La gente me pregunta a menudo... de las tablas de multiplicación

En una de mis paginas web tengo una caja en que la gente puede entrar su cuestion sobre la enseñanza de matemáticas. Algunos preguntas que he recibido son:

"¿Cómo puedo hacer que mis estudiantes aprendan todas las tablas de multiplicar?"

"¿Cuál es la manera más fácil de enseñar las tablas?"

"Es muy difícil para mi fijar las tablas. Por favor ayúdame."

Déjame explicar lo que yo creo es la mejor manera de estudiar multiplicación y tablas de multiplicar. Yo creo en un método básico de dos pasos:

1. Primero enseña el concepto de multiplicar bien. 

2. Entonces practica las tablas en un orden específico,con ejercicios sistemáticos y una cuadrícula/tabla de 12x12.

Vamos a ahondar en estos dos puntos básicos con más detalles.

1) Primero enseña el concepto de multiplicar bien.

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Páginas de muestra (PDF)

Indice & IntroducciónMultiplicación es suma repetida Multiplicación como un matrizMultiplicación en una recta de númerosMultiplicación en dos direcciónesMultiplicación por ceroEntender problemas verbales 1Orden de las operaciónesEntender problemas verbales 2Tabla del 2Tabla del 4Más práctica y repaso 1Tabla del 6Tabla del 9Más práctica y repaso 2Tabla del 8

Puedes estudiar TODAS estas cosas relacionadas con el concepto de multiplicación mismo ANTES de comenzar los ejercicios con las tablas:

Multiplicación es suma repetida Objetos ordenados en columnas/filas Multiplicación en una línea de números Multiplicación en dos maneras Multiplicar por cero Entender problemas verbales

El orden de operaciones

Estudiar el concepto mismo muy bien ayuda a los niños a entender, familiarizarse y sentirse cómodos con multiplicación.

Mientras estudian estos temas, los estudiantes probablemente ya aprenden de memoria algunas multiplicaciones. Tambien empezarán a ver la necesidad de tener un método efectivo y rápido de multiplicar - lo cual, por supuesto, es ¡fijar las tablas de memoria!

Luego enseña las tablas. Es más fácil si se las enseña en un orden específico, con ejercicios sistemáticos, usando la cuadrícula 12x12 - y algunos trucos mnemotécnicos no hacen daño tampoco.

Yo he organizado el estudio de las tablas en mi libro Multiplicación 1 en este orden:

Tabla de 2Tabla de 4Tabla de 10Tabla de 5[Más práctica y repaso]Tabla de 3Tabla de 6Tabla de 9Tabla de 11[Más práctica y repaso]Tabla de 7Tabla de 8Tabla de 12

Pues primero están las más fáciles. No solo esto, sino también notas que la tabla de 4 sigue la tabla de 2, y la tabla de 6 sigue la tabla de 3. La tabla de 5 sigue la tabla de 10.

Esto NO es por casualidad. Esas tablas comparten ciertos parecidos. Por ejemplo, las multiplicaciones en la tabla de cuatro son "dobles" de las de tabla de 2. Si sabes 2 x 7 = 14, entonces 4 x 7 es doble de eso ó 28). Productos en la tabla de 6 son dobles de los en la tabla de 3.

Usando una cuadrícula 12x12 significa que cada día, o cada lección, el alumno completa la cuadrícula 12 x 12 hasta los productos que ya sabe. El territorio de multiplicaciones "ennegrecidas" y no conocidas se pone cada vez más pequeño - muy rápido - ¡y los alumnos pueden VER eso! Esto les motiva mucho. También puedes usar una cuadrícula de 10x10, si solo quieres estudiar las tablas hasta el 10.

Y esto no es todo. Yo creo que es también MUY importante que los niños aprendan las tablas en dos "maneras" - asíi que no solo saben que 5 x 6 es 30, sino que también saben que 30 ESTÁ en las tablas del 5 y 6.

Puedes ver la importancia enorma de esto si piensas de división, lo cual normalmente se estudia pronto después. Para este meta, los alumnos podrían primero aprender de memoria las RESPUESTAS, o la lista de contar de saltos, y luego asociar cada respuesta con el problema correcta. Por ejemplo, cuando estudia la tabla del 3, el estudiante primero aprendería de memoria la lista 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36. Después de eso, los ejercicios se concentrarían en cuántas veces 3 es 27, cuántas veces 3 es 18, etc.

Familias de operaciones con multiplicación y división

Del mismo dibujo, puedes conseguir dos multiplicaciones y dos divisiones: 

Bananas divididas en filas: Las mismas bananas divididas en columnas:

12 bananas engrupos de cuatroson tres grupos.

12 ÷ 4 = 33 × 4 = 12

12 bananas en grupos de tresson cuatro grupos.

12 ÷ 3 = 44 × 3 = 12

Semejante a las familias de operaciones con suma y resta, podemos formar  familias de operaciones que tienen dos multiplicaciones y dos divisiones.

1. Haz dos divisiones y dos multiplicaciones de cada dibujo.

a. 2 × 6 =  __

6 × 2 =  __

__ ÷ 2 = __

__ ÷ 6 = __

b. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

c. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

d. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

e. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

f. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

g. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

h. __ × __ =  __   

__ × __ =  __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

2. Escribe familias de operaciones.

a.

__ × 2 = 14

__ × __ = __

__ ÷ 2 = __

__ ÷ __ = __

b.

__ × 7 = 35

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

c.

__ × 8 = 56

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

d.

__ × 8 = 64

__ × __ = __

__ ÷ __= __

__ ÷ __ = __

3. Divide. ¡Piensa en la multiplicación que corresponde!

a.

12 ÷ 2 = __

18 ÷ 2 = __

22 ÷ 2 = __

16 ÷ 2 = __

24 ÷ 2 = __

b.

15 ÷ 3 = __

24 ÷ 3 = __

18 ÷ 3 = __

9 ÷ 3 = __

27 ÷ 3 = __

c.

40 ÷ 4 = __

16 ÷ 4 = __

24 ÷ 4 = __

32 ÷ 4 = __

36 ÷ 4 = __

d.

45 ÷ 5 = __

25 ÷ 5 = __

55 ÷ 5 = __

40 ÷ 5 = __

35 ÷ 5 = __

4. Escribe más familias de operaciones.

a.__ × 5 = 25

b.__ × 4 = 32

c.__ × 7 = 42

d.__ × 11 = 110

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

e.__ × 10 = 50

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

__ ÷ __ = __

f.__ × __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

40 ÷ 5 = __

g.__ × __ = __

__ × __ = __

36 ÷ 9 = __

__ ÷ __ = __

h.__ × __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

54 ÷ 9 = __

i.__ × __ = __

__ × __ = __

__ ÷ __ = __

77 ÷ 11 = __

j.__ × __ = __

__ × __ = __

48 ÷ 8 = __

__ ÷ __ = __

k.__ × __ = __

__ × __ = __

63 ÷ 7 = __

__ ÷ __ = __

l.__ × __ = __

__ × __ = __

30 ÷ 5 = __

__ ÷ __ = __

5. Divide. ¡Piensa en la multiplicación que corresponde!

a.56 ÷ 7 = __

70 ÷ 7 = __

42 ÷ 7 = __

49 ÷ 7 = __

28 ÷ 7 = __

b.48 ÷ 6 = __

24 ÷ 6 = __

66 ÷ 6 = __

72 ÷ 6 = __

54 ÷ 6 = __

c.54 ÷ 9 = __

81 ÷ 9 = __

72 ÷ 9 = __

45 ÷ 9 = __

36 ÷ 9 = __

d.48 ÷ 8 = __

24 ÷ 8 = __

72 ÷ 8 = __

40 ÷ 8 = __

32 ÷ 8 = __

Tanto con la multiplicación como con la división tienes varios grupos del mismo tamaño.

Seis grupos de 3 es igual a 18.18 dividido en grupos de 3 son seis grupos.   

6 × 3 = 1818 ÷ 3 = 6

En problemas de multiplicación,

Cada grupo tiene la misma cantidad de unidades. Sabes cuántos grupos hay. Se pide el total.

En problemas de división  

Cada grupo tiene la misma cantidad de unidades. Ya sabes el total.

Se pregunta cuántos grupos.

6. ¿En qué problemas hay que dividir? ¿En qué problemas hay que multiplicar?

a.  Enrique tiene 90 sellos en su álbum,     cada página tiene diez.    ¿Cuántas páginas estan llenas de sellos?

  

b.  Julieta coloca doce sellos por página     en su álbum, tiene ocho páginas     llenas de sellos. ¿Cuántos sellos tiene?

 

c.  Pones cuatro niños en cada uno de los     once taxis. ¿Cuántos niños hay en los     taxis?

  

d.  Caben cuatro niños en un taxi. ¿Cuántos     taxis necesitas para 12 niños?

 

e.  Si hay diez huevos en un cartón,     ¿cuántos huevos hay en cinco cartones?

  

f.  Juan colocó diez carros de juguete en     bolsas, cinco carros en cada bolsa.     ¿Cuántas bolsas utilizó?

 

Multiplicar en partes y el algoritmo estandarEl algoritmo estandar de multiplicación no es muy difícil. Aun así, algunos libros proponen usar multiplicación "arabe" en su lugar o adicionalmente. Yo supongo eso es porque consideran el algoritmo estandar más dificil. Pero miremos los dos en más detalles.

Antes de enseñar el algoritmo estandar, considera explicar bien a los estudiantes cómo multiplicar en partes:

Para multiplicar 7 × 84, separa 84 a 80 y 4 (sus decenas y unidades). Luego multiplica esas partes separado, y suma los resultados.

Asi calculamos 7 × 80 = 560 y 7 × 4 = 28, y sumamos 560 + 28 = 588.

Si usted pasa una lección entera practicando eso antes de enseñar el algoritmo normal, ¡que bien preparados vienen los niños a la siguiente leccion! (para aprender el algoritmo de multiplicación)

En la siguiente leccion ellos veran la manera de multiplicar estandar:

2 84

× 7

588

Es obvio que los pasos aquí son los mismos. Primero multiplica las unidades: 7 × 4 = 28, anota 8 de las unidades, y lleva 2 a las decenas. Luego multiplica 7 × 8 = 56, añade el 2 para conseguir 58, y escríbelo en el lugar de decenas.

¿Y que piensa usted de esta manera de escribirlo?

84× 7

28+ 560

588

Toma un poquito más de espacio, pero el principio fundamental de multiplicar en partes es mucho más obvio.

Funciona también si el factor tiene dos cifras:

84× 47

28560160

3200

3948

Aqui los multiplicaciónes individuales son 7 × 4, luego 7 × 80, luego 40 × 4, y últimamente 40 × 80.

En el fin, voy a hablar un poco de la multiplicación arabe. Usa los mismos principios; sin embargo no estoy segura de que ella ilumine el principio fundamental mejor que el algoritmo estándar.

8 4 +---+---+ |5 /|2 /| | / | / | 7 5 |/ 6|/ 8| +---+---+ 8 8 Resultado 588.

Vea Multiplicación árabe para aprender como se lo hace; es difícil explicarla sin varias imágenes.

De cualquier manera, usted NECESITA explicar el principio de multiplicar en partes a sus estudiantes. En este caso no es suficiente solo poder efectuar los pasos del algoritmo, porque multiplicar en partes es muy necesario en nuestra vida cotidiana, y cuando ellos estudian algebra más tarde (la propiedad distributiva).

Considera por ejemplo estas multiplicaciones mentales que se pueden encontrar estando a compras. Yo uso dólares; usted puede cambiarlos a sus equivalentes en su moneda.

5 × $14.Simplemente calcula 5 × $10 = $50 y 5 × $4 = $20, y suma los resultados a conseguir $70. Estoy segura de que la mayoría de gente está muy acostumbrada de hacer este tipo de calculaciones en mente.

4 × $3.12. Calcula 4 × $3 = $12 y 4 × 12 ¢ = 48 ¢, y suma. Respuesta $12.48.

Divisores de un número enteroUn divisor de un número entero es simplemente algún otro número por cual se puede dividir el mismo.

Por ejemplo, yo puedo dividir 20 por 5. Entonces 5 es un divisor de 20. También decimos que 5 divide a 20.

Cómo hallar divisores de un número

Si el número es no muy grande (menos de 100), primero se recuerda las tablas de multiplicar.

¿Se halla tu número en algún tabla de multiplicar? Entonces es divisible por ese número.

Por ejemplo, yo sé que 56 se halla en tabla de 7. Entonces 56 se puede dividir por 7. También se puede dividir por 8.

Luego usamos las reglas or criterios de divisibilidad para hallar más divisores.

Las reglas de divisibilidad

Divisibilidad por 2

Un número entero es divisible por 2 SI su última cifra es 0, 2, 4, 6, o 8.

Divisibilidad por 3

Un número entero es divisible por 3 SI la SUMA de sus cifras es divisible por 3.

Por ejemplo, ¿es 394 divisible por 3? Sumamos sus cifras: 3 + 9 + 4 = 16. Ya que 16 NO es divisible por 3, 394 tampoco es.

También se puede usar este método para hallar el resto o residuo: se suma las cifras y se prueba dividir por 3. El resto de esta división también es el resto de division del núero original.

Por ejemplo, ya hallamos que la suma de las cifras de 394 es 16. El resto de dividier 16 por 3 es 1; entonces dividiendo 394 por 3, el resto es 1 también.

Se puede aplicar este criterio multiples veces. ¿Es 907730485 divisible por 3? La suma de sus cifras es 9 + 7 + 7 + 3 + 4 + 8 + 5 = 43. Si no sabes si 43 es divisible por 3, puedes sumar las cifras de 43 y obtener 4 + 3 = 7. Entonces, ya que 7 no es divisible por 3, tampoco son 43 y 907730485.

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4.

Por ejemplo, 45,253. Toma las dos últimas cifras: 53. 53 no es divisible por 4, y tampoco es 45,253.

Otro ejemplo: ya que 80 es divisible por 4, entonces 3280, 32480, 293180 etcétera todos son divisibles por 4.

Divisibilidad por 5

Es muy facil: si la última cifra de un número es 0 o 5, es divisible por 5.

Divisibilidad por 10

Es muy facil: si la última cifra de un número es 0, es divisible por 10.

Divisibilidad por 6

Si un número es divisible tanto por 2 como por 3, es divisible por 6.

Divisibilidad por 11

Toma las cifras de tu número por la derecha, y alterna sumando y restando. Si la respuesta es divisible por 11, también es tu número.

Por ejemplo, estudiamos 294,398. Alterna sumando y restando sus cifras comenzando por la derecha: 8 - 9 + 3 - 4 + 9 - 2 = 5. Ya que 5 no es divisible por 11, tampoco es 294,398; y también sabemos que el resto de dividier 294,398 por 11 es 5.

Hallar todos los divisores

En principio es simple: se prueba todos los números enteros entre 1 y la raíz cuadrada de su número.

Tomamos un ejemplo. Hallar todos los divisores de 112.

Por defecto, 1 y 112 dividen a 112, y por tanto son divisores de 112.

Después de esto, probamos los números enteros en orden: 2, 3, 4, 5, 6, etc. si son divisores de 112 o no.

Primero se nota que es divisible por 2 ya que su última cifra es 2. (También es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras son 12.)

Entonces dividimos por 2 para hallar un otro divisor: 112 ÷ 2 = 56. Este numero también divide a 112: 112 ÷ 56 = 2. Entonces tenemos dos divisores: 2 y 56.

Todos los otros divisores serán entre 2 y 56.

Entonces probamos 3. Ya que 1 + 1 + 2 = 4 y 3 no divide a 4, entonces 3 no divide a 112.

Entonces 4: sí es divisible por 4 ya que las dos últimas cifras son 12. Dividimos: 112 ÷ 4 = 28; entonces 28 también es un divisor de 112.

Hasta ahora tenemos divisores 1, 2, 4, 28, y 56. Si hay otros, serán entre 4 y 28.

5 no sirve ya que 112 termina en 2.

6 no sirve ya que 112 no fue divisible por 3.

7 si es un divisor: 112 ÷ 7 = 16. Entonces 7 y 16 son divisores.

8 si es un divisor: 112 ÷ 8 = 14. Entonces 8 y 14 son divisores - y los demás posibles divisores son entre 8 y 14.

9 no puede ser un divisor ya que 3 no fue un divisor.

10 no es un divisor ya que 112 no termina en cero.

11 no sirve. (2 - 1 + 2 = 2 y 2 no divide a 11). Y, si probamos de dividir 112 entre 11, la respuesta es un poco más de 10. Ya hemos probado 10. Entonces no necesitamos probar más números.

Entonces todos los divisores son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, y 112.

Propiedad distributiva — una lección para cuarto grado

Sabemos que  5 × 12 = 60 por estudiar las tablas de multiplicar. ¡Mira las ilustracionesy observa cómo se puede resolver el mismo problema fácilmente!  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 × 12 

=             

  5 × 10 = 50

 

              5 × 2 = 10

Cada 12 es igual a 10 + 2. Multiplica las decenas y unidades por separado y después suma:

5 × 12 = 5 × 10  +  5 × 2 = 50 + 10 = 60

   

 

   

 

   

 

3 × 27 

=

                    

  3 × 20 = 60

 

                                  3 × 7 = 21

Cada 27 es igual a 20 + 7.  Multiplica las decenas y unidades por separado y después suma:

3 × 27 = 3 × 20  +  3 × 7 = 60 + 21 = 81

Observa estos ejemplos. Multiplica las decenas y unidades por separado:

6 × 18  = 6 × (10 + 8).

6 × 10 = 606 × 8 = 48 

        60+ 48

108

7 × 32  = 7 × (30 + 2).

7 × 30 = 2107 × 2 = 14 

        210+ 14

224

5 × 51  = 5 × (50 + 1).

5 × 50 = 2505 × 1 = 5 

        250

+ 5

255

1. Dibuja palillos para decenas y puntos para unidades para ilustrar los números. Después, utiliza    la propiedad distributiva para multiplicar.

a.  5 × 23

                           5 × 20 = 

 

                     5 × 3 = 

5 × 23 = 100 + 15 = 115

b.  4 × 41

c.  3 × 65

 

 

 

 

d.  7 × 18

e.  2 × 58

 

 

 

 

f.  3 × 35

g.  4 × 26

 h.  7 × 17

 

 

 

2. Separa el segundo número (factor) en decenas y unidades. Multiplica por separado, y suma.

a.  5 × 17  = 5 × (10 + 7).

5 × 10 = 5 × 7 =  

        +     

 

b.  8 × 41  = 8 × (__ + _).

8 × 40 = 8 × 1 =  

        +     

c.  5 × 37  = 5 × (__ + _).

5 × 5 ×  

        +     

d.  4 × 17  = 4 × (__ + _).

4 ×  4 ×  

        +     

 

e.  6 × 53  = 6 × (__ + _).

        +     

f.  9 × 18  = 9 × (__ + _).

        +     

g.  7 ×           = 7 × (50 + 4).

7 ×  7 ×  

        +     

 

h.  4 ×       = 4 × (90 + 3).

        +     

 

i.  3 ×         = 3 × (80 + 8).

        +     

 

3. Separa el segundo número (factor) en decenas y unidades. Multiplica por separado, y suma.

a.

 

3 × 23  =  3 × 20  +  3 × 3 

 =___

+ ___  =  ___ 

     b.

 

7 × 14  =  7 × ___  +  7 × __ 

 =  ___ + ___  =  ____

  

 

c.

 

5 × 33  =  5 × ___  +  5 × __ 

 =  ___ + ___  =  ___

    d.

 

5 × 62  =  5 × ___  +  5 × __ 

 =  ___ + ___ =  ____

  

 

e. 8 × 15 =  __ × __  +  __ × __ 

     f. 4 × 47 =  __ × __  +  __ × __ 

 

 = ___ + ___  = ____

 

 =  ___ + ___  = ____

4. Separa el segundo número (factor) en centenas, decenas y unidades. Multiplica por separado,    y suma.

a.  5 × 123

5 × 100 =  5 × 20 = 5 × 3 =  

         

+     

 

b.  8 × 115

8 × 100 =  8 × 10 = 8 × 5 =  

         

+      

c.  3 × 257

3 ×          3 ×3 ×  

         +     

d.  3 × 317

    

+     

 

e.  4 × 231

    

+     

f.  6 × 128

    

+     

g.  5 × 194

    

+     

 

h.  7 × 109

    

+     

i.  3 × 326

    

+     

5. Sigue los patrones.

a.

3 × 80 =

4 × 80 =

5 × 80 =

 

 

 

 

 

b.

30 × 6 =

40 × 6 =

50 × 6 =

 

c.

1 × 10 =

2 × 20 =

3 × 30 =

 

d.

6 × 50 =

6 × 60 =

6 × 70 =

 

 

6. Sigue los patrones. Acuérdate de la multiplicación.

a.

650 ÷ 10 =

660 ÷ 10 =

670 ÷ 10 =

680 ÷ 10 =

 

 

 

 

b.

100 ÷ 20 =

120 ÷ 20 =

140 ÷ 20 =

160 ÷ 20 =

c.

180 ÷ 30 =

210 ÷ 30 =

240 ÷ 30 =

270 ÷ 30 =

d.

180 ÷ 3 =

210 ÷ 3 =

240 ÷ 3 =

270 ÷ 3 =

7. Escribe ecuacione(s) para los problemas. Multiplica utilizando la propiedad distributiva.

a)  Mamá compró cinco sábanas y una manta. Las sábanas costaron $15 cada una, y la manta     costó $7. ¿Cuánto fue la cuenta? 

 

b) Elisa compró cuatro botellas de vitamina C por el precio de $26 cada una, y tres botellas     de multi-vitaminas por $14 cada una. ¿Cuánto fue la cuenta?

 

c)  A óscar le ENCANTAN los libros. Cada mes, él pide prestado 24 libros de la biblioteca     y lee todos. En mayo estuvo ocupado y solo leyó 12 libros. Por el resto del año,     comenzando en junio, volvió a leer como antes. ¿Cuántos libros leyó en el año completo?

 

d)  Un corte de cabello cuesta 13 dólares, pero puedes comprar un cupón de discuenta por $65     que vale seis cortes. ¿Cuánto dinero ahorras por comprar el cupón de discuenta? 

Convertir números decimales en fraccionesConvertir números decimales en fracciones es muy simple siempre y cuando el decimal es finito, es decir termina, porque ¡todos los números decimales finitos SON fracciones por su definición! Tienen un denominador de 10, 100, 1000, 10 000 etc.

Si el número decimal tiene UN dígito decimal, el denominador es 10.Si tiene dos dígitos decimales, el denominador es 100.Si tiene tres dígitos decimales, el denominador es 1000.

Si tiene cuatro dígitos decimales, el denominador es 10000.Y así en adelante. Si tiene n dígitos decimales, el denominador es 10n.

El numerador es su "número original" sin el punto decimal.

Por ejemplo:

0.5 es 5/10

0.9 es 9/10

0.42 es 42/100

4.32 es 432/100

5.008 es 5008/1000

34.50396 es 3450396/100000

Por supuesto, a veces es posible simplificar la fraccion que se consigue. Por ejemplo, 0.5 es 5/10 pero se la puede simplificar a 1/2.

¿Y qué si el decimal no termina?

Hay dos casos:

1. El decimal es periódico. Esta conversión es un poco más complicada. Tomamos por ejemplo el decimal x = 2.1414141414... o también se escribe x = 2.14.

Multiplicamos este decimal por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con 0.14141414.... para que podamos restar las dos "colas":

10x = 21.414141414... (este no sirve)100x = 214.14141414... (este sirve)

Ahora podemos restar x de 100x y las "colas" de decimales se anulan:

100x= 214.14141414...x=    2.14141414...

99x= 212

x = 212/99 y esa es la fracción que necesitamos.

Otro ejemplo: convertimos x = 0.55619619619619... o x = 0.55619 en una fracción. Otra vez lo multiplicamos por 10 tantas veces que el decimal resultante tiene un periodo que "corresponde" con la cola 619619.... para que podamos restar las dos "colas". Se necesita observar cuidadosamente cuando lo pasa.

x = 0.55619619619619...10x = 5.5619619619619... (este no sirve)100x = 55.619619619619... (este no sirve)

1000x = 556.19619619619... (este sí sirve porque el per&ieacute;odo 619 comienza después de dos cifras decimales.)

Ahora podemos restar x de 1000x y las "colas" de decimales se anulan:

1000x= 556.19619619619...x=    0.55619619619619...

999x= 555.64

x = 555.64/999, pero necesitamos hacer algo para eliminar el punto decimal.

Véase tambíen Un decimal infinito al transformarlo a fracción........? y Transformar decimal a fraccion de ProfesorEnLinea.

2. El decimal no es periódico. Entonces es un número irracional y no se puede expresar como una fracción.

Convertir tanto por ciento en decimales y viceversaSe debe recordar siemper que un por ciento significa un centésimo.

Ya se lo dice la palabra misma: por ciento es por cien, se está comparando con cien: si 15% de la populación son ancianos, significa que 15 personas de cada cien son ancianos.

Por eso es muy simple convertir porcientos en decimales, o viceversa:

1% es un centésimo o 0.014% es cuatro centésimos o 0.0412% es doce centésimos o 0.1289% es 89 centésimos o 0.89100% es cien centésimos o 1145% es 145 centésimos o 1.45

Convertir un número decimal en tanto por ciento

Y viceversa, si tiene un número decimal, sólo observa cuántos centésimos tiene.

Por eso se debe entender que la primera cifra decimal después del punto significa los décimos, y la segunda cifra después del punto significa las centésimos.

0.08 tiene 8 centésimos o 8%

0.2 no tiene dos cifras decimales; entonces pongamos un cero al lugar de la segunda cifra decimal:0.2 es igual a 0.20.entonces tiene 20 centésimos o 20%.

1.1 - también pongamos un cero y es 1.10.Es más de uno; tiene más de 100 centésimos;

1.10 tiene 110 centésimos; y es 110%.

0.495 tiene tres cifras decimales. Cuando se convierte a tanto por ciento, el porcentaje tendrá un punto decimal.0.495 tiene 49 centésimos; y un medio centésimo además. Por eso 0.495 es 49 1/2 % o normalmente escribimos 49.5%

0.3829 es 38.29%

1.078 es 107.8%

Tanto por ciento o porcentaje — una lección básica

La palabra "por ciento" significa "por cien", como si dividieras algo por cien. En otras palabrabs, por ciento significa una centísima parte de algo. Un por ciento es 1/100, 67% es 67/100, etcetera.

Consideramos alguna cantidad, por ejemplo 65 o $489 o 1.392, como "un total". Si divides este "total" a cien partes iguales en su mente, entonces cada parte es un por ciento del total.

Si el "total" es 650 personas, entonces 1% de eso será 6.5 people (si se trata de una aplicación práctica, necesitaría redondear tal respuesta a personas enteras, por supuesto).

Si el "total" es $42, luego 1% de él es $0.42. Y, 2% de él será $0.84 (doble de 1%). Entonces, para hallar 1% de algo, divide por 100.

Cómo hallar un porcentaje o tanto por ciento de un número

Para hallar 24% o 8% o cualquier otro porcentaje de alguna cantidad, puedes primero hallar el 1% de la cantidad, y luego multiplicar el resultado por 24 o 8 o cualquier sea su tanto por ciento.

Ejemplos:Halla 7% de $41.50. Primero calcula $41.50/100 para obtener 1% ó 1/100 de $41.50. Entonces multiplica eso por 7. Respuesta: $2.905.

Pero esa calculación es la misma que (7/100) x $41.50. Recuerda que 7/100 es 0.07 como un decimal. En la mayoria de las calculaciones, es más practico usar decimales en lugar de esa regla de "divide por 100, luego multiplica".

Pues, para hallar 7% de $41.50, yo simplemente calculo 0.07 x $41.50 con un calculador. Es tan simple que convertir el porciento en un decimal: 7% es 0.07.

Otra posibilidad es una regla: se multiplica por el "tanto" y se divide por el "ciento":

Halla 78% de 905. El número 78 es el "tanto". Entonces multiplicamos 78 × 905, y despues dividimos por cien: 78 × 905 / 100 = 705.9.

Cálculo mental y tanto por ciento

Para hallar 10% de algo, podrías primero dividir por 100 y luego multiplicar por 10, pero es mucho más rápido simplemente dividir por 10.

Por ejemplo:10% de 90 is 90/10 = 9.10% de 250.6 is 25.06.

Cuando sabes cómo hallar 10% de un número, es my facil hallar 20%, 30%, 40%, etc., y 5% de cualquier número sólo usando el 10% como un punto de comienzo.

Por ejemplo:Halla 20% de 52. Primero halla 10% de 52, lo cual es 5.2, entonces dóbla eso: es 10.4.

Ejemplo usando un porciento de descuento

Ejemplo:Una cosa vale $48 y se lo descuenta por 15%. ¿Qué es el precio ahora?

Imagina que el precio $48 es dividido en 100 partes iguales. Entonces quita 15 de esas partes. Eso te deja 85 de las partes, o 85% del total. Pero, ¿qué es el monto de dólares que queda? Acuérdate, no quitas $15 sino 15% del total.

El estudiante necesita darse cuenta de que $48 es 100% - "una entera", y que se quitan 15 de esas 100 partes.

Solución:10% de $48 será $4.80.5% de $48 será $2.40 (la mitad de 10%).Entonces 15% de $48 es $7.20. Réstalo del precio original para hallar el precio de descuento de $40.80. Con un calculador, yo simplemente calcularé 0.85 x $48. (ASEGURA QUE ENTIENDAS DEDONDE VIENE EL 0.85.)

¿Qué por ciento es?

De la clase de 34 estudiantes, 12 son muchachas. ¿Qué por ciento de la clase son muchachas?

Aquí, la "entera" es 34, la clase entera. El problema es, si esa "entera" de 34 fuera dividida a 100 partes, ¿cuántas de esas partes necesitariamos para representar las 12 estudiantes?

O, podrías comparar 34 personas lado-al-lado con 100 de "algo". Imagina todas las 34 personas posicionadas de la cabeza al dedo así que formen una línea larga, y esas 12 muchachas están en un extremo de la línea. Si hallaras 100 unidades de medida iguales que alcanzarían a la longitud exacta que su línea de personas, ¿cuantás de las unidades igualarán las 12 muchachas?

Este ejemplo nos guía a la proporción de tanto por ciento:

12/34 = x / 100

Resolviendo x, obtenemosx = (12/34) × 100.

Al resolver algunas veces este tipo de propoción, se nota que cada vez solo comparamos la parte con la totalidad (la entera) usando división, como 12/34 en mi ejemplo. Así es bastante rápido simplemente escribir esa comparación de parte/totalidad directamente, cuando resolviendo problemas de "qué por ciento".

Por ejemplo:Una guitarra de $199 se descuenta por $40. ¿Cuál es el por ciento de descuento?

Aquí, "la entera" es el precio original (total), $199. Se requiere qué por ciento es 40 de 199. Solo calculas 40/199, comparando la parte con la entera. Calculando: 40/199 = 0.201005025, y convierte eso en un porciento por multiplicar por 100. La respuesta es 20.1%.

Ejemplo de resolver de un problema

Si una bicicleta vale 250 000 pesos y el almacen está en promoción del 30%. ¿Cuánto valen 6 bicicletas?

Se necesita hallar el precio de una bicicleta, entonces multiplicarlo por 6.

Se han reducido los precios por 30%, lo que significa que "queda" 70% del precio de la bicicleta. Hallamos entonces 70% de 250 000.

En esta ocasión es fácil primero hallar el 10% de 250 000, lo cual es 25 000. Luego lo multiplicamos por siete: 7 x 25 000 = 175 000, lo cual es el nuevo precio de una bicicleta.

Y seis veces de eso es 6 x 175 000 = 1 050 000 pesos.

Resolver un problema de razones usando una gráfica de barras

Las razones son un tema importante en los grados 5-7, y hay muchos problemas verbales que las usan. Por favor lea cuidadosamente lo que sigue - ¡espero que le ayude si tiene dificultades con este tema!

Dave en el blog MathNotations tuvo un problema interesante de razones. Lo he cambiado un poco, para que los números sean más "amigables".

En una escuela bachillerato, la razón entre los alumnos del 11o grado y los alumnos del 12o grado es 7:5. La razón entre los chicos del 11o grado y las chicas del 11o grado es 4:3. La razón entre los chicos del 12o grado y las chicas del 12o grado es 7:3. Que es la razón entre los chicos de 11o grado y las chicas de 12o grado?

1. He aquí un diagrama que muestra que la razón entre los alumnos del 11o grado y los alumnos del 12o es 7:5.

Como se puede ver en el diagrama, el "total" se divide en 12 partes (7 + 5).

Podríamos usar este diagrama para resolver problemas tales como:

Si hay 768 alumnos en los grados 11 y 12, ¿cuántos alumnos hay en el grado 11? (Divide el total en 12 partes, y luego toma 7 de las partes.)

O...

Si hay 95 alumnos en 12o grado, ¿cuántos hay en grado 11? (Divide el numero de los alumnos del 12o grado por 5, luego multiplica el resultado por 7.)

O..

Si hay 49 alumnos en 11o grado, ¿cuántos alumnos hay en total? (Divide la cantidad de alumnos del 11o grado por 7, entonces multiplica el resultado por 12.)

Todas estas diviciones y/o multiplicaciones por 5/7/12 se quedan claras al ver el diagrama.

PERO, seguiremos en resolver el problema de arriba:

En una escuela bachillerato, la razón entre los alumnos del 11o grado y los alumnos del 12o grado es 7:5. La razón entre los chicos del 11o grado y las chicas del 11o grado es 4:3. La razón entre los chicos del 12o grado y las chicas del 12o grado es 7:3. Que es la razón entre los chicos de 11o grado y las chicas de 12o grado?

Usamos este mismo diagrama:

Luego añadimos la información adicional en él.

La razón entre los chicos del 11o grado y las chicas del 11o grado es 4:3, lo cual significa que los alumnos del 11o grado se dividen en 7 partes (4 + 3). En una manera similar, los alumnos del 12o grado se necesitan dividir en 10 partes.

¡Voila! Lo que pasa (una coincidencia?) es que la division original en 7 y 5 partes sirve muy bien y nos da la division de los alumnos del 11o grado en 7 partes (ya estan así!) y los alumnos del 12o grado en 10 partes si solo dividimos cada parte en dos.

Pues, ¿qué es la razón entre los chicos del 11o grado y las chicas del 12o grado?

En el diagrama, el TOTAL se divide ahora en 24 partes. Los chicos del 11o grado representan 8 de las partes, y las chicas del 12o grado grado son 3 de las partes. Por eso, la razón es 8:3.

Un problema: dos triángulos y la razón entre sus areas

Este problema es apto para el grado 6 y adelante.

Los lados de los triángulos A y B miden 5, 5, 8 y 5, 5, 6 respectivamente. ¿Qué es la razón entre la area del triángulo A y la area del triángulo B? Exprésala en la forma de a:b más simple.

El autor de este problema es John Morse de Delmar, NY. Me gusta el problema, ya que se lo puede resolver en muchas maneras diferentes, y entonces se lo puede usar con alumnos de varios grados. Por ejemplo:

1. Podría usarlo como un ejercicio de dibujar y medir con los alumnos del 6o o 7o grado con tal que ya sepan dibujar construcciones con una regla y compás.

Al saber construir un triángulo de sus tres lados (vease aquí), los estudiantes pueden construir estos dos triángulos, luego pueden dibujar y medir las altitudes, y calcular las areas.

Por supuesto, lo malo es que las medidas serán inexactas, y pues es improbable que consigan la area de exactamente 12 unidades cuadradas. Pero en el otro lado, usted podría enseñar este tema también (medidas inexactas).

2. Otra manera de resolver este (toscamente) es calculando las areas de los dos triángulos usando la fórmula de Herón (¡si la sabes!) Simplemente sustituye los números en ella.

3. La manera elegante... accessible a los alumnos que saben el teorema de Pitágoras. Le enseño la solución paso a paso.

El primer paso es NOTAR que los triángulos son isósceles (de "piernas" iguales), y dibujar un esbozo.

(Mi dibujo no es un "esbozo" sino un dibujo tan exacto que se puede hacer en PhotoImpact, porque empecé dibujando los tres lados dados. Luego calculé la medida de un ángulo, y giré un lado en esta medida para obtener un "rincon".)

Para que los estudiantes vean la solución fácilmente, es bastante importante poder dibujar los dos triángulos.

Cuando dibuja triángulos isosceles, piensa en la letra "A" y sus dos "piernas". Solo necesitamos dibujar un triángulo más alta y otro que tiene sus "piernas" más abiertas.

Nota uno de ellos es casi un triángulo equilátero ya que sus lados son casi iguales: 5, 5, y 6. Pues lo puede esbozar como casi un triángulo equilátero, solo haga las "piernas" un poquito más abiertas. Luego el 5-5-8 triángulo necesita abrir sus "piernas" mucho para la base de 8 unidades.

Pues, nos interesamos de sus AREAS, entonces necesitamos la altitud. Al dibujar las dos altitudes, la idea es usualmente hallar la medida de la altitud para calcular la area.

Pero en este caso hay un atajo. Recuerda, la altitud forma dos pequeños triángulos RECTÁNGULOS en cada triángulo.

En el triángulo en la izquierda, los dos lados ya conocidos del triángulo pequeño son 5 y 3, y en el otro los dos lados conocidos son 5 y 4.

Esto le suena, ¿no? .... ¡DING! ¿RECUERDA el 3-4-5 triángulo rectángulo? ¿Corresponde con este problema?

Claro que sí. AMBOS triángulos pequeños son 3-4-5 triángulos rectángulos!

Para probarlo, PUEDE usar la teorema de Pitágoras: en un triángulo pequeño, tendrías x, 4, y 5 (5 es la hipotenusa), entonces resolviendo x2 + 42 = 52 le da x = 3, y en el otro triángulo, resolviendo x2 + 32 = 52 conseguirá x = 4.

Pero no hay que resolverlo si se recuerda que 3-4-5 es un triángulo rectángulo.

OK, ya sabemos las altitudes y podríamos calcular las areas... ¡PERO espera un momento! Si los triángulos pequeños son idénticos (congruentes), entonces sus areas son las mismas, y las areas de los triángulos grandes son las mismas también. Solo necesitamos hallar la razón entre las dos areas, no las areas exactas.

Pues dos triángulos de la misma area, la razón entre ellas es por supuesto 1:1.

Cómo enseñar la suma y resta con números negativosEl problema mayor con números negativos no son los números en si, sino las operaciones. Parece que hay tantas reglas para recordar.

Algunos modelos buenos para números negativos de vida real son:

temperatura en un termómetro

la elevación (montañas) versus la profundidad (en el mar) ganar dinero versus tener deuda.

Cuando usted enseña las operaciones con números negativos la primera vez, conéctelas con uno de esos modelos.

Tomo por ejemplo la temperatura.

Suponiendo que n es positivo, las reglas simples que dominan esta situación son:

o x + n significa la temperatura es x° y SUBE por n grados.o x − n significa la temperatura es x° y BAJA por n grados.

Se trata de MOVIMIENTO − mover n grados "arriba" o "abajo" en la escala del termómetro.

Por ejemplo:

o 6 − 7 significa: la temperatura es primero 6° y baja 7 grados.o (-6) − 7 significa: la temperatura es primero -6° y baja 7 grados (¡se hace aun más frio!).o (-2) + 5 significa: la temperatura es primero -2° y sube 5 grados.o 4 + 5 significa: la temperatura es primero 4° y sube 5 grados.

Estas situaciones simples cubren cómo sumar un número positivo a cualquier entero, o cómo restar un número positivo de cualquier entero. Practíquelas en el principio, hasta que los niños se familiaricen con ellas.

Lo que nos queda es cómo sumar o restar un número NEGATIVO:

o (-2) + (-5) significaría: la temperatura es primero -2° y "añades" más negativos; entonces se hace más frio. La temperatura nueva es -7°.

El último caso es el menos intuitivo:

o 1 − (-5) o cómo restar un número negativo de otro entero. Personalmente, yo simple recuerdo la reglita de "dos negativos se convierten a un positivo".

Alguna gente lo explica así. En (-7) − (-3), puedes pensar que tienes 7 negativos primero, y "quitas" tres negativos, dejando cuatro negativos o -4.

Esta regla de "dos negativos da un positivo" puede parecer primero contraintuitivo, pero es necesario para que varios principios de matemáticas continuen ser vigentes (por ejemplo la propiedad distributiva).

Mire también esta presentación de números negativos y la profundidad de un submarino en el blog Text Savvy (en inglés).

Yo cito:

"Cuando sumas o restas números enteros, NO estás combinando colecciones o quitando de colecciones; estás moviendo en ciertas direcciones."

Aun así, la idea de "colecciones" sí funciona bien, para ADICIÓN:

o 7 + (-4) significa que tienes una colección de 7 pelotas rojas y 4 pelotas azules. Una pelota roja y otra azul se "cancelan" o se hacen cero. El total será 3 pelotas rojas.

o (-3) + (-9) significa tienes 3 pelotas azules y 9 pelotas azules más. El total es 12 pelotas azules, o -12.

Sin embargo, la idea de "movimiento" es la manera exacta como yo siempre he efectuado problemas simples de enteros intuitivamente − excepto cuando restando un número negativo, lo cual cambio a sumar un positivo.

Algunos libros presentan las reglas de sumar enteros en esta manera:

o Para sumar dos enteros del mismo signo, suma sus valores absolutos y pón el mismo signo a la respuesta que tienen los números.

o Para sumar dos enteros del signo distinto, resta sus valores absolutos, y la respuesta tendrá el signo del número de valor absoluto mayor.

Luego esos libros instruyen cambiar la resta a suma; por ejemplo:

o 5 − 7 se convierte en 5 + (-7)o (-4) − 2 se convierte en (-4) + (-2)o y 5 − (-3) se convierte en 5 + 3.

La raíz cuadrada¿Qué es una raíz cuadrada?

Calcular una raíz cuadrada es la operación opuesta de cuadrar un número.

Se nota la raíz cuadrada de un número x así:   √x.

Para cuadrar un número natural se simplemente multiplica el número por si mismo. O sea, se eleva a la segunda potencia: 7 × 7 = 72 = 49.

Y la raíz cuadrada es el opuesto de eso. Por ejemplo (si sólo hallamos las raices positivas):

√16 = 4 ya que 4 × 4 = 16.

√36 = 6 ya que 6 × 6 = 36.

√100 = 10 ya que 10 × 10 = 100.

√10,000 = 100 ya que 100 × 100 = 10,000.

√0.01 = 0.1 ya que 0.1 × 0.1 = 0.01.

√1/4 = 1/2 ya que 1/2 × 1/2 = 1/4.

La raíz cuadrada y el cuadrado

Hay una conexión simple entre estos conceptos.

Cuadrar un número n significa hallar el área de un cuadrado cuyo lado es este número n. Y, calcular la raíz cuadrada de un número x es lo opuesto: hallar el lado de un cuadrado cuando la área es el número x.

Mira los ejemplos:

Cuadrar el número 9 Raíz cuadrada del número 9

Area = 92

lado = 9

Area = 9

lado = √9 = 3.

¿Cómo se la calcula?

1) Su calculador tiene una botón para la raíz cuadrada. Se se la usa antes o después de poner el número, depende del calculador.

Nota que cuando su calculador le da por ejemplo que √6 = 2.449489742783178098197284074706 (o con menos cifras decimales), este no significa que la raiz es exactamente este número. En realidad, si la raiz no es un número natural, es un número irracional, y tiene representación decimal que nunca termina y nunca tiene ningun periodo en sus cifras decimales. El calculador solo le da una aproximación con tantas cifras que caben en su pantalla.

2) El método de "estimar y probar". Por ejemplo, para hallar √17. Primero se halla dos números naturales entre quienes es la raiz. En caso de √17, el resultado es entre 4 y 5 ya que √16 es 4 y √25 es 5.

Entonces se estima la primera cifra decimal del resultado. Ya que 17 es muy cerca de 16, voy a estimar que √17 es aproximadamente 4.1.

Entonces se lo prueba por elevando la estimación a segunda potencia: 4.1 × 4.1 = 16.81, o menos de 17. Entonces 4.1 no es suficiente grande, y voy a probar 4.15.

4.15 × 4.15 = 17.2225 - es demasiado. Ya sé que 17 debe ser entre 4.1 y 4.15. Voy a probar 4.125:

4.1252 = 17.015625 - es un poquito demasiado. Entonces el resultado es entre 4.1 y 4.125. ¿A lo mejor 4.115?

4.1252 = 16.933225. Entonces el resultado es entre 4.115 y 4.125. ¿A lo mejor 4.117?

4.1172 = 16.949689. Entonces el resultado es entre 4.117 y 4.125. ¿A lo mejor 4.121?

4.1212 = 16.982641. Entonces el resultado es entre 4.121 y 4.125. ¿A lo mejor 4.123?

4.1232 = 16.999129. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.125. ¿A lo mejor 4.124?

4.1242 = 17.007376. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.124. ¿A lo mejor 4.1235?

4.12352 = 17.00325225. Entonces el resultado es entre 4.123 y 4.1235. ¿A lo mejor 4.1233?

Y etcetera.

3) Algoritmo babilónico.

En este, se usa el promedio y la división así:

Primero halla una aproximación de la raíz que se quiere encontrar.

Entonces divide el número cuyo raiz se quiere encontrar con la aproximacion. Entonces calcula el promedio de estos dos resultados - y éste será su nueva aproximación para la raíz.

Por ejemplo:

Hallar √44. La aproximación inicial puede ser 7.

Dividimos 44 por éste: 44/7 = 6.285714.Hallamos el promedio de 7 y 6.285714: (7 + 6.285714)/2 = 6.642857.

Este promedio 6.642857 es la aproximación de 44 que obtenemos en este primero paso.

En el segundo paso dividimos 44 por 6.642857: 44/6.642857 = 6.623656. Y hallamos el promedio: (6.642857 + 6.623656)/2 = 6.6332565.

En el tercer paso dividimos 44 por 6.6332565: 44/6.6332565 = 6.633242. Y hallamos el promedio: (6.6332565 + 6.633242)/2 = 6.63324925.

Etcetera.

4) Algoritmo decimal.

¿Y qué de las raices negativas?

Si tú elevas un número negativo a segunda potencia (o lo cuadras), el resultado es positivo: (-5) × (-5) = 25. No hay nada complicado aquí.

Pero de esa sabemos que √25 tambien es -5!

Fíjate: √64 es 8 y -8, ya que ambos 82 y (-8)2 son 64.

Entonces, en realidad cada raiz tiene dos soluciones: un positivo y un negativo. Pero muchas veces nos interesamos sólo en la solución positiva.

¿ Se puede calcular la raiz cuadrada de un número negativo?

Bueno, éste es diferente de la situación arriba. Esta vez tenemos un número negativo "bajo de la raiz", o sea por ejemplo √-25.

¿Se puede hallar un número cuyo segunda potencia sea -25?

Pues, 5 no sirve ya que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que (-5) × (-5) = 25.

Resulta que no hay solucion ... en el conjunto de números reales.

Pero... si te aventuras a estudiar números imaginarios, si hay solucion: √-25 = 5i, donde i es la unidad imaginaria.

Calculaciones con raicesPrimero, si no entiendes que es una raiz cuadrada, haga click aquí.

Se calcula con todas las raices en misma manera; entonces aunque sólo usamos la raíz cuadrada en esta leccion, todo esto funciona en la misma manera con las raices terceras, cuartas, quintas, etcetera.

Como sumar y restar raices

Si tienes un problema como √5 + √7, no puedes hacer nada. Eso no se puede simplificar más. Lo único que se puede hacer es hallar el valor aproximado de la suma usando un calculador.

El mismo pasa con restas de raices como así: √3 − √2. Sólo puedes aproximar la resta como 1.7320508 − 1.414213.

Lo que se puede hacer es sumar or restar raices semejantes, con mismos radicandos (el número del que se toma la raíz). Por ejemplo:

√5 + √5 = 2√5

3√12 + √12 = 4√12

6√20 + 10√20 − 3√20 = 13√20

Y por supuesto, si tienes suma o resta bajo la raíz, la puedes calcular: √15 + 19 = √34.

Multiplicar y dividir raices

La situación es muy diferente con multiplicación y división. Hay leyes que dicen así:

√a√b = √ab

√a

√b = √ a

b

Entonces, en lugar de multiplicar las raices, puedes multiplicar los radicandos, poniéndolos bajo la misma raíz. O, en lugar de dividir las raices, puedes dividir los radicandos, poniendolos bajo la misma raíz. Ve los ejemplos:

√5 × √7 = √5 × 7 = √35

√0.1 × √10 = √1 = 1.

√1/4 × √32 = √8.

√63 / √7 = √63/7 = √9 = 3.

Muchas veces se las usa estas leyes en "reverse" :

√150 = √25 × 6 = √25 √6 = 5√6.

√34/100 = √34 / √100 = √34 / 10.

Combinando las operaciones

Por supuesto, los ejercicios en los textos de matematicas combinan muchas operaciones con las raices, entonces se necesita tener cuidado - y practicar mucho!

√5 √3 + 17 Primero se suma 3 y 17. Entonces, combina todo bajo una raiz (multiplicando los radicandos). Tendrás 100 como radicando, y el resultado es 10.

√3 × 20

√15

Primero multiplicar 3 × 20. Entonces combinar todo así que sea bajo una raíz. Entonces tienes 60/15 bajo la raíz, o 4. Tomar la raíz se obtiene 2.

√4 + 9 + 3√13 Sumando 4 + 9 se obtiene 13 como radicando el la primera raíz. Entonces se puede combinar or sumar las dos raices, y el resultado es 4√13.

Un problema de canicas para resolverHe aquí un "rompecabezas" muy agradable que alguién me envió. Es apto para el quinto grado en adelante, creo.

Se dividen 204 canicas en 3 grupos según color. Ahmad encontró que la cantidad de de las canicas azules es doble de la cantidad de las blancas, y que hay menos canicas rojas que azules. Ben encontró que la cantidad de canicas en cada grupo es divisible por 4 y 6. Cally halló que el número de canicas en cada grupo es menos de 100.

¿Cuántas canicas rojas hay?

La solución:

Pues, necesitamos hallar tres números.

Una pista nos dice que uno de los números es doble de otro, y el tercer número es menos que el primer (el doblado). Estas hechas no nos permiten comenzar resolver el problema.

En realidad, son las últimas pistas que nos proveen un punto de comienzo.

Sabemos que los números son divisibles por 4. También son divisibles por 6, lo cual significa son divisibles por 2 y 3. Pero ya sabemos que son divisibles por 2 (ya que son divisibles por 4), entonces la nueva información en esta pista en realidad es que los números son divisibles por 3.

Ser divisible por 4 y ser divisible por 3 significa.... SON DIVISIBLES por 12!

Además, todos los números son menos de 100.

Esto realmente limita nuestro "espacio de busqueda". Estamos buscando múltiplos de 12 que son menos de 100.

Pues, uno era doble de otro. Ya que el octavo múltiplo de 12 (96) es el mayor que podemos usar, entonces dos de los números PODRÍAN ser el 4° y 8° múltiplos de 12 (48 y 96). También podrían ser el 3° y 6° múltiplos de 12 (36 y 72).

Ahora, las primeras pistas "encierran" la solución... la suma debe ser 204, lo cual es 17 x 12. Entonces, si escogemos 4 x 12, 8 x 12, y 5 x 12 - o 48, 96, y 60 - entonces los números cumplen las condiciones. Hay entonces 60 canicas rojas.

Averiguar todos los divisores de un número 1   2     3  

Conjunto de los divisores de un númeroA partir de la descomposición factorial de un número, encontrar todos sus divisores.

¿Cuántos divisores tiene un número compuesto?

Un número natural o es primo o es compuesto.En caso de que el número sea primo, éste tiene dos únicos divisores que son el 1 y el propio número.

Div(7) = {1, 7}

En caso de que el número sea compuesto, siempre tiene algún otro divisor más. De hecho es una definición, otra, de número compuesto. Un número compuesto lo es si tiene más de dos divisores.

Pero ¿cuántos divisores tiene este número compuesto? y ¿cómo saberlo?Si un número es compuesto, se puede descomponer en producto de factores primos. Para averiguar el número de divisores, multiplicamos los exponentes de los factores incrementados todos en una unidad.Por ejemplo, vamos a averiguar el número de divisores del 120.Primero lo descomponemos en factores primos. Ver la entrada en la que explicamos el proceso de descomposición en factores primos.120 = 23.3.5Los exponentes son 3, 1 y 1:120 = 23.31.51

luego:Número de divisores = (3+1).(1+1).(1+1) = 4 . 2 . 2 = 16Así que ya sabemos que tiene 16 divisores.

Encontrar todos los divisores

Ya sabemos pues, que el 120 tiene dieciséis divisores.Pero ¿cuáles son?Según el método ya explicado aquí, tendríamos que buscar las parejas de números que multiplicados den como resultado el 120.Pero es un método un poco pesado. Y, si el número es mayor, más pesado todavía.

1 x 1202 x 603 x 404 x 305 x 246 x 208 x 1510 x 12

Div(120) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

El nuevo método consiste en:1º.-Desarrollamos todas las potencias del primer factor. Como el primer factor es de exponente 3, tenemos 20, 21, 22 y 23

20 = 121 = 222 = 423 = 8

2º.- Estos números obtenidos se multiplican por el siguiente factor. Si este segundo factor es una potencia, tendríamos que multiplicar por cada una de los desarrollos de esta potencia. Como en este caso, el segundo factor no tiene exponente (el exponente es uno), se multiplica sencillamente por el factor.

3º.- A continuación se multiplican todos los números obtenidos (en este caso ocho) por el siguiente factor. Obtendremos otros ocho números. En total ya serán los 16 previstos. Y así sucesivamente en el caso de que hubiese más factores.

Los escribimos todos ordenadamente:Div(120) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 }

Veamos otro ejemplo.Queremos buscar todos los divisores de 900.Descomponemos en factores primos:900 = 22.32.52

Número de divisores = (2+1).(2+1).(2+1) = 3 . 3 . 3 = 27Desarrollamos las potencias del primer factor primo:20 = 121 = 222 = 4Estos tres números se multiplican primero por el siguiente factor, el 3

En segundo lugar, se multiplican los tres primeros números iniciales por el 32 = 9

En tercer lugar, se multiplican todos los números anteriores, primero por 5:

Y después por 52 = 25

Hemos obtenido los 27 divisores que sabíamos tenía el 900.Los escribimos ordenadamente:Div(900) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900 }

Actividades

Relaciona cada número de la columna izquierda (ya están descompuestos en producto de factores primos) con su correspondiente número de divisores.

A continuación completa los divisores del número 360.360 = 23.32.5