lgebra i GeometriaEng. Camins, Canals i Ports

Resolucions de totes les prctiques i exmens penjats a lalgweb.

Teoria

lgebra i GeometriaEnginyeria de Camins, Canals i Ports

` 1. NOCIONS BASIQUES 1.1. Fonaments de l`gica oAqu tractarem la l`gica formal que s la ci`ncia que estudia el raonament deductiu. Treballarem amb o e e proposicions (o enunciats) que sn frases amb sentit i valorables, s a dir, que sense ambigitat podem dir o e u que sn certes o falses,les representarem amb les lletres p, q, r, . . .. o Exemple 1.1.1: (proposicions) p : Tot nombre natural s parell o s primer. e e (s una proposici falsa ja que podem trobar nombres naturals, per exemple 9 o 15 que no sn cap de les e o o dues coses) q : Si x 1, llavors 0 < 1/x 1 (podem demostrar que s certa) e Denici 1.1.1: A partir de proposicions en podem formar daltres ms complicades utilitzant nexes o e gramaticals que en direm connectors l`gics (o connectives). Estudiarem cinc connectives: o Negaci: o no p piq poq Si p llavors q p pq pq pq p q

AlgwebConjunci: o Disyunci: o Condicional: Notacions:

Bicondicional: p si i noms si q e

La proposici q p direm que s la rec o e proca , i (q) (p) la contrarec proca de p q (que tamb lescriurem com q p). e Per denir aquestes connectives hem de dir com acten sobre la veritat o falsedat de les proposicions u que uneixen. Admetem dos principis b`sics: a

Principi de no contradicci: una proposici i la seva contraria (la seva negaci) no poden ser ambdues o o o certes. Principi de ter excl`s: una de les dues proposicions p o p s certa. c o e

Segons aquests principis tindrem que si la proposici p s certa, llavors p s falsa, i si p s falsa, p s o e e e e certa. Aquest signicat de la connectiva negaci es representa en la segent taula de veritat: o u p V F p F V

Per la cojunci noms admetrem que p q s certa si les dues proposicions sn certes.Per la disyunci o e e o o considerarem que p q s falsa noms quan les dues proposicions sn falses. En el cas del condicional p q e e o noms ser` falsa quan la primera sigui certa i la segona falsa. Finalment en el bicondicional suposarem que e a s cert si les dues proposicions sn certes alhora o falses alhora. Tot aix queda denit en les segents taules e o o u de veritat: p V V F F q V F V F pq V F F F pq V V V F pq V F V V p q V F F V

Usant proposicions i connectives sobtenen proposicions ms complicades (expressions proposicionals) e de les quals podem establir la seva taula de veritat en funci de la veritat o falsedat de les proposicions o elementals que la integren. Exemple 1.1.2: Siguin les proposicions p, q, r. A partir delles en formem un altra de ms complicada: e (p q) (p r) q per saber quan ser` certa o falsa obtenim la seva taula de veritat: a p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F (p q) (p r) q V V V V V V F F V V V V V F F F V V V V V F V F V V F F V V V V

Algweb

Denici 1.1.2: Direm que una expressi proposicional s una tautologia si sempre s certa indepeno o e e dentment de la veritat o falsedat de les proposicions elementals que la integren. Denici 1.1.3: Direm que una expressi proposicional s una contradicci si sempre s falsa indeo o e o e pendentment de la veritat o falsedat de les proposicions elementals que la integren.

Exemple 1.1.3: 1) p (p) s una tautologia. e 2) p (p) s una contradicci. e o 3) p (p q) q s una tautologia. e

Denici 1.1.4: Siguin A i B expressions proposicionals, direm que A implica l`gicament B, o que o o B s conseq`ncia l`gica de A si la proposici A B s una tautologia. e ue o o e Notaci: Si A implica l`gicament B direm que A s condici sucient de B, i que B s condici necess`ria o o e o e o a de A. Denici 1.1.5: Direm que de les proposicions p1 , p2 , . . . , pn es dedueix la proposici p, si p s cono o e seq`ncia l`gica de (p1 p2 . . . pn ), s a dir, que la segent expressi s una tautologia: ue o e u oe (p1 p2 . . . pn ) p

Denici 1.1.6: Siguin A i B expressions proposicionals, direm que sn l`gicament equivalents si o o o la proposici (A B) s una tautologia. o e Notaci: Direm que A s una condici necess`ria i sucient de B. o e o a Exemple 1.1.4: (Tautologies) 1) 2) 3) 4) (p q) (q p) (p q) (p q) (p q) (p q)

(q) (p) (p (q)) (p) (p (q)) q

La forma general de les proposicions que haurem de demostrar ser` de dos tipus: a a) p q b) p q

Per` gr`cies a la tautologia 1, les expressions del tipus b) es reduiran a dues del tipus a): p q, i q p o a (que en direm la rec proca de lanterior). M`todes per demostrar que la proposici p q s certa: e o e

Algweb1) Doble negaci: o 2) Idempot`ncia: e 3) Associativa: 4) Commutativa: 5) Absorci: o

1.- Forma directa: Utilitzarem la seva taula de veritat. Si p s falsa ja sabem que p q s certa. e e Llavors considerarem el cas de que p sigui certa i justicarem que q tamb ho s. e e 2.- Pel contrarec proc: A partir de la tautologia 2) sabem que demostrar que p q s certa s el e e mateix que demostrar que s certa la seva contrarec e proca: (q) (p)

3.- Per reducci a lAbsurd: Ara utilitzarem les tautologies 3) i 4) i demostrarem que s certa una o e de les dues proposicions segents: u 3.1) (p (q)) (p) 3.2) (p (q)) q

Proposici 1.1.1: Totes les proposicions segents sn tautologies: o u o

(p) p

(p p) p ; (p p) p

(p q) r (p q) r

p (q r) p (q r)

(p q) (q p) ;

(p q) (q p)

p (p q)

p ;

p (p q)

p

6) Distributiva: p (q r) p (q r) 7) De Morgan: (p q) (p q) 8) Reexiva: p p ; 9) Transitiva: (p q) (q r) (p r) (p q) (q r) (p r) 10) Sim`trica: e (p q) (q p) 11) Antisim`trica: e (p q) (q p) (p q) Denici 1.1.7: A matem`tiques tractem amb dos tipus dobjectes: els concrets que anomenarem o a constants i els objectes gen`rics que en direm variables. e Denici 1.1.8: A aquelles sent`ncies en les que apareixen una o ms variables en direm predicats.Un o e e predicat ser` cert o fals depenent del valor que prenguin les seves variables. a pp (p) (q) (p) (q) (p q) (p r) (p q) (p r)

Algweb

Exemple 1.1.5: a) x s pare de y : P (x, y) e b) x, y, z estan alineats: L(x, y, z) c) x s imparell : I(x) e d) x s primer: P (x) e e) Si x s primer llavors x s imparell: P (x) I(x) e e Aquest darrer predicat ser` fals si la x pren el valor 2 i ser` cert en qualsevol altre cas. a a Denici 1.1.9: Sigui P (x) un predicat.La proposici p: per a qualsevol objecte x, es verica P (x) o o la representarem mitjanant el quanticador universal, c p: x P (x)

Denici 1.1.10: Sigui P (x) un predicat.La proposici p: existeix almenys un objecte x, que verica o o P (x) la representarem mitjanant el quanticador existencial, c En el cas de que existeixi i sigui unic usarem: ! p: x P (x)

Es important destacar la relaci entre el quanticador universal i el quanticador existencial: la negaci o o de la proposici Tot objecte x verica la propietat P s existeix almeys un objecte x que no verica la o e propietat P .Daquesta manera les dues proposicions segents sn tautologies: u o x P (x) x P (x) x P (x) x P (x)

Sha de tenir cura en ls de ms dun quanticador en una mateixa proposici,com podem veure en el u e o segent exemple. u Exemple 1.1.6: Per representar la proposici Tots tenen mare podem escriure: o y x M (x, y), on M (x, y) s el predicat x s mare de y. e e Signica el mateix x y M (x, y)? Evidentment no, ja que la segona proposici es llegeix Tots tenen una mateixa mare. Aix doncs, cal tenir o en compte que el signicat de les proposicions depen de la posici relativa dels quanticadors. o Exemple 1.1.7: Demostrarem que la segent proposici s certa: u oe x (P (x) Q(x)) (x P (x)) (x Q(x)) []

Recordem que p q equival l`gicament a (p q) (q p), i que una conjunci s certa unicament o oe quan ho sn les seves components. Per tant la proposici [] s vertadera si i noms si sn simultaniament o o e e o vertaderes: 1) x (P (x) Q(x)) (x P (x)) (x Q(x)) 2) 1) Suposem certa la proposici x (P (x) Q(x)) Sigui a tal que P (a) Q(a) s vertadera. Existeixen o e dues possibilitats: i) Si P (a) s veritat, llavors x P (x) s veritat i per tant (x P (x)) (x Q(x)) s certa. e e e ii) Si Q(a) s veritat podem raonar de la mateixa manera. e 2) x (P (x) Q(x)) (x P (x)) (x Q(x))

Algweb

Suposem certa la proposici (x P (x)) (x Q(x)).Hi ha dues possibilitats: o

i) Si x P (x) s veritat, sigui a tal que P (a) s veritat. En aquest cas P (a) Q(a) s veritat, i llavors e e e x (P (x) Q(x)) s certa. e ii) Si x Q(x) s veritat es raona an`logament. e a Exemple 1.1.8: Demostrarem que la proposici segent no s vertadera: o u e x P (x) Q(x) x P (x) x Q(x)

Per demostrar que una proposici no s certa s sucient trobar un cas particular en el que la proposici o e e o sigui falsa (contraexemple).

En el nostre cas podem usar el contraexemple segent: u Si P (x) signica x s un nombre parell i Q(x) signica x s un nombre imparell, la proposici e e o x P (x) x Q(x) signica que existeix un nombre parell i existeix un nombre imparell, proposici o certa. Tanmateix la proposici x P (x) Q(x) signica que existeix un nombre que s parell i imparell o e alhora, proposici falsa. Per tant la implicaci s falsa. o oe 1.2. Fonaments de teoria de conjunts

Denici 1.2.1: Un conjunt A s una agrupaci dobjectes (elements), de tal manera que donat un o e o objecte arbitrari x podem dir sense ambigitat si pertany o no a lagrupaci, x A, o x A. u o Notaci: Escriurem {a, b, c} per representar el conjunt format pels objectes a, b i c. o

El concepte de conjunt permet associar a qualsevol propietat un conjunt, precisament el de tots aquells objectes que veriquen la propietat: {x | P (x)} s el conjunt de tots els objectes pels quals P(x) s certa. e e Denici 1.2.2: Direm que les propietats P i Q sn equivalents si els seus conjunts associats sn iguals. o o o La teoria de conjunts i la l`gica estan o ntimament relacionades. Ja Arist`til deia que existeixen dues o formes de descriure els universos: la descripci per extensi, que consisteix en enumerar els seus elements, o o i la descripci per comprensi, consistent en enunciar les propietats que caracteritzen els seus elements. o o Arist`til va abandonar la l o nia de la descripci per extensi concentrant tota la seva atenci en la l`gica, o o o o s a dir, en la descripci per comprensi. Molt probablement fou aix perqu` va entendre que la capacitat e o o e descriptiva de lextensi era molt limitada, ja que per exemple s impossible enumerar els nombres naturals. o e Tanmateix, com sha pogut comprovar 25 segles ms tard, s ms f`cil pensar per extensi que per comprensi. e e e a o o De fet el desenvolupament de la l`gica va quedar aturat ns que es varen incorporar els m`todes extensius. o e Les operacions sobre conjunts que denirem tot seguit sn un reex del de les operacions l`giques. o o Denici 1.2.3: Si A i B sn conjunts, anomenarem intersecci de A i B al conjunt format pels o o o elements que pertanyen simult`niament a A i a B, la representarem per A B, a

Algweba A:

A B = {x | x A x B}

Aix un objecte t les propietats P i Q si i noms si aquest objecte pertany a la intersecci del conjunt , e e o associat a la propietat P i del conjunt associat a la propietat Q. Denici 1.2.4: Si A i B sn conjunts, anomenarem uni de A i B al conjunt format pels elements o o o que pertanyen a A , a B o a tots dos conjunts simult`niament, la representarem per A B, a

A B = {x | x A x B}

Aix un objecte t la propietat P o la propietat Q si i noms si aquest objecte pertany a la uni del conjunt , e e o associat a la propietat P i del conjunt associat a la propietat Q. Denici 1.2.5: Sanomena complementari de A, al conjunt format pels elements que no pertanyen o A = {x | x A}

Denici 1.2.6: Siguin A i B conjunts, anomenarem difer`ncia de A i B al conjunt dels elements de o e A que no pertanyen a B: A B = {x | x A x B} Denici 1.2.7: Siguin A i B conjunts. Direm que A est` incl`s en B, o que A s subconjunt de B, o a o e si qualsevol objecte que pertany a A tamb pertany a B. e

A B x (x A x B)

Notaci: o Tamb es pot usar el s e mbol ) Si A no s subconjunt de B escriurem o e Denici 1.2.8: Ara denim el que entenem per conjunts iguals: o

A = B (A B

B A)

Denici 1.2.9: Denim el conjunt buit: o = {x | x = x} Al no haver cap objecte que veriqui la propietat de ser diferent a ell mateix, aquest conjunt no t cap e element. Proposici 1.2.1: Per a qualsevol conjut A, llavors A. o Demostraci: Segons la denici: o o A x (x x A) Observem que la proposici de la dreta s vertadera ja que la primera part del condicional s sempre falsa. o e e Proposici 1.2.2: El conjunt buit s unic. o e

Algweb1) (A ) = A 2) A A = A ; 8) A = ;

Demostraci: Suposarem que en hi ha dos 1 i 2 i demostrarem que coincideixen. o Si ara utilitzem la proposici 1.2.1 per A = 2 , tenim que: 1 2 . o Si ara utilitzem la proposici 1.2.1 per A = 1 , tenim que: 2 1 . o Proposici 1.2.3: Siguin A, B i C conjunts qualsevol: o

AA=A

(Idempot`ncia) e A (B C) = (A B) C (Commutativa) (Absorci) o (Distributiva) (Associativa)

3) A (B C) = (A B) C ; 4) A B = B A ; 5) A (A B) = A ;

AB =BA A (A B) = A

6) A (B C) = (A B) (A C) ;

A (B C) = (A B) (A C)

7) C (A B) = (C A) (C B) ; C (A B) = (C A) (C B) (A B) = A B ; (A B) = A B (Lleis de De Morgan) A=A

Denici 1.2.10: Sigui A un conjunt, anomenarem conjunt de les parts de A, al conjunt format o per tots els subconjunts de A: P(A) = {x | x A} Exemple 1.2.1: Si considerem el conjunt A = {1, 2, 3} tindrem: P(A) = , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

P P(A) = , {}, {1} , {2} , . . . , {1, 2, 3} , , {1} , . . . , {2}, {1, 3} , . . . , {1}, {2, 3}, {1, 2, 3} , . . . , , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Denici 1.2.11: Siguin A i B conjunts, anomenarem producte cartesi` de A i B al conjunt: o a A B = {(a, b) | a A on el parell ordenat (a, b) s el conjunt: e (a, b) = {a}, {a, b} P P(A B) Es immediat de la denici que si a = b llavors (a, b) = (b, a). o Podem generalitzar aquesta denici introduint la terna ordenada: o def (a, b, c) = (a, (b, c)) la quaterna ordenada: def (a, b, c, d) = (a, (b, c, d)) i en general la nupla ordenada: def (a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 , (a2 , (. . . , an ) . . .)) Proposici 1.2.4: Siguin A, B ,C i D conjunts qualsevol,llavors es verica : o 1) 2) 3) 4) A= A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) (C D) = (A C) (B D) b B}

AlgwebNotaci: o

A2 = A A ;

A3 = A A A ;

...

An = A A . . . An

Denici 1.2.12: Direm que G s una correspond`ncia ( o graf) entre els conjunts A i B si s un o e e e subconjunt del seu producte cartesi`, G A B. a Denici 1.2.13: Direm que f s una aplicaci (o funci) entre els conjunts A i B, si verica: o e o o 1) f A B 2) x A !y B (x, y) f ( (x, y) f (x, z) f ) y = z

Notaci: Si (x, y) f direm que y s la imatge de x segons f , i escriurem: o e f : A B x y = f (x)

Denici 1.2.14: Siguin f i g dues aplicacions denides entre A i B, direm que sn iguals, f = g si o o veriquen: x A f (x) = g(x) Denici 1.2.15: Donat un conjunt A, anomenarem aplicaci identitat en A a laplicaci: o o o IdA : A A

x IdA (x) = x Denici 1.2.16: Sigui laplicaci f : A B, o o 1) Direm que f s injectiva si: e x, y A 2) Direm que f s exhaustiva si: e y B x A 3) Direm que f s bijectiva si: e y B !x A f (x) = y f (x) = y f (x) = f (y) x = y

Es immediat vericar que laplicaci f s bijectiva si i noms si s injectiva i exhaustiva alhora. o e e e Denici 1.2.17: Siguin A, B i C conjunts, i les aplicacions: o f : A B g : B C

anomenem producte (o composici) daquestes aplicacions a h = g f tal que: o g f : AB C x f (x) g(f (x))f g

Algwebx N,

h = g f s una aplicaci denida entre A i C. e o Proposici 1.2.5: El producte daplicacions no s commutatiu. o e

Demostraci: Utilitzant les notacions de la denici anterior,per poder parlar de la composici h = f g o o o els conjunts C i A han de coincidir. Per` encara que sigui aix f`cilment trobem un contraexemple de dues o a aplicacions que el seu producte no s commutatiu. e Considerem A = B = C = N el conjunt dels nombres naturals, i les aplicacions: f : N N x x2 g : N N xx+1

(g f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 + 1

(f g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = (x + 1)2

Proposici 1.2.6: Siguin les aplicacions: o f : A B g : B C

1) Si f i g sn injectives, llavors g f s injectiva. o e 2) Si f i g sn exhaustives, llavors g f s exhaustiva. o e

3) Si f i g sn bijectives, llavors g f s bijectiva. o e 4) Si la composici g f s injectiva, llavors f s injectiva. o e e

5) Si la composici g f s exhaustiva, llavors g s exhaustiva. o e e Denici 1.2.18: Donat un conjunt A, direm que R s una relaci bin`ria sobre A, si R A A. o e o a Notaci: Si (x, y) R escriurem xRy. o Denici 1.2.19: Sigui R una relaci bin`ria sobre A, o o a 1) R verica la propietat reexiva si x A, 2) R verica la propietat sim`trica si e x, y A, 3) R verica la propietat antisim`trica si e x, y A, 4) R verica la propietat transitiva si x, y, z A, Denici 1.2.20: o 1) Direm que R A A s una relaci dequival`ncia sobre A si verica les propietats reexiva, e o e sim`trica i transitiva. e 2) Direm que R A A s una relaci dordre sobre A si verica les propietats reexiva, antisim`trica e o e i transitiva. Exemple 1.2.2: Considerem el conjunt A = {1, 2, 3} (x, y) R (y, z) R (x, z) R (x, y) R (y, x) R x = y (x, y) R (y, x) R (x, x) R

Algweb

i) R = {(1, 1)} : t les propietats sim`trica, antisim`trica i transitiva. e e e

ii) R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}: reexiva,sim`trica, antisim`trica i transitiva. e e

iii) R = {(1, 2), (2, 1)} : sim`trica. e

iv) R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2)} : sim`trica i transitiva. e

1.3. Inducci completa o Suposarem conegut el conjunt dels nombres naturals:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .} N = N {0} = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

La seva propietat fonamental s la segent: e u

Tot subconjunt no buit de N t m e nim

Aquest fet t com a conseq`ncia el segent teorema fonamental: e ue u Teorema 1.3.1: (Principi dInducci completa) o Si A N satisf` les propietats: a 1) 1 A 2) n N , llavors A = N . Demostraci: Raonem per reducci a labsurd. Suposem que A = N , llavors (N A) = . Per tant, o o m N tal que m = min(N A). Per hip`tesi sabem que 1 A,el que ens permet armar que m = 1, de o manera que mo = m 1 N . Tot seguit veriquem que {x N | x mo } A Sigui y {x N | x mo } y N y mo < m.Ja que m = min(N A), necessariament y (N A),i per tant y A. Considerant la propietat 2), obtenim que mo + 1 = m A, el que contradiu que m = min(N A). Corollari 1.3.1: (Raonament per inducci completa) o Sigui P (x) una propietat tal que: 1) P (1) s certa. e 2) n N es verica: x N , Llavors: {x N | x n} A (n + 1) A

AlgwebLlavors:

x n P (x) s certa e n N ,

P (n + 1) s certa e

P (n) s certa e

Demostraci: Si denim el conjunt: o A = {x N | P (x) s certa } e Noms caldr` demostrar que A = N . Ho farem utilitzant el teorema anterior. e a

1) 1 A. 2) Veriquem que: n N , {x N | x n} A (n + 1) A Sigui n N i suposem que {x N | x n} A. Llavors segons la denici de A tindrem que o x N , x n P (x) s veritat. Per tant segons la hip`tesi 2), P (n + 1) s veritat, i n + 1 A. Ja e o e estem en condicions daplicar el principi dinducci completa i obtenim A = N . o Corollari 1.3.2: (Raonament per inducci) o Sigui P (x) una propietat tal que: 1) P (1) s certa. e 2) n N es verica: P (n) s certa P (n + 1) s certa e e n N , P (n) s certa e

Demostraci: Anem a justicar que lapartat 2) daquest corollari implica lapartat 2) del corollari o anterior, i daquesta manera quedar` demostrat. a Hem de demostrar que n N s certa la proposici: e o x N , x n P (x) s certa P (n + 1) s certa e e Suposem que la primera part de la proposici s certa, llavors en particular P (n) s certa, apliquem la o e e hip`tesi del nostre corollari i tenim que P (n + 1) s certa. o e

Notaci: En un raonament per inducci utilitzarem el llenguatge segent: o o u P (1) s veritat s la base de la inducci. e e o n N , P (n) s veritat P (n + 1) s veritat s el pas dinducci. Normalment es fa una e e e o demostraci directa del pas dinducci, s a dir, sestudia el cas en que P (n) s certa per un cert valor n o o e e arbitrari (hip`tesi dinducci). o o Exemple 1.3.1: Demostreu que:n

n N ,i=1

(2i 1)2 =

n(2n 1)(2n + 1) 3

Farem un raonament per inducci: o P (1) : 12 = 113 3

com que P (1) s certa, ja tenim la base de la inducci. e o Hip`tesi dinducci: Suposem que P (n) s certa: o o en

(2i 1)2 =i=1

n(2n 1)(2n + 1) 3

AlgwebTenim que:n+1 i=1

Ara hem de demostrar que P (n + 1) s certa: en+1

(2i 1)2 =i=1

?

(n + 1)(2n + 1)(2n + 3) 3

n

(2i 1)2 =i=1

(2i 1)2 + (2n + 1)2 =

n(2n 1)(2n + 1) + (2n + 1)2 3

i operant:

n+1

(2i 1)2 =i=1

(n + 1)(2n + 1)(2n + 3) 3

1.4. Estructures algebraiques

Denici 1.4.1: Sigui A un conjunt diferent del buit, A = , direm que s una operaci o llei de o e o composici interna sobre A, si s una aplicaci del tipus o e o : A A A (a1 , a2 ) = a3

Notaci: Lelement a1 operat amb a2 ens dona a3 , i escriurem a1 a2 = a3 o Denici 1.4.2: o

1) Loperaci s associativa si: o e a, b, c A, a (b c) = (a b) c = a b cNot

2) Loperaci s commutatativa si: o e

a, b A,

ab=ba

3) Direm que e A s element neutre de loperaci si: e o a A, ae=ea=a

4) Si existeix e element neutre de , i a A, direm que a A s lelement sim`tric (oposat o invers) e e de a si verica: aa=aa=e Notaci: Per designar operacions normalment es fan servir s o mbols no alfabetics: +, , , , etc. Proposici 1.4.1: Sigui una operaci interna denida en A, llavors si existeix element neutre s o o e unic. Demostraci: Siguin e1 i e2 elements neutres, utilitzem dues vegades lapartat 3) de la denici anterior: o o i) e = e1 i a = e2 , ii) e = e2 i a = e1 , e2 e1 = e1 e2 = e2 e1 e2 = e2 e1 = e1

Algweb

Proposici 1.4.2: Sigui una operaci interna, associativa i amb element neutre, denida en A, i sigui o o un element a A que t sim`tric a A, llavors aquest sim`tric s unic. e e e e Demostraci: Suposarem que t dos sim`trics i demostrarem que necessariament coincideixen: a1 i a2 o e e a1 = a1 e = a1 (a a2 ) = (1 a) a2 = e a2 = a2 a

Denici 1.4.3: Sigui una operaci interna denida en A, direm que (A, ) s grup si o o e

verica la propietat associativa, existeix element neutre i tot element t sim`tric. e e

Denici 1.4.4: Direm que (A, ) s grup commutatiu o abeli` si (A, ) s grup i a ms loperaci o e a e e o s commutativa. e Exemple 1.4.1: Si considerem la suma + i el producte habituals en els conjunts de nombres, les segents estructures sn grups commutatius: u o (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q {0}, ), (R {0}, )

Proposici 1.4.3: Sigui (A, ) un grup, llavors lnic element idempotent s el neutre,s a dir: o u e e b A, bb=bb=e

Demostraci: Utilitzarem la unicitat de lelement neutre, daquesta manera si aconseguim demostrar que o a A, ab=ba=a

tindrem el resultat desitjat, b = e. a A, a b = a (b b)

composant pel seu sim`tric i usant la propietat associativa: e b ab= abb b b ae=ab a=ab de manera an`loga: a ba=bba ba =bba b b ea=eba a=ba Notaci: A partir dara i per facilitar lescriptura usarem com a s o mbols doperacions internes + i . Denici 1.4.5: Sigui un conjunt A amb dues operacions internes +, , direm que (A, +, ) s anell o e si: 1) (A, +) s grup commutatiu e 2) Loperaci s associativa: a, b, c A, o e a (b c) = (a b) c 3) Loperaci s distributiva respecte de loperaci + : o e o a, b, c A, a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = a c + b c

Algweb

Denici 1.4.6: Direm que (A, +, ) s anell commutatiu si s anell i loperaci s commutativa: o e e o e a, b A, ab=ba

Denici 1.4.7: Direm que (A, +, ) s anell unitari si s anell i loperaci t element neutre,al o e e o e qual anomenarem element unitat i el representarem amb el s mbol 1. a A, a1=1a=a

Notaci: A lelement neutre respecte a loperaci + en direm element zero i el representarem per 0. o o

Denici 1.4.8: Sigui (A, +, ) un anell unitari, direm que a A s inversible (o invertible) si o e existeix a A,tal que aa=aa=1 N ot : a = a1 Notaci: En el cas anterior direm que a1 s lelement invers de a. o e Per altra banda, a lelement a A, tal que: a+a=a+a=0 en direm lelement oposat de a, i el representarem per a, i per simplicar lescriptura a + (a) = a a = 0 Denici 1.4.9: Sigui (A, +, ) un anell, i a, b A, direm que a i b sn divisors de zero si: o o a = 0, b = 0, ab=0

Denici 1.4.10: Si un anell no t divisors de zero direm que s un anell o e e ntegre o anell dintegritat. En aquest cas es vericar`: a a, b A, a b = 0 (a = 0 b = 0)

Exemple 1.4.2: (Z, +, ), (Q, +, ) i (R, +, ) sn anells o ntegres, commutatius i unitaris. Proposici 1.4.4: Sigui (A, +, ) anell, llavors es verica: o 1) a A, 2) a, b A, 3) a, b A, Demostraci: o 1) a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 i utilitzant la proposici 1.4.3, a 0 = 0. De manera an`loga es demostra o a que 0 a = 0 2) Noms cal utilitzar la denici delement sim`tric i la seva unicitat: e o e a0=0a=0 a (b) = (a) b = (a b) a b = b a a (b) = (b) a

b + (b) = 0 a b + (b) = 0 a b + a (b) = 0 Per tant, a (b) s lelement oposat de a b, s a dir (a b) = a (b). e e

AlgwebDemostraci: o

3) De lapartat anterior obtenim: a (b) = (a b) Si ara a b = b a, ens queda a (b) = (b) a.

(b) a = (b a)

Cas particular: Si lanell s unitari podem agafar b = 1, e a A, a (1) = (1) a = (1 a) = a

Proposici 1.4.5: Sigui (A, +, ) anell unitari o 1) a, b A, si a i b sn inversibles, llavors lelement a b tamb ho s, i o e e (a b)1 = b1 a1

2) a A, si s inversible llavors el seu oposat tamb ho s, e e e (a)1 = (a1 )

3) Lelement zero no s inversible. e 4) Si a A s divisor de zero, llavors no s inversible. e e

1) Tan sols cal comprovar que verica la denici delement invers o

(a b) b1 a1 = a (b b1 ) a1 = a 1 a1 = 1 b1 a1 (a b) = b1 (a a1 ) b = b1 1 b = 1

2) a + (a) = 0; a a1 + (a) a1 = 0; 1 + (a) a1 = 0; i segons la denici delement sim`tric, o e (a) a1 = 1; utilitzant el tercer apartat de la proposici anterior, (a) (a1 ) = 1. De manera an`loga o a si multipliquem per a1 per lesquerra obtindrem (a1 ) (a) = 1 i per tant (a)1 = (a1 ). 3) Ho demostrarem per reducci a labsurd. Suposem que 0 s inversible, llavors existeix ao A, tal o e que: ao 0 = 0 ao = 1 Per`, segons el primer apartat de la proposici 1.4.4, o o ao 0 = 0 ao = 0 ja hem arribat a una contradicci. o 4) Tamb farem la demostraci per reducci a labsurd i suposarem que existeix a1 . Sabem que: e o o b A, b = 0, a = 0, a b = 0 Ara composem per a1 , a1 a b = a1 0 = 0 i obtenim b = 0 (contradicci). o Denici 1.4.10: Direm que (K, +, ) s cos si: o e

Algweb

1) (K, +) s grup commutatiu e 2) (K {0}, ) s grup e 3) Loperaci s distributiva respecte de loperaci + o e o a, b, c K, a (b + c) = a b + a c; (a + b) c = a c + b c

Denici 1.4.11: Direm que (K, +, ) s cos commutatiu si s cos i verica: o e e a, b K a b = b a Exemple 1.4.3: Si considerem la suma i el producte habituals sn cosos commutatius: o (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, )

Proposici 1.4.6: Si (K, +, ) s cos , llavors s anell dintegritat. o e e

Demostraci: Ho justicarem per reducci a labsurd. Suposarem que existeixen divisors de zero i o o arribarem a una contradicci: o a, b K, a = 0, b = 0, a b = 0 Al ser diferents de zero tenen element invers a1 , b1 K, a1 a b = a1 0 = 0 s a dir, b = 0, i ja tenim la contradicci. e o

Darrera versi: 1 de setembre de 2003 o

lgebra i GeometriaEnginyeria de Camins, Canals i Ports

2. ESPAIS VECTORIALS 2.1 GeneralitatsEn tot aquest tema, (K, +, ) representar` un cos commutatiu. En particular, pensarem sempre en a (K, +, ) com un dels cossos commutatius (Q, +, ), (R, +, ) o (C, +, ), on la suma i el producte sn els o habituals en Q, R o C. Denici 2.1.1: Sigui E un conjunt. Sanomena llei de composici externa denida en E a tota o o aplicaci de K E sobre E: o : K E E (, x) x

Denici 2.1.2: Sigui E un conjunt, i sigui (K, +, ) un cos commutatiu tal que el seu element neutre o respecte del producte se simbolitza per 1. Siguin + una operaci denida en E i una llei de composici o o externa denida en E : + : E E E (x, y) x+y : K E E (, x) x

Algweb

) e Es diu que (E, +, s un espai vectorial sobre (K, +, ) si es verica: 1) (E, +) es un grup commutatitu, es a dir : 1.a) (x, y, z E) (x+y)+z = x+(y +z)

1.b) 0 E tal que (x E) x+0 = 0+x = x 1.c) 1.d) 2) 3) 4) 5) (x E) x E tal que x+x = x+x = 0 (x, y E) x+y = y +x

( K, x, y E) +y) = + (x x y (, K, x E) (, K, x E) (x E) 1 = x x ( + ) = + x x x ( ) = x) x (

) e Si (E, +, s un espai vectorial sobre (K, +, ), sanomena vectors als elements de E i escalars als de K. Adems, se sol anomenar producte per escalars o producte extern a la llei de composici externa e o denida en lespai vectorial. Parlarem despai vectorial racional, real o complex quan K = Q, K = R o K = C, respectivament. Admetrem lexpressi E s un espai vectorial sobre K (sense especicar o e , +, +, ) quan no existeixi cap ambigitat respecte de qui sn la suma i el producte per escalars en E i u o les operacions suma i producte en K. Exemple 2.1.1: Siguin E = C, (K, +, ) = (R, +, ) i les lleis de composici denides per: o + : C C C (a, b) a+b : R C C (, a) = a a

(la suma s la suma habitual en C ; el producte extern s la conjugaci del producte habitual dun nombre e e o real per un de complex.) ) F`cilment es veu que (C, +, no s espai vectorial sobre (R, +, ). Per exemple, no es verica el punt a e 5 de la denici 2.1.2. En efecte, si a = 3 i, llavors: 1 = a = 3 + i = a . o a

Exemple 2.1.2: Sigui (K, +, ) un cos commutatiu, i n N . Recordem que Kn es deneix com: Kn = { (x1 , x2 , . . . , xn ) / xj K, j = 1, n } Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) K , es diu que xj K s la coordenada j-`ssima del vector x (j = 1, n). e en

Denim ara la suma i el producte extern naturals . Per a qualssevol x, y Kn tals que x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) i qualsevol K : + : Kn Kn Kn (x, y) x+y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) : K Kn Kn (, x) = ( x1 , x2 , . . . , xn ) x

(observem que en xj + yj sutilitza la suma en (K, +, ), i que en xj sutilitza el producte en (K, +, ) , j = 1, n). Veriquem els cinc punts de la denici despai vectorial : o Es directe que, per a tot parell delements de Kn existeix i s unica la seva suma (en existir i ser unica e e la suma per a cada coordenada), per la qual cosa + s aplicaci (operaci). o o [ 1 - a ] x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), z = (z1 , . . . , zn ) Kn es verica: (x+y)+z = (x1 , . . . , xn )+(y1 , . . . , yn ) +(z1 , . . . , zn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )+(z1 , . . . , zn ) =(1) (1) (1)

Algweb(1)

= (x1 + y1 ) + z1 , . . . , (xn + yn ) + zn = x1 + (y1 + z1 ), . . . , xn + (yn + zn ) =(1)

(2)

(1)

= (x1 , . . . , xn )+(y1 + z1 , . . . , yn + zn ) = (x1 , . . . , xn )+ (y1 , . . . , yn )+(z1 , . . . , zn ) = +z) = x+(y

( Justicaci : o (1) : Denici de suma en Kn o (2) : Associativitat de la suma en (K, +, ), per a cada coordenada )

[ 1 - b ] Sigui 0 = (0, . . . , 0) Kn . Llavors, x = (x1 , . . . , xn ) Kn es verica: x+0 = (x1 , . . . , xn )+(0, . . . , 0) = (x1 + 0, . . . , xn + 0) = (x1 , . . . , xn ) = x (1) (2) 0+x = (0, . . . , 0)+(x1 , . . . , xn ) = (0 + x1 , . . . , 0 + xn ) = (x1 , . . . , xn ) = x ( Justicaci : o (1) : Denici de suma en Kn o (2) : 0 s lelement neutre de la suma en (K, +, ), per a cada coordenada ) e(1) (2)

[ 1 - c ] x = (x1 , . . . , xn ) Kn , existeix un element en Kn que anomenem x , denit com: = (x1 , . . . , xn ) (on (xj ) + xj = xj + (xj ) = 0, j = 1, n). Llavors : x x+x = (x1 , . . . , xn )+(x1 , . . . , xn ) = (x1 + (x1 ), . . . , xn + (xn )) = (0, . . . , 0) = 0 (1) x+x = (x1 , . . . , xn )+(x1 , . . . , xn ) = ((x1 ) + x1 , . . . , (xn ) + xn ) = (0, . . . , 0) = 0 ( Justicaci : o (1) : Denici de suma en Kn ) o(1)

[ 1 - d ] x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) Kn es verica: x+y = (x1 , . . . , xn )+(y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = (2) (1) = (y1 + x1 , . . . , yn + xn ) = (y1 , . . . , yn )+(x1 , . . . , xn ) = y +x ( Justicaci : o (1) : Denici de suma en Kn o (2) : Commutativitat de la suma en (K, +, ), per a cada coordenada ) Es directe que, per a cada parell format per un elemente de K i un element de Kn existeix i s unic e el seu producte (en existir i ser unic el producte per a cada coordenada), per la qual cosa la llei s e aplicaci (llei de composici externa). o o [2] x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) Kn , K es verica: +y) = (x1 , . . . , xn )+(y1 , . . . , yn ) = 1 + y1 , . . . , xn + yn ) = (x (x(2) (3) (1) (2) (1) (1) (2)

= ( (x1 + y1 ), . . . , (xn + yn )) = ( x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = (1) (2) (y = ( x1 , . . . , xn )+( y1 , . . . , yn ) = 1 , . . . , xn )+ 1 , . . . , yn ) = + (x x y ( Justicaci : o (1) : Denici de suma en Kn o (2) : Denici de producte extern o (3) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (K, +, ), per a cada coordenada ) [3] x = (x1 , . . . , xn ) Kn , , K es verica:(1) (2)

Algweb(1)

( + ) = ( + ) 1 , . . . , xn ) = (( + ) x1 , . . . , ( + ) xn ) = x (x (2) (3) (1) = ( x1 + x1 , . . . , xn + xn ) = ( x1 , . . . , xn )+( x1 , . . . , xn ) = (x = 1 , . . . , xn )+ 1 , . . . , xn ) = + (x x x

( Justicaci : o (1) : Denici de producte extern o (2) : Distributivitat de la suma respecte del producte en (K, +, ), per a cada coordenada (3) : Denici de suma en Kn ) o x = (x1 , . . . , xn ) Kn , , K es verica:(1) (2) (1)

[4]

( ) = ( ) 1 , . . . , xn ) = (( ) x1 , . . . , ( ) xn ) = ( ( x1 ), . . . , ( xn )) = x (x(1)

= x1 , . . . , xn ) = 1 , . . . , xn ) = x) ( (x (

(1)

( Justicaci : o (1) : Denici de producte extern o (2) : Associativitat del producte en (K, +, ), per a cada coordenada ) x = (x1 , . . . , xn ) Kn , es verica:

[5]

1 = 1 1 , . . . , xn ) = (1 x1 , . . . , 1 xn ) = (x1 , . . . , xn ) = x x (x ( Justicaci : o (1) : Denici de producte extern o (2) : 1 s lelement neutre del producte en (K, +, ). ) e ) e Aix doncs, sha comprovat que (Kn , +, s un espai vectorial sobre (K, +, ).

(1)

(2)

Exemple 2.1.3: Com a conseq`ncia de lexemple 2.1.2, els segents conjunts sn espais vectorials ue u o amb les lleis de composici naturals: o Qn (sobre (Q, +, )), Rn (sobre (R, +, )), Cn (sobre (C, +, )) , per a tot n N

Exemple 2.1.4: Sigui (K, +, ) un cos commutatiu, i sigui K[x] el conjunt de tots els polinomis en la indeterminada x amb coecients en K, s a dir : e K[x] = { a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , n N, aj K (j = 0, n) } j=0

Algweb

Observem que tot element de K[x] es pot escriure en la forma

aj xj , admetent lexist`ncia dalgun e

n N per al qual aj = 0 (j n + 1) . (Criteri digualtat : direm que dos elements de K[x] sn iguals quan tinguin respectivament iguals o els coecients de xj , j N). Denim ara la suma i el producte extern naturals . Per a qualssevol p(x), q(x) de K[x] tals que aj xj , q(x) =

p(x) =

bj xj , i per a qualsevol K :

j=0

j=0

+ : K[x] K[x] K[x] (p(x), q(x)) p(x)+q(x) =

j=0

: K K[x] K[x] (aj + bj )xj (, p(x)) p(x) =

j=0

( aj )xj

(observem que en aj + bj sutilitza la suma en (K, +, ), i que en aj sutilitza el producte en (K, +, ) , j N) ) e ) e Es demostra f`cilment que (K[x], +, s espai vectorial sobre (K, +, ) (s a dir, que (Q[x], +, s a e ) e ) e espai vectorial sobre (Q, +, ), (R[x], +, s espai vectorial sobre (R, +, ), (C[x], +, s espai vectorial sobre (C, +, ) ).

Exemple 2.1.5: Sigui (K, +, ) un cos commutatiu, i sigui n N . Denim Kn [x] com el conjunt de tots els polinomis de grau menor o igual a n en la indeterminada x amb coecients en K : Kn [x] = { a0 + a1 x + a2 x2 + . . . an xn , aj K, j = 0, n }

Denint la suma i el producte extern, i el criteri digualtat en Kn [x] de manera an`loga a com sha fet a ) e en lexemple 2.1.4, es demostra que (Kn [x], +, s espai vectorial sobre (K, +, ). Com casos particulars, els segents espais vectorials: u ) (Qn [x], +, sobre (Q, +, ) ) (Rn [x], +, sobre (R, +, ) ) (Cn [x], +, sobre (C, +, )

Exemple 2.1.6: Sigui (K, +, ) un cos commutatiu. Denim FK com el conjunt de totes les aplicacions de K en K, s a dir: e FK = { f : K K , f s aplicaci } e o (Criteri digualtat : direm que dos elements f , g FK sn iguals quan f (x) = g(x) , o x K). Denim ara la suma i el producte extern naturals : + : FK FK FK (f, g) f +g , : K FK FK (, f ) , f

Algweb

amb: (f +g)(x) = f (x) + g(x) , x K amb: ( )(x) = f (x) , x K f

(observem que en f (x) + g(x) sutilitza la suma en (K, +, ), i que en f (x) sutilitza el producte en (K, +, )). ) e Es demostra que (FK , +, s espai vectorial sobre (K, +, ).

Exemple 2.1.7: Siguin a, b R (a < b). Denim CR [a, b] com el conjunt de totes les funcions reals, de variable real pertanyent a linterval [a, b] R , cont nues en ell: CR [a, b] = {f : [a, b] R R , f cont nua en [a, b] R }

(Criteri digualtat : dos elements f , g CR [a, b] sn iguals quan f (x) = g(x) , o x [a, b] R). Denim ara la suma i el producte extern naturals :

+ : CR [a, b] CR [a, b] CR [a, b] (f, g) f +g , amb: (f +g)(x) = f (x) + g(x) , x [a, b] R : R CR [a, b] CR [a, b] (, f ) , amb: ( )(x) = f (x) , x [a, b] R f f

(observem que en f (x) + g(x) sutilitza la suma en (R, +, ), i que en f (x) sutilitza el producte en (R, +, )). ) e Es demostra que (CR [a, b], +, s espai vectorial sobre (R, +, ).

En la segent proposici es dedueixen les primeres propietats despai vectorial. u o

) Proposici 2.1.1: Sigui (E, +, un espai vectorial sobre (K, +, ). Per a tot z E representem per o el vector tal que z + z = z + z = 0. Es verica: z 1) 2) 3) 4) 5) 6) 0 = 0 (x E) x 0 = 0 ( K) ( = () = x ( K , x E) x) x = ( +( +y) (x x) y) ( K , x, y E) ( ) = ( +( x x) x) (, K , x E) = 0 = { = 0 x = 0} x

Demostraci 2.1.1 o [ 1 ] Per a qualsevol x E podem escriure 0 = (0 + 0) = (0 +(0 don es dedueix que 0 = 0 . x x x) x), x [ 2 ] Per a qualsevol K podem escriure 0 = 0+0) = (0)+(0), don es dedueix que 0 = 0 . ( [3] Per a qualssevol K , x E es verica:

Algweb[4] [5]

a) ( ) = 0 = 0 (pel primer apartat). Per` tamb ( ) = +() . Igualant totes dues x x o e x x x expressions resulta que: +() = 0 , x x

don sobt que () = ( . e x x) b) +x) = 0 = 0 (pel segon apartat). Per` tamb +x) = +x . Igualant aquestes (x o e (x x expressions: +x = 0 , x

don veiem que x = ( . x) Per a qualssevol K , x, y E es verica: +y) = ( +(y) = ( +( (per lapartat anterior) (x x) x) y)

Per a qualsevol , K , x E es verica: ( ) = ( +( = ( +( x x) x) x) x) (pel tercer apartat)

[ 6 ] Donada lequaci = 0 (amb K i x E), la discussi sobre el conjunt de solucions ha de o x o tenir en compte dos casos:

a) = 0 . En aquest cas, la proposici es verica trivialment. o b) = 0 . En aquest cas, existeix 1 K tal que 1 = 1 . Llavors, si en la igualtat = 0 x multipliquem per 1 (emprant el producte extern): 1 x) = 10 . ( Tenint en compte els punts 4 i 5 de la denici despai vectorial i els resultats ja demostrats daquesta o proposici, es dedueix que x = 0 . Daquesta forma sacaba la demostraci. o o

) e Si (E, +, s un espai vectorial sobre (K, +, ), se sol escriure el mateix s mbol (+) per representar tant la suma en E com la suma en K. Tamb se sol emprar el mateix s e mbol () per al producte en K i per a la llei de composici externa denida en E; encara ms, aquest s o e mbol () habitualment ni sescriu, tenint aix expressions del tipus , x (on , K, x E) per denotar , La confusi aparent x. o que aix` crea es resol f`cilment si sobserva a quins conjunts pertanyen dos objectes entre els que hi ha o a un + o un . Addicionalment, sescriu x per representar el vector x, i x y per fer refer`ncia a la suma x + y. e Llavors, el punt 3 de la proposici 2.1.1 ens permet escriure, sense ambigitat: x per designar als o u elements (x), ()x, (x) ( K, x E). Aquestes notacions sadoptem des daquest moment.

Algweb

Establim tamb que, si no es diu el contrari, suposarem sumes i productes per escalars naturals e quan treballem amb els conjunts per als que acabem de veure que tenen estructura despai vectorial (Kn , K[x], Kn [x], FK , CR [a, b]).

2.2 Combinaci lineal o

Denici 2.2.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V E un sistema de vectors de E (pot o contenir vectors repetits). Es diu que x E s combinaci lineal de V quan existeixi un nombre nit e o descalars 1 , 2 , . . . , n K i de vectors v1 , . . . , vn V (n N ) tals que: x = 1 v1 + 2 v2 + . . . + n vn

Exemple 2.2.1: En lespai vectorial real R3 , prenem V = {(1, 0, 0), (1, 2, 1)}. Llavors x = (3, 4, 2) s combinaci lineal de V , ja que: x = 1(1, 0, 0) + 2(1, 2, 1) . e o Tamb x = (1, 2, 1) s combinaci lineal de V , ja que e e o x = 0(1, 0, 0) + 1(1, 2, 1) .

En canvi, x = (3, 4, 1) no s combinaci lineal de V , perque no s possible trobar , R que e o e veriquin que x = (1, 0, 0)+(1, 2, 1). En efecte, si existissin, tindr em: x = (3, 4, 1) = (+, 2, ). Igualant coordenada a coordenada: 3=+ 4 = 2 , don deduim que = 2 i = 1 , la qual cosa s impossible !! e 1 =

Donat un sistema de vectors V E, cal fer `mfasi en el car`cter nit del nombre dells que intervenen e a en una combinaci lineal, encara que el nombre de vectors de V pugui ser nit o innit. o

Denici 2.2.2: Sigui E un espai vectorial sobre K, i V = {v1 , . . . , vn } E (n N ). Es diu que o V s un sistema lliure (o, equivalentment, que els seus vectors sn linealment independents) quan: e o

1 v1 + . . . + n vn = 0 = { 1 = 0 , . . . , n = 0 } Es diu que V s un sistema lligat (o, equivalentment, que els seus vectors sn linealment dependents) e o quan V no sigui un sistema lliure (s a dir, quan es veriqui la igualtat vectorial 1 v1 + . . . + n vn = 0 e amb algun escalar j = 0)

Exemple 2.2.2: En lespai vectorial real R3 , s lligat el segent sistema de vectors e u V = {(1, 1, 1), (2, 0, 1), (3, 1, 0), (1, 1, 2)}, ja que, per exemple: 1(1, 1, 1) + 1(2, 0, 1) 1(3, 1, 0) + 0(1, 1 2) = (0, 0, 0) , on en la combinaci lineal existeix algun escalar no nul (en concret, tres dells). o En canvi, els vectors del sistema W = {(1, 1, 1), (3, 1, 0)} R3 formen un sistema lliure: (1, 1, 1) + (3, 1, 0) = (0, 0, 0) = + 3 = 0 o + = 0 , amb unica soluci = = 0 =0

Algwebsi x = 4 x

Exemple 2.2.3: En lespai vectorial real CR [1, 1], el sistema de vectors V = {sin x, cos x} s un e sistema lliure, ja que si escrivim sin x + cos x = (x) (amb (x) = 0, x [1, 1], vector zero de CR [1, 1]) llavors: si x = 0 : 0 + 1 = 0 = = 0

:

2 2

+

2 2

= 0 = + = 0 = = 0 (ja que = 0)

En canvi, el sistema W = {ex , ex , cosh x} CR [1, 1] s lligat, perque es verica la igualtat e 1 e + 1 ex 2 cosh x = 0, x [1, 1] .

Proposici 2.2.1: Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } E o Llavors, si V s un sistema lliure, es verica: e 1) 2) 3) 4)

(n N ).

vj = 0, j = 1, n vi = vj , i = j, i, j = 1, n Qualsevol subconjunt no buit de V s lliure e (1 , . . . , n K, j = 0, j = 1, n) el sistema {(1 v1 ), . . . , (n vn )} E s lliure e

Demostraci 2.2.1 o Realitzarem la demostraci dels tres primers punts raonant pel contrarrec o proc: [1] Suposem que j tal que vj = 0. En aquest cas, podem escriure: 0v1 + . . . + 0vj1 + 1vj + 0vj+1 + . . . + 0vn = 0 , la qual cosa indica que V s lligat. e [ 2 ] Suposem que i, j, i = j tals que vi = vj , s a dir, 1vi 1vj = 0. Si suposem que i < j (la qual e cosa no fa perdre generalitat a la demostraci), podrem escriure: o 0v1 + . . . + 0vi1 + 1vi + 0vi+1 + . . . + 0vj1 1vj + 0vj+1 + . . . + 0vn = 0 , i, per tant, el sistema V s lligat. e [ 3 ] Suposem que existeix un subconjunt no buit de V , que sigui lligat. Sense p`rdua de generalitat, e sigui W = {v1 , . . . , vp } V (p N , 1 p n) aquest subconjunt (en cas contrari, podriem reordenar convinentment els vectors de V i realitzar un canvi de notaci). Per ser lligat podem garantir que o 1 , . . . , p K, amb algun j = 0, que veriquen: 1 v1 + . . . + p vp = 0

Algweb[4] Corollari 2.2.2: verica: Demostraci 2.2.2 o

Llavors, sumant el vector 0 = 0vp+1 + . . . 0vn als dos cantons de la igualtat, tindrem que se mant e la igualtat i, per tant: 1 v1 + . . . + p vp + 0vp+1 + . . . 0vn = 0 ,

la qual cosa indica que V s lligat. e Lequaci vectorial o 1 (1 v1 ) + . . . + n (n vn ) = 0

pot tornar-se a escriure, fent us del quart punt de la denici despai vectorial com: o (1 1 )v1 + . . . + (n n )vn = 0

Al ser {v1 , . . . , vn } lliure per hip`tesi, es t que j j = 0 (j = 1, n) . I sent j = 0 (j = 1, n), han o e de ser nuls els escalars 1 , . . . , n , nalitzant la demostraci. o

Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } E

(n N ). Es

1) Si 0 V , llavors V s lligat e 2) Si hi ha dos o ms vectors iguals en V , llavors V s lligat e e 3) Si algun subconjunt (no buit) de V s lligat, llavors V s lligat. e e

Aquests tres punts sn els teoremes contrarrec o procs respectius dels tres primers punts de la proposici o 2.2.1.

Proposici 2.2.3: o sistema lliure.

Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui v E, v = 0. Llavors, {v} s un e

Demostraci 2.2.3 o De lequaci v = 0 (amb K) deduim directament que = 0, gr`cies al punt 6 de la proposici o a o 2.1.1 (ja que v = 0).

Proposici 2.2.4: Sigui E un espai vectorial sobre K, i sigui V = {v1 , . . . , vn } E (n N , n 2). o Llavors : V lligat { j / vj s combinaci lineal de la resta de vectors de V } e o

AlgwebDemostraci 2.2.4 o i el sistema V s lligat. e

= ] Si V s lligat: 1 v1 + . . . + n vn = 0, amb algun escalar j = 0. e Llavors: j vj = 1 v1 . . . j1 vj1 j+1 vj+1 . . . n vn . Com que j = 0 , existeix lescalar (j )1 K / (j )1 j = 1 i, per tant, multiplicant per (j )1 : vj = [(j )1 1 ]v1 . . . [(j )1 j1 ]vj1 [(j )1 j+1 ]vj+1 . . . [(j )1 n ]vn ,

indicant que vj s combinaci lineal de la resta de vectors de V . e o = ] Sigui vj = 1 v1 + . . . + j1 vj1 + j+1 vj+1 + . . . + n vn . Sumant als dos cantons de la igualtat el vector vj : 0 = 1 v1 + . . . + j1 vj1 1vj + j+1 vj+1 + . . . + n vn ,

Notem que la proposici 2.2.4 garanteix que en un sistema lligat sempre existeix un vector que pot o posar-se com a combinaci lineal de la resta, per` no diu que tots ells puguin expressar-se daquesta o o forma. Si de lequaci 1 v1 + . . . + n vn = 0 deduim que per fora s j = 0, llavors vj no podr` ser o c e a combinaci lineal de la resta delements de V . o

Exemple 2.2.4: En el espai vectorial real R2 , s lligat el segent sistema de vectors : e u V = {(1, 0), (0, 1), (2, 2), (3, 1)} (ja que, per exemple: 2(1, 0) + 2(0, 1) 1(2, 2) + 0(3, 1) = (0, 0) ). Llavors: (1, 0) = 1 (2, 2) 1(0, 1) + 0(3, 1) , (0, 1) = 1 (2, 2) 1(1, 0) + 0(3, 1), i tamb: (2, 2) = e 2 2 2(1, 0) + 2(0, 1) + 0(3, 1).

Tamb el vector (3, 1) pot ser expressat com a combinaci lineal de (1, 0), (0, 1) i (2, 2). En efecte, e o per exemple: 3(1, 0) 1(0, 1) + 0(2, 2) + 1(3, 1) = (0, 0) , la qual cosa permet descriure: (3, 1) = 3(1, 0) + 1(0, 1) + 0(2, 2) .

Exemple 2.2.5: En R2 , s lligat el sistema de vectors : e V = {(1, 1), (2, 2), (3, 1)} (per exemple: 2(1, 1) 1(2, 2) + 0(3, 1) = (0, 0) ). e Aix doncs: (1, 1) = 1 (2, 2) + 0(3, 1), i tamb: (2, 2) = 2(1, 1) + 0(3, 1). 2 En canvi, el vector (3, 1) no pot ser expressat com a combinaci lineal de (1, 1) i (2, 2). En efecte, si o plantegem lequaci (3, 1) = (1, 1) + (2, 2) sobt: o e 3 = + 2 , don deduim que 3 = 1 , impossible !! 1 = + 2 Quin s el motiu daquesta impossibilitat? De lequaci (1, 1) + (2, 2) + (3, 1) = (0, 0) es dedueix: e o 0 = + 2 + 3 , 0 = + 2 +

Algweb

sistema on lnica soluci s = 2 ( R) , = 0 . Al ser = 0, el vector (3, 1) no podr` u o e a expressar-se mai com a combinaci lineal de (1, 1) i (2, 2) . o

2.3 Subespai vectorial

Denici 2.3.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F E. Es diu que F s un subespai o e vectorial de E si verica:

1) 2) 3)

F = (x, y F ) x + y F ( K, x F ) x F

Proposici 2.3.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F E. Es verica: o 1) 0 F 2) ( K, x, y F )

F s subespai vectorial de E e

x + y F

Demostraci 2.3.1 o = ] Com que F = , existeix un cert x F . Llavors, 0 x F , s a dir, 0 F , demostrant el punt 1. e Per a veure el punt 2, notem que x F per hip`tesi, per a qualssevol K, x F . Si denim z = x, o i prenem qualsevol y F , tenim que z + y F , ja que F s subespai vectorial. Per tant, x + y F . e = ] Clarament, F = ja que 0 F per hip`tesi. Per a qualsevol x, y F , tenim que x + y F o si prenem = 1 en el punt 2 de la hip`tesi. Finalment, per a tot K i tot x F , podem escriure o x = x + 0 F , havent emprat els dos punts de la hip`tesi. Aix F s subespai vectorial. o , e

Per a veure que un cert conjunt s subespai vectorial, podem emprar tant els tres punts en la e denici 2.3.1 com els dos de la proposici 2.3.1. Per comoditat, en els exemples que venen a continuaci, o o o farem servir la segona estrat`gia. Tamb cal assenyalar que no s dif de demostrar que la condici e e e cil o ( K, x, y F ) x + y F (punt 2, proposici 2.3.1) pot ser substituida per les dues condicions o dels punts 2 i 3 de la denici 2.3.1. o

Exemple 2.3.1: Sigui R2 [x] lespai vectorial real introdu en lexemple 2.1.5. Siguin F1 , F2 dos t subconjunts de R2 [x] denits com: F1 = {(x2 x + 1), R} , F2 = {x, x2 x + 1}

Algweb[ F1 ] [ F2 ]

Vegem si tenen estructura de subespai vectorial de R2 [x] (el vector zero de R2 [x] el simbolitzarem per (x), que s el polinomi 0 + 0x + 0x2 ). e

( 1 ) (x) F1 , ja que podem escriure (x) = 0 (x2 x + 1), i el nombre zero s real. e

( 2 ) Sigui un escalar real qualsevol, i siguin p(x), q(x) dos elements arbitraris de F1 : p(x) = (x2 x + 1) ( R), q(x) = (x2 x + 1) ( R).

Llavors: p(x) + q(x) = ((x2 x + 1)) + (x2 x + 1) = ( + )(x2 x + 1). Ja que que + R, tenim que p(x) + q(x) F1 . Daquesta forma, F1 s un subespai vectorial de R2 [x]. e

( 1 ) (x) F2 , ja que F2 consta noms de dos elements, i cap dells s (x). e e Per tant, F2 no s un subespai vectorial de R2 [x]. e

Exemple 2.3.2: Sigui F C2 el conjunt denit com segueix: F = { (a, 3a), a C }

Vegem si es veriquen les dues condicions de subespai vectorial. ( 1 ) 0 = (0, 0) F , ja que 3 0 = 0 (la segona coordenada s tres cops la primera). e ( 2 ) Sigui un nombre complex qualsevol (s complex perque estem en un espai vectorial complex) e i siguin x, y dos elements arbitraris de F : x = (a, 3a), y = (b, 3b) (amb a, b C). Llavors: x + y = (a + b, 3a + 3b) = (a + b, 3[a + b]). I com que que la segona coordenada s e igual a la primera multiplicada per tres, tenim que x + y F . Al ser , x, y arbitraris, es dedueix que F s subespai vectorial de C2 . e

Exemple 2.3.3: Sigui FR lespai vectorial real denit en lexemple 2.1.6. Sigui F FR el conjunt denit com : F = { f FR / R tal que f (x) = x (x R) } Vegem si es veriquen les dues condicions de subespai vectorial. ( 1 ) 0 = (x) (denida per (x) = 0 , x R) s certament un element de F (noms cal prendre e e = 0). ( 2 ) Sigui un nombre real qualsevol i siguin f , f dos elements arbitraris de F : f (x) = x , f (x) = x , (, R, x R)

AlgwebProposici 2.3.3: o verica:

Per a qualsevol x R : (f + f )(x) = f (x) + f (x) = x + x = ( + )x

I com que el resultat s un nombre real mutiplicat per x (per a tots els x R), resulta que f + f F . e Al ser , f , f arbitraris, obtenim que F s subespai vectorial de FR . e

Lema 2.3.2: Si E s espai vectorial sobre K, llavors {0} i E sn subespais vectorials de E . e o

Els subespais vectorials {0} i E sanomenen subespais vectorials impropis de E. Sanomena subespai trivial al subespai vectorial {0} . Es parla de subespai propi de E per fer refer`ncia a e qualsevol subespai vectorial de E diferent de {0} i de E .

Sigui E un espai vectorial sobre K, i F E un subespai vectorial de E. Es

1) (x F ) x F 2) (n N , 1 , . . . , n K, x1 , . . . , xn F ) 1 x1 + . . . + n xn F

Demostraci 2.3.3 o [ 1 ] Noms cal prendre = 1 en el punt 3 de la denici de subespai vectorial. e o [ 2 ] Per ser x1 , . . . , xn elements del subespai F es t que j xj F (j = 1, n), aplicant el tercer e punt de la denici 2.3.1. Tenint ara en compte el segon punt daquesta denici, deduim que 1 x1 +2 x2 o o pertany a F . I, per tant, (1 x1 + 2 x2 ) + 3 x3 tamb s un element de F . Si es recorda que la suma ee s associativa (podem treure par`ntesi) en un espai vectorial, i es procedeix recurrentment de la mateixa e e forma (un nombre nit de vegades), acabarem obtenint que 1 x1 + . . . + n xn F .

Observeu que si E s un espai vectorial sobre K respecte duna suma (+) i un producte per escalars e (), i F E s un subespai vectorial de E, queda garantit que les aplicacions e + : F F F (x, y) x+y = x + y : K F F (, x) x = x = x

AlgwebDemostraci 2.3.4 o

estan ben denides en pert`nyer els vectors (x + y), (x) al subespai vectorial F (per a qualssevol a x, y F, K), s a dir, que + s una operaci denida en F i s una llei de composici externa e e o e o denida en F . A + i se les anomena, respectivament, suma restringida a F i producte per escalars restringit a F .

Proposici 2.3.4: Si E s un espai vectorial sobre K respecte duna suma i un producte per escalars, o e i F E s un subespai vectorial de E, llavors F s un espai vectorial sobre K respecte de la suma i el e e producte per escalars restringits a F .

Com que la suma i el producte per escalars restringits a F (+, ) es redueixen a la suma i producte extern en E (+, ) involucrant tan sols elements de F :

a [ 1 ] Es f`cil veure que (F, +) s grup commutatiu. En efecte, lassociativitat i commutativitat de + e queden garantides en ser + associativa i commutativa. Adems, el vector zero de F respecte + no pot e ser altre que el vector 0( E), que pertany a F ja que s subespai vectorial. Finalment, per a qualsevol e x F tenim que x tamb s un element de F (proposici 2.3.3, punt 1). ee o [ 2 ] Els punts 2, 3, 4 i 5 de la denici 2.1.2 es veriquen autom`ticament per a tots els vectors de o a F E, ja que ho fan per a tots els elements de E .

Estudiem ara si la intersecci i la uni de subespais dun mateix espai vectorial s tamb subespai o o e e vectorial.

Proposici 2.3.5: Siguin E un espai vectorial sobre K, n N , i F1 , F2 , . . . , Fn subespais vectorials o de E. Llavors, F1 F2 . . . Fn s subespai de E. e

Demostraci 2.3.5 o En primer lloc, el vector 0 pertany a qualsevol subespai de E. Per tant, pertanyer` a F1 F2 . . .Fn . a

En segon lloc, per a qualssevol vectors x, y de la intersecci tenim que x, y Fj (j = 1, n). Aix o , per a tota K es verica que x + y Fj (j = 1, n), justament per ser Fj subespai vectorial de E. Com a conseq`ncia, x + y F1 F2 . . . Fn , i la intersecci de subespais s subespai de E. ue o e

Exemple 2.3.4: Siguin F, G dos subespais de lespai vectorial real R3 [x] denits com: F = { a + bx + dx3 , a, b, d R } , G = { (1 2x + x2 + 3x3 ) + (x x3 ) , , R }

Calculem F G . Sigui x un vector arbitrari de F G. Pel fet de pert`nyer a F , es pot escriure: a x = a + bx + dx3 I com que s un element de G : e x = (1 2x + x2 + 3x3 ) + (x x3 ) Igualant les dues expressions anteriors, sobt: e a + bx + dx3 = + (2 + )x + x2 + (3 )x3 , ( , R) ( a, b, d R)

Algweb Es clar que:

don es dedueix (recordeu el criteri digualtat en R3 [x]) que: a = b = 2 + 0 = d = 3

Com que la soluci daquest sistema dequacions s = a = 0, = b = d (s a dir, pot o e e prendre qualsevol valor real), resulta que el vector gen`ric x F G es pot escriure (substituint i en e lexpressi de x com element de G) de la forma x = (x x3 ), amb R arbitrari. Per tant: o F G = { (x x3 ) , R }

a Es f`cil comprovar que el conjunt F G aix obtingut s subespai vectorial de R3 [x] . e

Lexemple 2.3.5 demostrar` que, en general, la uni de dos subespais vectorials no s subespai a o e vectorial. Obviament, aix` no voldr` dir que mai la uni de dos subespais pugui ser subespai vectorial. o a o En efecte, si F E s un subespai de lespai vectorial E, F F s s subespai vectorial de E (ja que e e F F = F ).

Exemple 2.3.5: En lespai vectorial real R2 prenem els dos subespais F i G segents: u F = { (x, 0) , x R } , G = { (0, y) , y R }

F G = { (x, y) R2 / (x = 0) (y = 0) }

Siguin x = (1, 0) F F G , y = (0, 1) G F G dos elements de F G. Si F G fos subespai vectorial de R2 , la suma x + y hauria de pert`nyer a F G. Per` x + y = (1, 1) F G en no a o tenir cap coordenada nulla, don es dedueix que F G no s subespai vectorial de R2 . e

2.4 Sistemes de generadors. Subespai sumaDenici 2.4.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V E (V = ). Sanomena subespai o vectorial generat per V (o b: varietat lineal generada per V ) al segent conjunt simbolitzat per e u < V >K : < V >K = { x E / x s combinaci lineal de V } E e o Es diu que V s un sistema de generadors de < V >K , o b que V genera < V >K , o tamb e e e que < V >K est` generat per V . a Tamb sadmet simbolitzar < V >K per < V >, quan no hi hagi cap ambigitat respecte del cos e u descalars utilitzat.

AlgwebDemostraci 2.4.1 o [2] Per tant:

Proposici 2.4.1: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V E (V = ). Es verica: o 1) V < V >K 2) < V >K s subespai vectorial de E e

[ 1 ] Per a qualsevol x V tenim que x s combinaci lineal de V en poder escriure x = 1 x , i, per e o tant, x < V >K . Daqu es dedueix que V < V >K . Veriquem per a < V >K les dues propietats de subespai vectorial de la proposici 2.3.1. o

En primer lloc, com que V = , existeix al menys un vector x V . Ara, s clar que 0 < V >K e ja que 0 s combinaci lineal de V en poder escriure 0 = 0 x . e o En segon lloc, siguin els elements arbitraris x, y < V >K , K . Llavors: n N , x1 , . . . , xn V, 1 , . . . , n K / x = 1 x1 + . . . + n xn p N , y1 , . . . , yp V, 1 , . . . , p K / y = 1 y1 + . . . + p yp

x + y = (1 )x1 + . . . + (n )xn + 1 y1 + . . . + p yp

En ser (1 ), . . . , (n ), 1 , . . . , p elements de K i ser (n + p) un nombre nit, resulta que x + y s combinaci lineal delements de V , s a dir, pertany a < V >K . Aix queda demostrat que < V >K e o e ,

s subespai vectorial dE. e

Vegem ara que < V >K s el m e nim subespai vectorial que cont V . e Proposici 2.4.2: Siguin E un espai vectorial sobre K, i V E (V = ). Llavors, per a qualsevol o subespai vectorial F E es verica: V F = < V >K F

Demostraci 2.4.2 o Per a tot vector x < V >K sabem que: n N , v1 , . . . , vn V, 1 , . . . , n K / x = 1 v1 + . . . + n vn Per` el vector vj (j = 1, n), al pert`nyer a V s tamb un element de F , per hip`tesi. Per tant, segons o a e e o la proposici 2.3.3, tamb x F . Aix queda demostrat que < V >K F . o e

AlgwebDemostraci 2.4.3 o Demostraci 2.4.4 o = ]

Corollari 2.4.3: Siguin E un espai vectorial sobre K, i F E un subespai vectorial de E. Llavors: F = < F >K

Es evident que F < F >K , pel punt 1 de la proposici 2.4.1. Daltra banda, com que F F , o podem aplicar la proposici 2.4.2 i obtenir que < F >K F . Aix de la doble inclusi es dedueix la o , o igualtat F =< F >K .

Corollari 2.4.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, V E (V = ), i F E un subespai vectorial de E. Llavors: V F < V >K F

Veure Proposici 2.4.2. o

= ] Com que V < V >K (punt 1 de la proposici 2.4.1) i < V >K F (per hip`tesi), deduim o o que V F .

Corollari 2.4.5: Siguin E un espai vectorial sobre K, V, W E (V, W = ). Llavors: < V >K = < W >K

Tot vector de V s combinaci lineal de W i e o tot vector de W s combinaci lineal de V e o

Demostraci 2.4.5 o ] Com que V < V >K = < W >K , resulta que tot vector de V pertany a < W >K , s a dir, e s combinaci lineal de W . An`logament es veu que tot vector de W s combinaci lineal de V . e o a e o ] Si tot vector de V s combinaci lineal de W , vol dir que V < W >K . Per tant, per la proposici e o o 2.4.2, deduim que < V >K < W >K . An`logament obtenim que < W >K < V >K , nalitzant a la demostraci en haver comprovat la doble inclusi. o o

Si F1 , F2 , . . . , Fn sn subespais vectorials dun espai vectorial E, ja hem vist que la seva uni no o o s, en general, subespai. I acabem de veure que el subespai de E ms petit que amplia F1 F2 . . . Fn e e s, precisament, < F1 F2 . . . Fn >K . Tot seguit veurem una forma de caracteritzar aquest subespai e de manera ms operativa. e

AlgwebDemostraci 2.4.6 o [2]

Denici 2.4.2: Siguin E un espai vectorial sobre K , n N i F1 , . . . , Fn E un conjunt de o subespais vectorials de E. Sanomena subespai vectorial suma de F1 , . . . , Fn (i es simbolitza per F1 + . . . + Fn ) al segent conjunt: u F1 + . . . + Fn = { x E / x = x1 + . . . + xn , amb x1 F1 , . . . , xn Fn } E

Proposici 2.4.6: Siguin E un espai vectorial sobre K , n N i F1 , . . . , Fn E un conjunt de o subespais vectorials de E. Es verica: 1) F1 + . . . + Fn = < F1 . . . Fn >K 2) F1 + . . . + Fn s, efectivament, subespai vectorial de E. e

[ 1 ] Vericarem la doble inclusi. En primer lloc, observem que j = 1, n i per tot xj Fj o podem escriure: xj = 0 + . . . + xj + 0 + . . . 0, on considerem al 0 com a element dels subespais F1 , . . . , Fj1 , Fj+1 , . . . , Fn . Es a dir, Fj F1 +. . .+Fn . Per tant, s clar que F1 . . .Fn F1 +. . .+Fn . e Llavors, la proposici 2.4.2 permet armar que < F1 . . . Fn >K F1 + . . . + Fn . o En segon lloc, sigui x E un vector tal que x = x1 + . . . + xn (amb x1 F1 , . . . , xn Fn ). Com que j = 1, n tenim que xj Fj (F1 . . . Fn ), resulta que el vector x s combinaci lineal delements e o de F1 . . . Fn , s a dir, x < F1 . . . Fn >K . e Es conseq`ncia del punt anterior, ja que < F1 . . . Fn >K s subespai vectorial. ue e

Exemple 2.4.1: En lespai vectorial real R2 , prenem els dos subespais F i G de lexemple 2.3.5 : F = { (x, 0) , x R } , Tal com es va trobar en lexemple 2.3.5 : F G = { (x, y) R2 / (x = 0) (y = 0) } Trobem ara el subespai F + G = < F G >R . Per a fer-ho, hem davaluar totes les sumes x1 + x2 , amb x1 F , x2 G . Llavors, si x1 = (z, 0) s un element arbitrari de F (z R) i x2 = (0, t) s un e e element arbitrari de G (t R) , el vector x1 + x2 = (z, t) pertany a F + G. En ser z, t arbitraris, es dedueix trivialment que F + G = R2 . G = { (0, y) , y R }

Proposici 2.4.7: Sigui E un espai vectorial sobre K. Per a qualssevol F, G, H, L E subespais o vectorials de E es verica: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) F (F + G) , G (F + G) (F G) (F + G) , (F G) (F + G) F +G=G+F F +{ 0 }=F ={ 0 }+F F +F =F { F H , G L } = (F + G) (H + L) F + G = F G F

AlgwebDemostraci 2.4.7 o [1] [2] [3] [5] [ 7, = ] [ 7, = ]

Veure la demostraci del punt 1 de la proposici 2.4.6. o o Es dedueix directament del punt anterior. F + G = < F G >K = < G F >K = G + F .

[ 4 ] F + {0} = < F {0} >K = < F >K = F . Per altra banda, pel punt 3: F + {0} = {0} + F . F + F = < F F >K = < F >K = F

[ 6 ] Si F H s clar que F (H + L); an`logament, si G L llavors G (H + L). Per tant, e a (F G) (H + L). Si ara apliquem la proposici 2.4.2, obtenim: (F + G) (H + L). o Pel punt 1 tenim que G (F + G), i per hip`tesi sabem que F + G = F . Per tant, G F . o

Si G F , llavors F G = F . Per tant, F + G = < F G >K = < F >K = F .

Denici 2.4.3: Siguin E un espai vectorial sobre K, (n N , n 2) i F1 , . . . , Fn E un conjunt o de subespais vectorials de E. Es diu que la suma de F1 , . . . , Fn s directa (i es simbolitza la suma per e

F1 . . . Fn ) si es verica: (j = 1, n) Fj (F1 + . . . + Fj1 + Fj+1 + . . . Fn ) = {0}

Noteu que la suma de dos subespais F1 i F2 s directa si i noms si F1 F2 = {0}. Observeu e e tamb que si tenim tres o ms subespais F1 , . . . , Fn , que la suma de tots ells sigui directa implica que e e Fi Fj = {0}, i, j = 1, n, i = j (noms cal recordar el punt 1 de la proposici 2.4.7). Per contra, que e o la intersecci Fi Fj sigui igual al subespai {0} per cada parell dindexs diferents i, j = 1, n no implica o que la suma de F1 , . . . , Fn sigui directa. Es veur` amb lexemple 2.4.2. a

Exemple 2.4.2: En lespai vectorial real R3 prenem els subespais F, G, H segents: u F = { (x, y, 0) , x, y R } , G = { (0, 0, z) , z R } H = { (0, t, t) , t R } a Es f`cil comprovar que: F G = {0} , F H = {0} , G H = {0}. Com a exemple, vegem que F G = {0} . Si (x, y, z) F G sha de complir simult`niament: a z = 0 (ja que (x, y, z) F ) , x = y = 0 (ja que (x, y, z) G) Aix` obliga a que (x, y, z) = (0, 0, 0) . o Provem ara que (F + G) H = {0} (amb la qual cosa la suma de F, G i H no ser` directa). a

AlgwebDemostraci 2.4.8 o

Sigui a = (, , ) (F + G) H . Pel fet de pert`nyer al subespai F + G han dexistir els vectors a aF = (x, y, 0) F (existeixen x, y R) i aG = (0, 0, z) G (existeix z R) tals que a = aF + aG , s a e dir: (, , ) = (x, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z)

Noteu que la relaci anterior no imposa cap condici restrictiva sobre , , . o o Per` pel fet de pert`nyer a al subespai vectorial H ha dexistir t R tal que: o a (, , ) = (0, t, t) ,

don es dedueix que = 0 , = (= t) . Per aix`, qualsevol vector a = (0, , ) (per a tot R) s un o e element de (F + G) H . Prenent = 0 trobem que (F + G) H = {0} .

Proposici 2.4.8: Siguin E un espai vectorial sobre K, n N (n 2), i F1 , . . . , Fn E un conjunt o de subespais vectorials de E. Es verica: La suma de F1 , . . . , Fn s directa e

x (F1 + . . . + Fn ) existeixen i sn unics els o vectors x1 F1 , . . . , xn Fn tals que x = x1 + . . . + xn

] Sigui x Fj (F1 + . . . + Fj1 + Fj+1 + . . . Fn ) . Pel fet de ser x un vector de F1 + . . . + Fj1 + Fj+1 + . . . Fn tenim: x1 F1 , . . . , xj1 Fj1 , xj+1 Fj+1 , . . . , xn Fn tals que x = x1 + . . . + xj1 + xj+1 + . . . + xn Aquesta expressi es pot escriure com: o 0 = x1 + . . . + xj1 x + xj+1 + . . . + xn Per` tamb s v`lida la segent expressi pel vector 0 : o ee a u o 0 = 0 + ... + 0 , on els vectors 0 es prenen com elements de F1 , . . . , Fn . Ja que lescriptura pel vector x com element de F1 + . . . + Fn s unica per hip`tesi, tenim que e o x1 = . . . = xj1 = x = xj+1 = . . . = xn = 0 . Al ser x = 0 i ser j arbitrari es dedueix que la suma de F1 , . . . , Fn s directa. e ] Suposem que un vector z F1 + . . . + Fn es pugui escriure com: z = x1 + . . . + xn = y1 + . . . + yn ,

Algweb

on xj , yj Fj (j = 1, n). Restant les dues expressions per a z : 0 = u 1 + . . . + un ,

on uj = xj yj , uj Fj (j = 1, n). Ara, per cada i = 1, n, podem escriure: ui = u1 . . . ui1 ui+1 . . . un

Clarament, el vector a la dreta del signe igual pertany al subespai F1 + . . . Fi1 + Fi+1 + . . . Fn . En altres paraules, obtenim: ui Fi (F1 + . . . Fi1 + Fi+1 + . . . Fn ) ,

i com que la suma s directa, cal que ui = 0. Per tant, deduim que xi = yi , i aix` per cada i = 1, n, e o nalitzant la demostraci. o

Sintrodueix ara el concepte de subespai suplementari dun cert subespai vectorial.

Denici 2.4.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, F E un subespai vectorial de E . Es diu o que el subespai G E s subespai vectorial suplementari de F si verica: F G = E. e

Obviament, si G E s subespai suplementari de F E llavors F s suplementari de G (al ser e e F G = G F ), i es diu que tots dos subespais vectorials sn suplementaris. o

Lema 2.4.9: Si E s un espai vectorial sobre K, els subespais vectorials E i { 0 } sn suplementaris, e o s a dir: e

E{ 0 }=E

Exemple 2.4.3: Siguin Fp , Fi els dos subespais vectorials de FR segents : u Fp = { f FR / f (x) = f (x) , x R } (funcions parells) Fi = { f FR / f (x) = f (x) , x R } (funcions imparells) a Es f`cil veure que Fp Fi = {} (amb (x) = 0, x R), la qual cosa implica que Fp +Fi = Fp Fi . En efecte, si f FR s un element arbitrari de Fp Fi sha de complir x R : e f (x) = f (x) , don es dedueix que f (x) = 0 (x R) i s f = . e Adems, es verica que FR = Fp + Fi ja que tota funci de FR es pot expressar com la suma dun e o element de Fp i un de Fi ; per veure-ho, donada una funci f FR arbitr`ria denim les funcions o a fp , fi FR com: (xR) fp (x) = 1 [f (x) + f (x)] , 2 fi (x) = 1 [f (x) f (x)] 2 f (x) = f (x) ,

Algweb

Sense massa problemes es veu que fp Fp , fi Fi , f = fp + fi , la qual cosa prova que FR Fp + Fi . Com que Fp + Fi FR , obtenim FR = Fp Fi , s a dir, Fp i Fi sn subespais suplementaris. e o

En lexemple 2.4.4 comprovarem que el subespai suplementari no s, en general, unic. e

Exemple 2.4.4: Siguin F, G R3 dos dels subespais ja utilitzats en lexemple 2.4.2 : F = { (x, y, 0) , x, y R } , G = { (0, 0, z) , z R }

Com es va comprovar en lexemple 2.4.2, tenim que F G = {0} , la qual cosa implica que F + G = F G . Adems, es verica que R3 = F + G ja que tot vector de R3 es pot expressar com la e suma dun element de F i unaltre de G : ( (x, y, z) R3 ) (x, y, z) = (x, y, 0) + (0, 0, z) ,

provant que R3 F + G i, per tant, R3 = F G. Tamb el subespai vectorial e L = { (x, x, x) , x R }

s suplementari de F . En efecte, per una banda s F L = {0} , la qual cosa implica que F +L = F L . e e Per veure-ho, si (x, y, z) F L ha de complir-se simult`niament: a z = 0 (ja que (x, y, z) F ) , x = y = z (perque (x, y, z) L) ,

don s obligat que (x, y, z) = (0, 0, 0) . e A ms, es compleix que R3 = F + L ja que: e

( (x, y, z) R3 )

(x, y, z) = (x z, y z, 0) + (z, z, z) , (x z, y z, 0) F, (z, z, z) L

la qual cosa prova que R3 F + L , s a dir, R3 = F L. e Aix hem trobat que tant G com L (G = L) sn subespais suplementaris de F . , o

2.5 Espais vectorials de dimensi nita oDenici 2.5.1: Sigui E un espai vectorial sobre K. Es diu que E s de dimensi nita si admet o e o un sistema nit de generadors, s a dir: e V = {v1 , . . . , vn } E (n N ) / < V >K = E

Algweb

Com ja sabem, tot subespai vectorial es tamb espai vectorial. Aix` vol dir que la denici anterior e o o i els resultats que sobtinguin a partir dara per espais vectorials de dimensi nita seran v`lids per o a subespais vectorials que admetin un sistema generador nit, independentment de que lespai al que pertanyin sigui de dimensi nita o no. o

Exemple 2.5.1: Kn (n N ) s espai vectorial sobre K de dimensi nita ja que el sistema nit e o de n vectors V = { (1, 0, . . . , 0, 0) , (0, 1, . . . , 0, 0) , . . . , (0, 0, . . . , 0, 1) } Kn

s generador de Kn . En efecte, per a qualsevol vector (x1 , x2 , . . . , xn ) Kn es pot escriure: e (x1 , x2 , . . . , , xn ) = x1 (1, 0, . . . , 0, 0) + x2 (0, 1, . . . , 0, 0) + . . . + xn (0, 0, . . . , 0, 1) ,

indicant que el vector (x1 , x2 , . . . , xn ) s combinaci lineal de V i, per tant, que Kn = < V >K . e o

Exemple 2.5.2: Sigui n N . Kn [x] s espai vectorial sobre K de dimensi nita ja que el sistema e o nit de n + 1 vectors V = { 1, x, x2 , . . . , xn } Kn [x]

s generador de Kn [x] . En efecte, qualsevol polinomi a0 + a1 x + a2 x2 + . . . an xn Kn [x] sescriu com a e combinaci lineal de V i, per tant, Kn [x] = < V >K . o

Exemple 2.5.3: Els segents espais vectorials no sn de dimensi nita: u o o R[x] , FR , CR [a, b] (sobre R) C[x] , FC (sobre C)

Proposici 2.5.1: { 0 } s un espai vectorial de dimensi nita. o e o

Demostraci 2.5.1 o En efecte, ja que { 0 } s lnic sistema generador de { 0 } . e u

Denici 2.5.2: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, i V E (V = ) un o o sistema de vectors. Es diu que V s una base de E si compleix: e

1) 2)

< V >K = E

(V es sistema generador de E)

V es un sistema lliure

Dues bases dun mateix espai vectorial de dimensi nita formades pels mateixos vectors (sent o diferents noms per lordenaci dels vectors) han de ser considerades diferents. Observeu tamb que per e o e lespai vectorial {0} no es pot trobar cap base, ja que lnic sistema generador s {0}, que s lligat. u e e

AlgwebDemostraci 2.5.2 o

Exemple 2.5.4: Els sistemes de generadors V mostrats en els exemples 2.5.1 i 2.5.2 sn bases dels o respectius espais vectorials ja que sn lliures. Per cert, que aquestes bases es coneixen amb el nom de o bases can`niques dels espais vectorials respectius. o

Proposici 2.5.2: Sigui E = {0} un espai vectorial sobre K, de dimensi nita. Si o o V = {v1 , . . . , vn } (n N , n 2) s un sistema de generadors de E , llavors: e V s lligat = { j = 1, n / V {vj } s sistema de generadors de E } e e

Al ser V lligat, la proposici 2.2.4 garanteix lexist`ncia dun cert j = 1, n tal que vj s combinaci o e e o lineal de la resta de vectors de V (s a dir, de V {vj }). Per tant, existeixen 1 , . . . , j1 , j+1 , . . . , n K e tals que:n

vj =i=1 i=j

i vi

Ara, per a qualsevol vector x E sabem que:n n

1 , . . . , n K / x =i=1

i vi =i=1 i=j

i vi + j vj

Substituint en la frmula anterior vj per la seva expressi com a combinaci lineal de V {vj } sobt: o o o en n n

x=i=1 i=j

i vi + j (i=1 i=j

i vi ) =i=1 i=j

(i + j i )vi

Al ser i + j i (i = 1, n , i = j) elements de K i ser n 1 un nombre nit (nombre de vectors que apareixen en lexpressi nal de x), tenim que x s combinaci lineal dels elements de V {vj }, i per o e o tant pertany a < V {vj } >K . Sent x E arbitrari, queda demostrat que V {vj } s sistema generador e de E.

Teorema 2.5.3 (Teorema de la base): Si E = {0} s un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, e o llavors existeix una base de E .

Demostraci 2.5.3 o Sigui V E un sistema generador de E. Si V s lliure, llavors V s una base de E i hem acabat. e e En cas contrari (V lligat), podem aplicar reiteradament (un nombre nit de vegades) la proposici 2.5.2 o sobre el sistema V i els successius sistemes generadors obtinguts eliminant aquells vectors que puguin expressar-se com a combinaci lineal dels restants, acabant el procs quan el sistema generador obtingut o e sigui lliure (per tant, base de E). El cas extrem s aquell en el que, com nal del procs, queda un unic e e vector de V (vector no nul front la impossibilitat de que el vector 0 pugui generar un espai vectorial diferent del {0}). Ja que un sistema format per un unic vector no nul s lliure (veure proposici 2.2.3), e o el teorema queda demostrat.

AlgwebV s base de E e Demostraci 2.5.4 o

Proposici 2.5.4: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, V = {v1 , . . . vn } E o o (n N ) . Es verica: { (x E) ! x1 K , . . . , ! xn K / x = x1 v1 + . . . + xn vn }

= ] Com que V genera E, tenim que x E existeixen x1 K, . . . , xn K tals que x = x1 v1 + . . . + xn xn . Suposem ara que un cert x E es pugui escriure de dues formes diferents: x = x1 v1 + . . . + xn vn = y1 v1 + . . . + yn vn (xj , yj K, j = 1, n)

Restant totes dues escriptures, obtenim: 0 = (x1 y1 )v1 + . . . + (xn yn )vn

Per` V s lliure per hip`tesi i, per tant, xj yj = 0 (s a dir, xj = yj ), per a cada j = 1, n. o e o e = E. Comprovem

= ] Per hip`tesi, tot vector de E s combinaci lineal de V , s a dir, < V >K o e o e ara que V s lliure, plantejant lequaci: e o 0 = 1 v1 + . . . + n vn

I tamb podem escriure: e 0 = 0 v1 + . . . + 0 vn

Per` per hip`tesi, tot vector de E sescriu de forma unica com a combinaci lineal de V ; en particular, o o o

aix` passa pel vector 0, la qual cosa vol dir que els escalars de les dues expressions anteriors han de ser o respectivament iguals: 1 = 0, . . . , n = 0 , i el sistema V s lliure. e

Teorema 2.5.5 (Teorema de Steinitz): Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, o V = {v1 , . . . , vn } E (n N ) un sistema generador de E, i W = {w1 , . . . , wp } E (p N , p n) un sistema lliure. Llavors: e Existeixen v p+1 , . . . , v n V tals que {w1 , . . . , wp , v p+1 , . . . , v n } s un sistema de generadors de E (s a dir, es poden substituir p vectors de V pels p vectors de W , obtenint un nou sistema generador e de E).

Demostraci 2.5.5 o Com que V s sistema generador de E, existeixen 1 , . . . , n K tals que: e w1 = 1 v1 + . . . + n vn

Algweb

Com que w1 = 0 (en formar part dun sistema lliure), ha dexistir algun j = 0. Suposem, sense perdre generalitat, que 1 = 0. Ara, podem escriure: 1 v1 = w1 2 v2 . . . n vn1

Multiplicant lexpressi anterior per (1 ) o

= :

v1 = w1 (2 )v2 . . . (n )vn

Com que tot vector de E s combinaci lineal de V , i acabem de veure que el vector v1 s combinaci e o e o lineal de V = {w1 , v2 , . . . .vn }, resulta que tot vector de E s combinaci lineal de V . Es a dir, V s e o e sistema de generadors de E (ja hem substituit el vector v1 per w1 ). Ara, com que V s sistema generador de E, existeixen 1 , . . . , n K tals que: e w2 = 1 w1 + 2 v2 + . . . + n vn

Sabem que existeix j = 1, n tal que j = 0 (ja que w2 = 0, en formar part dun sistema lliure). Observem que no pot ser j = 0 per a tots els j 2; en efecte, si aix` fos aix de lexpressi anterior per o , o a w2 deduiriem que w2 = 1 w1 , la qual cosa s impossible ja que w1 i w2 pertanyen a un sistema lliure. e Per tant, sabem que existeix j = 0 amb j 2. Suposem, sense perdre generalitat, que s 2 = 0. Ara, e podem escriure: 2 v2 = 1 w1 + w2 3 v3 . . . n vn1

Multiplicant lexpressi anterior per (2 ) o

=:

v2 = (1 )w1 + w2 (3 )v3 . . . (n )vn

Com que tot vector de E s combinaci lineal de V , i acabem de veure que el vector v2 s combinaci e o e o lineal de V = {w1 , w2 , v3 , . . . .vn }, resulta que tot vector de E s combinaci lineal de V . Es a dir, V e o s sistema de generadors de E (ja hem substituit el vector v2 per w2 ). e

Repetint aquests raonaments, s f`cil veure que es poden substituir p vectors de V pels p vectors de e a e o W , obtenint que {w1 , . . . , wp , v p+1 , . . . , v n } s un sistema generador de E (els vectors v p+1 , . . . , v n sn aquells elements de V que no han estat substituits. No han de ser necess`riament iguals a vp+1 , . . . , vn : a dependr` de les substitucions que h`gim fet.) a a

Per fer ms c`moda la demostraci anterior, hem suposat 1 = 0, 2 = 0, la qual cosa no ha de e o o complir-se necess`riament en un cas concret (per exemple, podria haver estat 1 = 2 = 0, 3 = 0, 6 = 0, a i llavors els vectors v3 i v6 shaurien pogut substituir per w1 i w2 ). Per aix`, tant en lenunciat del teorema o com en la part nal de la demostraci hem escrit v p+1 , . . . , v n en comptes de vp+1 , . . . , vn . o

Exemple 2.5.5: En lespai vectorial real R3 [x] denim els sistemes de vectors: V = {1, x x2 , 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } , W = {x2 , 2x 1}

F`cilment es veu que V s un sistema generador (i lligat) de R3 [x] i que W s un sistema lliure. a e e Substituim el vector x2 W per un vector de V dacord amb el criteri explicat a la demostraci del o teorema 2.5.5: plantegem la segent equaci en , , , , R : u o x2 = (1) + (x x2 ) + (1 + x3 ) + (x2 + x3 ) + (3x3 ) Desprs dalguns c`lculs i de recordar el criteri digualtat en R3 [x]) es dedueix: e a 0 = + 0= , 1 = + 0 = + + 3

Algwebsent la seva soluci: o es dedueix: sent la soluci: o

= , = 0 , = 1 , = 1 (1 + ) 3

( R) ,

indicant que el polinomi x2 W pot substituir-se per qualsevol dels polinomis de V , excepte (xx2 ) V , lnic que t una contribuci nulla ( = 0) en lexpressi de x2 com combinaci lineal de V . Aix si u e o o o , substituim x2 pel primer polinomi en V (per exemple), el teorema de Steinitz garanteix que el sistema de vectors V = {x2 , x x2 , 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } R3 [x]

s sistema generador de R3 [x] . e Ara procedirem an`logament a la substituci del segon vector de W per algun dels polinomis de V . a o Plantejant lequaci o 2x 1 = (x2 ) + (x x2 ) + (1 + x3 ) + (x2 + x3 ) + (3x3 )

1 = 2= , 0=+ 0 = + + 3

= 2 , = 2 , = 1 , = 1 (1 ) 3

( R)

Pel teorema de Steinitz, aix` indica que el polinomi 2x 1 W pot substituir-se per qualsevol dels o polinomis de V {x2 } (recordem que volem substituir els dos vectors de W ). Aix si triem substituir , 2x 1 pel segon polinomi en V , queda garantit que el sistema de vectors V s sistema generador de R3 [x] . e = {x2 , 2x 1, 1 + x3 , x2 + x3 , 3x3 } R3 [x]

Corollari 2.5.6: Siguin E un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, V = {v1 , . . . vn } E (n o N ) un sistema generador de E, i W = {w1 , . . . , wp } E (p N ) . Es verica: W s lliure = p n e

Demostraci 2.5.6 o Per reducci a labsurd : o Suposem que p > n . Denim els subconjunts W1 , W2 E com segueix: W1 = {w1 , . . . , wn } , W2 = {wn+1 , . . . , wp }

AlgwebDemostraci 2.5.7 o

Evidentment, W1 i W2 sn sistemes lliures (per ser-ho W ) i es compleix W = W1 W2 . Pel teorema o de Steinitz, podem substituir els n vectors de V pels de W1 , obtenint un sistema generador de E (s e a dir, W1 s base de E). Per` llavors qualsevol vector de W2 sha de poder escriure com a combinaci e o o lineal de W1 , i W = W1 W2 s lligat com a conseq`ncia de la proposici 2.2.4. Labsurd (ja que W e ue o s lliure per hip`tesi) es resol acceptant que p n . e o

Teorema 2.5.7: Si E s un espai vectorial sobre K, de dimensi nita, llavors totes les bases de e o E tenen el mateix nombre de vectors.

Sigui V i W dues bases qualssevol de E: V = {v1 , . . . , vn } , W = {w1 , . . . , wp }

Tenint en compte el corollari 2.5.6: pn np (en ser V sistema generador de E i ser W sistema lliure) (en ser W sistema generador de E i ser V sistema lliure)

De les dues desigualtats es dedueix que p = n .

Denici 2.5.3: Sigui E un espai vectorial sobre K, de dimensin nita. Sanomena dimensi de o o o E (i es simbolitza per dimK E) al segent nombre natural: u

Si E = {0} : Si E = {0} :

dimK E = 0 dimK E = nombre de vectors duna base qualsevol de E.

Quan la dimensi dun espai vectorial E sigui igual a n N se sol escriure En per simbolitzar aquest o espai vectorial.

Lema 2.5.8:

(n N ) dimK Kn = n , (n N) dimK Kn [x] = n + 1

Demostraci 2.5.8 o Es dedueix del fet que els sistemes de vectors V = { (1, 0, . . . , 0, 0) , (0, 1, . . . , 0, 0) , . . . , (0, 0, . . . , 0, 1) } Kn V = { 1, x, x2 , . . . , xn } Kn [x] sn bases dels espais vectorials respectius (amb nombre de vectors n i (n + 1) , respectivament) dacord o amb el que sha vist en els exemples 2.5.1, 2.5.2 i 2.5.4.

AlgwebEn 1) 2) 3) 4)

Exemple 2.5.6: En lespai vectorial complex C4 (de dimensi 4 pel lema 2.5.8) es pren el segent o u subespai vectorial: F = { (x, y, 0, 2x y) , x, y C }

F`cilment es comprova que F s subespai vectorial de dimensi nita, ja que el sistema a e o V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, 1)} F

s un sistema generador de F . En efecte, per a qualsevol (x, y, 0, 2x y) F tenim que: e (x, y, 0, 2x y) = x(1, 0, 0, 2) + y(0, 1, 0, 1)

Adems, V s un sistema lliure (en cas contrari, saplicaria el m`tode descrit en la demostraci del e e e o teorema de la base per a trobar justament una base de F ):

(0, 0, 0, 0) = x(1, 0, 0, 2) + y(0, 1, 0, 1) (0, 0, 0, 0) = (x, y, 0, 2x y) (amb unica soluci: x = y = 0) o Aix sha comprobat que V s base de F i, per tant, que dimC F = 2 . e

Proposici 2.5.9: Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi n N , i W = {w1 , . . . , wp } o o (p N ) . Es verica: W s lliure = p n e p > n = W s lligat e W s sistema generador de En = p n e { p = n i W s sistema lliure } = W s base de En e e

5) { p = n i W s sistema generador de En } = W s base de En e e

Demostraci 2.5.9 o [1] [2] Es conseq`ncia directa del corollari 2.5.6. ue Es el contrarrec proc del punt anterior.

[ 3 ] (Per reducci a labsurd). Suposem que p < n i que W s sistema generador de En . Llavors, sabem o e que el propi W (si s lliure) o un subconjunt seu (si W s lligat) ser` una base En . En qualsevol cas, e e a aquesta base tindr` com a molt p vectors, i llavors dimK En p < n, la qual cosa s absurda. Labsurd a e es resol acceptant que p n. [ 4 ] Sigui V = {v1 , . . . , vn } En una base de En . Pel teorema de Steinitz, podem substituir aquests n vectors pels n vectors de W (ja que s lliure), obtenint que el resultat de la substituci (que s exactament e o e W ) s un sistema de generadors de En . Per tant, W s una base de En . e e [ 5 ] (Per reducci a labsurd). Suposem que W , sistema generador de En , no s base de En . Aix` o e o vol dir que W s lligat. Llavors, sabem que un subconjunt de W ser` una base En . En qualsevol cas, e a aquesta base tindr` menys de p vectors, i llavors dimK En < p = n, la qual cosa s absurda. Labsurd es a e resol acceptant que W s base de En . e

Algweb

De la proposici 2.5.9 es pot veure quela dimensi dun espai vectorial E = {0} de dimensi nita o o o coincideix amb el nombre m`xim de vectors linealment independents que es puguin trobar en E , i amb a el nombre m nim de vectors que puguin formar un sistema generador de E .

Teorema 2.5.10 (Teorema de la base incompleta): Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi n N , i W = {w1 , . . . , wp } En (p N ) un sistema lliure. Llavors: o p < n = { wp+1 , . . . , wn En / {w1 , . . . , wp , wp+1 , . . . , wn } s base de En } e

Demostraci 2.5.10 o

Sigui V = {v1 , . . . , vn } En una base de En . Al ser W un sistema lliure, pel teorema de Steinitz podem substituir p vectors de V pels p vectors de W , obtenint el segent sistema generador de En format u per n vectors: V = {w1 , . . . , wp , v p+1 , . . . , v n } Llavors, pel punt 5 de la proposici 2.5.9, obtenim que V es una base de En . o

Exemple 2.5.7: En lespai vectorial complex C4 es pren el sistema lliure : V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, 1)}

El teorema de la base incompleta permet ampliar-lo amb altres dos vectors de C4 de forma que els quatre (dimensi de lespai) conjuntament formin una base de C4 . Per exemple, f`cilment es veu que o a B = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)} C4 s un sistema lliure i, per tant, una base de C4 . e

Denici 2.5.4: Siguin En un espai vectorial sobre K, de dimensi n N , i sigui o o V = {v1 , . . . , vn } En una base de En . Donat un vector x En , sanomenen components de x en la base V als escalars (nics) x1 , . . . , xn K tals que x = x1 v1 + . . . + xn vn u e Per a qualsevol j = 1, n , xj K sanomena component j-`ssima de x en la base V .

Si V = {v1 , . . . , vn } En s una base de En i x En s un vector tal que e e x = x1 v1 + . . . + xn vn , sutilizen indistintament les segents notacions: u x = (x1 , . . . , xn )V , xV = (x1 , . . . , xn )

Algwebo b e

Si , K sn dos escalars qualssevol i y En s un altre vector tal que o e y = y1 v1 + . . . + yn vn (s a dir: y = (y1 , . . . , yn )V o b yV = (y1 , . . . , yn ) ) , e e no s gens dif trobar les components en base V del vector x + y, obtenint: e cil x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )V

(x + y)V = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

Exemple 2.5.8: En lespai vectorial complex C4 , prenem: a) V = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, 1)}, base del subespai vectorial F = { (x, y, 0, 2x y) , x, y C } C4

b) B = {(1, 0, 0, 2) , (0, 1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)}, base de C4 .

c) W = {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)}, base can`nica de C4 . o

Sigui el vector a = (3, 2, 0, 4) F C4 i trobem les seves components en les bases V (ja que s un e vector de F ), B i W : a = 3(1, 0, 0, 2) + 2(0, 1, 0, 1) , a = (3, 2)V per la qual cosa: aV = (3, 2) o b e

a = 3(1, 0, 0, 2) + 2(0, 1, 0, 1) + 0(0, 0, 1, 0) + 0(0, 0, 0, 1) , i aix aB = (3, 2, 0, 0) o b : e a = (3, 2, 0, 0)B a = 3(1, 0, 0, 0) + 2(0, 1, 0, 0) + 0(0, 0, 1, 0) + 4(0, 0, 0, 1) , i per tant: aW = (3, 2, 0, 4) o b e a = (3, 2, 0, 4)W Observeu que lexpressi del vector a en base can`nica coincideix amb la