Algebra Lineal en Mexico

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Okta, Asuman; Trigueros, MaraCmo se aprenden los conceptos de lgebra lineal?

Revista Latinoamericana de Investigacin en Matemtica Educativa, vol. 13, nm. 4, 2010, pp. 373-385Comit Latinoamericano de Matemtica Educativa

Distrito Federal, Organismo Internacional

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Revista Latinoamericana de Investigacin enMatemtica Educativa,ISSN (Versin impresa): [email protected] Latinoamericano de MatemticaEducativaOrganismo Internacional

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Cmo se aprenden los conceptos de lgebra lineal?

Relime, Vol. 13 (4-II), Diciembre de 2010


How are Linear Algebra concepts learned?

Asuman Okta, Mara Trigueros

RESUMEN

En este trabajo se presentan los resultados de un proyecto de largo alcance en Mxico cuyo propsito consiste en profundizar en la forma en que los estudiantes universitarios aprenden el lgebra lineal. Para ello se definen como metas del proyecto proporcionar un anlisis terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra lineal utilizando la teora APOE; validar dicho anlisis para cada concepto mediante investigacin emprica enfocandola atencin en los distintos conceptos que la componen y en las relaciones entre ellos y, con base en los resultados obtenidos, hacer sugerencias didcticas que contribuyan a una enseanza fundamentada en la investigacin. En particular se presentan en este estudio los resultados obtenidos para los conceptosde espacio vectorial, transformacin lineal, base y sistemas de ecuaciones lineales.

ABSTRACT

This paper presents the results obtained so far in a long term project developed in Mexico with the purpose of studying in depth students constructions when they study Linear Algebra at the university level. The goals of the project consist in developing theoretical analyses about the constructions involved in the learning of the different Linear Algebra concepts using APOS theory; validating those analysis by means of empirical research focusing on specific concepts and relationships between them; and making didactic suggestions that can contribute to the teaching of this subject. In particular we present in this study the results obtained for the following concepts: vector space, linear transformation, basis and systems of linear equations.

RESUMO

Neste trabalho se apresentam os resultados de um projeto de longa durao no Mxico cujo propsito consiste em aprofundar na forma em que os estudantes universitrios aprendema lgebra linear. Para tanto se definem como metas do projeto proporcionar uma anlise terica das construes envolvidas

Relime (2010) 13 (4-II): 373-385. Recepcin: Mayo 26, 2009 / Aceptacin: Noviembre 9, 2009.

relationships between them; and making didactic suggestions

relationships between them; and making didactic suggestions that can contribute to the teaching of this subject. In particular

that can contribute to the teaching of this subject. In particular we present in this study the results obtained for the following we present in this study the results obtained for the following concepts: vector space, linear transformation, basis and concepts: vector space, linear transformation, basis and systems of linear equations.systems of linear equations.

de espacio vectorial, transformacin lineal, base y sistemas de

de espacio vectorial, transformacin lineal, base y sistemas de

This paper presents the results obtained so far in a long term

This paper presents the results obtained so far in a long term project developed in Mexico with the purpose of studying in

project developed in Mexico with the purpose of studying in depth students constructions when they study Linear Algebra

depth students constructions when they study Linear Algebra at the university level. The goals of the project consist in

at the university level. The goals of the project consist in developing theoretical analyses about the constructions

developing theoretical analyses about the constructions involved in the learning of the different Linear Algebra

involved in the learning of the different Linear Algebra

concepts using APOS theory; validating those analysis by

concepts using APOS theory; validating those analysis by means of empirical research focusing on specific concepts and

means of empirical research focusing on specific concepts and relationships between them; and making didactic suggestions


that can contribute to the teaching of this subject. In particular we present in this study the results obtained for the following

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concepts: vector space, linear transformation, basis and





that can contribute to the teaching of this subject. In particular

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that can contribute to the teaching of this subject. In particular we present in this study the results obtained for the following we present in this study the results obtained for the following

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concepts: vector space, linear transformation, basis and concepts: vector space, linear transformation, basis and

la atencin en los distintos conceptos que la componen y en las

la atencin en los distintos conceptos que la componen y en las relaciones entre ellos y, con base en los resultados obtenidos,

relaciones entre ellos y, con base en los resultados obtenidos, hacer sugerencias didcticas que contribuyan a una enseanza hacer sugerencias didcticas que contribuyan a una enseanza fundamentada en la investigacin. En particular se presentan fundamentada en la investigacin. En particular se presentan en este estudio los resultados obtenidos para los conceptosen este estudio los resultados obtenidos para los conceptosde espacio vectorial, transformacin lineal, base y sistemas de de espacio vectorial, transformacin lineal, base y sistemas de

utilizando la teora APOE; validar dicho anlisis para

utilizando la teora APOE; validar dicho anlisis para cada concepto mediante investigacin emprica enfocando

cada concepto mediante investigacin emprica enfocandola atencin en los distintos conceptos que la componen y en las

la atencin en los distintos conceptos que la componen y en las relaciones entre ellos y, con base en los resultados obtenidos,

relaciones entre ellos y, con base en los resultados obtenidos,

PALABRAS CLAVE:

- lgebra Lineal- Teora APOE- Construcciones mentales

KEY WORDS:

- Linear Algebra- APOS theory- Mental constructions

PALAVRAS CHAVE:

- lgebra linear- Teoria APOE- Construes mentais



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nos distintos conceitos de lgebra linear utilizando a Teoria APOE; validar referida anlise para cada conceito mediante pesquisa emprica focando a ateno nos distintos conceitos que acompe e nas relaes entre eles e, com base nos resultados obtidos, fazer sugestes didticas que contribuam a um ensino fundamentado na pesquisa. Em particular se apresentam neste estudo os resultados obtidos para os conceitos de espao vetorial, transformao linear, base e sistemas de equaes lineares.

RSUM

On prsente dans cet article les rsultats dun projet de long terme dvelopp au Mexique. Le propos du projet consiste en approfondir sur les constructions des connaissances lies lAlgbre Linaire par les tudiants universitaires. Pour accomplir cet objectif, les buts particuliers du projet consistent en dvelopper un analyse thorique des diffrents concepts de lAlgbre Linaire en termes de la thorie APOS; validerlanalyse par moyen de la recherche empirique centre sur les diffrents concepts de lAlgbre Linaire et ses relations et,utiliser les rsultats obtenus pour proposer des suggestions didactiques pour les enseigner. En particulier on prsente ici les rsultats obtenus pour les concepts despace vectoriel, transformation linaire, base et systmes linaires dquations.

1 Introduccin Introduccin

El lgebra lineal es una rama de las Matemticas que se considera importante prcticamente en todas las profesiones por sus posibilidades de aplicacin a la solucin de muy diversos problemas. Es por ello que las escuelas de Administracin, Economa, Ciencias Sociales, Ingeniera, Fsica, de Biologa y, por supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.

La enseanza del lgebra lineal y, sobre todo, las difi cultades de los estudiantes cuando intentan aprender los conceptos abstractos de esta disciplina han recibido la atencin de varios investigadores. Existen numerosos trabajos de investigacin que tratan los distintos aspectos de su enseanza y aprendizaje (Sierpinska, 2000; Sierpinska et al., 2002; Dorier et al., 1997). La naturaleza epistemolgica del lgebra lineal, los problemas con diseos didcticos y el uso de diferentes tipos de lenguajes son algunas de las fuentes de obstculos que se identifi can en estas investigaciones.

Administracin, Economa, Ciencias Sociales, Ingeniera, Fsica, de Biologa y, por

Administracin, Economa, Ciencias Sociales, Ingeniera, Fsica, de Biologa y, por supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades

supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.La enseanza del lgebra lineal y, sobre todo, las difi cultades de los La enseanza del lgebra lineal y, sobre todo, las difi cultades de los estudiantes cuando intentan aprender los conceptos abstractos de esta disciplina estudiantes cuando intentan aprender los conceptos abstractos de esta disciplina han recibido la atencin de varios investigadores. Existen numerosos trabajos han recibido la atencin de varios investigadores. Existen numerosos trabajos

les rsultats obtenus pour les concepts despace vectoriel,

les rsultats obtenus pour les concepts despace vectoriel, transformation linaire, base et systmes linaires dquations.

transformation linaire, base et systmes linaires dquations.

l lgebra lineal es una rama de las Matemticas que se considera importante

l lgebra lineal es una rama de las Matemticas que se considera importante prcticamente en todas las profesiones por sus posibilidades de aplicacin

prcticamente en todas las profesiones por sus posibilidades de aplicacin

a la solucin de muy diversos problemas. Es por ello que las escuelas de

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supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.

contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.

La enseanza del lgebra lineal y, sobre todo, las difi cultades de los

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supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades

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supuesto las de Actuara, Estadstica y Matemticas, de todas las universidades contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.contienen en sus programas al menos un curso de esta disciplina.

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lanalyse par moyen de la recherche empirique centre sur les

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diffrents concepts de lAlgbre Linaire et ses relations et,utiliser les rsultats obtenus pour proposer des suggestions utiliser les rsultats obtenus pour proposer des suggestions didactiques pour les enseigner. En particulier on prsente ici didactiques pour les enseigner. En particulier on prsente ici les rsultats obtenus pour les concepts despace vectoriel, les rsultats obtenus pour les concepts despace vectoriel, transformation linaire, base et systmes linaires dquations.transformation linaire, base et systmes linaires dquations.

en dvelopper un analyse thorique des diffrents concepts

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de lAlgbre Linaire en termes de la thorie APOS; validerlanalyse par moyen de la recherche empirique centre sur les

lanalyse par moyen de la recherche empirique centre sur les

MOTS CLS:

- Algbre Linaire- Thorie APOS- Constructions mentales



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2 La teora APOE y el lgebra lineal

En 1997 Dubinsky public un artculo donde adverta que las dificultades que tienen los estudiantes con los conceptos de lgebra lineal no pueden y no deben evitarse concentrndose en los aspectos computacionales deesta materia y eludiendo la abstraccin. Esta advertencia vena como una crtica hacia la tendencia en Estados Unidos de redisear los cursos introductorios de lgebra lineal, dejando fuera los temas que no tienen que ver con las matriceso las ecuaciones lineales. Dubinsky sostena que la abstraccin y el formalismo son la esencia de las matemticas y por tanto, se debe encontrar maneras de facilitar a los estudiantes experiencias agradables cuando los encuentran y durante su iniciacin a la disciplina.

Dubinsky (1997) afirma que un acercamiento a la enseanza basado en investigacin sobre las construcciones mentales que pueden desarrollarlos estudiantes para aprender los conceptos matemticos, puede ser muy efi caz en esta direccin:

[A]ntes de que se consideren estrategias pedaggicas, los conceptos particulares que causan dificultades en lgebra lineal necesitan analizarse epistemolgicamente. Con esto quiero decir que se necesita investigacin para determinar las construcciones mentales especficasque un estudiante puede hacer, para comprender estos conceptos. Posteriormente es necesario desarrollar estrategias pedaggicas que permitan conducir a los estudiantes a hacer estas construcciones y a usarlas para resolver problemas. (p. 89)

La teora APOE fue adaptada por Dubinsky (1991) de la teora piagetiana, como un acercamiento que explica la construccin del conocimiento matemtico avanzado. La metodologa de investigacin ligada a este marco terico consta de tres componentes: anlisis terico, diseo y aplicacin de estrategias de enseanza, y anlisis de datos. El anlisis terico corresponde a la realizacinde un modelo viable de la construccin de algn concepto matemticoen trminos de construcciones mentales (AccionesProcesosObjetosEsquemas); a este modelo se le conoce como descomposicin gentica.

Segn la teora APOE una accin es una transformacin de objetos que el individuo puede realizar paso a paso, obedeciendo a estmulos externos. Cuando el individuo refl exiona sobre estas acciones las puede interiorizar y stas se interiorizar y stas se interiorizarconvierten en procesos, en el sentido de que las mismas transformaciones pueden realizarse en la mente del individuo, sin necesidad de estmulos externos. Cuando hay necesidad de aplicar acciones sobre los procesos, stos se encapsulan para dar lugar a objetos. Para conocer ms sobre este marco, referimos el lectora Dubinsky (1991) y Asiala et al. (1996).

de un modelo viable de la construccin de algn concepto matemtico

de un modelo viable de la construccin de algn concepto matemticoen trminos de construcciones mentales (AccionesProcesosObjetosEsquemas);

en trminos de construcciones mentales (AccionesProcesosObjetosEsquemas); a este modelo se le conoce como a este modelo se le conoce como Segn la teora APOE una Segn la teora APOE una individuo puede realizar paso a paso, obedeciendo a estmulos externos. Cuando individuo puede realizar paso a paso, obedeciendo a estmulos externos. Cuando el individuo refl exiona sobre estas acciones las puede el individuo refl exiona sobre estas acciones las puede

investigacin para determinar las construcciones mentales especficas

investigacin para determinar las construcciones mentales especficasque un estudiante puede hacer, para comprender estos conceptos.

que un estudiante puede hacer, para comprender estos conceptos. Posteriormente es necesario desarrollar estrategias pedaggicas que

Posteriormente es necesario desarrollar estrategias pedaggicas que permitan conducir a los estudiantes a hacer estas construcciones y a

permitan conducir a los estudiantes a hacer estas construcciones y a usarlas para resolver problemas. (p. 89)

usarlas para resolver problemas. (p. 89)

La teora APOE fue adaptada por Dubinsky (1991) de la teora piagetiana,

La teora APOE fue adaptada por Dubinsky (1991) de la teora piagetiana, como un acercamiento que explica la construccin del conocimiento matemtico

como un acercamiento que explica la construccin del conocimiento matemtico avanzado. La metodologa de investigacin ligada a este marco terico consta

avanzado. La metodologa de investigacin ligada a este marco terico consta de tres componentes: anlisis terico, diseo y aplicacin de estrategias de

de tres componentes: anlisis terico, diseo y aplicacin de estrategias de

enseanza, y anlisis de datos. El anlisis terico corresponde a la realizacin

enseanza, y anlisis de datos. El anlisis terico corresponde a la realizacinde un modelo viable de la construccin de algn concepto matemtico


en trminos de construcciones mentales (AccionesProcesosObjetosEsquemas); a este modelo se le conoce como

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Segn la teora APOE una

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en trminos de construcciones mentales (AccionesProcesosObjetosEsquemas);

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[A]ntes de que se consideren estrategias pedaggicas, los conceptos

[A]ntes de que se consideren estrategias pedaggicas, los conceptos particulares que causan dificultades en lgebra lineal necesitan particulares que causan dificultades en lgebra lineal necesitan analizarse epistemolgicamente. Con esto quiero decir que se necesita analizarse epistemolgicamente. Con esto quiero decir que se necesita investigacin para determinar las construcciones mentales especficasinvestigacin para determinar las construcciones mentales especficasque un estudiante puede hacer, para comprender estos conceptos. que un estudiante puede hacer, para comprender estos conceptos.

lgebra lineal, dejando fuera los temas que no tienen que ver con las matrices

lgebra lineal, dejando fuera los temas que no tienen que ver con las matriceso las ecuaciones lineales. Dubinsky sostena que la abstraccin y el formalismo

o las ecuaciones lineales. Dubinsky sostena que la abstraccin y el formalismo son la esencia de las matemticas y por tanto, se debe encontrar maneras de

son la esencia de las matemticas y por tanto, se debe encontrar maneras de facilitar a los estudiantes experiencias agradables cuando los encuentran y

facilitar a los estudiantes experiencias agradables cuando los encuentran y

Dubinsky (1997) afirma que un acercamiento a la enseanza basado

Dubinsky (1997) afirma que un acercamiento a la enseanza basado en investigacin sobre las construcciones mentales que pueden desarrollar

en investigacin sobre las construcciones mentales que pueden desarrollarlos estudiantes para aprender los conceptos matemticos, puede ser muy efi caz

los estudiantes para aprender los conceptos matemticos, puede ser muy efi caz

[A]ntes de que se consideren estrategias pedaggicas, los conceptos

[A]ntes de que se consideren estrategias pedaggicas, los conceptos particulares que causan dificultades en lgebra lineal necesitan

particulares que causan dificultades en lgebra lineal necesitan



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Con base en estas consideraciones, RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics Education Community), un grupo que se dedica a hacer investigacin usando la teora APOE, prepar materiales de enseanza (Weller et al., 2002) para un curso de lgebra lineal introductorio, donde cada uno de los conceptos estudiados se analiz previamente mediante una descomposicin gentica.Estas descomposiciones genticas preliminares fueron muy tiles en el diseo de actividades, sin embargo son un tanto esquemticas y era necesario refi narlas y realizar estudios de investigacin para profundizar sobre el aprendizaje de los conceptos de lgebra lineal.

3 Nuestro proyecto Nuestro proyecto

Dada la importancia que reviste el estudio del aprendizaje del lgebra lineal, consideramos pertinente iniciar un proyecto de largo alcance en Mxico con el fi n de profundizar en la forma en que los estudiantes aprenden esta disciplina, enfocando la atencin en los distintos conceptos que la componen y enlas relaciones entre ellos. Los objetivos del proyecto son proporcionar un anlisis terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra lineal, validar dicho anlisis mediante investigacin emprica, y hacer sugerencias didcticas tomando en cuenta los resultados de la investigacin terica y emprica. Hasta ahora hemos estudiado los conceptos de espacio vectorial (Trigueros y Okta, 2005; Okta et al., 2006; Parraguez & Okta, 2010), transformacin lineal (Roa-Fuentes y Okta, 2010), base (K et al., 2008), y sistemas de ecuaciones lineales (Trigueros et al., 2007). Estn en progreso investigaciones que se centran en otros temas como matrices, conjuntos generadores y espacios generados.En este artculo pretendemos dar a conocer este proyecto y sus resultados.

Las preguntas de investigacin que guan este proyecto son:

Qu construcciones mentales son necesarias para que los estudiantes universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son los principales obstculos que enfrentan?

Por cuestiones de espacio aqu presentamos algunos anlisis tericos brevemente, y mencionamos algunos de los resultados ms importantes. Referimos el lector a los trabajos mencionados para conocer ms acerca del proyecto y de sus diferentes componentes.

Qu construcciones mentales son necesarias para que los estudiantes

Qu construcciones mentales son necesarias para que los estudiantes universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son los principales obstculos que enfrentan?los principales obstculos que enfrentan?Por cuestiones de espacio aqu presentamos algunos anlisis tericos Por cuestiones de espacio aqu presentamos algunos anlisis tericos

las relaciones entre ellos. Los objetivos del proyecto son proporcionar un anlisis

las relaciones entre ellos. Los objetivos del proyecto son proporcionar un anlisis terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra

terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra lineal, validar dicho anlisis mediante investigacin emprica, y hacer sugerencias

lineal, validar dicho anlisis mediante investigacin emprica, y hacer sugerencias didcticas tomando en cuenta los resultados de la investigacin terica y emprica.

didcticas tomando en cuenta los resultados de la investigacin terica y emprica. Hasta ahora hemos estudiado los conceptos de espacio vectorial (Trigueros y

Hasta ahora hemos estudiado los conceptos de espacio vectorial (Trigueros y Okta, 2005; Okta et al., 2006; Parraguez

Okta, 2005; Okta et al., 2006; Parraguez (Roa-Fuentes y Okta, 2010), base (K et al., 2008), y sistemas de ecuaciones

(Roa-Fuentes y Okta, 2010), base (K et al., 2008), y sistemas de ecuaciones lineales (Trigueros et al., 2007). Estn en progreso investigaciones que se centran

lineales (Trigueros et al., 2007). Estn en progreso investigaciones que se centran en otros temas como matrices, conjuntos generadores y espacios generados.

en otros temas como matrices, conjuntos generadores y espacios generados.

En este artculo pretendemos dar a conocer este proyecto y sus resultados.

En este artculo pretendemos dar a conocer este proyecto y sus resultados.




Qu construcciones mentales son necesarias para que los estudiantes universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son

universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son




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universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son universitarios construyan los conceptos del lgebra lineal? Cules son

consideramos pertinente iniciar un proyecto de largo alcance en Mxico con el

consideramos pertinente iniciar un proyecto de largo alcance en Mxico con el fi n de profundizar en la forma en que los estudiantes aprenden esta disciplina, fi n de profundizar en la forma en que los estudiantes aprenden esta disciplina, enfocando la atencin en los distintos conceptos que la componen y enenfocando la atencin en los distintos conceptos que la componen y enlas relaciones entre ellos. Los objetivos del proyecto son proporcionar un anlisis las relaciones entre ellos. Los objetivos del proyecto son proporcionar un anlisis terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra terico de las construcciones involucradas en los distintos conceptos de lgebra

realizar estudios de investigacin para profundizar sobre el aprendizaje de los

realizar estudios de investigacin para profundizar sobre el aprendizaje de los

Dada la importancia que reviste el estudio del aprendizaje del lgebra lineal,

Dada la importancia que reviste el estudio del aprendizaje del lgebra lineal, consideramos pertinente iniciar un proyecto de largo alcance en Mxico con el

consideramos pertinente iniciar un proyecto de largo alcance en Mxico con el fi n de profundizar en la forma en que los estudiantes aprenden esta disciplina,

fi n de profundizar en la forma en que los estudiantes aprenden esta disciplina, enfocando la atencin en los distintos conceptos que la componen y en

enfocando la atencin en los distintos conceptos que la componen y en



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4 Resultados particulares

4.1. Construccin del concepto de espacio vectorial

El concepto de espacio vectorial resulta muy difcil para los alumnos debido primordialmente a que es un concepto de naturaleza abstracta, con un estatus epistemolgico diferente al de la mayora de los conceptos que se ensean en la universidad y que implica necesariamente la formalizacin de conceptos que han aprendido anteriormente (Dorier, 1995a; Dorier, 1995b; Dorier y Sierpinska, 2001; Maracci, 2005; Fischer, 2005). En nuestro proyecto hemos enfocado el concepto de espacio vectorial como un elemento bsico para la construccin de otros conceptos del lgebra lineal.

Para entender la construccin del concepto desarrollamos una descomposicin gentica preliminar (Trigueros y Okta, 2005) de acuerdoa la cual, la construccin del esquema para el espacio vectorial requiere la coordinacin de cuatro esquemas: el de axioma, el de operacin binaria, el de funcin y el de conjunto. El resultado de realizar acciones sobre elementos de un conjunto especfi co y de acuerdo a operaciones binarias defi nidas previamente, permite al estudiante interiorizar los distintos axiomas que defi nen a dicho espacio vectorial concreto. Al generalizar estas acciones a mltiples espacios concretos, stas pueden ser interiorizadas y posteriormente encapsuladas en un objeto que podemos llamar espacio vectorial que tiene una estructura dada justamente por las propiedades que lo defi nen.

Para probar las construcciones descritas en esta descomposicin se dise una entrevista semiestructurada que se llev a cabo con seis estudiantes de ingeniera que haban cursado la materia de lgebra lineal siguiendo la didctica establecida en el marco de la teora APOE, elegidos por la maestra del curso de acuerdo a su rendimiento en el mismo, dos de nivel bajo, dos de nivel medio y dos de nivel alto (Vargas, 2007).

En esta experiencia se encontr que los alumnos entrevistados construyeron el concepto de espacio vectorial como una concepcin accin, pero que no lograron una concepcin proceso. Como ejemplo mostramos la respuesta de un alumno a una de las preguntas que resultaron ms difciles de la entrevista: Es Run espacio vectorial sobre Q (con las operaciones usuales)? Una respuesta tpica para argumentar que R no es un espacio vectorial sobre R no es un espacio vectorial sobre R Q fue: porque, si tomo cualquiera dos nmeros reales, su suma no necesariamente resulta un nmero racional. Esta respuesta muestra que los alumnos confunden los elementos del conjunto R con los del conjunto Q, pues operan con los elementos de R y

dos de nivel alto (Vargas, 2007).


En esta experiencia se encontr que los alumnos entrevistados construyeron


el concepto de espacio vectorial como una concepcin accin, pero que no el concepto de espacio vectorial como una concepcin accin, pero que no lograron una concepcin proceso. Como ejemplo mostramos la respuesta de un lograron una concepcin proceso. Como ejemplo mostramos la respuesta de un alumno a una de las preguntas que resultaron ms difciles de la entrevista: Es alumno a una de las preguntas que resultaron ms difciles de la entrevista: Es un espacio vectorial sobre un espacio vectorial sobre

permite al estudiante interiorizar los distintos axiomas que defi nen a dicho

permite al estudiante interiorizar los distintos axiomas que defi nen a dicho espacio vectorial concreto. Al generalizar estas acciones a mltiples espacios

espacio vectorial concreto. Al generalizar estas acciones a mltiples espacios concretos, stas pueden ser interiorizadas y posteriormente encapsuladas en un

concretos, stas pueden ser interiorizadas y posteriormente encapsuladas en un objeto que podemos llamar espacio vectorial que tiene una estructura dada

objeto que podemos llamar espacio vectorial que tiene una estructura dada justamente por las propiedades que lo defi nen.

justamente por las propiedades que lo defi nen.

Para probar las construcciones descritas en esta descomposicin se dise

Para probar las construcciones descritas en esta descomposicin se dise una entrevista semiestructurada que se llev a cabo con seis estudiantes de

una entrevista semiestructurada que se llev a cabo con seis estudiantes de ingeniera que haban cursado la materia de lgebra lineal siguiendo la didctica

ingeniera que haban cursado la materia de lgebra lineal siguiendo la didctica establecida en el marco de la teora APOE, elegidos por la maestra del curso de

establecida en el marco de la teora APOE, elegidos por la maestra del curso de

acuerdo a su rendimiento en el mismo, dos de nivel bajo, dos de nivel medio y

acuerdo a su rendimiento en el mismo, dos de nivel bajo, dos de nivel medio y dos de nivel alto (Vargas, 2007).



En esta experiencia se encontr que los alumnos entrevistados construyeron el concepto de espacio vectorial como una concepcin accin, pero que no

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a la cual, la construccin del esquema para el espacio vectorial requiere la coordinacin de cuatro esquemas: el de axioma, el de operacin binaria, el de

coordinacin de cuatro esquemas: el de axioma, el de operacin binaria, el de funcin y el de conjunto. El resultado de realizar acciones sobre elementos de un funcin y el de conjunto. El resultado de realizar acciones sobre elementos de un conjunto especfi co y de acuerdo a operaciones binarias defi nidas previamente, conjunto especfi co y de acuerdo a operaciones binarias defi nidas previamente, permite al estudiante interiorizar los distintos axiomas que defi nen a dicho permite al estudiante interiorizar los distintos axiomas que defi nen a dicho espacio vectorial concreto. Al generalizar estas acciones a mltiples espacios espacio vectorial concreto. Al generalizar estas acciones a mltiples espacios

epistemolgico diferente al de la mayora de los conceptos que se ensean en la

epistemolgico diferente al de la mayora de los conceptos que se ensean en la universidad y que implica necesariamente la formalizacin de conceptos que han

universidad y que implica necesariamente la formalizacin de conceptos que han aprendido anteriormente (Dorier, 1995a; Dorier, 1995b; Dorier y Sierpinska, 2001;

aprendido anteriormente (Dorier, 1995a; Dorier, 1995b; Dorier y Sierpinska, 2001; Maracci, 2005; Fischer, 2005). En nuestro proyecto hemos enfocado el concepto

Maracci, 2005; Fischer, 2005). En nuestro proyecto hemos enfocado el concepto de espacio vectorial como un elemento bsico para la construccin de otros

de espacio vectorial como un elemento bsico para la construccin de otros

Para entender la construccin del concepto desarrollamos una

Para entender la construccin del concepto desarrollamos una descomposicin gentica preliminar (Trigueros y Okta, 2005) de acuerdo

descomposicin gentica preliminar (Trigueros y Okta, 2005) de acuerdoa la cual, la construccin del esquema para el espacio vectorial requiere la

a la cual, la construccin del esquema para el espacio vectorial requiere la coordinacin de cuatro esquemas: el de axioma, el de operacin binaria, el de

coordinacin de cuatro esquemas: el de axioma, el de operacin binaria, el de funcin y el de conjunto. El resultado de realizar acciones sobre elementos de un

funcin y el de conjunto. El resultado de realizar acciones sobre elementos de un



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verifi can que el resultado se encuentre en Q. Se observa as algo que ocurri con frecuencia en las entrevistas: aun cuando el alumno conoca las propiedades que un espacio vectorial concreto debe cumplir, confunda los elementos de los conjuntos que lo defi nen, evidenciando una concepcin accin respecto al concepto de espacio vectorial y al concepto de operacin binaria defi nida enun conjunto.

En este trabajo se encontr que los alumnos eran capaces de relacionar las propiedades indicadas en los axiomas con el concepto de espacio vectorial, pero en general estos alumnos mostraron una concepcin accin de algunos de los axiomas y no fueron capaces de coordinar los procesos en un solo procesode verificacin. La falta de coordinacin entre los esquemas de axioma,conjunto y operaciones binarias con el de espacio vectorial mostr que su esquema de espacio vectorial se encuentra en un nivel Intraoperacionalde evolucin. Aun cuando los distintos alumnos mostraban evidencia de algunas delas construcciones de la descomposicin gentica, no mostraron evidenciade haber coordinado estas construcciones.

Estos resultados muestran claramente la difi cultad en la construccin del esquema de espacio vectorial, pero, a diferencia de otros trabajos, indican posibles causas concretas de esas difi cultades que pueden ser abordadas para que los alumnos aprendan el concepto a mayor profundidad.

Los resultados de estas investigaciones hicieron necesario mirarel proceso de construccin del esquema de espacio vectorial desde ms cerca, prestando especial atencin en las partes problemticas como la relacinque existe entre el campo y el espacio vectorial, y la evolucin del esquema que se observa a partir de las conexiones establecidas entre el concepto de espacio vectorial y otros conceptos del lgebra lineal. Otro aspecto muy importante que se decidi estudiar fue la coordinacin entre los procesos relacionados con cada una de las operaciones defi nidas sobre un espacio vectorial.

Partiendo de una descomposicin muy detallada (Parraguez y Okta, 2010; Parraguez, 2009) hemos realizado entrevistas con 10 estudiantes de la carrera de matemticas. Uno de los resultados originales de este trabajo es que los estudiantes presentaban muchas difi cultades para coordinar los procesos determinados porcada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elanlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de las leyes distributivas que involucran a ambas operaciones. Generalmente en la enseanza no se hace hincapi en esta coordinacin y aun los buenos estudiantes pueden no darse cuenta de la manera con que estn ligadas estas operaciones. En este trabajo tambin se hace una caracterizacin de los niveles de esquema Intra, Inter y Trans (Piaget y Garca, 1989) relacionados con el concepto de espacio vectorial y a travs de entrevistas se presentan evidencias para mostrar qu tipo de conexiones se logran entre diferentes conceptos del lgebra lineal. Una

matemticas. Uno de los resultados originales de este trabajo es que los estudiantes

matemticas. Uno de los resultados originales de este trabajo es que los estudiantes presentaban muchas difi cultades para coordinar los procesos determinados por

presentaban muchas difi cultades para coordinar los procesos determinados por

cada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elcada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elanlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de anlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de las leyes distributivas que involucran a ambas operaciones. Generalmente en la las leyes distributivas que involucran a ambas operaciones. Generalmente en la enseanza no se hace hincapi en esta coordinacin y aun los buenos estudiantes enseanza no se hace hincapi en esta coordinacin y aun los buenos estudiantes

Los resultados de estas investigaciones hicieron necesario mirar

Los resultados de estas investigaciones hicieron necesario mirarel proceso de construccin del esquema de espacio vectorial desde ms cerca,

el proceso de construccin del esquema de espacio vectorial desde ms cerca, prestando especial atencin en las partes problemticas como la relacin

prestando especial atencin en las partes problemticas como la relacinque existe entre el campo y el espacio vectorial, y la evolucin del esquema que

que existe entre el campo y el espacio vectorial, y la evolucin del esquema que se observa a partir de las conexiones establecidas entre el concepto de espacio

se observa a partir de las conexiones establecidas entre el concepto de espacio vectorial y otros conceptos del lgebra lineal. Otro aspecto muy importante que

vectorial y otros conceptos del lgebra lineal. Otro aspecto muy importante que se decidi estudiar fue la coordinacin entre los procesos relacionados con cada

se decidi estudiar fue la coordinacin entre los procesos relacionados con cada una de las operaciones defi nidas sobre un espacio vectorial.

una de las operaciones defi nidas sobre un espacio vectorial.

Partiendo de una descomposicin muy detallada (Parraguez y Okta, 2010;

Partiendo de una descomposicin muy detallada (Parraguez y Okta, 2010; Parraguez, 2009) hemos realizado entrevistas con 10 estudiantes de la carrera de

Parraguez, 2009) hemos realizado entrevistas con 10 estudiantes de la carrera de matemticas. Uno de los resultados originales de este trabajo es que los estudiantes



cada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En el

cada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elanlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de

anlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de








cada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elcada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En el

cada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elcada una de las operaciones definidas sobre un espacio vectorial. En elanlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de anlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de

anlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de anlisis terico habamos previsto que esta coordinacin toma lugar a travs de

Estos resultados muestran claramente la difi cultad en la construccin del


esquema de espacio vectorial, pero, a diferencia de otros trabajos, indican

esquema de espacio vectorial, pero, a diferencia de otros trabajos, indican posibles causas concretas de esas difi cultades que pueden ser abordadas para posibles causas concretas de esas difi cultades que pueden ser abordadas para que los alumnos aprendan el concepto a mayor profundidad.que los alumnos aprendan el concepto a mayor profundidad.Los resultados de estas investigaciones hicieron necesario mirarLos resultados de estas investigaciones hicieron necesario mirarel proceso de construccin del esquema de espacio vectorial desde ms cerca, el proceso de construccin del esquema de espacio vectorial desde ms cerca,

las propiedades indicadas en los axiomas con el concepto de espacio vectorial,

las propiedades indicadas en los axiomas con el concepto de espacio vectorial, pero en general estos alumnos mostraron una concepcin accin de algunos de

pero en general estos alumnos mostraron una concepcin accin de algunos de los axiomas y no fueron capaces de coordinar los procesos en un solo proceso

los axiomas y no fueron capaces de coordinar los procesos en un solo procesode verificacin. La falta de coordinacin entre los esquemas de axioma,

de verificacin. La falta de coordinacin entre los esquemas de axioma,conjunto y operaciones binarias con el de espacio vectorial mostr que su

conjunto y operaciones binarias con el de espacio vectorial mostr que su esquema de espacio vectorial se encuentra en un nivel Intraoperacional

esquema de espacio vectorial se encuentra en un nivel Intraoperacional

de evolucin. Aun cuando los distintos alumnos mostraban evidencia de algunas de

de evolucin. Aun cuando los distintos alumnos mostraban evidencia de algunas delas construcciones de la descomposicin gentica, no mostraron evidencia

las construcciones de la descomposicin gentica, no mostraron evidencia


Estos resultados muestran claramente la difi cultad en la construccin del esquema de espacio vectorial, pero, a diferencia de otros trabajos, indican

esquema de espacio vectorial, pero, a diferencia de otros trabajos, indican posibles causas concretas de esas difi cultades que pueden ser abordadas para

posibles causas concretas de esas difi cultades que pueden ser abordadas para



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observacin interesante de esta investigacin es la no linealidad del aprendizaje. Por ejemplo en los estudiantes pudimos encontrar elementos de la construccin objeto sin evidencia de algunas construcciones previas: las propiedades del espacio vectorial como procesos y coordinacin entre los axiomas.

4.2. Construccin del concepto de transformacin lineal

Weller et al. (2002) defi nen la transformacin lineal de la siguiente manera:

Sean U y V espacios vectoriales con escalares en K. Una funcin es una transformacin lineal si:

i. T(T(T u+v) = T(T(T u)+T(T(T v) para u. vU yii. T(T(T cu) = cT(cT(cT u) para uU y cK

Segn Dubinsky (1997) las transformaciones lineales se pueden considerar como procesos que transforman los objetos (tales como vectores, espacios y subespacios) del lgebra lineal. Menciona que aunque estos objetos estticos sepueden visualizar (al menos en los espacios de dimensin igual o menor a 3), visualizar un proceso dinmico en este sentido es imposible y requiere razonar sobre los fenmenos estticos haciendo construcciones mentales (Piaget, 1966, citado en Dubinsky, 1997).

En nuestro trabajo sobre este concepto hemos considerado dos descomposiciones genticas como caminos viables para su construccin: una que asume la construccin del concepto transformacin (general) para luego construir el concepto de transformacin lineal como un caso especfi co, y otra donde el esquema de funcin asimila al objeto de espacio vectorial, para que elindividuo pueda considerar la defi nicin de cierto tipo de funciones entre espacios vectoriales. Como en los cursos casi nunca se estudia el conceptode transformacin general, sera difcil encontrar evidencias del primer camino, y de hecho en nuestra investigacin no hemos encontrado estudiantes que lo siguieran.

Ahora concentrndonos en la segunda descomposicin gentica, podemos decir que un individuo puede empezar la construccin del concepto de transformacin lineal realizando acciones que consisten en averiguar las dos condiciones de linealidad, tomando vectores particulares, dada una transformacin lineal especfi ca mediante una frmula.

Refl exionar sobre estas acciones puede dar lugar a dos procesos que corresponden a cada una de las propiedades de linealidad, donde el individuo

de transformacin general, sera difcil encontrar evidencias del primer camino,

de transformacin general, sera difcil encontrar evidencias del primer camino, y de hecho en nuestra investigacin no hemos encontrado estudiantes que lo

y de hecho en nuestra investigacin no hemos encontrado estudiantes que lo siguieran.siguieran.Ahora concentrndonos en la segunda descomposicin gentica, Ahora concentrndonos en la segunda descomposicin gentica, podemos decir que un individuo puede empezar la construccin del concepto podemos decir que un individuo puede empezar la construccin del concepto de transformacin lineal realizando acciones que consisten en averiguar de transformacin lineal realizando acciones que consisten en averiguar

pueden visualizar (al menos en los espacios de dimensin igual o menor a 3),

pueden visualizar (al menos en los espacios de dimensin igual o menor a 3), visualizar un proceso dinmico en este sentido es imposible y requiere razonar

visualizar un proceso dinmico en este sentido es imposible y requiere razonar sobre los fenmenos estticos haciendo construcciones mentales (Piaget, 1966,

sobre los fenmenos estticos haciendo construcciones mentales (Piaget, 1966,

En nuestro trabajo sobre este concepto hemos considerado dos

En nuestro trabajo sobre este concepto hemos considerado dos descomposiciones genticas como caminos viables para su construccin: una

descomposiciones genticas como caminos viables para su construccin: una que asume la construccin del concepto transformacin (general) para luego

que asume la construccin del concepto transformacin (general) para luego construir el concepto de transformacin lineal como un caso especfi co, y otra

construir el concepto de transformacin lineal como un caso especfi co, y otra donde el esquema de funcin asimila al objeto de espacio vectorial, para que el

donde el esquema de funcin asimila al objeto de espacio vectorial, para que el

individuo pueda considerar la defi nicin de cierto tipo de funciones entre

individuo pueda considerar la defi nicin de cierto tipo de funciones entre

espacios vectoriales. Como en los cursos casi nunca se estudia el concepto

espacios vectoriales. Como en los cursos casi nunca se estudia el conceptode transformacin general, sera difcil encontrar evidencias del primer camino,


y de hecho en nuestra investigacin no hemos encontrado estudiantes que lo








Segn Dubinsky (1997) las transformaciones lineales se pueden considerar


como procesos que transforman los objetos (tales como vectores, espacios y como procesos que transforman los objetos (tales como vectores, espacios y subespacios) del lgebra lineal. Menciona que aunque estos objetos estticos sesubespacios) del lgebra lineal. Menciona que aunque estos objetos estticos sepueden visualizar (al menos en los espacios de dimensin igual o menor a 3), pueden visualizar (al menos en los espacios de dimensin igual o menor a 3), visualizar un proceso dinmico en este sentido es imposible y requiere razonar visualizar un proceso dinmico en este sentido es imposible y requiere razonar

Weller et al. (2002) defi nen la transformacin lineal de la siguiente manera:

Weller et al. (2002) defi nen la transformacin lineal de la siguiente manera:y V espacios vectoriales con escalares en K. Una funcin

y V espacios vectoriales con escalares en K. Una funcin T:U

T:U

T:UT:U

T:UT:U V

V


Segn Dubinsky (1997) las transformaciones lineales se pueden considerar como procesos que transforman los objetos (tales como vectores, espacios y

como procesos que transforman los objetos (tales como vectores, espacios y subespacios) del lgebra lineal. Menciona que aunque estos objetos estticos se

subespacios) del lgebra lineal. Menciona que aunque estos objetos estticos se



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puede pensar en el cumplimiento de las condiciones para todos los vectores de un espacio vectorial, de manera general. En la construccin de estos procesos juega un papel muy importante la cuantifi cacin. Luego estos dos procesos se coordinan para construir un nuevo proceso que podemos llamar de linealidad.La coordinacin sucede a travs del conector lgico ^ donde ambas propiedades tienen que estar presentes para pensar en la linealidad. Cabe aclarar que loque es matemticamente obvio puede no serlo cognitivamente y efectivamente hemos encontrado estudiantes que no haban coordinado estos procesos en uno solo. La idea de esta coordinacin tambin est presente en el lenguajematemtico cuando ambas propiedades se combinan para expresarse as: T (cu+v) = cT (u) + T (v) para u, vU y cK.

Cuando hay necesidad de realizar acciones sobre el proceso construido, entonces ste se encapsula para dar lugar al objeto de transformacin lineal.Por ejemplo para poder componer dos transformaciones lineales se necesita tener una concepcin objeto.

Veamos un ejemplo de las concepciones de los estudiantes que participaron en nuestra investigacin. Un estudiante con concepcinobjeto presentaba, por ejemplo capacidad para realizar acciones sobre objetos especficos (transformaciones lineales en nuestro caso) al determinar quedadas dos transformaciones lineales T1T1T : U V : U W es posible determinar : U W es posible determinar : U Wnuevas transformaciones lineales T : U V W de la forma T (u) = (T 1(u), T 2 (u))para todo u en U.

Observaciones importantes que hemos hecho en este trabajo son: que los procedimientos de los estudiantes, en relacin con problemas que tiene que ver con la averiguacin de linealidad, se centran en verifi car dos propiedades,sin comprender el papel que juega el concepto de funcin y espacio vectorial all y Esto hace que slo se limiten a la mecanizacin de un algoritmo que oculta el verdadero signifi cado del concepto (Roa, 2008); hicimos hincapi en la necesidad de construir de manera previa los elementos necesarios para abordar un nuevo concepto matemtico y la necesidad de abordarlos desde su naturaleza abstracta (Roa-Fuentes y Okta, 2010); y consideramos que es de suma importancia disear actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexinpor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto asus procesos cognitivos.

Por otro lado confi rmamos la importancia de la construccin de conceptos previos sufi cientemente fuertes, en particular del concepto de funcin y de la cuantifi cacin, pues construcciones dbiles de ellos pueden causar serias difi cultades en el aprendizaje de las transformaciones lineales.

(Roa-Fuentes y Okta, 2010); y consideramos que es de suma importancia disear

(Roa-Fuentes y Okta, 2010); y consideramos que es de suma importancia disear actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexin

actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexinpor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto apor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto asus procesos cognitivos.sus procesos cognitivos.Por otro lado confi rmamos la importancia de la construccin de conceptos Por otro lado confi rmamos la importancia de la construccin de conceptos previos sufi cientemente fuertes, en particular del concepto de funcin y de previos sufi cientemente fuertes, en particular del concepto de funcin y de

T : U V W

T : U V W

Observaciones importantes que hemos hecho en este trabajo son: que los

Observaciones importantes que hemos hecho en este trabajo son: que los procedimientos de los estudiantes, en relacin con problemas que tiene que

procedimientos de los estudiantes, en relacin con problemas que tiene que ver con la averiguacin de linealidad, se centran en verifi car dos propiedades,

ver con la averiguacin de linealidad, se centran en verifi car dos propiedades,sin comprender el papel que juega el concepto de funcin y espacio vectorial all

sin comprender el papel que juega el concepto de funcin y espacio vectorial all y Esto hace que slo se limiten a la mecanizacin de un algoritmo que oculta el

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verdadero signifi cado del concepto (Roa, 2008); hicimos hincapi en la necesidad

verdadero signifi cado del concepto (Roa, 2008); hicimos hincapi en la necesidad de construir de manera previa los elementos necesarios para abordar un nuevo

de construir de manera previa los elementos necesarios para abordar un nuevo

concepto matemtico y la necesidad de abordarlos desde su naturaleza abstracta

concepto matemtico y la necesidad de abordarlos desde su naturaleza abstracta (Roa-Fuentes y Okta, 2010); y consideramos que es de suma importancia disear


actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexinpor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto a

por parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto asus procesos cognitivos.

sus procesos cognitivos.





actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexin

actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexin

actividades y situaciones matemticas novedosas para motivar la reflexinpor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto apor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto a

por parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto apor parte de los estudiantes as como para poder obtener informacin respecto asus procesos cognitivos.sus procesos cognitivos.

sus procesos cognitivos.sus procesos cognitivos.

participaron en nuestra investigacin. Un estudiante con concepcin

participaron en nuestra investigacin. Un estudiante con concepcinobjeto presentaba, por ejemplo capacidad para realizar acciones sobre objetos

objeto presentaba, por ejemplo capacidad para realizar acciones sobre objetos especficos (transformaciones lineales en nuestro caso) al determinar queespecficos (transformaciones lineales en nuestro caso) al determinar que : U V : U V y y TT22T2TT2T : U W : U WT : U V W T : U V W de la forma de la forma

hemos encontrado estudiantes que no haban coordinado estos procesos en

hemos encontrado estudiantes que no haban coordinado estos procesos en uno solo. La idea de esta coordinacin tambin est presente en el lenguaje

uno solo. La idea de esta coordinacin tambin est presente en el lenguajematemtico cuando ambas propiedades se combinan para expresarse as:

matemtico cuando ambas propiedades se combinan para expresarse as: Cuando hay necesidad de realizar acciones sobre el proceso construido,

Cuando hay necesidad de realizar acciones sobre el proceso construido, entonces ste se encapsula para dar lugar al objeto de transformacin lineal.

entonces ste se encapsula para dar lugar al objeto de transformacin lineal.

Por ejemplo para poder componer dos transformaciones lineales se necesita

Por ejemplo para poder componer dos transformaciones lineales se necesita

Veamos un ejemplo de las concepciones de los estudiantes que

Veamos un ejemplo de las concepciones de los estudiantes que participaron en nuestra investigacin. Un estudiante con concepcin

participaron en nuestra investigacin. Un estudiante con concepcinobjeto presentaba, por ejemplo capacidad para realizar acciones sobre objetos

objeto presentaba, por ejemplo capacidad para realizar acciones sobre objetos especficos (transformaciones lineales en nuestro caso) al determinar que

especficos (transformaciones lineales en nuestro caso) al determinar que



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4.3. Construccin del concepto de base

Un concepto particularmente difcil del lgebra lineal es el de base de un espacio vectorial; sin embargo, la investigacin en educacin matemtica le hadedicado poca atencin (Chargoy, 2006; Da Silva y Lins, 2002).

Basados en la hiptesis de que el aprendizaje de este concepto debe comenzarpor la posibilidad de establecer las relaciones adecuadas entre conceptos, dado que la nocin de base constituye, por una parte, un elemento fundamental de la estructura de un espacio vectorial y, por otra, guarda una relacin primordial con otros conceptos del lgebra lineal decidimos investigar Qu construcciones han desarrollado los estudiantes universitarios acerca del concepto de base de un espacio vectorial despus de haber cursado la materia de lgebra Lineal?

Para responder a esta pregunta se dise una descomposicin gentica de este concepto y se observ durante un semestre un curso de lgebra linealpara Ingeniera cuya enseanza estuvo guiada por la metodologa de enseanza de la teora APOE y se dise una entrevista con base en el objetivo dela investigacin, tomando en consideracin la descomposicin gentica y los resultados de la observacin de clase.

El anlisis que se realiz mostr, en trminos generales, que los alumnos entrevistados no llegaron a interiorizar el concepto de base de un espacio vectorial. De los 6 estudiantes que se entrevistaron, 4 mostraron evidencia de estar en camino a la interiorizacin de dicho concepto y dos mostraron una concepcin accin. Se observ que aun cuando estos estudiantesintentan articular las propiedades del concepto de base, no son capaces de verifi car cundo un conjunto es base de un espacio vectorial, ni de coordinar, ni los elementos involucrados en la construccin descrita en la descomposicin gentica ni los elementos conceptuales involucrados en su construccin (espacio vectorial, subespacios, conjunto generador e independencia lineal).

Por otra parte, dos estudiantes mostraron algunas evidencias de interiorizacin de las acciones necesarias para construir el concepto de base: por ejemplo una concepcin proceso de independencia lineal, dado que podan decidir si un conjunto es o no linealmente independiente, empleando diferentes tipos de argumentos e interpretando de manera correcta el resultado de reduccin por matrices para decidir la independencia-dependencia lineal de unconjunto de vectores, incluso de aquellos que contienen una variable.Sin embargo, estos alumnos mostraron difi cultades para identifi car la pertenencia de los vectores al espacio vectorial dado y en la construccin del concepto de conjunto generador.

por ejemplo una concepcin proceso de independencia lineal, dado que podan

por ejemplo una concepcin proceso de independencia lineal, dado que podan decidir si un conjunto es o no linealmente independiente, empleando diferentes

decidir si un conjunto es o no linealmente independiente, empleando diferentes tipos de argumentos e interpretando de manera correcta el resultado de tipos de argumentos e interpretando de manera correcta el resultado de reduccin por matrices para decidir la independencia-dependencia lineal de unreduccin por matrices para decidir la independencia-dependencia lineal de unconjunto de vectores, incluso de aquellos que contienen una variable.conjunto de vectores, incluso de aquellos que contienen una variable.Sin embargo, estos alumnos mostraron difi cultades para identifi car la pertenencia Sin embargo, estos alumnos mostraron difi cultades para identifi car la pertenencia de los vectores al espacio vectorial dado y en la construccin del concepto de

de los vectores al espacio vectorial dado y en la construccin del concepto de

vectorial. De los 6 estudiantes que se entrevistaron, 4 mostraron evidencia

vectorial. De los 6 estudiantes que se entrevistaron, 4 mostraron evidencia de estar en camino a la interiorizacin de dicho concepto y dos mostraron

de estar en camino a la interiorizacin de dicho concepto y dos mostraron una concepcin accin. Se observ que aun cuando estos estudiantes

una concepcin accin. Se observ que aun cuando estos estudiantesintentan articular las propiedades del concepto de base, no son capaces de

intentan articular las propiedades del concepto de base, no son capaces de verifi car cundo un conjunto es base de un espacio vectorial, ni de coordinar,

verifi car cundo un conjunto es base de un espacio vectorial, ni de coordinar, ni los elementos involucrados en la construccin descrita en la descomposicin

ni los elementos involucrados en la construccin descrita en la descomposicin gentica ni los elementos conceptuales involucrados en su construccin (espacio

gentica ni los elementos conceptuales involucrados en su construccin (espacio vectorial, subespacios, conjunto generador e independencia lineal).

vectorial, subespacios, conjunto generador e independencia lineal).Por otra parte, dos estudiantes mostraron algunas evidencias de

Por otra parte, dos estudiantes mostraron algunas evidencias de

interiorizacin de las acciones necesarias para construir el concepto de base:

interiorizacin de las acciones necesarias para construir el concepto de base: por ejemplo una concepcin proceso de independencia lineal, dado que podan


decidir si un conjunto es o no linealmente independiente, empleando diferentes tipos de argumentos e interpretando de manera correcta el resultado de

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reduccin por matrices para decidir la independencia-dependencia lineal de un





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la investigacin, tomando en consideracin la descomposicin gentica y los


El anlisis que se realiz mostr, en trminos generales, que los alumnos El anlisis que se realiz mostr, en trminos generales, que los alumnos entrevistados no llegaron a interiorizar el concepto de base de un espacio entrevistados no llegaron a interiorizar el concepto de base de un espacio vectorial. De los 6 estudiantes que se entrevistaron, 4 mostraron evidencia vectorial. De los 6 estudiantes que se entrevistaron, 4 mostraron evidencia de estar en camino a la interiorizacin de dicho concepto y dos mostraron de estar en camino a la interiorizacin de dicho concepto y dos mostraron

que la nocin de base constituye, por una parte, un elemento fundamental de

que la nocin de base constituye, por una parte, un elemento fundamental de la estructura de un espacio vectorial y, por otra, guarda una relacin primordial

la estructura de un espacio vectorial y, por otra, guarda una relacin primordial con otros conceptos del lgebra lineal decidimos investigar Qu construcciones

con otros conceptos del lgebra lineal decidimos investigar Qu construcciones han desarrollado los estudiantes universitarios acerca del concepto de base de un

han desarrollado los estudiantes universitarios acerca del concepto de base de un espacio vectorial despus de haber cursado la materia de lgebra Lineal?

espacio vectorial despus de haber cursado la materia de lgebra Lineal?Para responder a esta pregunta se dise una descomposicin gentica

Para responder a esta pregunta se dise una descomposicin gentica

de este concepto y se observ durante un semestre un curso de lgebra lineal

de este concepto y se observ durante un semestre un curso de lgebra linealpara Ingeniera cuya enseanza estuvo guiada por la metodologa de enseanza

para Ingeniera cuya enseanza estuvo guiada por la metodologa de enseanza de la teora APOE y se dise una entrevista con base en el objetivo de

de la teora APOE y se dise una entrevista con base en el objetivo dela investigacin, tomando en consideracin la descomposicin gentica y los


El anlisis que se realiz mostr, en trminos generales, que los alumnos

El anlisis que se realiz mostr, en trminos generales, que los alumnos



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Esta investigacin permiti constatar que el averiguar si un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial dado resulta ms fcil para los estudiantes que hallar una base para un espacio vectorial dado. De acuerdo con la descomposicin gentica propuesta esto tiene sentido, ya que averiguar siun conjunto dado es base, requiere comprobar ciertas condiciones, lo cual puede hacerse, utilizando nicamente acciones, por ejemplo, siguiendo un algoritmo, pero hallar una base para un espacio vectorial requiere la coordinacin delos procesos involucrados en la comprensin de la independencia lineal yel conjunto generador. La investigacin revel tambin que resulta muy difcil alcanzar una concepcin objeto del concepto de base y que la construccindel concepto base requiere de la posibilidad de trabajar con espaciosvectoriales diferentes al espacio vectorial Rn para posibilitar la construccinde un esquema alrededor de este concepto.

4.4. Construccin del concepto de solucin de sistemas de ecuaciones lineales

La solucin de sistemas de ecuaciones lineales juega un papel muy importante no slo en el estudio del lgebra Lineal, sino tambin en el de otras reasde las matemticas que se estudian en la universidad. Hay investigaciones que muestran que los estudiantes tienen difi cultades para entender el conceptode solucin a un sistema de ecuaciones y con la representacin e interpretacin delas grfi cas de las ecuaciones y de la solucin al sistema (Cutz, 2005; Ramrez, et al., 2005); pero, en realidad, se conoce poco acerca de la naturaleza de estas difi cultades y su relacin con la forma en la que los estudiantes construyen el concepto de solucin.

En nuestro proyecto, el estudio de estos problemas se llev a cabo a travs del seguimiento de un curso de lgebra lineal en el que los sistemas de ecuaciones y su solucin juegan un papel central en relacin con todos los dems conceptos de esta disciplina. En este trabajo se dise y se puso a prueba una descomposicin gentica que modela la posible construccin de estos conceptos yque permiti identifi car e interpretar por una parte las posibles difi cultades queenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesde razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas relacionados con los sistemas de ecuaciones (Manzanero, 2007).

Los resultados del anlisis de las entrevistas permitieron clasifi car alos estudiantes en dos grupos. En uno de ellos, tres estudiantes fueron capaces de interpretar las variables que aparecen en las expresiones y mostraron comprensin del significado de la solucin de una ecuacin como objeto.De entre los estudiantes de este grupo, dos fueron capaces adems de generalizar esta nocin al conjunto solucin de un sistema de ecuaciones mediante la

descomposicin gentica que modela la posible construccin de estos conceptos y


que permiti identifi car e interpretar por una parte las posibles difi cultades que

que permiti identifi car e interpretar por una parte las posibles difi cultades queenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesde razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas de razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas relacionados con los sistemas de ecuaciones (Manzanero, 2007).relacionados con los sistemas de ecuaciones (Manzanero, 2007).Los resultados del anlisis de las entrevistas permitieron clasifi car aLos resultados del anlisis de las entrevistas permitieron clasifi car a

muestran que los estudiantes tienen difi cultades para entender el concepto

muestran que los estudiantes tienen difi cultades para entender el conceptode solucin a un sistema de ecuaciones y con la representacin e interpretacin de

de solucin a un sistema de ecuaciones y con la representacin e interpretacin delas grfi cas de las ecuaciones y de la solucin al sistema (Cutz, 2005; Ramrez,

las grfi cas de las ecuaciones y de la solucin al sistema (Cutz, 2005; Ramrez, et al., 2005); pero, en realidad, se conoce poco acerca de la naturaleza de estas

et al., 2005); pero, en realidad, se conoce poco acerca de la naturaleza de estas difi cultades y su relacin con la forma en la que los estudiantes construyen el

difi cultades y su relacin con la forma en la que los estudiantes construyen el concepto de solucin.

concepto de solucin.En nuestro proyecto, el estudio de estos problemas se llev a cabo a

En nuestro proyecto, el estudio de estos problemas se llev a cabo a travs del seguimiento de un curso de lgebra lineal en el que los sistemas de

travs del seguimiento de un curso de lgebra lineal en el que los sistemas de ecuaciones y su solucin juegan un papel central en relacin con todos los dems

ecuaciones y su solucin juegan un papel central en relacin con todos los dems

conceptos de esta disciplina. En este trabajo se dise y se puso a prueba una

conceptos de esta disciplina. En este trabajo se dise y se puso a prueba una descomposicin gentica que modela la posible construccin de estos conceptos y



que permiti identifi car e interpretar por una parte las posibles difi cultades queenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patrones

enfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesde razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas

de razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas








que permiti identifi car e interpretar por una parte las posibles difi cultades queenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patrones

enfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesenfrentan los estudiantes cuando los aprenden y por otra los patronesde razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas de razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas

de razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas de razonamiento que utilizan los estudiantes cuando trabajan con problemas

La solucin de sistemas de ecuaciones lineales juega un papel muy importante

La solucin de sistemas de ecuaciones lineales juega un papel muy importante no slo en el estudio del lgebra Lineal, sino tambin en el de otras reasno slo en el estudio del lgebra Lineal, sino tambin en el de otras reasde las matemticas que se estudian en la universidad. Hay investigaciones que de las matemticas que se estudian en la universidad. Hay investigaciones que muestran que los estudiantes tienen difi cultades para entender el conceptomuestran que los estudiantes tienen difi cultades para entender el conceptode solucin a un sistema de ecuaciones y con la representacin e interpretacin dede solucin a un sistema de ecuaciones y con la representacin e interpretacin de

los procesos involucrados en la comprensin de la independencia lineal y

los procesos involucrados en la comprensin de la independencia lineal yel conjunto generador. La investigacin revel tambin que resulta muy difcil

el conjunto generador. La investigacin revel tambin que resulta muy difcil alcanzar una concepcin objeto del concepto de base y que la construccin

alcanzar una concepcin objeto del concepto de base y que la construccindel concepto base requiere de la posibilidad de trabajar con espacios

del concepto base requiere de la posibilidad de trabajar con espacios para posibilitar la construccin

para posibilitar la construccin

Construccin del concepto de solucin de sistemas de ecuaciones

Construccin del concepto de solucin de sistemas de ecuaciones

La solucin de sistemas de ecuaciones lineales juega un papel muy importante

La solucin de sistemas de ecuaciones lineales juega un papel muy importante no slo en el estudio del lgebra Lineal, sino tambin en el de otras reas

no slo en el estudio del lgebra Lineal, sino tambin en el de otras reas



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coordinacin de los esquemas de solucin y de conjunto. Adems mostraron que haban construido el proceso de reduccin de un sistema para encontrar su solucin y que eran capaces de coordinar la representacin geomtricadel conjunto solucin con la algebraica.

Los otros tres estudiantes no mostraron comprensin del signifi cado del concepto de solucin o conjunto solucin. Mostraron adems difi cultades para diferenciar el signifi cado de la variable en las distintas expresiones con lasque trabajaron y muchas dificultades para aplicar, de forma memorizada,las acciones necesarias para resolver los problemas y para interpretar la relacin entre la representacin geomtrica y algebraica de las ecuaciones y delconjunto solucin.

Los resultados de este estudio mostraron con claridad que la construccin deun esquema para la variable que incluye la interpretacin y la diferenciacin entre sus distintos usos, as como la construccin de la nocin de solucin de una ecuacin como objeto son prerrequisitos indispensables para hacer las construcciones necesarias en la construccin de un esquema para los sistemas de ecuaciones. Los resultados mostraron tambin que las construcciones predichas por la descomposicin gentica se pueden construir cuando se sigue un curso basado en la teora APOE y en un modelo de descomposicin gentica.

5 Refl exiones Refl exiones

Todos los estudios del proyecto ponen de manifi esto que el aprendizaje del lgebra lineal requiere de un gran esfuerzo, as como la necesidad de llevar a cabo estudios que vayan ms all de la identifi cacin de las difi cultades de los estudiantes.

A travs de los distintos trabajos del proyecto se puede constatar que el uso de la descomposicin gentica constituye una herramienta potente para desentraar las construcciones mentales involucradas en la construccin delos distintos conceptos del lgebra lineal. En todos los estudios se encontr evidencia de las construcciones predichas y ello permiti establecer posibles causas de las dificultades de los alumnos y resultados que no se habanencontrado en investigaciones previas.

La informacin obtenida a partir de estos estudios permitir, en un futuro cercano, disear actividades didcticas que permitan a los alumnos una construccin ms slida del lgebra lineal. Una construccin en la quelos conceptos tengan sentido y estn fuertemente articulados unos con otros.

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Algebra Lineal en Mexico

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