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Propiedades espectrales y problemas relacionadosIsometrıas y problemas relacionados
Transformaciones Fraccionales Lineales en CN
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XIX Escuela Venezolana de MatematicasAlgunos Problemas de la Teorıa de Operadores de Composicion en
Espacios de Funciones Analıticas
Gerardo A. Chacon, Gerardo R. Chacon y Jose GimenezUniversidad de los Andes
Septiembre 2006
XIX Escuela Venezolana de Matematicas Desarrollos adicionales
Propiedades espectrales y problemas relacionadosIsometrıas y problemas relacionados
Transformaciones Fraccionales Lineales en CN
1 Propiedades espectrales y problemas relacionadosOperadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC ∗
ψ y C ∗ψCϕ
Rango Numerico de Operadores de Composicion
2 Isometrıas y problemas relacionadosFunciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
3 Transformaciones Fraccionales Lineales en CN
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Operadores de composicion esencialmente normales
Un operador T en un espacio de Hilbert se dice normal siTT ∗ = T ∗T , y esencialmente normal si T ∗T − TT ∗ es compacto.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Operadores de composicion esencialmente normales
Un operador T en un espacio de Hilbert se dice normal siTT ∗ = T ∗T , y esencialmente normal si T ∗T − TT ∗ es compacto.
• Bourdon, Levi, Narayan y Shapiro (2003): Espacio de Hardy.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Operadores de composicion esencialmente normales
Un operador T en un espacio de Hilbert se dice normal siTT ∗ = T ∗T , y esencialmente normal si T ∗T − TT ∗ es compacto.
• Bourdon, Levi, Narayan y Shapiro (2003): Espacio de Hardy.• MacCluer y Weir (2004): Espacios de Bergman.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Operadores de composicion esencialmente normales
Un operador T en un espacio de Hilbert se dice normal siTT ∗ = T ∗T , y esencialmente normal si T ∗T − TT ∗ es compacto.
• Bourdon, Levi, Narayan y Shapiro (2003): Espacio de Hardy.• MacCluer y Weir (2004): Espacios de Bergman.
G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)
Un operador de composicion Cϕ inducido en D por unatransformacion fraccional lineal ϕ en Hol(D) es no trivialmenteesencialmente normal si y solo si ϕ no es una transformacionhiperbolica, que no sea automorfismo con un punto fijo en ∂D.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Los operadores CϕC∗ψ y C ∗
ψCϕ
El problema de determinar la compacidad de CϕC ∗ψ y C ∗
ψCϕ fueestudiado por Clifford y Zheng en el espacio de Hardy (1999) y enel espacio de Bergman (2003).
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Los operadores CϕC∗ψ y C ∗
ψCϕ
El problema de determinar la compacidad de CϕC ∗ψ y C ∗
ψCϕ fueestudiado por Clifford y Zheng en el espacio de Hardy (1999) y enel espacio de Bergman (2003).
G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)
Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces CϕC ∗
ψ no es compacto, visto como operador enD, si y solo si existen puntos η1 y η2 en ∂D tales queϕ(η1) = ψ(η2) ∈ ∂D.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Los operadores CϕC∗ψ y C ∗
ψCϕ
El problema de determinar la compacidad de CϕC ∗ψ y C ∗
ψCϕ fueestudiado por Clifford y Zheng en el espacio de Hardy (1999) y enel espacio de Bergman (2003).
G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)
Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces CϕC ∗
ψ no es compacto, visto como operador enD, si y solo si existen puntos η1 y η2 en ∂D tales queϕ(η1) = ψ(η2) ∈ ∂D.
G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)
Supongase que ϕ y ψ son aplicaciones lineales fraccionales de D ensı mismo. Entonces C ∗
ψCϕ no es compacto, visto como unoperador en D, si y solo si existen puntos ω1 y ω2 en ∂D tales queϕ−1(ω1) = ψ−1(ω2) ∈ ∂D.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Rango Numerico de Operadores de Composicion
Para un operador acotado T en un espacio de Hilbert H, el rangonumerico de T se define como el subconjunto del plano complejodado por:
W (T ) := {〈Tx , x〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}.
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Operadores de composicion esencialmente normalesLos operadores CϕC∗ψ y C∗ψCϕRango Numerico de Operadores de Composicion
Rango Numerico de Operadores de Composicion
Para un operador acotado T en un espacio de Hilbert H, el rangonumerico de T se define como el subconjunto del plano complejodado por:
W (T ) := {〈Tx , x〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1}.
Bourdon Shapiro (2000) y Matache (2000): H2.
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G. A. Chacon y G. R. Chacon (2005)
Si ϕ ∈ TFL(D), para Cϕ : D0 → D0 se tiene que:
1 Si ϕ es un automorfismo elıptico con un punto interior fijo α y ϕ′(α) es una raızn-esima de la unidad, entonces W (Cϕ) = co{ϕ′(α)k : k = 0, 1, . . . n − 1}.
2 Si ϕ es conjugado a una rotacion por un multiplo irracional de π: z 7→ µz,|µ| = 1, entonces W (Cϕ) = D ∪ {µ, µ2, . . . }.
3 Si ϕ es un automorfismo hiperbolico o un automorfismo parabolico, entoncesW (Cϕ) = D.
4 Si ϕ es parabolica y no es un automorfismo, entonces W (Cϕ) es la envolventeconvexa de una espiral que une 1 y 0.
5 Si ϕ es hiperbolica con exactamente un punto fijo en la frontera del discoentonces W (Cϕ) = D.
6 Si ϕ no es elıptica, con un punto exterior al disco y un punto interior del discofijos y ϕ′(α) es la derivada en este ultimo punto, entonces
W (Cϕ) = co({ϕ′(α)n : n = 1, 2 . . . } ∪ {0}).
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Isometrıas y problemas relacionados
Objetivo
Teorıa de funciones ⇒ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇒ Propiedades del operador Cϕ
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Teorıa de funciones ⇒ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇒ Propiedades del operador Cϕ
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Teorıa de funciones ⇒ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇒ Propiedades del operador Cϕ
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Teorıa de funciones ⇒ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇒ Propiedades del operador Cϕ
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Operadores de Composicion, isometrıas y problemasrelacionados
Objetivo revisado
Teorıa de funciones ⇔ Teorıa de operadoresPropiedades del sımbolo ϕ ⇔ Propiedades del operador Cϕ
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• Nordgren (1968) El operador de composicion Cϕ inducido en H2
por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• Nordgren (1968) El operador de composicion Cϕ inducido en H2
por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• M. Martın y D. Vukotic (2005) En D, los operadores decomposicion isometricos son aquellos inducidos por aplicacionesunivalentes y llenas, del disco en sı mismo, que fijen el origen.(ϕ ∈ Hol(D) es una aplicacion llena si A[D \ ϕ(D)] = 0)
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• Nordgren (1968) El operador de composicion Cϕ inducido en H2
por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• W. Rudin (1988) Si ϕ es una aplicacion analıtica y acotada en eldisco unitario D tal que el conjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } seaortogonal en H2, ¿ϕ debe ser un multiplo constante de una funcioninterior?
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• Nordgren (1968) El operador de composicion Cϕ inducido en H2
por ϕ ∈ Hol(D) es una isometrıa en H2 si y solo si ϕ(0) = 0 y ϕ esuna funcion interior.• W. Rudin (1988) Si ϕ es una aplicacion analıtica y acotada en eldisco unitario D tal que el conjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } seaortogonal en H2, ¿ϕ debe ser un multiplo constante de una funcioninterior?• C. Sundberg (2003) y C. Bishop(2006) Existen funciones ϕ queno son interiores pero para las cuales el conjunto {ϕn} es ortogonalen H2.
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• M. Martın y D. Vukotic (2005) En D, los operadores decomposicion isometricos son aquellos inducidos por aplicacionesunivalentes y llenas, del disco en sı mismo, que fijen el origen.(ϕ ∈ Hol(D) es una aplicacion llena si A[D \ ϕ(D)] = 0)• Problema: ¿Cuando es ortogonal {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } en D?
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Funciones ortogonales en el espacio de Dirichlet
• M. Martın y D. Vukotic (2005) En D, los operadores decomposicion isometricos son aquellos inducidos por aplicacionesunivalentes y llenas, del disco en sı mismo, que fijen el origen.(ϕ ∈ Hol(D) es una aplicacion llena si A[D \ ϕ(D)] = 0)• Problema: ¿Cuando es ortogonal {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } en D?
G. A. Chacon, G. R. Chacon y J. Gimenez (2005)
Sea ϕ ∈ Hol(D) con ϕ(0) = 0 y nϕ esencialmente acotada. Elconjunto {ϕn : n = 0, 1, 2, . . . } es ortogonal en D si y solo si existeuna funcion g : [0, 1) → [0,∞) tal que para casi todo r ∈ [0, 1),nϕ(re iθ) = g(r) para casi todo θ ∈ [0, 2π] (esto es, nϕ esesencialmente radial).
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Modelo lineal fraccional
Sea ϕ ∈ Hol(D) univalente, entonces existe una aplicacionunivalente σ : D → C y una transformacion fraccional linealψ ∈ Hol(D) tal que ψ(σ(D)) ⊂ σ(D) y σ ◦ ϕ = ψ ◦ σ.
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Modelo lineal fraccional
Sea ϕ ∈ Hol(D) univalente, entonces existe una aplicacionunivalente σ : D → C y una transformacion fraccional linealψ ∈ Hol(D) tal que ψ(σ(D)) ⊂ σ(D) y σ ◦ ϕ = ψ ◦ σ.
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Definicion
Una aplicacion ϕ de CN en CN es llamada una transformacionfraccional lineal si es de la forma
ϕ(z) :=Az + B
〈z ,C 〉+ D, z ∈ CN ;
Donde A es una matriz N ×N, B y C son elementos en CN (vistoscomo vectores columna), y D es un numero complejo.
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Definicion
Una aplicacion ϕ de CN en CN es llamada una transformacionfraccional lineal si es de la forma
ϕ(z) :=Az + B
〈z ,C 〉+ D, z ∈ CN ;
Donde A es una matriz N ×N, B y C son elementos en CN (vistoscomo vectores columna), y D es un numero complejo.
Problema: Estudiar los operadores de composicion inducidos enespacios de funciones analıticas en la bola unitaria de CN portransformaciones fraccionales lineales.
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