Álgebra Matricial (parte I)

Capítulo 1: Álgebra Matricial

1.1 INTRODUCCIÓN

En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.

En este capítulo, se definen los vectores y las matrices, así como las operaciones correspondientes. Se consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, las matrices subdivididas y el determinante de una matriz. También se tratan y aplican a la resolución de ecuaciones lineales simultáneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matriz. Así mismo, se define e ilustra la diferenciación vectorial. Por último, en el Capítulo 2 se discuten otras aplicaciones del álgebra matricial.

1.2 DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma

€

A =

a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2n

M M M M

am1 am2 L amn

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

o A =

a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2n

M M M M

am1 am2 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Las letras

€

ai j representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que

€

ai j designa al

elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por (

€

ai j ) o

por {

€

ai j }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias

operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo,

€

A m×n , o bien,

€

ai j( ) m×n .

EJEMPLO

€

1 0 −2 6

4 8 3 −9

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

6 6 3

3 8 −2

−1 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

5 −8 −2

12 10 −1

13 9 −3

2 7 6

6 4 10

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

1 −1

−1 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

es una matriz 2 × 4 es una matriz 3× 3 (cuadrada) es una matriz 5 × 3 es una matriz 2 ×2 (cuadrada)

Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO

Si

€

A =2 −2

−2 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ B =

2 −2 2

−2 2 −2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

−2 2

2 −2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ D =

2 −2

−2 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

A = D, pero A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C, B ≠ D, y C ≠ D.

DEFINICIÓN DE VECTOR (EN ÁLGEBRA MATRICIAL)

Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l se conoce como vector columna, y se expresa como

€

u =

u1

u2

M

um

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

o bien u =

u1

u2

M

um

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Las letras

€

u i son números reales: los componentes del vector;

€

u i es el i-ésimo componente del vector u. Un vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m-dimensional.

Análogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice que es un vector fila y se expresa como

v =

€

v1 , v2 , ..., vn( ) o bien v =

€

v1 , v2 , ..., vn[ ]

Las letras

€

v j son números reales: los componentes del vector;

€

v j es el j-ésimo componente del vector v. Un vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n-dimensional.

EJEMPLO

€

−1

−1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ es una matriz 2 x 1, o sea, un vector columna de 2 dimensiones (o bidimensional)

€

0

0

3

0

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

es una matriz 5 x 1, o sea, un vector columna de 5 dimensiones (o pentadimensional)

€

0, 3, 0[ ] es una matriz 1 x 3, o sea, un vector fila de 3 dimensiones (o tridimensional)

€

−1, −1, 5, −1[ ] es una matriz 1 x 4, o sea, un vector fila de 4 dimensiones (o tetradimensional)

Dos vectores fila que tienen el mismo número de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo número de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son también iguales, es decir, si los vectores son idénticos.

EJEMPLO

u =

€

1, 3[ ] v =

€

1

3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ w =

€

1, 3[ ] x =

€

3, 1[ ]

u = w, pero u ≠ v, u ≠ x, y v ≠ w, v ≠ x, y w ≠ x.

NOTA: Con frecuencia es útil considerar a una matriz como compuesta de una serie de vectores fila o de vectores columna; por ejemplo, la matriz

€

1 −6

2 2

−3 4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ se puede considerar constituida por los dos vectores columna

€

1

2

−3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

−6

2

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

o bien. compuesta de los tres vectores fila

€

1, −6[ ] 2, 2[ ] y −3, 4[ ]

1.3 OPERACIONES CON MATRICES

Operaciones análogas a las de adición. Sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices; ejemplos específicos se dan en las siguientes secciones. En esta sección se definen e ilustran la adición y la sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar, y la multiplicación de matrices entre sí.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si

€

A =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

B =

b11 L b1n

M M

bm1 L bmn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces A ± B = C

en donde

€

C =

a11 ± b11 L a1n ± b1n

M M

am1 ± bm1 L amn ± bmn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

c11 L c1n

M M

cm1 L cmn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

es decir,

€

ai j( )+ bi j( ) = ci j( ) , en donde

€

ci j = ai j + bi j para toda i y toda j.

EJEMPLO

€

a( )

3 2 −4

5 6 8

3 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

0 3 8

−5 −6 2

0 0 −4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

3 5 4

0 0 10

3 0 −4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

b( )3 −10

−11 25

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥−

−6 −4

22 −21

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

9 −6

−33 46

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

c( ) 4 , 6, 12[ ] + −3, 2, −12[ ] = 1, 8, 0[ ]

€

(d )

1

1

2

4

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

−

1

1

2

4

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

0

0

0

0

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

(e)2 3

6 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

1 1

−1 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥−

0 0

6 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

3 4

−1 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

( f )

1

1

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

3

2

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥−

6

8

10

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

0

1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

−2

−4

−5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

(g) 2, 1[ ] + 3, 4[ ] + 6, 7[ ] − 11, 12[ ] = 0, 0[ ]

€

(h)

1 4

2 6

3 8

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥−

0 5

7 9

11 12

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥−

10 13

20 0

1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

−9 −14

−25 −3

−9 −4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

PROBLEMAS

Obtener la matriz que resulta de cada una de las siguientes operaciones:

€

1.

2 −3 6

5 4 5

0 −1 −9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥−

1 −3 4

0 −2 5

1 0 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2.6 −1 0

4 2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

5 0 2

0 −1 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

−2 −1 −3

−4 1 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

3.

1

3

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥−

2

0

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

3

1

−2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

4.2 1

1 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

−1 0

0 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥−

2 2

2 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

5. 1, 3, +1, 2[ ] − 0, 1, −2, 3[ ] 6. −1, 2[ ] − 3, 4[ ] + 1, −2[ ] − 6, 5[ ]

Respuestas a los Problemas de Número Impar

€

1.

1 0 2

5 6 0

−1 −1 −8

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

3.

2

4

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

5. 1, 2, 1, −1[ ]

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo tanto, si

€

A =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ y k es cualquier escalar (o constante)

entonces

€

k × Am×n = kAm×n =

ka11 L ka1n

M M

kam1 L kamn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= k ai j( )

m×n= kai j( )

m×n

EJEMPLO

€

a( ) 3

4 −3

8 −2

−1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

12 −9

24 −6

−3 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

b( ) 5

0

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

0

−5

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

c( ) −1 6, −2, −3[ ] = −6, 2, 3[ ] d( ) a5 6 2 4

−3 −1 0 −6

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

5a 6a 2a 4a

−3a −a 0 −6a

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

e( ) − b

0

−2

3

−1

5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

0

2b

−3b

b

−5b

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

f( ) c 0, 0, 0, 0, 16[ ] = 0, 0, 0, 0, 16c[ ]

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

DEFINICIÓN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si

u =

€

u1 , L , un[ ] y v =

€

v1

M

vn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde

€

w = u1 v1 + u2 v2 +L + un vn = ui vii=1

n

∑ .

Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de la matriz producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la

segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus

productos interiores: Si

€

A = ai j( )m×n

y

€

B = bi j( )n× p , entonces AB = C, en donde

€

C = ci k( )m× p=

a1 jb j1

j=1

n

∑ L a1 jb jm

j=1

n

∑M M

amjb j1

j=1

n

∑ L amjb jn

j=1

n

∑

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

es decir,

€

ci k = ai jb j kj=1

n

∑ .

EJEMPLO

€

a( )

1 3 −1

2 0 0

0 −1 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

1 0

−1 2

1 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

=

−3 3

2 0

7 16

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

en donde

€

1( ) 1( )+ 3( ) −1( )+ −1( ) 1( ) = −3

2( ) 1( )+ 0( ) −1( )+ 0( ) 1( ) = 2

0( ) 1( )+ −1( ) −1( )+ 6( ) 1( ) = 7

1( ) 0( )+ 3( ) 2( )+ −1( ) 3( ) = 3

2( ) 0( )+ 0( ) 2( )+ 0( ) 3( ) = 0

0( ) 0( )+ −1( ) 2( )+ 6( ) 3( ) =16

€

b( ) −1, 0, 6, 3, 2[ ]1×5

3 0

4 0

−2 3

1 8

0 −2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥5×2

= −12, 38[ ]1×2

en donde

€

−1( ) 3( )+ 0( ) 4( )+ 6( ) −2( )+ 3( ) 1( )+ 2( ) 0( ) = −12

−1( ) 0( )+ 0( ) 0( )+ 6( ) 3( )+ 3( ) 8( )+ 2( ) −2( ) = 38

En la multiplicación de matrices, el orden (o sucesión) según el cual se efectúa la multiplicación es muy importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA; sin embargo, en general AB ≠ BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general, la premultiplicación y la posmultiplicación dan resultados diferentes, aun cuando ambos están definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaución no es necesaria en la multiplicación de números, como se recordará.

EJEMPLO

(a) Si

€

A =4 6 −1 3

0 −1 2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ y

€

B =

1 2

−1 1

1 6

2 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

AB =4 6 −1 3

0 −1 2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

1 2

−1 1

1 6

2 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×2

=3 17

5 14

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

BA =

1 2

−1 1

1 6

2 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×2

4 6 −1 3

0 −1 2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

=

4 4 3 5

−4 −7 3 −2

4 0 11 9

8 9 4 9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×4

(b) Si

€

A =

5 −6

−1 0

0 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

€

B =−1 8 −3

0 10 −4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

entonces

€

AB =

5 −6

−1 0

0 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

−1 8 −3

0 10 −4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=

−5 −20 9

1 −8 3

0 30 −12

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

BA =−1 8 −3

0 10 −4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

5 −6

−1 0

0 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

=−13 −3

−10 −12

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

(c) Si

€

A =

−1 3 1

2 0 −2

0 4 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

€

B =

0 2 3

8 −1 9

−2 0 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

AB =

−1 3 1

2 0 −2

0 4 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

0 2 3

8 −1 9

−2 0 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

22 −5 29

4 4 −4

22 −4 61

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

BA =

0 2 3

8 −1 9

−2 0 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

−1 3 1

2 0 −2

0 4 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

4 12 11

−10 60 55

2 14 23

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. Cuando un vector columna n x 1 premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado es una matriz cuadrada n x n cuyos elementos son los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si

u =

€

u1 , L , un[ ] y v =

€

v1

M

vn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces, como se indicó anteriormente, u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde

€

w = ui vii=1

n

∑ , y vnx1 u1xn = xnxn

(una matriz cuadrada), siendo

€

xi j = viu j .

EJEMPLO

€

a( ) 1, 3, 6[ ]

−2

4

−1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= −2 +12 −6 = 4

−2

4

−1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

1, 3, 6[ ] =

−2 −6 12

4 12 24

−1 −3 −6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

b( ) 1, 0, 0, 2, −3[ ]

0

−1

−4

−3

−2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

= 0 +0 +0 −6 +6 = 0

0

−1

−4

−3

−2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

1, 0, 0, 2, −3[ ] =

0 0 0 0 0

−1 0 0 −2 3

−4 0 0 −8 12

−3 0 0 −6 9

−2 0 0 −4 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Aunque el orden según el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se multiplican tres o más matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de las operaciones, Es decir,

Amxn Bnxp Cpxq = Amxn(Bnxp Cpxq) = (Amxn Bnxp)Cpxq

Una propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicación de números. En resumen, la adición de matrices es conmutativa, o sea, A + B = B + A, y tanto la adición como la sustracción son asociativas, es decir, A ± B ± C = A ± (B ± C) = (A ± B) ± C; la multiplicación de dos matrices no es conmutativa (es decir, AB ≠ BA) pero la de tres o más es asociativa, es decir ABC = A(BC) = (AB)C. Tratándose de números, la adición, la sustracción y la multiplicación son asociativas y conmutativas.

EJEMPLOS

A.

€

A B C = A BC = ABC

1 −1 0

2 −3 4

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

3

1

−1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

0, 2, −1[ ]1×3=

1 −1 0

2 −3 4

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

0 6 −3

0 2 −1

0 −2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

0 4 −2

0 −2 1

0 −2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

O por asociatividad,

€

A B C = AB C = ABC

1 −1 0

2 −3 4

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

3

1

−1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

0, 2, −1[ ]1×3=

2

−1

−1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

0, 2, −1[ ]1×3=

0 4 −2

0 −2 1

0 −2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

B.

€

A B C = A BC = ABC

1 −1

6 10

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

5 −2 3

−8 0 6

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

−1

0

−4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

=1 −1

6 10

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

−17

−16

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×1

=−1

−262

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×1

O bien por asociatividad,

€

A B C = AB C = ABC

1 −1

6 10

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

5 −2 3

−8 0 6

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

−1

0

−4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

=13 −2 −3

−50 −12 78

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

−1

0

−4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×1

=−1

−262

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×1

C.

€

A B C = A BC = ABC

3 4

4 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

0 1

−1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

−6 −8 10

−5 5 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=3 4

4 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

−5 5 4

6 8 −10

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=9 47 −28

−2 44 −14

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

O por asociatividad,

€

A B C = AB C = ABC

3 4

4 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

0 1

−1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

−6 −8 10

−5 5 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=−4 3

−3 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

−6 −8 10

−5 5 4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=9 47 −28

−2 44 −14

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

D.

€

A B C = A BC = ABC

1, −1, 4 , 2[ ]1×4

0

2

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×1

−1, 0, 6[ ]1×3= 1, −1, 4 , 2[ ]1×4

0 0 0

−2 0 12

1 0 −6

0 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×3

= 6, 0, −36[ ]1×3

Alternativamente, por asociatividad,

€

A B C = AB C = ABC

1, −1, 4 , 2[ ]1×4

0

2

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×1

−1, 0, 6[ ]1×3= −6 × −1, 0, 6[ ]1×3

= 6, 0, −36[ ]1×3

PROBLEMAS

Obtener la matriz resultante de cada una de las siguientes operaciones:

€

1. 3

+1 2 3 4

0 −1 −1 2

1 2 0 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2.

2 −1

1 0

3 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2 1

1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 3. 1, −1, 0, 2[ ]

2 1

1 3

−1 0

0 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

4. 1, −2, 0[ ]

1 −1

3 0

−2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2

1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 5.

−1 1

1 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2 0

0 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥1 1 1

1 1 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 6. 1, −1, 1[ ]

2 0

0 2

2 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

1 0

0 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥


€

1.

−3 6 9 12

0 −3 −3 6

3 6 0 9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

3. 1, 2[ ] 5.0 0 0

0 0 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1.4 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES

En esta sección se estudiarán tres tipos especiales de matrices: las matrices diagonales, las matrices identidad y las matrices nulas.

MATRICES DIAGONALES

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho; así pues,

€

A =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= ai j( )n×n

es una matriz diagonal si y sólo si

€

ai j = 0 para i ≠ j

€

ai j ≠ 0 si al menos i = j (cuando todos los elementos de una matriz son ceros, se trata de una matriz

nula, la cual se describirá más adelante)

Una matriz diagonal n x n puede indicarse por la notación

€

A =

a11 0

O

0 ann

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

o

a1 0

O

0 an

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

o bien, por

€

Dn =

d1 0

O

0 dn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

EJEMPLO

€

1 0 0

0 −3 0

0 0 10

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

son matrices diagonales.

MATRICES IDENTIDAD

Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al número uno. Por consiguiente,

€

A =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= ai j( )

n×n

es una matriz identidad si y sólo si

€

ai j = 0 para i ≠ j

€

ai j =1 para i = j

o en forma equivalente, una matriz diagonal Dn es una matriz identidad si y sólo si

€

di =1 para i = 1, 2, …, n

Una matriz identidad n x n se representa por In.

EJEMPLO

€

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y I6 =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

son las matrices identidad 3 x 3 y 6 x 6.

Nótese que al premultiplicar o posmultiplicar una matriz por la matriz identidad del tamaño (u orden) apropiado, no cambia la matriz dada; es decir,

Amxn = Im Amxn = Amxn In = Amxn

EJEMPLOS

A.

€

A2×4 I2 A2×4 A2×4 I4 A2×4

2 −3 −6 4

−1 −1 0 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

=1 0

0 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×2

2 −3 −6 4

−1 −1 0 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

=2 −3 −6 4

−1 −1 0 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×4

=2 −3 −6 4

−1 −1 0 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

B.

€

A3×3 I3 A3×3 A3×3 I3 A3×3

3 0 0

0 −2 0

0 0 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

3 0 0

0 −2 0

0 0 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

3 0 0

0 −2 0

0 0 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

=

3 0 0

0 −2 0

0 0 6

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

MATRICES NULAS

Una matriz nula es una matriz m x n cuyos elementos son todos iguales a cero; se simboliza con O. Cuando una matriz nula del orden (o tamaño) apropiado se suma o se resta de otra matriz, esta última no cambia; es decir,

Amxn ± Omxn = Amxn

Premultiplicar o posmultiplicar una matriz nula de orden apropiado da lugar a otra matriz nula; es decir,

Okxm Amxn = Okxn y Amxn Onx1 = Omx1

EJEMPLOS

A.

€

A2×3 ± O2×3 = A2×3

0 1 0

10 0 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

±0 0 0

0 0 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

=0 1 0

10 0 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

B.

€

O3×3 A2×4 O3×4

0 0

0 0

0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

1 6 4 −10

−1 20 −13 11

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

=

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×4

A2×4 O4×1 O2×1

1 6 4 −10

−1 20 −13 11

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×4

0

0

0

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×1

=0

0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×1

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

En muchos análisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matriz. En esta sección se define la transpuesta de una matriz, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un producto de matrices.

La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A´, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si

€

Am×n =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= ai j( )

m×n

Entonces la transpuesta de A es

€

A′n×m =

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

′

=

a11 L a1n

M M

am1 L amn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= ai j( )

n×m= ai j( )

′m×n

Nótese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna también n-dimensional, y análogamente, la transpuesta de un vector columna de n-dimensiones es un vector fila de n-dimensiones también. La transpuesta de una matriz diagonal es la misma matriz diagonal. EJEMPLO

Si

€

A =3 2 0

−6 0 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

, entonces

€

′ A =

3 −6

2 0

0 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

Si

€

A = 6, 2, −1, 0, −5[ ]1×5 , entonces

€

′ A =

6

2

−1

0

−5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥5×1

Si

€

A =

6 −8 −10

−2 0 7

30 40 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

, entonces

€

′ A =

6 −2 30

−8 0 40

−10 7 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

Si

€

A =

3

0

−1

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×1

, entonces

€

′ A = 3, 0, −1, 4[ ]1×4

Si

€

A =

−1 5 −3

5 0 4

−3 4 9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

, entonces

€

′ A =

−1 5 −3

5 0 4

−3 4 9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×3

Si

€

A =

6 0 0 0

0 −2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×4

, entonces

€

′ A =

6 0 0 0

0 −2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 5

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥4×4

Si una matriz (cuadrada) y su transpuesta son iguales, es decir,

€

ai j = a j i para toda i y toda j, entonces la matriz se denomina simétrica (con respecto a su diagonal principal). En los dos últimos ejemplos citados, las matrices son simétricas.

Una matriz simétrica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice que es idempotente. Por tanto, A es idempotente sólo si

A´ = A y AA = A

EJEMPLOS

A.Una matriz identidad (de cualquier orden) es idempotente, puesto que

In´ = In y In In = In

B. La matriz

€

15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ es idempotente, puesto que

€

15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

′

=15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ y

€

15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

15

25

25

45

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

TRANSPUESTA DE UNA SUMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICES

La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de las matrices; por consiguiente,

(Amxn ± Bmxn ± Cmxn)´= Ańxm ± Bńxm ± Cńxm

es decir, (di j)´mxn = (di j)nxm

en donde

€

di j = ai j ± bi j ± ci j y

€

d j i = a j i ± b j i ± c j i .

EJEMPLOS

A.

Si

€

A =3 0 2

−6 8 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ B =

−1 6 −2

3 −2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

0 0 6

−2 5 25

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

entonces [A + B + C]´ =

€

2 6 6

−5 11 25

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥′

=

2 −5

6 11

6 25

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

o de otra manera A´ + B´ + C´ =

€

3 −6

0 8

2 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

−1 3

6 −2

−2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

0 −2

0 5

6 25

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

2 −5

6 11

6 25

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

B.

Si

€

A =2 −1

0 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ B =

6 8

10 −12

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

0 −1

0 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

entonces [A - B + C]´ =

€

−4 −10

−10 11

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥′=

−4 −10

−10 11

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

o, alternativamente, A´ - B´ + C´ =

€

2 0

−1 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥−

6 10

8 −12

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

0 0

−1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

−4 −10

−10 11

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

TRANSPUESTA DE UN PRODUCTO DE MATRICES

La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas en orden inverso; por tanto,

[Amxn Bnxp Cpxq]´= C´qxp B´pxn Ańxm

EJEMPLOS

A.

Si

€

A =3 0

−4 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ B =

3 5 −7

0 −1 8

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

6

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

ABC =9 15 −21

−12 −19 20

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

6

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

39

−53

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ABC[ ]′ =

39

−53

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

′

= 39, −53[ ]

o en forma alternativa,

€

ABC[ ]′ = C′B′A′ = 6, −1, 0[ ]

3 0

5 −1

−7 8

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

3 −4

0 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= 13, 1[ ]

3 −4

0 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= 39, −53[ ]

B.

Si

€

A = 3, −1, 0[ ] B =

6 0

−7 2

0 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

C =0

1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

entonces* ABC =

€

26 −2[ ]0

1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= −2 y asimismo [ABC]´= -2 (la transpuesta de un escalar es el mismo

escalar), o de otra manera,

[ABC]´ = C´B´A´=

€

0, 1[ ]6 −7 0

0 2 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

3

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= 0 2 3[ ]

3

−1

0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= −2

PROBLEMAS

Obtenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices

€

1.2 6

5 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 2.

−3

6

5

−2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

3.−7 −5 6

8 10 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

4.

1 −6 3

−1 4 −8

0 5 7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

5. 3, −2, 4 , −9[ ] 6.

−1 3

2 1

−4 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

7. Si A =1 2

2 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥, B =

−2 3

4 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥, C =

0 −1

2 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥; encuentre :

a. A + B[ ]′ b. B+C[ ]′ c. AB[ ]′ d. ABC[ ]′

€

8. Si A =

2 −1

1 2

0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3×2

, B =3

−1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×1

, C =3 0 2

−1 2 −4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

y D =−3 0 −2

−1 −2 −4

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥2×3

, encuentre :

a. AB[ ]′ b. C + D[ ]′ c. ′ D C[ ]′ d. A + ′ D + ′ C


* N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que sólo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el escalar 2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.

€

1.2 5

6 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 3.

−7 8

−5 10

6 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

5.

3

−2

4

−9

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

7. a.−1 6

5 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ b.

−2 6

2 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ c.

6 0

3 6

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ d.

6 12

3 18

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1.6 MATRICES SUBDIVIDIDAS Con frecuencia es conveniente subdividir (o particionar) una matriz descomponiéndola en sub-matrices. Éstas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matriz original. La partición o subdivisión de una matriz se indica mediante líneas punteadas horizontales o verticales trazadas entre filas o columnas.

Por ejemplo, la matriz A de orden

€

m × n se pueden subdividir como sigue:

€

A = A1 A2( )

en donde A1 es de orden

€

m × n1, A2 es de orden

€

m × n2 , y

€

n1 + n2 = n . La transpuesta de una matriz subdividida se puede escribir en términos de las transpuestas de sus submatrices. Así pues,

€

A′ =A′

1

A′2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

EJEMPLO

Si

€

A = A1 A2[ ] =

4 −3 5 0

2 −1 1 6

8 −2 3 −7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

A′ =A′

1

A′2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

4 2 8

−3 −1 −2

5 1 3

0 6 −7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si una matriz A de orden m ×n se subdivide como

€

A = A1 A2[ ] , en donde A1 es

€

m × n1, A2 es m ×n2 , y

€

n1 + n2 = n ;

y si una matriz B de orden m ×nse particiona como

€

B = B1 B2[ ] , en donde B1 es

€

m × n1, B2 es

€

m × n2 , y

€

n1 + n2 = n , entonces

€

A ± B = A1 ± B1 A2 ± B2[ ]

De igual modo, si

€

A =A1

A2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ en donde A es m ×n , A1 es m1 ×n, A2 es m2 ×n, y m1 + m2 =m y

€

B =B1

B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ en donde B es m ×n , B1 es m1 ×n, B2 es m2 ×n y m1 + m2 =m, entonces

€

A ± B =A1 ± B1

A1 ± B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

EJEMPLO

Si

€

A =

3 4 −2 0

−1 0 5 6

7 3 3 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

€

B =

−3 0 2 4

−1 −1 −2 5

5 4 3 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

A + B = A1 A2( )+ B1 B2( ) =

3 4 −2 0

−1 0 5 6

7 3 3 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

−3 0 2 4

−1 −1 −2 5

5 4 3 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

0 4 0 4

−2 −1 3 11

12 7 6 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥= A1 + B1 A2 + B2[ ]

o bien,

€

A + B =A1

A2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

B1

B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

3 4 −2 0

−1 0 5 6

7 3 3 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

−3 0 2 4

−1 −1 −2 5

5 4 3 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

0 4 0 4

−2 −1 3 11

12 7 6 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

A1 + B1

A2 + B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Otras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado.

Particionar o subdividir una matriz es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han de ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisión de matrices se utilizan principalmente en la multiplicación y en otras operaciones más complicadas. Las matrices deben subdividirse en forma compatible para la multiplicación. Si una matriz A de orden m ×n se subdivide como

€

A = A1 A2[ ] , en

donde A1 es

€

m × n1, A2 es m ×n2 , y

€

n1 + n2 = n ; y una matriz B de orden n ×p se subdivide como

€

B =B1

B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ en donde B1 es n1 ×p y B2 es n2 ×p , entonces

€

AB = A1 A2[ ]B1

B2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥= A1B1 + A2B2

EJEMPLO

Si

€

A =

3 0 −1

−2 4 1

1 −1 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

€

B =

2 1

1 3

−1 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

AB =

3 0 −1

−2 4 1

1 −1 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2 1

1 3

−1 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

3 0

−2 4

1 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

2 1

1 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

−1

1

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

−1, 1[ ] =

6 3

0 10

1 −2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

1 −1

−1 1

−2 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

7 2

−1 11

−1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

lo que puede verificarse por multiplicación matricial directa.

Las matrices se pueden subdividir en más de dos submatrices. De hecho, es posible particionar una matriz m ×n en un máximo de mn submatrices; observemos que la partición máxima equivale a no subdividir en absoluto la matriz, puesto que cada elemento se trata como una matriz escalar. A menos que se tenga una partición lógica en términos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para facilitar los cálculo; esto implica un compromiso razonable entre minimizar el número de submatrices y minimizar su tamaño máximo.

Las matrices se particionan ya sea horizontalmente o verticalmente. Por tanto, la matriz A de orden m ×n se puede subdividir en la forma

€

A =A11 A12

A21 A22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

en donde A11 es m1 ×n1 , A12 es m1 ×n2 , A21 es m2 ×n1 , A22 es m2 ×n2 , y asimismo, m1 ×m2 =m, n1 ×n2 =n. Entonces

€

′ A =A11 A12

A21 A22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥′

=′ A 11 ′ A 12

′ A 21 ′ A 22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Si la matriz B de orden n ×p se particiona como

€

B =B11 B12

B21 B22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

en donde B11 es n1 ×p1 , B12 es n1 ×p2 , B21 es n2 ×p1 , B22 es n2 ×p2 , y asimismo, n1 ×n2 =n, p1 ×p2 =p, entonces A y B están particionadas en forma compatible para la multiplicación y

€

AB =A11 A12

A21 A22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥B11 B12

B21 B22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22

A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

EJEMPLO

Si

€

A =

1 3 1

−1 0 1

2 −1 4

0 2 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

y B =

3 −2 1 0 −1

5 −1 4 −3 2

3 −2 0 1 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

entonces

€

AB =A11 A12

A21 A22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥B11 B12

B21 B22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

1 3 1

−1 0 1

2 −1 4

0 2 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

3 −2 1 0 −1

5 −1 4 −3 2

3 −2 0 1 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y

€

A11B11 + A12B21 =

1 3

−1 0

2 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

3 −2

5 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

1

1

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥3, −2[ ] =

18 −5

−3 2

1 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

3 −2

3 −2

12 −8

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

21 −7

0 0

13 −11

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

A11B12 + A12B22 =

1 3

−1 0

2 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

1 0 −1

4 −3 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+

1

1

4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥0, 1, −1[ ] =

13 −9 5

−1 0 1

−2 3 −4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥+

0 1 −1

0 1 −1

0 4 −4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥=

13 −8 4

−1 1 0

−2 7 −8

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

€

A21B11 + A22B21 = 0, 2[ ]3 −2

5 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+ −3[ ] 3, −2[ ] = 10, −2[ ] + −9, 6[ ] = 1, 4[ ]

€

A21B12 + A22B22 = 0, 2[ ]1 0 −1

4 −3 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥+ −3[ ] 0, 1, −1[ ] = 8, −6, 4[ ] + 0, −3, 3[ ] = 8, −9, 7[ ]

En consecuencia,

€

AB =A11 B11 + A12 B21 A11 B12 + A12 B22

A21 B11 + A22 B21 A21 B12 + A22 B22

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥=

21 −7 13 −8 4

0 0 −1 1 0

13 −11 −2 7 −8

1 4 8 −9 7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

lo cual se puede verificar por multiplicación matricial directa.

PROBLEMAS

1. Calcule lo siguiente:

€

a. 2

6 1

0 −3

−1 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

− 3

4 2

0 1

−5 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

b.6 0 −1

1 −3 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

4 2

0 1

−5 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Emplee matrices subdivididas para verificar los resultados.

2. Si

€

U = 1, −1, 4[ ], X = 0, 1, 2[ ], V =

5

0

1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

y Y =

−1

−1

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥, obtenga

€

a. UV + XY b. 5UV +10 X 2V −Y( )[ ]

3. Si A es 2 ×3 , B es 4 ×3 , C es 3×3 , y D es 3×2 , determine la disposición u orden de

€

a. AC b. DA c. AD d. BC e. DAC f . BCDA

4. Si

€

A =

1 2 3

0 −1 1

2 3 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

B =

3 1 0

1 −1 2

0 2 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

evalúe

€

2 AB− BA( ) y emplee matrices subdivididas para verificar el resultado.

5. Si

€

A =

−1 −2 −2

1 2 1

−1 −1 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

B =

−3 −6 2

2 4 −1

2 3 0

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

C =

−5 −8 0

3 5 0

1 2 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

demuestre que

€

a. A2 = B2 = C 2 = I b. AB = BA = C c. BC = CB = A d. AC = CA = B

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.

6. Si

€

A =

5 4 −2

4 5 −2

−2 −2 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

demuestre que

€

A2 −11A +10I = O . Utilice matrices particionadas para verificar el resultado.

7. Si

€

A =1 0

1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ B =

0 0

1 1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

2 2

2 2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ D =

2 3

4 25

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

evalúe

€

a. AB−2CD b. A2 c. BC( )2

8. Si

€

U = 1, 0, 1[ ] V =

1

2

3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

X =

4 2 −1

−1 3 0

0 1 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Y =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

encuentre

€

a. UV b. VU + X c. XY

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.

9. Si

€

U =

2 −2 −4

−1 3 4

1 −2 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

V =

−1 2 4

1 −2 −4

−1 2 4

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

demuestre que

€

a. U 2 =U y V 2 =V b. UV =VU = O c. U +V = I

Utilice matrices subdivididas para comprobar los resultados.

10. Si

€

X =

1 2 3

1 2 3

−1 −2 −3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

demuestre que

€

X 2 = O . Utilice matrices con subdivisión para comprobar el resultado.

11. Si

€

A =

1 −2 1

2 1 −3

−5 2 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

X =

2 5 −1 −7

−2 1 3 4

3 2 1 2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Y =

3 6 0 −6

−1 2 4 5

4 3 2 3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

demuestre que

€

AX − AY (aunque

€

X ≠ Y ) y emplee matrices particionadas para verificar el resultado.

12. Si

€

A =

1 −2

0 3

2 −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

B =0 −2 3

0 1 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ C =

−2

3

−3

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

D =

=1

1

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

determine

€

AB−CD ′ .


€

1. a.

0 −4

0 −9

13 7

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

b.29 13

−6 −3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

3. a. 2 × 3 b. 3× 3 c. 2 ×2 d. 4 × 3 e. 3× 3 f . 4 × 3

7. a.−24 −32

−24 −32

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ b.

1 0

1 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ c.

0 0

16 16

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Álgebra Matricial (parte I)

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