algebradeboole1-120809005453-phpapp01

7/21/2019 algebradeboole1-120809005453-phpapp01

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1Escuela Politcnica Superior

Tema 5:Tema 5:

lgebra delgebra de BooleBooleFunciones LFunciones Lgicasgicas

Escuela Politcnica SuperiorIngeniera Informtica

Universidad Autnoma de Madrid


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OBJ

ETI

VOS

Conocer el lgebra de Boole, sus

teoremas y las funciones lgicas

Comprender su aplicacin a los

circuitos digitales

Bibliografa Tema 5:- Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD.

(Prentice Hall, 2000). Caps. 1, 3 y 4.

lgebra delgebra de BooleBoole. Funciones L. Funciones Lgicasgicas

TEMA 5: LGEBRA DEBOOLE. FUNCIONESLGICAS

5.1 Variables LgicasVariables y funciones lgicas.

Teoremas del lgebrabooleana.

Funciones lgicas bsicas.

5.2 Funciones Lgicas

Forma cannica de unafuncin lgica. Maxterms yMinterms.

Simplificacin de funciones.Diagramas de Karnaugh.


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Magnitudes AnalMagnitudes Analgicas y Digitalesgicas y Digitales- Los circuitos electrnicos se dividen en dos categoras: digitales y

analgicos.- La electrnica digital utiliza magnitudes digitales que toman valoresdiscretos.

- La electrnica analgica emplea magnitudes analgicas que toman valores

continuos.- En las aplicaciones electrnicas, los datos digitales se pueden procesar deforma ms fiable que los datos analgicos. Cuando es necesario sualmacenamiento, el ruido (fluctuaciones de tensin no deseadas) no afectaa las seales digitales tanto como a las seales analgicas.

Grfica de una funcin analgica (temperatura en

funcin del tiempo)Representacin de los valores muestreados (cuantificacin) de

la magnitud analgica temperatura. Cada valor representado por

un punto puede digitalizarse, representndolo como un cdigodigital que consta de una serie de 1s y 0s.


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- La informacin binaria que manejan los sistemas digitales apareceen forma de seales digitales que representan secuencias de bits.- Cuando la seal est a nivel ALTO, se representa con 1 binario,mientras que si la seal est a nivel BAJO, lo indica un 0 binario.

- Cada bit dentro de una secuencia ocupa un intervalo de tiempo

definido denominado periodo del bit.- En los sistemas digitales, todas las seales se sincronizan con unaseal de temporizacin bsica de reloj.

- El reloj es una seal peridica en la que cada intervalo entre

impulsos (el periodo) equivale a la duracin de 1 bit.

SeSeales Digitalesales Digitales

Ejemplo de una seal de reloj sincronizada con la seal A


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Variables y Funciones LVariables y Funciones Lgicasgicas Variable Lgica- Representa un suceso o magnitud que toma valores entre dosposibles.- Los dos valores son excluyentes entre ellos.- Los dos valores se expresan mediante proposiciones.- Las proposiciones se pueden clasificar como verdaderas o como

falsas. Funciones Lgicas

- Cuando se combinan proposiciones se forman funciones lgicas oproposiciones lgicas.- Por ejemplo: si la bombilla no est fundida y el interruptor est

dado, la luz est encendida.- Las dos primeras proposiciones son las condiciones de las que

depende la proposicin la luz est encendida. sta es ciertaslo si las dos primeras lo son.

- Por tanto, una funcin lgica calcula el valor de una variable(dependiente) a partir de otra u otras variables (independientes).


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Variables y Funciones LVariables y Funciones Lgicasgicas

lgebra de Boole- Hacia 1850, el matemtico y lgico irlands George Boole (1851-1864), desarroll un sistema matemtico para formular proposicioneslgicas con smbolos, de manera que los problemas pueden ser

escritos y resueltos de una forma similar al lgebra tradicional.- El lgebra de Boole se aplica en el anlisis y el diseo de lossistemas digitales.

- Una variable booleana es cualquier smbolo que en un instante

determinado slo puede tomar uno de dos valores: 0 y 1.- Existen varios tipos de circuitos lgicos que se utilizan para

implementar funciones lgicas u operaciones lgicas. Estos circuitosson los elementos bsicos que constituyen los bloques sobre los que se

construyen sistemas digitales ms complejos, como por ejemplo unacomputadora.


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Operaciones LOperaciones Lgicasgicas Funciones Lgicas- Las operaciones lgicas pueden representarse a travs de smbolosgrficos y de tablas de verdad.

- Las lneas conectadas a la izquierda de cada smbolo son las

entradas (input) y las lneas a la derecha son las salidas (output).

Smbolos de las operaciones lgicas bsicas

A X

1 0

0 1

Tablas de verdad de las operaciones lgicas bsicas

A B X

0 0 0

0 1 01 0 01 1 1

A B X

0 0 0

0 1 11 0 11 1 1

NOT AND con dos entradas yuna salida

OR con dos entradas yuna salida

- El funcionamiento de laspuertas, operaciones yfunciones lgicas se

describe con las tablasde verdad.- Son representaciones

tabulares que especifican

la salida de la puerta ofuncin lgica para todaslas posibles combinacionesde entradas.


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Operaciones LOperaciones LgicasgicasPuertas Lgicas- Puertas Lgicas: circuitos que aceptan valores lgicos a la entrada

y producen valores lgicos a la salida. Un circuito que realiza unaoperacin lgica determinada (NOT, AND, OR) se llama puerta

lgica.- Lgica Combinatoria: cuando en un circuito lgico el estado de lassalidas depende slo del estado de las entradas, es decircombinaciones de diferentes valores lgicos a la entrada de un

circuito lgico hacen que aparezcan distintos valores lgicos a lasalida. En este curso se tratar la Lgica Combinatoria.- Lgica Secuencial: si el estado de la salida depende del estado de

las entradas y tambin del estado anterior del circuito. Esta lgica

no se tratar en este curso.


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Puertas LPuertas Lgicasgicas Puerta Amplificador

Puerta NOT o Inversor Puerta AND

Puerta OR Puerta NAND

Puerta NOR Puerta XOR Puerta XNOR


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10Escuela Politcnica SuperiorEscuela Politcnica Superior

Realiza la operacin denominada amplificacin.

Mantiene un nivel lgico de una entrada (A) en la salida (X).

En trminos de bits mantiene:

- Un 1 por un 1.

- Un 0 por un 0.

Se utiliza para retrasar la transmisin de una seal lgica y para

distribuir la seal de salida a ms componentes que la seal original. Smbolo lgico estndar:

A X

Puerta AmplificadorPuerta Amplificador


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Tabla de verdad:

A X

1 1

0 0

Puerta AmplificadorPuerta Amplificador

Ecuacin Lgica:X = A


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Puerta NOT o InversorPuerta NOT o Inversor

Realiza la operacin denominada inversin ocomplementacin. Cambia el nivel lgico al nivel opuesto.

En trminos de bits cambia: Un 1 por un 0.

Un 0 por un 1.


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Puerta NOT: SPuerta NOT: Smbolo y Funcionamientombolo y Funcionamiento Smbolo lgico estndar:

Funcionamiento: Cuando la entrada est a nivel BAJO, la salida est a nivel ALTO. Cuando la entrada est a nivel ALTO, la salida est a nivel BAJO.


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Puerta NOT: Tabla de Verdad yPuerta NOT: Tabla de Verdad yDiagrama de TiemposDiagrama de Tiempos

Entrada A Salida

0 1

1 0

Tabla de verdad:

Diagrama de tiempos:

Una grfica que representa de forma precisa las relaciones de dos o msformas de onda en funcin del tiempo.


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Puerta NOT: EcuaciPuerta NOT: Ecuacin Ln Lgicagica En el lgebra booleana, una variable se designa

mediante una letra. Las variables pueden tomar dos valores: 1 y 0.

El complemento de una variable se designamediante una barra encima de la letra. Si una variable dada es 1, su complemento es 0,

y viceversa Ecuacin lgica:X =


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Puerta NOT: Ejemplo de AplicaciPuerta NOT: Ejemplo de Aplicacinn

Un circuito que genera el complemento a 1 deun nmero binario de 8 bits: Los bits del nmero binario se aplican a las entradas del

inversor. El complemento a 1 del nmero se presenta en las salidas.


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Puerta ANDPuerta AND

La puerta AND es una de las puertas bsicascon la que se construyen todas las funcioneslgicas.

Tiene dos o ms entradas y una nica salida. Realiza la operacin que se conoce comomultiplicacin lgica.

Smbolo lgico estndar:


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Puerta AND: FuncionamientoPuerta AND: Funcionamiento En una puerta AND de dos entradas:

La salida AB es un nivel ALTO si A y B estn a nivelALTO.

La salida AB es un nivel BAJO si:

A es un nivel BAJO B es un nivel BAJO o

si A y B estn a nivel BAJO


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Puerta AND: Tabla de VerdadPuerta AND: Tabla de Verdad

Entrada A Entrada B Salida X=AB

0 0 00 1 0

1 0 01 1 1

Tabla de verdad:


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Puerta AND: Diagrama de TiemposPuerta AND: Diagrama de Tiempos

Diagrama de tiempos:A

B X


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Puerta AND: EcuaciPuerta AND: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica AND de dos variables se representa:

Colocando un punto entre las dos variables: AB

Escribiendo las letras juntas sin el punto: AB

La multiplicacin booleana sigue las mismas reglas bsicas que lamultiplicacin binaria:

00 = 0

01 = 0

10 = 0

11 = 1

Ecuacin lgica o expresin booleana:X = AB X = AB


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Puerta AND: MPuerta AND: Mltiples Entradasltiples Entradas

Se utilizan nuevas letras para cada variable deentrada.


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Puerta AND: Ejemplo de AplicaciPuerta AND: Ejemplo de Aplicacinn Un sistema de alarma para el cinturn de

seguridad: Si el interruptor de puesta en marcha est activado y el

cinturn est desabrochado, durante 30 segundos: Se produce una alarma audible.


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Puerta ORPuerta OR Es otra de las puertas bsicas con las que se

construyen todas las funciones lgicas. Tiene dos o ms entradas y una nica salida.

Realiza la operacin que se conoce como sumalgica. Smbolo lgico estndar:


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Puerta OR: FuncionamientoPuerta OR: Funcionamiento En una puerta OR de dos entradas:

La salida es un nivel ALTO si cualquiera de las entradas, A o

B, o ambas, estn a nivel ALTO.

La salida es un nivel BAJO si ambas entradas, A y B, estn anivel BAJO.


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Puerta OR: Tabla de VerdadPuerta OR: Tabla de Verdad Tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X=A+B

0 0 00 1 1

1 0 11 1 1


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Puerta OR: Diagrama de TiemposPuerta OR: Diagrama de Tiempos Diagrama de tiempos:


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Puerta OR: EcuaciPuerta OR: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica OR de dos variables se representa:

Colocando un + entre las dos variables: A+B

La suma booleana es similar a la suma binaria, con laexcepcin de que no existe acarreo:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Ecuacin lgica o expresin booleana:X = A+B


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Puerta OR: MPuerta OR: Mltiples Entradasltiples Entradas Se utilizan nuevas letras para cada variable de

entrada.

X = A + B + C + D


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Puerta OR: Ejemplo de AplicaciPuerta OR: Ejemplo de Aplicacinn Sistema de alarma y deteccin de intrusin. Genera una alarma cuando la puerta o las

ventanas estn abiertas.


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Puerta NANDPuerta NAND Es un elemento lgico popular debido a que se

puede utilizar como puerta universal: Se pueden combinar para implementar las operaciones de las

puertas AND, OR y del Inversor.

El trmino NAND es una contraccin de NOT-AND e implica: Una funcin AND con la salida complementada (negada).

Smbolo lgico estndar:


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Puerta NAND: FuncionamientoPuerta NAND: Funcionamiento En una puerta NAND de dos entradas:

La salida es un nivel BAJO, si las entradas A y B estn anivel ALTO.

La salida es un nivel ALTO, si A o B estn a nivel BAJO o

si ambas, A y B, estn a nivel BAJO. Es la operacin opuesta a la operacin lgica

AND.


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Puerta NAND: Tabla de VerdadPuerta NAND: Tabla de Verdad Tabla de verdad:

Entrada A Entrada B Salida X

0 0 10 1 1

1 0 11 1 0


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Puerta NAND: Diagrama de TiemposPuerta NAND: Diagrama de Tiempos Diagrama de tiempos:


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Puerta NAND: Equivalencia con NegativaPuerta NAND: Equivalencia con Negativa--OROR Se puede usar para realizar la operacin OR que

requiere una o ms entradas a nivel BAJO, paragenerar una salida a nivel ALTO.

Este modo de operacin se denomina Negativa-OR. El trmino negativasignifica que las entradas se

definen para que su estado activo o verdadero sea

un nivel BAJO.


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Puerta NAND: EcuaciPuerta NAND: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica NAND de dos variables se representa:

Las dos variables de entrada, A y B, se multiplican (AND) primero y luego se

complementan AB.

La operacin booleana que se obtiene sera:

00 = 0 = 101 = 0 = 110 = 0 = 111 = 1 = 0

Ecuacin lgica:X = AB X = A.B


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Puerta NAND: Ejemplo de AplicaciPuerta NAND: Ejemplo de Aplicacinn Un emisor de luz (LED) permanece encendido

mientras el nivel de dos tanques sea superior aun 25%


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Puerta NORPuerta NOR Al igual que la puerta NAND, es un elemento lgico til

porque tambin se puede emplear como puertauniversal: Se pueden usar combinadas para implementar las operaciones AND, OR

y del Inversor. El trmino NOR es una contraccin de NOT-OR e

implica:

Una funcin OR con la salida complementada (negada). Smbolo lgico estndar:


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Puerta NOR: FuncionamientoPuerta NOR: Funcionamiento En una puerta NOR de dos entradas:

La salida es un nivel BAJO, si cualquiera de sus entradas A oB est a nivel ALTO, o si ambas entradas A y B estn a nivel

ALTO.

La salida es un nivel ALTO, si A y B estn a nivel BAJO. Es la operacin opuesta a la operacin lgica

OR.


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Puerta NOR: Tabla de VerdadPuerta NOR: Tabla de Verdad Tabla de verdad:


0 0 10 1 0

1 0 01 1 0


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Puerta NOR: Diagrama de TiemposPuerta NOR: Diagrama de Tiempos Diagrama de tiempos:


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Puerta NOR: Equivalencia con NegativaPuerta NOR: Equivalencia con Negativa--ANDAND Se puede usar para realizar la operacin AND

cuyas entradas estn a nivel BAJO y generanuna salida a nivel ALTO.

Este modo de operacin se denomina Negativa-AND.


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Puerta NOR: EcuaciPuerta NOR: Ecuacin Ln Lgicagica La ecuacin lgica NOR de dos variables se representa:

Las dos variables de entrada, A y B, primero se suman (OR) y luego se

complementan: A+B.

La operacin booleana que se obtiene sera:

0+0 = 0 = 10+1 = 1 = 01+0 = 1 = 0

1+1 = 1 = 0 Ecuacin lgica:X = A+B


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Puerta NOR: Ejemplo de AplicaciPuerta NOR: Ejemplo de Aplicacinn Controlar que los trenes de aterrizaje de un avin se

encuentran desplegados. Cuando un tren de aterrizaje se extiende, el sensor

correspondiente genera una tensin a nivel BAJO.

Una salida a nivel ALTO enciende el LED verde. Una salida a BAJO nivel enciende el LED rojo.


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Puertas XOR y XNORPuertas XOR y XNOR Las puertas OR-exclusiva (XOR) y NOR-

exclusiva (XNOR) se forman mediante lacombinacin de otras puertas ya vistas.

Debido a su importancia fundamental enmuchas aplicaciones, estas puertas se tratancomo elementos lgicos bsicos con su propio

smbolo nico.


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Puerta XORPuerta XOR La puerta XOR tiene slo dos entradas. Smbolo lgico estndar:


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Puerta XOR: FuncionamientoPuerta XOR: Funcionamiento La salida es un nivel ALTO si:

la entrada A est a nivel BAJO y la entrada B est a nivelALTO o

si la entrada A est a nivel ALTO y la entrada B est a nivel

BAJO. La salida es un nivel BAJO si tanto A como B

estn ambas a nivel ALTO o BAJO.


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Puerta XOR: Tabla de VerdadPuerta XOR: Tabla de Verdad Tabla de verdad:


0 0 00 1 1

1 0 11 1 0


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Puerta XOR: Diagrama de TiemposPuerta XOR: Diagrama de Tiempos Diagrama de tiempos:


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Puerta XOR: Ejemplo de AplicaciPuerta XOR: Ejemplo de Aplicacinn Se puede utilizar como sumador de dos bits.


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Puerta XOR: EquivalenciaPuerta XOR: Equivalencia Se puede sustituir por la combinacin de

puertas AND, OR y NOT.

Ecuacin lgica equivalente:

A B = AB + AB


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Puerta XNORPuerta XNOR La puerta XNOR, al igual que la XOR, slo tiene

dos entradas. Smbolo lgico estndar:


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Puerta XNOR: FuncionamientoPuerta XNOR: Funcionamiento La salida es un nivel BAJO si:

la entrada A est a nivel BAJO y la entrada B est a nivel ALTO o

si la entrada A est a nivel ALTO y la entrada B est a nivel BAJO.

La salida es un nivel ALTO, si tanto A como B estnambas a nivel ALTO o BAJO.

Es la operacin opuesta a la operacin lgica XOR.


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Puerta XNOR: Tabla de VerdadPuerta XNOR: Tabla de Verdad Tabla de verdad:


0 0 10 1 0

1 0 01 1 1


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Puerta XNOR: Diagrama de TiemposPuerta XNOR: Diagrama de Tiempos Diagrama de tiempos:


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Puertas LPuertas Lgicas Integradasgicas Integradas Existen varias tecnologas de circuitos integrados

digitales que se usan para implementar las puertaslgicas bsicas. Las ms extendidas:

CMOS

TTL

Para aplicaciones ms especializadas: ECL

La funcin de las puertas lgicas bsicas es la mismaindependientemente de la tecnologa de circuitosintegrados que se utilice.

Puertas LPuertas Lgicas Integradas:gicas Integradas:


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Puertas LPuertas Lgicas Integradas:gicas Integradas:

CaracterCaractersticassticas CMOS (Complementary Metal-Oxide

Semiconductor) se implementa con un tipo detransistor de efecto de campo.

TTL (Transistor-Transistor Logic) seimplementa mediante transistores bipolares. ECL (Emitter-Coupled Logic) tambin se

implementa mediante la tecnologa bipolar.


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Puertas LPuertas Lgicas Integradas: CMOS y TTLgicas Integradas: CMOS y TTL CMOS y TTL slo difieren en el tipo de componentes

de circuito y los valores de los parmetros, y no en lasoperaciones lgicas bsicas. Una puerta AND CMOS realiza la misma operacin

lgica que una puerta AND TTL. La diferencia entre ambas se encuentra en lascaractersticas de funcionamiento, tales como: La velocidad de conmutacin (retardo de propagacin). La disipacin de potencia.

La inmunidad al ruido.


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CMOSCMOS Es la tecnologa utilizada en los circuitos de

gran escala de integracin ymicroprocesadores.

Es la ms popular en la actualidad. Su mayor ventaja reside en ofrecer muchamenor disipacin de potencia.


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TTLTTL Es una tecnologa de circuitos integrados muy

popular. Su mayor ventaja reside en las grandes

velocidades de conmutacin. Tambin ofrece una enorme variedad dedispositivos.

Tipos de Puertas LTipos de Puertas Lgicas Integradasgicas Integradas


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Todas las operaciones lgicas bsicas: NOT, AND, OR, NAND, NOR yXOR estn disponibles en las tecnologas de circuitos integrados. Los tipos de configuraciones de puerta normalmente disponibles en los

circuitos integrados se indican mediante los dos o tres dgitos finalesde la designacin de la serie. Por ejemplo 74LS04 es un circuitointegrado inversor sxtuple Schottky, de baja potencia de la seriebsica TTL.

Algunas configuraciones de puertas lgicas habituales y sus dgitos deidentificacin estndar son:- Cudruple NAND de dos entradas: 00- Cudruple NOR de dos entradas: 02- Inversor sxtuple: 04

- Cudruple AND de dos entradas: 08- Triple NAND de tres entradas: 10- Triple AND de tres entradas: 11

- Doble NAND de cuatro entradas: 20- Doble AND de cuatro entradas: 21- Triple NOR de tres entradas: 27

- NAND de ocho entradas: 30- Cudruple OR de dos entradas: 32- Cudruple XOR de dos entradas: 86- NAND nica de trece entradas: 133



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Diagramas de configuracin de los pines para algunas de las configuraciones de

puertas integradas ms comunes



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Encapsulados tpicos DIP y SOIC con sus dimensiones bsicas y la numeracin de

los pines


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lgebra delgebra de BooleBoole El lgebra de Boole es una forma muy adecuada

para expresar y analizar las operaciones de loscircuitos lgicos.

Se puede considerar las matemticas de lossistemas digitales. Operaciones bsicas:

Adicin booleana.

Multiplicacin booleana.


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AdiciAdicin Booleanan Booleana La suma booleana es equivalente a la operacin

OR: Un trmino suma es igual a 1 cuando uno o ms de sus

literales es un 1.

Un trmino suma es igual a 0 si y slo si cada uno de sus

literales es 0.


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MultiplicaciMultiplicacin Booleanan Booleana La multiplicacin booleana es equivalente a la

operacin AND: Un trmino producto es igual a 1 si y slo si cada uno de sus

literales es un 1.

Un trmino producto es igual a 0 si uno o ms de sus literales

es 0.


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Leyes BLeyes Bsicas delsicas del lgebra delgebra de BooleBoole Leyes bsicas del lgebra de Boole:

Leyes conmutativas de la suma y multiplicacin.

Leyes asociativas de la suma y multiplicacin.

Ley distributiva.

Son las mismas que las del lgebra ordinaria.


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Leyes ConmutativasLeyes Conmutativas El orden en que se aplica a las variables la

operacin OR es indiferente:

A+B = B+A

El orden en que se aplica a las variables la

operacin AND es indiferente:AB = BA

Ley conmutativa de la suma para dos variables

Ley conmutativa de la multiplicacin para dos variables


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Leyes AsociativasLeyes Asociativas Al aplicar la operacin OR a ms de dos variables, el

resultado es el mismo independientemente de la formaen que se agrupen las variables:

A + (B + C) = (A + B) + C

Al aplicar la operacin AND a ms de dos variables, elresultado es el mismo independientemente de la formaen que se agrupen las variables:

A(BC) = (AB)C

Ley asociativa de la suma para tres variables

Ley asociativa de la multiplicacin para tres variables


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Ley DistributivaLey Distributiva Aplicar la operacin OR a dos o ms variables y luego

aplicar la operacin AND al resultado de la operacin ya otra variable aislada, es equivalente a aplicar laoperacin AND a la variable aislada con cada uno de lossumandos y luego aplicar la operacin OR a los

productos resultantes. Esta ley tambin expresa el proceso de sacar factor

comn, en el que la variable comn se saca como factor

de los productos parciales.A(B + C) = AB + AC

Ley distributiva para tres variables


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Reglas BReglas Bsicas delsicas del lgebra delgebra de BooleBoole Muy tiles para la manipulacin y simplificacin

de expresiones booleanas.

1. A + 0 = A2. A + 1 = 13. A 0 = 0

4. A 1 = A

5. A + A = A6. A + A = 17. A A = A

8. A A = 0

9. A = A10. A + AB = A11. A + AB = A + B

12. (A + B)(A + C) = A + BC

A, B, o C pueden representar una nica variable o una combinacin de variables.

Reglas delReglas del lgebra delgebra de BooleBoole::


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Demostraciones (I)Demostraciones (I)1. A + 0 = A

2. A + 1 = 1

3. A 0 = 0

4. A 1 = A5. A + A = A

X = 0

X = 1

X = 0



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Demostraciones (II)Demostraciones (II)6. A + A = 1

7. A A = A

8. A A = 0

9. A = A

X=0



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Demostraciones (III)Demostraciones (III)10. A + AB = A

A + AB = A (1 + B) Sacar factor comn A (ley distributiva)= A 1 Regla 2: (1 + B) = 1= A Regla 4: A 1 = A



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Demostraciones (IV)Demostraciones (IV)11. A + AB = A + B

A + B = (A + AB) + B Regla 10: A = A + AB

= A + (A + ) B Sacar factor comn= A + 1 B Regla 6: A + = 1= A + B Regla 4: A 1 = A

A A

A A



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Demostraciones (V)Demostraciones (V)12. (A + B)(A + C) = A + BC

(A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC Ley distributiva= A + AC + AB + BC Regla 7: AA = A= A + BC Regla 10: A + AB = A

(aplicada 2 veces)


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Teoremas deTeoremas de DeMorganDeMorgan DeMorgan propuso dos teoremas que

constituyen una parte muy importante dellgebra de Boole.

Estos teoremas nos demuestran la equivalenciaentre: Las puertas NAND y Negativa-OR

Las puertas NOR y Negativa-AND


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Primer Teorema dePrimer Teorema de DeMorganDeMorgan El complemento de un producto de variables es igual a

la suma de los complementos de las variables. De forma equivalente: El complemento de dos o ms variables a las que se aplica la operacin

AND es equivalente a aplicar la operacin OR a los complementos decada variable.

Frmula para expresar el teorema para dos variables:

XY = X + Y Puerta equivalente y tabla de verdad:


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Segundo Teorema deSegundo Teorema de DeMorganDeMorgan El complemento de una suma de variables es igual al

producto de los complementos de las variables. De forma equivalente: El complemento de dos o ms variables a las que se aplica la operacin

OR es equivalente a aplicar la operacin AND a los complementos decada variable.

Frmula para expresar el teorema para dos variables:

X + Y = X Y Puerta equivalente y tabla de verdad:

Teoremas deTeoremas de DeMorganDeMorgan para Mpara Ms de Doss de Dos


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VariablesVariables Los Teoremas de DeMorgan se aplican tambin

a expresiones en las que existen ms de dosvariables:

XYZ = X + Y + Z

X + Y + Z = XYZ

A + BC + D (E + F)- Solucin:

AplicaciAplicacin de las Leyes y Reglas deln de las Leyes y Reglas del lgebralgebradede BooleBoole y de los Teoremas dey de los Teoremas de DeMorganDeMorgan


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A + BC + D (E + F)

Paso 1. Identificar los trminos a los que se puede aplicar los teoremas de DeMorgan y

considerar cada trmino como una nica variable. Definimos:

Paso 2. Dado que

Paso 3. Utilizar la regla 9 (A = A) para eliminar la barra doble sobre el trmino de la

izquierda (esta parte no tiene que ver con los teoremas de DeMorgan):

Paso 4. En el trmino de la derecha definimos

Paso 5. Como

Paso 6. Utilizando la regla 9 A = A para eliminar la barra doble del termino E + F

Anlisis Booleano de los Circuitos Lgicos


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Anlisis Booleano de los Circuitos Lgicosg

El lgebra de Boole proporciona una manera concisa de

expresar el funcionamiento de un circuito lgicoformado por una combinacin de puertas lgicas, de talforma que la salida puede determinarse por la

combinacin de los valores de entrada. Para obtener la expresin booleana de un determinadocircuito lgico, la manera de proceder consiste en: Comenzar con las entradas situadas ms a la izquierda.

Ir avanzando hasta las lneas de salida, escribiendo la expresin para cada

puerta.

Expresin Booleana de un Circuito Lgico


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Expresip

n Booleana de un Circuito Lgicog

La expresin de la puerta AND situada ms a la izquierda cuyasentradas son C y D es CD. La salida de la puerta AND situada ms a la izquierda es una de las

entradas de la puerta OR y B es su otra entrada. Por tanto, la

expresin para la puerta OR es B + CD. La salida de la puerta OR es una de las entradas de la puerta ANDsituada ms a la derecha, siendo A su otra entrada. Por lo tanto laexpresin de esta puerta AND ser A (B + CD)

A (B + CD)

ElaboraciElaboracin de la Tabla de Verdad de unn de la Tabla de Verdad de un


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Circuito LCircuito Lgicogico Una vez determinada la expresin booleana de

un circuito dado, puede desarrollarse una tablade verdad que represente la salida del circuitolgico para todos los valores posibles de lasvariables de entrada.

Esto requiere que se evale la expresin

booleana para todas las posibles combinacionesde valores de las variables de entrada.

Evaluacin de una Expresin (I)


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Evaluacin de una Expresip

n (I) En el caso de la expresin A(B + CD) hay cuatro

variables de entrada (A, B, C y D) y, por tanto, hay 24

=16 posibles combinaciones de valores. Para evaluar esta expresin, en primer lugar, utilizando

las reglas de la adicin y multiplicacin booleanas, selocalizan los valores de las variables que hacen que laexpresin sea igual a 1.

En este caso, la expresin es igual a 1 slo si A = 1 y (B

+ CD) = 1, ya que:A(B + CD) = 1 1 = 1

Evaluacin de una Expresin (II)


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Evaluacin de una Expresin (II) La expresin B + CD es 1 si:

B = 1 B + CD = 1 + 0 = 1 CD = 1 B + CD = 0 + 1 = 1

Ambos son igual a 1 B + CD = 1 + 1 = 1

El trmino CD es 1 slo si: C y D son 1.

Conclusin: A(B + CD) = 1 cuando:

A = 1 y B = 1, independientemente del valor de C y D A = 1 y C = 1 y D = 1, independientemente del valor de B

A(B + CD) = 0 para el resto de combinaciones posibles.

EvaluaciEvaluacin de una Expresin de una Expresin (III)n (III)


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Representacin de los resultados en una tabla

de verdad.Tabla de Verdad del Circuito Lgico

SimplificaciSimplificacin Mediante eln Mediante el lgebra delgebra de


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BooleBoole Muchas veces, a la hora de aplicar el lgebra

booleana, hay que reducir una expresin a suforma ms simple o cambiarla a una forma msconveniente para conseguir una implementacin

ms eficiente. Este mtodo de simplificacin utiliza las reglas,

leyes y teoremas del lgebra de Boole paramanipular y simplificar una expresin.

Simplificar una ExpresiSimplificar una Expresinn


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AB + A(B + C) + B(B + C)

Aplicar la ley distributiva al segundo y tercer trmino de laexpresin del siguiente modo:AB + AB + AC + BB + BC

Aplicar la regla 7 (BB = B) al cuarto trmino:

AB + AB + AC + B + BC Aplicar la regla 5 (AB + AB = AB) a los dos primeros trminos:AB + AC + B + BC

Aplicar la regla 10 (B + BC = B) a los dos ltimos trminos:

AB + AC + B Aplicar la regla 10 (AB + B = B) a los trminos primero y tercero:

B + AC

Circuitos LCircuitos Lgicos Original y Simplificadogicos Original y Simplificado


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A partir de la simplificacin se obtienen dos

redes de puertas equivalentes: Se pasa de cinco a dos puertas necesarias para implementarla expresin.

Para cualquier combinacin de valores de entrada A, B y Cse obtiene siempre la misma salida.

Forma EstForma Estndar de las Expresionesndar de las Expresiones


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BooleanasBooleanas Funcin lgica es una expresin booleana que relaciona

variables lgicas directas o complementadas por mediode operaciones AND y OR. Todas las expresiones booleanas, independientemente

de su forma, pueden convertirse en cualquiera de las

dos formas estndar: Suma de productos o Suma de MinTerms.

Producto de sumas o Producto de MaxTerms.

Esto posibilita que la evaluacin, simplificacin eimplementacin de las expresiones booleanas sea muchoms sistemtica y sencilla.

Suma de Productos o Suma deSuma de Productos o Suma de MintermsMinterms (I)(I)


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Es la suma de dos o ms productos mediante la

adicin booleana.AB + ABC

A + ABC + AC

Una barra no puede extenderse sobre ms de

una variable:Vlido: ABC No vlido: ABC

Suma de Productos o Suma deSuma de Productos o Suma de MintermsMinterms (II)(II)


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El dominio de una expresin booleana es el conjunto de

variables (o sus complementos) contenido en unaexpresin: El dominio de AB + ABC es el conjunto de variables A, B, C

La implementacin de una suma de productossimplemente requiere aplicar la operacin OR a lassalidas de dos o ms puertas AND:

X = AB + BCD + AC

ConversiConversin de una Expresin de una Expresin General an General a


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Formato Suma de ProductosFormato Suma de Productos Cualquier expresin lgica puede ser

transformada a una expresin suma deproductos, aplicando el lgebra de Boole.

A(B + CD) = AB + ACD(A + B)(B + C + D) = AB + AC + AD + BB + BC + BD

(A + B) + C = (A + B)C = (A + B)C = AC + BC

Forma EstForma Estndar de una Suma dendar de una Suma de


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ProductosProductos Es aquella en la que todas las variables del

dominio aparecen en cada uno de los trminosde la expresin:ABCD + ABCD + ABCD

Cualquier suma de productos en forma no

estndar puede convertirse al formatoestndar utilizando el lgebra de Boole.

ConversiConversin de una Suma de Productos an de una Suma de Productos a

F EF E d ( )d ( )


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su Forma Estsu Forma Estndar (I)ndar (I) Cada trmino producto de una suma de

productos que no contenga todas las variablesdel dominio, puede ser transformado a suforma estndar de manera que incluya todas las

variables del dominio o sus complementos. Esta conversin se realiza mediante la regla 6

del lgebra booleana:A + A = 1


F EF E d (II)d (II)


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su Forma Estsu Forma Estndar (II)ndar (II) Pasos a seguir:

Multiplicar cada trmino producto no estndar por untrmino formado por la suma de la variable que falta y sucomplemento. Con esto se obtienen dos trminos producto.Como se sabe, se puede multiplicar por 1 cualquier expresin

sin que se altere su valor.

Repetir el paso anterior hasta que todos los trminos de laexpresin contengan todas las variables (o sus

complementos) del domino. Al convertir cada producto a suforma estndar, el nmero de trminos producto se duplicapor cada variable que falta.

Ejemplo: Convertir la siguiente expresin booleana al formato suma de productos

estndar: A B C + A B + A B C D

ConversiConversin de una Suma de Productos an de una Suma de Productos asu Forma Estsu Forma Estndar (III)ndar (III)


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Solucin. El dominio de esta suma de productos es A, B, C, D. Considerando cada

trmino por separado, se comprueba que al primer trmino, ABC, le falta la variable D

o D, por lo que lo multiplicamos por D o D, obteniendo:

En este caso, se obtienen dos productos estndar. En el segundo trmino, A B, faltan las

variables C o C y D o D, de manera que multiplicamos primero por C + C:

Los dos trminos que obtenemos carecen de la variable D o D, por lo que

multiplicamos por D + D:

En este caso, el resultado son cuatro productos estndar. El tercer trmino ABCD, ya

est en formato estndar. La suma de productos estndar que obtenemos es finalmente:

RepresentaciRepresentacin Binaria de un Tn Binaria de un Trminormino

P d t E tP d t E t dd


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Producto EstProducto Estndarndar Un trmino producto estndar es igual a 1 slo

para una combinacin de los valores de lasvariables. Por ejemplo, el trmino ABCD es igual a 1

cuando A=1, B=0, C=1 y D=0. Una suma de productos es igual a 1 si y slo

si uno o ms de los trminos producto queforman la expresin es igual a 1.

Producto de Sumas o Producto deProducto de Sumas o Producto de MaxtermsMaxterms


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Es la multiplicacin de dos o ms trminos

suma.(A + B)(A + B + C)

A(A + B + C)(B + C + D) Una barra no puede extenderse sobre ms de

una variable:Vlido: A+B+C No vlido: A+B+C

ImplementaciImplementacin de un Producto de Sumasn de un Producto de Sumas


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La implementacin de un producto de sumas

requiere simplemente la aplicacin de laoperacin AND a las salidas de dos o mspuertas OR.

X = (A + B) (B + C + D) (A + C)

Forma EstForma Estndar del Producto de Sumasndar del Producto de Sumas


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Es aquella en la que todas las variables del

dominio aparecen en cada uno de los trminosde la expresin:(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

Cualquier producto de sumas en forma no

estndar puede convertirse al formatoestndar utilizando el lgebra de Boole.

ConversiConversin de un Producto de Sumas a sun de un Producto de Sumas a su

Forma EstForma Estndar (I)ndar (I)


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Forma EstForma Estndar (I)ndar (I) Cada trmino suma de un producto de sumas

que no contenga todas las variables del dominio,puede ser transformado a su forma estndarde manera que incluya todas las variables del

dominio o sus complementos. Esta conversin se realiza mediante la regla 8

del lgebra booleana:AA = 0


Forma EstForma Estndar (II)ndar (II)


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Forma EstForma Estndar (II)ndar (II) Pasos a seguir:

Aadir a cada trmino suma no estndar un trminoconsistente en el producto de la variable que falta y su

complemento; esto da lugar a la aparicin de dos sumandos

en la expresin. Como se sabe, siempre se puede sumar 0 sinque se altere el valor de la expresin.

Aplicar la regla 12: A + BC = (A + B)(A + C)

Repetir el primer paso hasta que todos los sumandosresultantes contengan todas las variables del dominio o sus

complementos.


Forma EstForma Estndar (III)ndar (III)


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Forma EstForma Estndar (III)ndar (III)

RepresentaciRepresentacin Binaria de un Tn Binaria de un Trminormino

Suma EstSuma Estndarndar


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Suma EstSuma Estndarndar Un trmino suma estndar es igual a 0 slo para

una combinacin de los valores de las variables. Por ejemplo, el trmino A+B+C+D es igual a 0cuando A=0, B=1, C=0 y D=1.

Un producto de sumas es igual a 0 si y slosi uno o ms trminos suma de la expresin

es igual a 0.

ExpresionesExpresiones BooleanasBooleanas y Tablas dey Tablas de

VerdadVerdad


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VerdadVerdad Todas las expresiones booleanas se pueden convertir

fcilmente en tablas de verdad utilizando los valoresbinarios de cada trmino de la expresin.

La tabla de verdad es una forma muy comn deexpresar el funcionamiento lgico de un circuito.

Las tablas de verdad se pueden encontrar en las hojasde especificaciones y en otras documentacionesrelativas al funcionamiento de los circuitos y sistemas

digitales. Las expresiones suma de productos y producto desumas pueden calcularse mediante tablas de verdad.


Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I)


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Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I) Una suma de productos es igual a 1 si y slo si al menos

uno de los productos es igual a 1. Para una expresin cuyo dominio es n variables, existen2n combinaciones distintas de estas variables.

Pasos a seguir: Enumerar todas las posibles combinaciones de los valores de lasvariables de la expresin.

Pasar la suma de productos a su formato estndar, si no lo est ya.

Escribir un 1 en la columna de salida para cada valor binario que hace

que la suma de productos estndar sea 1, y un 0 para los restantes valores.


Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II)


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Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II) Desarrollar la tabla de verdad de la expresin

suma de productos estndar: ABC + ABC + ABCA B C X0 0 0 0

0 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

N

0

1

2

3

4

5

6

7

(A . B . C)

(A . B . C )

(A . B . C)

Minterms

ConversiConversin de un Producto de Sumas an de un Producto de Sumas a

Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I)


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Tabla de Verdad (I)Tabla de Verdad (I) Un producto de sumas es igual a 0 si y slo si al menos

uno de los trminos suma es igual a 0. Para una expresin cuyo dominio es n variables, existen2n combinaciones distintas de estas variables.

Pasos a seguir: Enumerar todas las posibles combinaciones de los valores de lasvariables de la expresin.

Pasar el producto de sumas a su formato estndar, si no lo est ya.

Escribir un 0 en la columna de salida para cada valor binario que hace

que el producto de sumas estndar sea 0, y un 1 para los restantes valores.


Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II)


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Tabla de Verdad (II)Tabla de Verdad (II)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)

A B C X0 0 0 0

0 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Minterms MaxtermsN

0

1

2

3

4

5

6

7

(A . B. C )

(A + B + C)

(A + B + C)

(A + B + C)

(A . B. C )

(A + B + C)

(A + B + C)

(A . B. C )


Tabla de Verdad (III)Tabla de Verdad (III)L t bl d d d d l j l t i l i


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Tabla de Verdad (III)Tabla de Verdad (III)

Minterms

F(A, B, C) = (A . B. C) + (A . B. C) + (A . B. C)

= m1 + m4 + m 7 = (1, 4, 7)

Maxterms

F(A, B, C) = (A + B+ C) . (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C) . (A + B + C)

= M0 . M2 . M3 . M5 . M6 = (0, 2, 3, 5, 6)

Las tablas de verdad del ejemplo anterior son las mismas. Esto significa que la suma de productos y el producto de sumas son

equivalentes.

Determinar la ExpresiDeterminar la Expresin de la Suma de Productosn de la Suma de Productos

EstEstndar Representada por una Tabla de Verdadndar Representada por una Tabla de Verdad


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p pp p Se enumeran todos los valores de las variables

de entrada para los que la salida es 1. Cada valor binario se convierte en elcorrespondiente trmino producto: Se reemplaza cada 1 por la variable.

Se reemplaza 0 por la variable complementada.

Por ejemplo, el valor binario 1010 se reemplazapor ABCD

Determinar la ExpresiDeterminar la Expresin del Producto de Sumasn del Producto de Sumas

EstEstndar Representada por una Tabla de Verdadndar Representada por una Tabla de Verdad


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p pp p Se enumeran todos los valores de las variables

de entrada para los que la salida es 0. Cada valor binario se convierte en elcorrespondiente trmino suma: Se reemplaza cada 1 por la variable complementada.

Se reemplaza 0 por la variable.

Por ejemplo, el valor binario 1001 se reemplazapor A+B+C+D

Determinar las Expresiones EstDeterminar las Expresiones Estndar andar a

Partir de una Tabla de VerdadPartir de una Tabla de Verdad


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Partir de una Tabla de VerdadPartir de una Tabla de VerdadA B C X

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 1

1 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1

X = ABC + ABC + ABC + ABCX = (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)

ConversiConversin de una Suma de Productos Estn de una Suma de Productos Estndarndar

a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (I)ndar (I)


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( )( ) Los valores binarios de los trminos producto

en una suma de productos estndar dada noaparecen en su producto de sumas estndarequivalente.

Asimismo, los valores binarios que no estnrepresentados en una suma de productos saparecen en el producto de sumas equivalentes.


a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (II)ndar (II)


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( )( ) Pasos para convertir una suma de productos

estndar a un producto de sumas estndar: Evaluar cada trmino de la expresin suma de productos, esdecir, determinar los valores binarios que representan estos

trminos. Determinar todos los nmeros binarios no incluidos al

realizar el clculo del paso anterior.

Escribir los trminos suma equivalentes para cada valorbinario del paso anterior y expresarlos en forma de producto

de sumas.


a Producto de Sumas Esta Producto de Sumas Estndar (III)ndar (III)


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( )( ) Convertir la expresin ABC+ABC+ABC+ABC+ABC a su

expresin equivalente como producto de sumas: El resultado de la evaluacin es 000+010+011+101+111 Puesto que son tres las variables que conforman el dominio de la

expresin, existe un total de 23 = 8 posibles combinaciones.

La expresin suma de productos o suma de minterms contiene cinco deestas combinaciones, luego la expresin producto de sumas o producto de

maxterms debe contener las otras tres: 001, 100 y 110.

Como estos son los valores binarios que hacen que cada operacin suma

sea igual a cero, el producto de sumas equivalente es:

(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)

Mapas de Karnaugh (I)Mapas de Karnaugh (I)


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Un mapa de Karnaugh proporciona un mtodo

sistemtico de simplificacin de expresionesbooleanas. Aplicado adecuadamente genera las

expresiones suma de productos y producto desumas ms simples posibles. Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de

verdad, ya que muestra todos los posiblesvalores de las variables de entrada y la salidaresultante para cada valor.

Mapas de Karnaugh (II)Mapas de Karnaugh (II)

El d K h i d ld l d


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El mapa de Karnaugh es una secuencia de celdas en la que cadacelda representa un valor binario de las variables de entrada.

Las celdas se disponen de tal manera que la simplificacin de unadeterminada expresin consiste en agrupar adecuadamente lasceldas.

Los mapas de Karnaugh pueden utilizarse para expresiones de dos,tres, cuatro y cinco variables.

El mtodo de Quine-McClusky puede usarse para un nmero devariables mayor. Al igual que ocurra con el nmero de filas de una tabla de verdad,

el nmero de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al nmero

total de combinaciones de las variables de entrada. Para tres variables, el nmero de celdas necesarias es 23=8. Paracuatro variables, el nmero de celdas es 24=16 celdas.

Mapas de Karnaugh de Tres Variables (I)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (I)


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Es un conjunto de 8 celdas.

Se utilizan A, B y C para denominar las variables,aunque se podran usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte

izquierda y los valores de C en la parte superior. El valor de una determinada celda es: el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila

combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna.

Mapas de Karnaugh de Tres Variables (II)Mapas de Karnaugh de Tres Variables (II)


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Representacin de un mapa de Karnaugh de

tres variables vaco (matriz de 8 celdas) y conlos trminos producto estndar representadospara cada celda:

0 1

2 3

6 7

4 5

Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (I)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (I)

E j d 16 ld


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Es un conjunto de 16 celdas.

Se utilizan A, B, C y D para denominar las variables,aunque se podran usar otras letras. Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte

izquierda y los valores de C y D en la parte superior. El valor de una determinada celda es: el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila

combinado con el valor de C y D en la parte superior de la misma

columna.

Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (II)Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables (II)

R i d d K h d


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Representacin de un mapa de Karnaugh de

cuatro variables vaco (matriz de 16 celdas) ycon los trminos producto estndarrepresentados para cada celda:

AB CD 00 01 11 10

00

01

11

10

A B C D A B C D A B C D A B C D




0 1 3 2

4 5 7 6

12 13 15 14

8 9 11 10

Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (I)

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de


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p g pmanera que slo cambia una nica variable entre celdas

adyacentes. Las celdas que difieren en una nica variable sonadyacentes.

En el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente ala celda 000, a la 011 y a la 110. Las celdas cuyos valores difieren en ms de una

variable no son adyacentes. En el mapa de 3 variables, la celda 010 NO esadyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la 101.

Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (II)

F i t d ld d t l


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Fsicamente, cada celda es adyacente a las

celdas que estn situadas inmediatas a ella porcualesquiera de sus cuatro lados. Una celda NO es adyacente a aquellas que

tocan diagonalmente alguna de sus esquinas. Adems, las celdas de la fila superior son

adyacentes a las de la fila inferior y las celdasde la columna izquierda son adyacentes a lasceldas situadas en la columna derecha.

Adyacencia de Celdas (III)Adyacencia de Celdas (III)

Ad i d ld s d K h


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Adyacencia de celdas en un mapa de Karnaugh

de cuatro variables. Las flechas apuntan a las celdas adyacentes.

MinimizaciMinimizacin de una Suma de Productosn de una Suma de Productos

Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh El mapa de Karnaugh se utiliza para reducir


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El mapa de Karnaugh se utiliza para reducirexpresiones booleanas a su mnima expresin, as losdiseos lgicos de los circuitos que se construyan seanms econmicos.

Una expresin suma de productos minimizada est

formada por el mnimo nmero de trminos productoposibles con el mnimo nmero de variables por trmino. Generalmente, una expresin suma de productos

minimizada se puede implementar mediante un nmerode puertas menor que su expresin estndar, lo cualconstituye la finalidad del proceso de simplificacin.

Mapa de Karnaugh de una Suma deMapa de Karnaugh de una Suma de

Productos EstProductos Estndar (I)ndar (I) Por cada trmino de la expresin suma de


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Por cada trmino de la expresin suma de

productos se coloca un 1 en el mapa deKarnaugh en la celda correspondiente al valordel producto.

Las celdas que no tienen 1 son aquellas para lasque la expresin es 0.


Productos EstProductos Estndar (II)ndar (II) Pasos para completar el mapa de Karnaugh:Paso 1 Determinar el valor binario de cada trmino


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Paso 1. Determinar el valor binario de cada trminoproducto de la suma de productos estndar.

Paso 2. A medida que evaluamos cada trmino, colocamosun 1 en el mapa de Karnaugh, en la celda que tiene elmismo valor que dicho trmino.

Ejemplo de transformacin a mapa de Karnaugh de una suma de productos estndar

ABC

0 1

00

01

11

10

A B C + A B C + A B C + A B C

000 001 110 1001 1

1

1


Productos No EstProductos No Estndar (I)ndar (I) Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh las


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Antes de poder utilizar un mapa de Karnaugh, lasexpresiones booleanas deben estar en su formaestndar.

Si una expresin no lo est, se pasar al formatoestndar.

A un trmino en forma no estndar le faltan una o msvariables en su expresin. Este trmino se puede desarrollar numricamente para

obtener una expresin estndar: Se aaden todas las combinaciones de valores numricos de las variablesque faltan en la expresin.


Productos No EstProductos No Estndar (II)ndar (II) Ejemplo: Transformar la siguiente expresin suma de productos en


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j p p pun mapa de Karnaugh: A + AB + ABC

Solucin. Esta suma de productos no est en formato estndar, ya quecada trmino no contiene las tres variables. El primer trmino no poseedos de las tres variables; el segundo carece de una, mientras que eltercero s que es estndar.

1. Desarrollamos los trminos numricamente de la forma:

2. Cada uno de los valores binarios resultantes setraslada al mapa, colocando un 1 en la celdaapropiada del mapa de Karnaugh de 3 variables.

SimplificaciSimplificacin de una Suma de Productosn de una Suma de Productos

Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh El proceso que genera una expresin que contiene el


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El proceso que genera una expresin que contiene elmenor nmero posible de trminos con el mnimonmero de variables se denomina minimizacin.

Despus de haber obtenido el mapa de Karnaugh de unasuma de productos, se deben seguir tres pasos paraobtener la expresin suma de productos mnima: Agrupar los 1s.

Determinar el trmino producto correspondiente a cada grupo.

Sumar los trminos productos obtenidos.

AgrupaciAgrupacin de 1s (I)n de 1s (I)

La finalidad es maximizar el tamao de los grupos y


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La finalidad es maximizar el tamao de los grupos yminimizar el nmero de estos grupos. Reglas:

1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 16 celdas.

2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o ms celdas del

mismo grupo, pero no todas las celdas del grupo tienen que ser

adyacentes entre s.3. Incluir siempre en cada grupo el mayor nmero posible de 1s de

acuerdo con la regla 1.

4. Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s

que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre

que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes.

AgrupaciAgrupacin de 1s (II)n de 1s (II)C 0 1

00 1AB 0 1

00 1C

1AB AB CD00 01

0011 10

1 1AB CD00 01

0011 10

1 1


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00011110

11

11

00011110

1

11

1

1

01

1110

1 1 1 1

1 1

00011110

1

1

1

11 1 1

11

1

C 0 10001

1110

11

11

AB 0 10001

1110

11

11

C1

1

AB AB CD00 010001

1110

11 101 1

1 1 1 1

1 1

AB CD00 0100011110

11 101

1

1

1

11 1 1

11

1

Determinar el TDeterminar el Trmino Productormino Producto

Correspondiente a Cada Grupo (I)Correspondiente a Cada Grupo (I)1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar


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1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar

a un trmino producto compuesto por todaslas variables que aparecen en el grupo en slouna forma (no complementada ocomplementada). Las variables que aparecencomplementadas y sin complementar dentrodel mismo grupo se eliminan. A stas se lasdenomina variables contradictorias.

2. Determinar la operacin producto mnima paracada grupo.


Correspondiente a Cada Grupo (II)Correspondiente a Cada Grupo (II)a) Determinar la operacin producto mnima


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a) Determinar la operacin producto mnima

para un mapa de 3 variables.I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trminoproducto de tres variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de

dos variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino de una

variable.

IV. Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresin vale 1.


Correspondiente a Cada Grupo (III)Correspondiente a Cada Grupo (III)b) Determinar la operacin producto mnima


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b) Determinar la operacin producto mnima

para un mapa de 4 variables.I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trminoproducto de cuatro variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de

tres variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino producto de

dos variables.

IV. Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un trmino de unavariable.

V. Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresin vale 1.

Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (I)rminos Productos Obtenidos (I)

Cuando se han obtenido todos los trminos


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mnimos, se suman para obtener la expresinsuma de productos mnima.

B + AC + ACD

Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (II)rminos Productos Obtenidos (II)

Ejemplo: Determinar los productos para cada uno de los mapas deKarnaugh y escribir las correspondientes expresiones suma deproductos mnima resultante.Solucin La expresin suma de productos mnima para cada uno de


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Solucin. La expresin suma de productos mnima para cada uno de

los mapas de Karnaugh es:(a) AB + BC + A B C (b) B + AC + AC

(c) AB + A C + ABD (d) D + ABC + BC

Sumar los TSumar los Trminos Productos Obtenidos (III)rminos Productos Obtenidos (III) Ejemplo: Mediante un mapa de Karnaugh minimizar la expresin sumade productos siguiente:

B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D


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Se indica el trmino producto para cada grupo y la expresin sumade productos mnima resultante es:

D + BCNota: esta expresin mnima es equivalente a la expresin estndaroriginal.

ObtenciObtencin Directa del Mapa de Karnaughn Directa del Mapa de Karnaugh

a Partir de la Tabla de Verdada Partir de la Tabla de Verdad Los 1s de la columna de salida de la tabla deverdad se trasladan directamente al mapa de


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verdad se trasladan directamente al mapa de

Karnaugh, a las celdas correspondientes a losvalores asociados de las combinaciones devariables de entrada.

Condiciones Indiferentes (I)Condiciones Indiferentes (I)

Algunas veces se producen situaciones en las quel bi i d l i bl d t d


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algunas combinaciones de las variables de entrada no

estn permitidas. Por ejemplo, en el cdigo BCD existan seiscombinaciones no vlidas: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 y

1111. Estos pueden considerarse trminos indiferentes conrespecto a su efecto en la salida.

Esto significa que a estos trminos se les puede asignartanto un 1 como un 0 en la salida; realmente no sonimportantes dado que nunca van a generarse.

Condiciones Indiferentes (II)Condiciones Indiferentes (II)

Para cada trmino indiferente, se escribe una X en la celda.C d l 1 l X d id t bi


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Cuando se agrupan los 1s, las X se pueden considerar tambin como

1s para agrandar los grupos, o como 0s si no obtenemos ningunaventaja. Cuanto mayor sea el grupo ms sencillo ser el trmino resultante.

MinimizaciMinimizacin de un Producto de Sumasn de un Producto de Sumas

Mediante el Mapa de KarnaughMediante el Mapa de Karnaugh Este mtodo es similar al de la minimizacin de


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una expresin suma de productos mediante losmapas de Karnaugh. En esta ocasin, los 0s representan las

operaciones de suma estndar y se colocan enel mapa de Karnaugh en lugar de los 1s.

Mapa de Karnaugh de un Producto deMapa de Karnaugh de un Producto de

Sumas EstSumas Estndarndar Por cada trmino suma de la expresin productode sumas se coloca un 0 en el mapa de Karnaugh


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de sumas se coloca un 0 en el mapa de Karnaugh

en la celda correspondiente al valor de la suma. Las celdas que no tienen 0 son aquellas para las

que la expresin es 1.

SimplificaciSimplificacin Mediante el Mapa de Karnaughn Mediante el Mapa de Karnaughde Expresiones Producto de Sumas (I)de Expresiones Producto de Sumas (I)

El proceso de minimizacin de un producto de


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sumas es bsicamente el mismo que para unaexpresin suma de productos, excepto queahora hay que agrupar los 0s para generar el

mnimo nmero de trminos suma. Las reglas para agrupar los 0s son las mismasque para agrupar los 1s.

SimplificaciSimplificacin Mediante el Mapa de Karnaughn Mediante el Mapa de Karnaughde Expresiones Producto de Sumas (II)de Expresiones Producto de Sumas (II)


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(C + D)(A + B + D)(A + B + C)

ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto den entre Suma de Productos y Producto deSumas Mediante el Mapa de Karnaugh (I)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (I)

Cuando un producto de sumas se traslada a un mapa deKarnaugh puede fcilmente pasarse a la suma de


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Karnaugh, puede fcilmente pasarse a la suma deproductos equivalente.

Tambin, dado un mapa de Karnaugh de una suma deproductos, el producto de sumas equivalente puede

obtenerse directamente a partir del mapa. Esto proporciona una excelente manera de comparar

ambas formas mnimas de una expresin, para

determinar si una de ellas puede implementarse conmenos puertas que la otra.

ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto den entre Suma de Productos y Producto deSumas Mediante el Mapa de Karnaugh (II)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (II)

Para un producto de sumas, todas las celdas que nocontienen 0s contienen 1s de lo que se deriva su


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contienen 0s contienen 1s, de lo que se deriva suexpresin suma de productos.

De igual manera, para una suma de productos, todas lasceldas que no contienen 1s contendrn 0s, de los que se

obtiene la expresin producto de sumas.

ConversiConversin entre Suma de Productos y Producto den entre Suma de Productos y Producto deSumas Mediante el Mapa de Karnaugh (III)Sumas Mediante el Mapa de Karnaugh (III)

Ejemplo: Utilizando un mapa de Karnaugh, convertir el siguiente producto de sumasestndar en: un producto de sumas mnimo, una suma de productos estndar y unasuma de productos mnima.

(A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)


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Solucin. En (a) los 0s de la expresin producto de sumas estndar se transforman yagrupan para obtener el producto de sumas mnimo. En (b) se aaden 1s en las celdasque no contienen 0s. De cada celda que contenga un 1, se obtiene un trmino productoestndar. Estos trminos producto forman la expresin suma de productos estndar.En (c) se agrupan los 1s y se obtiene una expresin suma de productos mnima.

(A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D) (A + B + C + D)

Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (I)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (I)

Las funciones booleanas de cinco variables


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pueden simplificarse mediante un mapa deKarnaugh de 32 celdas. Para construir un mapa de 5 variables se

utilizan dos mapas de 4 variables (con 16 celdascada uno).

Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (II)Mapa de Karnaugh de Cinco Variables (II)

Cada mapa contiene 16 celdas con todas las


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posibles combinaciones de las variables B, C, Dy E: Un mapa es para A = 0

Otro es para A = 1

Adyacencia de Celdas (I)Adyacencia de Celdas (I)

La mejor manera de visualizar la adyacencia de


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celdas entre los dos mapas de 16 celdasconsiste en imaginar que el mapa A=0 estcolocado encima del mapa A=1.

Cada celda del mapa A=0 es adyacente con lacelda que est justo debajo en el mapa A=1.

Adyacencia de Celdas (II)Adyacencia de Celdas (II)

Agrupacin de 1s en celdas adyacentes de un


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El trmino del grupo punteado es: DE El trmino del grupo rayado es BCE

El trmino del grupo gris oscuro es: ABD El trmino de la celda gris claro junto con la celda gris oscuro es: BCDEX = DE + BCE + ABD + BCDE

mapa de 5 variables

Determinacin de los trminos producto

correspondientes a cada grupo

Suma de productos simplificada

Adyacencia de Celdas (III)Adyacencia de Celdas (III) Ejemplo: Utilizar un mapa de Karnaugh para minimizar la siguiente expresinestndar de la suma de productos de 5 variables:

X=ABCDE + ABCDE + ABCDE+ ABCDE + ABCDE+ ABCDE +

ABCDE + ABCDE + ABCDE+ ABCDE + ABCDE + ABCDE


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- Se traslada la suma de productos al mapa de Karnaugh y se realizanlas agrupaciones indicando los trminos correspondientes.

- Combinando estos trminos se obtiene la siguiente expresin suma de

productos minimizada:X= ADE + BCD + BCE + ACDE

ABCDE + ABCDE + ABCDE+ ABCDE + ABCDE + ABCDE

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