Algebra Itp1

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Instituto Superior del Profesorado Joaquín V. González. Profesorado de Matemática Álgebra I – Turno Mañana

Año 2012

Profesoras: Loiacono - Tajeyan 1

Trabajo Práctico Nº 1 - Unidad Nº 1

“Lógica Matemática”Ejercicio 1:

Analizar si las siguientes expresiones son proposiciones o no. Justifique su respuesta

a. ¿Fue él el asesino?

b. Pablo fue al cine con Marta y con María.

c. Por favor, atienda el teléfono si suena más de dos veces.

d. El agua hierve a los 90º centígrados.

e. No se sabe quién mató a Kennedy.

f. El 8 es un número par enotnces no es un número primo.

g. Mirá lo que trajo de las vacaciones.h. ¡Podés decirle que se calle!

i. ¿Cómo te llamás?

j. La luna no está hecha de queso verde.

k. No entiendo como hizo para llegar a ese puesto.

Ejercicio 2:

Siendo p: Brasil está ubicado al sur de Chile.

q: Las Malvinas son argentinas

r: España y Rusia son países limítrofes.Expresar simbólicamente las siguientes proposiciones y dar el valor de verdad de cada

una.

a) Si Brasil está ubicado al sur de Chile, entonces las Malvinas son

argentinas.

b) España y Rusia son países limítrofes si y sólo si Brasil está ubicado al

sur de Chile.

c) Si las Malvinas son argentinas, entonces España y Rusia son países

limítrofes y Brasil está ubicado al sur de Chile.

d) España y Rusia son países limítrofes o Brasil está ubicado al sur de

Chile.e) Las Malvinas son argentinas pero Brasil no está ubicado al sur de Chile.

Ejercicio 3:

Siendo p: los precios son bajos y q: los precios no suben, escribir en lenguaje coloquial

las expresiones simbólicas siguientes:

a) ~ q

b) p ^ q

c) p^ ~ q

d) ~ p^~ q

e) ~ ( p v ~ q)




Año 2012

Ejercicio 4:

Hallar las tablas de verdad de las siguientes proposiciones y clasificarlas

( ) pq p ⇒∧ a) ( ) r q p ⇒∧ b) ( ) ( )q pq p ∼∧∼∧∨ c)

d) ( ) qq p p ⇒⇒∧

e) ( )[ ] pq p ⇒∧~

( ) ( ) ( )r pq pr q p ∧∨∧⇔∨∧ f) g) pqq p ∨⇔∨

h) p p p ⇔∧

( )⇔∨ q p ~ ~ q i) ~ ∨ p

( ) pqq p ∧⇔∧ j) ~

Ejercicio 5:


Se define como la conjunción negativa, es decir, p q se lee “ni p ni q”.

q.a) Construir la tabla de verdad de p

b) Pruebe que:

i) ~ p p p

ii) p v q (p q) (p q)

iii) (p q) ~ (p q) (p q)

Ejercicio 6:

Dadas las proposiciones q p yq p ⇔⇒ determine por tabla de verdad que se puede

decir de las proposiciones compuestas si se sabe que V(q)=V

Ejercicio 7:

Si V(p)=F, ¿qué se puede decir de las siguientes proposiciones?

a) p p ⇒

b) p p ∨ c) ( ) )( p p p ∼∼∨⇒

d) ( ) ( ) p p p p ∼∧∼⇒∨

Ejercicio 8:

Si es falsa, ¿qué valor de verdad tienen cada una de las siguientes proposiciones?q p ⇒

q pc

r q pb

q pa

∧

⇒⇒

∨

)

)()

)




Año 2012

Ejercicio 9:

Justificar si la información sobre los valores de verdad de algunas proposiciones que se

dan en cada caso es suficiente o no para determinar el valor de verdad de la proposicióncompuesta indicada

( ) ( )

( )[ ]

( ) ( ) F qvconr pq pc

F qvconq p pb

F qv yV pvconr pq pa

=∨∨⇔

=⇒∧∼∼

==∨⇒∧

)()

)()

)()()

Ejercicio 10:

Si v(q)=V ¿qué valores de verdad deben tener las proposiciones p, r y s para que lasiguiente proposición resulte verdadera : ( )( ) ( )( )[ ]( )qr ssr pq ∧∼⇒∼∧∼∧∨∼⇒

Ejercicio 11:

Aplicar el método de invalidez, y en caso de ser válidos, demuéstralos utilizando el

método deductivo

b) c) a) d) e) ( )

( )

p

r

rq~

q p~

⇒

⇒∧

p

r~ p

rq~

q~ p

∨

⇔

∨

( )

s

s r

q p

q p

⇒

⇒∧

∧

r

q~ r~

q~ r~

q

⇒

⇒

⇒ p

p~

r

q r

q~ p

⇒

⇒

f) g) h) i) j) ( ) ( )

( )

s~

q p~

s r~

⇒

⇒∨⇒ q p( )

r~

q p~~

r q ∨

∨( ) ( )

r~

q~

q~

p

qr p ⇒⇒∧

p~

r~q~

q~

⇒

⇒

⇒

r

p

r p~

t~q

t r~

q p~

⇒

⇒

⇒

⇒

k) l)


p~

r~q~

q~

⇒

⇒

⇒

r

p

( )

r~q

p r

q~ p~

∨

⇒

∧m) ( ) ( )

p~

r~

q~ r~

s rq p

⇒

⇒∧⇒




Año 2012

Ejercicio 12:

Traducir los siguientes razonamientos al lenguaje de la lógica proposicional y analice suvalidez a través de la prueba de invalidez. En caso de ser válido, demuéstrelo también

utilizando el método deductivo

a. Si sigues corriendo tanto, te caes o te cansas. Si te caes, mañana no irás al

campeonato. Seguro que no vas a dejar de correr tanto. Así que seguro que

mañana no irás al campeonato.

b. Si voy a tu casa, cenaremos muy tarde. Si no voy, me perderé el partido de

fútbol de esta noche. Es seguro que o voy a tu casa o no voy. Por lo tanto, es

seguro que o cenaremos muy tarde o me perderé el partido de fútbol de esta

noche.

c. Pepe es contable o Pepe es actor, pero no ambas cosas a la vez. Si no escontable, no llevará bien las cuentas de su casa. Es seguro que Pepe es actor.

En consecuencia, Pepe no llevará bien las cuentas de su casa.

d. Si no apruebo la previa no obtengo el título de Bachillerato. Si apruebo la

previa entonces es que tengo los conocimientos suficientes de 1º. y 2º. de

Bachillerato. Si tengo los conocimientos suficientes de 1º. y 2º. de

Bachillerato, entonces o me explican en clase el programa o aprendo lo que no

me explican. No me explican en clase el temario. No aprendo lo que no me

explican. Luego no obtengo el título de Bachillerato

e. La Tierra gira alrededor del Sol o el Sol alrededor de la Tierra. Si la Tierra gira

alrededor del Sol deberíamos apreciar una variación en el brillo de las estrellasa lo largo del año o en su posición con respecto a un observador terrestre. No

se aprecia variación en el brillo de las estrellas a lo largo del año. Tampoco se

aprecia una variación en su posición con respecto a un observador terrestre.

Luego el Sol gira alrededor de la Tierra.

f. Si me dices que nunca has hecho mal mientes y, si mientes, eres malo.

Si me dices que has hecho mal, eres malo y, si eres malo, no eres totalmente

ético por haber sido malo. Digas lo que digas, no eres totalmente ético.

g. Todo número entero o es primo o es compuesto. Si es compuesto, es un

producto de factores primos, y si es un producto de factores primos, entonces

es divisible por ellos. Pero si un número entero es primo, no es compuesto,aunque es divisible por sí mismo y por la unidad, y consiguientemente,

también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es

divisible por números primos.

h. Si acepto este trabajo o dejo de pintar por falta de tiempo, entonces no

realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por lo tanto,

no realizaré mis sueños.

Ejercicio 13:

Dibujar el circuito más simple que pueda asociarse a cada una de las siguientes

proposiciones.( ) ( ) ( )q~qp~q~p~ ∨∧∨∧∨ p a) ( ) ( ) ( )q~p~q~qp ∧∨∧∨∧ p b)





Año 2012

Ejercicio 14:

Indicar la proposición más simple que puede asociarse a cada uno de los siguientes

circuitos y graficar el nuevo circuito.

a)


b)

c)

Ejercicio 15:

Indicar cuáles de los siguientes enunciados son funciones proposicionales e indique su

dominio y su conjunto de verdada. X-8=3

b. X es un mes del año

c. 82 − x

d. La madre de x

e. X en un número entero positivo múltiplo de 2

Ejercicio 16:

Expresar en símbolos lógicos y después negar las siguientes oraciones:

a) Todo múltiplo de 4 es número primo.

b) Si 2 es par entonces todos los números son pares.c) Todo número mayor que 2 es la suma de dos números primos.

a

a

a

b

b

b

c

c

rqp

~q~q

~p ~r

p

~pr




Año 2012

Ejercicio 17:

Dado A={1,2,3,4,5} hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados.

a) 103 / =+∈∃ x A x b) 103: <+∈∀ x A x

c) 53 / <+∈∃ x A x

d) 73: ≤+∈∀ x A x

Ejercicio 18:

Sea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Considerando las siguientes expresiones, indicar cuáles son

proposiciones y cuáles funciones proporcionales. De las que son proposiciones indicar el

valor de verdad.

a) A x∈∀ 14 / <+∈∃ y x A y

b) 14 : <+∈∀ y x A y

c) 14yx:Ay <+∈∀∈∀ A x

d) 14 / <+∈∃ y x A y

Ejercicio 19:

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones categóricas

a. ( ) par es x Z x x ⇒∈∀ :

( )2: por divisiblees x x x ⇒ℜ∈∀b. ( )ℜ=+∃∀ en y x y x 8:,c.

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =+ℜ∈ℜ∈∃∃ 8

5

1;;:, y x y x y x

d. ( )ℜ=+∀∃ en y y x y x :,e. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =+ℜ∈ℜ∈∃∀ 8

5

1;;:, y x y x y x

f. Ejercicio 20:

Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones categóricas

( )1;;:, =+∈∈∃∃ y x Z yQ x y x a. ( )1;;:, =+∈∈∃∀ y x N y Z x y x b.

( )[ ]1::: =+∈∃ℜ∈∀ y x R y y x x c. Ejercicio 21:

Negar las siguientes proposiciones.0: >ℜ∈∀ x x a)

12y5 / =+ Ν∈∃ y b) yzx / / <<ℜ∈∃ℜ∈∀ℜ∈∀ z y x c)

( ) ( )( ) y x y x y x y x −+=−ℜ∈∀∀ 22 : d) ( ) ( )( )[ ] xQ xP x ¬⇒∀ : e) ( )[ ])(: xQ xP x ⇔∀ f) ( ) ( )( )[ ] xQ xP x ¬∧∃ :

g)

( ) ( )( )[ ] xQ xP x ¬⇔∃ : h)





Año 2012

Ejercicio 22:

Indicar cuáles de los siguientes enunciados corresponden a verdades matemáticas en el

conjunto de los números naturales. (Considere al 0 como número natural)( ) x y y x y x +=+∀∀ :,a. ( )0:, =+∃∀ y x y xb. ( ) ( )( ) x y y x x y y x <∃∀¬∧>∃∀ :,:,c.

Ejercicio 23:

Simbolizar los siguientes enunciados en lógica de predicados de primer orden,

primeramente sin usar cuantificadores existenciales y luego sin usar cuantificadores

universales

a. No todos los animales tienen cuatro patas

b. Algunos pájaros son hermosos o coloridos

c. Ningún ratón es más pesado que un elefante

d. Todo número entero es negativo o posee raíz cuadrada

Ejercicio 24:

Expresar cada uno de los siguientes razonamientos como proposiciones categóricas y

determine su validez. Si son inválidos, modificar su conclusión para hacerlos válidos

a. Ningún científico es un gran artista. Algún gran artista es también buen

deportista. Entonces, algún buen deportista no es un gran científico

b.

Toda recta es infinita. Algunas líneas son rectas. Luego, algunas líneas soninfinitas

c. Ningún atleta es una rata de biblioteca. Carlos es una rata de biblioteca.

Entonces, Carlos no es un atleta

d. Todos los montañeses son afables. Ninguna persona afable es accesible. Algún

proscripto es montañes. Por lo tanto, algún proscripto es accesible.

e. Ningún jugador es feliz. Algunos idealistas son felices. Algunos jugadores son

forzudos. Por lo tanto, ningún idealista es forzudo.

f. Todos los burlones son pícaros. Ningún pícaro dice la verdad. Nadie que dice

la verdad es feliz. Por lo tanto, ningún burlón es feliz.


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