Algebra de Boole 3 1
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Materia: Electricidad y Electrónica Industrial Trabajo: 3.1 NC: 13290733 Rodríguez Zepeda Oscar David Grupo: “2D Industrial” ALGEBRA DE BOOLE En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Algebra de Boole. El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
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Materia: Electricidad y Electrnica Industrial Trabajo: 3.1 NC: 13290733 Rodrguez Zepeda Oscar David Grupo: 2D Industrial
ALGEBRA DE BOOLEEn 1815 George Boole propuso una herramienta matemtica llamada Algebra de Boole. El lgebra booleana es un sistema matemtico deductivo centrado enlos valorescero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " " definido en stejuegode valores acepta un par de entradas y produce un solovalorbooleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados inciales, de aqu se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " " es conmutativo si A B = B A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " " es asociativo si (A B) C = A (B C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " " y " % " son distributivos si A (B % C) = (A B) % (A C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento deidentidadcon respecto a un operador binario " " si A I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " " si A I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.El lgebra booleana es la teora matemtica que se aplica en la lgica combinatoria. Las variables booleanas son smbolos utilizados para representar magnitudes lgicas y pueden tener slo dos valores posibles:1(valor alto) 0(valor bajo).Operaciones Booleanas y Compuertas BsicasLas operaciones boolenas son posibles a travs de los operadores binarios negacin, suma y multiplicacin, es decir que estos combinan dos o ms variables para conformar funciones lgicas. Una compuerta es un circuito til para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.
Profesor: Ing. Jos Mara Hernndez Ochoa Fecha: 03/06/14 Pg.: 1/6
Inversin o negacin (complemento)Esta operacin se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apstrofe en el lado superior derecho de la variable, en este curso emplearemosEsta ltima notacin. El apstrofe () es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, siXdenota la seal de entrada de un inversor, entoncesXrepresenta el complemento de tal seal.EjemploSX = 0entoncesX = 1.En la tabla de verdad 2.1.1. Se muestra el resultado de la inversin lgica.EcuacinEntrada ASalida B
B=A01
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Tabla 2.1.1. Tabla de verdad del inversorEl smbolo lgico de la negacin booleana se representa en la figura 2.1.1.
Figura 2.1.1. Inversor.Suma booleanaLa representacin matemtica de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo ms entre las dos variables.
Profesor: Ing. Jos Mara Hernndez Ochoa Fecha: 03/06/14 Pg.: 2/6Ejemplo:La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma,X = A + BLa suma booleana es1si alguna de las variables lgicas de la suma es1y es0cuando todas las variables son0. Esta operacin se asimila a la conexin paralela de contactos.La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla 2.1.2.Entrada AEntrada BSalida X
000
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Tabla 2.1.2.Tabla de Verdad de la funcin OREn circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operacinORy su smbolo lgico se representa en la figura 2.1.2.
Figura 2.1.2. Smbolo lgico para la compuerta OR.Con la correspondiente ecuacinX= A + B.El inverso de la funcinORes la funcinNOR. La tabla de verdad se muestra en la tabla 2.1.3.
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Entrada AEntrada BSalida X
001
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Tabla 2.1.3.Tabla de verdad de la funcin NOREl smbolo lgico de la compuertaNORse representa en la figura 2.1.3.
Figura 2.1.3. Smbolo lgico para la compuerta NORCon la correspondiente ecuacinX= (A+B)La suma booleana difiere de la suma binaria cuando se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo.Multiplicacin booleanaLa representacin matemtica de una multiplicacin booleana de dos variables se hace por medio un signo punto () entre las dos variables.La multiplicacin booleana de las variablesAyBse enuncia de la siguiente forma,X = A BLa multiplicacin booleana es1si todas las variables lgicas son1, pero si alguna es0, el resultado es0. La multiplicacin booleana se asimila a la conexin serie de contactos.Profesor: Ing. Jos Mara Hernndez Ochoa Fecha: 03/06/14 Pg.: 4/6La tabla de verdad de la multiplicacin booleana se muestra en la tabla 2.1.4.Entrada AEntrada BSalida X
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En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicacin booleana es la operacinANDy su smbolo se representa en la figura 2.1.4.
Con la correspondiente ecuacinX= ABEl inverso de la funcin AND es la funcin NAND. La tabla de verdad se muestra la tabla 2.1.5Tabla 2.1.5.Tabla de verdad de la funcin NANDEl smbolo lgico de la compuertaNANDse representa en la figura 2.1.5.
Tabla 2.1.5. Smbolo lgico de la funcin NANDCon la correspondiente ecuacinX = (AB)
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Entrada AEntrada BSalida X
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