Álgebra Matricial (parte I)

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Capítulo 1: Álgebra Matricial 1.1 INTRODUCCIÓN En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria. En este capítulo, se definen los vectores y las matrices, así como las operaciones correspondientes. Se consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, las matrices subdivididas y el determinante de una matriz. También se tratan y aplican a la resolución de ecuaciones lineales simultáneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matriz. Así mismo, se define e ilustra la diferenciación vectorial. Por último, en el Capítulo 2 se discuten otras aplicaciones del álgebra matricial. 1.2 DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma A = a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2n M M M M a m 1 a m2 L a mn o A = a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2n M M M M a m 1 a m2 L a mn Las letras a ij representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que a ij designa al elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por ( a ij ) o por { a ij }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, A m×n , o bien, a ij ( ) m×n .
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    30-Jun-2015
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Captulo 1: lgebra Matricial1.1 INTRODUCCIN En muchos anlisis se supone que las variables que intervienen estn relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El lgebra matricial proporciona una notacin concisa y clara para la formulacin y resolucin de tales problemas, muchos de los cuales seran casi imposibles de plantear con la notacin algebraica ordinaria. En este captulo, se definen los vectores y las matrices, as como las operaciones correspondientes. Se consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, las matrices subdivididas y el determinante de una matriz. Tambin se tratan y aplican a la resolucin de ecuaciones lineales simultneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matriz. As mismo, se define e ilustra la diferenciacin vectorial. Por ltimo, en el Captulo 2 se discuten otras aplicaciones del lgebra matricial.

1.2 DEFINICIN DE MATRIZ Una matriz es una disposicin (o arreglo) rectangular de nmeros en la forma

a11 a12 L a1n a 21 a22 L a2n A= M M M M am1 am 2 L amn

o

a11 a12 L a1n a21 a22 L a 2n A= M M M M a m1 am 2 L amn

Las letras ai j representan nmeros reales, que son los elementos de la matriz. Ntese que ai j designa al elemento en la i-sima fila y la j-sima columna de la matriz A; la matriz A se denota tambin a veces por ( ai j ) o por { ai j }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (m por n), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subndices, por ejemplo, A m n , o bien, ( ai j ) m n .

EJEMPLO 1 0 - 2 6 3 - 9 4 8 6 6 3 3 8 - 2 - 1 0 0 es una matriz 3 3 (cuadrada ) 5 - 8 - 2 12 10 - 1 13 9 - 3 2 7 6 6 4 10 es una matriz 5 3 1 - 1 - 1 1

es una matriz 2 4

es una matriz 2 2 (cuadrada )

Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son tambin iguales, es decir, si las matrices son idnticas. Observemos que, por definicin, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO Si 2 - 2 A = 2 - 2 2 -2 2 B = 2 - 2 - 2 - 2 2 C = 2 - 2 2 - 2 D = 2 - 2

A = D, pero A B, A C , B C , B D, y C D.

DEFINICIN DE VECTOR (EN LGEBRA MATRICIAL) Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l se conoce como vector columna, y se expresa como

u1 u u = 2 M um

u1 u o bien u = 2 M um

Las letras u i son nmeros reales: los componentes del vector; u i es el i-simo componente del vector u. Un vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m-dimensional. Anlogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice que es un vector fila y se expresa como v = (v1 , v 2 ,...,v n )

o bien v = [ v1 , v 2 , ..., v n ]

Las letras v j son nmeros reales: los componentes del vector; v j es el j-simo componente del vector v. Un vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n-dimensional.

EJEMPLO1 - 1

es una matriz 2 x 1, o sea, un vector columna de 2 dimensiones (o bidimensional)

0 0 3 0 2[0, [1, - 1, 3, 5, 0] - 1]

es una matriz 5 x 1, o sea, un vector columna de 5 dimensiones (o pentadimensional)

es una matriz 1 x 3, o sea, un vector fila de 3 dimensiones (o tridimensional) es una matriz 1 x 4, o sea, un vector fila de 4 dimensiones (o tetradimensional)

Dos vectores fila que tienen el mismo nmero de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo

nmero de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son tambin iguales, es decir, si los vectores son idnticos. EJEMPLO1 v= 3 u = w, pero u v, u x, y v w, v x, y w x.

u = [1,

3]

w = [1,

3]

x = [ 3, 1]

NOTA: Con frecuencia es til considerar a una matriz como compuesta de una serie de vectores fila o de vectores columna; por ejemplo, la matriz 1 2 - 3 - 6 2 se puede considerar constituida por los dos vectores columna 4 [2, 2] y [- 3, 4]

1 2 - 3

y

- 6 2 4

o bien. compuesta de los tres vectores fila [1, - 6]

1.3 OPERACIONES CON MATRICES Operaciones anlogas a las de adicin. Sustraccin, multiplicacin y divisin de nmeros reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposicin de nmeros reales, en lugar de un solo nmero real, algunas propiedades de las operaciones para los nmeros reales no tienen equivalencia en las operaciones anlogas con matrices; ejemplos especficos se dan en las siguientes secciones. En esta seccin se definen e ilustran la adicin y la sustraccin de matrices, la multiplicacin de una matriz por un escalar, y la multiplicacin de matrices entre s.

ADICIN Y SUSTRACCIN DE MATRICES Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si

a11 L A = M am1 L

a1n M amn

b11 L B = M bm1 L

b1n M bmn

entonces A B = C en donde

a11 b11 L C = M am1 bm1 L

a1n b1n c11 L M = M a mn bmn cm1 L

c1n M c mn

es decir, (ai j ) + (bi j ) = (c i j ) , en donde c i j = a i j + bi j para toda i y toda j.

EJEMPLO3 2 - 4 0 3 8 3 5 4 (a ) 5 6 8 + - 5 - 6 2 = 0 0 10 3 0 0 0 0 - 4 3 0 - 4 3 - 10 - 6 - 4 9 - 6 (b) - = 25 22 - 21 - 33 46 - 11

(c )

1 1 [ 4, 6, 12 ] + [- 3, 2, - 12 ] = [1, 8, 0] (d ) 2 4 1 2 6 3 1 + 4 - 1 1 0 - 2 6 0 3 = 4 - 1 4 2

1 0 1 0 2 = 0 4 0 1 0 3 1 1 + 2 1 4 6 0 - 2 8+ 1= - 4 10 0 - 5

(e)

(f)

(g)

[2, 1] + [ 3, 4 ] + [ 6, 7] - [11, 12 ] = [0, 0] 1 4 0 5 10 13 - 9 - 14 (h ) 2 6- 7 9- 20 0= - 25 - 3 11 12 1 0 - 9 - 4 3 8

PROBLEMAS Obtener la matriz que resulta de cada una de las siguientes operaciones:2 1. 5 0 6 4 5- 1 - 9 -3 1 - 3 4 5 0 - 2 1 0 - 1 6 2. 4 - 1 0 5 + 2 1 0 2 - 2 + - 1 3 - 4 0 2 2 - 1 - 3 1 - 1

1 3. 34 5. [1,

2 3 0+ 1 2 - 2 3, +1, 2] - [0, 1, - 2, 3]

2 1 - 1 0 2 4. + - 1 2 0 - 1 2 6. [- 1, 2] - [ 3,

4 ] + [1, - 2] - [6, 5]

Respuestas a los Problemas de Nmero Impar 1 0 2 1. 5 6 0 - 1 - 1 - 8 2 3. 4 0

5. [1, 2, 1, - 1]

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

Un solo nmero real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operaciones del lgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar (que es una constante); por lo tanto, si

a11 L A = M am1 L entonces

a1n M a mn

y k es cualquier escalar (o constante)

k Am n = kAm n

ka11 L = M kam1 L

ka1n M = k (ai j ) = (kai j ) m n m n kamn

EJEMPLO 4 - 3 12 - 9 3 8 - 2= 24 - 6 0 - 3 0 - 1 - 1 [6, - 2, - 3] = [- 6, 2, 0 0 - 2 2b - b 3= - 3b - 1 b 5 - 5b 3] 0 0 5 - 1= - 5 0 0 5 6 2 a - 3 - 1 0 4 5a = - 6 - 3a 6a -a 2a 0 4a - 6a

(a )

(b)

(c )

(d )

(e)

(f)

c [0, 0, 0, 0, 16 ] = [0, 0, 0, 0, 16 c ]

MULTIPLICACIN DE MATRICES Dos matrices se pueden multiplicar entre s slo si el nmero de columnas en una de ellas es igual al nmero de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB est definida solamente si el nmero de columnas en A es el mismo que el nmero de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicacin, y la matriz producto tiene el mismo nmero de filas que A y el mismo nmero de columnas que B. As, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p. DEFINICIN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si

u = [ u1 , L ,

un ]

y

v1 v= M v n

entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde w = u1 v1 + u 2 v 2 +L + un v n =

n i=1

ui vi .

Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-sima fila y en la j-sima columna de la matriz producto, es el producto interior del i-simo vector fila de la primera matriz con el j-simo vector columna de la segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus productos interiores: Si A = (a i j ) m n y B = (bi j ) n p , entonces AB = C, en donde

C = (c i k )

m p

n a1 j b j1 L j=1 = M n a b L j=1 mj j1

a1 j b jm j=1 M n amj b jn j=1 n

es decir, c i k =

n j=1

ai j b j k .

EJEMPLO1 (a) 2 0 3 0 -1 - 1 0 6 1 - 1 1 0 2 3 - 3 3 = 2 0 7 16 3 2

3 3

3 2

en donde(1)(1) + (3)(- 1) + (- 1)(1) = - 3 (2)(1) + (0)(- 1) + (0)(1) = 2 (0)(1) + (- 1)(- 1) + (6)(1) = 7 (1)(0) + (3)(2) + (- 1)(3) = 3 (2)(0) + (0)(2) + (0)(3) = 0 6 (0)(0) + (- 1)(2) + (6)(3) = 1

(b)

[- 1, 0, 6,

3, 2]1 5

3 4 - 2 1 0

0 0 3 = [- 12 , 8 - 25 2

38 ]1 2

en donde2 (1)(3) + (0)(4 ) + (6)(- 2) + (3)(1) + (2)(0) = - 1 8 (- 1)(0) + (0)(0) + (6)(3) + ( 3)(8) + (2)(- 2) = 3

En la multiplicacin de matrices, el orden (o sucesin) segn el cual se efecta la multiplicacin es muy importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA; sin embargo, en general AB BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general, la premultiplicacin y la posmultiplicacin dan resultados diferentes, aun cuando ambos estn definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaucin no es necesaria en la multiplicacin de nmeros, como se recordar.

EJEMPLO 1 -1 B = 1 2 2 1 6 3

(a) Si

4 A = 0

6 -1

-1 2

3 1

y

entonces4 AB = 0 1 -1 BA = 1 2 6 -1 2 1 6 34 2 -1 2 3 12 4 1 - 1 1 2 -1 2 2 3 17 1 = 6 5 14 2 2 34 2 3 12 4 4 -4 = 4 8 4 -7 0 9 3 3 11 4 5 - 2 9 94 4

4 0

6 -1

(b) Si

5 A = - 1 0

- 6 0 3

y

- 1 B = 0

8 10

- 3 - 4

entonces 5 A = - 1 B 0 - 1 B = A 0 - 6 0 33 2 8 10 - 1 0 8 10 5 - 1 0 - 5 - 3 = 1 - 4 2 3 0 - 6 - 13 0 = - 10 33 2 - 20 -8 30 9 3 - 12 3 3

- 3 - 4 2 3

- 3 - 12 2 2

(c) Si

- 1 A = 2 0

3 0 4

1 - 2 5

y

0 B = 8 - 2

2 -1 0

3 9 5

entonces- 1 AB = 2 0 0 BA = 8 - 2 3 0 4 2 -1 0 1 - 2 53 3 3 9 53 3 0 8 - 2 - 1 2 0 2 -1 0 3 0 4 22 3 9 = 4 53 3 22 4 1 - 2 = - 10 53 3 2 -5 4 -4 12 60 14 29 - 4 61 3 3 11 55 23 3 3

NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es decir, un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. Cuando un vector columna n x 1 premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado es una matriz cuadrada n x n cuyos elementos son

los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si

u = [ u1 , L ,

un ]

y

v1 v= M v n

entonces, como se indic anteriormente, u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde w = (una matriz cuadrada), siendo x i j = v i u j .

n i=1

ui v i , y vnx1 u1xn = xnxn

EJEMPLO(a ) [1, 3, 6] - 2 4 = - 2 +12 - 6 = 4 - 1 - 2 - 6 12 3, 6] = 4 12 24 - 1 - 3 - 6

- 2 4 [1, - 1

(b)

[1, 0, 0, 2, - 3]

0 - 1 - 4 = 0 + 0 + 0 - 6 + 6 = 0 - 3 - 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 3 - 8 12 - 6 9 -4 6

0 0 - 1 - 1 - 4 [1, 0, 0, 2, - 3] = - 4 - 3 - 3 - 2 - 2

Aunque el orden segn el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se multiplican tres o ms matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de las operaciones, Es decir, Amxn Bnxp Cpxq = Amxn(Bnxp Cpxq) = (Amxn Bnxp)Cpxq Una propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicacin de nmeros. En resumen, la adicin de matrices es conmutativa, o sea, A + B = B + A, y tanto la adicin como la sustraccin son asociativas, es decir, A B C = A (B C) = (A B) C; la multiplicacin de dos matrices no es conmutativa (es decir, AB BA) pero la de tres o ms es asociativa, es decir ABC = A(BC) = (AB)C. Tratndose de nmeros, la adicin, la sustraccin y la multiplicacin son asociativas y conmutativas. EJEMPLOS A.

A 1 2 0 -1 -3 0 0 4 13 3

B 3 1 - 1 3 1 [0,

C 2, - 1]1 3

= 1 = 2 0

A -1 -3 0 0 4 13 3 0 0 0

BC 6 2 -2

= 0 - 3 - 1 = 0 13 3 0

ABC 4 -2 -2 - 2 1 13 3

O por asociatividad,A 1 2 0 -1 -3 0 0 4 13 3 B 3 1 - 13 1 [ 0, C 2, - 1]1 3 = AB 2 = - 1 - 13 1 [0, C 2, - 1]1 3 = 0 = 0 0 ABC 4 -2 -2 - 2 1 13 3

B.A 1 6 - 1 10 2 2 5 - 8 B -2 0 3 62 3 C = A - 1 10 2 2 BC = ABC - 1 1 0 = 6 - 4 3 1 - 17 - 1 = - 16 2 1 - 262 2 1

O bien por asociatividad,A 1 6 - 1 10 2 2 5 - 8 B -2 0 3 62 3 C = AB -2 - 12 - 3 78 2 3 C = ABC

- 1 13 0 = - 50 - 4 3 1

- 1 - 1 0 = - 262 2 1 - 4 3 1

C.A 3 4 4 32 2 0 - 1 B 1 02 2 - 6 - 5 C -8 5 = 3 10 = 4 2 3 4 A 4 32 2 - 5 6 BC 5 8 = 9 4 = - 10 2 3 - 2 ABC 47 44 - 28 - 14 2 3

O por asociatividad,A 3 4 4 32 2 0 - 1 B 1 02 2 - 6 - 5 C -8 5 = AB 3 4 2 2 - 6 - 5 C -8 5 = 9 10 = 4 2 3 - 2 ABC 47 44 - 28 - 14 2 3

- 4 10 = 4 2 3 - 3

D.

A

B 0 2 - 1 04 1

C

=

A 0 - 2 1 0

BC 0 0 0 0

= 0 12 = [6, - 6 04 3

ABC

[1,

- 1,

4,

2]1 4

[- 1,

0,

6]1 3 = [1,

- 1,

4,

2]1 4

0,

- 36 ]1 3

Alternativamente, por asociatividad,A B 0 2 - 1 04 1 C = AB C = ABC

[1,

- 1,

4,

2]1 4

[- 1,

0,

6]1 3 = - 6 [- 1,

0,

6]1 3 = [6,

0,

- 36 ]1 3

PROBLEMAS Obtener la matriz resultante de cada una de las siguientes operaciones:+1 2 3 4 1. 3 0 - 1 - 1 2 1 2 0 3 1 - 1 2 4. [1, - 2, 0] 3 0 1 1 - 2 2 - 1 2 1 2. 1 0 1 0 3 - 3 - 1 12 01 1 1 5. 1 - 10 21 1 1 2 1 3. [1, - 1, 0, 2] - 1 0 1 3 0 2

2 0 1 0 6. [1, - 1, 1] 0 2 0 1 2 2

Respuestas a los Problemas de Nmero Impar- 3 6 9 12 1. 0 - 3 - 3 6 3 6 0 9 0 0 0 5. 0 0 0

3. [1, 2]

1.4 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES En esta seccin se estudiarn tres tipos especiales de matrices: las matrices diagonales, las matrices identidad y las matrices nulas.

MATRICES DIAGONALES Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho; as pues,

a11 L A = M am1 L es una matriz diagonal si y slo siai j = 0 ai j 0

a1n M= (a i j ) n n a mn

para i j si al menos i = j (cuando todos los elementos de una matriz son ceros, se trata de una matriz nula, la cual se describir ms adelante)

Una matriz diagonal n x n puede indicarse por la notacin

a11 0 A = O ann 0o bien, por

o

a1 0 O an 0

d1 Dn = O 0

0 dn

EJEMPLO1 0 0 0 - 3 0 0 0 10 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 son matrices diagonales. 0 0 0 0 0 7

y

MATRICES IDENTIDAD Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al nmero uno. Por consiguiente,

a11 L A = M am1 Les una matriz identidad si y slo siai j = 0 ai j =1

a1n M= (a i j ) n n a mn

para i j para i = j

o en forma equivalente, una matriz diagonal Dn es una matriz identidad si y slo si

d i =1

para i = 1, 2, , n

Una matriz identidad n x n se representa por In.

EJEMPLO1 0 0 I 3 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 I6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

y

son las matrices identidad 3 x 3 y 6 x 6. Ntese que al premultiplicar o posmultiplicar una matriz por la matriz identidad del tamao (u orden) apropiado, no cambia la matriz dada; es decir, Amxn = Im Amxn = Amxn In = Amxn

EJEMPLOS A.A2 4 2 - 1 -3 -1 -6 0 I2 1 4 = 32 4 0 0 2 12 2 - 1 A2 4 -3 -1 -6 0 2 4 = 32 4 - 1 A2 4 -3 -1 -6 0 4 32 4 1 0 0 0 0 1 0 0 I4 0 0 1 0 0 2 0 = 0 - 1 14 4

-3 -1

B.A3 3 3 0 0 0 -2 0 1 0 0 = 0 63 3 0 I3 0 1 0 0 3 0 0 13 3 0 A3 3 0 -2 0 3 0 0 = 0 63 3 0 A3 3 0 -2 0 0 1 0 0 63 3 0 I3 0 1 0 3 0 0 = 0 13 3 0 A3 3 0 -2 0 0 0 63 3

MATRICES NULAS Una matriz nula es una matriz m x n cuyos elementos son todos iguales a cero; se simboliza con O. Cuando una matriz nula del orden (o tamao) apropiado se suma o se resta de otra matriz, esta ltima no cambia; es decir, Amxn Omxn = Amxn Premultiplicar o posmultiplicar una matriz nula de orden apropiado da lugar a otra matriz nula; es decir,

Okxm Amxn = Okxn EJEMPLOS A.A2 3 0 10 1 0 0 0 - 32 3 0 O2 3 0 0 = 0 0 = 02 3 10 A2 3 1 0

y

Amxn Onx1 = Omx1

0 - 32 3

B.O3 3 0 0 0 0 0 03 2 1 - 1 6 20 A2 4 4 - 13 0 - 10 = 0 11 2 4 0 O2 1 0 0 0 O3 4 0 0 0 0 0 03 4

A2 4 1 - 1 6 20 4 - 13

O4 1 - 10 11 2 4

0 0 = 0 0 02 1 04 1

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ En muchos anlisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matriz. En esta seccin se define la transpuesta de una matriz, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un producto de matrices. La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A, cuyas filas son las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si

Am n

a11 L = M am1 L

a1n M = ( a i j ) m n amn

Entonces la transpuesta de A es a11 L = M am1 L a1n a11 L M = M a mn am1 L a1n M = ( a i j ) = (ai j ) n m n m a mn

A m n

Ntese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna tambin n-dimensional, y

anlogamente, la transpuesta de un vector columna de n-dimensiones es un vector fila de n-dimensiones tambin. La transpuesta de una matriz diagonal es la misma matriz diagonal. EJEMPLO 3 Si A = - 6 2 03 0 , entonces A = 2 - 12 3 0 - 6 0 - 1

3 2

Si A = [6,

2,

- 1,

0,

6 2 - 5]1 5 , entonces A = - 1 0 - 55 1 -2 0 7 30 40 0

6 Si A = - 2 30

-8 0 40

- 10 7 0

6 , entonces A = - 8 - 10 3 3

3 3

3 0 Si A = , entonces A = [ 3, - 1 4 4 1- 1 Si A = 5 - 3 5 0 4 - 3 4 9

0,

- 1,

4 ]1 4

- 1 , entonces A = 5 - 3 3 3

5 0 4

- 3 4 9

3 3

6 0 A = Si 0 0

0 -2 0 0

0 0 3 0

6 0 0 0 A = , entonces 0 0 54 4 0

0 -2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 54 4

Si una matriz (cuadrada) y su transpuesta son iguales, es decir, ai j = a j i para toda i y toda j, entonces la matriz se denomina simtrica (con respecto a su diagonal principal). En los dos ltimos ejemplos citados, las matrices son simtricas. Una matriz simtrica que al multiplicarse por si misma queda igual, se dice que es idempotente. Por tanto, A es idempotente slo si A = A y AA = A

EJEMPLOS A. Una matriz identidad (de cualquier orden) es idempotente, puesto que

In = In

y

I n In = I n

B. La matriz

1 5 2 5

2 5 4 5

es idempotente, puesto que

1 5 2 5

2 1 5 = 5 4 2 5 5

2 5 4 5

y

1 5 2 5

2 1 5 5 4 2 5 5

2 1 5 = 5 4 2 5 5

2 5 4 5

TRANSPUESTA DE UNA SUMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICES La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de las matrices; por consiguiente, (Amxn Bmxn Cmxn)= Anxm Bnxm Cnxm es decir, (di j)mxn = (di j)nxm

en donde d i j = ai j bi j c i j y d j i = a j i b j i c j i . EJEMPLOS A. Si 3 0 2 A = - 6 8 - 1 - 1 6 - 2 B = 1 3 -2 0 0 6 C = - 2 5 25

entonces

2 [A + B + C] = - 5

o de otra manera

2 - 5 6 = 6 11 25 6 25 3 - 6 - 1 3 0 8+ 6 - 2+ 0 A + B + C = 0 2 - 1 - 2 1 6 6 11

- 2 2 5= 6 25 6

- 5 11 25

B. Si2 - 1 A = 0 - 1 6 8 B = 10 - 12 4 0 - 1

0 - 1 C = 0 0-1 -4 0 = 1 - 1 1 0 -1 0 1 1

entonces

[A - B + C] =

2 o, alternativamente, A - B + C = - 1

0 - 1

6 8

10 0 + - 12 - 1

0 - 4 = 0 - 10

- 10 11

TRANSPUESTA DE UN PRODUCTO DE MATRICES La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas en orden inverso; por tanto, [Amxn Bnxp Cpxq]= Cqxp Bpxn Anxm

EJEMPLOS A. Si 3 0 A = - 4 - 1 3 5 - 7 B= 0 - 1 8 6 C = - 1 0 39 [ ABC ]= = [ 39, - 53] - 53

entonces

6 9 15 - 21 39 ABC = - 1 = - 12 - 19 20 - 53 0

o en forma alternativa,B [ ABC ]= C A= [6, - 1, 3 0] 5 - 7 0 3 - 1 0 8 3 - 4 = [1 3, 1] - 1 0 - 4 = [ 39 , - 1 - 53 ]

B. SiA = [ 3, - 1, 0] 6 0 B = - 7 2 0 3 0 C = 1

0 - 2] = - 2 y asimismo [ABC]= -2 (la transpuesta de un escalar es el mismo 1 escalar), o de otra manera, 3 3 6 - 7 0 [ABC] = CBA= [0, 1] - 1 = [0 2 3] - 1= - 2 0 2 3 0 0

entonces* ABC = [26

PROBLEMAS Obtenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices

*

N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que slo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el escalar 2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.

2 6 1. 5 - 3 1 - 6 3 4. - 1 4 - 8 0 5 7 7. Si 1 A = 2 2 , 1

- 3 6 2. 5 - 2 5. [ 3, - 2, 4, - 9]- 2 B = 4 b. [ B + C ] 3 , 0 0 C = 2

- 7 - 5 6 3. 8 10 - 3 - 1 3 6. 2 1 - 4 2 - 1 ; 3 encuentre : d. [ ABC ]

a. [ A + B]

c. [ AB ]

8.

Si

2 A = 1 0

- 1 2 1

,

3 B= , - 12 1

3 C = - 1 c. [ D ] C

0 2

2 - 4 2 3

y

- 3 D = - 1

0 -2

- 2 , - 4 2 3

encuentre :

3 2

a. [ AB ]

b. [C + D ]

d. A + D + C

Respuestas a los Problemas de Nmero Impar- 7 8 3. - 5 10 6 - 3 - 2 6 b. 2 3 3 -2 5. 4 - 9 6 0 c. 3 6 6 12 d. 3 18

2 5 1. 6 - 3 - 1 6 7. a. 5 1

1.6 MATRICES SUBDIVIDIDAS Con frecuencia es conveniente subdividir (o particionar) una matriz descomponindola en sub-matrices. stas se pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matriz original. La particin o subdivisin de una matriz se indica mediante lneas punteadas horizontales o verticales trazadas entre filas o columnas. Por ejemplo, la matriz A de orden se pueden subdividir como sigue:

m n

A = ( A1

A2 )

en donde A1 es de orden m n1, A2 es de orden m n 2 , y n1 + n 2 = n . La transpuesta de una matriz subdividida se puede escribir en trminos de las transpuestas de sus submatrices. As pues,

A1 A= A 2

EJEMPLO4 A2 ] = 2 8 -3 -1 -2 5 1 3 0 6 - 7 4 -3 A = A 2 5 0 A 1 2 -1 1 6 8 - 2 3 - 7

Si

A = [ A1

entonces

Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si una matriz A de orden m se subdivide como A = [ A1 A2 ] , en donde A1 es m n1, A2 es m 2 , y

n1 + n 2 = n ; y si una matriz B de orden m se particiona como B = [ B1 B2 ] , en donde B1 es m n1, B2 es m n 2 , y n1 + n 2 = n , entoncesA B = [ A1 B1De igual modo, si

A2 B2 ]

A A = 1 A2 B B = 1 B2

en donde A es m , A1 es m1 , A2 es m2 , y m1 + 2 = y

en donde B es m , B1 es m1 , B2 es m2 y m1 + 2 = , entonces

A B A B = 1 1 A1 B2 EJEMPLO 3 A = - 1 7 4 0 3 -2 5 3 0 6 2 - 3 B = - 1 5 0 -1 4 2 -2 3 4 5 1

Si

y

entoncesA + B = ( A1 A2 ) + (B1 3 B2 ) = - 1 7 4 0 3 -2 5 3 0 - 3 6+ - 1 2 5 0 -1 4 2 -2 3 4 0 5= - 2 1 12 4 -1 7 4 3 11 = [ A1 + B1 6 3 0

A2 + B

o bien, 3 A1 B1 A + B = + = - 1 A2 B2 7 4 0 3 -2 5 3 0 - 3 6+ - 1 2 5 0 -1 4 2 -2 3 4 0 5= - 2 1 12 4 -1 7 0 4 A + B1 3 11 = 1 A2 + B2 6 3

Otras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado.

Particionar o subdividir una matriz es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han de ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisin de matrices se utilizan principalmente en la multiplicacin y en otras operaciones ms complicadas. Las matrices deben subdividirse en forma compatible para la multiplicacin. Si una matriz A de orden m se subdivide como A = [ A1 A2 ] , en donde A1 es m n1, A2 es m 2 , y n1 + n 2 = n ; y una matriz B de orden n se subdivide como

B B = 1 en donde B1 es n1 y B2 es n2 , entonces B2

AB = [ A1

B A2 ] 1 = A1B1 + A2 B2 B2

EJEMPLO 3 A = - 2 1 0 4 -1 - 1 1 y 2 2 B = 1 - 1 1 3 1

Si

entonces 3 AB = - 2 1 0 4 -1 - 1 1 2 2 1 - 1 1 3 3= - 2 1 1 0 2 4 1 - 1 - 1 6 1 + 1 [- 1, 1] = 0 3 2 1 3 1 10 + - 1 - 2 - 2 - 1 7 2 1= - 1 11 2 - 1 0

lo que puede verificarse por multiplicacin matricial directa.

m en un mximo de mn submatrices; observemos que la particin mxima equivale a no subdividir enabsoluto la matriz, puesto que cada elemento se trata como una matriz escalar. A menos que se tenga una particin lgica en trminos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para facilitar los clculo; esto implica un compromiso razonable entre minimizar el nmero de submatrices y minimizar su tamao mximo. Las matrices se particionan ya sea horizontalmente o verticalmente. Por tanto, la matriz A de orden m se puede subdividir en la forma

Las matrices se pueden subdividir en ms de dos submatrices. De hecho, es posible particionar una matriz

A A = 11 A21

A12 A22

en donde A11 es m1 1 , A12 es m1 2 , A21 es m2 1 , A22 es m2 2 , y asimismo, m1 2 = , n1 2 = . Entonces

A A = 11 A21

A12 A11 = A22 A21

A12 A22

Si la matriz B de orden n se particiona como

B B = 11 B21

B12 B22

en donde B11 es n1 1 , B12 es n1 2 , B21 es n2 1 , B22 es n2 2 , y asimismo, n1 2 = , p1 2 = , entonces A y B estn particionadas en forma compatible para la multiplicacin y

A AB = 11 A21EJEMPLO 1 3 1 -1 0 1 A = 2 - 1 4 0 2 - 3

A12 B11 A22 B21

B12 A11 B11 + A12 B21 = B22 A21 B11 + A22 B21

A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22

Si

y

3 - 2 1 0 - 1 B = 5 - 1 4 - 3 2 3 - 2 0 1 - 1 1 B12 - 1 = B22 2 0 3 0 -1 2 1 3 1 5 4 3 - 3

entonces

A AB = 11 A21

A12 B11 A22 B21

-2 -1 -2

1 4 0

0 -3 1

- 1 2 - 1 - 7 0 - 11 1 1 4 - 1 13 - 1= - 1 - 4 - 2 -8 1 7

yA11 B + A12 B21 11 1 = - 1 2 1 = - 1 2 3 3 0 5 - 1 3 1 0 4 - 1 3 2] 5 1 2] 4

1 - 2 + 1 [ 3, - 1 4 0 -3

18 - 2] = - 3 1

- 5 3 2+ 3 - 3 12

- 2 21 - 2= 0 - 8 13 -9 0 3 5 0 1+ 0 - 4 0 4]

A11 B12 + A12 B22

1 - 1 + 1 [0, 1, 2 4 - 2] = [10 ,

13 - 1] = - 1 - 2 - 2] + [- 9,

-

A21 B11 + A22 B21 = [0,

- 2 + [- 3] [ 3, - 1 0 -3

6] = [1,

A21 B12 + A22 B22 = [0,

- 1 + [- 3] [0, 1, 2

- 1] = [8,

- 6,

4 ] + [0,

- 3,

3] = [8,

- 9,

7]

En consecuencia, A B + A12 B21 AB = 11 11 A21 B11 + A22 B21 A11 B12 + A12 A21 B12 + A22 21 B22 0 = B22 13 1 -7 0 - 11 4 13 -1 -2 8 -8 1 7 -9 4 0 - 8 7

lo cual se puede verificar por multiplicacin matricial directa.

PROBLEMAS1. Calcule lo siguiente: 6 1 4 2 a. 2 0 - 3 - 3 0 1 - 1 2 - 5 - 1 4 2 6 0 - 1 b. 0 1 1 - 3 2 - 5 - 1

Emplee matrices subdivididas para verificar los resultados.5 2. Si U = [1, - 1, 4 ] , X = [0, 1, 2] , V = 0 y 1 a. UV + XY b. 5UV +10[ X (2V - Y )]

- 1 Y = - 1, obtenga 2

3. Si A es 2 3 , B es 4 3 , C es 3 3 , y D es 3 2 , determine la disposicin u orden de

a. A C

b. D A c. A D

d. B C

e. D A C f . B C D A

4. Si

1 2 3 A = 0 - 1 1 2 3 0

3 1 0 B = 1 - 1 2 0 2 1

B A evale 2( A - B ) y emplee matrices subdivididas para verificar el resultado.

5. Si

- 1 - 2 - 2 A = 1 2 1 - 1 - 1 0

- 3 - 6 2 B= 2 4 - 1 2 3 0

- 5 - 8 C = 3 5 1 2

0 0 - 1

demuestre quea. A 2 = B2 = C 2 = I b. AB= BA = C c. BC = CB= A d. AC = CA = B

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados. 5 A = 4 - 2 4 5 -2 - 2 - 2 2

6. Si

demuestre que A 2 - 11A +10I = O . Utilice matrices particionadas para verificar el resultado. 7. Si1 0 A = 1 0 0 0 B= 1 1 2 2 C = 2 2 2 3 D = 4 25

evale

a. AB- 2CD

b. A 2

c. (BC)

2

8. Si

U = [1, 0, 1]

1 V = 2 3

4 2 - 1 X = - 1 3 0 0 1 1

1 0 0 Y = 0 1 0 0 0 1

encuentre

a. U V

b. V U+ X

c. X Y

Emplee matrices particionadas para verificar los resultados. 2 U = - 1 1 - 2 - 4 3 4 - 2 - 3 - 1 V = 1 - 1 2 -2 2 4 - 4 4

9. Si

demuestre quea. U 2 =U y V 2 =V b. U V=V U= O c. U +V = I

Utilice matrices subdivididas para comprobar los resultados. 1 X = 1 - 1 2 2 -2 3 3 - 3

10. Si

demuestre que X 2 = O . Utilice matrices con subdivisin para comprobar el resultado. 1 -2 1 A = 2 1 - 3 2 3 - 5 2 5 - 1 - 7 X = - 2 1 3 4 1 2 3 2 3 6 Y = - 1 2 4 3 0 4 2 - 6 5 3

11. Si

demuestre que

AX - AY (aunque X Y ) y emplee matrices particionadas para verificar el resultado.0 - 2 3 B = 0 1 3 - 2 C = 3 - 3 =1 D = 1 2

12. Si

1 - 2 A = 0 3 2 - 1

determine AB - CD .

Respuestas a los Problemas de Nmero Impar

0 - 4 1. a. 0 - 9 1 3 7 3. a. 2 3

2 9 1 3 b. - 6 - 3 b. 3 3 c. 2 2 d. 4 3 e. 3 3 f. 4 3

- 2 4 - 3 2 7. a. - 2 4 - 3 2

1 0 b. 1 0

0 0 c. 1 6 1 6