ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio euclidiano o Espacio vectorial

Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesin de n nmeros reales ejemplo (a1, a2,...,an) donde los vectores Rn se clasifican as:

R1 = espacio unidimensional, lnea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Rn = espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensinales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vaco.

Podramos decir que un espacio vectorial es la abstraccin de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operacin se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicacin por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que acta como cero (0) y el negado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de nmeros y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones bsicas de espacios vectoriales.

Sub cuerpo:

Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicacin por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.

Sub espacio vectorial

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicacin por un escalar tambin debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin por un escalar.

COMBINACIN LINEAL

Se denomina combinacin lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.

Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:

V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.

Conjuntos Generadores

Si todo vector es un espacio vectorial puede ser expresado como combinacin lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinacin lineal es un conjunto generador de un espacio vectorial..

En otras palabras si u1, u2,..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen escalares c tal que:

V = c1u1 + c2v2 +... + cnun entonces V es una combinacin lineal de u1, u2,..., u3.Conjuntos Generadores e Independencia Lineal:

Si todo vector puede expresarse como combinacin lineal de vectores en un conjunto S entonces el conjunto S es un conjunto de un espacio vectorial.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucin no trivial esto quiere decir que la combinacin lineal denotado as: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 , sea que tiene una solucin nica.

Para comprobar la independencia Lineal.

Sea S = {v1, v2,..., vn } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de la ecuacin vectorial c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (que es la misma que combinacin lineal don de c son escalares) se escribe un sistema homogneo de ecuaciones lineales en variable c1, c2, ..., ck . Despus se hace Gauss-Jordn a la matriz aumentada para diagonal izarla si la solucin de la diagonalizacion tiene solamente solucin trivial c1, c2, c3 entonces S es linealmente independiente.

Si un conjunto S={v1, v2, ..., v3}, k>=2 es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno de los vectores vj puede expresarse como una combinacin lineal de los dems vectores S.

Base y Dimension

En un conjunto S={v1 ,v2, ..., vk} es un espacio vectorial V este se denomina Base si cumple que si es espacio vectorial tiene una base con un numero finito de vectores entonces V es de dimensin finita y en caso contrario es de dimensin infinita.

Base y Dependencia Lineal:

Si un conjunto finito S= { v1 , v2, ..., vn } es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene mas de n vectores de V es linealmente dependiente.

Numero de Vectores de una Base:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces toda base V tiene n vectores.

Dimensin de un Espacio Vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces esa n es la dimensin de esa base y se denota dim(V) = n.

Tericamente la dimensin se determina al hallar el conjunto de vectores linealmente independientes que genera el sub espacio, este conjunto es una base del sub-espacio y la dimensin del mismo es el nmero de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional:

Siendo V su espacio vectorial y n = n entonces S = { v1, v2,... ,vn } en un conjunto de vectores linealmente independientes en V, entonces S es una base de V.

Ejemplo: si S = { v1, v2, ..., vn } genera a V, entonces S es una base de V

PRODUCTO ESCALAR

Elproducto interioroproducto escalarde dos vectoresayben el espacio tridimensional se escribeaby se define comoab= |a| |b| cosgcuandoa0, b0

ab=0cuandoa = 0ob = 0

Aqug(0gP) es el ngulo entre a y b (calculado cuando los vectores tienen sus puntos inciales coincidentes).

El valor delproducto interior(escalar) es un escalar (un nmero real) y esto motiva el trminoproducto escalar. El coseno del ngulogpuede ser positivo, cero o negativo, lo mismo se aplica al producto interior.

Observamos que el coseno es cero cuandog=0.5P= 90.

PRODUCTO VECTORIAL

Varias aplicaciones sugieren la introduccin de otro tipo de multiplicacin vectorial en la que el producto de dos vectores sea nuevamente un vector.

Esteproducto vectorialde los dos vectoresaybse escribe

a x b

y es un vector definido como sigue.

Siaybtienen la misma direccin, son opuestos o uno de ellos es el vector cero, entonces su producto vectorial es cero (v=0). En cualquier otro casoes el vector cuya longitud es igual al rea del paralelogramo conayb como lados adyacentes y cuya direccin es perpendicular tanto aa como aby es tal quea,b,v, en ese orden, forman una terna derecha o triada derecha.

El trmino derecho se debe al hecho de que los vectoresa,b,v, en ese orden, toman la misma orientacin que los dedos pulgar, ndice y medio de la mano derecha cuando se colocan como se muestra en la figura de al lado. Tambin puede decirse que si a se gira hacia la direccin de b, describiendo el nguloa = 0 i j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }

Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.

PROCESO PARA ORTONORMALIZAR DE GRAM SCHMIDT1) Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos).

2) Convertir la base a una base ortogonal.

Sea B = { v1, v2, ..., vn }

w1 = v1

w2 = v2 proyw1 v2 wn = vn proyw1 v3 - - proyw(n-1) vn

B = { w1, w2, ..., wn }

3) y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.

Donde B = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal.

Aplicacin de los espacios con producto interno:

Producto cruz de dos vectores en el espacio:

Donde U = (u1, u2, ..., un )

V = (v1, v2, ..., vn )

U x V =

EMBED Equation.3

Por el mtodo de cofactores = i + j + k .

Las propiedades del producto cruz:

U x V = V x U

c ( U x V ) = c U x V = U x c V

U x U = 0

U x ( V + W ) = ( U x V ) + ( U x W )

U x 0 = 0 x U

U ( V x W ) = ( U x V ) W

U x V son paralelos si U x V = 0.

Aproximacin por mnimos cuadrados:

Siendo f y g dos funciones en x y funciones continuas en un intervalo finito [ a, b ] entonces.

I = 2 dx siendo I = 0 si ( f g ) 0 esto se puede representar como :

= 2 dx siendo I = 2 dx = = || f g || 2 esto significa que es equivalente minimizar || f g || 2 y || f g ||.

La aproximacin de minimos cuadrados esta dada por:

g = w1 +w2 + ... + wn siendo w1 = w1 donde

b = {w1, w2, w3,}

TRANSFORMACIONES LINEALES Notacin standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V y w esta en W, T (v) = w donde w ser la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las imgenes se llama contradominio de T y el conjunto de v de V tales que T (v) = w se llama preimagen de w.

La definicin de transformacin lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformacin lineal si cumplen con los axiomas de la distribucin bajo la suma ( T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicacin por un escalar (T(cU)= cT(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son:1) T(0) = 0

2) T(-v) = - T(v)

3) T(v-u) = T(v)-T(u)

4) S v = c1v1 + c2v2 +... + cnvn entonces v = c1 T (v1)+ c2 T (v2)+... + cn T (vn).

Para definir una transformacion lineal por una matriz esta se notara as: siendo a la matriz m x n la funcion T se definir T (v) = Av que suna transformacin lineal de Rn en Rm.

El ncleo se puede encontrar definiendo la transformada as. T(v) = 0 esto tambin se denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea ncleo esta debe cumplir que Ax = 0.

La dimensin del ncleo se llama nulidad y la dimensin del contradominio de T se llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A).

Dimensin del dominio = dimensin del rango + dimensin del ncleo.

Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la preimagen de W consta de un solo vector, o sea, ser uno a uno para toda u y v en V, T(u) = T(v), tambin hay que tomar en cuenta que ker(T) = 0. Tambin las transformadas lineales puede ser sobre si y solo si el rango de T es igual a la dimensin de W. Y un transformacin lineal es biyectiba si es uno a uno y sobre.

Existencia de una transformacin inversa:

Sea T: Rn Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las siguientes condiciones:

T es invertible

T es un isomorfismo

A es invertible

Si T es invertible con matriz standard A, entonces la matriz standard de T-1 es A-1.

Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B, don de la matriz A que se denomina matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la transformacin identidad es simplemente In.

La matriz de transicin de un transformada lineal depende del espacio V.

Las matriz de transicin T con respecto a la base B es diferente a la matriz T con respecto a otra base B.

A[(V)]B [ T(V)]B es la forma directa a travs de la matriz A.

P-1AP[V]B = T[(V)]B forma indirecta.

A = P-1AP

Donde a es la matriz de T con respecto a B, A es la matriz T con respecto a B, P es la matriz de transicin de B a B, P-1 es la matriz de transicin B a B

C o n c l u s i o nDespus de haber realizado a plenitud este informe se han relacionado la mayora de los temas acerca de espacio vectorial.Se han visto ms detallado y con ms exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este informe como el producto escalar, vectorial, el mtodo de Schmidt, entre otros; y se ha se ha llegado a la conclusin de todos los temas estn relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podramos decir que me ha enseado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera como la matemtica y la fsica ya que tambin en algunos casos se trabajan con vectores, y que no podemos omitir las enseanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA

NUCLEO - APURE

ESPACIOS VECTORIALES

Algebra lineal

PROFESOR:

ALUMNO:

NESTOR CASTILLO

GARRIDO VICTOR

CI: 18.147.261San Fernando de Apure, Enero del 2011

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