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Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 1/90
Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130
Producto Interno y OrtogonalidadDepartamento de Matemáticas
ITESM
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 2/90
Contexto
Hemos mencionado que el problema fundamental del álgebra lineal
consiste en resolver un sistema de ecuaciones lineales Ax = b y
hemos introducido varios conceptos sofisticados para manejar la
solución y el análisis. El concepto de espacio generado resuelve el
problema de la consistencia: El sistema es consistente si y sólo si
b ∈ C(A) (el espacio generado por las columnas de A). Otro
concepto importante es el concepto de dependencia lineal y
resuelve el problema de la unicidad: Si el sistema Ax = b es
consistente, entonces Ax = b tiene infinitas soluciones si y sólo si
las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente.
Los conceptos de dimensión y de base de un espacio lineal
permiten tener una idea qué tan grande es el conjunto solución y
cómo generarlo: Si el sistema Ax = b es consistente, entonces la
fórmula de todas las soluciones es y = yo + ns(A) donde yo es
una solución particular y ns(A) es el espacio nulo de A, es decir, el
conjunto de todos los vectores que satisfacen Ax = 0.
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 3/90
De hecho, si B = {x1, . . . ,xr} es una base para ns(A), entoncesla solución general será
y = yo +
r∑
i=1
ci · xi
y esta será la solución general en su forma más reducida posible.
El caso consistente ha dado origen a toda la teoría que hemos visto
hasta ahora. Pasemos ahora a la inconsistencia. De alguna forma
debemos cambiar la pregunta por que el tema se agotó: Si es
Ax = b inconsistente, entonces no hay solución. Una forma
adecuada de reformular la pregunta es: No habiendo solución para
Ax = b, ¿qué es lo más cerca posible que podemos estar de una
solución? Esto involucra dos conceptos hermanados: distancia y
perpendicularidad. Y ellos tienen como origen el concepto de
producto interno o producto punto que es el tema de esta lectura.
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 4/90
Introducción
En esta lectura veremos cómo definir un producto punto o producto
interno en espacios de matrices (pues tenga presente que nos
interesa el paso de Ax = b a AX = B también en el caso
inconsistente). Veremos que aunque en un principio la definición
del producto punto apartir del uso de la traza sea extraña, esta
definición es de lo más cómoda porque hace coincidir el producto
punto entre matrices con el producto punto tradicional entre
vectores cuando las matrices son vectorizadas. La estructura
clásica de la construcción del Algebra Lineal referente al producto
interno es: definir un producto interno, probar ciertas propiedades
básicas, estas propiedades incluyen en concepto de ortogonalidad,
y entonces mostrar que se puede definir una norma a partir del
producto interno; para llegar la definir una distancia con la norma
se requiere probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando se
dice que se tiene una distancia en el espacio lineal se tiene el
concepto de cercanía y el de error.
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 5/90
Las propiedades importantes que deben ser deducidas para que la
distancia definida sea cabalmente una distancia son de identidad
(que si la distancia entre dos objetos es cero, entonces los objetos
son idénticos), de simetría (que la distancia medida de un objeto a
otro es independiente de cual de los dos sea el punto de
referencia), la desigualdad del triángulo (la distancia entre dos
puntos no excede la suma de las distancias de uno de ellos a otro
intermedio mas la distancia de ese intermedio al segundo punto; y
habrá igualdad cuando el punto intermedio esté en el segmento
que une ambos puntos). El proceso de Gram-Schmidt será la clave
para encontrar una base para C(A) desde donde será fácil
encontrar el punto más próximo de C(A) a b y allí a la mejor
solución posible a Ax = b.
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
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Un producto punto mediante la traza
Definici onSean A y B dos matrices m× n, el productointerno o producto punto de A y B se define como:
A •B = tr (B′ ·A)
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 7/90
Ejemplo
Determine A •B si
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
1 −1
0 1
4 −3
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 7/90
Ejemplo
Determine A •B si
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
1 −1
0 1
4 −3
Soluci on
B′ ·A =
1 0 4
−1 1 −3
3 −1
2 0
5 −2
=
23 −16
−9 7
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 7/90
Ejemplo
Determine A •B si
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
1 −1
0 1
4 −3
Soluci on
B′ ·A =
1 0 4
−1 1 −3
3 −1
2 0
5 −2
=
23 −16
−9 7
Por tanto:
A •B = tr
23 −16
−9 7
= 23 + 7 = 30 �
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Ejercicio 1
Para las matrices siguientes calcule A •B.
1. A =
[
2 −1
3 1
]
y B =
[
1 0
−1 0
]
2. A =
[
2 −1 3
1 0 1
]
y B =
[
1 0 −1
0 2 1
]
3. A =
2 −1
3 1
0 1
y B =
1 0
−1 0
2 1
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:1. Simetría: A •B = B •A
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:1. Simetría: A •B = B •A2. No negatividad: A •A ≥ 0, habiendo
igualdad ssi A = 0
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:1. Simetría: A •B = B •A2. No negatividad: A •A ≥ 0, habiendo
igualdad ssi A = 0
3. Proporcionalidad: (kA) •B = k (A •B)
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:1. Simetría: A •B = B •A2. No negatividad: A •A ≥ 0, habiendo
igualdad ssi A = 0
3. Proporcionalidad: (kA) •B = k (A •B)
4. Distributividad:(A+B) •C = A •C+B •C
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
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Propiedades del producto punto
Teorema
Sean A, B y C matrices m× n y sea k unescalar. Entonces el producto punto cumplelas siguientes propiedades:1. Simetría: A •B = B •A2. No negatividad: A •A ≥ 0, habiendo
igualdad ssi A = 0
3. Proporcionalidad: (kA) •B = k (A •B)
4. Distributividad:(A+B) •C = A •C+B •C
5. 0 •A = 0
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Demostraci on1. Directo de la definición:
A •B = tr (B′A)
=
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Demostraci on1. Directo de la definición:
A •B = tr (B′A)
= tr(
(B′A)′)
=
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Demostraci on1. Directo de la definición:
A •B = tr (B′A)
= tr(
(B′A)′)
= tr (A′B)
=
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Demostraci on1. Directo de la definición:
A •B = tr (B′A)
= tr(
(B′A)′)
= tr (A′B)
= B •A
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Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 11/90
2. De la sección anterior:
A •A =
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2. De la sección anterior:
A •A = tr (A′A)
=
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2. De la sección anterior:
A •A = tr (A′A)
=∑m
i=1
∑nj=1
a2ij
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2. De la sección anterior:
A •A = tr (A′A)
=∑m
i=1
∑nj=1
a2ij ≥ 0
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2. De la sección anterior:
A •A = tr (A′A)
=∑m
i=1
∑nj=1
a2ij ≥ 0
Además, A •A = 0 ssim∑
i=1
n∑
j=1
a2ij = 0
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2. De la sección anterior:
A •A = tr (A′A)
=∑m
i=1
∑nj=1
a2ij ≥ 0
Además, A •A = 0 ssim∑
i=1
n∑
j=1
a2ij = 0
ssi aij = 0 para todo i = 1 . . .m y j = 1 . . . n ssiA = 0 �
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Ejercicio 2
Demuestre el punto 3 del teorema anterior:Sean A y B matrices m× n y sea k unescalar. Pruebe que:
(kA) •B = k (A •B)
Sugerencia
Utilice la definición de •, la propiedad de latranspuesta, y la propiedad 1 del Lema 5.1.
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Ejercicio 3
Demuestre el punto 4 del teorema anterior:Sean A, B y C matrices m× n. Pruebe que:
(A+B) •C = A •C+B •C
Sugerencia
Utilice la definición de •, la propiedad de latranspuesta, y la propiedad 2 del Lema 5.1.
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Ejercicio 4
Demuestre el punto 5 del teorema anterior:Sea A una matriz m× n. Pruebe que:
0 •A = 0
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La norma de una matriz
Definici onLa norma de la matriz A m× n se define como:
‖A‖2= ‖A‖ =
√A •A
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La norma de una matriz
Definici onLa norma de la matriz A m× n se define como:
‖A‖2= ‖A‖ =
√A •A
Observe que por el punto 2 del teorema anterior,A •A ≥ 0; así que la raíz cuadrada entregará unreal mayor o igual a cero.
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EjemploDetermine la norma de la matriz:
A =
3 −1
2 0
5 −2
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EjemploDetermine la norma de la matriz:
A =
3 −1
2 0
5 −2
Soluci on Como
A′A =
3 2 5
−1 0 −2
3 −1
2 0
5 −2
=
38 −13
−13 5
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Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 16/90
EjemploDetermine la norma de la matriz:
A =
3 −1
2 0
5 −2
Soluci on Como
A′A =
3 2 5
−1 0 −2
3 −1
2 0
5 −2
=
38 −13
−13 5
Así
A •A = tr
38 −13
−13 5
= 43
y por tanto, ‖A‖ =√43 �
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Ejercicio 5
Para las matrices siguientes calcule sunorma.
1. A =
[
2 −1
3 1
]
2. A =
[
2 −1 3
1 0 1
]
3. A =
2 −1
3 1
0 1
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Un hecho importante sobre la norma de unamatriz es:
‖A‖ = tr (A′A) =
(
m∑
i=1
n∑
j=1
(aij)2
)1/2
Lo cual hace coincidir la definición tradicional denorma de un vector con la norma de una matrizcuando la matriz es utilizada para formar un solovector formado por los renglones de ella. Algo m asimportante de observar es que el producto punto entrematrices usando la traza equivale al producto puntotradicional aplicado a los vectores obtenidos devectorizar las matrices.
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Ejemplo
Verifiquemos la afirmación en el caso de matrices2× 2.Comprobaci on
Digamos que
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
B =
[
b11 b12
b21 b22
]
Así
B′ A =
[
a11b11 + a21b21
a12b12 + a22b22
]
De donde
A •B = (a11b11 + a21b21) + (a12b12 + a22b22)
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Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
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Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:
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Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 20/90
Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:1. ‖A‖ ≥ 0, además ‖A‖ = 0 ssi A = 0
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Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:1. ‖A‖ ≥ 0, además ‖A‖ = 0 ssi A = 0
2. ‖ −A‖ = ‖A‖
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Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:1. ‖A‖ ≥ 0, además ‖A‖ = 0 ssi A = 0
2. ‖ −A‖ = ‖A‖3. ‖kA‖ = |k| ‖A‖
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 20/90
Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:1. ‖A‖ ≥ 0, además ‖A‖ = 0 ssi A = 0
2. ‖ −A‖ = ‖A‖3. ‖kA‖ = |k| ‖A‖
Demostraci on
1. De lo visto
‖A‖ =√A •A =
(
m∑
i=1
n∑
j=1
(aij)2
)1/2
≥ 0
Y también de lo mismo se deduce que ‖A‖ = 0 ssi A = 0.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 20/90
Propiedades de la norma de matrices
Teorema
Sea A una matriz m× n y k un escalar:1. ‖A‖ ≥ 0, además ‖A‖ = 0 ssi A = 0
2. ‖ −A‖ = ‖A‖3. ‖kA‖ = |k| ‖A‖
Demostraci on
3. Por las propiedades conocidas:
‖kA‖ =√
(kA) • (kA) =√k2A •A = |k|
√A •A = |k| ‖A‖
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 21/90
Ejercicio 6
Demuestre el punto 2. del teorema anterior:Sea A una matriz m× n. Pruebe que:
‖ −A‖ = ‖A‖
Sugerencia
Use directamente la definición de lamagnitud de una matriz.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 22/90
Desigualdad de Schwarz
En la línea tradicional, el siguiente paso para verque nuestro producto punto llega a definir unadistancia a través de la definición de la norma, esprobar que nuestro producto punto y la normacumplen una relación de desigualdad llamada ladesigualdad de Cauchy-Schwarz.
Teorema
Sean A y B matrices m× n:
|A •B| ≤ ‖A‖ · ‖B‖
Además, la igualdad se tiene si y sólo si unamatriz es un múltiplo de la otra.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 23/90
Demostraci on
En esta demostración es importante que vigile el rol de los factores en losproductos: en los productos • los factores en ambos lados deben ser matrices,mientras en los productos · el factor a la izquierda es escalar y el factor a laderecha debe ser una matriz. Para cualesquiera escalares x y y:
0 ≤ (x ·A− y ·B) • (x ·A− y ·B)
= x2‖A‖2 − 2xy (A •B) + y2‖B‖2
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 23/90
Demostraci on
En esta demostración es importante que vigile el rol de los factores en losproductos: en los productos • los factores en ambos lados deben ser matrices,mientras en los productos · el factor a la izquierda es escalar y el factor a laderecha debe ser una matriz. Para cualesquiera escalares x y y:
0 ≤ (x ·A− y ·B) • (x ·A− y ·B)
= x2‖A‖2 − 2xy (A •B) + y2‖B‖2
Suponiendo B 6= 0, tomamos x = ‖B‖ y y = (A •B)/‖B‖:
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 23/90
Demostraci on
En esta demostración es importante que vigile el rol de los factores en losproductos: en los productos • los factores en ambos lados deben ser matrices,mientras en los productos · el factor a la izquierda es escalar y el factor a laderecha debe ser una matriz. Para cualesquiera escalares x y y:
0 ≤ (x ·A− y ·B) • (x ·A− y ·B)
= x2‖A‖2 − 2xy (A •B) + y2‖B‖2
Suponiendo B 6= 0, tomamos x = ‖B‖ y y = (A •B)/‖B‖:
0 ≤ ‖B‖2 ‖A‖2 − (A •B)2
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 23/90
Demostraci on
En esta demostración es importante que vigile el rol de los factores en losproductos: en los productos • los factores en ambos lados deben ser matrices,mientras en los productos · el factor a la izquierda es escalar y el factor a laderecha debe ser una matriz. Para cualesquiera escalares x y y:
0 ≤ (x ·A− y ·B) • (x ·A− y ·B)
= x2‖A‖2 − 2xy (A •B) + y2‖B‖2
Suponiendo B 6= 0, tomamos x = ‖B‖ y y = (A •B)/‖B‖:
0 ≤ ‖B‖2 ‖A‖2 − (A •B)2
De donde se obtiene:
(A •B)2 ≤ ‖B‖2 ‖A‖2
y tomando raíz cuadrada se obtiene la conclusión.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 24/90
Además, si A = k ·B se tiene que ‖A‖ = |k| ‖B‖ y así
|A •B| = |k| (B •B) = |k| ‖B‖2 = ‖A‖ ‖B‖
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 24/90
Además, si A = k ·B se tiene que ‖A‖ = |k| ‖B‖ y así
|A •B| = |k| (B •B) = |k| ‖B‖2 = ‖A‖ ‖B‖
Por otro lado, si |A •B| = ‖A‖ ‖B‖ definimos
C = ‖B‖2 ·A− (A •B) ·B
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 24/90
Además, si A = k ·B se tiene que ‖A‖ = |k| ‖B‖ y así
|A •B| = |k| (B •B) = |k| ‖B‖2 = ‖A‖ ‖B‖
Por otro lado, si |A •B| = ‖A‖ ‖B‖ definimos
C = ‖B‖2 ·A− (A •B) ·B
se puede confirmar que desarrollando el producto término a término: C •C = 0,implicando que C = 0, de donde ‖B‖2 ·A = (A •B) ·B si suponemos B 6= 0
deducimos que
A =(A •B)
‖B‖2 ·B
lo que dice que A es un múltiplo de B. Si B = 0, claramente B = 0 ·A y la
desigualdad se cumple con igualdad�
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 25/90
Ejercicio 7
Sean A y B dos matrices m× n. Demuestreque
‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖y que existe igualdad sólo cuando una matrizes un múltiplo escalar de la otra.Sugerencia
Utilice
‖A+B‖2 = (A+B) • (A+B)
Desarrolle tal producto punto. Despuésutilice la desigualdad de Schwarz.Finalmente, tome raíz cuadrada. Para laigualdad se requiere igualdad en ladesigualdad de Schwarz.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 26/90
Lema
Sean X y Y dos matrices m× n. Entonces X y Y son ortogonales, esdecir, cumplen X •Y = 0 si y sólo si
‖X±Y‖2 = ‖X‖2 + ‖Y‖2
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 26/90
Lema
Sean X y Y dos matrices m× n. Entonces X y Y son ortogonales, esdecir, cumplen X •Y = 0 si y sólo si
‖X±Y‖2 = ‖X‖2 + ‖Y‖2
Demostraci on
Tenemos en general que
‖X±Y‖2 = (X±Y) • (X±Y)
= X •X± 2X •Y +Y •Y= ‖X‖2 + ‖Y‖2 ± 2X •Y
Por tanto, si X •Y = 0 entonces de la fórmula anterior se deduce la igualdad que
queremos probar. Por otro lado, si la fórmula se cumple nuestra fórmula indica que
X •Y = 0. Es decir X y Y son perpendiculares. �
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 27/90
La distancia entre dos matrices
Definici onSean A y B dos matrices m× n la distancia entrematrices A y B se define como:
δ (A,B) = ‖A−B‖
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 28/90
Determine la distancia entre las matrices:
A =
3 −1
2 0
5 −2
B =
1 −1
0 1
1 −2
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 28/90
Determine la distancia entre las matrices:
A =
3 −1
2 0
5 −2
B =
1 −1
0 1
1 −2
C = A−B =
2 0
2 −1
4 0
C′C =
[
2 2 4
0 −1 0
]
2 0
2 −1
4 0
=
[
24 −2
−2 1
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 28/90
Determine la distancia entre las matrices:
A =
3 −1
2 0
5 −2
B =
1 −1
0 1
1 −2
Así
δ(A,B) = ‖C‖ =√C •C =
√
tr (C′C) =√24 + 1 = 5⋄
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 29/90
Ejercicio 8
Determine la distancia entre las matrices:
1. A =
3 −1
2 1
5 2
y B =
1 1
−1 1
1 2
2. A =
[
3 −1
5 2
]
y B =
[
−1 1
1 2
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 30/90
Ejercicio 9
Sean A y B dos matrices de igualesdimensiones. Pruebe que:
δ(A,B) = δ(B,A)
Sugerencia
Use directamente la definición de distanciaentre matrices. Utilice también la propiedadconmutativa del producto punto.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 31/90
Ejercicio 10
Sean A y B dos matrices de igualesdimensiones. Pruebe que:
δ(A,B) ≥ 0
Además, pruebe que hay igualdad si y sólo siA = B.Sugerencia
Utilice la definición de distancia entrematrices y la propiedad 1 del teorema 6.2sobre la norma para matrices.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 32/90
Ejercicio 11
Sean A, B y C dos matrices de igualesdimensiones. Pruebe que:
δ(A,B) ≤ δ(A,C) + δ(C,B)
Vea que existe igualdad si sólo si existe unescalar t (0 ≤ t ≤ 1) tal queC = tA+ (1− t)B. Esta desigualdad sellama Desigualdad del triángulo.Sugerencia
Utilice como válido el resultado del ejercicio7 con A como A−C y con B como C−B.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 33/90
Ejercicio 12
Sean A, B y C dos matrices de igualesdimensiones. Pruebe que:
δ(A,B) = δ(A+C,B+C)
Esta propiedad indica que la distancia entrematrices se preserva ante traslaciones.Sugerencia
Directamente de la definición de distancia.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 34/90
Ángulo entre matrices
Definici onSean A y B dos matrices m× n, no nulas, elángulo entre matrices A y B, θ, se define como
cos (θ) =A •B
‖A‖ ‖B‖
Aquí θ debe cumplir: 0 ≤ θ ≤ π.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 35/90
Ejemplo
Determine el ángulo en radianes entre las matrices
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
−4 −1
0 0
1 −2
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 35/90
Ejemplo
Determine el ángulo en radianes entre las matrices
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
−4 −1
0 0
1 −2
Soluci on Como
A •B = −2, ‖A‖ =√43, ‖B‖ =
√22
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 35/90
Ejemplo
Determine el ángulo en radianes entre las matrices
A =
3 −1
2 0
5 −2
, B =
−4 −1
0 0
1 −2
Soluci on Como
A •B = −2, ‖A‖ =√43, ‖B‖ =
√22
cos (θ) =−2√43√22
≈ −0.065, por tanto θ ≈ 1.63 radianes⋄
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 36/90
Ejercicio 13
Determine el ángulo en radianes entre lasmatrices
A =
[
3 −1
5 −2
]
, B =
[
−4 −1
1 −2
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 37/90
Ejercicio 14
Determine el valor de x para que el ánguloen radianes entre las matrices
A =
[
3 −1
5 −2
]
, B =
[
−4 −1
1 x
]
sea de 0.1.Sugerencia
Entréle sin miedo: A •B es una expresión lineal en x. |B|es una raíz cuadrada de un polinomio cuadrático en x.Cuando se iguala:
cos (0.1rad) =A •B
‖A‖ ‖B‖
después de elevar al cuadrado y multiplicar por
denominadores queda una ecuación cuadrática en x.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 38/90
Ortogonalidad y espacios generados
Sean A y B dos matrices m× n, se dice que sonmatrices ortogonales si se cumple
A •B = 0
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 38/90
Ortogonalidad y espacios generados
Sean A y B dos matrices m× n, se dice que sonmatrices ortogonales si se cumple
A •B = 0
Un conjunto {A1,A2, . . . ,Ak} de matrices m× nse dice conjunto ortogonal si Ai •Aj = 0 parai 6= j
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 38/90
Ortogonalidad y espacios generados
Sean A y B dos matrices m× n, se dice que sonmatrices ortogonales si se cumple
A •B = 0
Un conjunto {A1,A2, . . . ,Ak} de matrices m× nse dice conjunto ortogonal si Ai •Aj = 0 parai 6= j El conjunto anterior se dice ortonormal si esortogonal y además cada matriz tiene norma 1.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 39/90
Una vez que se tiene un conjunto ortogonal deelementos no cero
{A1,A2, . . . ,Ak}es posible convertirlo a uno ortonormal
{B1,B2, . . . ,Bk}definiendo:
Bi =1
‖Ai‖Ai
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 40/90
Ejercicio 15
Determine el valor de x para que lasmatrices sean ortogonales.
A =
[
3 −1
5 −2
]
, B =
[
−4 −1
1 x
]
Sugerencia
Al hacer A •B = 0 queda una ecuaciónlineal en x.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 41/90
Ejercicio 16
Determine qué condición deben cumplir lasvariables para que A ⊥ B.
A =
[
3 −1
5 −2
]
, B =
[
x y
z w
]
Sugerencia
Al hacer A •B = 0 queda una ecuaciónlineal.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 42/90
Ejercicio 17
Sea A una matriz m× n muestre que elconjunto
A⊥ = {X matriz m× n|A ⊥ X}es un espacio lineal.Sugerencia
Al hacer A •X = 0 queda una ecuaciónhomogénea. Las soluciones a los sistemashomogéneos son espacios lineales.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 43/90
Ejercicio 18
Determine el espacio perpendicular a lamatriz:
[
1 1
−1 1
]
Escíbalo como un espacio generado.Sugerencia
Tome una matriz X 2× 2 con incógnitas. Alhacer A •X = 0 queda una ecuaciónhomogénea con 4 incógnitas; una de ellas esfija y las otras son libres. Despeje la fija ypóngala en función de las libres. En lugar dela notación de vector en la solución general,prefiera la notación de matriz.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 44/90
Ejercicio 19
Sea V un subespacio lineal de matricesm× n muestre que el conjunto
V ⊥ = {X matriz m× n|Y ⊥ X para toda Y ∈ V }es un espacio lineal.Sugerencia
Muestre que■ no es vacío: la matriz de ceros está
(compruébelo!),■ es cerrado bajo la suma (compruébelo), y■ es cerrado bajo el producto por escalares
(compruébelo).
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 45/90
Ejercicio 20
Determine el espacio perpendicular alespacio generado por las matrices matrices:
A =
[
1 1
−1 1
]
y B =
[
1 −1
1 1
]
Sugerencia
Tome una matriz X 2× 2 de incógnitas:■ A •X = 0 da una ecuación en las incógnitas
■ B •X = 0 da otra ecuación en las incógnitas
Resuelva el sistema homogéneo, encuentre la solución
general y déle la notación matricial.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 46/90
Lema
Un conjunto ortogonal de matrices no nulas es linealmente independiente
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 46/90
Lema
Un conjunto ortogonal de matrices no nulas es linealmente independiente
Demostraci on
Si {A1A2, . . . ,Ak} es un conjunto ortogonal de matrices no nulas y si se cumple:
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk = 0
veamos que los coeficientes ci son cero.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 46/90
Lema
Un conjunto ortogonal de matrices no nulas es linealmente independiente
Demostraci on
Si {A1A2, . . . ,Ak} es un conjunto ortogonal de matrices no nulas y si se cumple:
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk = 0
veamos que los coeficientes ci son cero. Haciendo el producto punto con Ai:
Ai • (c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk) = Ai • 0 = 0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 47/90
Desarrollando el primer miembro:
Ai • (c1A1) +Ai • (c2A2) + · · ·+Ai • (ckAk) = 0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 47/90
Desarrollando el primer miembro:
Ai • (c1A1) +Ai • (c2A2) + · · ·+Ai • (ckAk) = 0
Como el conjunto es ortogonal entonces Ai •Aj = 0 para i 6= j,
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 47/90
Desarrollando el primer miembro:
Ai • (c1A1) +Ai • (c2A2) + · · ·+Ai • (ckAk) = 0
Como el conjunto es ortogonal entonces Ai •Aj = 0 para i 6= j, la expresiónanterior queda:
ciAi •Ai = 0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 47/90
Desarrollando el primer miembro:
Ai • (c1A1) +Ai • (c2A2) + · · ·+Ai • (ckAk) = 0
Como el conjunto es ortogonal entonces Ai •Aj = 0 para i 6= j, la expresiónanterior queda:
ciAi •Ai = 0
Puesto que ninguna matriz Ai es nula, Ai •Ai 6= 0 :
ci = 0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 47/90
Desarrollando el primer miembro:
Ai • (c1A1) +Ai • (c2A2) + · · ·+Ai • (ckAk) = 0
Como el conjunto es ortogonal entonces Ai •Aj = 0 para i 6= j, la expresiónanterior queda:
ciAi •Ai = 0
Puesto que ninguna matriz Ai es nula, Ai •Ai 6= 0 :
ci = 0
Así, cada coeficiente en la combinación lineal es cero. Por tanto, el conjunto de
matrices es linealmente independiente.�
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 48/90
Lema
Sea A una matriz y V = Gen{B1, . . . ,Bk} en Mm×n. Entonces: A esortogonal a todo V si y sólo si A es ortogonal a cada Bi.
Demostraci on
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 48/90
Lema
Sea A una matriz y V = Gen{B1, . . . ,Bk} en Mm×n. Entonces: A esortogonal a todo V si y sólo si A es ortogonal a cada Bi.
Demostraci on
Suficiencia: Si suponemos que A es ortogonal a todo V y sabiendo que cada Bi
está en V , entonces es inmediato que A es ortogonal a Bi.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 48/90
Lema
Sea A una matriz y V = Gen{B1, . . . ,Bk} en Mm×n. Entonces: A esortogonal a todo V si y sólo si A es ortogonal a cada Bi.
Demostraci on
Necesidad: Supongamos ahora que A es ortogonal a todo Bi, es decir queA •Bi = 0 para todo i = 1, . . . , k. Veamos que entonces es ortogonal a cualquierX de V . Tomemos un X cualquiera de V . Como V está generado por los Bi,entonces deben existir escalares ci tales que
X =
k∑
i=1
ck ·Bi
Por tanto,
A •X = A • (∑k
i=1 ck ·Bi)
=∑k
i=1 A • (ck ·Bi)
=∑k
i=1 ci(A •Bi)∑
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 49/90
Bases Ortonormales
El siguiente resultado es importante porquepermite cambiar la base de un espacio generadopor otra que es ortogonal. La misma demostracióndel resultado da el algoritmo de conversión.
Teorema
Sea un conjunto {A1,A2, . . . ,Ak} dematrices m× n linealmente independiente.Entonces existen escalares únicos xi,j(i < j)tales que:
B1 = A1
B2 = A2 − x1,2B1
...Bj = Aj − x1,jB1 − x2,jB2 − · · · − xj−1,jBj−1
...
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 50/90
Demostraci on
Definimos los valores escalares xi,j como precisamente se requieren:
xi,j =Aj •Bi
Bi •Bi
Un punto importante a observar es que los {A1,A2, . . . ,Aj} son combinacioneslineales de los {B1,B2, . . . ,Bj} y por consiguiente el conjunto de los Bs eslinealmente independiente. La base inductiva para i = 2 se comprueba revisandoque B1 y B2 son ortogonales:
B2 •B1 = A2 •B1 − x1,2B1 •B1 = A2 •B1 −A2 •B1
B1 •B1B1 •B1 = 0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 51/90
Supongamos que {B1, . . . ,Bi} es un conjunto ortogonal para 1 ≤ i ≤ k − 1,veamos {B1, . . . ,Bi,Bi+1} también lo será. Para ello basta probar que Bi+1 esortogonal a cada Bj para 1 ≤ j ≤ i. Como
Bi+1 = Ai+1 −i∑
l=1
xl,i+1Bl
Así
Bi+1 •Bj =(
Ai+1 −∑i
l=1 xl,i+1Bl
)
•Bj
= Ai+1 •Bj −∑i
l=1 xl,i+1Bl •Bj
= Ai+1 •Bj − xj,i+1Bj •Bj
= 0
Note que en el penúltimo paso fue requerida la base inductiva: que Bj era
ortogonal a sus compañeros en {B1, . . . ,Bi}.�
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 52/90
Ejemplo
Aplique el algoritmo anterior al conjunto formadopor las matrices:
A1 =
[
1 0
1 0
]
,A2 =
[
1 −1
1 0
]
,A3 =
[
1 1
0 2
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 52/90
Ejemplo
Aplique el algoritmo anterior al conjunto formadopor las matrices:
A1 =
[
1 0
1 0
]
,A2 =
[
1 −1
1 0
]
,A3 =
[
1 1
0 2
]
Soluci on
B1 = A1
B1 •B1 = 2 y A2 •B1 = 2; x12 = 1
B2 = A2 − x12B1 =
[
0 −1
0 0
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 53/90
Realizando los cálculos:
B2 •B2 = 1;A3 •B1 = 1;A3 •B2 = −1;
Obtenemos:
x13 = 1/2, x23 = −1;
Y así:
B3 = A3 − x13B1 − x23B2 =
[
1/2 0
−1/2 2
]
⋄
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 54/90
Estos cálculos pueden hacerse en la calculadoraTI, para ello habrá que vectorizar las matrices yseguir las fórmulas: en la figura 1 aparecencapturadas las matrices como vectores y en lafigura 2 aparecen los cálculos del algoritmo deortogonalización.
Figura 1: Captura de la matrices vectorizadas del ejemplo 7.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 55/90
Figura 2: Obtención del conjunto ortogonal del ejemplo 7.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 56/90
Ejemplo
Aplique el algoritmo anterior al conjunto formadopor las matrices:
A1 =
[
1 0
1 0
]
,A2 =
[
2 0
2 0
]
,A3 =
[
1 1
0 2
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 56/90
Ejemplo
Aplique el algoritmo anterior al conjunto formadopor las matrices:
A1 =
[
1 0
1 0
]
,A2 =
[
2 0
2 0
]
,A3 =
[
1 1
0 2
]
Soluci on
B1 = A1
B1 •B1 = 2 y A2 •B1 = 4; x12 = 2
B2 = A2 − x12B1 =
[
0 0
0 0
]
este cálculo indica que vector A2 es combinación lineal de los
vectores anteriores a él y por tanto el conjunto original es
linealmente dependiente. Debemos descartar al vector A2.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 57/90
Realizando solo el cálculo:
A3 •B1 = 1;
Obtenemos:x13 = 1/2
Y así:
B3 = A3 − x13B1 =
[
1/2 1
−1/2 2
]
⋄
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 58/90
Ejercicio 21
Aplique el algoritmo anterior al conjuntoformado por las matrices:
A1 =
[
1 0
1 1
]
,A2 =
[
1 −1
1 1
]
,A3 =
[
1 0
0 2
]
Sugerencia
Siga el algoritmo; no hay de otra.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 59/90
Existencia de Bases Ortonormales
EL resultado anterior se conoce como elprocedimiento de Gram-Schmidt, y permitecambiar una base por una base ortogonal, dedonde es fácil obtener una base ortonormal:
Teorema
Todo espacio lineal de matrices m× n poseeuna base ortonormal
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 60/90
Demostraci onSabemos que todo espacio lineal posee una base,digamos {A1, . . . ,Ak}. Sean lo Bj los las matricesobtenidas de aplicar el proceso de Gram-Schmidt.Los espacios generado por los Bi y los Ai soniguales pues las matrices Bi son combinacioneslineales de los vectores Ai y viceversa. Así, losconjuntos generados son los mismos. Si lasmatrices Ai forman un conjunto linealmenteindependiente, también lo debe ser el conjuntoformado por los Bi. Por tanto, el conjunto formadopor los Bi es también una base para el espaciogenerado por los Ai.⋄
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 61/90
Una ventaja inmediata de una base ortonormal{A1,A2, . . . ,Ak} es que si A es una combinaciónlineal de las matrices anteriores entonces:
A = (A •A1)A1 + (A •A2)A2 + · · ·+ (A •Ak)Ak
es decir, que no hace falta utilizar el proceso deeliminación gaussiana para determinar loscoeficientes, si no simplemente hacer un productopunto con el vector correspondiente.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 62/90
Una consecuencia también inmediata es que sepuede completar un conjunto linealmenteindependiente y ortogonal a una base ortogonalen un espacio lineal de matrices m× n. Una formaconviente es aplicar el proceso de Gram-Schmidtal conjunto li y ortogonal aumentado con una basecualquiera del espacio y detener el proceso hastaobtener el primer vector cero. El resultadoesperado debe ser el conjunto inicial adicionadocon algunos vectores. Este conjunto debe ser unabase para el espacio completo.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U .
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U . Entonces, existeuna unica matriz Z en V tal que (Y − Z) ⊥ V .
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U . Entonces, existeuna unica matriz Z en V tal que (Y − Z) ⊥ V . Si r = 0
entonces Z = 0,
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U . Entonces, existeuna unica matriz Z en V tal que (Y − Z) ⊥ V . Si r = 0
entonces Z = 0, y si r > 0 entonces Z se puede expresarcomo
Z = c1X1 + . . .+ crXr,
donde {X1, . . . ,Xr} forman una base ortonormal de V yci = Y •Xi para i = 1, . . . , r.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U . Entonces, existeuna unica matriz Z en V tal que (Y − Z) ⊥ V . Si r = 0
entonces Z = 0, y si r > 0 entonces Z se puede expresarcomo
Z = c1X1 + . . .+ crXr,
donde {X1, . . . ,Xr} forman una base ortonormal de V yci = Y •Xi para i = 1, . . . , r. Además, Z = Y si y sólo siY ∈ V .
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 63/90
Proyección ortogonal
Teorema
Sea Y una matriz m× n y un espacio lineal V de dimensiónr, ambos dentro de un espacio lineal U . Entonces, existeuna unica matriz Z en V tal que (Y − Z) ⊥ V . Si r = 0
entonces Z = 0, y si r > 0 entonces Z se puede expresarcomo
Z = c1X1 + . . .+ crXr,
donde {X1, . . . ,Xr} forman una base ortonormal de V yci = Y •Xi para i = 1, . . . , r. Además, Z = Y si y sólo siY ∈ V . La matriz Z se llamará la proyección ortogonal deY sobre V y cumple que d(Z, Y ) ≤ d(X,Y ) para toda X enV y hay igualdad si y sólo si Z = X.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 64/90
Demostraci onSi r = 0 entonces dim(V ) = 0, y por tanto V = {0}.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 64/90
Demostraci onSi r = 0 entonces dim(V ) = 0, y por tanto V = {0}.Para Z = 0 se tiene (Y−Z) ⊥ V .
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 64/90
Demostraci onSi r = 0 entonces dim(V ) = 0, y por tanto V = {0}.Para Z = 0 se tiene (Y−Z) ⊥ V . Y es claramentela única matriz en V que cumple esto.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 65/90
Si r > 0 sea {X1, . . . ,Xr} una base ortonormal de V ydefinamos ci = Y •Xi para i = 1, . . . , r y Z =
∑ri=1
ciXi.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 65/90
Si r > 0 sea {X1, . . . ,Xr} una base ortonormal de V ydefinamos ci = Y •Xi para i = 1, . . . , r y Z =
∑ri=1
ciXi.Claramente, Z ∈ V y
(
Y −r∑
i=1
ciXi
)
•Xj = Y •Xj − cj = cj − cj = 0
para cada j = 1, . . . , r.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 65/90
Si r > 0 sea {X1, . . . ,Xr} una base ortonormal de V ydefinamos ci = Y •Xi para i = 1, . . . , r y Z =
∑ri=1
ciXi.Claramente, Z ∈ V y
(
Y −r∑
i=1
ciXi
)
•Xj = Y •Xj − cj = cj − cj = 0
para cada j = 1, . . . , r. Y por tanto, (Y − Z) ⊥ V .
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 65/90
Si r > 0 sea {X1, . . . ,Xr} una base ortonormal de V ydefinamos ci = Y •Xi para i = 1, . . . , r y Z =
∑ri=1
ciXi.Claramente, Z ∈ V y
(
Y −r∑
i=1
ciXi
)
•Xj = Y •Xj − cj = cj − cj = 0
para cada j = 1, . . . , r. Y por tanto, (Y − Z) ⊥ V . Si ahoraX ∈ V y cumple (Y −X) ⊥ V entonces:
(X− Z) • (X− Z) = (X−Y +Y − Z) • (X− Z)
= −(Y −X) • (X− Z) + (Y − Z) • (X− Z)
= −0 + 0 = 0
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 66/90
Si X es una matriz en V entonces X− Z tambiénestá en V y por tanto X− Z será ortogonal aY − Z. De donde deducimos que
‖X−Y‖2 = ‖X− Z‖2 + ‖Y − Z‖2
de donde
d(X,Y)2 = d(X,Z)2 + d(Y,Z)2
y por tanto d(Z,Y) ≤ d(X,Y). Y esto se cumplecon igualdad si y sólo si X = Z �
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 67/90
Ejercicio 22
Considere el espacio lineal formado por todas lassoluciones al sistema homogéneo:
x+ y + z − w = 0
x− y − z + w = 0
y el vector d =< 1, 3, 2, 1 >.■ Usando el orden primero x, luego y, luego z, y por último
w, encuentre una base para el espacio solución.
■ Ortogonolice la base encontrada.
■ Usando la base encontrada, determine la proyecciónortogonal de d sobre tal espacio.
■ Usando el orden primero y, luego w, luego y, y por últimoz, encuentre una base para el espacio solución.
■ Ortogonolice la base nueva base.
■ Usando la nueva base encontrada, determine laproyección ortogonal de d sobre tal espacio.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 68/90
Descomposición QR
Sea A una matriz m× k de rango columnacompleto. Simbolicemos por a1, a2, . . . , ak lascolumnas de la matriz A. Por el resultado anterior,deben existir escalares xi,j(i < j = 1, . . . , k) talesque los vectores columna b1, . . . ,bk definidos enforma recursiva por las igualdades:
b1 = a1
b2 = a2 − x1,2b1
...bj = aj − x1,jb1 − · · · − xj−1,jbj−1
...bk = ak − x1,kb1 − · · · − xk−1,kbk−1
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 69/90
o por las igualdades:
a1 = b1
a2 = b2 + x1,2b1
...aj = bj + x1,jb1 + · · ·+ xj−1,jbj−1
...ak = bk + x1,kb1 + · · ·+ xk−1,kbk−1
forman un conjunto ortogonal. Sea B la matrizcuya columna i es el vector bi, y sea X la matrizk × k triangular superior unitaria cuyo elemento(i, j) es xi,j entonces:
A = BX
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 70/90
Si se define la matriz D como
D = diag (‖b1‖−1, ‖b2‖−1, . . . , ‖bk‖−1) ,
E = diag (‖b1‖, ‖b2‖, . . . , ‖bk‖)y como
Q = BD y R = EX
entoncesA = QR
es una factorización de A en dos matrices: laprimera formada por columnas que sonortonormales y la segunda triangular superior conelementos de la diagonal principal positivos.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 71/90
Ejemplo
Determine la factorización QR de la matriz:
A =
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 72/90
Soluci on : Trabajemos con las columnas de A:
a1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1)′, a2 = (1, 2, 3, 4, 5, 6)′
Así:b1 = a1
Calculando:
b1 • b1 = 6 y a2 • b1 = 21
Obtenemos:x12 = 7/2
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 73/90
Y así:
b2 = a2−x12 b1 = (−5/2,−3/2,−1/2, 1/2, 3/2, 5/2)′
Calculando:b2 • b2 = 35/2
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 74/90
Por tanto
Q = [b1,b2]D =
1 −5/2
1 −3/2
1 −1/2
1 1/2
1 3/2
1 5/2
[ √6/6 0
0√70/35
]
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 75/90
Q =
1/6√6 −1/14
√70
1/6√6 −3/70
√70
1/6√6 −1/70
√70
1/6√6 1/70
√70
1/6√6 3/70
√70
1/6√6 1/14
√70
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 76/90
R =
[ √6 0
0 1/2√70
][
1 x12
0 1
]
=
[ √6 7
2
√6
0 1
2
√70
]
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 77/90
Ejercicio 23
Determine la factorización QR de la matriz:
A =
2 1
−1 1
2 2
−1 0
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 78/90
Aplicación de la factorización QR
Teorema
Si A es una matriz cuyas columnas sonlinealmente independientes y si A = QR esuna factorización QR de A. Entonces laúnica solución x de Ax = b por mínimoscuadrados se expresa teóricamente como
x = R−1QTb
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 79/90
Ejemplo
Aplique la factorización QR para resolver pormínimos cuadrados el sistema:
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
x =
1
2
0
1
1
2
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 80/90
Soluci on Por el ejemplo anterior, la factorización dela matriz de coeficientes es:
A = QR =
1/6√6 −1/14
√70
1/6√6 −3/70
√70
1/6√6 −1/70
√70
1/6√6 1/70
√70
1/6√6 3/70
√70
1/6√6 1/14
√70
[ √6 7
2
√6
0 1
2
√70
]
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 81/90
Siguiendo la estrategia descrita en el últimoresultado la solución por el método de mínimoscuadrados se calcula por la fórmula:
x = R−1QTb
R−1 =
[
1/6√6 −1/10
√70
0 1/35√70
]
y por tanto,
x = R−1QTb =
13
15
3
35
⋄
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Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 82/90
Ejercicio 24
Aplique la factorización QR para resolver pormínimos cuadrados el sistema:
2 1
−1 1
2 2
−1 0
x =
1
2
0
1
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 83/90
Uso de la TI
La calculadora TI 89 o TI Voyage 200 puede ser utilizada para lafactorización QR. La ventaja de la rutina numérica programada esque da información sobre el espacio nulo de la matriz de entradacuando las columnas de la matriz no son linealmenteindependientes. Considere por ejemplo la matriz
A =
1 2
2 4
Las figuras 3 y 4 muestran la entrada y los cálculos en la TI. El
punto a señalar es que habiendo ceros en la diagonal de R se
indica que los vectores correspondientes en Q están en el espacio
nulo de la matriz A. De hecho, todos los vectores correspondientes
a ceros en la diagonal de R forman la base para el espacio nulo de
A.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 84/90
Figura 3: Descomposición QR de A en la TI.
ContextoIntroduccionProducto PuntoPropiedades •NormaEjercicio 5
Propiedades ‖‖Desigualdad deSchwarzDistancia entreMatricesEjercicio 10
Angulo entrematricesOrtogonalidadEjercicio 15Ejercicio 20BasesOrtonormalesExistencia deBasesOrtonormalesProyeccionOrtogonalDescomposicionQRAplicacion¿Y la TI?
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 85/90
Figura 4: La naturaleza de los ceros en la diagonal de R.
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 86/90
Ejemplo
Determine la distancia de P (0,−2,−1) al espacio que generanlos vectores:
v1 =
−2
3
−1
,v2 =
1
5
−3
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 86/90
Ejemplo
Determine la distancia de P (0,−2,−1) al espacio que generanlos vectores:
v1 =
−2
3
−1
,v2 =
1
5
−3
Con los vectores v1 y v2 formamos la matriz A a la cual leaplicamos la factorización QR:
A = [v1 v2] = QR =
−1/7√14 17/1365
√1365
3/14√14 4/273
√1365
1/14√14 −2/105
√1365
·
√14 5/7
√14
0 1/7√1365
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 87/90
De donde los coeficientes de Fourier del vector que representa aP ,v =< 0,−2, 1 > son:
[v]Q
= QT · v =
− 12
√14
− 2195
√1365
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 87/90
De donde los coeficientes de Fourier del vector que representa aP ,v =< 0,−2, 1 > son:
[v]Q
= QT · v =
− 12
√14
− 2195
√1365
y de allí que la proyección de v a C(A) es:
vC(A) = Q · [v]Q
=
161195
− 13378
− 730
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 87/90
De donde los coeficientes de Fourier del vector que representa aP ,v =< 0,−2, 1 > son:
[v]Q
= QT · v =
− 12
√14
− 2195
√1365
y de allí que la proyección de v a C(A) es:
vC(A) = Q · [v]Q
=
161195
− 13378
− 730
Por tanto, la distancia de v a C(A) es
d(v, C(A)) =∣
∣
∣
∣v − vC(A)
∣
∣
∣
∣ =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
− 161195
− 2378
− 2330
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=23
390
√390
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 88/90
Ejemplo
Determine la distancia de P (0,−2,−1, 1) al conjunto de soluciones del sistema
Bx =
2 1 3 1
−1 0 2 1
x1
x2
x3
x4
=
0
0
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 88/90
Ejemplo
Determine la distancia de P (0,−2,−1, 1) al conjunto de soluciones del sistema
Bx =
2 1 3 1
−1 0 2 1
x1
x2
x3
x4
=
0
0
Este problema se resuelve como el anterior, pero debemos encontrar un conjuntogenerador. Para ello tenemos dos alternativas: o seguir el proceso descrito enlecturas anteriores o calcular lo que se conoce como el espacio nulo de B:Aquellos vectores x tal que Bx = 0. En general, los conjuntos generadoresobtenidos por ambos procesos son diferentes pero ambos son base para el mismoconjunto. Si utilizamos la alternativa del espacio nulo tenemos:
nullspace(B) = Gen
2
−7
1
0
,
1
−3
0
1
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 89/90
Así el problema se ha transformado en encontrar la distancia de P (= v) a C(A)
donde A es la matriz cuyas columnas son el generador de nullspace(B). Se dejacomo ejercicio comprobar que:
A =
2 1
−7 −3
1 0
0 1
= QR =
1/9√6 4/585
√390
−7/18√6 −1/1170
√390
1/18√6 −23/1170
√390
0 3/65√390
·
3√6 23/18
√6
0 1/18√390
vC(A) =
43/65
−19/65
−47/65
−14/65
d(v, C(A)) = 1/65√4615
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 90/90
Ejemplo
Determine la matriz X que mejor resuelve el sistema AX = B para
A =
1 2
0 −1
1 1
, B =
1 2 −1
0 −1 8
1 1 2
Producto Interno y Ortogonalidad Ma130 - p. 90/90
Ejemplo
Determine la matriz X que mejor resuelve el sistema AX = B para
A =
1 2
0 −1
1 1
, B =
1 2 −1
0 −1 8
1 1 2
La factorización QR de A es
A = QR =
1/2√2 1/6
√6
0 −1/3√6
1/2√2 −1/6
√6
√2 3/2
√2
0 1/2√6
Por tanto, la matriz X que minimiza el error cuadrático es:
X = R−1
Q′B =
1 0 10
0 1 −19/3
Y el error cometido con X es 25/3 �