6, 5).

4. D(xD, yD), con xD x1

32x2; yD

y1

32y2

C(4, 4) y D(2, 3)

5. Observacin: la ecuacin vectorial de una recta noes nica. Aqu presentamos una solucin posible.

a) (x, y) (0, 2) t(1, 2)

b) (x, y) (0, 2) t(3, 1)

6. 45 22,5 67,5

Pendiente: m tg 2,41

Recta: y2,41x

7. Las rectas ry sson secantes y se cortan en (2, 1).

Las rectas ry tson secantes y se cortan en (2, 1).

Las rectas sy tson secantes y se cortan en (2, 1).

Las tres rectas se cortan en (2, 1).

8. A (1, 1); B(1, 2); C(0, 3)

AB2,24 m; AC4,12 m; BC5,10 m


Vectores y rectasen el plano


ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A Atencin a la diversidad

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19/3555 ESFERA Matemticas 4.o ESO


Vectores y rectas enel plano


1 Una hormiga parte del hormiguero en direccin sur y recorre 50 centmetros. Despus avanza 30 centmetros endireccin norte, 45 hacia el este, 60 hacia el oeste y 20 centmetros en direccin norte.

Expresa cada movimiento como un vector y calcula a qu distancia del hormiguero se encuentra finalmente lahormiga.

2 Averigua un vector que verifique las siguientes condiciones.

a)3v5(2, 3) 2(2, 9)

b)| a | 2 y el argumento de aes 90

c) w OQ, con PQ (6, 3) y P(1, 5)

3 Se define el punto simtrico de un punto A respecto de otro punto B, como otro punto Cde modo que B sea elpunto medio del segmento AC.

Por ejemplo, el simtrico deA(3, 5) respecto de B(1, 2) es otro puntoC(x, y) tal que3

2 x 1;

5

2y 2.

Despejando, se obtiene quex 1 e y 1, por lo que el simtrico esC(1, 1).

Repite este proceso para calcular el simtrico de P(4, 3) respecto a Q(1, 1).

4 Un segmento ABse divide en tres partes iguales por los puntos Cy D. Si A(x1,y1) y B(x2, y2), entonces Cser

C(xC, yC) con xC 2x1

3 x2; yC

2y13 y2. Obtn la expresin de las coordenadas de Den funcin de las de Ay B.

Cules son los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento de extremos A(-6, 5) y B(0, 2)?

5 Una manera de conseguir una ecuacin vectorial de una recta dada en su forma general es obtener dos puntosAy Bde la recta y poner p OA tAB.

Por ejemplo, si la recta esx 2y 2 0, al dar el valorx 0 obtenemosy 1, resultando el puntoA(0, 1); ysi damos el valorx 2, se consiguey 2, y, por tanto, el puntoB(2, 2). La ecuacin vectorial resultante sera(x, y) (0, 1)t(2, 1), ya queAB (2, 2) (0, 1) (2, 1).

Realiza este mismo proceso para obtener una ecuacin vectorial de las siguientes rectas.

a)2x y2 0

b) x3y6 0

6 En un circuito de carreras, considera el punto de salida como el origen de coordenadas, la direccin oeste-este comoel eje de abscisas y la direccin sur-norte como el eje de ordenadas. Una moto parte del punto de salida en lnearecta en direccin nor-nordeste. Cul es la pendiente de la recta que forma? Cul es la ecuacin en punto-pendiente de dicha recta?

7 Se tienen las rectas r: x3y1 0, s: 2x y5 0 y t: 3x y7 0. Estudia la posicin relativade ry s, ry t, sy t. Qu posicin relativa tienen las tres rectas entre s?

8 Las rectas x2y3 0, 4x y3 0 y 5x y3 0 forman un tringulo. Obtn las coordenadas delos tres vrtices y calcula la longitud, en metros, de cada uno de los tres lados.

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AMPLIACIN 10Las actividades de ampliacin aqu propuestas tienen como principal objetivo que los alumnos y alumnas apliquenlos conceptos aprendidos a lo largo de la unidad a funciones cuyo anlisis exige una cierta madurez.En la primera actividad, se relaciona esta unidad con la nmero 7, referida a la trigonometra. Es importante que

los alumnos y alumnas sean capaces de relacionar unas unidades de su libro de texto con otras; en este caso,deben percibir que las funciones y la trigonometra estn ntimamente relacionadas. El hecho de comprender bienuna unidad posibilita la comprensin de la otra.El resto de actividades est orientado al estudio de funciones a partir de su expresin algebraica, o la obtencinde la expresin algebraica a partir de una grfica. Es conveniente, dado el grado de dificultad que para ellossupone abordar este tipo de actividades, que el profesor gue al alumno al resolverlas. Tambin sera convenienteque antes de comenzar se recordaran ciertas propiedades de las races y fracciones e igualdades notables.


Indagando sobre una funcin

La clase se divide en grupos de tres o cuatro alumnos. Cada grupo debe dibujar una grfica y efectuar su estudio:dominio, recorrido, simetras Una vez que hayan terminado de idear su funcin, cada grupo debe dibujar lagrfica que han diseado los otros grupos realizando preguntas como cul es el dominio?, cul es la imagendel 5?, etc. El grupo que primero dibuje correctamente la grfica del equipo contrario obtiene 10 puntos; elsegundo, 5, y el tercero, 2. Cada vez es un grupo el que contesta a las preguntas y el resto debe dibujar la grfica.Gana el grupo que ms puntos obtenga.


1. D(f) R, R(f) [1, 1], impar, peridica de perodo

2, creciente en

0,

2

,

3

2

y decreciente en

2, 32, 2,mximo en 2, 1y mnimo en

32, 1

2. a) D(f) (, 3) (3, )

Corte OX: 0,

23; corte OY: (1, 0), (2, 0)TV[4, 5] 14 0 creciente

b) D(g) , 12 12, Corte con los ejes: (0, 0)

TV[4, 5] 313 0 creciente

c) D(h ) (1, )

Corte OX: no hay; corte OY: (1, 0)

TV[4, 5] 66

55

0 decreciente

La grfica es la siguiente.

f(x)

Es continua, decreciente en (, 3) y creciente en(3, )

f(x) D(f) R es constante en (, 1] [3, ) ydecreciente en (1, 3). Los puntos de corte son (0, 0),y es discontinua en x 1 yx3.

TV[2, 1] f(1) f(2) 51

La funcin es continua en x3, porque la tasa devariacin en el intervalo [3, 3 h] tiende a cerocuando h tiende a cero.

TV[3, 3 h] f(3 h) f(3) 3h2 4 h

3 si x 12x si 1 x30 si x3

3 x si x3

x3 si x3


Funciones



-2 - 2

32

52

2-1

0

y= senxY

X1

2-3

2-5

2- -2 -5

2-

2 5

22

-1

0

y= cosx

X

Y

1

32

32

- 2

- X

1

1O

Y

y= |x-3|

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Funciones


1 En la unidad 7 estudiaste las razones trigonomtricas de los ngulos. Recuerda la razn trigonomtrica seno x. Enesta actividad vamos a estudiar la funcinf(x) senx, que asocia a cada nmero real el seno del ngulo que mide

xradianes. Completa:a)

i)Para qu valores de xse puede calcular sen x? Por tanto, D(f)

ii)El seno de cualquier ngulo, entre qu valores oscila? Luego R(f) .

iii)Para estudiar la simetra, debes saber la siguiente propiedad: sen x sen (x). Entonces, es una funcinpar o impar? Por qu? .

iv)Completa la siguiente tabla. Recuerda la propiedad sen x sen (x).

Cada cuntos radianes se repiten los senos? Por tanto, sen xes peridica de perodo .

v) Utilizando la TV, estudia el crecimiento o decrecimiento de la funcin f(x) sen xen los siguientes intervalos:

0, 2, 2, , , 32y 32, 2. Teniendo en cuenta el estudio realizado y sabiendo que f(x) sen xes continua, dibuja la funcin sen xen el intervalo [0, 2]. Obtn los mximos y los mnimos relativos yabsolutos que presenta la grfica en este intervalo.

vi) Dibuja la funcin seno. Para ello, ten en cuenta que la funcin seno es peridica de perodo 2; por tanto,no tienes ms que repetir la grfica anterior en intervalos de amplitud 2 .

b)Haz un estudio similar para la funcin f(x) cos x, que asocia a cada nmero real el coseno del ngulo quemidexradianes. Haz una representacin grfica de la misma. Para ello, debes tener en cuenta que cos x cos (x).Ayuda: el crecimiento y el decrecimiento debes estudiarlos en los intervalos [0, ] y [, 2].

2 Calcula el dominio, los puntos de corte con los ejes y el crecimiento en el intervalo [4, 5] de las siguientesfunciones.

a) f(x) x2

xx

32 b) g(x)

2x3

x1 c) h (x) x1 1

Representa grficamente la funcin f(x) | x3 |. Estudia su continuidad y su crecimiento.

Dada la siguiente grfica, escribe la funcin definida a trozos correspondiente en forma algebraica.

Estudia el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos de corte con los ejes y la continuidad.

Calcula la tasa de variacin media en el intervalo [

2, 1] de la funcin f

(x

)

3x2

14x

2. Es continua lafuncin en x3?

ngulo 2 32

2 0

2

32 2

Seno

1 XO

Y

1

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22/3558

AMPLIACIN 11Las actividades de ampliacin aqu propuestas estn orientadas a que los alumnos y alumnas afiancen los conceptosde la unidad que pueden resultar ms complejos, como puede ser la resolucin de problemas en los que setenga que maximizar una funcin cuadrtica, y a ampliar los conocimientos sobre otros temas de matemticas

partiendo de nociones conocidas, como es la resolucin grfica de sistemas de ecuaciones de segundo grado.Para estas actividades sera conveniente ensear a los alumnos el uso de la calculadora grfica o de algnprograma informtico que dibuje funciones, como puede ser Derive. El objetivo de usar medios informticos no esque los alumnos resuelvan las actividades con ellos, sino que comprueben sus soluciones. El hecho de implementar lasclases terico-prcticas con medios informticos hace que la resolucin de las actividades resulte mucho ms atractivae interesante para los alumnos.


Maximizando rectngulos

La clase se divide en grupos de tres o cuatro alumnos. Cada grupo debe idear un problema en el que se tengan

que calcular las dimensiones de un rectngulo para que el rea de este sea mxima. Pueden tomar medidasreales. Por ejemplo, medir el permetro de su mesa y maximizar el rea de un rectngulo cuyo permetro coincidacon el de la mesa. Una vez planteado el problema, deben resolverlo y explicarlo al resto de la clase.

El objetivo de la actividad en grupo es que los alumnos y alumnas obtengan una conclusin final: Dado elpermetro de un rectngulo, de todos los rectngulos cuyo permetro coincide con l, el de mayor rea es el quetiene sus lados iguales; es decir, un cuadrado.


1. Se representan ambas funciones.

Se observan que se cortan en los puntos P(2, 0) yQ(2, 4). Luego las soluciones del sistema sonx2 e y0; x 2 e y4.

2. 72 36 36El producto es P1296, que es mximo.

3. a) D(f) [1, 3) (3, )

b) D(f) R {2}

4. a) f(x) 2x

x7

b) f(x) x

73

c) f(x) =

6x

x

417

5. De izquierda a derecha, las funciones son:

f(x) (x2)2 1

f(x) x2 1

f(x) (x2)2

f(x) (x4)2 2

6. a) f(x) 5x2 10x2

b) f(x) 5x3

7. La altura mxima se alcanza para t vg

0

La altura mxima es hmx 2 g

v

20

e0

8. El rea es A(x) 12 (10 x) (5 x).

El rea mxima se alcanza cuando x 52cm.

Ambos catetos medirn 7,5 cm, y el rea, 28,13 cm2.


Funciones polinmicasy racionales



XO

Y

2

2

y= 2 xy= x2 x+6

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Funciones polinmicasy racionales


1 En un sistema de ecuaciones puede ocurrir que alguna de las ecuaciones no sea de primer grado. Estos sistemas sellaman sistemas no lineales. Por ejemplo:

Recuerda cmo se resolvan los sistemas grficamente. Para resolver los sistemas no lineales grficamente, seprocede de igual manera que se haca con los lineales: se representan ambas ecuaciones y se observan los puntosde corte.

Resuelve el sistema anterior representando grficamente ambas ecuaciones.

2 Descompn el nmero 72 en dos sumandos de manera que su producto sea mximo.

3 Halla el dominio de definicin de las siguientes funciones.

a) f(x) 2x

x

61

b) f(x)

x4 x

5x2

536

4 Escribe la expresin de la funcin que resulta al trasladar la funcin de ecuaciny 7x:

a)Dos unidades hacia arriba.

b)Tres unidades hacia la derecha.

c)Seis unidades hacia abajo y cuatro hacia la izquierda.

5 Las siguientes grficas se han obtenido mediante traslaciones de la funcin y x2 . Obtn la expresin algebraicade cada una de ellas y explica cmo se han obtenido.

6 Determina la expresin algebraica de las siguientes funciones.a)Funcin cuadrtica que corta al eje OYen y2 y tiene su vrtice en el punto V(1, 3).

b)Funcin potencial que pasa por los puntos P(1, 5) y Q(2, 40).

7 La altura que alcanza un objeto que se lanza hacia arriba (tiro vertical) viene dada por la frmula h (t) e0 v0t

12gt2, donde e0 es la altura inicial; v0, la velocidad inicial, y ges la fuerza de atraccin de la gravedad. Cundo

se alcanzar la altura mxima? Cul ser esa altura?

8 En un tringulo rectngulo, uno de los catetos mide 5 centmetros, y el otro, 10 centmetros. Construimos otro

tringulo rectngulo de la siguiente manera: al cateto mayor se le resta una cantidad xy al cateto menor se leaade la misma cantidad. Halla la expresin que permite calcular el rea de este nuevo tringulo en funcin de x.Para qu valores de xes mayor esa rea? Cunto miden en ese caso los catetos? Y el rea?

y x2y x2 x6

Y

2

2

XO

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24/3560

AMPLIACIN 12Por una parte, las actividades de ampliacin aqu propuestas tienen como finalidad que los alumnos y alumnasconozcan otras aplicaciones de la funcin exponencial y, por otra, que refuercen las tcnicas procedimentalestrabajadas a lo largo de la unidad.

Para la mayora de las actividades sera conveniente el uso de la calculadora. En algunos casos ayudar a simpli-ficar los clculos y, en otros, como los alumnos y alumnas no conocen los logaritmos y sus propiedades, ayudara buscar la solucin mediante potencias. En cualquier caso, justificar los procedimientos con el vocabulario y lanomenclatura propia de la funcin exponencial debe ser un requisito indispensable de los alumnos de ampliacin.


Aplicaciones de la funcin exponencial

La funcin exponencial tiene numerosas aplicaciones a nivel cientfico, demogrfico, etc. Por ello, se plantea lasiguiente actividad: por parejas, los alumnos y alumnas deben buscar en internet posibles aplicaciones de lafuncin exponencial distintas de las ya estudiadas a lo largo de la unidad. Cada pareja tiene que hacer un trabajo de

investigacin sobre una posible aplicacin de la funcin exponencial y, posteriormente, explicar su trabajo al restode los alumnos del grupo.


1. a) N N0 e0,00012 5 N0 0,999; N

N

0 0,999

b) N N0 e0,00012 5700 N0 0,5

2. a) D(f) [1, )

b) D(f) (3, )

c) D(f) (5, )

3. a) g(0) 1; g(5) 0,004115; g(0,5) 1,37

b) a3

c)

d) D(f) D(g) R; ambas cortan el eje Yen elpunto (0, 1) y ninguna corta el eje X.

4. Al cabo de un ao, el coche costar:

P1 ao 15000 (1 0,30) 10 500

Despus de t aos, el coche valdr:

Ptaos 15000 (1 0,30)t

5. a)

b)El Bno es real, pues la funcin es creciente y, portanto, nunca se eliminara el medicamento delcuerpo y su presencia seguira creciendo expo-nencialmente.

6. a) x= 10

b) x= 2c) x= 3

d) x= 2

7. Se debe demostrar que f(p) 1q ap.

Como (p, q) est en la grfica de y ax, entoncesq ap.

Por tanto, a1

p 1q; luego f(p)

1q.


Funcionesexponenciales



XO

Y

2

2

y= 4,3.(0,7)x

y= 2,5.(1,2)x

XO

Y

1

1

y= 3xy= 3-x

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Funcionesexponenciales


1 La desintegracin radiactiva.Cuando un organismo muere, la cantidad de sustancia radiactiva decrece de formaexponencial. La frmula que relaciona la cantidad de sustancia radiactiva presente en el momento de la muerte (N0)

y la cantidad en un momento N(t) viene dada por la expresin N N0 et

, donde es la constante de desinte-gracin del elemento y tes el tiempo. Esta frmula se conoce con el nombre de ley de Elster y Geitel o ley de ladesintegracin radiactiva.

Si en esa frmula se calcula el valor de tpara el que la cantidad inicial N0de la muestra radiactiva se haya reducido

a la mitad, N2

0, se obtiene el perodo de semidesintegracin del elemento.

a)Calcula la proporcin de carbono 14 presente en un organismo a los cinco aos de su muerte sabiendo que laconstante de desintegracin es 0,00012.

b)Comprueba que el perodo de semidesintegracin del carbono 14 es, aproximadamente, de 5700 aos.

2 Estudia el dominio de las siguientes funciones.

a) f(x) 12

b) f(x) c) f(x) e

3 Una funcin f(x) ax verifica que f(0) 1, f(5) 243 y f(0,5) 1,73. Siendo g(x) ax:

a)Calcula g(0), g(5) y g(0,5).

b)Halla el valor de a.

c)Representa grficamente ambas funciones.

d)Estudia el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes de ambas funciones.

4 En el momento de su compra, el precio de un coche es de 15 000 euros. Si el valor se va devaluando a razn de un

30% anual, cul ser su importe al cabo de un ao? Escribe la frmula que expresa el precio del coche en funcinde los aos transcurridos desde su compra.

5 La cantidad de frmaco presente en el cuerpo despus de un tiempo tde haberlo ingerido viene dada por la frmulay k at, donde kes la dosis tomada y aes un factor de crecimiento. La dosis inicial para dos frmacos, A y B,es de 3 miligramos, y el factor de crecimiento es 0,7 y 1,2, respectivamente.

a)Haz una representacin grfica de la cantidad de frmaco que queda en la sangre en funcin del tiempotranscurrido.

b)Uno de los dos frmacos no es real. Por qu?

6 Ecuaciones exponenciales. Una ecuacin se dice exponencial si la incgnita est en el exponente.

2x 8 es una ecuacin exponencial. Para resolverla, expresamos los dos miembros como potencias de la misma base:2x 23. Luego la solucin esx 3.

Hay veces en que la ecuacin exponencial no puede resolverse igualando exponentes. En este caso, hacemos uncambio de variable. Por ejemplo, 22x 1 3 2x 1 0. Realizamos el cambio de variable 2x t y obtenemos

2t2 3t 1 0. Resolviendo la ecuacin de segundo grado, se tienet 1 yt 12 . Deshacemos el cambio

y obtenemosx 0o x 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.

a)2x 1024 b)32x 3x 1 54 0 c)3x 1 81 d)22x 2x 2 0

7 Demuestra que si el punto (p, q) est en la grfica de la funcin y ax, entonces el punto p, 1q tambin seencuentra en su grfica.

x 1 4 x

23 x55x 5

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AMPLIACIN 13Las actividades de ampliacin aqu propuestas van encaminadas, por una parte, a que los alumnos y alumnasamplen los clculos y los procedimientos propios de la estadstica descriptiva unidimensional, y, por otra, a queinterpreten los resultados obtenidos. Cualquier alumno o alumna de este curso debe ser capaz de interpretar losresultados de un problema de estadstica, pero es este tipo de alumnado el que debe interpretar cualquier resultadode un problema con todo el rigor matemtico posible. Se debe hacer hincapi en que un problema de estadsticano finaliza hasta que se haya dado interpretacin a los resultados. En este sentido, es importante que el profesor,cuando explique cada concepto o tcnica, explique tambin la interpretacin del mismo con un ejemplo prctico.


Estadsticas en el deporte

El mundo del deporte, que tanto gusta a nuestro alumnado, est lleno de estadsticas. Un ejemplo es la pgina dela Liga profesional americana de baloncesto (www.nba.com). En dicha Liga hay 30 equipos divididos en 6 divisiones,as que podemos repartir cada equipo a cada alumno mediante un sorteo. Los alumnos han de seleccionar cincojugadores del equipo que les haya correspondido y calcular la media de puntos que dicho quinteto consigue. As

tendrn los puntos totales de su equipo para jugar.Tras esto, haremos que los cinco equipos de cada divisin se enfrenten entre ellos, suponiendo que cada equipoconsigue en cada partido su media de puntos, y tendremos el resultado de todos los partidos. Construiremos unaclasificacin con dichos resultados y posteriormente los alumnos la compararn con la clasificacin real; y discu-tirn acerca de las similitudes y diferencias entre ambas clasificaciones, la imaginaria y la real.


1.

x 3167,11 kg Peso medio al nacer. Mo 3375 kg Peso de la mayora al nacer. Me= 3375 El 50% de los nios ha pesado

menos de 3375 kg, y el 50%, ms. s927,38 kg La media no es muy represen-

tativa, porque la desviacin es grande.2. a)Como la media es de 4,4 km, no cambiar si

recorre esa distancia.b) La mediana es de 5 km, y seguir siendo la

misma si realiza ms de 5 km.c)La moda es 5, y seguir siendo la misma si no

recorre 2, 7 3 km.

3. a) CVA CVB La media de A ser menos repre-sentativa.

b) CVB 3 CVA El coeficiente de variacin de

Bser tres veces el de A. La media ser ms re-presentativa en A.

4. a)La variable es Las notas obtenidas en la asignaturade Matemticas por un grupo, y la poblacin, los20 alumnos de la clase.

b)

c)10% d) x = 4,95 e)11 alumnosf) Mo4 es la nota obtenida por la mayora de

los alumnos; s 2,64 la media no es muyrepresentativa.

g)Es la mediana: Me 4. El 50% de la clase hasacado menos de un 4. No han sido buenosresultados.

h) C VGRUPO1 0,53 C VGRUPO2 0,3. La media es me-jor en el segundo grupo y es ms representativa;es decir, la primera clase obtiene peores notas demedia y es menos homognea.

5. Como la distribucin es simtrica y unimodal, la dis-tribucin por intervalos es la siguiente.(65, 70): 4 coches (70, 75): 27 coches(75, 85): 136 coches (85, 90): 27 coches

(90, 95): 4 cochesCuatro conductores han infringido la ley.


Estadsticaunidimensional



Marca fi Fi hi Hi[750, 1500) 1125 1 1 0,06 0,06

[1500, 2250) 1875 2 3 0,11 0,17

[2250, 3000) 2625 4 7 0,22 0,39[3000, 3750) 3375 6 13 0,33 0,72[3750, 4500) 4125 4 17 0,22 0,94[4500, 5250) 4875 1 19 0,05 1

19 1

N fi Fi hi Hi

1 2 2 0,10 0,102 2 4 0,10 0,203 3 7 0,15 0,354 4 11 0,20 0,555 0 11 0,00 0,556 2 13 0,10 0,657 3 16 0,15 0,808 2 18 0,10 0,909 1 19 0,05 0,95

10 1 20 0,05 1,00

Nota

Nmerodealumnos

1

4

3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Estadsticaunidimensional


1 El siguiente histograma muestra los pesos de los bebs nacidos en un hospital en el mes de marzo.

Construye la tabla de frecuencias asociada. Calcula la media, la moda, la mediana y la desviacin tpica. Interpreta

los resultados.2 Un corredor anota los kilmetros que recorre en el entrenamiento de cada da de la semana. Esta semana, sus

anotaciones han sido las siguientes.

Esta semana decide salir tambin a entrenar el sbado. Responde:

a)Cuntos kilmetros debe recorrer para que la media no vare?

b)Y para que no cambie la mediana?

c)Y para que no lo haga la moda?

3 Dos distribuciones Ay Btienen igual desviacin tpica.a)Si la media de Aes menor que la de B, en qu distribucin es ms representativa la media?

b)Si la media de Aes el triple que la de B, qu relacin hay entre los coeficientes de variacin?

4 Las notas obtenidas por los 20 alumnos de un grupo de 4. o de la Educacin Secundaria en la asignatura deMatemticas han sido las siguientes:

a)Cul es la variable en estudio? Y la poblacin?

b)Obtn la tabla de frecuencias de la distribucin. Representa el diagrama de barras.

c)Qu porcentaje de alumnos obtuvo un 6?

d)Cul ha sido la nota media?

e)Cuntos alumnos han suspendido?

f)Calcula la nota modal y la desviacin tpica. Interpreta los resultados.

g) Cul es la nota tal que el 50% de los alumnos ha obtenido una calificacin superior a ella? En vista de lamediana, han sido buenos los resultados?

h)En otro grupo de 4.o de Educacin Secundaria, la calificacin media en la asignatura de Matemticas ha sidoun 5, con una desviacin tpica del 1,50. Compara los resultados obtenidos en ambos grupos.

5 Para hacer un estudio sobre circulacin, se ha anotado la velocidad con la que pasaban 200 coches por un tramo

de la carretera. Las velocidades han oscilado entre 70 y 95 km/h, siendo la distribucin simtrica y unimodal. La ve-locidad media ha sido de 80 km/h, y la desviacin tpica, 5. Si la velocidad mxima en ese tramo es de 90 km/h,cuntos conductores han infringido la ley?

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes2 km 5 km 5 km 7 km 3 km

2 4 8 7 4 9 10 3 6 76 7 8 1 2 3 4 3 4 1

Peso (g)

Nmerodenacimientos

2

1500

8

6

4

750

10

2250 3000 3750 4500 5250

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AMPLIACIN 14Con el fin de ampliar los contenidos y procedimientos estudiados en esta unidad, se proponen a continuacindiversas actividades de recuento y aplicacin de la combinatoria a situaciones conocidas por los alumnos.

En muchas ocasiones, el nmero de casos resultante es mnimo, y en otros necesitamos de nmeros gigantescos

para poder expresarlos, por lo que el uso de la calculadora y el conocimiento de la notacin cientfica simplificanconsiderablemente los clculos.

Si fuera necesario, introduciramos estos ejercicios y problemas recordando este concepto y el manejo bsico de lacalculadora cientfica.


Cdigos

Existen infinidad de mtodos diferentes para codificar la informacin. Muchos de ellos consisten en la asignacinde uno o varios smbolos a cada letra del alfabeto y cada signo de puntuacin, de modo que usando una tabla se

puedan cifrar y descifrar mensajes.Los cdigos ms simples solo utilizan dos smbolos. Por ejemplo, el cdigo Morse utiliza un punto () y una raya(-), y el cdigo ASCII, empleado en los ordenadores para codificar la informacin al sistema binario, que es elnico que puede utilizar una computadora, usa solamente el 0 y el 1.

Por grupos, los alumnos pueden buscar informacin sobre los cdigos Morse y ASCII, y ensear algunos mensajescifrados a sus compaeros, as como descifrar los que los dems propongan. Se puede encontrar informacin deestos lenguajes, por ejemplo, en www.wikipedia.org.

Tambin se puede proponer a los grupos que inventen sus propios cdigos con otras parejas de smbolos o con tressmbolos diferentes, como el 0, el 1 y el 2.


1. C49, 6 V

P49

6

, 6

13 983 816 boletos diferentes

C8, 6 V

P8

6

, 6

86

75

64

53

42

31 28boletosordinarios

2. a) C32, 24

6

8

5

7

4

6

3

5

4

2

3

1

10518300colocaciones

b) P3212, 12, 8

12! 3122!! 8! 2,84 1013 colocaciones

3. a) VR2, x 2x 27 x 5 dgitos, ya que 24 16

y 25 32

b) VR2, x 2x 54 x 6 dgitos, ya que 26 64

4. a) C81, 9 V

P81

9

, 9

81 98

08

......

27

41 73

260887 834 348 maneras

49 48 47 46 45 44

6 5 4 3 2 1 b) P164, 4, 4, 4, 63063000maneras

5. a) 54n!

(n 4

1)n! n 1 5 n 4

b)(n

141)n!

n6!

n3!

n1

41

16

13

3n

4

3

2

7

1

4

4

2

n 6

6. a) VR2, 3 23 8 aplicaciones

b) VR3, 2 32 9 aplicaciones

7. a) VR16, 2 162 256 nmeros

b) VR16, 3 163 4096 nmeros

c) VR16, 4 164 65536 nmeros

d) VR16, x16x 1000000 x5 dgitos,

ya que 165 1048576

16!

4! 4! 4! 4!


Combinatoria



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Combinatoria


1 La Lotera Primitiva consiste en acertar seis nmeros del 1 al 49. Cuntos boletos diferentes se pueden rellenar?

Si utilizramos solamente 8 de los 49 nmeros, cuntos boletos podramos rellenar?

2 El juego de las damas se desarrolla en un tablero de 64 escaques o casillas, de los que solo se utilizan los 32escaques de un color, y cada uno de los dos jugadores dispone de 12 fichas.

a)Sin hacer distincin de colores entre las fichas, de cuntas maneras se pueden colocar en el tablero?

b)Y si hacemos distincin de colores?

3 Los ordenadores codifican toda la informacin mediante series de ceros y unos.

a)Cuntos dgitos son necesarios como mnimo para codificar los 27 caracteres del alfabeto que aparecen en unteclado?

b)Y si queremos codificar las 27 maysculas y las 27 minsculas?

4 Un sudoku es un pasatiempo de origen japons en el que hay que colocar, atendiendo a ciertas reglas, 9 unos,9 doses, etc., hasta 9 nueves en un recuadro dividido en 9 filas y 9 columnas, es decir, en 81 casillas.

a) Sin tener en cuenta las reglas del juego, de cuntas maneras distintas podemos colocar los 9 unos en las81 casillas?

b)Si simplificamos el juego a un recuadro de lado 4, donde hay que colocar 4 unos, 4 doses, 4 treses y 4 cuatros,de cuntas maneras podramos colocar esos 16 nmeros en las 16 casillas?

5 Halla el valor de npara que:

a) n!

4n!

(n 4

1)!

b) (n

141)!

n6!

n3!

6 Una aplicacin entre dos conjuntos es una correspondencia entre ellos de manera que todos los elementos delprimer conjunto se relacionan con uno y solo uno del segundo. Por ejemplo, si el conjunto inicial es {1, 2, 3} y elfinal es {a, b}, una aplicacin sera 1 a, 2 a, 3 b, y otra 1 a, 2 b, 3 b.

a) Cuntas aplicaciones distintas hay en total entre esos dos conjuntos?

b)Y si el conjunto inicial es {a, b} y el final {1, 2, 3}?

7 El sistema de numeracin hexadecimal utiliza los siguientes caracteres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, EyF.Con una cifra hexadecimal, podemos representar los primeros 16 nmeros.

a)Cuntos nmeros podemos representar con dos cifras hexadecimales?

b)Y con tres?

c)Y con cuatro?

d) Cuntas cifras hexadecimales son necesarias para representar el primer milln de nmeros?

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30/3566

AMPLIACIN 15A continuacin se proponen algunos ejercicios como ampliacin de esta unidad para aquellos alumnos que hayanmostrado una mayor habilidad en su resolucin.Es interesante que los alumnos con una mayor destreza en el lgebra de sucesos resuelvan ejercicios en los que

intervengan ms de dos sucesos, y que generalicen las frmulas estudiadas para calcular la probabilidad de la uninde dos sucesos a la unin de tres o ms. En este sentido, es tambin prctico que utilicen dichas frmulas paracalcular la probabilidad de la interseccin de dos sucesos, conocida la probabilidad de la unin.A los alumnos ms aventajados se les debe mostrar el clculo de probabilidades como una disciplina cientfica, paraque sean capaces de separarla de la experiencia adquirida en la vida diaria en el campo de la probabilidad y losexperimentos aleatorios, que puede llevarles a errores al guiarse por su intuicin. Esto no significa que principal-mente deban considerarla como una importante herramienta matemtica para resolver problemas presentes en lavida real. Para ello, se presentan algunos ejercicios en los que la intuicin parece no corresponderse con el resul-tado correcto.


Generacin de nmeros aleatoriosEn esta actividad, los alumnos aprendern a generar nmeros aleatorios con una calculadora cientfica y a utilizaresta herramienta como instrumento para simular determinados experimentos aleatorios y efectuar sorteos.La mayora de las calculadoras cientficas incluyen una funcin que genera un nmero aleatorio entre 0 y 1 contres cifras decimales, por lo que si los resultados del experimento que hay que simular tienen menos cifras, podemosomitir las que no sean necesarias, y si tienen ms cifras, podemos utilizar varias veces dicha funcin.Cada grupo de alumnos debe ser capaz de simular varios experimentos, como el lanzamiento de monedas, dedados, diferentes tipos de sorteos y loteras, etc., y de reflejar los resultados por escrito.Es interesante tambin que conozcan los comandos de generacin de nmeros aleatorios que proporcionan lashojas de clculo u otras aplicaciones informticas, mucho ms completas que la calculadora, ya que permiten, porlo general, definir el intervalo y el incremento.


1. P(A B) 1 P(AB) 1 23

50

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

13

20

13

80

23

50

350

16

Entonces, 5 personas han ledo los dos libros.

2. P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B)

P(AC) P(BC) P(A B C)

3. AB empatar

P(AB) 1 P(A B) 1 (0,35 0,4) 0,25

4. Existen 24 16 casos posibles, de los que hay 6 enlos que aparecen dos de cada sexo, 8 casos en los quehay tres de un sexo y uno del otro, y 2 en los que to-dos son del mismo sexo, por lo que lo ms probablees que haya tres de un sexo y solo uno del otro.

Las probabilidades son 38,

12 y

18, respectivamente.

5

30 5. AA

cu

c

a

r

d

c

r

u

a

lo

do 0,5027

6. 3914 531

1441. La probabilidad es la misma.

7. No. Debe tener forma de poliedro regular, por lo quesolo puede construirse con 4 (tetraedro), 6 (cuboo hexaedro), 8 (octaedro), 12 (dodecaedro) o 20

(icosaedro) caras.

8. P(pquer) C151

2, 4

201825

9. A acertar el primer tirador.B acertar el segundo tirador.

P(A B) 16

38

116

24

38

P(A B) P(A B)

1

5

2

16

100


Probabilidad



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Probabilidad


1 En un grupo de 4. de ESO hay 30 personas, de las que 12 han ledoEl seor de los anillosy 18 El cdigo Da Vinci.Cinco de ellas no han ledo ninguno de estos libros.

Si llamamos A haber ledo El seor de los anillosy B haber ledo El cdigo Da Vinci, qu suceso est representadopor la interseccin A B?, cul es su probabilidad? Utiliza las propiedades que necesites y expresa el proceso conel lenguaje de la probabilidad. Cuntas personas han ledo los dos libros?

2 Utilizando la frmula que nos da la probabilidad de la unin de dos sucesos compatibles, deduce la frmulaequivalente para la unin de tres sucesos.

Pista: utiliza la frmula de la probabilidad de la unin de dos sucesos para (A C) C y ten en cuenta que severifica la propiedad distributiva, es decir, (A B) C (A C) (B C), y que tambin se verifica queA C B C A B C.

3 Dos equipos de ftbol, Campen y Goleador, se enfrentan el prximo domingo. La probabilidad de que el partido lo

gane Campen es de 0,35, y de que lo gane Goleador, de 0,4.Calcula la probabilidad de que empaten. Expresa este suceso en funcin de los sucesos A ganar Campen yB ganar Goleador.

4 En un nacimiento, sabemos que la probabilidad de ser nio o nia es la misma, es decir, 12, por lo que parece

evidente que si una familia tiene cuatro hijos, lo ms probable es que tenga dos de cada sexo. Es eso correcto? Esms o menos probable que haya tres de un sexo y uno del otro? Calcula estas probabilidades y la de que todos loshijos sean del mismo sexo.

5 Lanzamos una bola diminuta sobre una superficie cuadrada de 1 decmetro de lado quetiene sombreado un crculo de 4 centmetros de radio en su interior, como en la figura.Si suponemos que la posicin que ocupar la bola es aleatoria, cul es la probabilidadde que caiga dentro del crculo?

6 Como sabes, una quiniela tiene 14 casillas en las que se puede poner un 1, un 2 o una X. Cul es la probabilidadde acertar una quiniela de 14 si juego 9 boletos diferentes? Y si juego 9 boletos que tengan 8 resultados igualespero vare el noveno?

7 A lo largo de este tema se han visto varios tipos de dados con diferente nmero de caras. Se puede construir undado con el nmero de caras que se quiera, de modo que todas ellas tengan la misma posibilidad de salir? Razonatu respuesta.

8 En el pquer se reparten 5 cartas, y recibe su nombre por la jugada que consiste en tener 4 cartas que tengan elmismo valor, una de cada palo. Cul es la probabilidad de conseguir un pquer sin comodines en una barajafrancesa de 52 cartas sabiendo que la carta restante es un tres de picas?

9 Dos competidores de tiro al blanco comparten diana. El primer tirador acierta en la diana 1 de cada 6 veces, yel segundo lo hace 3 de cada 8 veces. Sabemos tambin que ambos dan en la diana en el mismo tiro 1 de cada16 veces. Cul es la probabilidad de que al menos uno de los tiradores d en el blanco? Y de que acierte en ladiana exactamente un solo tirador?

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AMPLIACIN 16Es interesante que los alumnos que muestren un mayor inters por el clculo de probabilidades realicen algunosejercicios de profundizacin, con un mayor nivel de dificultad. Insistiremos en estos casos en la importancia dellenguaje probabilstico, y de su gran utilidad para simplificar notaciones y razonamientos.

Se deben practicar especialmente los ejercicios en los que el alumnado deba realizar o utilizar tablas de contin-gencia como mtodo de organizacin de datos, para despus calcular, por ejemplo, probabilidades condicionadas.Tambin se deben resolver problemas de probabilidad total, pudiendo realizar diferentes diagramas, como eldiagrama de rbol, para facilitar su comprensin.


Los cumpleaos

Se trata de que los alumnos comprueben lo alta que es la probabilidad de que dos o ms personas de un grupocumplan aos en la misma fecha.Primero, cada alumno debe calcular la probabilidad de que otra persona de la clase tenga el mismo cumpleaos

que l. Esta es sencilla de obtener: si hay n personas, la probabilidad es de 1 336645n 1

. Esta probabilidad noes muy alta; por ejemplo, en un grupo de 30 alumnos es de 0,0765.

Despus, uno por uno irn diciendo en voz alta su fecha de cumpleaos, y si el grupo es lo suficientementenumeroso, es muy probable que dos personas tengan el mismo cumpleaos. En equipos de tres o cuatro alumnos,deben calcular la probabilidad de que al menos dos personas de la clase cumplan aos el mismo da.

La expresin general es 1 365n

3(36655!

n)! . Por ejemplo, si el grupo es de 30 alumnos, esta probabilidad es

de 0,7063, y si hubiera 60 alumnos, sera de 0,9941, por lo que podemos estar prcticamente seguros de que endos clases habr al menos dos alumnos que tengan el mismo cumpleaos.


1. P(1, X) 16; P(un 2 y una X)

19

2. a) P(M) 14000 0,4

b) P(R/M) 0,8

c) P(R M) 0,32

d) P(R/H) 0,92

e) P(R H) 0,552

f) P(R) 0,872

3. P(extraer tres bastos) 4100

399

388

2347

4. P(sacar tres cruces) V

C

R6

2

,3

,6

156

5.

P(gana A) 12

14

34

P(gana B) 14 15 para Ay 5 para B

6.

a) 260

280

220 dependientes

b) 291

271

231 independientes

7. 285

274

275

264

21

50

294

14570

8. P(A ) P(

P

A

(B

/A

B

)

)

P(A/

P

B

(B

)

/

A

P

)

(B)

38


Probabilidadcondicionada



C

XC

X

GanaA: 12

Gana A:14

Gana B:14

Times NewRoman Arial

10 puntos 2 4

12 puntos 6 8

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Probabilidadcondicionada


1 Un dado de quinielas es un dado cbico en el que en cada cara aparece un 1, unaXo un 2; en el dibujo se muestra su desarrollo. Si lanzamos dos veces consecutivas

un dado de quinielas, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.a) Obtener en el primer lanzamiento un 1, y en el segundo, unaX.

b) Obtener unaX y un 2, sin importar el orden.

2 En una empresa de electrnica, el 40% de los empleados son mujeres. Sabiendo que el 8% de los hombres y el 20%de las mujeres son rubios, calcula la probabilidad de que uno de ellos:

a) Sea mujer. d) Sabiendo qu

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