Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales Notas de curso 1 UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES Definición 35.- Un espacio vectorial V sobre un campo F es un conjunto de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones, adición vectorial y multiplicación por escalares, que satisfacen las siguientes propiedades (A1) ( ) , , v w V vw V (A2) ( ) ( ), ,, u v w u v w uvw V (A3) , , v w w v vw V (A4) Existe un elemento neutro, llamado vector cero o vector nulo, 0 V tal que 0 , v v v V (A5) Para cada v V , existe un elemento v V tal que ( ) 0 v v (M1) , , v V F v V (M2) ( ) ( ) , , v v F v V (M3) ( ) , , , v w v w F vw V (M4) ( ) , , , v v v F v V (M5) 1 , ,1 v v v V F Ejemplo 38. 1.- El conjunto 1 ,( ) n n n de n-adas de números reales con la suma y multiplicación por escalares definidas por: Si 1 2 1 2 , , , ,..., , , ,..., t t n n n xy x xx x y y y y , entonces: 1 1 2 2 , ,,..., t n n x y x y x y x y y 1 2 , ,..., , t n x x x x donde Es un espacio vectorial sobre . Nota: el vector 0 de n es 0 0,0,...,0 t 2.- El conjunto mn de matrices reales de orden m n es un espacio vectorial sobre 3.- El conjunto mn de matrices complejas de orden m n es un espacio vectorial sobre

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Notas del curso de Algebra Lineal donde se incluyen espacios vectoriales asi como la transformacion a combinaciones lineal y subespacios vectoriales

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 1

UNIDAD 3. ESPACIOS VECTORIALES

Definición 35.- Un espacio vectorial V sobre un campo F es un conjunto de

elementos llamados vectores, junto con dos operaciones, adición vectorial y

multiplicación por escalares, que satisfacen las siguientes propiedades

(A1) ( ) , ,v w V v w V

(A2) ( ) ( ), , ,u v w u v w u v w V

(A3) , ,v w w v v w V

(A4) Existe un elemento neutro, llamado vector cero o vector nulo, 0 V tal que

0 ,v v v V

(A5) Para cada v V , existe un elemento v V tal que ( ) 0v v

(M1) , ,v V F v V

(M2) ( ) ( ) , ,v v F v V

(M3) ( ) , , ,v w v w F v w V

(M4) ( ) , , ,v v v F v V

(M5) 1 , , 1v v v V F

Ejemplo 38.

1.- El conjunto 1, ( )n n n de n-adas de números reales con la suma y

multiplicación por escalares definidas por:

Si 1 2 1 2, , , ,..., , , ,...,t tn

n nx y x x x x y y y y , entonces:

1 1 2 2, , ,...,t

n nx y x y x y x y y 1 2, ,..., ,t

nx x x x donde

Es un espacio vectorial sobre .

Nota: el vector 0 de n es 0 0,0,...,0t

2.- El conjunto m n de matrices reales de orden m n es un espacio vectorial sobre

3.- El conjunto m n de matrices complejas de orden m n es un espacio vectorial

sobre

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 2

4.- El conjunto : 0,1V f de funciones de 0,1 a , es un espacio vectorial

sobre .

Nota: el elemento 0 de V es la función 0 o función nula 0 :[0,1]f

, , :[0,1] , :[0,1]f g V f g

:[0,1]f g y :[0,1] ,f

5.- Sea n

V x el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o

igual que n e indeterminada x . Entonces V es un espacio vectorial sobre .

Nota: El vector 0 de V es el polinomio cero o polinomio nulo: 20 0 0 0 ... 0 nx x x

Ejercicios

1.- Sea 2, 0, 0t

V x y x y . ¿Es el conjunto V un e.v. sobre donde las

operaciones en V son las operaciones usuales en 2

2.- Consideremos el conjunto 2 , ,t

x y x y y el campo de números

complejos. ¿Es 2 un espacio vectorial sobre ?

3.- ¿Es n un espacio vectorial sobre ?

4.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K . Demuestra que el vector nulo 0 de

V es el único con la propiedad: 0 ,v v v V

5.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K . Si v V , entonces v V es el

único con la propiedad: ( ) 0v v

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 3

Teorema.- Sea V un e.v. sobre un campo F . Entonces se cumple:

1) 0 0,v v V

2) ( 1) , , 1v v v V F

3) 0 0, 0 ,V F

4) ( ) ,v v v V

5) ( ) ( ) ( ), ,v v v v V F

6) ( )( ) , ,v v v V F

7) u w v w , entonces u v , , ,u v w V

8) Si , 0, ,F u v entonces , ,u v u v V

9) Si 0,v entonces 0 ó 0v

3.1 SUBESPACIOS VECTORIALES

Definición 36.- Sea V un e.v. sobre un campo F . Se dice que un subconjunto W de

V , W , es un subespacio vectorial de V si W es por sí mismo un espacio vectorial

sobre F con las mismas operaciones definidas en V .

Teorema: Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V sobre F es un

subespacio de V si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones.

1) Si ,v w W entonces v w W

2) Si ,v W F entonces v W

Demostración:

) Como W es un subespacio vectorial de V , entonces W es por sí mismo un espacio

vectorial sobre F . Así que se cumplen las 10 propiedades de la definición de e.v. en

particular se satisface las propiedades (A1) y (M1) que son las condiciones 1) y 2)

) Queremos probar que W es un subespacio de V , para ellos veamos que W es un

espacio vectorial sobre F .

Como se cumplen las condiciones 1) y 2), entonces se satisfacen las propiedades (A1) y

(M1). Así que solo resta probar que se satisfacen las 8 propiedades restantes. Como W

es un subconjunto de V , entonces W hereda automáticamente las propiedades (A2),

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 4

(A3), (M2), (M3), (M4) y (M5). Así solo resta probar que se satisfacen las propiedades

(A4) y (A5). Ahora como W , sea v W

( 1)v W por 2), pero ( 1)v v , luego v W , pero ( ) 0v v y además

( )v v W , luego 0 W

Se satisfacen las propiedades (A4) y (A5)

W es un subespacio vectorial de V

Ejemplo 39.

1.- Todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, V es un subespacio de sí

mismo y el conjunto 0W es también un subespacio de V , llamado subespacio

trivial.

2.- Consideremos el e.v. 2 sobre y sea ,0t

W x x , entonces W es un

subespacio de 2 . (Comprobar)

3.- consideremos el e.v. 2 2V sobre y sea

0,

0

xW x y

y

. Entonces W

es un subespacio de V . (Comprobar)

Ejercicio.- Consideremos el e.v. nV sobre y sea 0Ax un sistema homogéneo

de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Sea nW s s es solución del sistema

0Ax . Entonces W es un subespacio vectorial de n , llamado espacio nulo de A .

3.2 COMBINACIONES LINEALES

Definición 37.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sean 1 2, ,..., rv v v V . Se dice que el

vector v V es una combinación lineal de los vectores 1 2, ,..., rv v v si existen escalares

1 2, ,..., r F tales que 1 1 2 2 ... r rv v v v

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 5

Ejemplo 40.

1.- Consideremos el e.v. 3 sobre . Sean 3

1 21,2, 1 , 6,4,2t t

v v ,

entonces el vector 9,2,7t

v es c.l. de los vectores 1v y

2v .

Solución:

Hallemos escalares 1 2, tales que

1 1 2 2v v v . Así:

1 2 1 2 1 2 1 29,2,7 1,2, 1 6,4,2 6 ,2 4 , 2t t t t

1 2

1 2

1 2

6 9

2 4 2

2 7

Resolviendo el sistema: 1 3 y

2 2

v es combinación lineal de 1v y 2v

2.- Sea 2V sobre . El vector 22,1t

v no es c.l. de los vectores 1 1,0t

v

y 2 2,0t

v .

Solución:

Ya que no existen escalares 1 2, tales que 1 1 2 2v v v

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sean 1 2, ,..., rv v v V . Demuestra:

1) 0 es c.l. de 1 2, ,..., rv v v

2) iv es c.l. de 1 2, ,..., rv v v , con 1,2,...,i r

Definición 38.- Consideremos ahora un e.v. V sobre F y sea 1 2, ,..., rS v v v un

subconjunto de V . Denotemos con S ó ( )span S al conjunto de vectores v V tal

que v es c.l. de los vectores de S , o sea 1 2. . , ,..., rS v V v es c l de v v v

Teorema.- Sea V un e.v. sobre un campo F y sea 1 2, ,..., rS v v v V , entonces S

es un subespacio vectorial de V . Más aún S es el más pequeño de los subespacios de

V contienen a los vectores 1 2, ,..., rv v v

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 6

Nota: S se conoce como el subespacio de V generado por S si V S se dice que

S genera a V .

Ejemplo 41.

1.- Sea 2V sobre y sea 1 2,S e e , donde 1 2

1 0,

0 1e e

, entonces

2 S

Demostración:

Es claro que 2S , ahora probemos que 2 S .

Sea 2

xv

y

1 2

0 1 0

0 0 1

x xx y xe ye

y y

2 2, ,v S S S

2.- Consideremos el e.v. n sobre y sea 1 2, ,..., n

nS e e e , donde

0,0,...,0,1,0,...,0t

ie para 1,2,...,i n , (El numero 1 situado en la i-esima posición),

los vectores ie se conocen como vectores unitarios de n . Entonces n S

3.- Consideremos el e.v. n

V x sobre y sea 21, , ,..., nS x x x V . Entonces

V S .

Demostración:

Es claro que S V , veamos que V S .

Sea ( )P x V , donde 2

0 1 2( ) ... n

nP x a a x a x a x

2

0 1 2( ) (1) ( ) ( ) ... ( )n

nP x a a x a x a x

( ) , ,P x S V S V S

4.- Consideremos el e.v. 2 2V y sean

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1v v v v

. Entonces 1 2 3 4, , ,S v v v v

genera a V .

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 7

Demostración:

Es claro que S V . Probemos que V S . Sea 2 2v , entonces a b

vc d

1 0 0 1 0 0 0 0, ,

0 0 0 0 1 0 0 1v a b c d v S V S V S

5.- El conjunto infinito 21, , ,...S x x genera al e.v. [ ]x sobre .

Ejercicio.- Consideremos el e.v. 3 sobre y sean

1 2 31,1,2 , 1,0,1 , 2,1,3t t t

v v v , determina si 1 2 3, ,S v v v genera a 3 .

3.3 OPERACIONES CON SUBESPACIOS

Teorema.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .

Entonces 1 2W W es un subespacio de V . (Demostrar)

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V . ¿Es

1 2W W un subespacio de V ?

Definición 39.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .

Entonces la suma de 1W y 2W , denotada 1 2W W es:

1 2 1 2 1 1 2 2,W W v V v w w con w W y w W

Teorema.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V .

Entonces 1 2W W es un subespacio de V . (Demostrar)

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre el campo F y sean 1 2,W W subespacios de V . Si

1 2W W es un subespacio de V . Demuestra que 1 2W W ó 2 1W W .

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 8

3.4 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

Definición 40.- Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nv v v V se dice que es

linealmente independiente (l.i.) si toda combinación lineal de los vectores de ,

igualada a 0 implica que todos los escalares de la c.l. son cero. Es decir si

1 1 2 2 ... 0n nv v v entonces 1 2 ... 0n .

En caso contrario se dice que es linealmente dependiente (l.d.). Es decir es l.d. si

existe una c.l. 1 1 2 2 ... 0n nv v v con algún 0i .

Ejemplo 42:

1.- Consideremos el e.v. 2 sobre y sean 1 4,2t

v , 2 2,1t

v ¿Es 1 2{ , }v v l.i.

o l.d.?

Solución:

Como 1 21 2 0v v o sea (4,2) 2(2,1) 0t t

es l.d.

2.- Sea 2 sobre y 1 2{ , }v v con 1 1,2t

v , 2 5,6t

v ¿Es 1 2{ , }v v l.i. o

l.d.?

Solución:

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0

(1,2) (5,6) (0,0)

( 5 ,2 6 ) (0,0)

5 0 , 2 6 0

t t t

t

Sea v v

1 5, | | 4 0

2 6Si A entonces A

A es invertible por lo cual el sistema tiene una única solución (la trivial)

1 2 0

es l.i.

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 9

3.- Sea 3 sobre y 1 2 3{ , , }v v v con 1 2,3,1t

v , 2 1,1,1t

v 3 2, 3, 1t

v ¿Es

1 2 3{ , , }v v v l.i. o l.d.?

Solución:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

0

(2,3,1) (1,1,1) ( 2, 3, 1) (0,0,0)

(2 2 ,3 3 , ) (0,0,0)

2 2 0, 3 3 0, 0

2 1 2 2 1 2

Si 3 1 3 , entonces | | 3 1 3

1 1 1 1 1 1

t t t t

t t

Sea v v v

A A

2 1 2

3 1 3 0

1 1 1

Entonces A es singular, así el sistema 0Ax tiene una infinidad de soluciones, es

decir existe un 1 2 3( , , )ts tal que 0As con algún 0i .

Entonces existe una c.l. 1 1 2 2 3 3 0v v v con al menos un i diferente de cero.

es l.d.

Ejercicio.- Sea el espacio vectorial 2 2x sobre el campo y sean

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1v v v v

, demuestra que

1 2 3 4{ , , , }v v v v es l.i.

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{0, , ,..., }nS v v v V ¿Es S l.i. ó l.d.?

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea S V con S l.i., si T S ¿Es T l.i.?

Ejercicio.- Sea V un e.v. sobre F y sea S V con S l.d., sea T V con S T ¿Es

T l.i. o l.d.?

Page 10: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 10

Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nS v v v V , con S l.i. y sea v V ,

entonces { }S v es l.i. v S

Demostración:

) Por hipótesis tenemos que { }S v es l.i. y queremos probar que v S . Por

contradicción, supongamos que v S

1 1 2 2 ... n nv v v v para ciertos i F

1 1 2 2 ... ( 1) 0n nv v v v

{ }S v es l.d.!! porque { }S v es l.i.

v S

) Tenemos ahora que v S y queremos probar que { }S v es l.i.,

Por contradicción, supongamos que { }S v es l.d. Entonces existe una c.l.

1 1 2 2 ... 0n nv v v v con al menos un escalar distinto de cero. Nótese que

0 , ya que en caso contrario, si 0

1 1 2 2 ... 0n nv v v con al menos un 0i

S es l.d !! contradicción porque S es l.i. por hipótesis.

1 1 2 2

1 21 2

...

...

n n

nn

v v v v

v v v v

v S !! porque v S

{ }S v es l.i.

Y ya.

3.5 SUBESPACIOS FUNDAMENTALES ASOCIADOS CON UNA MATRIZ A DE ORDEN mxn

Definición 41.- Sea ( ) mxn

ijA a F donde F es un campo, entonces:

a) ( ) { | 0 }nmxnN A x F Ax

Se denomina espacio nulo de A

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 11

b) ( ) { | , }m nR A b F x F Ax b

1 1 1

2 2 2| ,m

n n m

x x b

x x bb F x A

x x b

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 *1 2 *2 *

1 2

1

2

1 *1 2 *2 *

...

......

...

...

( ) | , ...

( )

n

n

n n

n n nn n m

m

n n

n

a a a x b

a a a x bx A x A x A b

a a a x b

x

xR A b F x b x A x A x A

x

R

P o

b

r

A

e

1

2

*1 *2 *| , , ,...,m

n

n

x

xF x b A A A

x

( )R A se denomina espacio columna de A

c) 1( ) { | 0 }t m tnxN A y F A y

1{ | 0 }m txny F y A

Se denomina espacio nulo izquierdo de A

d) ( ) { | , }t n m tR A c F y F c A y

*1 *2 *

1* 2* *

, ,...,

, ,...,

t t t

m

m

A A A

A A A

Se denomina espacio renglón de A

Nota: Los conjuntos ( ), ( ), ( ), ( )t tN A R A R A N A se conocen como los 4 subespacios

fundamentales asociados con una matriz A de orden mxn.

Siempre podemos encontrar estos 4 subespacios asociados con A.

Page 12: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 12

Teorema: Sea mxnA F , entonces:

1) ( ) ( )tN A y R A son subespacios vectoriales de nF

2) ( ) ( )tR A y N A son subespacios vectoriales de mF

Teorema: Sea mxnA F . Los siguientes enunciados son equivalentes:

a) Las columnas de A son l.i.

b) ( ) 0N A

c) ( )Rango A n

Demostración:

) )a b

Es obvio que {0} ( )N A así probamos que ( ) {0}N A

Sea 1 2 3( ), ( , , ,..., ) , 0t

nx N A x x x x x Ax

1 *1 2 *2 *... 0n nx A x A x A

Como las columnas de A son l.i. por hipótesis, entonces 1 2 ... 0nx x x

0

( ) {0}

( ) {0}

x

N A

N A

) )b c ya está probado.

Por último probemos ) )b a

Así, probemos que las columnas de A son l.i.

Consideremos la c.l. 1 *1 2 *2 *... 0n nA A A

Como 1 2, ,..., 0,0,...,0t t

nA , donde 1 2, ,...,t

ns

Entonces s es solución del sistema 0Ax , pero ( ) {0}N A

Entonces 0s , o sea 1 2 ... 0n

Por lo tanto las columnas de A son l.i.

Y ya.

Ejercicios:

1.- Consideremos el e.v. nxn sobre y sea { | , }nxn

ij ijW A a a i j ¿Es

W un subespacio de nxn ?

Page 13: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 13

2.- Sea A una matriz de orden mxn de rango n. Si 1 1 2{ , ,..., }rv v v es un conjunto de

vectores l.i. en n entonces 2 1 2{ , ,..., }rAv Av Av es l.i.

3.- Exprese el vector general ( , , )tx y z como combinación lineal de los siguientes

vectores:

1 2 3

1 1 1

2 , 0 , 2

1 1 1

v v v

Teorema: Cualquier conjunto de n vectores en mF donde n m , es l.d.

Demostración.

Sean 1 2, ,..., m

nv v v F con n m

Sean *1 1 *2 2 *, ,..., n nA v A v A v y *1 *2 *, ,..., nA A A A

Consideremos el sistema homogéneo 0Ax de m ecuaciones lineales con n incógnitas,

con m n , entonces rango ( ) , pues rango ( )A n A m n

Entonces el sistema 0Ax tiene alguna solución distinta de la trivial.

Por el teorema anterior esto implica que las columnas de A son l.d.

Por lo tanto 1 2, ,..., nv v v son linealmente dependientes.

Y ya.

Teorema: Sea nxnA F entonces *1 *2 *det( ) 0 , ,..., nA A A A son l.i.

Demostración:

det( ) 0A A es invertible

0Ax solo tiene la solución trivial.

( ) {0}N A

*1 *2 *, ,..., nA A A son l.i.

Y ya.

Page 14: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 14

Ejercicio.- Sea nxnA F si las columnas de A son l.i., ¿También lo son los renglones

de A?

Teorema: Sea 1 2{ , ,..., }nv v v V donde V es un e.v. sobre F y es l.i., si

v , entonces la representación de v como c.l. de los vectores del conjunto , es

única.

Demostración:

Como v , entonces 1 1 2 2 ... n nv v v v , para ciertos i F

Probemos que esta expresión para v es única.

Así supongamos que existe otra representación para v .

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

...

... ...

( ) ( ) ... ( ) 0

n n

n n n n

n n n

v v v v

v v v v v v

v v v

Y como es l.i., entonces 1 1 2 20 , 0, ..., 0n n

Entonces 1 1 2 2, , ..., n n

La representación para v es única.

Y ya.

3.6 BASES Y DIMENSIÓN DE ESPACIOS VECTORIALES

Definición 42: Sea V un e.v. sobre un campo F . Una base para V es un subconjunto

de V tal que:

a) es l.i.

b) genera a V es decir V .

Definición 43: Sea V un e.v. sobre un campo F . Se dice que V es de dimensión finita

si V tiene una base finita (es decir tiene un numero finito de elementos) o si

0V . En caso contrario V es de dimensión infinita.

Page 15: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 15

Ejemplos 42:

1.- Consideremos e.v. sobre . Una base para es 1 .

Demostración:

1) Veamos que es l.i.

Sea (1) 0 0x x .

Entonces es l.i.

2) Veamos que

Sea r , como (1)r r entonces 1 , y como 1 entonces .

1 es una base de .

2.- Consideremos el e.v. 2 sobre . Una base para 2 es (1,0) , (0,1)t t , llamada

base canónica de 2 .

3.- Consideremos el e.v. 2 sobre . El conjunto (1,0) , (1,1)t t , es una base de

2 .

En efecto:

1)Veamos que es l.i.

Sea 1 2(1,0) (1,1) (0,0)t t t

1 2 2

1 2 2

1 2

( , ) (0,0)

0 y 0

0

t t

Por lo tanto es l.i.

2)Veamos que genera a 2.

Así, sea 2( , )tv x y . Debemos hallar escalares 1 2, tales que

1 2(1,0) (1,1) ( , )t t tx y

Entonces 1 2 2( , ) ( , )t tx y

Entonces 1 2 x y 2 y

Entonces 1 x y y 2 y

Por lo tanto genera a 2.

Page 16: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 16

4.- Consideremos el espacio vectorial n sobre . Una base para n es

(1,0,0,...,0) ,(0,1,0,...,0) ,..., (0,0,0,...,1)t t t , llamada base canónica de n .

5.- Consideremos el espacio vectorial n

x sobre . Una base para n

x es

21, , ,..., nx x x , llamada base canónica de n

x .

6.- Consideremos el espacio vectorial 2 2x sobre el campo y sean

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1v v v v

. Entonces 1 2 3 4{ , , , }v v v v es

una base para 2 2x .

7.- Para el espacio vectorial trivial 0W , no existe ningún conjunto linealmente

independiente que lo genere. Por lo tanto 0W no tiene base o podemos considerar

al como una base de él.

Ejercicios:

1.- Consideremos el e.v. 3 sobre y sea el conjunto

3( , , ) | 2 3 0tW x y z x y z

a) Demuestra que W es un subespacio vectorial de 3

b) Halla una base para W .

2.- Consideremos el e.v. 3 3x sobre y sea W el subespacio de 3 3x de las matrices

simétricas cuya traza sea igual a cero. Hallar una base para W .

Teorema: Sea V un e.v. sobre F . El conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v V es una base de V

si y solo si todo vector v V se expresa de manera única como una c.l. de los vectores

de .

Demostración:

) Como es una base de V , entonces es l.i. y por teorema ya probado, cualquier

vector v V se expresa de manera única como c.l. de los vectores de .

) Como todo vector v V se expresa (de manera única) como una c.l. de los vectores

de , entonces genera a V , veamos que es l.i.

Sea 1 1 2 2 ... 0n nv v v

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 17

Pero 1 20 0 ... 0 0nv v v

Y como la expresión para 0 es única entonces 1 2 ... 0n

es una base para V .

Y ya.

Teorema: Si 1 2{ , ,..., }nv v v es una base de un e.v. V de dimensión finita sobre F

entonces cualquier subconjunto de V con más de n vectores es l.d.

Corolario: Si V es un e.v. de dimensión finita, entonces cualesquiera dos bases de V

tienen el mismo número de elementos.

Demostración:

Sean 1 1 2{ , ,..., }nv v v y 2 1 2{ , ,..., }mw w w dos bases cualesquiera de V .

P.D. 1 2# # es decir n m .

Por contradicción supongamos que n m , entonces n m ó n m

Caso 1) Si n m entonces 2 sería l.d.!! ya que 2 es l.i. por ser base de V

Caso 2) Si n m entonces 1 sería l.d.!! ya que 1 es l.i. por ser base de V

n m

Y ya.

Definición 44: Sea V un e.v. de dimensión finita, si V es el espacio trivial cero,

0V , entonces la dimensión de V es cero, si V no es el espacio trivial nulo,

entonces la dimensión de V es el número de elementos de una base cualquiera de V .

Nota: La dimensión de V se denota por dim V .

Ejemplo 43:

1.- dim 1 , 2dim 2 , en general dim n n .

Si F es un campo y consideramos a nF como un e.v. sobre F , entonces dim nF n .

Page 18: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 18

2.- dim xmxnF m n

3.- dim [ ] 1nx n

4.- Consideremos el e.v. 2V sobre .

Sea (2,5)t V y sea (2,5) (2,5) ,t tW v V v

Sabemos que (2,5)t es l.i.

Por lo tanto es una base de W.

Ejercicio.- Sea V un e.v. de dimensión finita, 0V ¿Puede tener V más de una

base?

Teorema: Sea V un e.v. generado por un conjunto finito de vectores 1 2{ , ,..., }nv v v .

Entonces todo conjunto l.i. de vectores de V es finito y además no contiene más de n

elementos.

Ejercicios:

1.- En 3 ¿El conjunto 15 5{(1,3, 2) ,( ,0,1) ,( ,5.2,1) ,(4, 13,2) }t t t te puede ser una

base de 3 ?

2.- Sea V un e.v. sobre F , si 1 2{ , ,..., }nv v v es una base de V ¿Es

1 1 2 2' { , ,..., }n nk v k v k v , donde 0ik y ,ik F i , una base de V ?

3.- Considera el e.v. 3 3xV y sea 1W y 2W subespacios de V dados por:

1

2

|

|

t

t

W A V A A

W A V A A

Halla una base para 1W , una base para 2W y 1 2dim W W

Page 19: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 19

Definición 45: Un conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v de vectores de un e.v. V sobre F es un

conjunto minimal de vectores generadores de V si ese cumple:

1) V

2) Si 1 2{ , ,..., }mw w w es otro conjunto generador de vectores de V , entonces n m

Definición 46: Un conjunto 1 2{ , ,..., }nv v v de vectores de un e.v. V sobre F , es un

conjunto maximal de vectores l.i. si se cumple:

1) es l.i.

2) 1 2 1 2, { , ,..., } { } { , ,..., , }n nv V v v v v v v v v Es l.d.

Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1 2{ , ,..., }nv v v V , las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

1) es una base de V

2) es un conjunto minimal de vectores generadores de V

3) es un conjunto maximal l.i.

Teorema: Sea V un e.v. sobre F tal que dim V n . Entonces:

1) No existen conjuntos l.i. con más de n vectores.

2) Cualquier subconjunto que genere a V tiene como subconjunto una base de .V

3) No existen conjuntos con menos de n vectores que generen a V

4) Cualquier conjunto con n vectores que genere a V , es una base de V

5) Cualquier subconjunto l.i. de V es parte de una base de V

6) Cualquier conjunto l.i. de V que tenga n vectores es una base de V

Ejercicios: Sea V un e.v. sobre F y sean 1 2 3 4, , ,v v v v V , sean 1 2 3 4{ , , , }v v v v y

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4' { , , , }v v v v v v v v v v dos subconjuntos de V . Demuestra que

es base de V si y solo si ' es base de V .

Teorema: Sea V un e.v. sobre F de dimensión finita y sea W un subespacio de V ,

entonces:

a) dim dim W V

b) Si dim dim W V , entonces W V

Page 20: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 20

Teorema: Sea V un e.v. sobre F de dimensión finita y sean 1 2,W W subespacios de V ,

entonces: 1 2 1 2 1 2dim dim dim dimW W W W W W

3.7 SUMAS DIRECTAS

Definición 47: Sea V un e.v. sobre F , sean 1 2W W subespacios de V . La suma

1 2W W es llamada suma directa de 1W y 2W , lo cual se denota por 1 2W W , si cada

vector del subespacio 1 2W W tiene una única representación como la suma de un

vector de 1W y un vector de 2W .

Teorema: Sea V un e.v. sobre F y sea 1W y 2W dos subespacios de V . Las dos

condiciones siguientes son equivalentes:

a) 1 2V W W

b) 1 2V W W y 1 2 0W W

Ejercicio: Sea 2 2xV sobre un e.v. y sean 1 ,

0 0

a bW a b

y

2

0,

0

aW a b

b

subespacios de V ¿es 1 2W W una suma directa?

3.8 BASES PARA LOS 4 ESPACIOS FUNDAMENTALES

Teorema: Sea m nA . Entonces el conjunto de columnas básicas de A es l.i.

Teorema: Sea m nA con ( )rango A r . Entonces dim ( )R A r y dim ( )tR A r

Teorema: El conjunto de las columnas básicas de A es una base para ( )R A .

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Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 21

Teorema: Los renglones distintos de cero en la forma escalonada de la matriz m nA , constituyen una base para ( )tR A

Ejemplo 44.-

1.- Sea

1 2 1

1 0 2

5 6 7

A

, halla una base para ( )R A y una base para ( )tR A .

Solución:

2 1

3 1 3 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1

1 0 2 0 2 1 0 2 1

5 6 7 5 0 4 2 2 0 0 0

A R R

R R R R

1

1 2

1 , 0

5 6

es una base para ( )R A y 2 1 2 1 , 0 2 1 es una base

para ( )tR A . dim ( ) 2R A y dim ( ) 2tR A

2.- Extiende el conjunto l.i

1 0

0 0,

1 1

2 2

S

a una base de 4 .

Solución:

Consideremos la matriz

1 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

2 2 0 0 0 1

A

.

Escalonando esta matriz:

1 0 1 0 0 0

10 1 1 0 0

2

0 0 0 1 0 0

10 0 0 0 1

2

AA E

1 0 0 0

0 0 1 0, , ,

1 1 0 1

2 2 0 0

es l.i y como

4# 4 dim , entonces es una base de 4 que contiene a S .

Page 22: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 22

Teorema.- Sea m nA . Si ( )rango A r y PA U , donde P es una matriz no

singular y U es una matriz que está en su forma escalonada, entonces los últimos m r

renglones de P constituyen una base para ( )tN A

Teorema.- Sea m nA . Entonces el conjunto 1 2, ,..., n rh h h es una base para ( )N A ,

donde las ih se obtienen del conjunto:

1 2

1

2

1 2 ...n rl l l n r

n

x

xS x x x h x h x h

x

Donde S es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo 0Ax .

Ejemplo 45.-

1.- Sea

1 2 2 3

2 4 1 3

3 6 1 4

A

, halla una base para ( )tN A y una base para ( )N A .

Solución: Para encontrar una matriz no singular P tal que PA U esté en su forma

escalonada, procedemos a reducir la matriz aumentada A I a U P .

1 2 03 31 2 2 3 1 0 0 1 2 0 1

2 12 4 1 3 0 1 0 ... 0 0 1 1 03 3

3 6 1 4 0 0 1 0 0 0 0 51 13 3

A I U P

Entonces

1 2 03 3

2 1 03 3

51 13 3

P

Observamos que 3m y ( ) 2rango A r

Entonces los últimos 3 2 1m r renglones de P constituyen una base para ( )tN A

Por lo tanto 151 1

3 3 es una base para ( )tN A .

Page 23: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 23

Ahora, hallemos una base para ( )N A .

Resolvamos el sistema 0Ux .

Entonces

1

2

3

4

1 2 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 0

x

x

x

x

.

Luego 1 2 4

3 4

2 0

0

x x x

x x

.

Entonces 1 2 4

3 4

2x x x

x x

.

Entonces

1 2 4

2 2

2 4 2 4

3 4

4 4

2 2 1

1 0, ,

0 1

0 1

x x x

x xS x x x x x x

x x

x x

.

Por lo tanto una base para ( )N A es 2

2 1

1 0,

0 1

0 1

.

Nota: Si A es una matriz de m n , entonces:

a) ( ) 0 ( )N A rango A n

b) ( ) 0 ( )tN A rango A m

Nota: Para cada matriz A de orden m n con ( )rango A r se tiene que:

a) dim ( ) dim ( )R A N A n

b) dim ( ) dim ( )t tR A N A m

Teorema.- Sea m nA , entonces:

a) ( ) ( )m tR A N A

b) ( ) ( )n tR A N A

Page 24: Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal Unidad 3. Espacios vectoriales

Notas de curso 24

Teorema.- Rango de un producto de matrices.

Si A es una matriz de m p y B es una matriz de p n , entonces

( ) ( ) dim ( ) ( )rango AB rango B N A R B

O de manera equivalente:

dim ( ) dim ( ) dim ( ) ( )R AB R B N A R B