Algebra lineal
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1. Igualdad de matrices Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5. 2. Clasificación de matrices Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna Matriz rectangular
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1. Igualdad de matrices
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales
Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.
2. Clasificación de matrices
Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz regular
Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular
Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Matriz idempotente
Una matriz, A, es idempotente si:
A2 = A.
Matriz involutiva
Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si verifica que:
A·At = I.
3. Propiedades de producto
El producto de matrices es asociativo
Dadas tres matrices Amxn , Bnxp y Cpxq entonces A·(B·C)=(A·B)·C .
El producto de matrices NO es conmutativo
Dadas dos matrices Amxn y Bnxm A·B ≠ B·A. Por lo general el producto de matrices no es conmutativo, de hecho puede ocurrir que se pueda hacer A·B y que no sea posible realizar B·A debido a la dimensión de las matrices. E incluso pudiendo hacerse el producto la dimensión de la matriz resultante no ser la misma. En las matrices Amxn y Bnxm A·B es una matriz de dimensión mxm mientras que si hacemos B·A la dimensión de la matriz resultante es nxn.
Elemento neutro
Dada una matriz A ¿Existe alguna matriz tal que al multiplicarse por A se tengo por resultado A?En ciertas condiciones eso es posible y a la matriz que cumple con esa condición se le llama matriz identidad.
Hay divisores de cero
Dadas dos matrices no nulas su producto puede ser la matriz nula A≠0 , B ≠ 0 y A·B = 0
4. Matriz diagonal escalada
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
5. Propiedad de la matriz transpuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
6. Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
7. Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
8. Matriz antisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.
9. Matriz conjugada
Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz A por sus conjugadas. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo.
10.Matriz triangular
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
