Tarea 1

Conjuntos numéricos

Son todos aquellos conjuntos que están formados por números, estos se dividen principalmente en:

Números Naturales:

Son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por el símbolo N y sus elementos son:

N= {1, 2, 3, 4,5…∞}

Números enteros:

Es el conjunto formado por todos los números sin cifra decimal, es decir, los números Naturales, sus inversos aditivos y el neutro aditivo

Z= {-∞…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3…∞}

Números Racionales:

Es el conjunto de a aquellos números que se pueden representar por medio de una facción.

Q= 12, 25,54

Números Irracionales:

No pueden expresarse en forma de fracción (a/b) siendo a y b enteros. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

I= {π. ∈,}

Números complejos

Es el conjunto de números con parte imaginaria y parte real.

Imaginarios

Es un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero

Negativos y Positivos

Todos los números que están a la izquierda del 0 se llaman números negativos, los de la derecha son positivos y son infinitos.

Cero (0) es el origen. Cualquier positivo es mayor, que cualquier negativo.

Números complejos:

2√3+5√15=2√3+5√3√5=√3(2+5√5)

√−5+√−4=√6√−1+√4 √−1=√−1=ι=√6 ι+2 ι=ι √6

Fracciones comunes:

½ ¾ 2/7

3.2, 0.25,-6.42 - Fracciones decimales.

Las matemáticas son dialectos, ósea es la unidad y la lucha de contrarios.

Solo hay dos operaciones: Suma y Resta.

+ -() /E √

Tarea 2

Representación de los conjuntos numéricos

C = {(x,y) | x,y ∈R}.

Pareja de par

ordenado

(x,0) = Regresa a la línea (x)

(o,y) = Termino usado para término puramente puro imaginario.

i= (0,1) Es la unidad imaginaria

1 = (0,1)

Z = (x,y) ∈R (Números complejos)

Z = (x,y) = x (0,1) + y (1,0)

= x 1 + yi

= x + yi

Ejercicios :

En otras palabras, estamos definiendo una nueva colección de números z tomando cada posible par ordenado de números reales en donde (x, y) pertenece a los números reales cabe la redundancia; en donde x, es considerada parte real del par ordenado (x, y). Esto implica, que el conjunto de los números reales podría ser identificado con la siguiente expresión,

{(x, 0) | x ∈R} ∈C.

Es común utilizar el término puramente imaginario para cualquier número complejo de la forma (0, y), donde y, pertenece a los reales. En particular, el número complejo i = (0,1) es especial, y se llama el imaginario unidad.

El uso de i es estándar cuando denota números complejo,

z = (x,y) ∈C

1 = (1,0)

2 ; (x,y) = x (1,0) + y (0,1)

= x + y𝒾Esto nos ofrece una forma significativamente simple de realizar operaciones aritméticas con números complejos cuando se escriben de esta forma,

˖La suma de números complejos se realza sobre sus componentes nos referimos a que la parte real e imaginaria simplemente se combinan.

(x1,y1), (x2,y2) ∈C

(x1,y1) + (x2,y2)= (x1+x2, y1 + y2)

(3, 2) + (17, -4.5) = (3 + 17, 2 + (-4.5))

= (20, -2.5)

˖La resta o sustracción se puede definir como una suma del inverso aditivo donde el inverso aditivo de “z” está definida como:

Z = (x,y) -Z = (-x,-y)

(π ,√2 )( π2 ,√19)(π √2 )−( π2−√19)(π ,√2 ,√2−√19 )

π1− π2=2π−π

2= π2

“Suma y resta de números complejos”

La adición de números complejos conserva muchas de las mismas propiedades que la adición de números reales, incluyendo la asociatividad, conmutatividad, la existencia, la identidad aditiva, y la existencia y del inverso aditivo. Agruparemos estas propiedades en el siguiente teorema, que usted debe probar para su propia práctica.

1. Asociatividad:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

2. Conmutatividad:

(z1 + z2) = (z2 + z1)

3. Inverso Aditivo:

Si tenemos un numero complejo z ∈R que pertenece los números complejos existe un único numero complejo denominado (–Z) en el cual al ser sumado el resultado es 0; Z+ (-Z)= 0. De esa manera si Z es igual a x, y cuando x y y pertenece a los reales entonces:

(z)= (x, y) (-z)= (-x, -y)4. Identidad Aditiva:Tenemos un numero único complejo denominado 0 para al operarse con cualquier numero complejo = 0

0 + z = z0 = (0, 0)

La definición de la multiplicación de números complejos marca las diferencias y complicaciones respecto a la adición.

Se tiene dos números complejos

(x1 , y1 ) (x2 , y2 )=(x1 x2− y1 y2 , x2 y1+x1 y2)

De acuerdo a esta definición ι2=−1 en otras palabras i es la solución de la ecuación polinomial z2+1=0 la cual no tiene soluciones en los números reales.

z2+1=0

z2=−1

z=√−1

z=i

Resolviendo algunas otra ecuación de este tipo es que se planteó la necesidad del estudio de los números complejos.

Desde destacarse la relación en donde ι2 es igual a -1 y asumir que los números complejos pueden ser multiplicados como números reales y esto es suficiente para entender la regla de la multiplicación de los números complejos.

(x1 , y1 i ) (x2 , y2i )=¿

x1 x2+x1 y2 i+x2 y1i+ y1 y2 i2

x1 x2+ y1 y2 (−1 )+(x¿¿1 , y2+x2 y1) i¿x1 x2− y1 y2+(x¿¿1 , y2+x2 y1)i ¿

¿

Multiplicació

Así como en la suma las propiedades básicas de la multiplicación compleja, son lo suficientemente sencillas para probarse usando la definición. Vamos a sintetizar estas propiedades atreves del siguiente teorema el cual podrás probar atravesó de la práctica.

El cual podrás probar atravesó de la práctica;

Teorema 2

Tenemos los números complejos z1, z2que pertenecen a los complejos los z1, z2 , z3 ∈C. Los cuales siguen las siguientes condiciones o propiedades

1. Asociatividad:

(z1 + z2) · z3 = z1 · (z2 + z3)

2. Conmutatividad:

(z1 · z2) = (z2 · z1)

3.-Identidad multiplicativa:

Tenemos un único número complejo denominado 1 el cual al ser multiplicado por cualquier número complejo que pertenezca a los números complejos

1z = z

4.- Propiedad distributiva:

Es una propiedad combinada con la suma:

z1 · (z2 +z3) = ( z1 + z2) · z3

De la misma forma que los números reales todos los números complejos que no son 0 tienen de manera única un universo multiplicativo el cual se denomina:

z−1=1z

Multiplicación de inversos multiplicativos

Tenemos que permanecer a los números complejos z que pertenece a los números complejos cuando z = 0 tenemos un único numero complejo denominado z−1, donde multiplicar z · z−1 = 1 de esta manera si z es igual a (x, y) que pertenece a los números reales entonces z−1 es igual a este par ordenado:

z−1=( x

x2+ y2,

− yx2+ y2

)

Profundidad

Un numero complejo w es inverso de z si z · w = 1, debemos de demostrar si w y v son dos números complejos si z · w = 1 y z · v = 1 por lo tanto w y v son iguales w = v

Esto implica que cualquier número complejo cualquier z que pertenece a los complejos puede tener más de un inverso multiplicativo, para ver esto iniciamos con la idea de que z · v = 1 multiplicando ambos lados por w obtenemos w·z·v = 1w utilizando el hecho de que 1 es la unidad multiplicativa, asumimos que w es un inverso y entonces tenemos w·z·v = v = w

Existencia

Ahora podemos asumir cuando z permanece a los complejos cuando z es diferente de 0 lo podemos escribir de la siguiente forma z = x + y𝒾 donde (x, y) ∈R de esta manera cuando z es diferente de 0 asumimos que x o y no son 0 y por lo tanto x2+ y2>0será mayor que 0.

Podemos definir entonces que w es igual:

w=( x

x2+ y2,

− yx2+ y2

)

z1 entre el número complejo diferente a 0 z2 o como el producto de (z1 ∙ z2)−1de

manera explícita para ambos números complejos tenemos:

z1=x1+ y1i

z2=x2+ y2i

El cociente complejo es:

z1z1

=x1 x2+ y1 y2+(x2 y1−x1 y2)

x22+ y2

2

Ejercicios:

División de

Sistema de numeración binario

El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1, es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan internamente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo 1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado, activado o desactivado). 

Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígitos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

   1223+0122+1121+1212

8+0+2+1=1

Y para expresar que ambas cifras describe la misma cantidad la escribimos así:

10112=1110

Sistema de numeración octal

Para representar un número base octal (base 8) es necesario disponer de un conjunto, o alfabeto de 8 símbolos.En el sistema octal se utilizan 8 estados y el conjunto de símbolos utilizados van de 0 al 7.

Se utilizan en el entorno de los ordenadores es consecuencia de su facilidad de uso junto al sistema binario que se usa comúnmente.

Sistema de numeración hexadecimal

Para representar un número en base hexadecimal (base 16), es necesario disponer de un conjunto, o alfabeto de 16 símbolos.Está compuesto por los números de 0 al 9 y las letras A, B, C, D, E y F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15).

Se utilizan como en el caso del sistema octal, por su rapidez en la conversión a sistema binario y al ahorro que representa en la presentación,

U.B C.M D.M U.M C.M D.M U.M C D U

1359 = 10101001111

2973 = 101110011101

999 = 1111100111

63457 = 1111011111100001

1010101010 = 682

11001101 = 205

101011110 = 350

10101111011 = 1403

Operación de números binarios

Suma:

5

Resta:

Multiplicacion: