Algebra Lineal 8va Edicion - Bernard Kolman David R. Hill 22-29

8/17/2019 Algebra Lineal 8va Edicion - Bernard Kolman David R. Hill 22-29

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DEFINICIÓN El producto punto o producto interior de los n-vectores a y b es la suma de los pro-ductos de las entradas correspondientes. En consecuencia, si

entonces

(1)

De manera similar, si a o b (o ambas) son n-vectores escritos como una matriz de 1 × n,el producto punto a · b está dado por (1). El producto punto de los vectores en C n sedefine en el apéndice A.2.

El producto punto es una operación importante que usaremos tanto en ésta comoen secciones posteriores.

EJEMPLO 1 El producto punto de

es

u · v = (1)(2) + (− 2)(3) + (3)( − 2) + (4)(1) = − 6. ■

EJEMPLO 2 Sean a = [ x 2 3 ] y Si a · b = − 4, determine x .

Solución Tenemosa · b = 4 x + 2 + 6 = − 4

4 x + 8 = − 4 x = − 3. ■

EJEMPLO 3 (Aplicación: cálculo de la calificación promedio de un curso) Suponga que un pro-fesor utiliza cuatro notas para determinar la calificación promedio que obtiene un estu-diante en un curso: cuestionarios, dos exámenes de una hora y un examen final. Cadauna de estas notas tiene una ponderación de 10, 30, 30 y 30%, respectivamente. Si lascalificaciones de un estudiante son, en cada rubro, 78, 84, 62 y 85, podemos calcular elpromedio del curso haciendo

y calculando

w · g = (0.10)(78) + (0.30)(84) + (0.30)(62) + (0.30)(85) = 77.1.

Así, el promedio del curso del estudiante es 77.1. ■

w =

0.100.300.300.30

y g =

78846285

b =412

.

u =

1− 2

34

y v =

23

− 21

a · b = a 1b1 + a 2b2 + · · · + a n bn =n

i = 1

a i bi .*

a =

a 1

a 2...a n

y b =

b1

b2...bn

,

22 Capítulo 1 Ecuaciones lineales y matrices

*Tal vez ya esté familiarizado con esta útil notación, la notación de suma. De cualquier manera, la analizare-mos con detalle al final de esta sección.


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EJEMPLO 5 Sean

Calcule la entrada (3, 2) de AB.

Solución Si AB = C , la entrada (3, 2) de AB es c32, que es fil 3( A) · col 2( B). Ahora tenemos

EJEMPLO 6 El sistema lineal

puede escribirse (verifíquelo) por medio del producto de matrices como

EJEMPLO 7 Sean

Si determine x y y.

Solución Tenemos

Entonces2 + 4 x + 3 y = 12

y = 6,

por lo que x = − 2 y y = 6. ■

Las propiedades básicas de la multiplicación de matrices se estudiarán en la sec-ción siguiente. Por lo pronto, diremos que la multiplicación de matrices requiere mu-cho más cuidado que la suma, ya que las propiedades algebraicas de la multiplicaciónde matrices difieren de las que satisfacen los números reales. Parte del problema se de-be al hecho de que AB se define sólo cuando el número de columnas de A es igual alnúmero de filas de B. En consecuencia, si A es una matriz de m × p y B es una matrizde p × n, AB es una matriz de m × n. ¿Qué ocurre con BA? Pueden suceder cuatro si-tuaciones diferentes:

1. Es posible que BA no esté definido; esto pasará si n m.2. Si BA está definida, lo que significa que m = n, entonces BA es de p × p , mientras

que AB es de m × m; de esta manera, si m p , AB y BA son de tamaños diferentes.

AB =1 x 32 − 1 1

24 y

=2 + 4 x + 3 y

4 − 4 + y =

126

.

AB =12

6 ,

A =1 x 32 − 1 1 y B

=24 y

.

1 2 − 13 0 4

x y z

=25

.

x + 2 y − z = 23 x + 4 z = 5

fil 3( A) · col 2( B ) = 0 1 − 2 ·4

− 12

= − 5.

A =1 − 2 34 2 10 1 − 2

y B =1 43 − 1

− 2 2.


■

■


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3. Si AB y BA son del mismo tamaño, pueden ser iguales.4. Si AB y BA son del mismo tamaño, pueden ser diferentes.

EJEMPLO 8 Si A es una matriz de 2 × 3 y B es una matriz de 3 × 4, AB es una matriz de 2 × 4,mientras que BA no está definida. ■

EJEMPLO 9 Sean A de 2 × 3 y B de 3 × 2. Entonces AB es de 2 × 2, mientras que BA es de3 × 3. ■

EJEMPLO 10 Sean

Entonces

En consecuencia, AB BA. ■

Uno se preguntaría por qué la igualdad y la suma de matrices se definen de mane-ra natural, mientras que la multiplicación de matrices parece mucho más complicada.El ejemplo 11 nos proporciona una idea al respecto.

EJEMPLO 11 (Ecología) Una siembra se rocía con pesticidas para eliminar insectos dañinos; sin em-bargo, las plantas absorben parte de las sustancias. Luego, los animales herbívoros dela zona comen las plantas contaminadas y absorben los pesticidas. Para determinar lacantidad de pesticida absorbida por uno de esos animales, procedemos de la manera si-guiente. Suponga que tenemos tres pesticidas y cuatro plantas. Sea a ij la cantidad depesticida i (en miligramos) absorbida por la planta j. Esta información puede represen-tarse mediante la matriz

Imagine ahora, que tenemos tres animales herbívoros, y sea bij la cantidad de plantasdel tipo i que uno de ellos, de tipo j, come mensualmente. La información puede repre-sentarse mediante la matriz

La entrada ( i, j ) de AB proporciona la cantidad de pesticida del tipo i que ha absorbidoel animal j. En consecuencia, si i = 2 y j = 3, la entrada (2, 3) de AB es

3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20)= 174 mg de pesticida, 2 absorbidos por el herbívoro 3.

Ahora bien, si tuviéramos p animales carnívoros (como el hombre) que se comen a losherbívoros, podríamos repetir el análisis para determinar cuánto pesticida absorbe cadauno. ■

B =

Herbí voro 1 Herbí voro 2 Herbí voro3

20 12 828 15 1530 12 1040 16 20

Planta 1Planta 2Planta 3Planta 4

A =

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42 3 4 33 2 2 54 1 6 4

Pesticida 1Pesticida 2Pesticida 3

AB =2 3

− 2 2 mientras q ue B A=

1 7− 1 3

.

A =1 2

− 1 3 y B =

2 10 1

.

Sec. 1.3 Producto punto y multiplicación de matrices 25


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A veces es útil poder determinar una columna en el producto matricial AB sin te-ner que multiplicar las dos matrices. Puede demostrarse (ejercicio T.9) que la j-ésimacolumna del producto matricial AB es igual al producto matricial Acol j(B) .

EJEMPLO 12 Sean

Entonces, la segunda columna de AB es

Observación Si u y v son n-vectores, puede demostrarse (ejercicio T.14) que si los consideramoscomo matrices de n × 1,

u·

v = uT

v.

Esta observación nos servirá en el capítulo 3. De manera similar, si u y v se consideranmatrices de 1 × n, entonces

u · v = uv T .

Por último, si u es una matriz de 1 × n y v es una matriz de n × 1, u · v = uv .

EJEMPLO 13 Sean Entonces

u · v = 1(2) + 2(− 1) + (− 3)(1) = − 3.

Además,

EL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR ESCRITO EN TÉRMINOSDE COLUMNAS

Sea

una matriz de m × n, y sea

c =

c1c2...

cn

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

..

....

..

.am1 am2 · · · amn

u T v = 1 2 − 32

− 11

= 1(2) + 2(− 1) + (− 3)(1) + − 3.

u =12

− 3y v =

2− 1

1.

Acol 2( B) =1 23 4

− 1 5

32

=7

177

.

A =1 23 4

− 1 5 y B =

− 2 3 43 2 1 .


■

■


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un n-vector, es decir una matriz de n × 1. Como A es de m × n y c es de n × 1 , el pro-ducto matricial Ac es la matriz de m × 1

El lado derecho de esta expresión puede escribirse como

= c1col 1( A) + c2col 2( A) + · · · + cncol n( A).

En consecuencia, el producto A c de una matriz A de m × n y una matriz c de n × 1 pue-de escribirse como una combinación lineal de las columnas de A, en las que los coefi-cientes son las entradas en c.

EJEMPLO 14 Sean

Entonces, el producto Ac escrito como una comunicación lineal de las columnas de A es

Si A es una matriz de m × p y B es una matriz de p × n, podemos concluir que la j-ésima columna del producto AB se puede escribir como una combinación lineal de lascolumnas de la matriz A, en la que los coeficientes son las entradas en la j-ésima co-lumna de la matriz B:

col j (AB) = Acol j ( B) = b1 j col 1( A) + b2 j col 2( A) + · · · + b p j col p ( A).

EJEMPLO 15 Si A y B son las matrices definidas en el ejemplo 12, entonces

AB =1 23 4

− 1 5

− 2 3 43 2 1

=4 7 66 17 16

17 7 1.

c = 2 − 1 − 3

4 2 − 2

2− 3

4= 2

24

− 3 − 1

2 + 4

− 3− 2

= − 5

− 6 .

A = 2 − 1 − 3

4 2 − 2 y c =

2− 3

4

.

c1

a 11a 21

...am1

+ c2

a12a22

...a m2

+ · · · + cn

a1na2n

...a mn

Ac =

a11

a12

· · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

c1c2...

cn

=

renglón1( A) · c

renglón 2( A) · c...

renglón m ( A) · c

=

a 11 c1 + a 12 c2 + · · · + a1n cna 21 c1 + a 22 c2 + · · · + a2n cn

...am1c1 + am2c2 + · · · + amn cn

.


(3)

(4)

■


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Las columnas de AB como combinaciones lineales de las columnas de A están dadas por

SISTEMAS LINEALESA continuación generalizaremos el ejemplo 6. Consideremos el sistema lineal de mecuaciones en n incógnitas,

Ahora definamos las siguientes matrices:

Entonces

Las entradas en el producto Ax son sólo los lados izquierdos de las ecuaciones en(5). Por lo tanto, el sistema lineal (5) puede escribirse en forma matricial como

Ax = b .

La matriz A es la matriz de coeficientes del sistema lineal (5), y la matriz

obtenida al agregar la columna b a A, se denomina matriz aumentada del sistema li-neal (5). La matriz aumentada de (5) se escribe como Recíprocamente, cual-quier matriz con más de una columna puede considerarse la matriz aumentada de unsistema lineal. La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen una función esen-cial en nuestro método de solución de sistemas lineales.

A b .

a 11 a 12 · · · a 1n b1a 21 a 22 · · · a 2n b2

..

....

..

....

a m 1 a m 2 · · · a mn bm

,

Ax =

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n

......

...a m 1 a m 2 · · · a mn

x 1 x 2

... x n

=

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x na 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n

......

...a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + · · · + a mn x n

.

A =

a 11 a 12 · · · a 1na 21 a 22 · · · a 2n

......

...a m 1 a m 2 · · · a mn

, x =

x 1 x 2

... x n

, b =

b1b2...

bm

.

a

11 x 1 + a

12 x 2 + · · · + a

1n

x n =

b1a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b2

......

......

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + · · · + a mn x n = bm .

col 1( AB ) =46

17

= Acol 1( B ) = − 213

− 1

+ 324

5

col 2( AB ) =7

177

= Acol 2( B ) = 313

− 1+ 2

245

col 3( AB ) =6

161

= Acol 3( B ) = 413

− 1+ 1

245

.


(5)

■


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EJEMPLO 16 Considere el sistema lineal

Si hacemos

podemos escribir el sistema lineal dado en forma matricial, como

Ax = b .

La matriz de coeficientes es A y la matriz aumentada es

EJEMPLO 17 La matriz

es la matriz aumentada del sistema lineal

Con base en el análisis anterior, se desprende que el sistema lineal en (5) puede es-cribirse como una combinación lineal de las columnas de A, como

Recíprocamente, una ecuación las de (6) siempre describe un sistema lineal como en (5).

PARTICIÓN DE MATRICES (OPCIONAL)Si comenzamos con una matriz A = [ a ij] de m × n, y eliminamos algunas filas (renglo-nes) o columnas (pero no todos), obtenemos una submatriz de A.

EJEMPLO 18 Sea

Si eliminamos la segunda fila y la tercera columna, obtenemos la submatriz

1 2 43 0 − 3 .

A =1 2 3 4

− 2 4 − 3 53 0 5 − 3

.

x 1

a 11a 21

...am1

= x 2

a12a22

...a m2

+ · · · + x n

a1na2n

...amn

=

b1b2...

bm

.

2 x − y + 3z = 43 x + 2z = 5.

,2 − 1 3 43 0 2 5

− 2 0 1 52 3 − 4 73 2 2 3

.

A =− 2 0 1

2 3 − 43 2 2

, x = x yz

y b =573

,

− 2 x + z = 52 x + 3 y − 4z = 7

3 x + 2 y + 2z = 3.


■

■

(6)

■

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