lgebraClement e Mora GonzlezJ e fe de lDe pa r t a me nt ode Fome nt oEdit or ia lLet icia Mej ia GarcaCoor dina dor a de Fome nt oEdit or ia lMiguel Ant onio Gonzlez VidalesGe st inAdminist r a t ivaUlises Ramrez HernndezCoor dina dor de Dise oGr ficoDIRECCIN GENERALAv. Pa na m #199Esquina conBue nosAir e s.Col. Cua uht mocSurTe ls. 01(686)9055600a l08Correo Elect rnico:principal@cecyt ebc. edu. mxPgina Web:www. cecyt ebc. edu. mxCICLO ESCOLAR 2011-2Pr ohibida la r e pr oduccint ot a lopa r cia lde e st a obr a incluidoe ldise ot ipogr ficoyde por t a da por cua lquie r me dio,e le ct r nicoome c nico, sine lconse nt imie nt opor e scr it ode le dit or .GESTINDITORIALNot a:Alpe r sona lDoce nt e int e r e sa doe ne nr ique ce r e lcont e nidode lpr e se nt edocume nt o, le a gr a de ce mosha ce r noslle ga r suscome nt a r iosoa por t a cione sa lossiguie nt e scor r e os:foment oedit orial@cecyt ebc. edu. mxacaro@cecyt ebc. edu. mxJ os Guadalupe Osuna MillnGobe r na dor de lEst a dode Ba j a Ca lifor niaJ avier Sant illn PrezSe cr e t a r iode Educa cinyBie ne st a r Socia lde lEst a doCECYTEBCHct or Mont enegro EspinozaDir e ct or Ge ne r a lOlga Pat ricia Romero CzaresDir e ct or a de Pla ne a cinArgent ina Lpez BuenoDir e ct or a de Vincula cinJ ess Gmez EspinozaDir e ct or Aca d micoRicardo Vargas RamrezDir e ct or de Administ r a cinyFina nza sAlbert o Caro EspinoJ e fe de lDe pa r t a me nt ode Doce nciaMUNICIPIODEMEXICALICrist ina de los ngeles Cardona RamrezDir e ct or a de lPla nt e lLosPinosCarlos Zamora SerranoDir e ct or de lPla nt e lBe lla Vist aJ ess Ramn Salazar TrillasDir e ct or de lPla nt e lXochimilcoRodolfo Rodrguez GuillnDir e ct or de lPla nt e lCompue r t a sHumbert o Ignacio Ibarra VelazcoDir e ct or de lPla nt e lMisione sFrancisco J avier Cabanillas GarcaDir e ct or de lPla nt e lVice nt e Gue r r e r oCrist opher Diaz RiveraDir e ct or de lPla nt e lSa nFe lipeMUNICIPIODETIJ UANAMart ha Xchit l Lpez FlixDir e ct or a de lPla nt e lElFlor idoMara de los ngeles Mart nez VillegasDir e ct or a de lPla nt e lLa sguila sJ orge Ernest o Torres MorenoDir e ct or de lPla nt e lZona RoRigobert o Gernimo Gonzlez RamosDir e ct or de lPla nt e lVilla de lSolJ oel Chacn RodrguezDir e ct or de lPla nt e lElPa cficoEfran Cast illo SarabiaDir e ct or de lPla nt e lElNioBenit o Andrs Chagoya Mort eraDir e ct or de lPla nt e lCa cha nillaGabriel Valdz Manj arrezDir e ct or de lPla nt e lAlt ipla noJ uan Mart n Alcibia Mart nezDir e ct or de lPla nt e lla Pr e saMUNICIPIODEENSENADAAlej andro Mungarro J acint oDir e ct or de lPla nt e lEnse na daEmilio Rios MaciasDir e ct or de lPla nt e lSa nQuint nMUNICIPIODEROSARITOManuel Ignacio Cot a MezaDir e ct or de lPla nt e lPr imoTa piaHct or Rafael Cast illo BarbaDir e ct or de lPla nt e lRosa r it oBice nt e na r ioMUNICIPIODETECATEOscar Ambrz SalinasDir e ct or de lPla nt e lTe ca t eDIRECTORIO MENSAJ E DEL GOBERNADOR DEL ESTADOJvenes Est udiant es de CECYTE BC:Lae duca cin e s un va lua rt equede be n a pre cia r dura nt esu e st a nciae n e l Cole giodeEst udios Cie nt ficos y Te cnolgicosd e lEst a d od e Ba j a Ca lif or nia , d a d ola f or ma c inyc a lid a de d u c a t i va q u e l e so f r e c e l a In st i t u c i n ysu sma e st r o s.Por e llo, a suma ne lcompr omisoque e lGobie r node lEst a doha ce pa r a br inda r le se duca cinme dia supe r ior , a finde quee n l of u t u r ot e n ga n me j or e ssa t isf a c c ion e sd e vid a , yseconvie rt a n e n impulsore s y promot ore s de l cre cimie nt o e xit oso,conla visinque t ie ne nue st r a e nt ida de ne lpla nona ciona l.Est a a d mi n i st r a c i n t i e n e c o mo o b j e t i vo c r e a r e sp a c i o sycondicione sa pr opia da spa r a que e nunfut ur oinme dia t o, e lcampo laboral t e nga profe sionist as t cnicos deacue rdo al pe rfilde la indust r ia que ca da da a r r iba a nue st r a e nt ida d; por loq ue losinvit oa se r me j or e se nsuse st ud ios, e nsuf a miliaye nsucomunida d.En ust e de s sede posit alase millade l e sfue rzo y de dica cin quecaract e riza a los baj acalifonianos.Son e l e st andart ege ne racionalq ue ha b r d e ma r c a r la p a ut a d e nue st r od e sa r r ollo. ComoGobie r node lEst a do, compa r t imose lr e t ode se r for ma dor e sd e l o s f u t u r o s p r o f e s i o n i s t a s t c n i c o s q u e s a l d r nde CECYTEBC.Una mose sfue r zos, Gobie r no, Socie da d, Ma e st r osyAlumnos,pa r a br inda r yr e cibir una me j or e duca cine nBa j a Ca lifor nia ,se r p unt a d e d e sa r r ol l ohuma no, c r e c imie nt oind ust r ia l ye c on mic o, yf a c t or imp or t a n t e d e l p r ogr e sod e M xic o. MENSAJ E DEL SECRETARIO DE EDUCACINAlumnode CECYTEBC:Lae duca cin e s unahe rra mie nt aquea ume nt at us oport unida de s dede sa r r ollope r sona l, ype r mit e a mplia r t uhor izont e de posibilida de sde pr ogr e soe conmicoysocia l.Baj o e sa pe rspe ct iva,e l Gobie rno de l Est ado deBaj a California asumeconr e sponsa bilida dsucompr omisoconlosj ve ne se nla t a r e a decr e a r e spa ciose duca t ivose ne lnive lme diosupe r ior yofr e ce r le sprogra ma s dee st udios t e cnolgicos,quele s pe rmit a n int e gra rseconcompe t e nciaafue nt e s det ra ba j o y/ o cont inua r e st udios supe riore s.ElCole giode Est udiosCie nt ficosyTe cnolgicosde lEst a dode Ba j aCa lif or nia , e sune j e mplode loa nt e r ior . Enla se scue la sde e st aIn st it u c in , l ose st u d ia n t e sp u e d e n e n c on t r a r e l c a min od e l asupe r a cinye la poyopa r a a lca nza r la sme t a sque visua liza npa r afor j a r sufut ur o.Ent r e e sosa poyosse e ncue nt r a nla publica cinye nt r e ga de e st ema t e r ia le duca t ivo, que e lCECYTEBCdist r ibuye , cone lobj e t ivodeque lout ilice se nbe ne ficiode t use st udios.La t a r e a q ue ha nd e sa r r olla d oma e st r os, a lumnosya ut or id a d e sa duca t iva se nt or noa CECYTEBC, ha nconve r t idoa e st a Inst it ucine nunmode lopa r a la for ma cinde ge ne r a cione sde pr ofe sionist a st cnicosque de ma nda la indusdust r ia e spe cia liza da que se a sie nt ae nla r e gin.Ade ms dee so,e l Cole gio seha de st acado por ale nt ar e l ace rcamie nt ode lospa dr e sde fa milia conla e scue la , comouna a ccint e ndie nt ea for t a le ce r losvnculosque de be ne xist ir e nt r e e llos, losdoce nt e sy a dminist ra t ivos e n e l proce so e duca t ivo,quee s unare sponsa bilida dcompa r t ida .Por t odoe st o, t e fe licit opor r e a liza r t use st udiose nunpla nt e ldeCECYTE BC,y t ee xhort o ava lora r e st ee sfue rzo queha celasocie da da t r a v sde la Administ r a cinEst a t a lyut ilice sconpe r t ine ncia losma t e r ia le sque se t e ot or ga npa r a a poya r t ufor ma cinpr ofe siona l. H ct or Mont e ne gr oEspinozaDIRECTORGENERALDELCECYTEBCAt e nt a me nt ePRESENTACINEl libro que tienes en tus manos representa un importanteesfuerzo del Colegio de Estudios Cientficos y Tecnolgicos delEstado de Baja California, que a travs de sus academias deprofesores te proporciona material de calidad para el estudio delas distintas asignaturas que cursars en tu preparacin comoBachiller Tcnico.Los contenidos corresponden a los programas establecidos paracada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integraldelaeducacinmediasuperior,yenriquecidosporlascompetencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, anlisis yhabilidades que debers de poner en prctica en tu vida diaria,convertida en una accin educativa ms, que el Colegio te ofrecepara obtener una mejor formacin acadmica.Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a estaobra, que fue diseada especialmente para lo ms preciado delColegio: s usAlumnos . gradecimient oUne spe cia la gr a de cimie nt oa losDoce nt e syAdminist r a t ivosdeCECYTEBC, que cola bor a r one hicie r onposible la e dicinde e st a sGua sde Apr e ndiza j e B sica syMa t e r ia lDid ct ico.El ColegioMANUAL DE QUMICA IMa r ioB e zV zque zAPOYOINSTITUCIONALDIRECCINDEVINCULACINLGEBRAAndr sSa r a bia Le yCOORDINADORDELCOMPONENTEPROPEUDUTICOKa r la Gr ise lDua r t e Sa r a biaCOLABORADORAINGLS I y VVe r nica Mur illoEsquivia sDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASBla nca Be l nTor r e sMe dinaDOCENTEDELPLANTELLOSPINOSAdr ia na Ce r a sMor a le sDOCENTEGRUPOPORTALESAr t ur oS nche zMa r isca lDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAJ oa qunAlbe r t oPine da Ma r t ne zDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAMa nue lAr vizuRuzDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAC sa r Quint e r oHe r n nde zDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAQUMICA IAid Ar a ce liPe dr a za Me ndozaDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASJ ua na Ra mr e zRodr gue zDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOSa lTor r e sAcuaDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOTICsAlma De lia Va le nzue la M r que zDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOMe lchize de cRome r oGonz le zDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOOsca r Da vidBust osTor r e sDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCORobe r t oRosa le sZe pe daDOCENTEDELPLANTELLOSPINOSCTSyV IDia na Fe r n nde zSe r r a noDOCENTEDELPLANTELENSENADAOma r Rome r oRoble sDOCENTEDELPLANTELENSENADASusa na P r e zCor r e aDOCENTEDELPLANTELENSENADAJ e ssica Me ligNe zDOCENTEDELPLANTELENSENADALEOyE ICe cilia Ar mida Ant e Na va r r oDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASGa br ie la r ne la sBr a voDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASCLCULO INTEGRALMa nue lNor be r t oQuir ozOr t e gaDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTASilvia Elisa Inzunza Or ne la sDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAEloisa Mor a le sCollinDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASIsma e lCa st illoOr t zDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASGEOMETRA ANALTICAEmma Aya la Rodr gue zDOCENTEDELPLANTELMISIONESAnt onioCa r oEspinoDOCENTEGRUPOPORTALESMa r ioAlbe r t oCur ie lPonceDOCENTEDELPLANTELLOSPINOSINGLS IIIVe r nica Mur illoEsquivia sDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASAdr ia na Ce r a Mor a le sDOCENTEGRUPOPORTALESBIOLOGAAid Pe dr a za Me ndozaDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASCla r a Ang lica Rodr gue zS nche zDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASEve lia Esca la nt e G me zDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOCTSyV IIBla nca Azuce na Ca silla sCor t zDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOBla nca De lia Rom nPa loma r e sDOCENTEDELPLANTELMISIONESMa r t ha Ce lia Rom nPa loma r e sDOCENTEDELPLANTELXOCHIMILCOFSICA IIJ a vie r Ir ibe Me ndozaDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAMa r a De lCa r me nEquihua Quine zDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAGilbe r t oM nde zFie r r osDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASAlva r oSot oEsca la nt eDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTAIsr a e lCr uzMuozDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTACTSyV IIICla r a Ang lica Rodr gue zS nche zDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASMa r t ha Mor e noRa mr e zDOCENTEDELPLANTELCOMPUERTASDa vidA. Rodr gue zCa r r a scoDOCENTEDELPLANTELBELLAVISTACOORDINACIN Y REVISIN ACADMICAMa r ia Ele na Pa dilla GodoyCOORDINADORADEFORMACINVALORALAlbe r t oCa r oEspinoJ EFEDELDEPARTAMENTODEDOCENCIA 13NDICE COMPETENCIA 1 Operaciones Fundamentales del lgebra COMPETENCIA 2 Operaciones con Fracciones Algebraicas.. COMPETENCIA 3 E xponentes y Radicales COMPETENCIA 4 Ecuaciones Lineales o de Primer Grado COMPETENCIA 5 Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables. COMPETENCIA 6 Ecuaciones Cuadrticas.. ANEXO Aprendiendo a Despejar 1571991211882472201415-Traduccin del lenguaje comn al lenguaje algebraico -Notacin algebraica -Valor numrico de una expresin algebraica -Suma y resta de monomios y polinomios -Leyes de los exponentes enteros positivos -Multiplicacin entre monomios -Multiplicacin de un monomio y un polinomio -Multiplicacin entre polinomios -Divisin entre monomios -Divisin entre un polinomio y un monomio -Divisin entre polinomios PRODUCTOS NOTABLES -Binomios conjugados -Producto de dos binomios cualesquiera -Binomio al cuadrado -Binomio al cubo Competencia1OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL LGEBRA -Explicar las Operaciones Fundamentales del lgebra -Desarrollo deProductos Notables-Factorizacinde polinomiosSaberes124316FACTORIZACIN DE POLINOMIOS -Por factor comn -Diferencia de cuadrados -Trinomio de la forma -Trinomio de la forma -Trinomio cuadrado perfecto -Suma y diferencia de cubos -Por agrupacin 1.A desarrollar suma de polinomios 2.A practicar la multiplicacin de monomios y polinomios 3.A practicar la divisin entre monomios y polinomios 4.Todo mundo a desarrollar Productos Notables5.Volvindonos hbiles en la FactorizacinEjercicios517 Definicindelgebra:Siendoellgebraunaramadelasmatemticas,sus operacionessonlasmismasquelasdelaaritmtica,esdecir:suma,resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin. El lgebra es una generalizacin delaaritmtica.Laaritmticaempleanmerosparasuestudio,peroellgebra emplea letras y nmeros. NOTACIN Y TERMINOLOGA ALGEBRAICA LITERALESEINCOGNITAS.-Sabiendoquelasletrassonlossmbolosms conocidoselserhumano,estasfuerontomadospararepresentarvalores numricos,siendosuempleoconvencionaladeterminadascondicioneso principios de los problemas razn que las divide en:LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valoresquesonconocidosoquepuedenobtenersedirectamente,esdecir,los datos dados en un problema se representan par medio de literales.INCOGNITAS.-Sonletrasdelabecedarioqueseutilizanpararepresentar aquellosvaloresnumricosquesedesconocenyque,paraserconocidos, debern efectuarse operaciones matemticas. SaberesNombre-Traduccin del lenguaje comn al lenguaje algebraico -Notacin algebraica -Valor numrico de una expresin algebraica -Suma y resta de monomios y polinomios No.1Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para encontrar el volor nmerico de una expresin algebraica, adems de desarrollar sumas y restas con expresiones algebraicas Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 18VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por lasprimerasletrasdelabecedario:a,b,c,d,e...,etc.,sedenominantambin LITERALES ". Todaslascantidadesdesconocidasseexpresanporlasultimasletrasdel abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".De lo anterior hacemos la siguiente observacin:VARIABLE.-Esunaletraosmboloquepuedetomarcualquiervalordeunconjunto de nmeros, es decir, puede cambiar de valor.EJEMPLO: Si tenemos la funcin y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:S x = 1 s x = 2s x = 3Y =2(1) Y = 2(2)Y = 2(3)Y=2 y=4 y=6CONSTANTE.-Escualquierletraosmboloconunvalornumricofijo,esdecir, nopuedencambiardevalor.EJEMPLO:Cualquiernumero,porejemplo"9" siempresernueve;=3.1416esunaconstantequerepresentalarazndela circunferencia de un circulo al dimetro. Traduccindeexpresionesdellenguajecomnallenguajealgebraicou viceversa. Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresionesalgebraicasmuestransituacionesconcretasdelmundorealdeuna manera abstracta.Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dar confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.En el lenguaje comn o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraicoseempleanletrasysmbolos,quepermitenreducirlasproposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fciles de comprender. 19EJEMPLOS:LENGUAJE COMUN:LENGUAJE ALGEBRAICO: I.- Tres objetos cualesquiera. x .y, z. 2.- La semisuma de dos nmeros 2a b + 3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo 2n + 3n = 5n nmero es igual a cinco veces dicho nmero. 4.- El cubo de un numero menos eldoble del mismo nmerow - 2w LENGUAJE ALGEBRAICO:LENGUAJE COMUN: o2 +b2 Suma de los cuadrados de dos nmeros 2nr El doble producto de n por el radio 2 ( u v ) El doble de la diferencia de dos nmeros A = (l)(o) El rea de un rectnguloes igual al producto de su largo por su ancho Identificacin de los elementos de una expresin algebraica. En la notacin algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemtica; por ejemplo: EXPRESIN ALGEBRAICA.- Es una representacin que se aplica a un conjunto de literales y nmeros que conforman una o ms operaciones algebraicas.x,7y2; 2o +Sb;x2 -2y2 +Sz;x2 -o2x +o; ctc. Enlasexpresionesalgebraicas,laspartesqueaparecenseparadasporelsigno (+) o (-) reciben el nombre de Trminos algebraicos.20El trminoesta formado por coeficiente (parte numrica), variables (literales o letras), multiplicados entre s, llamados factores.CoeficienteExponentes7 x2y3LiteralesNombre Definicin EjemploMonomio (mono = uno)Expresin algebraica que consta de un solo trminoSx;-4c ; o2bSJ3 Binomio (bi = dos)Expresin algebraica que consta de dos trminos

x2 +y2 Trinomio ( tri = tres)Expresin algebraica que consta de tres trminos x2 -6x +7 Polinomio (poli = muchos, en este caso ms de dos) Expresin algebraica que consta de dos o ms trminos. En este caso binomio y trinomio son polinomios x -y z +y -m x3 +2x2 -Sx +2 Clases de polinomiosUn polinomio es entero cuando ninguno de sus trminos tiene denominador literal, por ejemplo: 2x + 7x 8 ,835 352+ + xx Unpolinomioesfraccionario,cuandoalgunosdesustrminostienenliterales como denominadores, por ejemplo:72 +dcba 21Un polinomio es racional cuando ninguno de sus trminos contienen radicales, par ejemplo: 2x + 2xy + y Un polinomio es irracional cuando alguno de sus trminos contiene algn radical, porEjemplo:8 2 3 + y xLospolinomiosseordenanalfabticamenteyseagrupandeexponentemayora exponente menor, los nmeros constantes se escriben hasta lo ltimo.Ordenar el siguiente polinomio:18 55 1837 27 2322 32 32+ = + +yx xx xyxy yxy yGrado de los polinomiosE1 grado de un trmino en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o masvariablessehallanenuntermino,elgradodetrminoeslasumadelas potencias de las variables.Ejemplo:Grado de un trmino en una sola variable:6x3er grado. 2x1er grado.3x1er grado.-3grado cero porque -S = -Sx0 Grado de un trmino en varias variables: 72 x y6to grado 22 4x y5to gradoSxy23er grado VALOR NUMRICO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA Esunaidentidadsabemosquelaincgnitapuedeadoptarcualquiervaloryla igualdadsiempresecumplir.Mientrasqueenunaecuacinesnecesario encontrar las solucin, ya que la incgnita tiene un valor especfico. Lacantidaddesolucionesparalaincgnitaenunaecuacinestdadaporel grado absoluto de la expresin algebraica. Si es de primer grado slo tiene una solucin. Si es de segundo grado tendr a lo ms, dos soluciones reales; es decir, la incgnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple. Si es de tercer grado, tendr a lo ms tres soluciones... y as sucesivamente. Dentro de este tema todava no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incgnita; ese tema es abordado en los captulos posteriores. Loqueporelmomentoharemosespracticarunsencilloprocedimiento:si conocemoselvalordelasincgnitasparaunaexpresinalgebraica,lo sustituimos en sta y encontramos el valor numrico. Ejemplo 1: Cunto vale la siguiente expresin? 2x2 -Sycuandox = 2yy = -4 Solucin:2(2)2 -S(-4) = 2(4) +12 = 8 +12 = 2u Ejemplo2:ElvalornumricodeJ +2c -2(So -2b)sio = 2, b = -S, c =1, J = -2 Solucin: J +2c -2(So -2b) = -2 +2(1) -2|S(2) -2(-S)] = -2 +2 -2|6 +6] = -2|12] = -24 Noto:Puedeobservarseelusodecorchetesparallevarunmejorordenenel clculo. 23 ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS:Enlaaritmtica,losnmerospositivossesuman,peroenellgebralaadicin puederealizarseentrenmerostantopositivoscomonegativos.Laadicinen este sistema ms amplio de nmeros es llamada a veces adicin algebraica. Paraefectuaradicionesconpolinomios,serealizansumandossolotrminos semejantes. Los que se parecen(trminos semejantes) Soy oCada pareja de trminos son semejantes ya que tanto las -4cy 8c letras como los exponentes son los mismos. -18x3y2 ySx3y2 kn-2 y kn-2 Soby-So2bCadaparejadetrminosNOsonsemejantes,yaqueaunquelasletras-2b2c3ySb3c2soniguales,estasNOtienenelmismoexponente.-ox2yoy2CadaparejadetrminosNOsonsemejantes,yaqueaunquelos4ozySosexponentessoniguales,lasletrasNOsonlasmismas.Ejemplo 3: Combine los elementos semejantesSUMANDOn) m n nma aa=1(Sin>m)10= = =a aaan mnm(Sim=n)Ley III.- Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es unterminodelamismabaseyconunaexponentealqueseelevolapotencia;Es decir: LeyIV.- cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto;Es decir: LeyV.- cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo(numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizndose finalmente la divisin; Es decir: 34Ejemplo 1:a)5 3 2 3 2) )( ( u u u u = =+ b)2 2 424m mmm= = c)6 ) 3 )( 2 ( 3 2) ( c c c = = d) 63) 3 )( 2 (3 3328 . 2 2bababa= = |.|

\| MULTIPLICACIONES DE MONOMIOSRegla Se multiplica el coeficiente y a continuacin de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabtico, ponindole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendr dado por la ley de los signos. Ejemplos 2: a)Multiplicar . 3 23 2a por a 5 3 2 3 26 ) 3 )( 2 ( ) 3 )( 2 ( a a a a = =+b) MultiplicarSo2b por-4ob2x x b a x b a x ab b a3 3 2 1 1 2 2 212 ) 4 )( 3 ( ) 4 ( 3 = = + +c) Multiplicar3 4 25 y mx por xy 5 5 3 2 4 1 3 4 25 5 ) 5 )( ( y mx y mx y mx xy = = + +d)Multiplicar3 24 c b a por abn m 3 2 1 3 2 1 3 24 ) 4 )( 1 ( ) 4 )( ( c b a c b a c b a abn m n m n m + + + + = = 35e) Efectuar la siguiente multiplicacin4 2 3 2 2 2) ( ) 3 ( ) 2 ( bc b a ab 8 4 4 3 6 2 4 2 2 4 2 3 2 2 2) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( c b b a b a bc b a ab = ) )( )( ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 (8 4 3 4 6 2 4 3 2c b b b a a = 8 11 8) 1 )( 27 )( 4 ( c b a + = 8 11 8108 c b a = f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas 2 3 2 3 2 2 3 4) ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( b a a b a ab ) )( 27 ( ) )( 16 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 (6 4 6 2 6 4 4 2 3 2 3 2 2 3 4b a a b a b a b a a b a ab = 6 10 6 1027 16 b a b a + = 6 1043 b a =Multiplicacin de Polinomios por Monomios Reglas para Multiplicar un Monomio por un PolinomioSe multiplican el monomio por cada uno de los trminos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con suspropiossignos.Enotraspalabras,seaplicalaLeyDistributivadela multiplicacin. Ejemplo 3: MultiplicarSx2 - 6x + 7 por4ox2 ) 4 ( 7 ) 4 ( 6 ) 4 ( 3 ) 4 )( 7 6 3 (2 2 2 2 2 2ax ax x ax x ax x x + = + 2 3 428 24 12 ax ax ax + =362247 6 3axx x + Laoperacinpuededisponerseas2 3 428 24 12 ax ax ax + MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS Regla para Multiplicar dos Polinomios Semultiplicantodoslostrminosdelmultiplicadorporcadaunodelostrminos delmultiplicador,teniendoencuentalaleydelossignos,ysereducenlos trminossemejantes. Ejemplo 4: Multiplicaro -4 poro +S Tendremos:o - 4o - 4o + So + So(o)- 4(o)oseao2 -4o+S(o) - S(4)So - 12o2 - o - 12En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar. Ejemplo 5: Multiplicar4x - Sypor-2y + Sx(4x -Sy)(Sx - 2y) = (4)(S)x1+1 -(4)(2)(x)(y) - (S)(S)(y)(x) + (S)(2)y1+1= 2ux2 -8xy - 1Sxy +6y2= 2ux2 - 2Sxy + 6y237Ejemplo 6: El siguiente rectngulo est seccionado y cada seccin es el resultado de multiplicar los lados de los rectngulos pequeos. Halla la multiplicacin de los polinomios que equivale al rea total del rectngulo. Solucin: Primeramente,tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectngulo pequeo para que coincida con el rea de cada rectngulo pequeo. Por lo tanto: 4o6bPor lo tanto, los lados del rectngulo grande son (4o +6b) y (So +8b) El rea total ser:(4o +6b)(So +8b) = 2uo2 +S2ob +Suo +48b2 2uo2S2obSuob48b22uo2S2ob Suob48b24o6bSo 8b38I. Efecte las operaciones indicadas y simplifique: 1) ) )( (2 2a b a 2) ) )( (4 3a ab 3) ) )( 2 (3 2y y x 4)3 2( )( ) a b b 5)2 2 3( )( ) a b a 6)2 2(2 )(3 ) x xy 7)2 3 43 (2 ) xy xy 8)2 4 23 (4 )( ) x xy xy 9)3 2 3 2(3 )( ) xy xy x 10) ) 2 )( 4 )( 7 (2 3y xy y x 11) ) 2 )( (4 3 2 3y x z y z x 12) ) 3 )( ( 62 3 3 2xz yz y x 13) ) 5 )( 4 )( (3 2 2y x xy x 14) ) 25 )( 3 ( 23 2 3b a b a 15) ) 5 )( 4 ( 32x y xy 16)2 2 3 33 (4 )( 9 ) a b ab a b 17)2 3 2( ) a b ab 18)2 2 26 (2 ) a b ab 19)2 2 2 3( ) (2 ) a b ab 20)2 2 3(4 ) ( ) ab ab 21)2 3 3 2( ) ( 8 ) xy x y 22)2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 ) xy xyz xz 23)2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 ) a b abc b c EjerciciosNombreA practicar las multiplicacin de monomios y polinomiosNo.2Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 3924)4 3 2 3 2 2 2) )( 3 ( ) 2 ( c a b a ab 25)5 2 4 3 2 2 3) ( ) 9 ( ) 2 ( bc a c a ab 26)2 2 2 32 ( ) ( ) a b a b 27)2 2 2( 2 ) ( ) ( ) ax a x 28)2 2 2 22 ( ) (4 )( ) a b a b + Respuestaparaalgunosdelosejerciciosanteriores:4)3 3a b ;5)5 2a b ;6)3 26x y ;7)6 46xy ;8)7 312xy ;9)7 43x y ;16)6 6108a b ;17)4 7a b ;18)4 524a b ;19)7 88a b ;21)12 564x y ;22)7 8 820 z y x 23)8 24 245184a bc ;26)2 2 2 32a b a b + ;27)2 25a x ;28)2 22a b II. Efectu la siguiente multiplicacin entre un polinomio y un monomio. (1) x por x x 2 32 3 Resp:4 36 2 x x + (2)3 2 22 3 8 ax por y y x (3) x por x x 2 3 42 + Resp:3 22 8 6 x x x + (4) a a a 6 42 3+ por ab 3 III.Efecte las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea necesario. 1) 6( 7) x+ 2) 7( 4) x 3) ( 3) x y+ 4) 5 (2 3) x y 5) 4 ( 3) x y 6)22 (3 2 ) x x x 7)26 ( 4 ) xx x 8)23 (3 5 ) x x x 9)3 22 (3 5) x x x + 10)2 22 ( 3 ) ab a ab b + 11)2 3 2 2 42 ( 5 3 ) a b a a b b + 12)3 2 25 ( 4 ) a b ab b a + 13)3 2 22 (2 3 2) ab a b 14) 2 (5 6) 3 ( 4) x x x x 15) 4 ( 4) 2 (2 3) x x x x 4016)2 22 (3 4 6) ( 8) x x x x x + 17)2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 ) x x x x x x x Respuestasalosimpares:1) 6 42 x + ;3) 3 xy x + ;5) 4 12 xy x + ;7)3 26 24 x x + ;9)5 4 36 2 10 x x x + ;11)5 4 3 2 52 10 6 a b a b a b + ;13)3 3 5 34 6 4 a b ab ab + + ;15) 10x ;17)4x IV. Efectu la siguiente multiplicacin entre polinomios. 1.1 . . 3 + a por aResp: 22 3 a a + 2.x y por y x 2 . . 2 8 + 3.y x por x y 2 3 . . 5 4 + + Resp: 2 215 22 8 x xy y + 4.a b por b a 8 4 . . + + V.Efectu las operaciones con polinomios y simplifique: 1)( 7)( 4) x x +9)2( 1)((2 2 3) x x x + +2) ( 6)( 6) x x +10) 2( 2)( 2 4) x x x + 3) ( 1)( 6) x x 11)2(2 1)(4 2 1) x x x + +4)(3 1)(4 3) x x 12) 2 2( 2 )( 2 4 ) x y x xy y + + 5) (3 2 )(3 4 ) x x +13)2 2( 2 1)( 2 1) x x x x + +6) (7 3 )(8 5 ) x x + 14)( 1)( 3) ( 4) x x x x + + + 7) ( 4 )(3 4 ) x y x y 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3) 8) ( 3)( 4) xy xy + 16)( 2)( 4) ( 2) x x x x + Respuestas a los impares: 1) 23 28 x x ;3) 27 6 x x + ;5) 29 6 8 x x + ; 7) 2 23 16 16 x xy y + ;9) 32 3 x x + + ; 11) 38 1 x ; 13)4 24 4 1 x x x + ;15) 23 2 x 41VI.Lossiguientesrectngulosestnseccionadosycadaseccinesel resultadodemultiplicarlosladosdelosrectngulospequeos.Hallala multiplicacindelospolinomiosqueequivalealreatotaldecada rectngulo. (Ver ejemplo 6resuelto de esta seccin). 1.2.3.SxkxSykySw2ywSwzyz24o21Sob4uob2Sb242 DIVISIN DE MONOMIOS Ejemplos:(1) Dividir4o3b2cntrc-2ob

4u3b2-2ub= 2o2b (2)Dividir -So4b3ccntrc-o2b -5u2b3c-u2b = Sb2c (3)Dividir -2umx2y3cntrc4xy3 -20mx234x3=-Smx Saberes NombreDivisin entre monomios Divisin entre un polinomio y un monomio Divisin entre polinomios No.3Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para desarrollar divisiones entre monomios y polinomios Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 43 Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresin:

34226xyzxy| | |\ . Solucin: Podemos simplificar la fraccin primeramente antes de aplicar el exponente exterior. 3 34 3 9 3 9 32 3 3 326 3 3 27xyz x z xz xzxy y y y| | | |= = = ||\ . \ . DIVISIN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS. Regla para dividir un polinomio por un monomio. Sedividecadaunodelostrminosdelpolinomioporelmonomioseparandolos cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplo 1)Dividir 3 2 23 6 9 a a b ab +entre 3a.

3 2 2 3 2 23 2 23 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 33 3 3 3a a b ab a a b aba a b ab aa a a a + + = = + Resultado:2 22 3 a ab b + Ejemplo 2)Dividir3 2 23 2 a a b abab Solucin: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 32a a b ab a ab ab aa bab ab ab ab b = + + = + +

Ejemplo 3) Dividir2(3 ) (3 )(3 )x a a x ax a+ ++y simplificar 2(3 ) (3 )(3 )x a a x ax a+ ++= 2(3 ) (3 )(3 ) 3 3(3 ) (3 )x a a x ax a a x a a xx a x a+ + = + = + =+ + 44 DIVISIN DE POLINOMIOS La divisin de polinomios respeta la siguiente serie de pasos: 1.Ordenamoslostrminosdeambospolinomiossegnlaspotenciasde mayoramenor,oviceversa,deunadelasletrascomunesalosdos polinomios. 2.Dividimoselprimertrminodeldividendoentreelprimerodeldivisor,con esto obtenemos el primer trmino del cociente. 3.Multiplicamoseltrminodelcocientedelpasoanteriorporeldivisoryse resta del dividendo, obtenindose un nuevo dividendo. 4.Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos 2y3hastaqueobtenemosunresiduoigualaceroounaexpresin algebraica de grado menor que el del dividendo. 5.El resultado se expresa de la siguiente manera: d|u|dendud|u|xur= cuc|ente +rex|duud|u|xur Ejemplo1:Dividir2x3 - x2 - S1x + SSentre2x - 7x2 +Sx -ScocienteDivisor2x -72x3 - x2 -S1x + SSDividendo-2x3 + 7x26x2 -S1x + SS-6x2 + 21x-1ux + SS1ux - SS0ResiduoElresultadoes:x2 +Sx -S45Ejemplo2:Dividiry2 + 2y4 - Sy3 +y -2entrey2 -Sy + 22y2 + Sy +6y2 - Sy +22y4 - Sy3 + y2 + y - 2-2y4 +6y3 - 4y2+Sy3 -Sy2 +y - 2-Sy3 + 9y2 - 6y+6y2 - Sy - 2-6y2 + 18y -12+1Sy - 14Elresultadoloexpresamosdelasiguientemanera:24-33+2+-22-3+2= 2y2 +Sy +6 +13-142-3+246 I. Ejercicios: Efectuar la siguiente divisin entre monomios (1) 2 4 32 14 ab entre b a Resp: 2 27a b (2) 4 3 4 3b a entre c b a (3)n m entre n m2 25 Resp:5 (4) 3 2 3 28 8 x a entre x a II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes. 1) 52aa2) 3xx 3) 612aa 4) 28xx5) 1010xx 6) 106bb 7) 810( ) aa8)77( ) aa 9) 84( 1)( 1)xx++ 10) 69( )( )x yx y 11) 33bxb12) 6 43 2xyx y 13) 2 56 10936aba b 14) 8 74 9618a ba b

15) 36) ( aa 16) 62) () (y xy x++ 17) xyy x3 18) y xy x23 319) 8 26 2b ab a 20) c ab a92 57042 EjerciciosNombreA practicar las divisin entre monomios y polinomiosNo.3Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 4721) 8 52 36644b ab a 22) 6 32 5832b ab a23) 3 129 6525b ab a24) 4633||.|

\|aa 25) 222||.|

\|abb a 26) 6252aa| | |\ . 27)32 5624xyxy| | |\ .28)34 2 73 4 72xyzxyz| | |\ .29) 43 2 42 31218xyzxyz| | |\ . Respuestas para algunos ejercicios: 1) 3a ;2) 2x ;3) 61a;4) 61x;5) 1 ;6) 4b ; 7) 21a;8) 1 ; 9) 4( 1) x + ; 10) 31( ) x y ;11)x ;12) 3 2x y ; 13) 4 514a b; 14) 423ab ; 26) 1864a 27) 338xy;28) 368xy ; 29) 8 41681xz

III.Efectu las operaciones entre un polinomio y un monomio y simplifique. 1) 2 22x + 2)10 55x 3)26 33x xx+ 4)3 23 x x xx +5) 6 33ax aa+ 6)3 227 147x xx 7)2 3210 155xy xx+ 8) 5 4 3312 18 66x x xx+ 9) 3 2 2 32 236 2412xy xyxy 10) 3 224 6 82x x xx+ 11)6 4 2 2 43 32 33x xy xyxy 12)26( ) 3( )3( )x a x ax a + 13)2(2 ) (2 )(2 )x a x x ax a+ ++14)3 2(2 ) (2 )(2 )x a x ax a 48Respuestas a los impares: 1)1 x + ;3) 2 1 x + ; 5) 2 1 x + ;7)2 3 y x ; 9)3 2 x y + ; 11) 3323 3x x yy y x + +;13) x a + IV.Efecte las divisiones entre polinomios siguientes: 1)23 21x xx+ ++2)262x xx+ 3)214 488x xx +4)28 16 62 1x xx+ ++ 5)29 6 13 1x xx+ ++6)212 25 124 3x xx+ ++7)216 8 14 1x xx +8)222 8 214 3x xx+ 9) 3 224 2 84x x xx +10)4 3 223 2 6 3 22x x x xx x+ + + 11)3 23 4 62 3x x xx ++ 12) 3 24 7 21 94 3x x xx +13)3 26 11 14 22 5x x xx 14) 4 222 11 39 153 5x x xx x + + 15)4 3 2 2 3 42 22 3 3 5 32x xy xy xy yx xy y+ + 16)2 312 4 92 +xx x17) 6 528 12 152 +xx x 18) 16 864 48 1222 3+ + x xx x x19) 1 22 8 622 3 4 + + x xx x x x20) 1 6 28 3 51 222 4 x xx x x 21)) 3 ( ) 7 3 5 2 2 (2 2 3 2 2 3 4 4y xy x xy y x y x y x + + + Respuestas para algunos ejercicios: 1)2 x + ; 2)3 x + ; 3) 6 x ; 4)4 6 x + ;5)3 1 x + ;6) 3 4 x + ;7)4 1 x 8)2 7 x + ;9)2 x ;10) 23 1 x x + ;11)242 13 2x xx + ++; 12)2964 3x xx 13)2123 2 22 5x xx+ ; 14) 22 6 3 x x ; 15)2 22 3 x xy y + +49 BINOMIOS CONJUGADOS Si tenemos la multiplicacin(o +b)(o -b) cmo la resolveras? Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos: (o +b)(o -b) = o2-ob +bo -b2= o2-b2 Aunque este mtodo nos gusta mucho no es el ms rpido, para esto estamos aprendiendo la multiplicacin de binomios conjugados. Elproductodelasumadedosnmeros(a+b)porsudiferencia(ab)esun productonotablequerecibeelnombredebinomiosconjugados,ysuproducto recibe el nombre dediferencia de cuadrados. (o +b)(o -b) = o2-b2 Saberes NombrePRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo No.4Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para desarrollar productos notables por inspeccin Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 50 Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados

( )( )2 2a b a b a b + = Los binomios conjugados son iguales a: El cuadrado del primer trmino del binomio Menos El cuadrado del segundo trmino del binomio. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados: 1.(8b -Sc)(8b +Sc) = (8b)2 -(Sc)2 = (8)2b2 -(S)2c2 = 64b2 -9c2 2.(Sp +6q2)(Sp -6q2) = (Sp)2 -(6q2)2 = 2Sp2 -S6q4 3. 2 22 25 3 5 3 5 3 25 99 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n| || | | | | | + = = | |||\ .\ . \ . \ . Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado 4.(m +n +S)(m +n -S) = |(m +n) +S]|(m +n) -S] = (m +n)2 -2S

-PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA Lostrminoscorrespondientesdelosbinomiosby ax+ ydy cx+ son semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aqu en donde se aplica la propiedad distributiva. ) ( ) ( ) )( ( dy cx by dy cx ax dy cx by ax + + + = + + 2 2bdy bcxy adxy acx + + + = por distributividady conmutividad 2 2) ( bdy xy bc ad acx + + + = ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy Por tanto, se tiene Producto de dos binomios 2 2) ( ) )( ( bdy xy bc ad acx dy cx by ax + + + = + + Alobservarelproductodeladerecha,sevequesetieneelproductodedos binomioscontrminossemejantescorrespondientesalejecutarlospasos siguientes: 511)Multiplquense los primeros trminos de los binomios para obtener el primer trmino del producto. 2)Smenselosproductosobtenidosalmultiplicarelprimertrminoencada binomioporelsegundoenelotro.Estodaelsegundotrminoenel producto. 3)Multiplquense los segundos trminos en los binomios para obtener el tercer trmino del producto. Porlogeneral,elprocedimientorequeridoparaefectuaresostrespasoses mental,yelresultadopuedeescribirsesinnecesidaddeindicarlospasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1 Obtenga el producto dey x 5 2 yy x 3 4 + 2 215 14 8 ) 3 4 )( 5 2 ( y xy x y x y x = + Obtngase los productos mentalmente 1. = x x 4 22. = = + xy xy x x y x 20 6 ) 4 5 ( ) 3 2 (3.= y y 3 5 Elejemploanteriorestdadaendosvariables,peroseaplicatambinsise considera que1 = y . De hecho, viene siendo bd x bc ad acx d cx b ax + + + = + + ) ( ) )( (2 Ejemplo 2 Encuentre ). 5 3 )( 2 ( + x x10 3 ) 5 )( 2 ( )] 3 )( 2 ( ) 5 )( 1 [( ) )( 3 )( 1 ( ) 5 3 )( 2 (2 2 + = + + + = + x x x x x x 52 -BINOMIO AL CUADRADO Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener su resultado. El cuadrado de la suma de dos trminos es igual:2 2 2( ) 2 a b a ab b + = + + Cuadrado del primer trmino ms Doble producto del primero por el segundo, ms El cuadrado del segundo trmino. La solucin de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Cuando se trata de una diferencia lo nico que cambia es el signo del segundo trmino del trinomio. El cuadrado de la diferencia de dos trminos es igual:2 2 2( ) 2 a b a ab b = + Cuadrado del primer trmino, menos Doble producto del primero por el segundo, ms El cuadrado del segundo trmino. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado 1.(So -8b)2 = (So)2 -2(So)(8b) +(8b)2 = 9o2 -48ob +64b2 2.(Sm2n3 -Sp3q5)2 = (Sm2n3)2 -2(Sm2n3)(Sp3q5) +(Sp3q5)2 = 9m4n6 -m2n3p3q5 +2Sp6q10 S. _Sx22y3 +Sw2Sz2_2= _Sx22y3_2+2 _Sx22y3__Sw2Sz2_ +_Sw2Sz2_2= 9x44y6 +Sx2w2y3z2+2Sw49z4 53 4.(4x +2y +S)2 = |(4x +2y) +S]2 = (4x +2y)2 +2(4x +2y)(S) +(S)2 = 16x2 +16xy +4y2 +24x +12y +9 -BINOMIO AL CUBO Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso parasusolucin.Estosignificaqueelbinomioestamultiplicndoseporsimismo tres veces: ( ) ( )( )( )3a b a b a b a b + = + + +Primeromultiplicaremosdosbinomiosyaquecomosontrestrminos,la multiplicacin debemos realizarla por partes: ( ) ( ) ( )22 22 a b a b a b a ab b + + = + = + + . Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio: ( )( )2 2 3 2 2 32 3 3 a ab b a b a a b ab b + + + = + + +Binomio al cubo = Cubo perfecto ( )3a b +=3 2 2 33 3 a a b ab b + + +El cubo de un binomio es igual a: Cubo del primer termino ms El triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo mas El triple producto del Primer termino por elcuadrado del segundo mas Cubo del segundo termino. 54Si el cubo es la diferencia dedos nmeros el resultado quedara: ( )3a b =3 2 2 33 3 a a b ab b + Ejemplos: 1.(2x +Sy)3 = (2x)3 -S(2x)2(Sy) +S(2x)(Sy)2 -(Sy)3 = 8x3 -6ux2y +1Suxy2-12Sy3 2.(So -2b)3 = (So)3 -S(So)2(2b) +S(So)(2b)2 -(2b)3 = 27o3 -S4o2b +S6ob2 -8b3 55 I.Realice los siguientes binomios conjugados: 1.(x + 4)(x -4) 2. (x + 7)(x - 7) 3. (Sx + 2y)(Sx -2y) 4. (6o + 8b)(6o - 8b)

5. (2x2 - Sy2)(2x2 + Sy2)6. (x2 + o2)(x2 - o2) 7. (6o2 - 4b4)(6o2 +4b4) 8. (4c -7J)(4c + 7J) 9. [34x - 27y [34x + 27y10.[25o2 - 37b2 [25o2 +37b2 11. (6x2y + 1ux3y2)(6x2y - 1ux3y2)12.(So2b - So3b2)(So2b + So3b2) 13.(7m3n2 - Sm2n)(7m3n2 +Sm2n)14.|4 + (o - b)]|4 - (o - b)] EjerciciosNombreTodo mundo a desarrollar Productos NotablesNo.4Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 56II.Completa la siguiente tabla: Binomiosconjugados Diferenciadecuadradosa)(o + b +c)(o + b - c) b) 9x2u - 2Sy2b+2c)(x - y - 1)(x - y +1) d)(-4o - 1ub)(-4o +1ub) e)4J2 -12Sf)916s4 -2S4t2g)(2z3 +u.2)(2z3 -u.2) h)(Sr -6:2)(Sr +6:2) i) (o + b)2 -(2o - Sb)2j)(p2c-5p + So6+2q)(p2c-5p - So6+2q) k)(2g + S)(2g - S) III.Realicelossiguientesejerciciosusandoelmodeloparaelproductode dos binomios cualesquiera. 1. ) 3 )( 1 ( + x x2. ) 4 )( 2 ( + x x3.) 2 )( 3 ( + + x x 4.) 2 3 )( 3 2 ( + x x5. ) 5 )( 4 3 ( + x x 6.) 3 2 )( 1 4 ( + x x7. ) 3 )( 2 ( y x y x + 8.) 3 2 )( 5 3 ( y x y x +9. ) 5 2 )( 11 6 ( d c d c 10. ) 5 9 )( 3 8 ( m k m k 11. ) 7 4 )( 10 3 ( b a b a + IV.Completa la siguiente tabla:MultiplicacindedosbinomioscualesquieraconunterminocomnResultadosa)(x + S)(x - 4)b)(y +1S)() y2 + 17y + Suc)(ob + S)(ob + S) (ob)2 + ob + d)(Sy +6)(Sy -2) e)(2o -1)(2o -2) 2o3 -S2o + 57V.Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones: 1.2) 2 ( x2.2) 3 (+ x3.2) 9 ( x4.2) ( y x 5.2) 8 ( y x 6.2) 2 ( b a +7. 2) 3 2 ( + x 8.2) 5 4 ( x9.2) 5 10 ( + x 10.2) 2 5 ( n m11.2) 4 ( + m12.2) 3 2 ( y x + 13. 2) 7 6 ( b a 14.2 3 3) ( b a 15.2 2 2) 2 3 ( xy y x 16.2 3 2 3) 5 4 ( ab b a + 17.2) 2 3 2 ( z y x + 18. 2) 3 4 3 ( c b a +19.2 5 5) ( y x VI.Completa la siguiente tabla: Binomioelevadoalcuadrado Polinomioa)(g + S)2 b)(2o+ )2 4o2 +4oy + y2c)(+7b)2 16g2 + + d)[12o +23b214o2 +23ob + VII.Desarrollo los siguientes binomios al cubo: 1.3) 2 ( b a + 2. 2) 2 3 ( x 3.3) 1 5 ( + x4. 3) 7 2 ( y x 5.3) 6 4 ( b a + 6.3) 3 1 ( y 7.3 2) 2 ( y + 8.3 3 2) 3 2 ( q p 9. 3 2 3) 4 5 ( n m + 10. 33432|.|

\|+ b aVIII.Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo a)(So - 2b)3 = ()o3 + S() ()o2b +S( )( )ob2 + ()b3 =___________________________________________________________b)(Sx - 2y)3 = ()3( )3 +S( )()x2y +S()()xy2 + ()3 =___________________________________________________________c)(m2n -w)3 = (m2n)3 +S(m2n)2(-w) + S()(-w)2 + ( )3 =___________________________________________________________58FACTORIZACIN DE POLINOMIOS Cada uno de los nmeros que se multiplican entre s para obtener un producto, se llamafactor.Algunasvecesesdeseableescribirunpolinomiocomoelproducto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorizacin. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio est factorizado completamente si se expresa como el productodepolinomiosconcoeficientesenterosyningunodelosfactoresdela expresinsepuedeyaescribircomoelproductodedospolinomioscon coeficientes enteros. A continuacin, consideramos la factorizacin de algunos polinomios especiales. I. Factor comn. Enesteprocesosetransformaunasumaalgebraicaenunproductodefactores, aplicando la propiedad distributiva. Parallevaracaboesteprocesoesnecesarioidentificarelfactorcomnenel polinomio.Elfactorcomnpuedeserunnumeroounmonomio,obienun polinomio. SaberesNombreFACTORIZACIN DE POLINOMIOS -Por factor comn -Diferencia de cuadrados -Trinomio de la forma -Trinomio de la forma -Trinomio cuadrado perfecto -Suma y diferencia de cubos -Por agrupacin No.5Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno conocer los distintos tipos de factorizacin de polinomios. Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 59Ejemplos: 1)5 5 5( ) x y x y + = +El numero 5 es el que se repite en ambos trminos, es decir, es el factor comn. Y los factores son 5 y (x + y). 2) ( ) ax bx cx x a b c + = +Pude ver que la x es la que se repite en todos los trminos, es decir, es el factor comn, y los factores son x y (a b + c). 3)24 8 2 xy xy y + = 22 (2 4 1) y x x +El numero 2 y la letra y son los trminos que se repiten en todos los trminos, por lotanto,soncomunes,esdecir,2y.Paraencontrarelotrofactordividimosel terminocomnylaexpresinoriginal 24 8 2 xy xy y + entre2y,dandocomo resultado, 22 4 1 x x +que representa al segundo factor. 4) Factorizar el polinomio3 2 2 2 26 12 24 xy xy xy + Solucin: El mximo factor comn es 26xy .

3 2 2 2 23 2 2 2 2 22 2 26 12 246 12 24 66 6 6xy xy xyxy xy xy xyxy xy xy| |+ = + |\ .= 2 26 ( 2 4) xy x x + II. Diferencia de cuadrados Elproductodelosfactores( ) a b + y( ) a b es 2 2a b ,esdecir,ladiferenciade dostrminoscuadradosperfectos.Losfactoresdeunadiferenciade cuadradossonlasumaydiferenciaderacescuadradasrespectivasde dichos cuadrados. Ejemplo 1) Factorizar29 4 a . Solucin: La raz cuadrada de 29aes3ay la de 4 es 2. 60Por consiguiente,29 4 (3 2)(3 2) a a a = + Ejemplo 2) Factorizar completamente4 481 x y . Solucin:4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 ) x y x y x y = + 2 2( 9 )( 3 )( 3 ) x y x y x y = + +

Ejemplo 3)Factorizar completamente46 6 x . Solucin: 4 46 6 6( 1) x x = 2 26( 1)( 1) x x = + 26( 1)( 1)( 1) x x x = + + Ejemplo 4)Factorizar completamente2 24( 3) x y Solucin: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)] x y x y x y = + ( 2 6)( 2 6) x y x y = + + III. Factorizacin de un trinomio de la forma x2 + bx + c. Cuandodesarrollamoselproductodebinomioscontrminocomnobtenemos comoresultadountrinomiodelaformax2+bx+c.Parafactorizareltrinomio, tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento: 1.Elprimertrminodeambosfactoresserlarazcuadradadelprimer trmino. 2.Los otros dos trminos debern cumplir las siguientes condiciones: -Dosnmerosquemultiplicadosdenelvalordeltercerterminodel trinomio (c). -Ysumadosdebenserigualalcoeficientedelsegundotrminodel trinomio (b). 61Ejemplo: x2 + 5x + 6. Dos nmeros que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x) (x ). Dos nmeros que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (5).(x + 3) (x + 2). Entonces la factorizacin del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). Ejemplo: a2 + 9a + 20. Dos nmeros que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a) (a ). Dos nmeros que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (9).(a + 5) (a + 4). Entonces la factorizacin del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4). IV. Factorizacin de un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla:Eltrinomiosefactorizaendosfactoresbinomioscuyosprimerostrminosson aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos trminos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercerterminodeltrinomio,peroqueelproductodelostrminosextremose interioresdelosbinomiosfactores,alsumarsealgebraicamentedencomo resultado el termino central del trinomio. Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomiosde la forma ax2 + bx + c. a)3x2 +14x+8=Sedeterminanlosprimerostrminosdelosfactores binomios,siendoaquellosquemultiplicadosresulte(3x2)elprimertermino deltrinomio,dichostrminosson(3x)(x);lossegundostrminosdelos binomiossonaquellosquemultiplicadosden(8)eltercerterminodel trinomio,dichostrminospuedenser(1)(8)y(2)(4),siendolaultima proposicinlaquecumplelacondicindequelasumaalgebraicadel productodelostrminosextremoseinterioresdelosbinomiosfactores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorizacin es:3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4) 62b)5x2 -11x-36=Sedeterminanlosprimerostrminosdelosfactores binomios,siendoaquellosquemultiplicadosresulte(5x2)elprimertermino deltrinomio,dichostrminosson(5x)(x);lossegundostrminosdelos binomiossonaquellosquemultiplicadosden(-36)eltercerterminodel trinomio,dichostrminospuedenser(-36)(1),(-18)(2),(-12)(3),(-9)(4),(-6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposicin la que cumple la condicin de que la suma algebraica del productode los trminosextremoseinterioresdelosbinomiosfactoresresulte(-11x)el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorizacin es:5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4) V.El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto) Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones: 1.Debe tener tres trminos. 2.Debe tener raz cuadrada exacta el primer y tercer trmino. 3.La doble multiplicacin de la raz del primer por el tercer trmino es el segundo trmino del trinomio original. Ejemplo: Factoriza:2Sx2 -7ux +49Primer paso: Verifica que ste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones). -S es un trinomio: 2Sx2 -7ux +49 -S tienen raz cuadrada exacta el primer y el tercer trminos: Sxy7 -S es el mismo resultado del segundo trmino del trinomio original 70xy la doble multiplicacin de la primera raz y la tercera raz 2(5x)(7) = 70x Segundo paso: Coloca el resultado 2Sx2 -7ux +49 =(Sx -7)2Se toma el signo que contiene el segundo trmino del trinomio original. 63VI.Suma y diferencia de cubosLa suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicacin de un binomio por un trinomio. Suma y diferencia de cubosfactores x3 +y3= (x +y)(x2 -xy +y2) x3 -y3= (x -y)(x2 +xy +y2) Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos trminos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios x3 +y3 y x3 -y3 son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos trminos son cubos perfectos por tener raz cbica: x33= x y y33= y Ejemplo 1Factorizar8x3 +27y3 Solucin: El binomioes una suma de cubos porque ambos trminos tienen raz cbica y signo positivo. Las races son: 8x33= 2xy 27y33= Sy Estas races son los trminos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es: (2x +Sy). El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus trminos son el resultado de elevar al cuadrado los trminos del binomio (2x)2 = 4x2y(3y)2 = 9y2 El trmino restante es resultado de la multiplicacin de los trminos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga (2x)(3y) = xy Con signo contrario resulta-xy El trinomio factor es:(4x2 -xy +9y2) Finalmente, la factorizacin es:8x3 +27y3 = (2x +3y)(4x2 -xy +9y2) 64 Ejemplo 2Factorizar27h3 -1 Solucin: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos trminos tienen raz cbica y signos diferentes. Las races son: 27b33= Sby 13= 1 Estas races son los trminos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es: (Sb -1). El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus trminos son el resultado de elevar al cuadrado los trminos del binomio (3h)2 = 9h2y(-1)2 = 1 El trmino restante es resultado de la multiplicacin de los trminos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga (3h)(-1) = -3h Con signo contrario resulta+Sb El trinomio factor es:(9h2 +3h +1) Finalmente, la factorizacin es:27h3 -1 = (3h -1)(9h2 +3h +1) VII.Factorizacin por agrupacin. Confrecuencia,esposibleagruparlostrminosdeunpolinomiodetalmanera que cada grupo tenga un factor comn, entonces el mtodo de factores comunes es aplicable. Se utiliza este mtodo en los ejemplos siguientes. Ejemplo 1Factoriceby ay bx ax +Solucin:Obsrvese que los dos primeros trminos tienen el factor comnx , y el tercero yelcuartotienenelfactorcomny .Portanto,lostrminosseagrupancomoa continuacin se indica) ( ) ( by ay bx ax + +y se procede como sigue: ) ( ) ( by ay bx ax by ay bx ax + + = + conxcomo factor comn del primer) ( ) ( b a y b a x + + =grupo con ycomo factor comndel ) )( ( y x b a + = segundo grupo y con b a +como factor Comn de) ( b a x + y ) ( b a y + . 65Ejemplo 2 Factorice y xy x x 5 10 22 +Solucin:) 5 ( 2 10 22+ = + x x x xy) 5 ( 5 + = x y y xy as que ) 5 ( ) 5 ( 2 5 10 22+ + = + x y x x y xy x x) 2 )( 5 ( y x x + = Ejemplo 3 Factoriceb a b ab a 2 2 22 2 + +Solucin:Ya que) ) 2 ( 22 2b a b a b ab a + = + y ) ( 2 2 2 b a b a = Se procede como est indicado a continuacin: ) 2 2 ( ) 2 ( 2 2 22 2 2 2b a b ab a b a b ab a + + = + +) ( 2 ) )( 2 ( b a b a b a + + = ) 2 2 )( ( + + = b a b aEjemplo 4 Factorice 2 2 22 4 b ab a c + Solucin: ) 2 ( 4 2 42 2 2 2 2 2b ab a c b ab a c + = + 2 2) ( ) 2 ( b a c =)] ( 2 )][ ( 2 [ b a c b a c + =) 2 )( 2 ( b a c b a c + + = Ejemplo 5 Factoriza25 3 10 6 a ax a x + + . Asociando( ) ( )2 25 3 10 6 5 10 3 6 a ax a x a a ax x + + = + + . Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer trmino de un polinomio debe ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la propiedad conmutativa. ( ) ( )25 10 3 6 a a ax x = + + +( ) ( )23 6 5 10 ax x a a = + + Factorizando:( ) ( ) 3 2 5 2 x a a a = + +Y de nuevo factorizando: ( )( ) 2 3 5 a x a = + 66 Ejemplo 6 Factorizar12 20 9 15 ax bx ay by + 12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 ) ax bx ay by ax bx ay by + = 12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 ) ax bx ay by x a b y a b + = (3 5 )(4 3 ) a b x y = I.Factorizar por factor comn 1)4 4 x + 2) 12 6 x +3) 18 27 x 4)3 29 6 x x 5) 3 3 bx b +6)yz xz xy 8 2 6 + 7) 2 215 5 5 y xy x + 8)a a 239) ab ab b a 9 12 32 2+ 10) 2 2xy xy + 11) 2 24 8 xy xy 12) 2 2 24 12 xy xy +13)2 26 4 10 xy xy xy + 14) 3 2 32 x xy xy + 15) 3 2 2 3 2 24 2 6 xy xy xy + 16)( ) ( ) x a b y a b + + + 17)3( 3) ( 3) a x a + + +18)) 1 2 ( ) 1 2 ( 4 + x x x19)) ( ) ( 3 b a x b a EjerciciosNombreVolvindonos hbiles en laFactorizacinNo.5Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 67 II.Factorice completamente por diferencia de cuadrados: 1) 216 x 2) 236 x 3) 29 25 x 4) 281 x 5)236 1 x

6) 24 81 x 7)2 216 9 y x 8) 2 49 4 x y 9) 4 2 24 9 a b c 10) 6 4a b 11) 2 464 9 y x 12) 4 649 81 d c 13) 6 124 121 t h 14) 64 10064 100 y x 15) 2 2 49xy y 16) 8 12 1036 9 a b c 17) 4 416 81 x y 18)2 2( 1) x y + 19) 4 ) 3 (2 +b a20)2 2) ( z y x + III.Completa la siguiente tabla: Diferenciadecuadrados Binomiosconjugados1.x2 - y2 (x + y)( )2.9m2 -81n2 (Sm + 9n) ( )3.121r2 - 144t2 ( )()4.2Sb2k2 - 16p2q2 ( )( Sbk - 4pq)5.62Sc2 - S29J2 ( )()6.o4 -b4 (o2 +b2)( ) = (o2 + b2)(o +b)( )7.m - n( )(m - n)8.S - 2b2(S + 2 g)()IV.Factorizar los trinomios de la forma x2 +bx +c siguientes: 1) 23 2 x x + +2) 27 12 x x + +3) 28 15 x x + 4) 29 20 x x + 5) 18 92+ + x x 6) 10 72+ x x 7)32 122+ x x8)30 132 + x x9) 24 21 x x + 10) 212 45 x x + 11) 23 18 x x 12) 28 12 x x +13) 2 232 12 y xy x + + 14) 2 29 6 y xy x + 15) 2 227 12 y xy x + + 16) 2 29 14 x xy y + 17) 2 211 28 x xy y + 18) 4 23 10 x x 19) 4 27 8 x x + 20)81 182 4+ x x21)2 ) ( 3 ) (2+ + + + y x y x22)18 ) 3 ( 9 ) 3 (2+ + + y x y x 68V.Si el rea de cada rectngulo est representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectngulos siguientes. Encuentra tambin el permetro de cada rectngulo: 1.2. VI.Factorizar los trinomios de la forma ox2 +bx +c siguientes a) 22 3 1 x x + + b) 23 7 2 x x + +c)22 7 6 x x + +d) 22 11 5 x x +e)23 4 1 x x +

f) 24 9 2 x x +

g) 22 5 2 x x +h) 23 11 6 x x + i) 24 8 6 x x +j) 22 15 8 x x + k) 23 7 6 x x + l) 24 5 6 x x m) 22 7 4 x x n) 24 15 4 x x ) 24 19 12 x x + + o) 26 5 4 x x p) 26 23 18 x x + q) 26 7 2 x x +r) 26 11 4 x x + s) 26 31 18 x x + +t) 2 23 16 12 x xy y u) 2 23 7 6 x xy y v) 2 24 8 5 x xy y w) 2 26 5 6 x xy y x) 4 25 8 4 x x + y) 4 22 5 12 x x z) 4 28 29 12 x x VII.Si el rea de cada rectngulo est representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectngulos siguientes. Halla tambin el permetro de cada rectngulo: 1. 2. p2 + Sp +2m2 + 7m + 1uSr2 + 8r - S12t2 + 17t +669VIII.Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 1.y2 - 14y + 498.64o4 +112o2b2 + 49b42.x2 - 16x +649.o6 - 16o3 + 643.p2 -2p + 110. g6 + 26g3 + 1694.b2 + 4by +4y211.16x10 - 8x5 +15.m2 - 6mn + 9n212.9t10 + 12t2 + 46.o2 + 8ob + 16b213.p3 - 18p2 +81p(primerofactoriceporfactorcomn)7.p4 +14p2 + 4914.r3 +24r2 + 144rIX.Si el rea de cada cuadrado est representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el permetro de los cuadrados siguientes. 1.2.3.X.Completa los espacios en blanco que llevan a la factorizacin de las expresiones indicadas: 1. o3 - 64b3 =Yaque o33=________________y 64b33=_____________Laexpresinesuna________________________________yaquesefactorizacomo:o3 - 64b3 =(______________)(____________________________)2.8x3 +216y3 =Yaque 8x33=________________y 216y33=_____________Laexpresinesuna________________________________yaquesefactorizacomo:x2 + 2x + 1x2 - 6xy +9y2o4 - 1uo2 + 2S708x3 +216y3 =(______________)(____________________________)3.27x3y6 + 12S =Yaque 27x3y6 =3________________y 12S3=_____________Laexpresinesuna________________________________yaquesefactorizacomo:27x3y6 + 12S =(______________)(____________________________)4.S4S - 8z3 =Yaque S4S3=________________y 8z33=_____________Laexpresinesuna________________________________yaquesefactorizacomo:S4S - 8z3 =(______________)(____________________________)5.(x + 2y)3 - 27y3 =Yaque (x +2y)33=________________y 27y33=_____________Laexpresinesuna________________________________yaquesefactorizacomo:(x + 2y)3 - 27y3 =(______________)(____________________________)XI.Factorizar por agrupacin los siguientes polinomios: 1) ay ax y x + + +3 32)cy cx ay ax 2 2 + 3)by bx ay ax + + + 4)y x y x 2 22 2+ 5) by ay bx ax + + +6) by bx ay ax + 2 27) by bx ay ax 3 6 2 +8) z y x az ay ax + + 9) b by bx a ay ax 6 6 6 3 3 3 + +10) az z y x ay ax 6 3 2 4 2 + 11) y xy x x 5 2 5 22 +12) y xy x x 4 12 32 + 13)22 2 a ab b a + 14)3 32 + x x x15) 2 4 22 + x x x16)12 3+ + + x x x17) 6 3 22 3+ x x x18) x x x x 2 22 3 4 + 71 1.Simplificacin de fracciones algebraicas 2.Suma y resta de fracciones algebraicas 3.Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas 1.A simplificar fracciones algebraicas 2.A sumar y restar fracciones algebraicas 3.Operaciones con multiplicacin y divisin de fracciones. Competencia2OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS -Simplificacin de fracciones algebraicas -Suma y resta de fracciones algebraicas -Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas -Fracciones complejas algebraicasSaberesEjercicios72 SIMPLIFICACIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se dice que una fraccin est en trminos mnimos o en su forma ms simple si el numeradoryeldenominadornotienenfactorcomn.Aspodemosdeterminarsi unafraccinestensustrminosmnimosexpresandoelnumeradoryel denominadorcomoproductosdesusfactoresprimos.Cualquierfactorque aparezcatantoenelnumeradorcomoeneldenominador,puedeentoncesser removido por divisin. Esto es, Nota:Losnmerosaycenlaexpresin bcacsonfactoresdelnumerador,no trminoscomoena+c.Tambinlosnmerosbycsonfactoresdel denominador,no trminos. Lafraccin c bc a++nosepuedereduciraningunaformamssimple;noes igual a bani a11++ba. Anlogamente, 6565 bab a +=+Peroababaaab a6 656 6565+ = + =+SaberesNombreSimplificacin de fracciones algebraicasNo.1Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para simplificar una fraccin algebraica Manera didctica de lograrlos Medianteexposicinytareas73Paraencontrarelmximofactorcomn,M.F.C.,deunconjuntode polinomios,sefactorizanlospolinomioscompletamenteysetomantodoslos factorescomunes,cadaunoconelmnimoexponenteconqueapareceenlos polinomios dados.Parareducirasustrminosmnimosunafraccincuyonumeradory denominadorsonmonomios,sedividentantoeldenominadorentresumximo factor comn.Ejemplo 1: Reducir32 35436abcc b a a sus trminos mnimos. Solucin. El mximo factor comn de los monomios c b a2 336 y 354abc es abc 18 .Dividiendonumeradorydenominadorentre18abc,seobtiene.2232 3325436cb aabcc b a= .Ejemplo 2:Reducir a su mnima expresin.( )( )4 26 32 202 36x xyx y x.Solucin.Elmximofactorcomnes ( ) 2 42 x xy .Aldividirelnumeradorydenominadorentre ( ) 2 42 x xy ,obtenemos( )( ) ( )34 24 26 32 592 202 36=xy xx xyx y xPara reducir a sus trminos mnimos una fraccin cuyo numerador o denominador oambossonpolinomios,sefactorizancompletamente,sedeterminasumximo factor comn y luego se dividen por este. Ejemplo 3: Reducir2 22 3 21218 30y xxy y x a sus trminos mnimos.74Solucin.2 22 3 21218 30y xxy y x ( )2 22123 5 6y xxy xy = Dividiendo el numerador y denominador por26xy ,se obtiene2 22 3 21218 30y xxy y x ( )2 22123 5 6y xxy xy =xxy23 5 = .Ejemplo 4: Reduciry x y xy x4 2 3348 3624+a su mnima expresin. Solucin.y x y xy x4 2 3348 3624+ ( ) x y y xy x4 3 122433+= Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener y x y xy x4 2 3348 3624+ ( ) x y y xy x4 3 122433+=x y 4 32+= .Ejemplo 5:Reducir 13 222 +xx x a su mnima expresin. Solucin.Alfactorizarelnumeradorydenominador,obtenemos13 222 +xx x ( )( )( )( ) 1 11 3 2 + +=x xx xDividiendo el numerador y el denominador, entre su mximo factor comn,( ) 1 x ,1resulta 13 222 +xx x( )( )( )( ) 1 11 3 2 + +=x xx x2 31xx+=+175NotaLa fraccin 13 2++xx esta reducida; el numerador y el denominador no poseen ningn factor comn. Notas:1. ( ) a b a b b a = + = 2. ( ) ( ) | | ( )2 2 2a b a b b a = = 3. ( ) ( ) | | ( )3 3 3a b a b b a = = Ejemplo6: ( )( )1 = =a ba ba bb aHay que observar tambin quebababa =+=+.Ejemplo 8:Reducir224 7 23 14 8x xx x + .Solucin.224 7 23 14 8x xx x + ( )( )( )( )( )( )( )( ) 23 24 1 23 2 4 14 1 23 2 1 4 = + = + =xxx xx xx xx x ( ) ( ) | | x x 4 1 1 4 = 76 I.Reducir las siguientes fracciones a sus trminos mnimos: 1.36xx 2.72xx 3.25128xx 4.63249xx5.2 5 23 46354c b ac b a 6.3 8 65 4 88064z y xz y x 7.b aabc2315208.44 573a bab| | |\ . 9.( )( )22 23362b ab a 10.( )( )233263abb a 11.( )( )23 363b a xb a x++12.( )( )32 22 162 12x xx x13.( )( )4 22 2 32114y x xyy x y x14.3 2232 1616 8x xx x++15.b a aab b a2 32 24 42 216.22 2) 3 (9b ab a+ 17.3 4122+ + x xx 18.9 624 1122+ + x xx x19.4 324 1022 + x xx x20.9 412 11 222 + xx x21.1 4 31 222+ + +x xx x22.3 11 42 7 422 + +x xx xEjerciciosNombreA simplificar fracciones algebraicasNo.1Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 77Respuestasalosejerciciosanteriores1.3x ;3.323x;5.c ba2276;7.ac343 ;9.ba92511.2) (2b a x +;13.22) ( 32y xx;15.ab2;17.31+xx;19.16+xx;21.1 31 2+xxII.Sealar la respuesta correcta de las siguientes preguntas: 1.Al simplificar la fraccin 78x1y2z8117x9y8zla respuesta correcta es:a) 2xy3z2 b)2xz23y c)4xz29y d)4x2z29y5 2.Al simplificar la fraccinm2n324m4n5-42m2n4el resultado es:a) n4m2n2-7b)n4m2n2-7nc)14m2n2-7nd)14m2n2-73.La simplificacin de la fraccin algebraicax2-32x2h-12xhes: a)x+2xhb)2hc)x+2x d)2xh78 ADICCIN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Laadiccindefraccionesalgebraicasessemejantealadefracciones aritmticas.Empezaremostratandolasumadefraccionesalgebraicascon denominadores iguales, y luego, extenderemos el anlisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos. FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES. Sedefinelasumadefraccionescondenominadoresigualesmediantela relacin. cb acbca += +Estomuestraquelasumadedosfraccionesconelmismodenominadores una fraccin cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el denominador comn. Ejemplo 1:Efectuarx x2 3+ SaberesNombreSuma y resta de fracciones algebraicasNo.2Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para desarrollar una suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 79Solucin.x x2 3+ x x5 2 3=+= Observacin.Paraevitarerroresalsumarlosnumeradores,esnecesario encerrarlosentreparntesis,aplicarlaleydistributivayluegoefectuar operaciones. Despusdecombinarlasdosfraccionesenunasola,sereducentrminos semejantes y la nueva fraccin a su mnima expresin. Ejemplo 2: Efectuar x+32x2 +x-32x2Solucin.x+32x2 +x-32x2( ) ( )x xxxx xxx x 12223 323 32 2 2= = + += + += Ejemplo Efectuar2224+++ xxxSolucin.2224+++ xxx( )222 222 4=++=++=xxxx.Ejemplo 3: Efectuar22222222 + + x xx xx xxSolucin.22222222 + + x xx xx xx ( ) ( )22 222 222 22 22 222 2 + = ++ = + =x xxx xx x xx xx x x( )( )( ) 221 21 2+= +=x x xx.Ejemplo4: Efectuar3 11 43 53 11 492222 +x xx xx xx x80Solucin.3 11 43 53 11 492222 +x xx xx xx x ( ) ( )3 11 43 5 93 11 43 5 922 222 2 + += +=x xx x x xx xx x x x( )( )( )( )( )( ) 1 443 1 43 43 1 43 43 11 44 1222+ = + = = =xxx xx xx xx xx xx x.Observacin.Lareglaparasumarfraccionessepuedeextenderacualquiernmerodeellas. + + +cacaca3 2 1cacaca acan + +++ +3 2 1ca a a an+ + + + 3 2 1 MNIMO COMN MLTIPLO DE POLINOMIOS. Paraobtenerelmnimocomnmltiplo(m.c.m.)deunconjuntodenmeros,se descomponenstosensusfactoresprimosyseescribenconsusexponentes respectivos.Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor. Definicin.Unpolinomiopeselmnimocomnmltiplo(m.c.m.),deun conjunto de polinomios, si: 1. Cada polinomio del conjunto divide ap y2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es tambin divisible porp.Paraencontrarelm.c.m.deunconjuntodepolinomios,sefactorizanlos polinomioscompletamenteysetomantodoslosfactoresdistintos,cadaunoala mxima potencia que aparezca en los polinomios dados. Ejemplo 1Determinar el m.c.m. dex2y,xy3 yy2z. Solucin.Los factores literales son x, yyz.La potencia mxima de x es 2, la de yes3, y la dezes 1. Por consiguiente,m.c.m.=x2y3z. Ejemplo 2 Hallar el m.c.m. de60x3,72y2 y 80xy. Solucin.5 3 2 602 =81 2 33 2 72 =5 2 804 =Por lo tanto,el m.c.m. de los coeficientes= . 720 5 3 22 4= El m.c.m.de los monomios2 3720 y x = . Ejemplo 3 Determinar el m.c.m. dex(-2), (x-3)(x-2) y(x-2)2. Solucin. Los factores distintos sonx, (x-2)y(x-3). La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1. Por consiguiente,m.c.m.=x(x-2)2 (x-3). Obsrvese que el m.c.m.de (x-3)y(x-5)es(x-3)(x-5). Ejemplo 4Encontrar el m.c.m. de x2-xy x2-1. Solucin. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.( ) 12 = x x x x( )( ) 1 1 12 + = x x xPor lo tanto, m.c.m.= ( )( ) 1 1 + x x x . Ejemplo 5 Hallar el m.c.m.de 2x2 + 3x-2y2x2-7x+3.82Solucin. ( )( ) 2 1 2 2 3 22+ = + x x x x( )( ) 3 1 2 3 7 22 = + x x x xEntonces, m.c.m.=( )( )( ) 3 2 1 2 + x x x . Ejemplo 6 Obtenerel m.c.m.1 3 22+ x x , 21 x y 1 22 + x x . Solucin. ( )( ) 1 1 2 1 3 22 = + x x x x( )( )( )( ) 1 1 2 1 21 1 122+ = + + = x x x xx x x

Puesto que( ) ( ) 1 1 = x x , podemos escribir ( ) x 1 como ( ) 1 xo bien,( ) 1 xcomo ( ) x 1 . Reacurdese que. 1 1 + = + x xPor lo tanto, ( )( ) 1 1 2 1 3 22 = + x x x x( )( ) 1 1 12 + = x x x A si que, m.c.m. ( )( )( ) 1 1 1 2 + = x x x . ( )( ) 1 1 2 1 22+ = + x x x x83 FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS. Lasfraccionessepuedensumarsolamentecuandosusdenominadoresson iguales.Si los denominadores no lo son, se obtienen su mnimo comn mltiplo, llamadomnimocomndenominador,m.c.d.(noconfundirconM.C.D.que significa mximo comn divisor).Se cambia cada fraccin a una equivalente que tengaelm.c.d.Comodenominadormediantelaregla, bcacba= yluegose efectanoperaciones.Lasumadefraccionesalgebraicascondenominadores distintoses,porlotanto,unafraccincuyonumeradoreslasumadelos denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominadores el mnimo comndenominador(m.c.d.).Lafraccinfinaldebeconducirseasustrminos mnimos. Ejemplo 1Efectuarx x x 32 6272 + Solucin.El m.c.d. =6x2. Escribimos fracciones equivalentes con denominador6x2y luego se realizan operaciones. x x x 32 6272 +( )( )( )( )( )( ) x xxx x xx2 32 266 63 23 72 + =( ) ( ) ( )2 2 262 266 663 7xxx xx + = ( ) ( ) ( )2 2 2636 1764 36 2162 2 6 6 3 7xxxx xxx += += += .Ejemplo 2Efectuarla operacin y simplificar223 ++ x xxSolucin.El m.c.d. =( )( ) 2 3 + x x . Alescribirfraccionesequivalentescondenominador ( )( ) 2 3 + x x yefectuarluego la suma, obtenemos. 223 ++ x xx ( )( )( )( )( )( ) 3 23 22 32+ ++ +=x xxx xx x( ) ( )( )( ) ( )( ) 2 36 2 22 33 2 22 ++ + = ++ + =x xx x xx xx x x( )( ) 2 36 + +=x xx.84En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinarlosnumeradoresdelasfracciones,escribimosunasolafraccinconel m.c.d. como denominador.Se divide el m.c.d.por el denominador de la primera fraccinyluegosemultiplicaelcocienteresultanteporelnumeradordeesa fraccinparaobtenerlaprimeraexpresindelnumerador.Serepiteel procedimientoconcadafraccinyserelacionaconlosresultadosmediantelos signos de las fracciones correspondientes. Ejemplo3( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 2 3 413 6 4 20 9 22 313 63 420 9+ + + +=+ + x x xx x x xx xxx xxElnumeradornoseencuentrafactorizado;asnoesposibleefectuarreduccin.Hayqueasegurarsedeponerelproductoentreparntesisprocediporelsigno adecuado. ( ) ( )( )( )( ) 2 3 452 11 6 40 2 92 2+ + + =x x xx x x x( )( )( ) 2 3 452 11 6 40 2 92 2+ ++ =x x xx x x x( )( )( )( )( )( )( )( ) 2 3 43 4 32 3 412 13 32+ + =+ ++ =x x xx xx x xx x( )( ) 2 44 3+ +=x xx.85Ejemplo 4 Efectuarla operacin y simplificar.2 2 23 454 9 22 31 22x x x xxx xx ++ + +Solucin.2 2 23 454 9 22 31 22x x x xxx xx ++ + +( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x xxx xx +++ + +=1 454 1 22 31 1 22Tomamoselm.c.d. ( )( )( ) 4 1 1 2 + + = x x x ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x xxx xx + ++ + +=1 454 1 22 31 1 22( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x xxx xx ++ + +=1 454 1 22 31 1 22( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) 4 1 1 21 2 5 2 3 1 2 4+ ++ + +=x x xx x x x x( ) ( )( )( )( ) 4 1 1 25 10 2 5 3 8 62 2+ + + + +=x x xx x x x x( )( )( ) 4 1 1 25 10 2 5 3 8 62 2+ + + + +=x x xx x x x x( )( )( )( )( )( )( )( ) 4 1 1 21 2 14 1 1 22 12+ + +=+ + +=x x xx xx x xx x( )( )( )( )( ) 414 1 1 21 2 1+ =+ + + =x x x xx x.86I.Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas: 1.Al sumar las fracciones algebraicas2x-33z+3x+43zel resultado es:a) 5x+6zb)x+3z c)5x+3zd)x+6z 2.Al restar las fraccionesx+2x-3-x-2x-3el resultado es:a) 2x+42x-6b)4x-3c)42x-6d)u3.Al sumar ysimplificar las fraccionesu5 -4u10 +7u25 el resultado es:a) 2u25b)4u25c) 2oSud)u25 EjerciciosNombreA sumar y restar fracciones algebraicasNo.2 Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 874.Alefectuarla simplificacin de las fracciones16x24x2-1-4x2x-1-6x2x+1resulta:a) x2x+1b)x2x+1c)2x4x2-1d)-2x2x+15.Alsumar y simplificar las fraccionesx+12x-3-x-12x+3+2x2-7x4x2-9 resulta:a) 3x2x+3b)x2x-3c)2x2x+3d)2x2x-3II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador:1.x x x5 2 6 + 2.x x x 212327 3.2 2 25 15 20x x x 4.5 355 32+ x xx 5.2 21+xxxx 6.3 223 22 3++++xxxx 7.2 72 72 714++ xxxx 8.1212 x xx 9.2 5 2 53 42 2++++xx xxx x 10.2 412 41 3++xxxx 11.5 265 24 3+xxxx12.x xxx xx8 448 442 2+ 13.4 334 31 22 2 + x x x xx 14.3 5 2 3 5 222 22 + + x xxx xx 15.6 11 236 11 23 22222 + x xx xx xx x 16.2 3 2 332222+ ++ x xx xx xx x88Respuestaalosejerciciosimparesanteriores1.x3;3. 0 ;5.21 x;7.1;9. x ;11. 2 ;13.42 x;15.1 2 + xx;III. Reducir a una sola fraccin y simplificar: 1.x x x 5627 3+ 2.yxyxyx5223+ 3.x x x 56 4322 + 4.2 221313 3x x x + 5.xxxx2251 3 ++6.xxxx10542 ++7.xxxx73146 7 8.251 533xxxx +9.254+ +xx 10.4533++ x x11.3 232 ++ x xx12.213 2 ++ x xx13.113 22+ x x14.111 22+ x xx15.3 962++ xxxx16.2 232++ + xxx xx17.1 224 7 28 32+ x x xx18.9181272 2+ x x xx19.4 524 32 32 2 + x xxx xx20.242344 42++x x xx21.4115 21112 77 22 2 + ++ x x xxx xxRespuestaalosejerciciosimparesanteriores1.x 107;3.21560 28xx ;5.xx108 11 ;7.145;9.2) 1 )( 3 (+ +xx x;11.) 3 2 )( 2 (6 22 ++x xx;13.) 1 )( 3 2 (5+ x x;15.3 xx;17.) 4 )( 1 2 ( + x xx89 MULTIPLICACIN DE FRACCIONES. El producto de las fraccionesba ydcse definecomobdac;o sea bdacdcba= . Asqueelproductodedosfraccionesesunafraccincuyonumeradoresel producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores.En general, nnnnbababab ba ababababa 44332 12 1332211 = nnbabab b ba a a443 2 13 2 1 = nnb b b ba a a a3 2 13 2 1= Nota: Redzcase siempre la fraccin resultante a sus mnimos trminos. SaberesNombreMultiplicacin y divisin de fracciones algebraicas No.3Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para desarrollar una multiplicacin o divisin con fracciones algebraicas Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 90Ejemplo 1Encontrar el productoy xb a22 3827y2 228116b ay x.Solucin.baxb ya xy x b ab ay xy xb a3281 816 2781168273 2 23 2 33 2322 3== Nota:Es ms fcil reducir81 816 27que648432,que es el resultado de los productos de loscoeficientes.Esdecir,nosepuedemultiplicarlosnmeroshastaquelafraccinhayasido simplificada. Ejemplo 2 Simplificar( )( )( )( )33 322 323 2 334 2 29423y xy xy xy x.Solucin.( )( )( )( )33 322 323 2 334 2 29423y xy xy xy x( )( )( )( )33 3 222 3 223 2 334 2 23223y xy xy xy x= .9 9 64 6 46 4 612 6 63223y xy xy xy x= =-3624x12162636x131S = -22x = -4xParamultiplicarfraccionescuyosnumeradoresodenominadoressonpolinomios, primeramentesefactorizanestoscompletamente.Seconsideranlasfracciones comounasola,ysedividenlosnumeradoresydenominadoresporsumximo factor comn para obtener una fraccin equivalente ya reducida. 91Ejemplo 3Simplificar3 10 31 65 11 232222+ ++ +x xx xx xx x.111Solucin.3 10 31 65 11 232222+ ++ +x xx xx xx x( )( )( ) ( )( )( )( ) 5 1 3 31 2 1 35 1 23+= + + + =xxx xx xx xx x.111DIVISIN DE FRACCIONES De la definicin de divisin de fracciones, tenemosque:a c a db d b c = . Elresultadoanteriormuestracomotransformarladivisindefraccionesenuna multiplicacin de fracciones. Las fracciones dcy cdse llaman inversas multiplicativasoreciprocas. Nota:La reciproca de la expresin a + b esb a +1,nob a1 1+ . La reciproca de b a1 1+ es b a1 11+o en forma simplificada,a bab+. ababb a b a+=+1 111 11a babbabaababb aabab+=+=|.|

\|+=1 11Ejemplo 1 Simplificarbaba20953223 .Solucin.baba2095322332 23 20 45 9 3a b ab a b= =92Nota: Obsrvese la diferencia entre bcfadefecdbafedcba= = ybceadfcedfbadfcebafedcba= = =||.|

\| .Ejemplo 2 Simplificar35 37 67 20 1215 17 43 2 82222+ + +x xx xx xx x.Solucin.35 37 67 20 1215 17 43 2 82222+ + +x xx xx xx x ( )( )( )( )( )( )( )( ) 7 6 57 6 1 25 3 43 4 1 2 ++ =x xx xx xx xPonindolocomo un producto: 1111( )( )( )( )( )( )2 1 4 3 ( 5) 6 714 3 5 (2 1) 6 7x x x xx x x x + = =+ 1111Ejemplo 3 2 2 22 2 224 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20x x x x x xx x x x x x+ + + + + +Solucin:2 2 22 2 224 49 40 36 63 88 72 18 7754 51 14 27 30 8 8 37 20x x x x x xx x x x x x+ + + + + +Es mejor ponerla toda como un producto (8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)x x x x x xx x x x x x + + + = + + 3 44xx+=93 OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS. Enlasseccionesanteriorestratamoslaadicinysustraccindefracciones,as comosumultiplicacinydivisin.Entodosloscasoslarespuestafinalfueuna fraccin en forma reducida.En esta seccin se usaran las cuatro operaciones en unsoloproblemaytambinserequerirquelarespuestafinalseaunafraccin reducida. Cuandonohaysmbolosdeagrupacinenelproblema,primerose efectuaranlasmultiplicacionesydivisionesenelordenenqueaparecen.Solamentedespusdequetodaslasmultiplicacionesydivisionessehan realizado, se efectan las adiciones y sustracciones. Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: 1 3 23 5 23 46 21 25222+ ++ ++ x xx xx xxxSolucin.1 3 23 5 23 46 21 25222+ ++ ++ x xx xx xxx( )( )( )( )( )( )( ) 1 1 23 1 21 33 21 25 + ++=x xx xx xxx111=52x+1-2(x+3)(x-3)(x-1)(2x-1)(x-1)(2x-1)(x+3)111( ) ( )( )( ) 3 1 21 2 2 3 5321 25 ++ =+=x xx xx x ( )( ) ( )( ) 3 1 2173 1 22 4 15 5 + = + =x xxx xx x.Cuando hay smbolos de agrupacin, como en el problema |.|

\|+ |.|

\|+212324x xxx 94setienelaopcindeefectuar primero la multiplicacinobienlasoperacionesde los trminos, dentro de los parntesis.Este ltimo es mas sencillo como se ilustra en los ejemplos siguientes: Ejemplo 2Realizar las operaciones indicadas y simplificar:|.|

\|+|.|

\|+212324x xxx Solucin.|.|

\|+ |.|

\|+212324x xxx( ) ( )( ) ( ) ( ) 212 6 324 2212 2 3) 2 (4 22 + + += + + +=xxxx x xxxxx x x( ) ( )( )( )( )xxxxx xxxxx x322 32226 3222=++=++= .Ejemplo 3Realizar las operaciones indicadas y simplificar: |.|

\|++ + |.|

\|9 293 29xxxx Solucin.|.|

\|++ +|.|

\|9 293 29xxxx( )( )( )( ) 9 29 9 23 29 3 2+ + + =xx xxx x( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 3 3 29 2 33 3 29 23 23 3 29 29 9 23 29 3 22 2+ ++ =+ + + +=+ + + =x xx xx xxxx xxx xxx xNota:Puestoque ( ) ( ) d c b a + + sepuedeescribircomod cb a++,podemosexpresar|.|

\| + |.|

\|+ 2 24 436 113x x x xenlaforma224 436 113x xx x ++ lacualsellamafraccincompleja.95Dada una fraccin compleja, es posible simplificar el problema como est, en forma defraccin,oescribirloenformadedivisin,ysimplificar.Avecespuedesimplificarsefcilmenteuna fraccin compleja multiplicando numerador y denominador por el mnimo comn mltiplodetodoslosdenominadoresqueintervienen.Ejemplo 4 Simplificar18111278394.Solucin.252544 4227 321811127172839417218111278394 ===|.|

\||.|

\|=Ejemplo 5 Simplificar5 3122 31 3135+ +++ xxxxSolucin.5 3122 31 3135+ +++ xxxx( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) | |( ) ( )( ) | | 12 2 3 5 3 1 313 5 1 3 5 35 3122 315 3 1 31 313515 3 1 3+ + ++ + =((

+ + +((

++ +x x xx x xxxx xxxx x( )| |( )| |( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 3 1 34 5 31 3 2 3 1 34 2 3 5 32 9 9 1 38 14 3 5 312 10 9 9 1 313 5 14 3 5 32222 + = + =+ ++ =+ ++ x xx xx x xx x xx x xx x xx x xx x x96I. Efectu las siguientes multiplicaciones y simplifique: 1.272032396536 2.12815125588764 3.xyyx232249 4.6 38 24 23 27214b ay xy xb a 5.2 786 83 533281660263935b axyy xb ab ay x 6.23322|.|

\| ||.|

\| xyyx7.( )( )( )( )3333 232222394y xy xxyy x 8.( )( )( )( )43 2222432 335106y xxyxyy x 9.20 432 630 62223++xx xx xx x10.3 21 224 23 42 ++ x xy xy xx x 11.15 820 912 79 62222+ ++ ++ ++ +x xx xx xx x12.15 216 1014 921 102222 ++ + + x xx xx xx x 13.x xx xx xx x11 2813 4213 409 202222 + + + +EjerciciosNombreOperaciones con multiplicacin y divisin con fraccionesNo.3Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 9714.2 22 22 22 220 19 36 7 33 20 75 36 7y xy xy xy xy xy xy xy x+ + ++ Respuestaalosejerciciosimparesanteriores1.21;3.yx29;5.4 5392x ay;7.2743xy9.43x;11.1;13.86xx;II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones: 1.15 4526 39 2.56 63 2738 57 16 3.2 3210 49 27x xy y 4.2 3 32 417 5126 13a b a bx x 5.2 3 42 6 36 158 12a b a bxy xy 6.2 4 4 94 2 3 64 89 27a b a bxy xy 7.3 4 3 22 2 2 2xy a b ba b xy y 8.2 2 63 314 425 10a b bb a a 9.3 22 2 243 3x xx xy x y 10.3 3 22 22 1x x x xx x x x+ +11.2 22 29 6 272 3 10 9x x xx x x x+ + +12.2 22 22 8 4 43 4 6 8x x x xx x x x+ + +13.2 22 24 12 10 67 6 7 8x x x xx x x x + + + + 14.2 22 23 2 6 165 4 20x x x xx x x x + + + + + 15.2 2 22 2 212 35 18 6 23 18 4 19 122 17 36 6 19 36 12 11 36x x x x x xx x x x x x + + + Respuestaelosejerciciosimparesanteriores1.12;3.152yx ;5.22 335baxy;7.2a xy ;9.4( )3x y +;11.229( 3)xx++;13.1;15.(3 2)(4 3)(2 9)(3 2)x xx x +98III. Efectuar las siguientes fracciones complejas: 1.128 23 332222 + +++ xx xx xxx2.8 616 812 412 33 22 2+ ++ ++ ++ x xx xx xxxx3.1112|.|

\| xxx 4.1 9262|.|

\|+xxx 5. |.|

\|+|.|

\| +1 31113x x6. |.|

\|+|.|

\|2214x xx 7. |.|

\|+|.|

\|2 32343xxxxx 8. |.|

\|+|.|

\|1 211 21xxxx 9. |.|

\|+ + |.|

\|+ 295 2131xxxx 10. |.|

\|++|.|

\|4141 44 x x xx11. |.|

\|+ |.|

\|+1 2971 232x x12. |.|

\|++ |.|

\|++ 3 23310 33 2114 3xxxx 13.3212143 14.1813614387+ 15.223 11411 12x xx x Respuestaalosejerciciosimparesanteriores:1.5 1( 3)( 4)xx x++ ;3.11 x +;5.3;7. (3 2) x x ;9. ( 2)(2 1) x x + 11.4 114 2xx;13.34 ;15.44 1xx++99 1.Exponentes enteros, negativos y cero2.Exponentes fraccionarios 3.Operaciones con radicales 1.A practicar los exponentes positivos, cero y negativos 2.A practicar los exponentes fraccionarios 3.A practicar los radicales Competencia3EXPONENTES YRADICALES -Exponentes positivos, cero y negativos -Exponentes fraccionarios -Simplificacin de radicales -Adicin y sustraccin de radicales -Multiplicacin y divisin de radicalesSaberesEjercicios100EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS LEYES DE LOS EXPONENTES Seaan=a.a.aa(nfactores)La cantidadanes llamadalan-simapotencia de la basea, yn es llamado el exponente. En este capitulo extenderemos la definicin de exponentes para incluira todos los nmerosracionales.Antesdepasaranuevosexponentes,sinembargo recordaremoscincoleyesdelosexponentesquesonvalidasparalos exponentes enteros positivos.La base a y b en el enunciado de las leyes pueden sercualquiernmerosrealesparaloscualesnoseanuleningunodelos denominadores en consideracin.LEYILEYII si LeyIII si LeyIV SaberesNombreExponentesenteros, negativos y ceroNo.1Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para simplificar una expresin que contenga exponentesenteros, negativos y cero Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 101aman=1n-msim < nLeyV[ahm=amhmsib = uAhoradeterminaremos qu significado hay que darle al smbolo a0.Si la Ley II ha de ser vlida cuando m = n, tenemos Estadivisinnosdar,deacuerdoconlaLeyII,unexponentenulo.Pero cualquiernmerodistintodecerodivididoporsmismotienecomococientea1.Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera: LeyVIa = 1Dividiendo ambos miembros de esta ecuacin por an, tenemos LeyVIIa-n =1an(a = )Miscelnea de problemas resueltos Ejemplo1:S3 S2 = S3+2 = S5 = 24SEjempo2:(S2)3 = S23 = S6 = 729Ejemplo3:(4 S)0 = (2u)0 = 1Ejemplo4:(S-2)3 = S-6 =136 =1729Ejemplo5:(-S)2(-S)-2 = (-S)2+(-2) = (-S)0 = 1Ejemplo6:[43-2= [4-23-2 = _142132_ = [3242 =916Ejemplo7:(4o2b3)2(2ob2)3 = (16o4b6)(8o3b6) = 128o7b12Ejemplo8:2-3x-233-2x-32 =32x-2-(-3)3-223=9x-2+38=9x8 0a aaan nnn= =( ) 0 = a102Ejemplo9:(2x23)2(2x2)3=4x468x36 =x4-36-62=x02=x2Ejemplo10:[p3q-350pq-2-2= [p-6q6p-2q4 = p-4q2 =q2p4Ejemplo11:x2+y2x-2+y-2 =x2+y21x2+ 1y2=x2+y2y2+x2x2y2=x2+y21y2+x2x2y2=(x2+y2)(x2y2)y2+x2= x2y2103I.Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de los exponentes. 1.22.23 2.(23)2 3.414.(4)05.(2a)0 6.337.52.53 8.(52)2 9.(2.3)210.(42)2 11.(3)2 12.(3.8)013.171|.|

\| 14.132|.|

\| 15.(2.70)4EjerciciosNombreA practicar los exponentes positivos, cero y negativosNo.1Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema Competencias genricas a desarrollar Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Manera didcticas de lograrlas Participacin activa cuando surjan las respuestas o dudas 104II.Simplifiquecadaexpresinrealizandolasoperacionesindicadasydejandoel resultado sin exponentes negativos o nulos. 16.(2xy)2(3xy3) 17.(x2y2)1(x3y0)2 18.(ab3)(a1b1)119.2 21 2 b ab a 20.b ab a4 12 2 123 21.2 0 13 2 2105 b ab a22.22237 37|.|

\|||.|

\|xzyzx 23.( )( )36 335 448y xy x 24.( )( )3223510y xxy25.21 02 32 ||.|

\|rq p 26.314 2 ||.|

\|pqq p 27.120 3||.|

\|rq p28.11 123 2 + 29.1 11 11 21 2 + 30.11 135 3 31.2 21 1x yx y +32.22 2yx y 33.2 22( )x yxy +Solucinalosejerciciosimparesanteriores:1. 32;3.14 ;5.1;7.15 ;9.136 ;11.19 ;13. 7 ;15.116 ;17.4 2x y 19. b ;21.2 525a b;23.338xy;25.6 42pqr;27.23rp;29. 3 ;31.2 21xy xy +33.2 2x y + 105 EXPONENTES FRACCIONARIOS Enestaseccinvamosaextenderlaideadeexponentesparaincluirtodos losnmerosracionales.Sinembargo,antesdeintroducirlosexponentes fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definicin. Definicin. Siaybson dos nmeros tales que lan-sima potencia dea(siendonunenteropositivo)esigualab,entoncesaesllamadalan-sima raz deb.De acuerdo con esta definicin, las ecuaciones22 = 4,(-2)2 = 4,33= 27,(-3)3= -27 muestran que+2y- 2son races cuadradas de 4, que 3 es una raz cbica de 27.Puestoquecuatrotienedosracescuadradas,podraunopreguntarse cuntasracesn-simastieneunnmero.Aunquelademostracinaparece posteriormente,enunciamosahoraquetodonmerononulotienedosraces cuadradas,tresracescbicas,cuatroracescuartas,ayassucesivamente.Peroalgunasdeestasracesserefierenaunnuevosistemanumrico.Este nuevosistemanumrico,queintroduciremosdespus,noesnaturalmenteel sistema de los nmeros reales.Vemos de inmediato que un numero negativo no tienerazrealdeordenpar(cuadrada,cuarta,sextayassucesivamente).Esto esciertoporquecualquierpotenciapardeunnueceropositivoonegativoes nmeropositivo.ahoradeseamosconcentrarnuestraatencinsolamenteenlos SaberesNombreExponentesfraccionarios No.2Instrucciones para el alumno Lee y analiza la informacin y aclara cualquier duda con tu profesor Saberes a adquirirEl alumno adquirir la habilidad para simplificar una expresin que contenga exponentesfracciopnarios Manera didctica de lograrlos Mediante exposicin y tareas 106nmerosreales.Diferiremosparadespus,portanto,laconsideracinde nmeros y races de nmeros que son reales. Enloqueserefierealasracesdelosnmeros,escribimoslossiguientes enunciados, pero sin demostracin:1. Unnumeropositivotieneexactamentedosracesparesreales,siendouna de ellas positiva y la otra negativa. 2. Unnmeropositivoonegativotieneexactamenteunarazdeordenimpar, siendo el signo de la raz igual al signo del nmero. 3. Un nmero negativo no tiene races reales de orden par. Sines un nmero entero positivo, par, la raz positivan-simaprincipal de a.Cuandones impar, la raz n-sima real de un numero positivo o negativoaes llamada la razn-sima principal.La razn-sima principal de un numero se denotapor.na Elsmbolo na esllamadounradical,aesllamadoelradicandoyn es llamado elndice,uorden del radical.Estamos excluyendo de nuestraconsideracinelcasoenqueelradicandoesnegativoyelndiceesun nmero par. Tenemos a continuacin algunos ejemplos de races principales, 6 36 = , 2 83= , 3 814= 2 325 = Observamos que-6 es raz cuadrada de 36 y de -3 es una raz cuarta de 81, pero ninguna es raz principal.El negativo de lan-sima raz principal de un numeroase denota porna . Por tanto, 3 814 = . Estamosahoraenposicindedeconsiderarexponentesdelaformam/n, dondemes un entero positivo o negativo ynes un entero positivo.Tomamos en primer lugarm =1 y buscamos una interpretacin de .1 na Si la Ley IIIha de ser valida, tenemos _o1n]n= onn = o107En esta ecuacin muestra lan-simapotencia de dena1 es igual a a,o bien, que na1esunan-simarazdea.Especificandoestarazcomolan-simaraz principal dea, tenemos por definicin o1n =on En esta definicinapuede ser cualquier numero real cuandones impar, pero excluimos los valores negativos deacuandones par. Aplicando la LeyIII nuevamente, con el enterom = 1, tenemos omn= (om)1n =omny, adems, omn= [o1nm= (on)m Resumiendo, tenemos la siguiente definicin: Si m/nes un nmero racional conn positivo, entonces omn=omn= (on)m La forman ma significa la n-simaraz principal deam, y la forma ( )mna significalam-simapotenciadelarazn-simaprincipaldea.Encada forma el denominadorndel exponente indica una razy el numeradormindica unapotencia.Sinembargo,nuevamentenotamos,quenrepresentaaqua cualquier entero positivo ym representa a cualquier entero positivo o negativo. Iniciamosnuestroestudiodeexponentesdefiniendoexponentesenteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operacin.Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los nmerosracionales.Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos,es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales. Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrarqueunexponentefraccionariopuedereducirseatrminosmnimos.As sim,nycson enteros,nycson no nulos, tenemos ocmcn= [omncc= omn 108Ejemplo1. ( ) 4 2 8 8223 3 2= = =otambin 823 =823=643= 4 Ejemplo 2. ( )27131811813 344 3= = =. Ejemplo 3. ( ) ( ) ( ) 8 2 32 323355 3 = = = . Ejemplo 4. ( )( )2 2 4 5 4 3 3 1 3 5 4 5 3 1 4 3 3 5y x y x y x y x = =+ +. Ejemplo 5. cb ac bac ba24 43 1 3 23 13 2 2 12 12 3 23 4= =||.|

\|. 109 I. Encuentre el valor de cada expresin. 1.2 116 2.2 54 3.3 164 4.3 2278|.|

\| 5.2 394|.|

\| 6.4 18116|.|

\| 7. ( )5 432 8. ( )44 15 9. ( )44 15II.Simplifique cada expresin, dejando los resultados sin exponentes negativos o nulos. 10.3 4 3 2x x 11.5 3 5 4 x x 12.3 4 3 2 x x 13.3 2 2 35 5 14.6 1 4 1x x 15. ( )11 2y x EjerciciosNombreA practicar los exponentes fraccionariosNo.2Instrucciones para el alumno Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la seccin de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compaero o a tu profesor. Actitudes a formar Orden ResponsabilidadManera didctica de lograrlas