Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

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Algunos Teoremas, Principios y Conceptos Prof. A. Zozaya, Dr. 1 Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA) Departmento de Electrónica y Comunicaciones Universidad de Carabobo Valencia, dic/2009 a.z. @ abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 1 / 32

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Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Prof. A. Zozaya, Dr.

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departmento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, dic/2009

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 1 / 32

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ContenidoIntroducción

Teorema de la Unicidad

Concepto de DualidadFuentes dualesFunciones potenciales dualesCantidades duales

Teoría de imágenes

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de volumen)

Teorema de la Inducción

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 2 / 32

Page 3: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

+ Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior

4 Se desea conocer loscampos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

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Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

+ Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior

4 Se desea conocer loscampos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

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Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

+ Ejemplo de problemainterior

Problema exterior

4 Se desea conocer loscampos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

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Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior+ Se desea conocer los

campos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

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Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior4 Se desea conocer los

campos en el exterior decierta región –V 00–

+ Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

4 Ejemplo de problemaexterior

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Introducción

Tipos de problemas electromagnéticosProblema interior

4 Se desea conocer loscampos en el interior decierta región –V 0–

4 Las fuentes del campo selocalizan en V 0

4 Ejemplo de problemainterior

Problema exterior4 Se desea conocer los

campos en el exterior decierta región –V 00–

4 Las fuentes del campo selocalizan fuera de V 00

+ Ejemplo de problemaexterior

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

+ Dado un problema, interior o exterior.

4 Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.4 Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

4 Dado un problema, interior o exterior.

+ Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.

4 Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

4 Dado un problema, interior o exterior.

4 Problema interior S4 + S1;2;3 ” S 0.+ Problema exterior S1;2;3 ” S 00 y S4 2 1

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

La solución debesatisfacer las ecuaciones–en V 0 o en V 00–:

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

Para medios absorbentes o regenerativos, la soluciónserá única:

+ si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

4 si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

4 si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

La solución debesatisfacer las ecuaciones–en V 0 o en V 00–:

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

Para medios absorbentes o regenerativos, la soluciónserá única:

4 si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

+ si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

4 si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

La solución debesatisfacer las ecuaciones–en V 0 o en V 00–:

rˆ E = ` |!—H (1)

rˆ H = |!"E + J i (2)

Para medios absorbentes o regenerativos, la soluciónserá única:

4 si se especifica el valor de la componente tangencial de E (Efi)sobre la superficie S (S 0 o S 00), o

4 si especifica la componente tangencial de H (Hfi) sobre S, o

+ si se especifica Efi sobre una parte de S y Hfi sobre el resto.

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

Postúlense dossoluciones distintas delas Ecs. (1) y (2):E1;H1 y E2;H2.

Llámensee y h las diferencias E1 ` E2 y H1 ` H2, respectivamente

Este campo diferencia es un campo libre de fuentes enla región de estudio y satisface las ecuaciones:

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

Postúlense dossoluciones distintas delas Ecs. (1) y (2):E1;H1 y E2;H2.

Llámensee y h las diferencias E1 ` E2 y H1 ` H2, respectivamente

Este campo diferencia es un campo libre de fuentes enla región de estudio y satisface las ecuaciones:

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la Unicidad

Postúlense dossoluciones distintas delas Ecs. (1) y (2):E1;H1 y E2;H2.

Llámensee y h las diferencias E1 ` E2 y H1 ` H2, respectivamente

Este campo diferencia es un campo libre de fuentes enla región de estudio y satisface las ecuaciones:

`rˆ e = |!—h (3)

rˆ h = |!"e (4)

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la UnicidadEl campo diferencia satisface la ecuaciónde balance energético:

12<IS

e ˆ h˜ ´ ds = `!2

ZV

("00e2 + —00h2) d� (5)

Comprobación+ En virtud de uno cualquiera de los tres casos enunciados se

comprueba que 1=2<HS e ˆ h

˜ ´ ds = 0, resultandoZV

("00e2 + —00h2) d� = 0 (6)

4 La Ec. (6) para "00; —00 6= 0, o para "00 6= 0 y —00 = 0, o para —00 6= 0 y"00 = 0, siendo el medio absorbente ("00; —00 > 0) o regenerativo("00; —00 < 0), implica que e = h = 0 en todos los puntos de la regiónde interés, y por tanto existe una solución única.

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Teorema de la Unicidad

Teorema de la UnicidadEl campo diferencia satisface la ecuaciónde balance energético:

12<IS

e ˆ h˜ ´ ds = `!2

ZV

("00e2 + —00h2) d� (5)

Comprobación4 En virtud de uno cualquiera de los tres casos enunciados se

comprueba que 1=2<HS e ˆ h

˜ ´ ds = 0, resultandoZV

("00e2 + —00h2) d� = 0 (6)

+ La Ec. (6) para "00; —00 6= 0, o para "00 6= 0 y —00 = 0, o para —00 6= 0 y"00 = 0, siendo el medio absorbente ("00; —00 > 0) o regenerativo("00; —00 < 0), implica que e = h = 0 en todos los puntos de la regiónde interés, y por tanto existe una solución única.

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Page 20: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Concepto de Dualidad Fuentes duales

Concepto de DualidadFuentes duales

Mundo físico actual

`rˆ E = |!—H r ´ ("E) = �e

rˆ H = |!"E + J i r ´ (—H) = 0

Fuentes actuales, cargas y corrientes eléctricas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´ J = `|!�e

Mundo dual

`rˆ E = |!—H +M i r ´ ("E) = 0

rˆ H = |!"E r ´ (—H) = �m

Fuentes duales, cargas y corrientes magnéticas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´M = `|!�m

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Concepto de Dualidad Fuentes duales

Concepto de DualidadFuentes duales

Mundo físico actual

`rˆ E = |!—H r ´ ("E) = �e

rˆ H = |!"E + J i r ´ (—H) = 0

Fuentes actuales, cargas y corrientes eléctricas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´ J = `|!�e

Mundo dual

`rˆ E = |!—H +M i r ´ ("E) = 0

rˆ H = |!"E r ´ (—H) = �m

Fuentes duales, cargas y corrientes magnéticas relacionadas entre simediante la ecuación

r ´M = `|!�m

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Concepto de Dualidad Funciones potenciales duales

Concepto de DualidadFunciones potenciales duales

En nuestro mundo físico

E = `|!»1»2r(r ´ A) + A

–y H =

1—rˆ A

donde

A =—

ZV 0J i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

En el mundo dual que se postula

H = `|!»1»2r(r ´ F ) + F

–y E = `1

"rˆ F

donde

F ="

ZV 0M i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

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Concepto de Dualidad Funciones potenciales duales

Concepto de DualidadFunciones potenciales duales

En nuestro mundo físico

E = `|!»1»2r(r ´ A) + A

–y H =

1—rˆ A

donde

A =—

ZV 0J i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

En el mundo dual que se postula

H = `|!»1»2r(r ´ F ) + F

–y E = `1

"rˆ F

donde

F ="

ZV 0M i (r 0)

e`|»R

Rd� 0

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Page 24: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Concepto de Dualidad Cantidades duales

Concepto de DualidadCantidades duales

Fuentes eléctricasJ = 0, M 6= 0

EHJA"

»

1=”

Fuentes magnéticasJ = 0, M 6= 0

H`EMF—

"

»

1=””

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Concepto de Dualidad Cantidades duales

Concepto de DualidadCantidades duales

Fuentes eléctricasJ = 0, M 6= 0

EHJA"

»

1=”

Fuentes magnéticasJ = 0, M 6= 0

H`EMF—

"

»

1=””

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Teoría de imágenes

Teoría de ImágenesProblemas con valores en la frontera

+ La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

4 Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

aSe asume como fuente la corriente –J o M–

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

4 Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

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Teoría de imágenes

Teoría de ImágenesProblemas con valores en la frontera

4 La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

+ Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

aSe asume como fuente la corriente –J o M–

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

4 Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

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Teoría de imágenes

Teoría de ImágenesProblemas con valores en la frontera

4 La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

4 Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

aSe asume como fuente la corriente –J o M–

+ De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

4 Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

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Teoría de imágenes

Teoría de ImágenesProblemas con valores en la frontera

4 La solución del campo depende delconocimiento de éste en los límites de laregión de interés

4 Un elemento fuente (o fuente elemental)a,junto a su «imagen»(?), irradiando en elespacio libre, producen un campo E , cuyacomponente tangencial al plano que biseca lalinea que une ambas fuentes es nula

aSe asume como fuente la corriente –J o M–

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano conductor eléctrico perfecto(PEC).

+ Ésta es la Teoría de Imágenes, según la cual, estos dos problemasson equivalentes

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Teoría de imágenes

Teoría de Imágenes

Generalización al mundo dualLas ideas anteriores se extiendennaturalmente al mundo dual, en el que seasume la existencia de un conductormagnético perfecto, o PMC, caracterizadopor un ffm !1

+ Un elemento fuente, junto a su «imagen», irradiando en el espaciolibre, producen un campo H, cuya componente tangencial al planoque biseca la linea que une ambas fuentes es nula.

4 De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano PMC.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 12 / 32

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Teoría de imágenes

Teoría de Imágenes

Generalización al mundo dualLas ideas anteriores se extiendennaturalmente al mundo dual, en el que seasume la existencia de un conductormagnético perfecto, o PMC, caracterizadopor un ffm !1

4 Un elemento fuente, junto a su «imagen», irradiando en el espaciolibre, producen un campo H, cuya componente tangencial al planoque biseca la linea que une ambas fuentes es nula.

+ De acuerdo al Teorema de la Unicidad, este campo coincide conel que producen en el semiespacio infinito una sola de las fuenteselementales radiando frente a un plano PMC.

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad

Intento de enunciado+ La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

cuando se intercambian las posiciones de la fuente y de observación

4 Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

4 Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad

Intento de enunciado4 La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

cuando se intercambian las posiciones de la fuente y de observación

+ Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

4 Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad

Intento de enunciado4 La respuesta de un sistema (lineal) a una fuente dada no cambia

cuando se intercambian las posiciones de la fuente y de observación

4 Circuitalmente [Balanis] en una red lineal, las posiciones de unafuente ideal de voltaje y una amperímetro ideal, se puedenintercambiar sin que se vean afectadas sus lecturas.

+ Definitivamente, este teorema relaciona la respuesta a en las fuentesb, con la respuesta b en las fuentes a, una manera anglosajona deparafrasear en castellano a Harrington.

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad

Formalmente+ Dados los conjuntos de fuentes Ja, Ma y Jb, Mb, a la misma

frecuencia, los cuales actúan, simultáneamente o por separado, enun mismo medio lineal.

4 Tales fuentes producen, respectivamente, los campos Ea, Ha y Eb,Hb, los cuales se someten individualmente al siguiente conjunto deecuaciones

rˆ Ha = |!"Ea + Ja

`rˆ Ea = |!—Ha +Ma

rˆ Hb = |!"Eb + Jb

`rˆ Eb = |!—Hb +Mb

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la Reciprocidad

Formalmente4 Dados los conjuntos de fuentes Ja, Ma y Jb, Mb, a la misma

frecuencia, los cuales actúan, simultáneamente o por separado, enun mismo medio lineal.

+ Tales fuentes producen, respectivamente, los campos Ea, Ha y Eb,Hb, los cuales se someten individualmente al siguiente conjunto deecuaciones

rˆ Ha = |!"Ea + Ja

`rˆ Ea = |!—Ha +Ma

rˆ Hb = |!"Eb + Jb

`rˆ Eb = |!—Hb +Mb

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

+ Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

Eb ´ r ˆ Ha ` Ha ´ r ˆ Eb =

|!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

4 La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

Ea ´ r ˆ Hb ` Hb ´ r ˆ Ea =

|!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

4 Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

4 Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

Eb ´ r ˆ Ha ` Ha ´ r ˆ Eb =

|!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

+ La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

Ea ´ r ˆ Hb ` Hb ´ r ˆ Ea =

|!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

4 Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

4 Multiplicando escalarmente la primera de estas ecuaciones por Eb, yla última por Ha, y sumando los resultados

Eb ´ r ˆ Ha ` Ha ´ r ˆ Eb =

|!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

4 La multiplicación escalar de la segunda de tales la ecuaciones porHb, y la tercera por Ea y la suma de los resultados, equivale aintercambiar en el resultado previo las aes por las bes:

Ea ´ r ˆ Hb ` Hb ´ r ˆ Ea =

|!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

+ Usando la identidad r ´ (Aˆ B) = B ´ r ˆ A` A ´ r ˆ B,

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

`r ´ (Eb ˆ Ha) = |!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

`r ´ (Hb ˆ Ea) = |!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

Restando la primera de estas ecuaciones a la segunda, se obtiene:

r ´ (Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) = Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb

Al integrar para un volumen dado y aplicar el Teoremade la Divergencia

IS(V )

(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds =ZV

(Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb) d� (7)

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Teorema de la Reciprocidad

Teorema de la ReciprocidadFormalmente

`r ´ (Eb ˆ Ha) = |!"Eb ´ Ea + Eb ´ Ja + |!—Ha ´ Hb + Ha ´Mb

`r ´ (Hb ˆ Ea) = |!"Ea ´ Eb + Ea ´ Jb + |!—Hb ´ Ha + Hb ´Ma

Restando la primera de estas ecuaciones a la segunda, se obtiene:

r ´ (Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) = Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb

Al integrar para un volumen dado y aplicar el Teoremade la Divergencia

IS(V )

(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds =ZV

(Ea ´ Jb ` Eb ´ Ja + Hb ´Ma ` Ha ´Mb) d� (7)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 16 / 32

Page 42: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

La Ecuación 7 encierra el concepto de reciprocidad y da lugar a dosconceptos importantes

Al Teorema de Reciprocidad de Lorentzcuando se estudian los campos en una región que no contiene las fuentes:H

S(V )(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds = 0

Al concepto de Reaccióncuando la región se extiende hasta el infinito y las fuentes se considerande extensión finita (los campos en el infinito son campos de radiación):R

V (Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d� =

RV (E

b ´ Ja ` Hb ´Ma) d�

RV E

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 17 / 32

Page 43: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

La Ecuación 7 encierra el concepto de reciprocidad y da lugar a dosconceptos importantes

Al Teorema de Reciprocidad de Lorentzcuando se estudian los campos en una región que no contiene las fuentes:H

S(V )(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds = 0

Al concepto de Reaccióncuando la región se extiende hasta el infinito y las fuentes se considerande extensión finita (los campos en el infinito son campos de radiación):R

V (Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d� =

RV (E

b ´ Ja ` Hb ´Ma) d�

RV E

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 17 / 32

Page 44: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

La Ecuación 7 encierra el concepto de reciprocidad y da lugar a dosconceptos importantes

Al Teorema de Reciprocidad de Lorentzcuando se estudian los campos en una región que no contiene las fuentes:H

S(V )(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds = 0

Al concepto de Reaccióncuando la región se extiende hasta el infinito y las fuentes se considerande extensión finita (los campos en el infinito son campos de radiación):R

V (Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d� =

RV (E

b ´ Ja ` Hb ´Ma) d�

que para el caso de fuentes eléctricas solamente, se reduce a:

RV E

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 17 / 32

Page 45: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la ReciprocidadConcepto de Reacción

La Ecuación 7 encierra el concepto de reciprocidad y da lugar a dosconceptos importantes

Al Teorema de Reciprocidad de Lorentzcuando se estudian los campos en una región que no contiene las fuentes:H

S(V )(Eb ˆ Ha ` Hb ˆ Ea) ´ ds = 0

Al concepto de Reaccióncuando la región se extiende hasta el infinito y las fuentes se considerande extensión finita (los campos en el infinito son campos de radiación):R

V (Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d� =

RV (E

b ´ Ja ` Hb ´Ma) d�

que para el caso de fuentes eléctricas solamente, se reduce a:RV E

a ´ Jb d� =RV E

b ´ Ja d�

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 17 / 32

Page 46: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la Reciprocidad

Concepto de Reacción+ La integral

< a; b >=

ZV

(Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d�

4 que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

ZV

Eb ´ Ja d�

se lee como la reacción de los campos a «sobre» o «en» lasfuentes b.

4 Ciertamente< a; b >=< b; a >

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 18 / 32

Page 47: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la Reciprocidad

Concepto de Reacción4 La integral

< a; b >=

ZV

(Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d�

+ que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

ZV

Eb ´ Ja d�

se lee como la reacción de los campos a «sobre» o «en» lasfuentes b.

4 Ciertamente< a; b >=< b; a >

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 18 / 32

Page 48: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

Teorema de la Reciprocidad

Concepto de Reacción4 La integral

< a; b >=

ZV

(Ea ´ Jb ` Ha ´Mb) d�

4 que para el caso de fuentes eléctricas solamente se reduce a:ZV

Ea ´ Jb d� =

ZV

Eb ´ Ja d�

se lee como la reacción de los campos a «sobre» o «en» lasfuentes b.

+ Ciertamente< a; b >=< b; a >

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 18 / 32

Page 49: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Reciprocidad Concepto de Reacción

¿K? ¿x? ¿y?

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 19 / 32

Page 50: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie)

Principio de Equivalencia (de superficie)

En una región R dada, los campos E y Hquedan únicamente determinados: por susfuentes J i y M i en R, y/o por las com-ponentes tangenciales de E , o de H, o deambas, sobre la superficie que encierra a R

Siendo R de extensión 1

4 al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal quelas fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

4 postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 20 / 32

Page 51: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie)

Principio de Equivalencia (de superficie)

En una región R dada, los campos E y Hquedan únicamente determinados: por susfuentes J i y M i en R, y/o por las com-ponentes tangenciales de E , o de H, o deambas, sobre la superficie que encierra a R

Siendo R de extensión 1+ al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal que

las fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

4 postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 20 / 32

Page 52: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie)

Principio de Equivalencia (de superficie)

En una región R dada, los campos E y Hquedan únicamente determinados: por susfuentes J i y M i en R, y/o por las com-ponentes tangenciales de E , o de H, o deambas, sobre la superficie que encierra a R

Siendo R de extensión 14 al dividir R en dos subdominios –V1 y V2–, separados por S, tal que

las fuentes originales del campo queden confinadas en uno de talessubdominios, dígase en V1,

+ postulando un campo cualquiera dentro de V1, díganse E1 y H1, elcampo en V2 se puede determinar si se especifican «valoresapropiados» de las componentes tangenciales de los campos sobreS.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 20 / 32

Page 53: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie)

Principio de Equivalencia (de superficie)

Ello implica crear un problema nuevo, equiv-alente al original, en V2, en el que unasfuentes «equivalentes», distribuidas sobre S(imaginaria), y suspendidas en el medio ma-terial original, irradiando, engendran el cam-po E , H en V2 y E1, H1 en V1

Estructura de las fuentes

4 tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ (H ` H1) yMs = `an ˆ (E `E1), donde an es el vector unitario perpendicular aS en dirección de V1 a V2.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 21 / 32

Page 54: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie)

Principio de Equivalencia (de superficie)

Ello implica crear un problema nuevo, equiv-alente al original, en V2, en el que unasfuentes «equivalentes», distribuidas sobre S(imaginaria), y suspendidas en el medio ma-terial original, irradiando, engendran el cam-po E , H en V2 y E1, H1 en V1

Estructura de las fuentes+ tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ (H ` H1) yMs = `an ˆ (E `E1), donde an es el vector unitario perpendicular aS en dirección de V1 a V2.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 21 / 32

Page 55: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

A los fines de determinar el campo en V2, esirrelevante cual campo, E1, H1, se postuleen el interior V1

Equivalencia de LOVE

4 éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

4 en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 22 / 32

Page 56: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

A los fines de determinar el campo en V2, esirrelevante cual campo, E1, H1, se postuleen el interior V1

Equivalencia de LOVE+ éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

4 en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 22 / 32

Page 57: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

A los fines de determinar el campo en V2, esirrelevante cual campo, E1, H1, se postuleen el interior V1

Equivalencia de LOVE4 éste bien puede asumirse nulo (Equivalencia de Love)

+ en tal caso, las tales fuentes han de tener la forma: Js = an ˆ H yMs = `an ˆ E ,

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 22 / 32

Page 58: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además,

seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:

4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

4 llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

4 en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 23 / 32

Page 59: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además, seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:

4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

4 llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

4 en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 23 / 32

Page 60: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además, seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:+ llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

4 llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

4 en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 23 / 32

Page 61: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además, seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

+ llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

4 en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 23 / 32

Page 62: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Equivalencia de Love

La postulación de un campo nulo en el inte-rior de V1 no se ve afectada si, además, seintroduce artificialmente en V1 un materialdistinto del original

Surgen dos posibilidades muy interesantes:4 llenar V1 con un conductor eléctrico perfecto (PEC)

4 llenar V1 con un conductor magnético perfecto (PMC)

+ en cualquier caso, las fuentes equivalentes iniciales ya no irradiaríanen un medio ilimitado, sino en presencia del medio materialintroducido en el interior de V1.

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 23 / 32

Page 63: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

+ las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

- Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

- Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 64: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

- Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

3 Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 65: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

3 Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

- Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 66: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

3 Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

3 Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

+ grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 67: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

3 Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

3 Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

+ invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

4 ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 68: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor eléctrico perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PEC de lasiguiente manera

3 Js = anˆH es «cortocircuitada»por el PEC (teoría de imágenes)

3 Ms = `an ˆ E irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PEC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PEC y se le sustituye por unaM ims imagen, a una distancia infinitesimal de Ms

+ ambas corrientes magnéticas irradiarían en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 24 / 32

Page 69: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

+ las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

- Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

- Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 70: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

- Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

3 Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 71: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

3 Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

- Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 72: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

3 Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

3 Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

+ grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 73: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

3 Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

3 Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

+ invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

4 ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 74: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de superficie) Equivalencia de Love

Principio de Equivalencia (de superficie)Caso: V1 lleno de un conductor magnético perfecto

4 las fuentes equivalentes de la forma:Js = an ˆ H y Ms = `an ˆ E , se venafectadas por la presencia del PMC de lasiguiente manera

3 Ms = `an ˆ E es«cortocircuitada» por el PMC(teoría de imágenes)

3 Js = an ˆ H irradia, no en unaregión ilimitada, sino enpresencia del PMC

4 grado de dificultad del problema resultante = al original

4 invocando Teoría de Imágenes + Principio de Equivalencia posible reformulación: se elimina el PMC y se le sustituye por J imsimagen, a una distancia infinitesimal de Js

+ ambas corrientes eléctricas irradian en el medio ilimitado original

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 25 / 32

Page 75: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 1

+ Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

4 Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 26 / 32

Page 76: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 1

4 Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

+ Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 26 / 32

Page 77: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 1

4 Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

4 Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 26 / 32

Page 78: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 1

4 Las fuentes impresas J i y M i irradian en el espacio libre ("0, —0)

4 Los campos engendrados, E i y H i satisfacen las siguientesecuaciones:

rˆ E i = `|!—0H i `M i

rˆ H i = |!"0E i + J i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 26 / 32

Page 79: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario

se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

Page 80: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

Page 81: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

Page 82: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

Page 83: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 2: el problema

En este escenario se intro-duce un cuerpo hecho dematerial distinto (", —)

Los campos engendrados, E = E i + E s y H = H i + Hs(1), satisfacen lassiguientes ecuaciones:

fuera del objeto:

rˆ E = `|!—0H `M i

rˆ H = |!"0E + J i

dentro del objeto:

rˆ E = `|!—Hrˆ H = |!"E

1Las partes E s y Hs de los campos no se conocena.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 27 / 32

Page 84: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

El problema originales reformulado.

Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

El problema reformulado se obtiene al sustraer del caso 2 , el caso 1 , estoes:

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 28 / 32

Page 85: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

El problema originales reformulado. Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

El problema reformulado se obtiene al sustraer del caso 2 , el caso 1 , estoes:

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 28 / 32

Page 86: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

El problema originales reformulado. Se re-tienen: el cuerpo y loscampos dispersos E s yHs , y se eliminan: lasfuentes impresas J i y M i

El problema reformulado se obtiene al sustraer del caso 2 , el caso 1 , estoes:

fuera del objeto:

rˆ E s = `|!—0Hs

rˆ Hs = |!"0E s

dentro del objeto:

rˆ E s = `|!(—H ` —0H i )

rˆ Hs = |!("E ` "0E i )

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 28 / 32

Page 87: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

Sumando y restando lostérminos |!—0H y |!"0E ,a las ecuaciones den-tro del objeto, respectiva-mente

se obtiene:

rˆ E s = `|!—0Hs `M ieq

rˆ Hs = |!"0E s + J ieq

donde

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

las cuales constituyen unas fuentes equivalentes distribuidas en el volumenV 0 original del objeto, pero suspendidas en el espacio libre, que, irradiando,engendran los campos E s y Hs .

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 29 / 32

Page 88: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

Sumando y restando lostérminos |!—0H y |!"0E ,a las ecuaciones den-tro del objeto, respectiva-mente

se obtiene:

rˆ E s = `|!—0Hs `M ieq

rˆ Hs = |!"0E s + J ieq

donde

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

las cuales constituyen unas fuentes equivalentes distribuidas en el volumenV 0 original del objeto, pero suspendidas en el espacio libre, que, irradiando,engendran los campos E s y Hs .

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 29 / 32

Page 89: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Principio de Equivalencia (de volumen)

Principio de Equivalencia (de volumen)Caso 3: «la solución»

Sumando y restando lostérminos |!—0H y |!"0E ,a las ecuaciones den-tro del objeto, respectiva-mente

se obtiene:

rˆ E s = `|!—0Hs `M ieq

rˆ Hs = |!"0E s + J ieq

donde

M ieq = |!(—` —0)H

J ieq = |!("` "0)E

las cuales constituyen unas fuentes equivalentes distribuidas en el volumenV 0 original del objeto, pero suspendidas en el espacio libre, que, irradiando,engendran los campos E s y Hs .

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 29 / 32

Page 90: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 30 / 32

Page 91: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente

* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 30 / 32

Page 92: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo

* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 30 / 32

Page 93: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo

* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 30 / 32

Page 94: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las fuentes impresas J iy M i irradian los camposE i y H i en un medio depropiedades "1 y —1, de ex-tensión 1.* tales campos (postu-lamos) se pueden resolverpor integración de J i yM i .

* Las mismas fuentes, irradiando en presencia de un «obstáculo» (ma-terial de propiedades "2 y —2) producen los campos exteriores e interioresal obstáculo: E1 y H1 y E2 y H2, respectivamente* El campo E1 (H1) se compone del campo E i (H i), impreso original, ydel campo E s (Hs), disperso hacia el exterior por el obstáculo* El campo E2 (H2) es un campo refractado, y se compone del campoE i (H i), y del campo E t (Ht) disperso hacia el interior por el obstáculo* Incógnitas: E s (Hs) fuera del obstáculo y E2 (H2) dentro

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 30 / 32

Page 95: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 31 / 32

Page 96: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer

+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 31 / 32

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Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema

+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 31 / 32

Page 98: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)

+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 31 / 32

Page 99: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* En la mayoría delos problemas de «dis-persión» tiene mayor in-terés conocer el campoE s (Hs) fuera del ob-stáculo* Se postula un proble-ma equivalente:

+ se retienen ambos medios: el exterior ("1 y —1), que es motivo denuestra atención, y el obstáculo "2 y —2), que produce la perturbación quese desea conocer+ se substraen las fuentes impresas J i y M i del problema+ se postula, exteriormente: la existencia de un campo de dispersión E s(Hs), e interiormente: el campo refractado E2 (H2)+ y sustentando estos campos, se introducen las fuentes superficialesequivalentes, las cuales irradian en presencia del obstáculo:

Jeqs = an ˆ (Hs ` H2) Meqs = `an ˆ (E s ` E2)

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 31 / 32

Page 100: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las expresiones analíti-cas de Jeqs y Meq

s ad-miten una simplificaciónal considerar las condi-ciones de borde de loscampos sobre S* en efecto:

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

)

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

an ˆ H2 = an ˆ (H i + Hs| {z }H1

)

* al sustituir las expresiones para E2 y H2 en la ecuaciones de Jeqs y Meqs

anteriores ver I :

Jeqs = `an ˆ H i Meqs = an ˆ E i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 32 / 32

Page 101: Algunos Teoremas, Principios y Conceptos

Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las expresiones analíti-cas de Jeqs y Meq

s ad-miten una simplificaciónal considerar las condi-ciones de borde de loscampos sobre S* en efecto:

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

)

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

an ˆ H2 = an ˆ (H i + Hs| {z }H1

)

* al sustituir las expresiones para E2 y H2 en la ecuaciones de Jeqs y Meqs

anteriores ver I :

Jeqs = `an ˆ H i Meqs = an ˆ E i

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Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las expresiones analíti-cas de Jeqs y Meq

s ad-miten una simplificaciónal considerar las condi-ciones de borde de loscampos sobre S* en efecto:

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

)

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

an ˆ H2 = an ˆ (H i + Hs| {z }H1

)

* al sustituir las expresiones para E2 y H2 en la ecuaciones de Jeqs y Meqs

anteriores ver I :

Jeqs = `an ˆ H i Meqs = an ˆ E i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 32 / 32

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Teorema de la Inducción

Teorema de la Inducción* Las expresiones analíti-cas de Jeqs y Meq

s ad-miten una simplificaciónal considerar las condi-ciones de borde de loscampos sobre S* en efecto:

como an ˆ (E1 ` E2) = 0:

an ˆ E2 = an ˆ (E i + E s| {z }E1

)

como an ˆ (H1 ` H2) = 0:

an ˆ H2 = an ˆ (H i + Hs| {z }H1

)

* al sustituir las expresiones para E2 y H2 en la ecuaciones de Jeqs y Meqs

anteriores ver I :

Jeqs = `an ˆ H i Meqs = an ˆ E i

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) Teoremas, principios y conceptos Valencia, dic/2009 32 / 32