Algoritmos y convergenciaUn algoritmo es un procedimiento que describe sin ambigüedades una serie finita de pasos a realizar en un orden específico. El objetivo del algoritmo es poner práctica un procedimiento para resolver un problema o aproximarse a una solución de un problema.Nos interesa elegir métodos que produzcan resultados precisos. El criterio que en general se impone es que: los cambios pequeños en los datos iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales ( es decir que el resultado final tenga una cambio del mismo orden de magnitud que los cambios en los datos iniciales). Un algoritmo que verifica esta propiedad se dice estable en caso contrario se dirá inestable.Algunos algoritmos solo son estables para ciertas elecciones de datos iniciales 1

a estos se los llama condicionalmente estables.Supongamos que se introduce un error de magnitud en cierta etapa de los cálculos y se denota por la magnitud del error después de n operaciones sucesivas definimos:Si donde C es una constante independiente de n entonces se dice que el crecimiento del error es lineal.Si para alguna constante C>1 entonces el crecimiento del error se denomina exponencial.Un algoritmo que exhibe un crecimiento lineal del error es estable, pero no así un algoritmo con crecimiento exponencial del error.Los efectos del error por redondeo se pueden reducir mediante una aritmética 2

de orden superior con la opción de doble precisión.Definición:Sea una sucesión tal que y una sucesión tal que . Si existe una constante K tal que: para n suficientemente grande. Entonces

converge a con rapidez de convergencia del orden de . Luego: En general se usa para algún se busca encontrar el mayor tal que

.Ejemplos: 3

1) Sea Sabemos que y además sabemos que:

Entonces la convergencia de la sucesión a 0 es similar a la convergencia de a 0.2) Sea 3) Sabemos que y además

sabemos que:

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Entonces la sucesión converge a 0 con una rapidez similar a la de la sucesión .

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