Algebras de Bool FinitasAhora estudiaremos un poco las algebras de bool triviales. Resultara que dos

algebras booleanas finitas del mismo tamao son isomorfas. Cosa que es superfalso en el caso infinito. Empezemos por un lemita que tiene consecuenciasimportantes y que usaremos mas adelante:

Lema1 A1 A2 A1 A2

Tarea!!!!!

(Comentario solo para expertos) Desde ZFC no sabemos si la funcional2 : CAR CAR es inyectiva (Asumiendo HGC si pasa esto) incluso es consistenteque 20 = 21 es decir 1 sin embargo por el lema anterior sabemosque aunque sean biyectables, no son isomorfas.

Las algebras potencia son el ejemplo clasico de un algebra booleana, pero(afortunadamente!) no son el unico. Sabemos que Z no es un algebra potencia(por tamao) y un algebra de Lindenbaum con una cantidad infinita de simbolosproposicionales tampoco es isomorfa a un algebra potencia (Ya que la de Lindenbaumno tiene atomos y la de la potencia si). Aunque estos ejemplos han sido infinitos,para el caso finito si pasa que toda algebra booleana es un algebra potencia:

Proposicion1 Sea B BOO finita Hay A tal que B A

(Mas adelante veremos una prueba topologicosa de la proposicion)

Sea A = a B | a es atomo ahora definimos:

h : B a

hx = a A | a x

Ahora chequemos todo lo que hay que hacer:

1 h es inyectiva

Primero observemos que como B es finita entonces es atomica, por lo quesi x B x = hx. Ya lo que queda no puede ser mas trivial, tomemos x, y B

Si hx = hy hx = hy x = y

=)

2 h es homomorfismo

a hx = A hx

Como x x = 0 hx hx =

Ahora solo veamos que A = hx hx

Sea a A a x x a x o a x a hx o a hx a hx hx

^^

b hx y = hx hy

hx y = a A | a x y = a A | a x o a y = a A | a x a A | a y = hx hy

=P

Si se fijan lo que hemos probado hasta aqui es que para cualquier algebraatomica hay un monomorfismo a la potencia de sus atomos. Bueno sigamos:

3 h es sobre

Sea s A como A es finito entonces s tambien lo es asi tenemos s = a1, . . . , any pues ya casi:

ha1 . . .an = ha1 . . .han= a1 . . .an= a1, . . . , an= s

=D

Y asiB A

Como sabemos que tamao tienen las algebras potencia, entonces podemossaber que tamao tienen las algebras de bool finitas en general:

Corolario1 Sea B BOO finita |B| = 2n para alguna n (En realidad n es el numero de atomos de B)

Y ahora si, dos algebras finitas del mismo tamao son isomorfas:

Corolario2 Sean B1,B2 BOO finitas con |B1 | = |B2 | B1 B2

Como sabemos hay A1, A2 tales que B1 A1 yB2 A2

Asi |A1 | = |A2 | |A1 | = |A2 | (como es trivial (finita) la cosa) A1 A2 (Por la cosa del principio) B1 B2