Algebra lineal B sica - WordPress.com · PROPIEDADES (Ejer. 4 Taller3): Sean A,B y C matrices de...
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Matriz DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de n´ umeros reales, llamados componentes o elementos de la matriz, de la forma a 11 a 12 ··· a 1n a 21 a 22 ··· a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 ··· a mn La i -´ esima fila y la j -´ esima columna de la matriz A ( a i 1 a i 2 ··· a in ) y a 1j a 2j . . . a mj Algebra lineal B´ asica
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Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esima fila y la j-esima columna de la matriz A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Algebra lineal Basica
Matriz
DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
La i-esima fila y la j-esima columna de la matriz A
(ai1 ai2 · · · ain
)y
a1ja2j...
amj
Notacion: La matriz A la podemos denotar por[a1 a2 · · · an
]o tambien
por (aij), donde aij es la componente (i , j) de la matriz A, y es unnumero real.
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α.
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
A =
1 0 0 05 2 0 0−2 0 1 0
︸ ︷︷ ︸
matriz triang inf.
B =
1/3 −1 4 10 −1 4 00 0 0 10 0 0 40 0 0 0
︸ ︷︷ ︸
matriz triang sup.
C =
0 0 00 −3 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
matriz triang inf y sup
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Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
D =
−3 0 00 −3 00 0 −3
E =
1 0 00 1 00 0 1
︸ ︷︷ ︸
matrices escalares
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
Algebra lineal Basica
Propiedades Importantes
La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;
La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.
La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.
La matriz escalar esta formada por matrices An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],
Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.
PREG: las siguientes matrices son iguales
C =(−1 3 5
)y
−135
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Suma y Producto por escalar de Matrices
SUMA Sean
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
y B =
b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...
.... . .
...bm1 bm2 · · · bmn
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
......
. . ....
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn
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Suma y Producto por escalar de Matrices
PRODUCTO POR ESCALAR Sea λ ∈ R y
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
. Entonces λA =
λa11 λa12 · · · λa1nλa21 λa22 · · · λa2n...
.... . .
...λam1 λam2 · · · λamn
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
Algebra lineal Basica
Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
PROPIEDADES (Ejer. 4 Taller3): Sean A,B y C matrices de tamanom × n y α, β ∈ R. Entonces
1) A+ B = B + A 2) (A+ B) + C = A+ (B + C )
3) α(A+ B) = αA+ αB 4) (α+ β)A = αA+ βA
5) ∃O : O + A = A+ O = A 6) ∃Z : A+ Z = Z + A = O (Z = −A)
7) (αβ)A = α(βA) = β(αA) 8) αA = O ⇔ α = 0 o A = O
9) 1A = A 10) 0A = O.
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Suma y Producto por escalar de Matrices
EJEM Calcule A+ B y −2A si
A =
(1 2 −5−1 −3 0
)
B =
(−3 2 10 1 −2
)
EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde
A =
0 −63 0−1 3
B =
−2 34 10 −1
Aquı X =
−2 −16 1
−2/3 1
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Producto de Matrices
Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto
AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]
la cual tiene orden m × k .
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Producto de Matrices
EJEM Dadas las matrices A =
1 −23 0−1 5
y B =
(−2 34 1
)
calculemos
AB = [Ab1 Ab2]
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Producto de Matrices
EJEM Sean J y N las matrices que resumen la informacion de las ventasrealizadas por Juliana y Natalia durante 1 mes.
Producto
abc
Juliana
17 3 10 04 5 8 225 15 30 10
Natalia
40 13 17 238 2 5 03 5 0 6
y la comision por articulo vendido esta dada porSemana
1234
Efectivo
12,52027,59,5
Especie
2315
a) Halle el total de las ventas realizadas.b) Si Juliana repite su esquema de ventas por 6 meses, el total de ventasde Juliana por ese periodo.c) La comision devengada por Natalia durante 1 mes.
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Producto de Matrices
OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .
PROPIEDADES (Ejer. 14 y 16 Taller 3)1) (AB)C = A(BC ). 2) A(B + C ) = AB + AC
3) (A+ B)C = AC + BC 4) α(AB) = (αA)B = A(αB)Si A y B son matrices cuadradas y r , s ∈ Z
+
5) ArAs = Ar+s , 6)(Ar )s = Ars
7)(AB)r = ArB r , Si (AB = BA).
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutanEJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
BA =
(1 0−1 0
)(1 10 0
)
=
(1 1−1 −1
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.EJEM
AB =
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .EJEM
(1 10 0
)(1 0−1 0
)
=
(0 00 0
)
=
(1 10 0
)(0 −20 2
)
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COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES
En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan
AB = O no implica que A o B sean la matriz O.
CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .
A2 = I no implica que A = ±I .EJEM (
2 1−3 −2
)(2 1−3 −2
)
=
(1 00 1
)
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
Algebra lineal Basica
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica?
Algebra lineal Basica
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible?
Algebra lineal Basica
Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa?
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Matrices invertibles
No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .
EJEM si A =
(1 −10 0
)
no existe una matriz B =
(a b
c d
)
tal que
AB = I .(1 −10 0
)(a b
c d
)
=
(a− c b − d
0 0
)
6=
(1 00 1
)
DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que
AB = BA = I .
A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1
PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa? Comocalcular una inversa de una matriz?
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
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Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que
AB = BA = I , AC = CA = I
Ahora, observe que
C (AB) = CI
(CA)B = C
IB = C
B = C .
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?.
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion.
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes.
Algebra lineal Basica
Unicidad de la inversa
TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.
Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que
AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].
En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales
Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en
tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices
[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]
y encontrar n pivotes. De ser necesario calcular A−1, aplicamosAlgoritmo Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras a la matrizaumentada conjunta
[A : e1 e2 · · · en] = [A : I ]
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I .
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I . Si tomamos C = A, tenemos
A−1A = I .
Ası que A−1 es invertible y su inversa (que es unica) es A. En otraspalabras, (A−1)−1 := C = A.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que
(λA)C = I . Si tomamos C = 1
λA−1 entonces
C (λA) =( 1
λA−1
)
(λA) =( 1
λλ)
(A−1A) = I
Ası que λA es invertible y (λA)−1 := C = 1λA−1
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I .
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I . Si tomamos C = B−1A−1
entonces
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .
Ası que AB es invertible y (AB)−1 := C = B−1A−1
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
Algebra lineal Basica
Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I .
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Propiedades algebraicas de A−1
TEO (Ejer. 18 Taller 3 probar la igualdad que falta en cada item): SeanA y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N, entonces
1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.
2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.
3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1
4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.
DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I . Si tomamos C = (A−1)m
entonces(Am)(A−1)m = (AA−1)m = Im = I .
Ası que Am es invertible y (Am)−1 := C = (A−1)m
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
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Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.
A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.
Ahora, supongamos que y es otra solucion de Ax = b. Ası, Ay = b y
A−1(Ay) = A−1b
(A−1A)y = A−1b
Iy = x ⇒ y = x
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx+ h es tambien solucion de Ax = b,
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx+ h es tambien solucion de Ax = b, como la solucion es unica, entoncesx = x+ h; por lo tanto, h = 0; es decir, el vector 0 es la unica solucionde Ax = 0.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (3) ⇒ (4) Si Ax = 0 tiene solucion unica, entonces las columnas dela matriz A son l .i . (Pues, recuerde queAx = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0 y aquı xi = 0 )
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (4) ⇒ (5) si las columnas de la matriz A son l .i . entonces todaforma escalonada de A tiene n pivotes.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b;
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b; en particular, los sistemas
Ax1 = e1, Ax1 = e2, Ax3 = e3, Axn = en
tienen solucion. Pero, por definicion, la matriz inversaA−1 = [x1 x2 · · · xn], ası que la inversa de A existe, por tanto A esinvertible.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0,
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0, por lo tanto, existe x 6= 0 tal que ABx = 0,es decir AB no es invertible lo cual no es posible.
Algebra lineal Basica
Equivalencia de la invertibilidad
TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes
1 La matriz A es invertible.
2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.
3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.
4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).
5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.
CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.
DEM (contradiccion) si la matriz B es invertible y la matriz A no,entonces existe y 6= 0 tal que Ay = 0. Sea x = B−1y, como y 6= 0,entonces x 6= 0. Ademas, ABx = AB(B−1y) = Ay = 0 entonces AB noes invertible, lo cual no es posible.
Algebra lineal Basica
Transposicion de Matrices
Algebra lineal Basica
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
Algebra lineal Basica
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
Algebra lineal Basica
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
OBS:
u · v =
u1u2...un
·
v1v2...vn
= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
=(u1 u2 · · · un
)
v1v2...vn
= uTv
Algebra lineal Basica
Transposicion de Matrices
DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT
como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).
EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices
A =
(1 3 −1
−2 0 5
)
, B =
(1 −2 3
3 0 −1
−1 5 7
)
, C =
(2
3
−5
)
, D = (3 −1 0)
OBS: eTi Aej = aij . Ejer. 21 Taller 3
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4)
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p.
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,
de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .
((AB)T )ij = (AB)ji
= Filaj(A) · Columi (B) = Columj(AT ) · Filai (B
T )
= Filai (BT ) · Columj(A
T )
= (BTAT )ij .
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
Algebra lineal Basica
TEO: (Ejer 24 Taller 3) Sean A y B matrices tales que las operacionesindicadas estan bien definidas y λ es un numero real (escalar). Entonces,
1 (AT )T = A.
2 (A+ B)T = AT + BT .
3 (λA)T = λAT .
4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)
5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .
DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que A−1A = I .Ahora, por la Propiedad 4,
AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .
Ası, que AT es invertible y su inversa es (AT )−1 = (A−1)T .
Algebra lineal Basica
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
Algebra lineal Basica
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
Algebra lineal Basica
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?.
Algebra lineal Basica
DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,
A = AT
EJEM Determine cuales son matrices simetricas
(1 −3
−3 0
)
,
(1 0 0
0 1/2 0
0 0 −7
)
,
(0 1 4
−1 1 −2
−4 2 5
)
,
(0 −1 4 −7
−1 1 −2 0
−4 −2 5 0, 5
)
PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?. SI, pues
(AAT )T = (AT )TAT = AAT
.
Algebra lineal Basica
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Algebra lineal Basica
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
Algebra lineal Basica
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
Algebra lineal Basica
Matrices Elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
cF2 → F2 F2 + cF1 → F2 F1 ↔ F3
Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.
DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .
EJEM
E1 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E2 =
(1 0
−3 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1 =
(0 1
1 0
)
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2 =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)
Algebra lineal Basica
Propiedades de las matrices
Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.
EJEM Sea
A =
(0 0 2
3 −1 0
)
, F1 ↔ F2 A1 =
(3 −1 0
0 0 2
)
Pre-multipliquemos la matriz A por E1
E1A =
(0 1
1 0
)(0 0 2
3 −1 0
)
=
(3 −1 0
0 0 2
)
= A1
B =
(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
, F3 + 2F2 → F3 B1 =
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
Pre-multipliquemos la matriz B por E1
E2A =
(1 0 0
0 1 0
0 2 1
)(1 2 −1
0 −1 1
0 2 5
)
=
(1 2 −1
0 −1 1
0 0 7
)
= B1
Algebra lineal Basica
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
Algebra lineal Basica
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Algebra lineal Basica
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
Algebra lineal Basica
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
Ejer. 29 Taller 3
Escalonamiento Eliminacion Permutacion
E cFi → Fi Fi + cFj → Fi Fi ↔ Fj
E−1 1cFi → Fi Fi − cFj → Fi Fj ↔ Fi
Algebra lineal Basica
Inversas de matrices elementales
¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.
E1 =
(1 0
−3 1
)
, E2 =
(1 0 0
0 5 0
0 0 1
)
, E3 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
E−11 =
(1 0
3 1
)
, E−12 =
(1 0 0
0 1/5 0
0 0 1
)
, E−13 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
= E3
OBS: En general el producto de matrices elementales no esconmutativo. Pero si multiplico matrices elementales de tipo eliminacionsi se cumple la propiedad conmutativa.
Algebra lineal Basica
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
Algebra lineal Basica
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Algebra lineal Basica
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
Ası que, la matriz A cuando aplicamos eliminacion de Gauss esequivalente
1 0 0
0 1 0
0 −23
1
︸ ︷︷ ︸
E2
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
︸ ︷︷ ︸
E1
1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
︸ ︷︷ ︸
A
=
1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
︸ ︷︷ ︸
U
Algebra lineal Basica
Escalonar con matrices elementales
EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que
Ek . . .E1 A = U.
A =
(1 −1 2 3
1 2 −1 −3
0 2 −2 1
)
,F2 − F1 → F2
F3 −2
3F2 → F3
U =
(1 −1 2 3
0 3 −3 −6
0 0 0 5
)
y si aplicamos eliminacion Gauss-Jordan la matriz A (no invertible) esequivalente
(E7E6E5E4)(E3E2E1)A =
1 0 1 00 1 −1 00 0 0 1
a una matriz U cuyas columnas pivotales (primera, segunda y cuarta) sonprecisamente e1, e2 y e3.Ejer: Halle explıcitamente E4,E5,E6,E7
Algebra lineal Basica
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
Algebra lineal Basica
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss+Jordan)=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
Algebra lineal Basica
Caracterizacion de la inversa en termino de matrices
elementales
TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.
DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss+Jordan)=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que
Ek · · ·E2E1A = I ⇔ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k I
⇐ si A = E1E2 · · ·Er entonces A es invertible pues el producto dematrices invertibles
Algebra lineal Basica
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss con solo operaciones elementales de tipoeliminacion a una matriz A logramos encontrar matrices elementales Ei
tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
Algebra lineal Basica
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss con solo operaciones elementales de tipoeliminacion a una matriz A logramos encontrar matrices elementales Ei
tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.
Si A = LU, el sistema Ax = b se convierte en
b = Ax = LUx = L(Ux) = Ly,
donde Ux = y por lo tanto, para calcular x, primero resolvemos Ly = b ya continuacion resolvemos Ux = y.
Algebra lineal Basica
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss con solo operaciones elementales de tipoeliminacion a una matriz A logramos encontrar matrices elementales Ei
tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.OBS1: L no requiere calculos adicionales como parece hacer ver laformula que la define. L es muy facil de obtener ya que el producto dematrices elementales de tipo eliminacion es una superposicion deescalares sobre una matriz identidad.
Algebra lineal Basica
Factorizacion LU y su utilidad
Aplicando Eliminacion de Gauss con solo operaciones elementales de tipoeliminacion a una matriz A logramos encontrar matrices elementales Ei
tal que
Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1
2 · · ·E−1k
︸ ︷︷ ︸
L
U = LU,
donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1
k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.OBS1: L no requiere calculos adicionales como parece hacer ver laformula que la define. L es muy facil de obtener ya que el producto dematrices elementales de tipo eliminacion es una superposicion deescalares sobre una matriz identidad.OBS2: si en la eliminacion de Gauss se utilizan operaciones de tipopermutacion se obtiene otro tipo de factorizacion conocida como PLU
esto es, PA = LU, donde P es una matriz permutacion, L una matriztriangular inferior y U es una triangular superior.
Algebra lineal Basica
Utilidad de LU
EJEM Sea A =
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
Algebra lineal Basica
Utilidad de LU
EJEM Sea A =
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(6 −3 0 3
0 0 8 0
0 0 0 1
)
Algebra lineal Basica
Utilidad de LU
EJEM Sea A =
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(6 −3 0 3
0 0 8 0
0 0 0 1
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Algebra lineal Basica
Utilidad de LU
EJEM Sea A =
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(6 −3 0 3
0 0 8 0
0 0 0 1
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
Algebra lineal Basica
Utilidad de LU
EJEM Sea A =
6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3
y b =
−88−5
Encontremos la
factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.
SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F3 −23F1 → F3
F3 +34F2 → F3
U =
(6 −3 0 3
0 0 8 0
0 0 0 1
)
Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son
E1 =
(1 0 0
1 1 0
0 0 1
)
E2 =
(1 0 0
0 1 0
−2/3 0 1
)
E3 =
(1 0 0
0 1 0
0 3/4 1
)
Por tanto L = E−11 E−1
2 E−13 , es decir,
L =
(1 0 0
−1 1 0
0 0 1
)(1 0 0
0 1 0
2/3 0 1
)(1 0 0
0 1 0
0 −3/4 1
)
=
(1 0 0
−1 1 0
2/3 −3/4 1
)
Ahora, resolvemos Ly = b mediante sustitucion hacia adelanteAlgebra lineal Basica
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T .
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 t
t
013
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 t
t
013
OBS: La ventaja de la factorizacion LU no la apreciamos hasta quenecesitamos resolver un sistema de ecuaciones lineales despues de haberresuelto otro que esta relacionado con el. Por ejemplo, el metodo simplexque se utiliza para resolver problemas de programacion a veces necesitaresolver primero Ax = b y despues ATx = b. En el siguiente ejerciciopodremos visualizar la ventaja de la descomposicion LU.
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8 0 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.
6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3
Sol =
− 32 + 1
2 t
t
013
EJEM Encontremos dos vectores x e z de R4 tales que Ax = b y
zTA = cT , donde
A =
2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8
, b =
−5102113
, c =
2−415
Observe que zTA = cT equivale a AT z = c, Luego tenemos que resolverdos sistemas, Ax = b y AT z = c
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales
F2 +1
2F1 → F2
F3 −3
2F1 → F3
F4 −5
3F2 → F4
F4 + 3F3 → F4
[V |r ] =
2 −2 0 4 2
0 3 9 −3 −3
0 0 −1 −5 −2
0 0 0 −2 4
z =
−34−3912−2
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5 5 6 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistema Ux = y,para obtener que x = (2 0 − 3 1)T .
Algebra lineal Basica
Utilidad LU
(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales
F2 + F1 → F2
F4 − 2F1 → F4
F3 − 3F2 → F3
F4 + F2 → F4
F4 − 5F3 → F4
[U|y ] =
2 −1 3 0 −5
0 3 0 5 5
0 0 −1 3 6
0 0 0 −2 −2
x =
20−31
A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que
L = E−11 E−1
2 E−13 E−1
4 E−15 =
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 3 1 0
2 −1 5 1
Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5 5 6 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistema Ux = y,para obtener que x = (2 0 − 3 1)T .
Como AT = UTLT , entonces AT z = UT (LT z) = UTw = c usando SustAdel tenemos w = (1 − 1 2 − 2)T y, mediante Sust Atras, el sistemaLT z = w, para obtener que z = (−34 − 39 12 − 2)T .
Algebra lineal Basica
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
Algebra lineal Basica
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
,
Algebra lineal Basica
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
Algebra lineal Basica
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
Algebra lineal Basica
Determinantes
DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.
EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
, SOL M23 =
(1 11 −1
)
M32 =
(1 12 1
)
DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como
Aij = (−1)i+jdetMij .
DEF Sea An×n = (aij). Definimos el determinante de una matriz A como
det (A) = a11detM11 − a12detM12 + · · ·+ (−1)1+na1ndetM1n
= a11A11 + a12A12 + · · ·+ (−1)1+na1nA1n
Algebra lineal Basica
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fila i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
Algebra lineal Basica
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fila i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
Algebra lineal Basica
Determinantes
Desarrollo o Expansion de Laplace
TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,
detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fila i
detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j
CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT
EJEM Calculemos el determinante de
A =
1 1 12 3 11 −1 −2
y B =
1 0 0 02 3 0 01 −1 −2 07 1/2 4 −1
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple
detA(2) =a 0c d
= ad − 0c = ad .
(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,
detAn−1 =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1
= a11a22 · · · an−1 n−1.
Veamos es cierto para A(n).
detA(n) =
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11
a21 0 · · · 0
a31 a32 · · · 0
.
.
....
. . ....
an1 an2 · · · ann
= a11(a22 · · · ann)
Algebra lineal Basica
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
DEM: Sea la Fi = (0, 0, . . . , 0), Calculemos el detA usando la Fi
detA = 0Ai1 + 0Ai2 + · · ·+ 0Ain = 0
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
det (A(2)) =a b
c d= ad − bc det (B(2)) =
c d
a b= −(ad − bc)
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
det (A(2)) =a b
c d= ad − bc det (B(2)) =
c d
a b= −(ad − bc)
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
det (A(2)) =a b
c d= ad − bc det (B(2)) =
c d
a b= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
det (A(2)) =a b
c d= ad − bc det (B(2)) =
c d
a b= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple
det (A(2)) =a b
c d= ad − bc det (B(2)) =
c d
a b= −(ad − bc)
(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).
Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)
detA = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn
= br1(−Br1) + br2(−Br2) + · · ·+ brn(−Brn)
= −[br1Br1 + br2Br2 + · · ·+ brnBrn]
= −detB ,
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
DEM: Supongamos que las filas i y j son iguales. Sea B la matriz A
con las filas i y j intercambiadas Entonces,
detA = −detB = −detA, ⇒ 2detA = 0
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ. Ahora, calculamos el detA usando la Filai
detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin
= λai1Ai1 + λai2Ai2 + · · ·+ λainAin
= λ(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin)
= λdetA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
detC = ci1Ci1 + ci2Ci2 + · · ·+ cinCin
= (ai1 + bi1)Ci1 + (ai2 + bi2)Ci2 + · · ·+ (ain + bin)Cin
= ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin + bi1Ci1 + bi2Ci2 + · · ·+ binCin
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin + bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin
= detA+ detB
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.
Algebra lineal Basica
TEO Dada A, una matriz n × n,
1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.
2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.
3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.
4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.
5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .
6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.
detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin
= (ai1 + λaj1)Bi1 + (ai2 + λaj2)Bi2 + · · ·+ (ain + λajn)Bin
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin + λ(aj1Ai1 + aj2Ai2 + · · ·+ ajnAin)
= detA+ λ0 = detA
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea E una matriz elemental n × n.
Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.
CORO Sean E y A matrices de igual tamano, donde E es una matrizelemental. Entonces
det (EA) = (detE )(detA).
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss utilizando solo operaciones elementales de tipo eliminacion ypermutacion. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss utilizando solo operaciones elementales de tipo eliminacion ypermutacion. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss utilizando solo operaciones elementales de tipo eliminacion ypermutacion. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matrices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss utilizando solo operaciones elementales de tipo eliminacion ypermutacion. Entonces,
detA = (−1)pu11u22 . . . unn,
donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.
DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,
U = Ek . . .E2E1A,
⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)
detEi = −1 para las p matrices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales. Como U es una matriztriangular superior
detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Algebra lineal Basica
Propiedades importantesEJEM
A =
0 6 −1 −5
−3 2 3 0
−6 −5 3 8
−6 4 0 2
F1 ↔ F4
F2 −12F1 → F2
F3 − F1 → F3
F2 ↔ F3
F4 +23F2 → F4
F4 −13F3 → F4
U =
−6 4 0 2
0 −9 3 6
0 0 3 −1
0 0 0 −2/3
Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
1 det (αA) = αndetA.2 det (AB) = detA detB .3 det (Am) = (detA)m, m ∈ N.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
1 det (αA) = αndetA.2 det (AB) = detA detB .3 det (Am) = (detA)m, m ∈ N.
DEM: (2) Caso A no invertible. Entonces AB no es invertible por endedetA = 0 y detAB = 0 ası que det (AB) = detA detB .Caso A invertible. Existen matrices elementales E1,E2, · · · ,Ek tales que
Ek · · ·E2E1 = A,
por tanto, det (AB) = det ((Ek · · ·E2E1)B) = det (Ek(· · · (E2(E1B)))) =(detEk) · · · (detE2)(detB) = detAdetB
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
1 det (αA) = αndetA.2 det (AB) = detA detB .3 det (Am) = (detA)m, m ∈ N.
DEM: (3) Induccion sobre m. Caso particular m = 2,
det (A2) = det (AA) = detA detA = (detA)2.
Suponemos que el resultado es valido para m − 1,
det (Am−1) = (detA)m−1.
Entonces
det (Am)=det (AAm−1)=detAdet (Am−1)=detA(detA)m−1=(detA)m.
Algebra lineal Basica
Propiedades importantes
CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.
TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces
1 det (αA) = αndetA.2 det (AB) = detA detB .3 det (Am) = (detA)m, m ∈ N.
OBS: Aunque AB 6= BA tenemos det (AB) = det (BA). Perodet (A+ B) 6= detA+ detB .
Algebra lineal Basica
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) =1
detA
Algebra lineal Basica
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) =1
detA
AA−1 = I entonces det (A)det (A−1) = 1
Algebra lineal Basica
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) =1
detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
Algebra lineal Basica
Adjunta de A
CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) =1
detA
EJEM: Dadas las matrices A =
−1 0 10 2 13 0 0
y B =
2 0 01 0 −20 3 1
calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).
DEF: Dada A(n), definimos la matriz de cofactores de A como la matrizcuya componente (i , j) es el cofactor Aij y definimos adj(A), la matrizadjunta de A, como la transpuesta de la matriz de cofactores.
Cof (A) =
A11 A12 · · · A1n
A21 A22 · · · A2n
.
.
....
. . ....
An1 An2 · · · Ann
adj(A) =
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
.
.
....
. . ....
A1n A2n · · · Ann
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
DEM:
A adj(A) =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
......
. . ....
A1n A2n · · · Ann
La componente (i , j) es
Cij = Filai (A)Columj (adj(A)) = (ai1 ai2 · · · ain)
Aj1
Aj2
...Ajn
. Este producto
es el desarrollo por cofactores del determinante de la matriz A′ que seobtiene de A al reemplazar la fila j por la fila i . Cuando i 6= j , A′ tienedos filas iguales entonces det (A′) = 0 por tanto Cij = 0. Cuando i = j ,Cij = det (A′) = det (A).
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
DEM: Si A es una matriz invertible, detA 6= 0; por lo tanto, usando laspropiedades del producto de matrices y el teorema anterior, tenemos
A( 1
detAadj(A)
)
=1
detA(A adj(A)) =
1
detA(detA)I = I .
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz
A =
−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1
SOL: Sea A−1 = (αij), entonces α32 =A23
|A|=
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
DEM: Observe que
A adj(A) = (detA)I , ⇒ det (A) det[adj(A)
]= (detA)n.
Si det (A) 6= 0 es claro que det(adj(A)
)= (detA)n−1 y si det (A) = 0
entonces Adj(A) no es invertible.Ejer. 48 Taller 3
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
Algebra lineal Basica
Propiedades de la Adjunta
TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A adj(A) = (detA)I = adj(A)A
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces
A−1 =1
(detA)adj(A)
CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)
)= (detA)n−1
EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =
−2 0 1 0
0 −1 0 −2
4 0 −7 −1
0 3 0 1
Como
detA = 50 y A4×4 ⇒ det (adj(A)) = 503
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