Algebra proposicional

Álgebra Proposicional

Estructuras Discretas

¡Hola!...

Estos son unos apuntes de Estructuras Discretas que les pueden servir mucho para que entiendan algo de algebra proposicional.

No deseen aprender todo de golpe, vayan poco a poco y si no entienden algo, regresen al punto anterior y vuelvan a repasar. Si avanzan con dudas, se les vuelve un papagayo todo XD!


En resumen, podemos dar la siguiente definición: Proposición es toda oración declarativa.

Álgebra ProposicionalProposiciónLa proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

p : 15 + 5 = 21 (F)q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)r: El número 15 es divisible por 3. (V)s: El perro es un ave. (F)


Expresiones No ProposicionalesSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.


Así tenemos, por ejemplo:

– ¿Cómo te llamas?– Prohibido pasar– Borra el pizarrón.


Clasificación de las Proposiciones

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:

"p: 3 + 6 = 9"Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas.

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.



PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD

p p q p q r

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

En general para “n” proposiciones, se

pueden presentar 2n

posibilidades

21

22

23

Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que

sirven para analizar los posibles valores de verdad

que puede tener una proposición simple o

compuesta.

Algebra Proposicional



Símbolo Operación asociada Significado

~ Negación no p o no es cierto que p

Ù Conjunción o producto lógico

p y q

Ú Disyunción o suma lógica p o q (en sentido incluyente)

⇒ Implicación p implica q, o si p entonces q

Û Doble implicación p si y sólo si q



NegaciónDada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de

p. Por ejemplo:

• p: Diego estudia matemática• ~ p: Diego no estudia matemática• Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p ~ p

V F

F V



ConjunciónDadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:


Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. En

todos los demás casos es falsa

DisyunciónDadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:


Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. Si

alguna de las proposiciones es verdadera, la conclusión es

verdadera. En todos los demás casos es falsa


Implicación o CondicionalImplicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces ⇒q) cuya tabla de valores de verdad es:


En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En



Doble Implicación o BicondicionalDoble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es


En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En



La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) Ù (q p), como vemos:⇒ ⇒



Hay algo más importante que la lógica: es la imaginación.

Alfred Hitchcock


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