algoritmo lane.ppt

7/23/2019 algoritmo lane.ppt

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Teora Econmica de

Recursos NoRenovables


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Que es?

el algoritmo de Lane se utiliza para cael valor a diferentes leyes de corte padepsito


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odelo de !ene"cioEconmico

#uponga una funcin de bene"cio del tipo$

)( tttt qCqp =

tq Ritmo de produccin de metal en periodo t

tp %recio del producto en periodo t

)( tqC &osto de produccin como funcin de la cantidad producida


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odelo Econmico #imple

#e simpli"can lasrestricciones para realizarla e'traccin total

La utilidad marginaldescontada debe ser

constante a trav(s de lavida del proyecto

=T

t tt

Max1

sa

0

1

RqT

t

t==

[ ] = =

+=

T

t

T

t

tt RL

1 1

0

0' ==

tt

tq

L

0

1

0 RqL T

t

t==

= ==== ''

2

2'

1 ... nn


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Teora de )otelling #i e'iste mercado para solamente

comercializar *t ercado de competencia perfecta

No e'iste asimetra ni de informacin ni tecnolgic

La e'traccin mineral para *ue sea ptimadebe generar un per"l de precios *ue aument

en valor absoluto en la misma tasa *ue la tasade descuento utilizada en la industria

n

n

tt pppp ==== ...2

2

1

'


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odelo a +ptimizar

#i se desea optimizar el valor presente neto delproyecto o plan de produccin

[ ]

=

T

t

tttt qCqpMax1

)(

sa

ttt qRR =+1

t ,actor de actualizacin de los -u.os obtenidos en

tR Recursos Remanentes en el periodo t

Tt ..1=


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#olucin

#upuestos

Langrangiano

1R &onocida la envolvente de reserva base inicial

T Es un par/metro en la optimizacin y no una variable

[ ] [ ] = =

+++=T

t

T

t

tttttttt RRqqCqpL1 1

1)(


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#olucin delLangrangiano

( )[ ] 0==

tqtt

t

Cpq

L

ttt

t

qRRL

==

+10

[ ] [ ] = =+++=

T

t

T

t

tttttttt RRqqCqpL1 1

1)(

( ) tqt Cp +=

El valor ptimo de produccproduce cuando la utilidadmarginalEs igual al costo marginal costo de depreciacin del mineral


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0e"nicin de ineral

ineral es todo a*uel porcinde un yacimiento minero *uepaga sus costos de producciny el costo de oportunidad

0e"nicin econmica

#i embargo se debe dise1ar

con una envolventeeconmica *ue pudiesecontener material est(ril en suinterior

Cuerpo Mineralizadoo Mena

Roca de Caj


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0e"nicin

&riterio optimizante *ue pretende incorporar el coportunidad tanto en la de"nicin de la envolveeconmica como en la de"nicin de mineral en etiempo


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Enlazando la Teora de Lane

El ptimo de produccin se produce en el punto la estrategia de produccin paga los costos margy de oportunidad

tdTdVV =

*

*


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Ley de corte marginal

ametalurgicnrecuperaci

($/metal)metaldelprecio

($/metal)torefinamiencosto

($/t)plantacosto

($/t)minacosto

)(*

3

2

1

3

21

R

P

c

c

c

cPR

ccLc

+=

% Lc

% Lc


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%ar/metros formulacin algoritmLane

Etapas del proceso Capacidad mxima Costos unitarios

Mina M m

Proceso H h

Mercado K k

f costos fijos p precios

gc Ley de corte gm Ley media y Recperaci!nd "osto de capital

tfxhmxygkpC = )(

,lu.o de ca.a

'2 proporcin de mineralrespecto al material

removido


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,ormulacin algoritmo de La

td

WCV

)1( +

+=

'2 t &2 -u.o de ca.a

3

44alor%resente

fxhmxygkpC = )(

,lu.o de ca.a

#ea 4 el valor m/'imo de los de ca.a actualizado5 3 el valom/'imo de los -u.os de ca.aactualizados despu(s de e'tra

#i t es pe*ue1o2 entonces

tdd t ++ 1)1(

698

6:8

4alorRemanente

'2 proporcin de mineral con resp

al material removido


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,ormulacin algoritmo de La

tVdCWVv ==

tVdfxhmxygkpv += )()(

;ncremento marginal del 4


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,ormulacin algoritmo de Lane;ncorporando las condiciones

variables del mercado en la formulaanterior

dT

dVVdF

tdT

dVVdfxhmxygkpv

=

+= )()(

>,$ corresponde al costo deoportunidad5>Este costo se compone de dos partes

>El costo de asignar capital a unbien en vez de invertir en un bienalternativo 6d48

>La variacin de valor de este bien


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Resolucin de la formulacin anter

El valor ptimo del 4


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0atos

&osto mina 75:9D@t &osto planta :5=7 D@t &apacidad de mina 79 millones toneladas al a1o &apacidad de tratamiento :5 millones tonelada &apacidad de venta CC toneladas al a1o

&ostos ".os 775 millones al a1o %recio FCD@Gg Recuperacin HIJ &osto de oportunidad 7K59 millones


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Ley de corte una capacidad m/'immina

ykp

hg

Mt

m

=

=

)(

1

tdT

dVVdfxhmxygkpv

+= )()(

C

M

Ffxhmxygkpv

)()(

+=

))(( cggfx=

tkggm /07.0

87.00

!1.3==

0"# = vNPVMax


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Ley de corte una capacidad m/'implanta

ykp

H

Ff

hg

H

xt

h

+

+=

=

)(

)(

)(

H

Ffxhmxygkpv

)()( +=

0"# = vNPVMax

tkggh /2.00.870

.3)2.1%.11(

!1.3=

++=


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Ley de corte una capacidad m/'immercado

yK

Ffkp

hg

K

xygt

k

k

+

=

=

))(

(

H

xygFfxhmxygkpv += )()(

kggk 13.0)0.87

.0)2.1%.11(

&0(

!1.3=

+=


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Ra.o #ubterr/nea

Tomar en consideracin que cuando se trata de usubterrnea todo el costo de mina es consideradproceso ya que cada tonelada extrada se procelo tanto h incluye el costo de mina


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E.emplo de aplicacin

na mina mediana %lomoMinc con una capacidad de planmillones de toneladas@a1o

El cuerpo mineralizado es potente2 semi vertical y consistcorrida por varios Gilmetros

(todo de e'plotacin #ub Level &aving

El valor de plomo es secundario y se convierte la ley de pMinc dividiendo por 9

Ley media Minc e*uivalente 7=J

Las recursos son estimadas de esta manera y el control sebasada solamente utilizando Minc e*uivalente

La dilucin es del orden del 7KJ y la recuperacin mineraorden del HHJ


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E.emplo de aplicacin

E'isten dos tipos de leyes de corte


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0atos necesariosPerforaci!n y tronadra $/t #

"arg&o $/t '()ransporte $/t #*+carreo ,pi-e. $/t Molienda $/t ''0

Total $/t 26.5

"ostos fijos $/ao '(#

"apacidad de planta t/ao '#Recperaci!n metall1rgica % 'Precio 2n $/conc (3 Primer aoPrecio 2n $/conc 4(3 lego

5egros y transporte $/t 26 #(


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Resolucin

Tonela.e modelado debe ser corregido por 757K ypor C5HH@757KBC5II de modo de simular la situala mina

#obre estos valores se deben calcular las leyes d


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Resolucin

$%.221%01%.0 MFVdF

===

ykp

H

Ffmh

gh

+++

=)(

)()(

&/lculo de , para precios constantes

El c/lculo de la ley de corte para una capacidad de planta ".a

'.%7

.%%

81.0)3%7%0(3.1

)%.223.1%()%.2(

==

++

=hg

El c/lculo de la ley de corte para )3 y ,3


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Resolucin

Perforaci!n y t ronadra $/t #"arg&o $/t '()ransporte $/t #*+carreo ,pi-e. $/t Molienda $/t ''0

Total $/t 22.9

'0.%7

%2

81.0)3%7%0(

3.1

)%.223.1%().22(

==

++

=hg

Ley de corte en los puntos de e'traccin5 %erforacin y tronadur

es un costo incurrido

Los valores de leyes de corte son altos producto *ue el valor resi67KCD8 es alto2 es decir2 la oportunidad es alta5 #i estuvi(semo"n de la vida de la mina

'0.%7

7.3!

81.0)3%7%0(3.1

)3.1%().22(

==

+=hg


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Resolucin

'0.!81.0)3%7%0(

).22(=

=mg

as aAn si la planta est/ ociosa la ley de corte a utilizar es a*uell

limitada por la capacidad de la mina

Efecto del cambio de condiciones econmicas o del mercado5#upongamos *ue el precio del concentrado disminuye a FKC D5 Ecambio de utilidad anual producto de la cada del precio es

$7.1!3.1*81.0*1!.0*)3%%0(3.1*81.0*1!.0*)3%7%0( M=


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Resolucin

$2.137)1%.01(

7.1!1%0 M=

+

$8.12)2.1371%0( MdT

dV==

$8.78.122.1371%.0 MF

dT

dVVdF

==

=

4alor presente del depsito a FKCD

4alor presente al esperar un a1o para partir la e'plotacin es 7KC

La ley de corte de los puntos de e'traccin es aora

'2.8!8

7.!0

81.0)3%%0(3.1

)8.73.1%().22(

==

++

=hg

%roducto de la ba.a deprecios2 la ley de corte deba.ar de modo de serconsecuente con el mode

econmico


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E.ercicio

Resolver Oueves 79 de abril Repetir estimacin de la envolvente econmicautilizando el concepto de Lane suponiendo unacapacidad de planta constante


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%oltica de Leyes de &orte

(


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(todo iterativo para laoptimizacin del 4


34/43

;teracin 7Step Current tons $Value Cu Used-ne !e"enue #roit %t

' '/#73(3 '(8 '88% # *78'87#%( *78'87#%( '374#374*0 * '/#73(3 '%3 '884 3 *78*'7('* *78*'7('* /7//*7*/( # '/#73(3 4% '#33 3 '7#8'70'( '7#8'70'( /7#487388 0 '/#73(3 *( 3/44 ' 0%*7#8/ 0%*7#8/ /74(07%'3 ( '/#73(3 (/ ''(# ' '73%47#** '73%47#** /7(%*7408 % '/#73(3 48 '#*4 ' '70('7#4( '70('7#4( 478%47%08 4 '/#73(3 4( '*// 3 '7#%07*#( '7#%07*#( 470337'48 / '/#73(3 00 '3#3 3 48873(( 48873(( 47#0'7'0* 8 '/#73(3 #3 38'# 3 (0374(4 (0374(4 47(#0708/ '3 '/#73(3 (' '38* * 8#07%03 8#07%03 47#(#7#3/ '' '/#73(3 4/ '#'/ 3 '70#37'84 '70#37'84 %7%(/700*

'* *437333 '00/'(8 '/4# * #78'373*8 #78'373*8 #70'07*(4

'# *437333 ''' '% 3 *788'73/( *788'73/( 4%07(8/ '0 *#37080 */00(3( 3830 3 %((7%0# %((7%0# '/(70'( '( /'7%*( *08/%8 3/4( 3 *3#78(4 *3#78(4 3

a 39: "ap '/#736P: '*70387'

6et 9: costs $%3


35/43

;teracin 9Step Current tons $Value Cu Used-ne !e"enue #roit %

' '#73(3 '(8 '88 # *78'87#( *78'87#( ''7'

* '#73(3 '3 '884 3 *78*'7('* *78*'7('* '3734# '#73(3 '* '4#0 * *7#0#74 *7#0#74 74030 '#73(3 48 '#*4 ' '70('7#4( '70('7#4( 7'#( '#73(3 4( '*8* 3 '7#407#44 '7#407#44 473( '#73(3 4( '*8# ' '7#4(7'** '7#4(7'** 78834 '#73(3 '3* '(*3 ' '74074( '74074( (7'( '#73(3 '#8 '*( ' *7(0#743 *7(0#743 #7(#8 '#73(3 '(8 '88# ' *78'#703 *78'#703 '7#*0

'3 407#(( '8 *#33 3 '70(47#( '70(47#( 3

'74*'73( '8* 3 3 3 3

a 9: "ap 6P: '#

6et 9: costs


36/43

;teracin =Step Current tons $Value Cu sed-ne !e"enue #roit %t

' '/#73(3 '(8 '88% # *78'87#%( *78'87#%( '*7''87#/** '/#73(3 '%3 '884 3 *78*'7('* *78*'7('* '370387/38

# '/#73(3 '*/ '4#0 * *7#0#74/% *7#0#74/% 87'34733#0 '/#73(3 48 '#*4 ' '70('7#4( '70('7#4( /7(%%7#*/( '/#73(3 4( '*8* 3 '7#407#44 '7#407#44 /730/7(/0% '/#73(3 4( '*8# ' '7#4(7'** '7#4(7'** 4704/7#*34 '/#73(3 '3* '(*3 ' '7/4074(% '7/4074(% %7#('7#8%/ '/#73(3 '#8 '/*( ' *7(0#743% *7(0#743% 0700*7/#38 '/#73(3 '3# '(*/ 3 '7/8*7('# '7/8*7('# *78807%33'3 '437483 ''' '(80 ' '783'730# '783'730# '7#8#73'%'' ''(7%/3 ''* '%33 3 '7*8078%8 '7*8078%8 *#47#08 '* 407%'* *488888 3833 3 *3/78'0 *3/78'0 (*7'43

'# *3708( */ 38 3 (47#/4 (47#/4 3 *73*873*/ '(44 3 3 3 3 3 3 3 3

a 9: "ap '/#736P: '#7%4'7(

6et 9: costs $%

E t i d b d


37/43

E'traccin de recursos basados enpolticas de leyes de corte

3

*

0

%

/

'3

'*

;'6' ;*6' ;#6' ;06' ;(6' ;6' ;46' ;6' ;86' ;'36'

'ra #oint Se(uence

)&'-Slices

5chedling


38/43

&osto de oportunidad para distintaiteraciones

33

'3

*3

#3

03

(3

%3

43

' * # 0 ( % 4 / 8 '3 '' '* '# '0 '(

#eriod *

&ppo

rtunit+Cost,$/t

="


39/43

%rogramas de produccin resultant

333

3(3

'33

'(3

*33

*(3

' * # 0 ( % 4 / 8 '3 '' '* '# '0 '(

#eriod *

.r

ade-Sc/eduled0Cu

Prades &u7 Prades &u9 Prades &u: Prades &u=

Altiples iterin-uencia en

de producci


40/43

;ncorporacin del componente d4@d

Vt %t dV dV/dT &ct

'*74*'73*# '*70407('# '7*4*7'3* @*07('3 #3878487'0 '373('73'3 88478' 4'7'8 (37'3#7*( 7''73' '37#* 47#' 033473*0733( 47((7#(0 43*703' (0'7#0 3

7#'37'## 783(7' #'73'# (8(70# 3'8(7374(4 7#7*8( (374 '73(07(# @*(873070( 47*37#4 307( '7'(8788' @#3#7'7483 73437'4( 7'48 '7037#( @03(474*#7### 87*4*7((4 44*7### '7(087**# @0*047447** 78*37(*3 4474*# '730#7*80 @'0347#87*34 7(#7#3 4#78*' '7'047*# @**#07037#8* 0734740' 0073#8 #047#08 3(0'7##(7'4* '7##(7'4* '##7('4 3 34##07*# #07*# #70* 3 3*3

3 3 3 3 333

EvalAa recursosremanentesutilizando preciosdel periodo t7

Efecto de variacin de precios en u


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Efecto de variacin de precios en upoltica de leyes de corte

3

*

0

'3

'*

'0

'

' * # 0 ( 4 8 '3 '' '* '# '0 '(

#eriod *

!e"en

ue1actor$/0Cu

33

3(

'3

'(

*3

*(

#3

#(

03

. r a

d e 0 C u

Re>ene Aactor

=",Bithot @d:/dt.


42/43

E.ercicios

#uponga *ue la funcin de costo est/ dad por

S el precio est/ dado por

+btenga una relacin para el costo de oportunid

tiempo5 E'pli*ue

2)( bqaqC =

pPt=


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