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Forma de desviacin media para datos, 370, 425Formas cuadrticas en estadstica, 401Inversa de Moore-Penrose, 422Mnimos cuadrados ponderados, 376, 383-385Modelo lineal en estadstica, 368-375North American Datum, WEB 329-330Polinomios ortogonales, 379Potencias de una matriz, WEB 98Procesamiento de imgenes multicanal, WEB 393-394,

424-432 Rango completo, 237Recta de mnimos cuadrados, WEB 329, WEB 367, 368-370Regresin mltiple, 372-373Regresin ortogonal, 431-432Sumas de cuadrados (en regresin), 375, 383-384Varianza, 375, 426-427

IngenieraConduccin de calor, 131Control del transbordador espacial, WEB 189-190Controles de retroalimentacin, 469 Boeing Blended Wing Body, WEB 92DFC y diseo de aeronaves, WEB 91-92Deflexin de una viga elstica, 104, 111Deformacin de un material, 432Desempeo de aeronaves, 375, 389Encuestas, WEB 329-330Factorizacin LU y flujo de aire, WEB 92Filtro promedio de movimiento, 252Matrices de flexibilidad y rigidez, 104, 111Principio de superposicin, 66, 83, 312Procesamiento de imgenes, WEB 393-394, 424-425, 430Temperaturas de equilibrio, 11, 87-88, WEB 131Viga en voladizo, 252

Ingeniera elctricaCircuito de inductancia y capacitancia, 205Circuitos en serie y en derivacin, 128Circuito RC, 312-313Circuito RLC, 214, 316-318Corrientes de rama y circuito, WEB 82-84Diseo de circuitos, WEB 2, 128Filtro pasa bajos, 247, WEB 367Filtros lineales, 246-247, 252Flujo de corriente en redes, WEB 82-83, 86-87Ley de Ohm, WEB 82-83Leyes de Kirchhoff, WEB 82-83Matriz de transferencia, 128-129, 130-131Realizacin mnima, 129Red de escalera, 128, 130-131Seales de tiempo discreto, 191-192, 244-245Transformadas de Laplace, 122, 178

Matemticasrea y volumen, WEB 163-164, 180-184, 275 Atractores/repulsores en un sistema dinmico, 304-307, 310,

313-314, 318

Desigualdad de Bessel, 390Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 379-380 Desigualdad del tringulo, 380Ecuaciones diferenciales, 204-205, 311-319 Extremos para funciones de varias variables, 407 Hipercubo, 477-479Interpolacin de polinomios, WEB 23, 160Isomorfismo, 155, 220-221Matriz jacobiana, 304Mejor aproximacin en espacios de funciones, 378-379 Polinomio de Legendre, 383Polinomios de Hermite, 229Polinomios de Laguerre, 229Polinomios trigonomtricos, 387Secciones cnicas y superficies cuadrticas, WEB 405-406 Series de Fourier, 387-388 Simplejo, 475-477Splines, WEB 23, 481-484, 490-491Transformadas de Laplace, 122, 178Transformaciones lineales en clculo, 204, WEB 290-292

Negocios y economaCadenas de Markov, WEB 253-262, 279Conjunto factible, 412Curva de costo promedio, 371-372Curva de costo total, 372Curvas de indiferencia, 412-413Demanda intermedia, 133Ecuacin de precio, 137Flotilla de automviles en renta, 87, 261Inversin, 252Maximizacin de la utilidad sujeta a una restriccin de presupuesto,

412-413Modelo acelerador-multiplicador, 251Modelo de costo variable, 374Modelo de entrada y salida de Leontief, 1, WEB 132-138Modelo de intercambio de Leontief, 1, WEB 49-51Movimientos de poblacin, 84-85, 87, 255, 261, 279Operaciones de manufactura, 31, 67-68Precios de equilibrio, WEB 49-51, 54Producto interno bruto, 137Programa de amortizacin de prstamos, 252Programacin lineal, WEB 2, WEB 82-83, 120, 436, 469, 472Propensin marginal al consumo, 251Tabla de intercambio, 53-54Vector de valor agregado, 137Vectores de costo, 31

Teora de controlFuncin de transferencia (matriz), 122, 128-129Ingeniera de sistemas de control, 122, WEB 189-190Modelo de estado y espacio, WEB 264, 301Respuesta de estado estable, 301Sistema controlable, WEB 264Sistema desacoplado, 306, 312, 315Sonda espacial, 121

C U A R T A E D I C I N

lgebra linealy sus aplicaciones

David C. LayUniversity of MarylandCollege Park

Traduccin

Ana Elizabeth Garca HernndezTraductora especialista en matemticas

Revisin tcnica

Javier Alfaro PastorInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Datos de catalogacin bibliogrfica

LAY, DAVID C.lgebra lineal y sus aplicaciones.Cuarta edicinPEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012

ISBN: 978-607-32-1398-1 rea: Matemticas

Formato: 21 27 cm Pginas: 576

Authorized translation from the English language edition, entitled LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4th Edition, by DAVID LAY, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright 2012. All rights reserved. ISBN 9780321385178

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS 4 edicin por DAVID LAY, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2012. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolDireccin Educacin Superior: Mario ContrerasEditor sponsor: Gabriela Lpez Ballesterose-mail: gabriela.lopezballesteros@pearson.comEditor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de Produccin: Enrique Trejo HernndezGerencia Editorial Latinoamrica: Marisa de Anta

CUARTA EDICIN, 2012

D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez Estado de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 978-607-32-1398-1ISBN e-book 978-607-32-1399-8ISBN e-chapter 978-607-32-1400-1

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12

ISBN: 978-607-32-1398-1www.pearsonenespaol.com

A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijas Christina, Deborah y Melissa, cuyo apoyo, nimos y devotas oraciones hicieron posible este libro.

iv

Acerca del autor

David C. Lay tiene una licenciatura de Aurora University (Illinois), y una maestra y un doc-torado en la Universidad de California en Los ngeles. Lay ha sido catedrtico e investigador en matemticas desde 1966, principalmente en la Universidad de Maryland, College Park. Tambin ha trabajado como profesor visitante en la Universidad de Amsterdam, en la Uni-versidad Libre de Amsterdam y en la Universidad de Kaiserslautern, en Alemania. Ha escrito ms de 30 artculos de investigacin de anlisis funcional y lgebra lineal.

Como miembro fundador del Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal patro-cinado por la NSF, ha sido lder en el movimiento actual para modernizar el plan de estudios de lgebra lineal. Lay tambin es coautor de varios libros de matemticas, entre los que se incluyen, Introduction to Functional Analysis, con Angus E. Taylor, Calculus and its Appli-cations, con L. J. Goldstein y D. I. Schneider, y Linear Algebra GemsAssets for Undergra-duate Mathematics, con D. Carlson, C. R. Johnson y A. D. Porter.

El profesor Lay ha recibido cuatro premios universitarios por excelencia docente, inclui-do el de Distinguished Scholar Teacher de la Universidad de Maryland en 1996. En 1994 la Mathematical Association of America le otorg el premio Distinguished College or Univer-sity Teaching of Mathematics. Ha sido elegido por los estudiantes universitarios como miem-bro de la Alpha Lambda Delta National Scholastic Honor Society y de la Golden Key National Honor Society. En 1989 Aurora University le concedi el premio Outstanding Alumnus. Lay es miembro de la American Mathematical Society, de la Canadian Mathematical Society, de la International Linear Algebra Society, de la Mathematical Association of America, Sig-ma Xi, y de la Society for Industrial and Applied Mathematics. Desde 1992 ha formado parte de la junta directiva nacional de la Association of Christians in the Mathematical Sciences.

v

Contenido

Prefacio ixNota para los estudiantes xvi

Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economa e ingeniera 11.1 Sistemas de ecuaciones lineales 21.2 Reduccin por filas y formas escalonadas 121.3 Ecuaciones vectoriales 241.4 Ecuacin matricial Ax b 341.5 Conjuntos solucin de sistemas lineales 431.6 Aplicaciones de sistemas lineales 491.7 Independencia lineal 551.8 Introduccin a las transformaciones lineales 621.9 Matriz de una transformacin lineal 701.10 Modelos lineales en los negocios, ciencia e ingeniera 80 Ejercicios complementarios 88

Captulo 2 lgebra de matrices 91

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseo de aeronaves 912.1 Operaciones de matrices 922.2 La inversa de una matriz 1022.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 1112.4 Matrices particionadas 1172.5 Factorizaciones de matrices 1232.6 El modelo de Leontief de entrada y salida 1322.7 Aplicaciones a los grficos por computadora 1382.8 Subespacios de n 1462.9 Dimensin y rango 153 Ejercicios complementarios 160

Captulo 3 Determinantes 163

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Trayectorias aleatorias y distorsin 1633.1 Introduccin a los determinantes 1643.2 Propiedades de los determinantes 169

vi Contenido

3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 177 Ejercicios complementarios 185

Captulo 4 Espacios vectoriales 189

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control 1894.1 Espacios y subespacios vectoriales 1904.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 1984.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 2084.4 Sistemas de coordenadas 2164.5 La dimensin de un espacio vectorial 2254.6 Rango 2304.7 Cambio de base 2394.8 Aplicaciones a las ecuaciones en diferencias 2444.9 Aplicaciones a cadenas de Markov 253 Ejercicios complementarios 262

Captulo 5 Valores propios y vectores propios 265

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinmicos y bhos manchados 2655.1 Vectores propios y valores propios 2665.2 La ecuacin caracterstica 2735.3 Diagonalizacin 2815.4 Vectores propios y transformaciones lineales 2885.5 Valores propios complejos 2955.6 Sistemas dinmicos discretos 3015.7 Aplicaciones a ecuaciones diferenciales 3115.8 Estimaciones iterativas para valores propios 319 Ejercicios complementarios 326

Captulo 6 Ortogonalidad y mnimos cuadrados 329

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Base de datos geogrficos de Norteamrica y sistema de navegacin GPS 3296.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad 3306.2 Conjuntos ortogonales 3386.3 Proyecciones ortogonales 3476.4 Proceso de Gram-Schmidt 3546.5 Problemas de mnimos cuadrados 3606.6 Aplicaciones a modelos lineales 3686.7 Espacios con producto interior 3766.8 Aplicaciones de espacios con producto interior 383 Ejercicios complementarios 390

Contenido vii

Captulo 7 Matrices simtricas y formas cuadrticas 393

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imgenes multicanal 3937.1 Diagonalizacin de matrices simtricas 3957.2 Formas cuadrticas 4017.3 Optimizacin restringida 4087.4 Descomposicin en valores singulares 4147.5 Aplicaciones al procesamiento de imgenes y estadstica 424 Ejercicios complementarios 432

Captulo 8 Geometra de espacios vectoriales 435

EJEMPLO INTRODUCTORIO: Los slidos platnicos 4358.1 Combinaciones afines 4368.2 Independencia afn 4448.3 Combinaciones convexas 4548.4 Hiperplanos 4618.5 Poltopos 4698.6 Curvas y superficies 481

Chapter 9 Optimization

INTRODUCTORY EXAMPLE: The Berlin Airlift9.1 Matrix Games

9.2 Linear ProgrammingGeometric Method

9.3 Linear ProgrammingSimplex Method

9.4 Duality

Chapter 10 Finite-State Markov Chains

INTRODUCTORY EXAMPLE: Google and Markov Chains10.1 Introduction and Examples

10.2 The Steady-State Vector and Googles PageRank

10.3 Communication Classes

10.4 Classification of States and Periodicity

10.5 The Fundamental Matrix

10.6 Markov Chains and Baseball Statistics

Los captulos 9 y 10 se encuentran en ingls en el sitio Web del libro.

viii Contenido

Apndices

A Unicidad de la forma escalonada reducida A1B Nmeros complejos A2

Glosario A7Respuestas a los ejercicios con numeracin impar A17ndice I1Crditos de fotografa C1

ix

Prefacio

La respuesta de los estudiantes y profesores a las tres primeras ediciones de lgebra lineal y sus aplicaciones ha sido muy gratificante. Esta cuarta edicin brinda un importante apoyo tanto para la enseanza como para el uso de la tecnologa en el curso. Al igual que en las ediciones anteriores, el libro ofrece una introduccin elemental actualizada al lgebra lineal y una amplia seleccin de aplicaciones interesantes. El material es accesible a estudiantes con la madurez que se consigue al finalizar de manera exitosa dos semestres de matemticas de nivel universitario, por lo general, de clculo.

El objetivo principal del libro es ayudar a los estudiantes a dominar los conceptos bsicos y las habilidades que usarn ms adelante en sus carreras. Los temas expuestos siguen las re-comendaciones del Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal, las cuales se basan en una cuidadosa investigacin de las necesidades reales de los estudiantes y en un consenso entre profesionales de muchas disciplinas que utilizan el lgebra lineal. Esperamos que este curso sea una de las clases de matemticas ms tiles e interesantes para los estudiantes de licenciatura.

LO NUEVO EN ESTA EDICIN

El principal objetivo de esta revisin fue actualizar los ejercicios e incluir nuevos contenidos, tanto en el libro como en lnea.

1. Ms del 25 por ciento de los ejercicios son nuevos o actualizados, en especial los ejer-cicios computacionales. Los conjuntos de ejercicios son una de las caractersticas ms importantes de este libro, y estos nuevos ejercicios siguen el mismo estndar elevado de los conjuntos de ejercicios de las tres ltimas ediciones. Estn diseados de tal forma que se refieren a los temas importantes de cada una de las secciones anteriores, y permiten que los alumnos desarrollen confianza al motivarlos a practicar y generalizar las nuevas ideas que acaban de estudiar.

2. El 25 por ciento de los ejemplos introductorios de los captulos son nuevos. Estas in-troducciones tienen que ver con aplicaciones de lgebra lineal y despiertan el inters en torno al desarrollo del tema que se presenta a continuacin. El texto retoma el ejemplo introductorio en una seccin al final de cada captulo.

3. Se incluye un nuevo captulo, el 8, titulado Geometra de los espacios vectoriales, el cual presenta un tema novedoso que mis alumnos han disfrutado estudiar. Las seccio-nes 1, 2 y 3 ofrecen las herramientas geomtricas bsicas. La seccin 6 utiliza estas ideas para estudiar las curvas y superficies de Bzier, las cuales se utilizan en grficos elabo-rados con computadora en el campo de la ingeniera y en lnea (en Adobe Illustrator y Macromedia FreeHand). Estas cuatro secciones se pueden cubrir en cuatro o cinco sesiones de clase de 50 minutos.

El segundo curso en las aplicaciones de lgebra lineal suele comenzar con una revisin sustancial de las ideas principales del primer curso. Si una parte del captulo 8 se encuentra en el primer curso, el segundo podra incluir una breve resea de las seccio-nes 1 a 3 y, luego, un enfoque de la geometra en las secciones 4 y 5. Eso conducira, naturalmente, a los captulos 9 y 10 que se presentan en lnea, los cuales se han utilizado junto con el captulo 8 en varias escuelas en los ltimos cinco aos.

x Prefacio

4. Hay dos nuevos captulos disponibles en lnea en ingls, y se pueden utilizar en un segundo curso:

Chapter 9. Optimization Chapter 10. Finite-State Markov Chains

Se requiere un cdigo de acceso y est disponible para todos los profesores que adopten el libro. Para ms informacin, visite www.pearsonhighered.com/irc o pngase en contacto con su representante de Pearson.

5. Diapositivas de PowerPoint estn disponibles para las 25 secciones principales del texto; tambin se incluyen ms de 75 figuras del texto.

CARACTERSTICAS DISTINTIVAS

Introduccin temprana a los conceptos claveMuchas de las ideas fundamentales del lgebra lineal se introducen dentro de las primeras siete lecturas en el contexto concreto de n, y despus, gradualmente, se examinan desde diferentes puntos de vista. Ms adelante, se presentan generalizaciones de estos conceptos como exten-siones naturales de ideas familiares, visualizadas a travs de la intuicin geomtrica desarro-llada en el captulo 1. Un logro importante del libro es que el nivel de dificultad es bastante uniforme durante todo el curso.

Una visin moderna de la multiplicacin de matricesUna buena notacin es importante, y el libro refleja la manera en que los cientficos e ingenie-ros utilizan el lgebra lineal en la prctica. Las definiciones y demostraciones se centran en las columnas de una matriz antes que en sus entradas. Un tema central es considerar un producto matriz-vector Ax como una combinacin lineal de las columnas de A. Este enfoque moderno simplifica muchos argumentos, y vincula las ideas de espacio vectorial con el estudio de sis-temas lineales.

Transformaciones linealesLas transformaciones lineales forman un hilo que se entreteje en la trama del libro. Su uso mejora el sentido geomtrico del texto. En el captulo 1, por ejemplo, las transformaciones lineales ofrecen una visin dinmica y grfica de la multiplicacin matriz-vector.

Valores propios y sistemas dinmicosLos valores propios se presentan muy pronto en el libro, en los captulos 5 y 7. Como este material se estudia durante varias semanas, los estudiantes tienen ms tiempo de lo habitual para aprender y revisar tales conceptos fundamentales. Los valores propios se aplican a sis-temas dinmicos discretos y continuos, los cuales se presentan en las secciones 1.10, 4.8 y 4.9, y en las cinco secciones del captulo 5. Algunos cursos llegan al captulo 5, despus de aproximadamente cinco semanas, cubriendo las secciones 2.8 y 2.9 en vez del captulo 4. Estas dos secciones opcionales presentan todos los conceptos de espacio vectorial del cap-tulo 4 necesarios para el captulo 5.

Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadradosEstos temas reciben un tratamiento ms completo que el que se otorga comnmente en los libros bsicos. El Grupo de Estudio del Currculo de lgebra Lineal ha hecho hincapi en la necesidad de contar con una unidad sustancial de ortogonalidad y problemas de mnimos cuadrados, ya que la ortogonalidad desempea un importante papel en los clculos compu-tacionales y en el lgebra lineal numrica, y porque, con frecuencia, en el trabajo prctico surgen sistemas lineales inconsistentes.

Prefacio xi

CARACTERSTICAS PEDAGGICAS

AplicacionesUna amplia seleccin de aplicaciones muestra el poder del lgebra lineal para explicar princi-pios fundamentales y simplificar los clculos en ingeniera, ciencias de la computacin, mate-mticas, fsica, biologa, economa y estadstica. Algunas aplicaciones se presentan en secciones separadas, mientras que otras se explican con ejemplos y ejercicios. Adems, cada captulo se inicia con un ejemplo introductorio que prepara el escenario para algunas aplicaciones del l-gebra lineal y sirve de base para el desarrollo de las matemticas que siguen. Despus, el texto considera nuevamente la aplicacin en una seccin cercana al final del captulo.

Un fuerte nfasis geomtricoTodos los conceptos importantes en el curso cuentan con una interpretacin geomtrica, ya que muchos estudiantes aprenden mejor cuando logran visualizar una idea. Aqu se presentan ms dibujos de lo habitual, y algunas de las figuras nunca antes se han presentado en un libro de lgebra lineal.

EjemplosEste libro dedica una mayor proporcin de su material de exposicin a ejemplos, en compa-racin con la mayora de libros de lgebra lineal. Hay ms ejemplos de los que un profesor presenta normalmente en clase. Puesto que los ejemplos se escribieron con sumo cuidado y con detalle, los estudiantes pueden leerlos por su cuenta.

Teoremas y demostracionesLos resultados importantes se establecen como teoremas. Otros datos tiles se presentan en recuadros, para una fcil localizacin. La mayora de los teoremas incluyen demostraciones formales, escritas pensando en el alumno principiante. En algunos casos, los clculos esencia-les de una demostracin se muestran en un ejemplo cuidadosamente elegido. Algunas com-probaciones de rutina se dejan para los ejercicios, cuando sea benfico para los estudiantes.

Problemas de prcticaAntes de cada conjunto de ejercicios se incluyen problemas de prctica seleccionados con gran cuidado. Las soluciones completas se presentan despus del conjunto de ejercicios. Es-tos problemas se centran en los aspectos problemticos del conjunto de ejercicios o sirven de calentamiento para los ejercicios; con frecuencia, las soluciones contienen tiles consejos o advertencias acerca del trabajo que hay que realizar.

EjerciciosEl gran nmero de ejercicios incluye desde algunos que tienen que ver con clculos de rutina hasta preguntas conceptuales que requieren de mayor reflexin. Un buen nmero de preguntas innovadoras destacan las dificultades conceptuales que he encontrado en los documentos de los estudiantes en los ltimos aos. Cada conjunto de ejercicios est cuidadosamente organi-zado en el mismo orden general que el libro, de manera que las tareas se pueden encontrar fcilmente cuando solo se ha estudiado una parte de la seccin. Una caracterstica notable de los ejercicios es su sencillez numrica. El contenido de los problemas se puede ordenar rpi-damente, para que los estudiantes dediquen poco tiempo a los clculos numricos. Los ejerci-cios se concentran en ensear a razonar antes que en realizar clculos mecnicos. Los ejercicios de la cuarta edicin conservan la integridad de los que se incluyeron en la tercera edicin, y presentan nuevos problemas para estudiantes y profesores.

Los ejercicios marcados con el smbolo [M] estn diseados para trabajarse con la ayuda de un programa de Matrices (por ejemplo, programas computacionales, como MATLAB, Maple, Mathematica, MathCad, o Derive, o calculadoras programables con capacida-des matriciales, como las que fabrica Texas Instruments).

xii Prefacio

Preguntas verdadero/falsoPara animar a los estudiantes a leer todo el libro y a pensar crticamente, he desarrollado 300 preguntas sencillas de falso/verdadero que se presentan en 33 secciones del libro, justo despus de los problemas computacionales. Estas preguntas se pueden contestar directamente del libro, y preparan al estudiante para los problemas conceptuales que siguen. Los estudian-tes aprecian estas preguntas una vez que valoran la importancia de leer con cuidado el libro. Con base en las pruebas de clase y los anlisis con los estudiantes, decid no incluir las res-puestas en el libro. Se cuenta con 150 preguntas adicionales de falso/verdadero (casi siem-pre al final de los captulos) para comprobar la comprensin del material. El libro presenta solo respuestas con V o F para la mayora de estas preguntas, pero omite las justificaciones de las respuestas (las cuales, por lo general, requieren de cierto razonamiento).

Ejercicios de escrituraLa capacidad de escribir enunciados matemticos coherentes en espaol es esencial para todos los estudiantes de lgebra lineal, y no solo para aquellos que cursan un posgrado en matemti-cas. El libro incluye muchos ejercicios para los que una justificacin por escrito es parte de la respuesta. Los ejercicios conceptuales que requieren una prueba corta, por lo general, incluyen consejos que ayudan a los estudiantes a comenzar. Para todos los ejercicios de escritura de numeracin impar, en la parte final del libro, se incluye ya sea una solucin o una sugerencia.

Temas computacionalesEl libro hace hincapi en los efectos de la computadora tanto en el desarrollo como en la prc-tica del lgebra lineal en las ciencias y la ingeniera. Las frecuentes notas numricas llaman la atencin en torno a problemas computacionales; adems, distinguen entre los conceptos tericos, como la inversin de matrices, y las implementaciones computacionales, como la factorizacin LU.

APOYO EN LNEA

El sitio Web en www.pearsonenespaol.com/lay contiene material de apoyo para el libro de texto. Para los estudiantes, incluye hojas de repaso y exmenes de prctica (con soluciones) que cubren los temas principales en el libro. Estas secciones provienen directamente de cur-sos que he impartido en los ltimos aos. Cada hoja de repaso identifica definiciones clave, as como teoremas y habilidades de una parte especfica del libro.

Aplicaciones de los captulosEl sitio Web tambin contiene siete estudios de caso, los cuales amplan los temas introdu-cidos al inicio de cada captulo, al agregar datos del mundo real y la posibilidad de realizar una exploracin ms profunda. Por otro lado, ms de veinte proyectos de aplicacin amplan los temas del libro e introducen nuevas aplicaciones, como splines cbicos, rutas de vuelo de aerolneas, matrices de dominio en competencias deportivas y cdigos de correccin de errores. Algunas aplicaciones matemticas son tcnicas de integracin, ubicacin de races polinomiales, secciones cnicas, superficies cuadrticas y extremos de funciones de dos va-riables. Tambin se incluyen temas de lgebra lineal numrica, como nmeros de condicin, factorizaciones de matrices y el mtodo QR para encontrar valores propios. Entretejidos en cada anlisis, se encuentran ejercicios que pueden implicar grandes conjuntos de datos (por lo que requieren de tecnologa para su solucin).

Introduccin a la tecnologaSi el curso incluye un trabajo con MATLAB, Maple, Mathematica o calculadoras TI, se puede leer uno de los proyectos en el sitio Web para tener una introduccin a la tecnologa.

Prefacio xiii

Archivos de datosCientos de archivos contienen datos de 900 ejercicios del texto, estudios de caso y proyec-tos de aplicacin. Los datos estn disponibles en www.pearsonenespaol.com/lay en una variedad de formatos, para MATLAB, Maple, Mathematica y las calculadoras graficadoras TI-83+/86/89. Al permitir a los alumnos acceder a las matrices y los vectores de un problema particular con solo pulsar unas cuantas teclas, los archivos de datos eliminan los errores de captura de datos y ahorran tiempo en la tarea.

Proyectos MATLAB Estos proyectos de exploracin invitan a los estudiantes a descubrir los aspectos matemti-cos y numricos bsicos de lgebra lineal. Escritos por Rick Smith, se han desarrollado para acompaar los cursos de lgebra lineal computacional en la Universidad de Florida, que han utilizado lgebra lineal y sus aplicaciones durante muchos aos. Se hace referencia a los proyectos por medio de un icono WEB en puntos adecuados del libro. Alrededor de la mitad de los proyectos exploran conceptos fundamentales, como el espacio columna, la diagonali-zacin y las proyecciones ortogonales; varios proyectos tratan temas numricos, tales como flops, mtodos iterativos y DVS, y algunos ms exploran aplicaciones como la interpolacin de Lagrange y las cadenas de Markov.

COMPLEMENTOS

Manuales de tecnologa para el profesor Cada manual ofrece una gua detallada para integrar al curso un paquete de software especfico o una calculadora grfica. Los manuales fueron escritos por profesores que ya han utilizado tecnologa con este libro. Los siguientes manuales estn disponibles para profesores que adop-ten el libro, a travs de Pearson Instructor Resource Center, www.pearsonhighered.com/irc: MATLAB (ISBN: 0-321-53365-8), Maple (ISBN: 0-321-75605-3), Mathematica (ISBN: 0-321-38885-2) y TI-83+/86/89 (ISBN: 0-321-38887-9).

AGRADECIMIENTOS

Estoy muy agradecido con muchos grupos de personas que me han ayudado en los ltimos aos con diversos aspectos de este libro.

Quiero agradecer a Israel Gohberg y Robert Ellis, quienes desde hace ms de quince aos han colaborado conmigo en la investigacin, lo que ha contribuido a formar en gran parte mi punto de vista del lgebra lineal. Para m, ha sido un privilegio ser un miembro del Gru-po de Estudio del Currculo de lgebra Lineal junto con David Carlson, Charles Johnson y Duane Porter. Sus ideas creativas acerca de la enseanza del lgebra lineal han influido en este libro de forma significativa.

Agradezco sinceramente a los siguientes revisores por su cuidadoso anlisis y sugeren-cias constructivas:

Rafal Ablamowicz, Tennessee Technological University Brian E. Blank, Washington University en Saint Louis Vahid Dabbaghian-Abdoly, Simon Fraser University James L. Hartman, The College of Wooster Richard P. Kubelka, San Jose State University Martin Nikolov, University of Connecticut Ilya M. Spitkovsky, College of William & Mary

John Alongi, Northwestern UniversitySteven Bellenot, Florida State UniversityHerman Gollwitzer, Drexel UniversityDavid R. Kincaid, The University of Texas en AustinDouglas B. Meade, University of South CarolinaTim Olson, University of FloridaAlbert L. Vitter III, Tulane University

xiv Prefacio

En esta cuarta edicin, agradezco a mi hermano, Steven Lay, de Lee University, por su ge-nerosa ayuda y aliento, y por su reciente revisin del captulo 8. Agradezco a Raymond Rosentrater, de Westmont College, por sus tiles consejos y su ayuda con los ejemplos intro-ductorios de los captulos. Otra talentosa profesora, Judith McDonald, de Washington State University, desarroll muchos nuevos ejercicios para el libro. Su ayuda y entusiasmo por el libro fue muy refrescante y estimulante.

Agradezco a los expertos en tecnologa que trabajaron en los diferentes complementos de la cuarta edicin, la preparacin de los datos, la redaccin de las notas para los profesores, la escritura de notas de tecnologa para los estudiantes y por compartir sus proyectos con nosotros: Jeremy Case (MATLAB), Taylor University; Douglas Meade (Maple), University of South Carolina; Michael Miller (calculadora TI), Western Baptist College; y Marie Vanisko (Mathematica), Carroll College.

Agradezco al profesor John Risley y a los estudiantes de posgrado David Aulicino, Sean Burke y Goldberg Hersh por sus conocimientos tcnicos para ayudar a desarrollar las tareas en lnea que apoyan el libro. Por las pruebas en clase de este apoyo de tareas en l-nea, estoy muy agradecido con: Agnes Boskovitz, Malcolm Brooks, Elizabeth Ormerod, Alexander Isaev y John Urbas, de la Australian National University; John Scott y Wee Leben, del Montgomery College, Maryland; y Xingru Zhang en SUNY University of Buffalo.

Agradezco la ayuda de Blaise DeSesa, Jean Horn, Roger Lipsett, Paul Lorczak, Thomas Polaski, Sarah Streett y Marie Vanisko, quienes comprobaron la exactitud de los clculos en el libro.

Por ltimo, agradezco sinceramente al personal de Addison-Wesley por toda su ayuda en el desarrollo y la produccin de la cuarta edicin: Caroline Celano, editora responsable; Chere Bemelmans, editora de contenido; Tamela Ambush, editora administrativa asociada; Carl Cottrell, productor de medios de comunicacin; Jeff Weidenaar, director ejecutivo de marketing; Kendra Bassi, asistente de marketing; y Andrea Nix, diseadora de texto. Por l-timo, agradezco a tres buenos amigos que han guiado el desarrollo de la obra casi desde el principio con sus sabios consejos y estmulos: Greg Tobin, editor, Laurie Rosatone, editor anterior, y William Hoffman, editor actual. Muchas gracias a todos.

David C. Lay

Prefacio xv

COLOMBIAUniversidad Nacional de ColombiaDepartamento de MatemticasGustavo Rubiano

MXICO

AGUASCALIENTESInstituto Tecnolgico de Aguascalientes Ciencias BsicasAlejandra Espinosa GuzmnDavid Ortiz AcostaJess Espino MrquezJos Refugio Gonzlez LpezJudith Mauricio de AndaPaula Castillo RosalesSergio Heraccio Snchez Calvillo

DISTRITO FEDERALInstituto Tecnolgico Autnomo de MxicoDepartamento de MatemticasAraceli Reyes GuerreroMarcela Gonzlez Pelez

Universidad Anhuac del SurDepartamento de MatemticasJos Antonio Bohon Devars

Universidad del Valle de Mxico campus TlalpanDepartamento de MatemticasJuan Andrs Aspiazu Fabin

GUANAJUATOInstituto Tecnolgico de CelayaCiencias BsicasJos Carlos Crdenas Rivera

SAN LUIS POTOSUniversidad Autnoma de San Luis PotosFsica y MatemticasGuadalupe Silva EsparzaJ. Socorro Loera DazMara del Pilar Yudiche PazMara Eugenia Noriega TrevioMara Irene Liliana Gallegos GarcaMara Isabel Zermeo MantanteMiguel ngel Viramontes Reyna

PUEBLAInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus PueblaDepartamento Acadmico de AdministracinEscuela de Negocios y Ciencias SocialesJorge Alberto Gonzlez MendivilMiguel Guadalupe Daz Snchez

Instituto Tecnolgico de PueblaDepartamento Ingeniera IndustrialEscuela de IngenieraAlfonso Serrano Glvez

Universidad De Las Amricas PueblaDepartamento de TurismoEscuela de Negocios y EconomaAlfonso Rocha Herrera

Universidad Popular Autnoma del Estado de PueblaDepartamento AdministracinEscuela de NegociosClaudia Malcn Cervera

SINALOAInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus SinaloaDepartamento de IngenieraCruz Evelia Sosa Carrillo

Universidad de Occidente, Unidad CuliacnDepartamento de IngenieraRal Soto Murray

Pearson agradece a los profesores usuarios de esta obra y a los centros de estudio por su apoyo y retroalimentacin, elementos fundamentales para esta nueva edicin de lgebra lineal y sus aplicaciones.

AGRADECIMIENTOS

Nota para los estudiantes

Este curso es potencialmente el ms interesante y valioso de los cursos de matemticas de licenciatura. De hecho, algunos estudiantes me han escrito o han hablado conmigo despusde la graduacin para decirme que an utilizan este libro de cuando en cuando como una refe-rencia en su carrera en las grandes corporaciones y en las escuelas de posgrado de ingeniera. Los siguientes comentarios ofrecen algunos consejos prcticos e informacin para ayudarle a dominar el material y disfrutar del curso.

En lgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los clculos. Los sencillos ejercicios numricos que se incluyen al principio de cada conjunto de ejercicios solo le ayudarn a comprobar su comprensin de los procedimientos bsicos. Ms adelante en su carrera, las computadoras harn los clculos, pero usted tendr que elegir cules son perti-nentes, saber interpretar los resultados, y despus explicar los resultados a otras personas. Por esta razn, muchos ejercicios en el libro le piden que explique o justifique sus clculos. Con frecuencia se solicita una explicacin por escrito como parte de la respuesta. Para los ejercicios con numeracin impar, se incluye ya sea la explicacin deseada o, al menos, una buena sugerencia. Debe evitar la tentacin de consultar esas respuestas antes de haber tra-tado de escribir la solucin. De lo contrario, es probable que crea que entiende algo cuando en realidad no es as.

Para dominar los conceptos de lgebra lineal, tendr que leer y releer el texto con cuida-do. Los nuevos trminos aparecen en negritas, a veces dentro de un recuadro de definicin. Al final del libro se incluye un glosario. Algunos hechos importantes se establecen como teoremas o se destacan en recuadros sombreados, para una fcil localizacin. Le animo a que lea las primeras cinco pginas del prefacio para aprender ms acerca de la estructura de este libro. Esto le dar una idea para comprender cmo puede continuar el curso.

En un sentido prctico, el lgebra lineal es un lenguaje. Usted tiene que aprender este lenguaje de la misma manera que un idioma extranjero, esto es, con el trabajo diario. El ma-terial que se presenta en una seccin no es fcil de entender a menos que haya estudiado a fondo el libro y que haya trabajado los ejercicios de las secciones anteriores. Mantenerse al da con el curso le ahorrar mucho tiempo y angustia!

Notas numricasEspero que lea las notas numricas en el texto, incluso si no est utilizando una computadora o una calculadora grfica con el libro. En la vida real, la mayora de las aplicaciones del l-gebra lineal implican clculos numricos que estn sujetos a algn error numrico, aunque quizs este sea muy pequeo. Las notas numricas le advertirn las posibles dificultades en el uso del lgebra lineal ms adelante en su carrera, y si usted estudia las notas ahora, es ms probable que las recuerde despus.

Si le gusta leer las notas numricas, es posible que desee tomar un curso ms tarde en lgebra lineal numrica. Debido a la gran demanda de mayor capacidad para realizar clcu-los, cientficos de la computacin y matemticos trabajan en lgebra lineal numrica para desarrollar algoritmos de clculos ms rpidos y ms confiables, mientras que los ingenie-ros elctricos disean computadoras pequeas y rpidas para ejecutar algoritmos. Este es un campo emocionante, y su primer curso de lgebra lineal le ayudar a prepararse para ello.

xvi

1

1Ecuaciones lineales en lgebra lineal

EJEMPLO INTRODUCTORIO

Modelos lineales en economa e ingenieraAl final del verano de 1949, Wassily Leontief, profesor de

Harvard, introduca con cuidado la ltima de sus tarjetas

perforadas en la computadora Mark II de la universidad.

Las tarjetas contenan informacin acerca de la economa

de Estados Unidos; se trataba de un resumen de ms de

250,000 datos generados por la Oficina de Estadstica

Laboral (U.S. Bureau of Labor) durante dos aos de intenso

trabajo. Leontief dividi la economa estadounidense en

500 sectores, que incluan las industrias carbonfera,

automotriz, de comunicaciones, etctera. Para cada sector,

escribi una ecuacin lineal que describa cmo la industria

en cuestin distribua su producto hacia los otros sectores de

la economa. Como la computadora Mark II, una de las ms

grandes de su poca, no poda manejar el sistema resultante

de 500 ecuaciones y 500 incgnitas, Leontief redujo el

problema a un sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas.

Programar la Mark II para manejar las 42 ecuaciones

de Leontief requiri varios meses de trabajo, y l estaba

ansioso por ver cunto tardara la computadora en resolver

el problema. La mquina emiti zumbidos y sus luces

parpadearon durante 56 horas antes de que finalmente

arrojara un resultado. En las secciones 1.6 y 2.6 se analizar

la naturaleza de esa solucin.

Leontief, galardonado en 1973 con el Premio Nobel de

Economa, abri la puerta a una nueva era en la elaboracin

de modelos matemticos en economa. Sus esfuerzos en

Harvard, en 1949, representaron uno de los primeros usos

significativos de las computadoras para analizar lo que,

en esa poca, era un modelo matemtico de gran escala.

Desde entonces, investigadores en muchos otros campos han

empleado computadoras para analizar modelos matemticos.

Debido a las enormes cantidades de datos implicados,

los modelos, por lo regular, son lineales; es decir, se

describen mediante sistemas de ecuaciones lineales.

La importancia del lgebra lineal para diversas

aplicaciones ha crecido en proporcin directa al incremento

de la capacidad de las computadoras, y cada nueva

generacin de hardware y software dispara la demanda

de capacidades aun mayores. Por ello, la ciencia de la

computacin est fuertemente vinculada con el lgebra

lineal a travs del explosivo crecimiento de los

procesamientos en paralelo y el clculo a gran escala.

Ahora los cientficos e ingenieros trabajan en problemas

cada vez ms complejos, lo que era impensable hace algunas

dcadas. Actualmente, el lgebra lineal tiene mayor valor

potencial para estudiantes de muchos campos cientficos

y de negocios que cualquier otra materia de matemticas!

El material que se presenta en este libro ofrece el

fundamento para un trabajo posterior en muchas reas

interesantes. A continuacin se mencionan unas cuantas

posibilidades; otras se describirn ms adelante.

Exploracin petrolera. Cuando un barco busca

depsitos submarinos de petrleo, sus computadoras

resuelven todos los das miles de sistemas de

ecuaciones lineales. Los datos ssmicos de las

2 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal

Los sistemas de ecuaciones lineales constituyen el corazn del lgebra lineal, y este captulo los utiliza para introducir, de manera sencilla y concreta, algunos de los conceptos centrales del lgebra lineal. Las secciones 1.1 y 1.2 presentan un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En este libro se emplear dicho algoritmo para realizar diversos clcu-los. Las secciones 1.3 y 1.4 muestran cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin vectorial y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas que implican combinaciones lineales de vectores a preguntas acerca de sistemas de ecuaciones lineales. Los conceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y transformacio-nes lineales, que se estudiarn en la segunda mitad de este captulo, desempearn un papel esencial a lo largo del libro conforme se explore la belleza y el poder del lgebra lineal.

ecuaciones se obtienen a partir de las ondas de cho-

que submarinas generadas por explosiones de pistolas

de aire. Las ondas rebotan en las rocas bajo el agua, y

los gefonos conectados a la popa del barco mediante

cables de varios kilmetros se encargan de medirlas.

Programacin lineal. Actualmente, muchas

decisiones empresariales importantes se toman con

base en modelos de programacin lineal que utilizan

cientos de variables. La industria de las aerolneas,

por ejemplo, utiliza la programacin lineal para

organizar los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,

monitorizar la ubicacin de los aviones o planear la

variada agenda de los servicios de apoyo, como las

actividades operativas y de mantenimiento en

las terminales areas.

Redes elctricas. Los ingenieros utilizan software

de simulacin para disear circuitos elctricos y

microchips, lo que implica millones de transistores.

Dicho software se basa en tcnicas de lgebra lineal

y en sistemas de ecuaciones lineales.

WEB

Una ecuacin lineal en las variables x1,, xn es una ecuacin que puede escribirse en la forma

a1x1 C a2x2 C C anxn D b (1)donde b y los coeficientes a1,, an son nmeros reales o complejos, que generalmente se co-nocen de antemano. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios del libro, n normalmente est entre 2 y 5. En problemas de la vida real, n podra ser 50 o 5000, o incluso mayor.

Las ecuaciones

4x1 5x2 C 2 D x1 y x2 D 2p

6 x1C x3

son lineales porque se pueden reordenar algebraicamente en la forma de la ecuacin (1):

3x1 5x2 D 2 y 2x1 C x2 x3 D 2p6

Las ecuaciones

4x1 5x2 D x1x2 y x2 D 2px1 6no son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera ecuacin y de

px1 en la segunda.

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una coleccin de una o ms ecuaciones lineales que implican las mismas variables, por ejemplo, x1,, xn. Un ejemplo es

2x1 x2 C 1:5x3 D 8x1 4x3 D 7

(2)

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3

Una solucin del sistema es una lista de nmeros (s1, s2,, sn) que da validez a cada ecuacin cuando se utilizan los valores s1,, sn en lugar de x1,, xn, respectivamente. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del sistema (2) porque al sustituir estos valores en (2) para x1, x2, x3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a 8 8 y 7 7.

El conjunto de todas las posibles soluciones se llama conjunto solucin del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solu-cin. Es decir, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo sistema, y cada solucin del segundo sistema tambin es una solucin del primero.

Es fcil encontrar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables porque equivale a obtener la interseccin de dos rectas. Un problema comn es

x1 2x2 D 1x1 C 3x2 D 3

Las grficas de esas ecuaciones son lneas rectas, las cuales se denotan como /1 y /2. Un par de nmeros (x1, x2) satisface ambas ecuaciones del sistema si y solo si el punto (x1, x2) est sobre /1 y /2. En el sistema anterior, la solucin es el nico punto (3, 2), lo que puede com-probarse fcilmente. Vase la figura 1.

Desde luego, dos rectas no necesitan intersecarse en un solo punto; podran ser parale-las, o coincidir y, as, intersecarse en todos los puntos de la recta. La figura 2 muestra las grficas que corresponden a los siguientes sistemas:

a) x1 2x2 D 1x1 C 2x2 D 3

b) x1 2x2 D 1x1 C 2x2 D 1

FIGURA 1 Exactamente una solucin.

2

3

x2

x1

l1

l2

FIGURA 2 a) No hay solucin. b) Nmero infinito de soluciones.

2

3

x2

x1

l1l2

a)

2

3

x2

x1

l1

b)

Las figuras 1 y 2 ilustran el siguiente hecho general acerca de los sistemas lineales, el cual se comprobar en la seccin 1.2.

4 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucin o un n-mero infinito de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna solucin.

Notacin matricialLa informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de forma compacta en un arre-glo rectangular llamado matriz. Dado el sistema

x1 2x2 C x3 D 02x2 8x3 D 8

4x1 C 5x2 C 9x3 D 9 (3)

con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz 24 1 2 10 2 84 5 9

35

se llama matriz coeficiente (o matriz de coeficientes) del sistema (3), y

24 1 2 1 00 2 8 84 5 9 9

35 (4)

se llama matriz aumentada del sistema. (Aqu la segunda fila contiene un cero porque la segunda ecuacin podra escribirse como 0 x1 2x2 8x3 8). La matriz aumentada de un sistema consiste en la matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las constantes de los miembros derechos de las ecuaciones.

El tamao de una matriz indica su nmero de filas y columnas. La matriz aumentada (4) tiene 3 filas y 4 columnas, por lo que es una matriz de 3 4 (que se lee 3 por 4). Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz de m n es un arreglo rectangular de nmeros con m filas y n columnas. (Siempre va primero el nmero de filas). La notacin matricial simplificar los clculos en los ejemplos que siguen.

Solucin de un sistema lineal Esta seccin y la siguiente describen un algoritmo, o un procedimiento sistemtico, para re-solver sistemas lineales. La estrategia bsica es remplazar un sistema por otro equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) y que sea ms fcil resolver.

En general, use el trmino x1 de la primera ecuacin de un sistema para eliminar los trminos x1 en las ecuaciones restantes. Despus, utilice el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar los trminos x2 en las dems ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que final-mente obtenga un sistema equivalente de ecuaciones muy sencillo.

Se utilizan tres operaciones bsicas para simplificar un sistema lineal: remplazar una ecuacin por la suma de esta y un mltiplo de otra ecuacin, intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de una ecuacin por una constante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, resultar claro por qu esas tres operaciones no alteran el conjunto solucin del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene

1. ninguna solucin, o

2. exactamente una solucin, o

3. un nmero infinito de soluciones.

1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5

EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3).

SOLUCIN Aqu se muestra el procedimiento de eliminacin, con y sin notacin matricial, y los resultados se colocan uno al lado del otro para facilitar la comparacin:

x1 2x2 C x3 D 02x2 8x3 D 8

4x1 C 5x2 C 9x3 D 9

24 1 2 1 00 2 8 84 5 9 9

35

Mantenga x1 en la primera ecuacin y elimnela en las otras ecuaciones. Para hacerlo, sume la ecuacin 1 multiplicada por 4 a la ecuacin 3. Despus de cierta prctica, estos clculos se podrn efectuar mentalmente:

4[ecuacin 1]:

[ecuacin 3]:

[nueva ecuacin 3]:

4x1 8x2 C 4x3 D 04x1 C 5x2 C 9x3 D 9

3x2 C 13x3 D 9

El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin original:

x1 2x2 C x3 D 02x2 8x3 D 8

3x2 C 13x3 D 9

24 1 2 1 00 2 8 80 3 13 9

35

Ahora, multiplicamos la ecuacin 2 por 12 para as obtener 1 como coeficiente de x2. (Este clculo simplificar la aritmtica en el siguiente paso).

x1 2x2 C x3 D 0x2 4x3 D 4

3x2 C 13x3 D 9

24 1 2 1 00 1 4 40 3 13 9

35

Utilice x2 de la ecuacin 2 para eliminar 3x2 en la ecuacin 3. El clculo mental es

3[ecuacin 2]:

[ecuacin 3]:

[nueva ecuacin 3]:

3x2 12x3 D 123x2 C 13x3 D 9

x3 D 3

El nuevo sistema tiene forma triangular:1

x1 2x2 C x3 D 0x2 4x3 D 4

x3 D 3

24 1 2 1 00 1 4 40 0 1 3

35

Finalmente, se desea eliminar el trmino 2x2 de la ecuacin 1, pero es ms eficiente usar primero x3 de la ecuacin 3 para eliminar los trminos 4x3 y x3 en las ecuaciones 2 y 1. Los dos clculos mentales son

4[ec. 3]:

[ec. 2]:

[nueva ec. 2]:

4x3 D 12x2 4x3 D 4x2 D 16

1[ec. 3]:

[ec. 1]:

[nueva ec. 1]:

x3 D 3x1 2x2 C x3 D 0x1 2x2 D 3

1 En la siguiente seccin se remplazar el trmino intuitivo triangular por uno ms preciso.

6 CAPTULO 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal

Es conveniente combinar los resultados de esas dos operaciones:

x1 2x2 D 3x2 D 16

x3 D 3

24 1 2 0 30 1 0 160 0 1 3

35

Ahora, una vez que se ha eliminado la columna que est sobre x3 en la ecuacin 3, regrese a x2 en la ecuacin 2 y utilcela para eliminar 2x2 sobre ella. Gracias al trabajo previo con x3, ahora no hay operaciones que impliquen trminos con x3. Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema: 8=>>;

12.

8>=>>;

13.

8>;

16.

8>=>>;

Para las matrices de los ejercicios 17 a 20, a) encuentre k tal que Nul A sea un subespacio de k, y b) encuentre k tal que Col A sea un subespacio de k.

17. A D

2664

6 43 29 69 6

3775 18. A D

2664

5 2 31 0 10 2 2

5 7 2

3775

19. A D4 5 2 6 01 1 0 1 0

20. A [1 3 2 0 5]

21. Con A como en el ejercicio 17, encuentre un vector distinto de cero en Nul A y otro en Col A.

22. Con A como en el ejercicio 18, encuentre un vector distinto de cero en Nul A y otro en Col A.

23. Sea A D2 41 2

y D

2

1

. Determine si w est en

Col A. Est w en Nul A?

24. Sea A D

266410 8 2 20 2 2 21 1 6 01 1 0 2

3775 y D

26642

2

0

2

3775. Determine si w

est en Col A. Est w en Nul A?

En los ejercicios 25 y 26, A denota una matriz de m n. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

25. a) El espacio nulo de A es el conjunto solucin de la ecuacin Ax 0.

b) El espacio nulo de una matriz de m n est en m.

c) El espacio columna de A es el rango del mapeo x Ax.

d) Si la ecuacin Ax b es consistente, entonces Col A es m.

e) El ncleo de una transformacin lineal es un espacio vectorial.

f) Col A es el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir como Ax para alguna x.

26. a) Un espacio nulo es un espacio vectorial.

b) El espacio columna de una matriz de m n est en m.

c) Col A es el conjunto de todas las soluciones de Ax b.

d) Nul A es el ncleo del mapeo x Ax.

e) El rango de una transformacin lineal es un espacio vectorial.

f) El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin dife-rencial lineal homognea es el ncleo de una transformacin lineal.

27. Es posible demostrar que una solucin del sistema que se mues-tra a continuacin es x1 3, x2 2, y x3 1. Con base en este hecho y en la teora de esta seccin, explique por qu otra solucin es x1 30, x2 20, y x3 10. (Observe cmo estn relacionadas las soluciones, pero no realice otros clculos).

x1 3x2 3x3 D 02x1 C 4x2 C 2x3 D 0x1 C 5x2 C 7x3 D 0

28. Considere los siguientes dos sistemas de ecuaciones:

5x1 C x2 3x3 D 0 5x1 C x2 3x3 D 09x1 C 2x2 C 5x3 D 1 9x1 C 2x2 C 5x3 D 54x1 C x2 6x3 D 9 4x1 C x2 6x3 D 45

Es posible demostrar que el primer sistema tiene una solucin. Con base en este hecho y en la teora de esta seccin, explique por qu el segundo sistema tambin debe tener una solucin. (No realice operaciones de fila).

4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 207

29. Demuestre el teorema 3 de la siguiente manera: dada una matriz A de m n, un elemento de Col A tiene la forma Ax para alguna x en n. Sean Ax y Aw dos vectores cualesquiera en Col A.

a) Explique por qu el vector cero est en Col A.

b) Demuestre que el vector Ax Aw est en Col A.

c) Dado un escalar c, demuestre que c(Ax) est en Col A.

30. Sea T : V S W una transformacin lineal de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W. Demuestre que el rango de T es un subespacio de W. [Sugerencia: Considere que los elementos tpicos del rango tienen la forma T(x) y T(w) para alguna x, w en V ].

31. Defina T : 2 S 2 mediante T . / D

.0/

.1/

. Por ejemplo,

si p(t) 3 5t 7t2, entonces T . / D

3

15

.

a) Demuestre que T es una transformacin lineal. [Sugerencia: Para polinomios arbitrarios p, q en 2, calcule T(p q) y T (cp)].

b) Encuentre un polinomio p en 2 que genere el ncleo de T y describa el rango de T.

32. Defina una transformacin lineal T : 2 S 2 mediante

T . / D

.0/

.0/

. Determine los polinomios p1 y p2 en 2 que

generan el ncleo de T, y describa el rango de T.

33. Sea M22 el espacio vectorial de todas las matrices de 2 2, y defina T : M22 S M22 mediante T(A) A AT, donde

A D

a b

c d

.

a) Demuestre que T es una transformacin lineal.

b) Sea B cualquier elemento de M22 tal que BT B. Determine una A en M22 tal que T(A) B.

c) Demuestre que el rango de T es el conjunto de B en M22 con la propiedad de que BT B.

d) Describa el ncleo de T.

34. (Se requiere clculo) Defina a T : C[0, 1] S C[0, 1] como sigue: Para f en C[0, 1], sea T(f) la antiderivada F de f tal que F(0) 0. Demuestre que T es una transformacin lineal, y describa el ncleo de T. (Vase la notacin en el ejercicio 20 de la seccin 4.1).

35. Sean V y W espacios vectoriales, y sea T : V S W una trans-formacin lineal. Dado un subespacio U de V, sea T(U) el conjunto de todas las imgenes de la forma T(x), donde x est en U. Demuestre que T(U) es un subespacio de W.

36. Dada T : V S W como en el ejercicio 35, y dado un subespa-cio Z de W, sea U el conjunto de todas las x en V tales que T(x) est en Z. Demuestre que U es un subespacio de V.

37. [M] Determine si w est en el espacio columna de A, en el espa-cio nulo de A, o en ambos, donde,

D

2664

1

1

13

3775; A D

2664

7 6 4 15 1 0 29 11 7 319 9 7 1

3775

38. [M] Determine si w est en el espacio columna de A, en el es-pacio nulo de A, o en ambos, donde,

D

26641

2

1

0

3775; A D

26648 5 2 05 2 1 210 8 6 33 2 1 0

3775

39. [M] Considere que a1,, a5 denotan las columnas de la ma-triz A, donde

A D

26645 1 2 2 0

3 3 2 1 128 4 4 5 122 1 1 0 2

3775; B D 1 2 4

a) Explique por qu a3 y a5 estn en el espacio columna de B.

b) Encuentre un conjunto de vectores que genere a Nul A.

c) Sea T : 5 S 4 definida por T(x) Ax. Explique por qu T no es uno a uno ni sobre.

40. [M] Sea H Gen {v1, v2} y K Gen {v3, v4}, donde

1 D24 538

35; 2 D

24 134

35; 3 D

24 21

5

35; 4 D

24 01228

35.

Entonces, H y K son subespacios de 3. De hecho, H y K son planos en 3 que pasan por el origen, y que se cruzan en una recta que pasa por 0. Encuentre un vector w distinto de cero que genere esa recta. [Sugerencia: w se puede escribir como c1v1 c2v2 y tambin como c3v3 c4v4. Para construir w, resuelva la ecuacin c1v1 c2v2 c3v3 c4v4 para las incgnitas cj].

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRCTICA

1. Primer mtodo: W es un subespacio de 3 de acuerdo con el teorema 2, ya que W es el conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogneas (donde el sistema solamente tiene una ecuacin). De manera equivalente, W es el es-pacio nulo de la matriz de 1 3, A [1 3 1].

208 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

Segundo mtodo: Resuelva la ecuacin a 3b c 0 para la variable principal a en tr-

minos de las variables libres b y c. Cualquier solucin tiene la forma

24 3b C cb

c

35, donde

b y c son arbitrarias, y 24 3b C cb

c

35 D b

24 310

35

"1

C c24 101

35

"2

Este clculo muestra que W Gen {v1, v2}. Por lo tanto, W es un subespacio de 3 de acuerdo con el teorema 1. Tambin se podra despejar b o c de la ecuacin a 3b c 0 y obtener descripciones alternativas de W como un conjunto de combinaciones lineales de dos vectores.

2. Tanto v como w estn en Col A. Ya que Col A es un espacio vectorial, v w debe estar en Col A. Es decir, la ecuacin Ax v w es consistente.

Un conjunto indexado {v1,, vp} de dos o ms vectores, con v1 0, es linealmente dependiente si y solo si alguna vj (con j 1) es una combinacin lineal de los vectores anteriores, v1,, vj1.

T E O R E M A 4

En esta seccin identificaremos y estudiaremos los subgrupos que generan un espacio vec-torial V o un subespacio H tan eficientemente como sea posible. La idea clave es la de independencia lineal, definida como en n.

Se dice que un conjunto indexado de vectores {v1,, vp} en V es linealmente indepen-diente si la ecuacin vectorial

c1 1 C c2 2 C C cp p D (1)tiene solamente la solucin trivial, c1 0,, cp 0.1

Se dice que el conjunto {v1,, vp} es linealmente dependiente si (1) tiene una solucin no trivial, es decir, si hay algunos pesos, c1,, cp, no todos cero, tales que la ecuacin (1) sea vli-da. En tal caso, la ecuacin (1) se llama una relacin de dependencia lineal entre v1,, vp.

Al igual que en n, un conjunto que contiene un nico vector v es linealmente indepen-diente si y solo si v 0. Adems, un conjunto de dos vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de los vectores es un mltiplo del otro. Y cualquier conjunto que contenga al vector cero es linealmente dependiente. El siguiente teorema tiene la misma demostracin que el teorema 7 de la seccin 1.7.

4.3 CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES; BASES

La principal diferencia entre la dependencia lineal en n y en un espacio vectorial ge-neral es que cuando los vectores no son n-adas, la ecuacin homognea (1), por lo general, no se puede escribir como un sistema de n ecuaciones lineales. Es decir, los vectores no se pueden convertir en las columnas de una matriz A con la finalidad de estudiar la ecuacin Ax 0. En vez de ello, debemos utilizar la definicin de dependencia lineal y el teorema 4.

EJEMPLO 1 Sea p1(t) 1, p2(t) t y p3(t) 4 t. Entonces, {p1, p2, p3} es lineal-mente dependiente en debido a p3 4p1 p2.

1 Es conveniente utilizar c1,, cp en la ecuacin (1) para los escalares en vez de x1,, xp, como lo hicimos en el captulo 1.

4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 209

EJEMPLO 2 El conjunto {sen t, cos t} es linealmente independiente en C[0, 1], el espa-cio de todas las funciones continuas en 0 t 1, porque sen t y cos t no son mltiplos entre s como vectores en C[0, 1]. Es decir, no hay escalar c tal que cos t c sen t para toda t en [0, 1]. (Vase las grficas de sen t y cos t). Sin embargo, {sen t cos t, sen 2t} es linealmente dependiente debido a la identidad: sen 2t 2 sen t cos t, para toda t.

FIGURA 1 La base estndar para 3.

x1

x2

x3

e3

e2

e1

Sea H un subespacio de un espacio vectorial V. Un conjunto indexado de vectores B {b1,, bp} en V es una base de H sii. B es un conjunto linealmente independiente, y ii. el subespacio generado por B coincide con H, es decir,

H Gen {b1,, bp}

D E F I N I C I N

La definicin de una base se aplica al caso en que H V, ya que cualquier espacio vectorial es un subespacio de s mismo. As, una base de V es un conjunto linealmente inde-pendiente que genera a V. Observe que cuando H V, la condicin ii incluye el requisito de que cada uno de los vectores b1,, bp debe pertenecer a H, porque Gen {b1,, bp} con-tiene a b1,, bp, como se muestra en la seccin 4.1.

EJEMPLO 3 Sea A una matriz invertible de n n, por ejemplo, A {a1 an]. Entonces, las columnas de A forman una base para n, ya que son linealmente independientes y gene-ran a n, por el teorema de la matriz invertible.

EJEMPLO 4 Sean e1,, en, las columnas de la matriz identidad In de n n. Es decir,

1 D

266641

0:::

0

37775; 2 D

266640

1:::

0

37775; : : : ; n D

266640:::

0

1

37775

El conjunto {e1,, en} se llama la base estndar para n (figura 1).

EJEMPLO 5 Sean 1 D24 306

35

2 D2441

7

35 y 3 D

2421

5

35. Determine si {v1, v2, v3}

es una base para 3.

SOLUCIN Puesto que hay exactamente tres vectores aqu en 3, se puede utilizar cual-quiera de los diversos mtodos para determinar si la matriz A [v1 v2 v3] es invertible. Por ejemplo, dos remplazos de fila revelan que A tiene tres posiciones pivote. Por lo tanto, A es invertible. Como en el ejemplo 3, las columnas de A forman una base para 3.

EJEMPLO 6 Sea S {1, t, t2,, t n}. Compruebe que S es una base para n. Esta base se llama la base estndar para n.

SOLUCIN Sin duda, S genera a n. Para demostrar que S es linealmente independiente, suponga que c0,, cn satisfacen

c0 1C c1t C c2t2 C C cntn D .t/ (2)Esta igualdad significa que el polinomio de la izquierda tiene los mismos valores que el polinomio cero de la derecha. Un teorema fundamental del lgebra dice que el nico polinomio

210 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

en n, con ms de n ceros es el polinomio cero. Es decir, la ecuacin (2) se cumple para to-das las t solo si c0 cn 0. Esto demuestra que S es linealmente independiente y, por lo tanto, es una base para Pn. Vase la figura 2.

Problemas relacionados con la independencia lineal y la generacin en n se manejan mejor con una tcnica que se analizar en la seccin 4.4.

El teorema del conjunto generadorComo se ver, una base es un eficiente conjunto generador que no contiene vectores inne-cesarios. De hecho, una base se construye a partir de un conjunto generador descartando los vectores innecesarios.

EJEMPLO 7 Sean

1 D24 021

35; 2 D

24 220

35; 3 D

24 6165

35 y H Gen {v1, v2, v3}.

Considere que v3 5v1 3v2, y demuestre que Gen {v1, v2, v3} Gen {v1, v2}. Luego, encuentre una base para el subespacio H.

SOLUCIN Cada vector en Gen {v1, v2} pertenece a H porque

c1 1 C c2 2 D c1 1 C c2 2 C 0 3Ahora sea x cualquier vector en H, por ejemplo, x c1v1 c2v2 c3v3. Puesto que v3 5v1 3v2, podemos sustituir

D c1 1 C c2 2 C c3.5 1 C 3 2/D .c1 C 5c3/ 1 C .c2 C 3c3/ 2

As, x est en Gen {v1, v2}, por lo que cada vector en H ya pertenece a Gen {v1, v2}. Llega-mos a la conclusin de que H y Gen {v1, v2} en realidad son el mismo conjunto de vectores. De lo que se deduce que {v1, v2} es una base de H, ya que {v1, v2} es, sin duda, linealmente independiente.

El siguiente teorema generaliza el ejemplo 7.

FIGURA 2 La base estndar para 2.

y = 1

y = t

y = t2

tt

y

x3x1

x2

v1 v2

v3H

El teorema del conjunto generador

Sea S {v1,, vp} un conjunto en V, y sea H Gen {v1,, vp}.

a) Si uno de los vectores de S, por ejemplo vk, es una combinacin lineal de los vectores restantes en S, entonces el conjunto formado a partir de S al eliminar vk an genera a H.

b) Si H {0}, algn subconjunto de S es una base para H.

T E O R E M A 5

DEMOSTRACIN

a) Al reordenar la lista de vectores en S, si es necesario, podemos suponer que vp es una combinacin lineal de v1,, vp1, por ejemplo,

p D a1 1 C C ap1 p1 (3) Dada cualquier x en H, podemos escribir

D c1 1 C C cp1 p1 C cp p (4) para escalares adecuados c1,, cp. Sustituyendo la expresin para vp de la ecuacin

(3) en (4), es fcil ver que x es una combinacin lineal de v1,, vp1. Por lo tanto, {v1,, vp1} genera a H, ya que x es un elemento arbitrario de H.

4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 211

b) Si el conjunto generador original S es linealmente independiente, entonces ya es una base para H. De lo contrario, uno de los vectores de S depende de los dems y se puede elimi-nar, de acuerdo con el inciso a). Siempre y cuando haya dos o ms vectores en el conjunto generado, podemos repetir el proceso hasta que el conjunto generador sea linealmente independiente y, por lo tanto, sea una base para H. Si el conjunto generador finalmente se reduce a un vector, ese vector ser distinto de cero (y, por lo tanto, linealmente indepen-diente), ya que H {0}.

Bases para Nul A y Col AYa sabemos cmo encontrar los vectores que generan el espacio nulo de una matriz A. El anlisis de la seccin 4.2 indic que nuestro mtodo siempre produce un conjunto linealmente independiente cuando Nul A contiene vectores distintos de cero. Por lo tanto, en este caso, ese mtodo produce una base para Nul A.

Los dos ejemplos siguientes describen un sencillo algoritmo que permite encontrar una base para el espacio columna.

EJEMPLO 8 Encuentre una base para Col B, donde

B D 1 2 5 D26641 4 0 2 0

0 0 1 1 00 0 0 0 1

0 0 0 0 0

3775

SOLUCIN Cada columna que no es pivote de B es una combinacin lineal de las columnas pivote. De hecho, b2 4b1 y b4 2b1 b3. De acuerdo con el teorema del conjunto genera-dor, podemos descartar a b2 y b4, y {b1, b3, b5} an generar a Col B. Sea

S D f 1; 3; 5g D

8>=>>;

Ya que b1 0 y ningn vector en S es una combinacin lineal de los vectores que lo preceden, S es linealmente independiente (teorema 4). Por lo tanto, S es una base de Col B.

Qu pasa con una matriz A que no est en forma escalonada reducida? Recuerde que toda relacin de dependencia lineal entre las columnas de A se puede expresar en la forma Ax 0, donde x es una columna de pesos. (Si algunas columnas no estn implicadas en una relacin de dependencia en particular, entonces sus pesos son iguales a cero). Cuando A se reduce por filas a una matriz B, las columnas de B con frecuencia son totalmente diferentes de las columnas de A. Sin embargo, las ecuaciones Ax 0 y Bx 0 tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. Si A [a1 an] y B [b1 bn], entonces las ecuacio-nes vectoriales

x1 1 C C xn n D y x1 1 C C xn n Dtambin tienen el mismo conjunto de soluciones. Es decir, las columnas de A tienen exacta-mente la misma relacin de dependencia lineal que las columnas de B.

EJEMPLO 9 Es posible demostrar que la matriz

A D 1 2 5 D26641 4 0 2 13 12 1 5 5

2 8 1 3 2

5 20 2 8 8

3775

es equivalente por filas a la matriz B del ejemplo 8. Encuentre una base para Col A.

212 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

SOLUCIN En el ejemplo 8 vimos que

2 D 4 1 y 4 D 2 1 3

por lo que podemos esperar que

2 D 4 1 y 4 D 2 1 3Compruebe que este es el caso! Por lo tanto, podemos descartar a a2 y a4 cuando seleccio-namos un conjunto generador mnimo de Col A. En efecto, {a1, a3, a5} debe ser linealmente independiente porque cualquier relacin de dependencia lineal entre a1, a3, a5 implicara una relacin de dependencia lineal entre b1, b3, b5. Pero sabemos que {b1, b3, b5} es un conjunto linealmente independiente. Por lo tanto, {a1, a3, a5} es una base para Col A. Las columnas que se han utilizado para esta base son las columnas pivote de A.

Los ejemplos 8 y 9 ilustran el siguiente hecho que resulta de utilidad.

Las columnas pivote de una matriz A forman una base para Col A.T E O R E M A 6

DEMOSTRACIN La demostracin general utiliza los argumentos analizados antes. Sea B la forma escalonada reducida de A. El conjunto de columnas pivote de B es linealmente independiente, pues ningn vector del conjunto es una combinacin lineal de los vectores que le preceden. Puesto que A es equivalente por filas, tambin las columnas pivote de A son linealmente independientes, ya que cualquier relacin de dependencia lineal entre las co-lumnas de A corresponde a una relacin de dependencia lineal entre las columnas de B. Por esta misma razn, todas las columnas que no sean pivote de A son una combinacin lineal de las columnas pivote de A. As, las columnas de A que no son pivote se pueden descar-tar del conjunto generador de Col A, de acuerdo con el teorema del conjunto generador. Esto deja a las columnas pivote de A como base para Col A.

Advertencia: Las columnas pivote de un matriz A son evidentes cuando A se ha reducido solamente a la forma escalonada. Sin embargo, tenga cuidado al usar las columnas pivote de la misma A como la base de Col A. Las operaciones de fila pueden cambiar el espacio colum-na de una matriz. Las columnas de una forma escalonada B de A con frecuencia no estn en el espacio columna de A. Por ejemplo, todas las columnas de la matriz B en el ejemplo 8 tienen ceros en sus ltimas entradas, por lo que no pueden generar el espacio columna de la matriz A en el ejemplo 9.

Dos perspectivas de una baseCuando se usa el teorema del conjunto generador, la eliminacin de los vectores de un con-junto generador se debe detener cuando el conjunto se convierte en linealmente independiente. Si se elimina un vector adicional, no ser una combinacin lineal de los vectores restantes y, por lo tanto, el conjunto ms pequeo ya no generar a V. As, una base es un conjunto generador que es lo ms pequeo posible.

Una base tambin es un conjunto linealmente independiente lo ms grande posible. Si S es una base para V, y si S se ampla con un vector (por ejemplo, w) de V, entonces el nuevo conjunto no puede ser linealmente independiente, ya que S genera a V, y w es, por lo tanto, una combinacin lineal de los elementos en S.

EJEMPLO 10 Los siguientes tres conjuntos de 3 muestran cmo se puede ampliar un conjunto linealmente independiente a una base y cmo esta ampliacin adicional destruye la independencia lineal del conjunto. Adems, un conjunto generador se puede reducir a una

4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 213

base, pero una reduccin adicional destruye la propiedad de generacin.

8>;

5.

8>=>>;

6.

8>=>>;

7. f.a; b; c/ W a 3b C c D 0; b 2c D 0; 2b c D 0g 8. f.a; b; c; d/ W a 3b C c D 0g 9. Encuentre la dimensin del subespacio de todos los vectores en

3 cuyas entradas primera y tercera sean iguales.

10. Encuentre la dimensin del subespacio H de 2 generado por

1

5 2

10

315

En los ejercicios 11 y 12, encuentre la dimensin del subespacio ge-nerado por los vectores dados.

11.

24 102

35

24 311

35

2421

1

35

24 522

35

12.

24 12

0

35

2436

0

35

2423

5

35

2435

5

35

Determine las dimensiones de Nul A y Col A de las matrices que se muestran en los ejercicios 13 a 18.

13. A D

26641 6 9 0 20 1 2 4 50 0 0 5 1

0 0 0 0 0

3775

14. A D

26641 2 4 3 2 6 00 0 0 1 0 3 70 0 0 0 1 4 20 0 0 0 0 0 1

3775

15. A D24 1 2 3 0 00 0 1 0 10 0 0 1 0

35 16. A D

3 2

6 5

17. A D24 1 1 00 1 30 0 1

35 18. A D

24 1 1 10 2 00 0 0

35

En los ejercicios 19 y 20, V es un espacio vectorial. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus respuestas.

19. a) El nmero de columnas pivote de una matriz es igual a la dimensin de su espacio columna.

b) Un plano en 3 es un subespacio de dimensin 2 de 3.

c) La dimensin del espacio vectorial 4 es 4.

d) Si dim V n y S es un conjunto linealmente independiente en V, entonces S es una base para V.

e) Si un conjunto {v1,, vp} genera un espacio vectorial V de dimensin finita y si T es un conjunto de ms de p vectores en V, entonces T es linealmente dependiente.

20. a) 2 es un subespacio de dimensin 2 de 3.

b) El nmero de variables en la ecuacin Ax 0 es igual a la dimensin de Nul A.

c) Un espacio vectorial es de dimensin infinita si es generado por un conjunto infinito.

d) Si dim V n, y si S genera a V, entonces S es una base de V.

e) El nico subespacio de dimensin 3 de 3 es el propio 3.

21. Los primeros cuatro polinomios de Hermite son 1, 2t, 2 4t2, y 12t 8t3. Estos polinomios surgen de forma natural en el estudio de ciertas ecuaciones diferenciales importantes en fsica matemtica.2 Demuestre que los primeros cuatro polinomios de Hermite forman una base de 3.

22. Los primeros cuatro polinomios de Laguerre son 1, 1 t, 2 4t t2, y 6 18t 9t2 t3. Demuestre que estos poli-nomios forman una base de 3.

23. Sea B la base de 3 que consta de los polinomios de Hermite en el ejercicio 21, y sea p(t) 1 8t2 8t3. Encuentre el vector de coordenadas de p respecto de B.

24. Sea B la base de 2 que consiste en los tres primeros polino-mios de Laguerre listados en el ejercicio 22, y sea p(t) 5 5t 2t2. Encuentre el vector de coordenadas de p respecto de B.

25. Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V de dimen-sin n, y suponga que S contiene menos de n vectores. Explique por qu S no puede generar a V.

26. Sea H un subespacio de dimensin n de un espacio vectorial V de dimensin n. Demuestre que H V.

27. Explique por qu el espacio de todos los polinomios es un espacio de dimensin infinita.

2 Vase Introduction to Functional Analysis, 2a. edicin, por A. E. Taylor y David C. Lay (Nueva York: John Wiley & Sons, 1980), pp. 92-93. Tambin se analizan otros conjuntos de polinomios.

230 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

28. Demuestre que el espacio C() de todas las funciones continuas definidas en la recta real es un espacio de dimensin infinita.

En los ejercicios 29 y 30, V es un espacio vectorial de dimensin finita diferente de cero, y los vectores mencionados pertenecen a V. Marque cada enunciado como verdadero o falso. Justifique sus res-puestas. (Estas preguntas tienen mayor grado de dificultad que las de los ejercicios 19 y 20).

29. a) Si existe un conjunto {v1,, vp} que genera a V, entonces dim V p.

b) Si existe un conjunto linealmente independiente {v1,, vp} en V, entonces dim V p.

c) Si dim V p, entonces existe un conjunto generador de p 1 vectores en V.

30. a) Si existe un conjunto linealmente dependiente {v1,, vp} en V, entonces dim V p.

b) Si cada conjunto de p elementos en V no genera a V, enton-ces dim V p.

c) Si p 2 y dim V p, entonces cada conjunto de p 1 vectores distintos de cero es linealmente independiente.

Los ejercicios 31 y 32 se refieren a espacios vectoriales V y W de dimensin finita y a una transformacin lineal T : V S W.

31. Sea H un subespacio distinto de cero de V, y sea T(H) el con-junto de imgenes de vectores en H. Entonces, T(H) es un sub-espacio de W, de acuerdo con el ejercicio 35 en la seccin 4.2. Demuestre que dim T(H) dim H.

32. Sea H un subespacio distinto de cero de V, y suponga que T es un mapeo uno a uno (lineal) de V en W. Demuestre que dim T(H) dim H. Si resulta que T es un mapeo uno a uno de V sobre W, entonces dim V dim W. Espacios vectoriales iso-morfos de dimensin finita tienen la misma dimensin.

33. [M] De acuerdo con el teorema 11, un conjunto lineal-mente independiente {v1,, vk} en n se puede expandir a una base para n. Una manera de hacer esto es crear A [v1 vk e1 en], siendo e1,, en las columnas de la matriz iden-tidad; las columnas pivote de A forman una base para n.

a) Utilice el mtodo descrito para ampliar los siguientes vec-tores a una base para 5:

1 D

266664

978

57

377775; 2 D

266664

9

4

1

6

7

377775; 3 D

266664

6

7

85

7

377775

b) Explique por qu funciona en general el mtodo: por qu estn los vectores originales v1,, vk incluidos en la base encontrada para Col A? Por qu es Col A n?

34. [M] Sea B {1, cos t, cos2 t,, cos6 t} y C {1, cos t, cos 2t,, cos 6t}. Suponga las siguientes identidades trigo-nomtricas (vase el ejercicio 37 de la seccin 4.1).

2t D 1C 2 2 t3t D 3 t C 4 3 t4t D 1 8 2 t C 8 4 t5t D 5 t 20 3 t C 16 5 t6t D 1C 18 2 t 48 4 t C 32 6 t

Sea H el subespacio de funciones generado por las funciones en B. Entonces B es una base para H, de acuerdo con el ejerci-cio 38 de la seccin 4.3.

a) Escriba los vectores de B-coordenadas de los vectores en C, y utilcelos para demostrar que C es un conjunto linealmente independiente en H.

b) Explique por qu C es una base para H.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRCTICA

1. Falso. Considere el conjunto {0}.

2. Verdadero. De acuerdo con el teorema del conjunto generador, S contiene una base para V; llammosla base S. As, T contendr ms vectores que S. De acuerdo con el teorema 9, T es linealmente dependiente.

Con la ayuda de los conceptos de espacio vectorial, esta seccin ofrece una perspectiva des-de el interior de una matriz y revela varias relaciones interesantes y tiles, ocultas en sus filas y columnas.

Por ejemplo, imagine que se colocan 2000 nmeros aleatorios en una matriz A de 40 50 y despus se determina el nmero mximo de columnas linealmente independientes de A y el nmero mximo de columnas linealmente independientes de AT (filas de A). De manera sorprendente, los dos nmeros son iguales. Como pronto veremos, su valor comn es el rango de la matriz. Para explicar por qu, necesitamos examinar el subespacio genera-do por las filas de A.

4.6 RANGO

4.6 Rango 231

El espacio filaSi A es una matriz de m n, cada fila de A tiene n entradas y, por lo tanto, se puede identifi-car con un vector en n. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores fila se denomina espacio fila de A y se denota como Fila A. Cada fila tiene n entradas, por lo que Fila A es un subespacio de n. Ya que las filas de A se identifican con las columnas de AT, tambin podramos escribir Col AT en lugar de Fila A.

EJEMPLO 1 Sea

A D

26642 5 8 0 171 3 5 1 53 11 19 7 11 7 13 5 3

3775 y

1 D .2;5; 8; 0;17/2 D .1; 3;5; 1; 5/3 D .3; 11;19; 7; 1/4 D .1; 7;13; 5;3/

El espacio fila de A es el subespacio de 5 generado por {r1, r2, r3, r4}. Es decir, Fila A Gen {r1, r2, r3, r4}. Es natural representar vectores fila de forma horizontal; sin embargo, tambin es posible representarlos como vectores columna si resulta ms conveniente.

Si supiramos algo de las relaciones de dependencia lineal entre las filas de la matriz A del ejemplo 1, podramos usar el teorema del conjunto generador para reducir el tamao del conjunto generador a una base. Por desgracia, las operaciones de fila en A no nos dan esa informacin, porque las operaciones de fila cambian las relaciones de dependencia de filas. Pero la reduccin de filas de A, sin duda vale la pena, como muestra el siguiente teorema!

Si dos matrices A y B son equivalentes por filas, entonces sus espacios fila son iguales. Si B est en forma escalonada, las filas de B diferentes de cero forman una base para el espacio fila de A, as como para el de B.

T E O R E M A 1 3

DEMOSTRACIN Si B se obtiene a partir de A mediante operaciones de fila, las filas de B son combinaciones lineales de las filas de A. De ello se desprende que cualquier combina-cin lineal de las filas de B es automticamente una combinacin lineal de las filas de A. As, el espacio fila de B est contenido en el espacio fila de A. Ya que las operaciones de fila son reversibles, el mismo argumento indica que el espacio fila de A es un subconjunto del espacio fila de B. De manera que los dos espacios fila son iguales. Si B est en forma escalonada, sus filas diferentes de cero son linealmente independientes porque ninguna fila diferente de cero es una combinacin lineal de las filas distintas de cero debajo de esta. (Aplique el teorema 4 para las filas diferentes de cero de B en orden inverso, con la primera fila como la ltima). As, las filas diferentes de cero de B forman una base del espacio fila (comn) de B y A.

El resultado principal de esta seccin implica los tres espacios: Fila A, Col A y Nul A. El siguiente ejemplo prepara el camino para este resultado y muestra cmo una secuencia de operaciones de fila de A conduce a las bases para los tres espacios.

EJEMPLO 2 Encuentre bases para el espacio fila, el espacio columna y el espacio nulo de la matriz

A D

26642 5 8 0 171 3 5 1 53 11 19 7 11 7 13 5 3

3775

232 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

SOLUCIN Para encontrar las bases para el espacio fila y el espacio columna, reduzca A por filas a una forma escalonada:

A B D

26641 3 5 1 50 1 2 2 70 0 0 4 200 0 0 0 0

3775

De acuerdo con el teorema 13, las tres primeras filas de B forman una base para el espacio fila de A (as como para el espacio fila de B). As,

Base para Fila A: {(1, 3, 5, 1, 5), (0, 1, 2, 2, 7), (0, 0, 0, 4, 20)}

Para el espacio columna, observe a partir de B que los pivotes estn en las columnas 1, 2 y 4. Por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de A (no de B) forman una base para Col A:

Base para Col A:

8>=>>;

Considere que cualquier forma escalonada de A proporciona (en sus filas diferentes de cero) una base para Fila A y tambin identifica las columnas pivote de A para Col A. Sin embargo, para Nul A, se necesita la forma escalonada reducida. Otras operaciones de fila sobre B dan como resultado

A B C D

26641 0 1 0 1

0 1 2 0 30 0 0 1 50 0 0 0 0

3775

La ecuacin Ax 0 es equivalente a Cx 0, es decir,

x1 C x3 C x5 D 0x2 2x3 C 3x5 D 0

x4 5x5 D 0

As, x1 x3 x5, x2 2x3 3x5, x4 5x5, con x3 y x5 como variables libres. Los clcu-los usuales (que se analizan en la seccin 4.2) demuestran que

Base para Nul A:

8>>>=>>>>;

Observe que, a diferencia de la base para Col A, las bases para Fila A y Nul A no tienen una relacin sencilla con las propias entradas de A.1

1 Es posible encontrar una base para Fila A que utiliza filas de A. En primer lugar se determina AT, y luego se reduce por filas hasta que se encuentren las columnas pivote de AT. Estas columnas pivote de AT son filas de A, y forman una base para el espacio fila de A.

4.6 Rango 233

Advertencia: A pesar de que las tres primeras filas de B en el ejemplo 2 son linealmente independientes, es errneo concluir que las tres primeras filas de A son linealmente indepen-dientes. (De hecho, la tercera fila de A es la primera fila multiplicada por 2, ms la segunda fila multiplicada por 7). Las operaciones de fila pueden cambiar las relaciones de dependencia lineal entre las filas de una matriz.

El teorema del rangoEl siguiente teorema describe las relaciones fundamentales entre las dimensiones de Col A, Fila A y Nul A.

El rango de A es la dimensin del espacio columna de A.D E F I N I C I N

El teorema del rango

Las dimensiones del espacio columna y del espacio fila de una matriz A de m n son iguales. Esta dimensin comn, el rango de A, tambin es igual al nmero de posiciones pivote en A y satisface la ecuacin

rango A dim Nul A n

T E O R E M A 1 4

WEB

Puesto que Fila A es igual que Col AT, la dimensin del espacio fila de A es el rango de AT. La dimensin del espacio nulo a veces se llama la nulidad de A, aunque no utilizare-mos este trmino.

Tal vez un lector atento ya haya descubierto la totalidad o parte del siguiente teorema, mientras trabajaba con los ejercicios de la seccin 4.5 o al leer el ejemplo 2 anterior.

DEMOSTRACIN De acuerdo con el teorema 6 de la seccin 4.3, rango A es el nmero de columnas pivote de A. De manera equivalente, rango A es el nmero de posiciones pivote en una forma escalonada B de A. Adems, puesto que B tiene una fila diferente de cero para cada pivote, y como estas filas forman una base para el espacio fila de A, el rango de A tambin es la dimensin del espacio fila.

A partir de la seccin 4.5, la dimensin de Nul A es igual al nmero de variables libres en la ecuacin Ax 0. Dicho de otra manera, la dimensin de Nul A es el nmero de columnas de A que no son columnas pivote. (Es el nmero de estas columnas, no las columnas mismas, lo que se relaciona con Nul A). Como es evidente,

nmero de columnas pivote

C

nmero de columnas que no son pivote

D

nmero de columnas

Esto demuestra el teorema.

Las ideas que sustentan el teorema 14 se pueden distinguir en los clculos del ejemplo 2. Las tres posiciones pivote en la forma escalonada B determinan las variables bsicas e iden-tifican los vectores bsicos para Col A y Fila A.

EJEMPLO 3 a) Si A es una matriz de 7 9 con un espacio nulo de dimensin 2, cul es el rango de A?

b) Podra una matriz de 6 9 tener un espacio nulo de dimensin 2?

234 CAPTULO 4 Espacios vectoriales

SOLUCIN

a) Puesto que A tiene 9 columnas, (rango A) 2 9; por lo tanto, rango A 7.

b) No. Si una matriz de 6 9, llammosla B, tuviera un espacio nulo de dimensin 2, tendra rango 7, de acuerdo con el teorema del rango. Sin embargo, las columnas de B son vec-tores en 6, de manera que la dimensin de Col B no puede ser superior a 6; es decir, el rango de B no puede ser mayor que 6.

El siguiente ejemplo proporciona una buena forma de visualizar los subespacios que hemos estudiado. En el captulo 6 se ver que Fila A y Nul A tienen solo el vector cero en comn y, en realidad, son perpendiculares entre s. Este mismo hecho se aplicar a Fila AT ( Col A) y Nul AT. Por lo tanto, la figura 1, que acompaa al ejemplo 4, crea una buena imagen mental para el caso general. (El valor de estudiar AT junto con A se demues-tra en el ejercicio 29).

EJEMPLO 4 Sea A D24 3 0 13 0 14 0 5

35. Se comprueba rpidamente que Nul A es el

eje x2, Fila A es el plano x1x3, Col A es el plano cuya ecuacin es x1 x2 0, y Nul AT es el conjunto de todos los mltiplos de (1, 1, 0). La figura 1 muestra Nul A y Fila A en el dominio de la transformacin lineal x ] Ax; el rango de este mapeo, Col A, se muestra en una copia separada de 3, junto con Nul AT.

A

00

x3

x1

x2x1

x2

x3

3 3

Nul A Nul A

T

Fila A Col A

FIGURA 1 Subespacios determinados por una matriz A.

Aplicaciones para sistemas de ecuacionesEl teorema del rango es una poderosa herramienta para el procesamiento de informacin sobre los sistemas de ecuaciones lineales. El siguiente ejemplo simula la forma como se planteara un problema de la vida real utilizando ecuaciones lineales, sin mencionar explci-tamen