Algebra de Boole

ET Nº 17 Cornelio Saavedra Especialidad Distrito Escolar XIII Región V

Electrónica Técnicas Digitales 5º Año

Desarrollo de apuntes para asignaturas específicas del área electrónica Coordinador: Ing. Alejandro Demoli Apunte realizado por Luis Biglieri

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Unidad 2 – Álgebra de Boole Temas Introducción Álgebra de Boole Operaciones básicas (suma lógica, producto lógico y negación lógica) Axiomas y Leyes Fundamentales Leyes de De Morgan Estados Lógicos y Función Lógica Tabla de verdad Función booleana Términos canónicos Maxtérminos y mintérminos Formas canónicas de una función Representación de una función por su tabla de verdad Forma numérica de una función lógica




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Introducción

En 1847 un matemático inglés llamado George Boole (1815 – 1864), desarrolla unos símbolos matemáticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lógica deductiva. Hacia el año 1854, publicó un libro en el que explicaba cómo convertir las proposiciones lógicas en símbolos matemáticos y cómo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedad de proposiciones relacionadas entre sí.

La matemática desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como álgebra booleana, álgebra de Boole o lógica simbólica.

Después de su muerte, algunos matemáticos perfeccionaron su sistema para hacerlo más utilizable, nos interesa particularmente la aplicación que en 1938 ideó el científico Claude E. Shannon. En su tesis de graduación del Instituto Tecnológico de Massachuset, Shannon demostró cómo podía aplicarse el álgebra de Boole al diseño y la simplificación de los relés y circuitos de conmutación que se utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrónicas, pues permite simplificar las conexiones físicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo.

En este tema nos ocuparemos brevemente de esta lógica de la conmutación, como podríamos llamarla, pero limitándonos a los circuitos de conmutación y las compuertas (llamadas también “puertas lógicas”). Nos interesa la lógica del circuito, no la electrónica. No obstante, los conceptos que expondremos a continuación son los mismos que se aplican a la película delgada, los núcleos magnéticos, los transistores y demás componentes de los circuitos empleados en las computadoras.

Definición del Álgebra de Boole El álgebra de Boole es una estructura matemática que posee tres operaciones

binarias denominadas suma lógica (+), producto lógico (•) y negación lógica (not). Está estrechamente relacionada con la lógica proposicional y con el álgebra de conjuntos, constituyéndose en la base fundamental para el análisis y el desarrollo de los circuitos digitales.

Suma Lógica: Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente

tabla:

A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1




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Producto Lógico: Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente

tabla: A B A·B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Negación Lógica: Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente

tabla:

A 0 1 1 0

Axiomas y Leyes Fundamentales del Álgebra de Boole Ley de cierre o clausura Sean A y B dos elementos pertenecientes a un conjunto llamado Álgebra de Boole

( ): La suma lógica y el producto lógico de elementos booleanos dan como resultado

otros elementos que también pertenecen al álgebra de Boole. En símbolos resulta: BABA, Ley conmutativa La suma lógica y el producto lógico son operaciones conmutativas: A + B = B + A A . B = B . A Ley asociativa Las dos operaciones (suma y producto) del álgebra de Boole son asociativas: A+(B + C) = (A+B) +C A.(B.C)-(A.B). C




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Ley distributiva La suma lógica es distributiva respecto del producto lógico y viceversa: A + ( B . C) = (A + B). (A + C) A.(B + C) = (A.B) +(A.C) Elementos neutros Para todo elemento perteneciente al álgebra de Boole, existen y son únicos los

elementos "0" ( neutro aditivo) y "1" ( neutro multiplicativo) pertenecientes al álgebra de Boole, tal que operando con el elemento dado no lo modifiquen.

En símbolos:

AAúnicoesyA

AAúnicoesyA

1/1,,,

0/0,,,

Complemento Para todo elemento booleano (A) existe y es único otro elemento booleano llamado

complemento (A), tal que se verifique que:

01 AAyAA Ley de Involución(o doble complemento)

AA Idempotencia

AAAAAA Ley de Absorción

ABAAABAA )()(




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Propiedades del 0 y del 1(Identidad de los elementos 0 y 1)

0110

0011

AA

Leyes de De Morgan

BABABABA Teorema

BABAABABAA )( Otras operaciones lógicas A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones

booleanas, las cuales son: NAND NOR

A B BA 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B BA 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

XOR O EXOR, también llamada OR EXCLUSIVA

A B BA 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B BA 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

XNOR O EXNOR




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Estados Lógicos y Función Lógica Los elementos que constituyen los circuitos digitales se caracterizan por admitir

sólo dos estados. Es el caso por ejemplo de un conmutador que sólo puede estar ENCENDIDO o APAGADO, o una válvula hidráulica que sólo pueda estar ABIERTA o CERRADA.

Para representar estos dos estados se usan los símbolos ‘0’ y ‘1’. Generalmente, el ‘1’ se asociará al estado de conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO, y el ‘0’ se asocia al estado de conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO.

La función lógica es aquella que relaciona las entradas y salidas de un circuito

lógico. Puede expresarse mediante: 1. Tabla de verdad: Es ella se representan a la izquierda todos los estados posibles

de las entradas y a la derecha los estados correspondientes a la salida. 2. Función booleana: Es una expresión matemática que emplea los operadores

booleanos. Una función lógica (F) es un polinomio booleano que puede estar formado por “n”

variables, complementadas o no, vinculadas por las operaciones de suma y producto lógicos.

Veamos un ejemplo de una función lógica de 3 variables (A,B,C):

F= ABC + AB + B (A+C) Tabla de verdad de la función lógica F

ABC CBA BA )( CAB F

000 0 1 1 1 001 0 1 0 1 010 0 0 0 0 011 0 0 0 0 100 0 0 1 1 101 1 0 1 1 110 0 0 0 0 111 0 0 0 0

Términos canónicos Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma en el cual

aparecen todas las variables de que depende esa función. A los términos productos se les llama productos canónicos o mintérminos, y a los términos sumas, sumas canónicas o maxtérminos.




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Formas canónicas Cuando una función se expresa como suma de productos canónicos o como

producto de sumas canónicas, se dice que dicha función se encuentra expresada en su forma canónica.

Como cada variable puede estar complementada, para una función de “n” variables

pueden existir 2n mintérminos y 2n maxtérminos. Por ejemplo : para una función de 3 variables hay 8 mintérminos posibles y también

8 maxtérminos, los cuales son: Mintérminos:

ABC ,CAB C,BA ,CBA BC,A ,CBA C,BA ,CBA

Maxtérminos:

CBA C,BA ,CBA ,CBA ,CBA C,BA ,CBA C,BA Puede demostrarse, aplicando las leyes de De Morgan, que estos dos términos que

acabamos de definir son expresiones complementarias, es decir, el complemento de un mintérmino es un maxtérmino y viceversa.

Por ejemplo, para una función de 4 variables el producto ABCD es uno de los 16

mintérminos posibles y al complementarlo se obtiene un maxtérmino:

D C B A DCBA Existen teoremas referidos a mintérminos y maxtérminos, los cuales son de gran

aplicación en el desarrollo algebraico de circuitos: Teorema 1: Para una función de “n” variables, la suma lógica de todos sus

mintérminos es igual a 1. Ejemplo para 2 variables:

1 BA BA BAAB Teorema 2: Para una función de “n” variables , el producto lógico de todos sus

maxtérminos es igual a 0. Ejemplo para 2 variables:

0 )BA( )B(A B)A( B)(A Teorema 3: Para una función de “n” variables, el complemento de la suma de

algunos mintérminos es igual a la suma de los restantes.




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Ejemplo para 2 variables:

BA BA BAAB Teorema 4: Para una función de n variables , el complemento del producto de

algunos maxtérminos es igual al producto de los restantes. Ejemplo para 2 variables:

)BA( B)A( B)(A )B(A Representación canónica de una función De los diferentes polinomios con los que se pueden representar las funciones

lógicas existen dos que se denominan expresiones canónicas (o Formas Normales), las cuales se llaman "suma de mintérminos o suma de productos - SP" (primera expresión canónica o forma normal disyuntiva) y "producto de maxtérminos o producto de sumas - PS" (segunda expresión canónica o forma normal conjuntiva).

Para poder obtenerlas partiremos de un polinomio cualquiera, por ejemplo trabajaremos con una función de 3 variables dada por la siguiente función lógica:

B ).C(A CBAF

La primera expresión canónica tiene una estructura del tipo suma de productos, por lo tanto el primer paso será transformar la ecuación dada en una suma de productos, para lo cual se aplicará la ley de De Morgan:

B CA CBA F

B CA ABC F

La expresión así obtenida es una suma de productos, pero no es canónica, pues dos de sus términos no son mintérminos; debemos entonces transformarlos para lo cual hacemos lo siguiente:

En virtud de los axiomas de la definición del álgebra de Boole, el término CA se

multiplica por 1 y ese 1 se escribe como la suma de la variable B más su complemento (obsérvese que B es la variable faltante para que CA sea mintérmino).

Al término B le faltan 2 variables para convertirlo en mintérmino, luego el mismo se

multiplicará dos veces por 1(en virtud de la propiedad de idempotencia), escribiendo cada 1 como la suma de la variable que falta más su complemento. Por lo tanto resulta:




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)C(C )A(A B )BC(BA CBA F Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

)CA CA CA (AC B CBA BCA CBA F

Se puede observar que la expresión que figura entre paréntesis y que multiplica a

la variable B es igual a 1, en razón del primer teorema de los mintérminos.

CBA CBA CBA CBA CBA BCA CBA F Finalmente, eliminando los términos repetidos (por propiedad de idempotencia), la

expresión que se obtiene está formada por mintérminos y es una suma lógica;

CBA CBA CBA BCA CBA F Forma normal disyuntiva (suma de mintérminos)

Para hallar la segunda expresión canónica partimos de la primera expresión

canónica y hallamos su complemento:

CABCBAABC F Complementando ambos miembros tenemos:

CABCBAABC F El primer miembro de la igualdad es el valor de la función F (por ley de Involución)

y, resolviendo el segundo miembro, resulta:

CABCBAABC F

C)BA( C)B(A )CBA( F Forma normal conjuntiva (producto de maxtérminos)

Como vemos, esta segunda expresión canónica tiene una estructura del tipo

producto de sumas, donde cada suma es un maxtérmino. Representación de una función por su tabla de verdad Tomando el polinomio del ejemplo anterior confeccionaremos la tabla de verdad

correspondiente al mismo.

B ).C(A CBAF




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ABC CBA )C(A B ).C(A F Términos canónicos

mintérmino Maxtérmino

000 0 1 1 1 CBA m0 M7

001 0 0 1 1 CBA m1 M6

010 0 1 0 0 C)B(A m2 M5

011 0 0 1 1 BCA m3 M4

100 0 1 1 1 CBA m4 M3

101 1 1 1 1 CBA m5 M2

110 0 1 0 0 C)BA( m6 M1

111 0 1 0 0 m7 M0 )CBA( La función F se obtiene sumando las columnas señaladas con una flecha. De la

columna de F pueden extraerse las dos expresiones canónicas directamente, es decir sin necesidad de efectuar el desarrollo algebraico expuesto anteriormente.

Para obtener las dos expresiones canónicas directamente de la tabla de verdad procedemos según la siguiente convención de lectura:

Cada combinación binaria de las variables puede leerse como un producto y también como una suma. Para leer una combinación como producto se debe tener en cuenta que los "0" indican el valor complementado de la variable, mientras que los "1" nos dan el valor original de la misma. Por ejemplo: la combinación 101 (A=1, B =0, C= 1) debe leerse como CBA y así sucede con el resto de la combinaciones binarias.

Para leer una combinación como suma, la convención es inversa a la anterior, es decir, los "0" representan a la variable sin negar y los "1" a la variable negada. Por ejemplo: la combinación 110 (A=1, B=1, C=0) debe leerse como CBA y así para el resto.

La primera expresión canónica se extrae de los "1" lógicos de F y la segunda de los "0" lógicos:

C)BA( C)B(A )CBA( CBA CBA CBA BCA CBA F

Ambas expresiones son lógicamente equivalentes pues cumplen con la misma

tabla de verdad. La función lógica puede expresarse en forma literal (como lo venimos haciendo

hasta ahora) o en forma numérica, de la siguiente, manera:

)5,4,3,1,0(3F SP – Suma de Productos

)5,1,0(3F PS – Producto de Sumas

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Formas equivalentes Dos expresiones booleanas, F1 y F2, son equivalentes, es decir F1=F2, sí y

sólo sí describen la misma función de conmutación, o de otra forma, poseen la misma tabla de verdad. Formas booleanas diferentes pero equivalentes, conducirán a circuitos de conmutación distintos aunque realicen la misma función.

Bibliografía

Problemas de Circuitos y Sistemas Digitales - Carmen Baena Oliva; Manuel

Jesús Bellido Díaz; Alberto Jesús Molina Cantero; María del Pilar Parra Fernández; Manuel Valencia; Barrero. Ed. McGraw-Hill, 1997.

Arquitectura de Computadoras - Ingeniería en Sistemas de Información Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Santa Fe.

Circuitos Y Sistemas Digitales - Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid - Apuntes de clase

Electrónica Digital - Cuesta - Gil Padilla – Remiro - Ed. Mc Graw Hill. 1992 Técnicas Digitales - Telefónica De Argentina – Dirección de RRHH, Gerencia de

Capacitación. Internet http://www.unicrom.com/default.asp http://medusa.unimet.edu.ve/sistemas/bpis03/algebradeboole.htm http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/boole.pdf http://www.ing.uc.edu.ve/aulavirtual/mod/resource/view.php?id=473

http://www.unicrom.com/default.asp

http://medusa.unimet.edu.ve/sistemas/bpis03/algebradeboole.htm

http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm

http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf

http://serbal.pntic.mec.es/%7Ecmunoz11/boole.pdf

http://www.ing.uc.edu.ve/aulavirtual/mod/resource/view.php?id=473

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