Algebra Linealx
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
Especialidad de Ing. Mecánica Eléctrica
DATOS :
INTEGRANTES : CODIGO FIRMA
Paucar Chariarse, Abelardo José 20140201C ______ Reyes Intuscca, Edson Franco 20142103I ______ Sánchez Osorio, Isael Joel 20142108K ______ Vargas Cano, Ronaldhino 20140013B ______
SECCIÓN : B
PROFESOR : REYNA MEDINA, Jexy Arturo
TEMA : Lugares Geométricos en el espacio
Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Mecánica
“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene como objetivo identificar las superficies cuadráticas y reconocer su presencia en la naturaleza, así como mostrar ejemplos visuales de la aplicación de éstas en diferentes ámbitos del desarrollo humano. Debemos precisar que no se da una definición rigurosa de superficie, más bien intuitiva.
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(x−x0 , y− y0 , z−z0)=λ.(u1 , u2 , u3)
x2
a2− y2
b2=1
y=x2
x2
a2+ y2
b2=1
C. HIPERBÓLICO
x2
a2+ y2
b2= z2
c2
C. PARABÓLIC
C. ELÍPTICO
PLANO
RECTA
CILINDRO
CONO
(x−h)2
a2+
( y−k )2
b2−
(z−m)2
c2=1
(x−h)2
a2−
( y−k )2
b2−
( z−m)2
c2=1
z= x2
a2+ y2
b2
z= x2
a2− y2
b2
(x−h)2
a2+
( y−k)2
b2+
(z−m)2
c2=1
(x−h)2+¿LUGARES GEOMETRICOS EN EL ESPACIO
HIPERBOLOIDE
ELIPSOIDE
ESFERA
PARABOLOIDE
P. HIPÉRBOLOIDE
P. ELÍPTICO
H. HIPERBOLICO
H. ELÍPTICO
P⃗X=λ u⃗+μ v⃗
1. PARABOLOIDE
Paraboloide Hiperbólico
Paraboloide Elíptico
Paraboloide
Un paraboloide será elíptico cuando los
términos cuadráticos de su ecuación
canónica sean de signo contrario:
( xa )2
−( yb )2
=z
Un paraboloide será elíptico cuando los
términos cuadráticos de su ecuación
canónica sean del mismo signo:
( xa )2
+( yb )2
=z
Es la superficie que se ha creado al deslizar una parábola vertical con la concavidad hacia abajo, a lo largo de la otra, perpendicular a la primera; las secciones horizontales son elipses mientras que las verticales
El paraboloide hiperbólico se engendra a partir de dos parábolas mediante el deslizamiento de una de ellas, paralelamente a sí misma, sobre la otra. A la primera parábola se la denomina generatriz y a la
Aplicaciones
Paraboloides hiperbólicos en estructuras
Antenas parabólicas
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2. ESFERA:
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Aplicaciones:
Si el plano es tangente el área de contacto queda reducida a un punto.
Si el plano pasa por el centro de la esfera el radio del círculo es el de la esfera. En este caso el círculo es máximo.
Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio R de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:
R'=√R2−d2
Ecuación paramétrica:
X=x0+r cosθ×sin γ
Y= y0+r sinθ× sin γ
Y= y0+r cosθ
Secciones: La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia.
Superficie: s=4 π ×R2
Volumen: V= 43π ×R3
Ecuación cartesiana:
(x−h)2
R2+
( y−k)2
R2+
(z−m)2
R2=1
De centro (h,k,m) y de radio R
La esfera es la superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.
Se origina al rotar una superficie semicircular, alrededor de su
Esfera
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3. ELIPSOIDE
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EJEMPLOS REALES x=0 < < ay=0 < < b
Si > c no hay intersección Si = c la intersección se reduce a un punto
Si c la curva de corte es una elipse de
ecuación x2
a2 β2+ y2
β2b2=1 donde β2=1−α 2
c2
CORTES
CORTES POR PLANOS “Z=α”
V= 4π3
abc
S≈4 π ( apb p+ap c p+c pbp
3)1p
Donde p≈1.6075
VOLUMEN
CÁLCULOS
CORTES POR PLANOS “y=α, x=α”
SUPERFICIE
Ecuación cartesiana: (x−h)2
a2+
( y−k)2
b2+
(z−m)2
c2=1 de
centro (h, k, m)
Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
ELIPSOIDE
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4. HIPERBOLOIDE:
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EJEMPLOS REALES
2do caso:
−(x−h)2
a2−
( y−k )2
b2+(z−m)2
c2=1 de
1er caso:
(x−h)2
a2−
( y−k )2
b2−
( z−m)2
c2=1 de
2do caso:
(x−h)2
a2−
( y−k )2
b2+(z−m)2
c2=1 de
1er caso:
(x−h)2
a2+
( y−k)2
b2−
(z−m)2
c2=1 de
H. ELIPTICO (DOS HOJA)
H. HIPERBOLICO (UNA HOJA)
Tipos
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.
HIPERBOLOIDE
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5. CILINDRO
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C. hiperbólicoC. parabólico
CILINDRO
En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuadráticas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.
Tipos
C. elíptico
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6. CONO
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Cono Elíptico
Ecuación
CONO
En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.
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7. RECTAS
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Ecuaciones continúas de la recta:
Despejando e igualando λ se obtiene:
Ecuaciones implícitas, pueden ser intersección de planos:
Ecuación paramétrica de la recta:
Operando en la ecuación vectorial
esta igualdad se verifica si
Ecuación vectorial de una recta:
Se clasifican de acuerdo a sus ecuaciones, ósea el lenguaje para su obtención.
Es el lugar geométrico donde los puntos siguen una misma dirección y son colineales .También se define como la mínima distancia entre dos puntos
Rectas
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8. PLANOS
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Vector normal
El vector es un vector normal al plano es decir perpendicular al plano
Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano el vector
es perpendicular al vector n y se cumple lo siguiente
Forma canoníca o segmentaria de un plano
Sean los puntos x0 y0 y z0 se
Ecuación general o implícita de un plano
El punto está en el plano si tiene solución el sistema
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ por tanto el determinante de la matriz ampliada debe ser cero
Damos los valores
Sustituimos
Finalmente obtenemos la ecuación
Ecuación vectorial de un plano
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección
Ecuación paramétrica de un plano
Esta igualdad se verifica si cumple
Es aquella superficie que posee 2 dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas tiene distintas denotaciones o ecuaciones
Planos
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CUADRO DE APLICACIONES
SUPERFICIE CUADRICAS APLICACIONES VIDEO
01 paraboloide
Antenas parabolicas
https://www.youtube.com/watch?v=xtRw3RntG2ccopa de helado
silla de montar
estructuras de edificios
02 esferapelotas de todo tipos
http://www.youtube.com/watch?v=p1_7Df9qe1Aboliches
03 elipsoidepelota de futbol americano,
huevohttp://www.youtube.com/watch?v=8LgDF3-83pE
04 hiperboloide plato de sopa http://www.youtube.com/watch?v=a8XUHBNwJlw
05 cono
conos de helado
http://www.youtube.com/watch?v=rAkrxGQ0huoarboles navideños
altoparlantes
06 cilindrobarril de chavo del 8
http://www.youtube.com/watch?v=Fy4Kkgi3AJ8cables de electricidad
07 rectas
graficas velocidad vs tiempo
https://www.youtube.com/watch?v=fQW_d41kvU4
grafica de posición vs tiempo
proceso termico de dilatación
presion
termodinamica
8 planos
movimiento bidimensional, puede ser parabólico
https://www.youtube.com/watch?v=fQW_d41kvU4En el famoso sistema de
posicionamiento global más conocido como GPS
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Vector normal
El vector es un vector normal al plano es decir perpendicular al plano
Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano el vector
es perpendicular al vector n y se cumple lo siguiente
Forma canoníca o segmentaria de un plano
Sean los puntos x0 y0 y z0 se
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USO EN GEOGEBRA
SUPERFICIE CUADRICAS VIDEO
01
paraboloide http://www.youtube.com/watch?v=ah3Tul_bXwM
02
esfera https://www.youtube.com/watch?v=JcdTiskaccc
03
elipsoide http://www.youtube.com/watch?v=rFUHVbj7VYs
04
hiperboloide http://www.youtube.com/watch?v=IUVkYQFjvdQ
05
cilindro http://www.youtube.com/watch?v=lLwXv0wTbG8
06
cono http://www.youtube.com/watch?v=lLwXv0wTbG8
07
rectas http://www.youtube.com/watch?v=3NMea0EFJIM
08
planos http://www.youtube.com/watch?v=NiyqQW7RG8M
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