Algebra de Baldor (Nueva imagen)plus.pdf

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    de Baldor CD-ROM de regalo lleno de:

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    MR

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    ,

    INDIO E ,

    PGINA Captulos

    5 Prelim~ares 40 1 Suma 46 11 Resta 58 111 Signos de agrupacin 63 IV Multiplicacin 79 V Divisin 97 VI Productos y cocientes notables 112 Yll Teorema del residuo 122 VIII Ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita 131 IX Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con

    una incgnita 143 X Descomposicin factorial 180 XI Mximo comn divisor 188 XII Mnimo comn mltiplo 193 XIII Fracciopes algebraicas. Reduccin de fracciones 21 o XIV Operaciones con fracciones 236 ~V Ecuaciones numricas fraccionarias de primer grado con

    una incgnita 243 XVI Ecuaciones literales de primer grado con una incgnita 246 XVII Problemas sobre ecuaciones fraccionarias de primer grado 270 XVIII Frmulas 276 XIX Desigualdades. Inecuaciones 282 Funciones 291 Representacin grfica de funciones y relaciones 301 ~XIr Grficas. Aplicaciones prcticas 311 XXIIf Ecuaciones indete'rminadas 319 XXIV Ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas

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    PGINA 340

    356 370 376 389 401 418 437 446 460

    467

    n v1 XX;Vfl xxvn XXI!f.

    ~~

    XX~I xxxm ~XXI~

    XXXV

    BALDOR LGEBRA

    Captulos

    Ecuaciones simultneas de primer grado. con tres o ms incgnitas

    Problemas que se resuelven por ecuaciones simultneas Estudio elemental de la teora coordinatoria Potenciacin Radicacin Teora de los exponentes Radicales Cantidades imaginarias Ecuaciones de segundo grado con una incgnita

    i Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado. Problema de las-luces Teora de las ecuaciones de segundo grado. Estudio del trinomio de segundo grado

    483 Ecuaciones binomias y trinomias 490 Progresiones 508 ~XXtJIII Logaritmos 520 ~>tXIX Inters compuesto. Amortizaciones. Imposiciones

    529 APNDICE 530 1 Tabla de inters compuesto

    532 rJ Tabla de inters compuesto decreciente 534 536

    537

    Cuadro de las formas bsicas de descomposicin factorial Tabla de potencias y races

    Respuestas a los ejercicios del texto

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    Nmero y forma son los pilares sobre los cuales se ha construido el enorme edificio de la Matemtica. Sobre aqul se erigieron la Aritmtica y el lgebra; sobre ste, la Geometra y la Trigonometra. En plena Edad Moderna, ambos pilares se unifican en maravillosa simbiosis para sentar la base del anlisis. Del nmero en su forma concreta y particular- surgi la Aritmtica, pri-mera etapa en la historia de la Matemtica. Ms tarde, cuando el hombre domin el concepto de nmero y lo hiz de manera abstracta y general, dio un paso adelante en el desarrollo del pensamiento matemtico, as naci el ,

    Algebra.

    Los griegos han dejado una estela maravillosa de su singular ingenio en casi todas las manifestaciones culturales. De manera que en las formas concretas lograron elaborar un insuperable plstica y en las formas puras nos legaron las corrientes perennes de su filosofa y las bases tericas de la Matemti-ca ulterior. Nuestra cultura y civilizacin son una constante recurrencia a lo griego. Por ello, no podemos ignorar la contribucin de los pueblos helnicos al desarrollo de la Matemtica. El cuerpo de las doctrinas matemticas que establecieron los griegos tiene sus aristas ms sobresalientes en Euclides, Arqumedes y Difano.

    Con Arqumedes -hombre griego- se inicia la lista de matemticos mo-dernos. Hiern, rey de Siracusa, ante la amenaza de las tropas romanas a las rdenes de Marcelo, solicita a Arqumedes llevar a cabo la aplicacin de esta ciencia. De manera que l disea y prepara los artefactos de guerra que de-tienen por tres aos al impetuoso general romano. En la guarda se puede ob-servar cmo las enormes piedras de ms de un cuarto de tonelada de peso, lanzadas por catapultas, rechazaban a los ejrcitos romanos y cmo los espejos ustorios convenientemente dispuestos incendian la poderosa flota. Al caer Megara y verse bloqueado, Siracusa se rinde (212 a. C.). Marcelo, asombrado ante el saber de quien casi lo haba puesto en fuga con sus ingeniosidades, requiere su pr~sencia. Ante la negacin de Arqumedes de prestar sus servicios al soberbio general vencedor de su Patria, un soldado romano le da muerte con su espada.

    Nuestra portada

    A los rabes se debe el desarrollo de una de las ms importantes ramas de la Matemtica: el ,

    . Algebra. AI-Juarismi, el ms grande matemtico musulmn, dio forma a esta disciplina, la cual despus iba a ser clsica. Naci en la ciudad persa de Huwarizmi, hoy Khiwa, a fines del siglo v111. Muri hacia el 844 (230 de la Hgira). En la biblioteca del califa AI-Mamn compuso en el 825 (21 O de la Hgira) su obra Kitab al-muhtasar ti hisab al-gabr wa-a/-muqabala", de la que se deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabr significa ecuacin o restauracin, al-muqabala son trminos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el ,

    Algebra no es ms que una teora de las ecuaciones.

    J

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    DR. AURELIO BALDOR Fundador, Director y Jefe de la

    Ctedra de Matemticas del Colegio Baldar, La Habana, Cuba.

    Jefe de la Ctedra de Matemticas, Stevens Academy, Hoboken,

    New-Jersey, U.S.A. Profesor de Matemticas,

    Saint Peter's College, Jersey City, New-Jersey.

    Con grficos y 6,523 ejercicios y problemas con respuestas

    PRIMERA REIMPRESIN 2008

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    Dr. Aurelio Baldor (breve semblanza) Aurelio Baldar naci en La Habana, Cuba, el 22 de octubre de 1906. Fue un gran hombre dedicado a la educacin y la enseanza de las matemticas. En su tierra natal fue el fundador y director del Colegio Baldar durante las dcadas de los aos cuarenta y cincuenta. Tras el establecimiento del gobierno de Fidel Castro, en 1960 se traslad junto con su familia a Mxico y finalmente a los Estados Unidos, donde vivi en las ciudades de Nueva Orleans y Nueva York, lugar en el que imparti clases de mate-mticas, y finalmente falleci en la ciudad de Miami el 3 de abril de 1978.

    Introduccin Es una gran satisfaccin para nosotros participar en esta nueva edicin del libro ms importante en enseanza del lgebra en idioma espaol, lgebra de Baldar.

    Realizar la nueva edicin de un libro tan conocido y exitoso ha sido a la vez un reto y un gran gozo para nosotros. Las opiniones para tomar muchas de las decisiones que se hicieron en esta edicin provinieron de gente experta en el tema, asr como la pedagoga, la edicin y el diseo.

    Antes de hacer cualquier modificacin nos dimos a la tarea de indagar por qu ha sido tan exitoso este libro y conocer de forma detallada sus virtudes, que son muchas, por ello estamos manteniendo y destacando las mismas, para garantizar a los estudiantes y profesores la gran calidad autoral de Aurelio Baldar y la experiencia de Grupo Editorial Patria.

    Por otra parte, haciendo eco a las sugerencias que nos hicieron preparamos esta edicin que entre sus caractersticas importantes incluye:

    l. La revisin exhaustiva del contenido tcnico y por ello, por mencionar algunos aspectos, se actua-lizaron las definiciones de funcin, exponente y los ejemplos y ejercicios, en particular tomando en cuenta el lenguaje moderno y la actualizacin de terminologa, tipos de cambio y monedas utilizadas en Latinoamrica.

    11. En cuanto a la pedagoga y el diseo, se revalor la importancia de las secciones y temas as como de la forma en que la edicin anterior presenta la informacin a los estudiantes. Como resuHado, en esta edicin presentamos un diseo moderno y atractivo en el que incluimos nuevos grficos e ilustraciones que facilitarn su comprensin.

    111. Un aspecto moderno y especialmente til es la adicin de un CD diseado para ser un gran apoyo para los alumnos y profesores en el proceso de enseanza y aprendizaje del tema. Este CD no sustituye al libro o al profesor, pues su uso est ligado al libro a travs de las secciones que lo integran y es un obsequio que para su uso requiere que el lector se registre inicialmente a travs de nuestra pgina de Internet as como su equipo, y despus de ello no requiere estar conectado ya que se le enviar un password a todos los compradores de nuestra edicin.

    El CD requiere de gran interactividad con el alumno y se compone de: a. Videos con las aplicaciones del lgebra a la vida cotidiana. b. Claros y tiles ejemplos paso a paso, que los alumnos podrn repetir un sinnmero de veces. c. Banco con cientos de ejercicios y secciones con datos de inters. d. Una seccin de autoevaluacin por tema en la que se podr ejercitar el avance y conocimiento

    adquirido; este material se puede imprimir y enviar a travs de Internet a los profesores o correos marcados.

    e. Herramientas como glosario de trminos clave y otras ms. Esperamos que te guste esta edicin tanto como a nosotros,

    Los editores

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    Nota de los editores a la primera edicin

    Para responder a la genl deferencia que han tenido con esta obra los profesores y alum-nos de Amrica Latina, hemos introducido, en la presente edicin, una serie de mejoras que enden a que este libro sea ms eficaz e interesante.

    Procuramos que la presentacin constituya por sf sola una poderosa fuente de mo-tivacin para el trabajo escolar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se han introducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje ms vital y efectivo. El uso del color, en su doble aspecto estco y funcional, hace de esta obra, sin lugar a dudas, el lgebra ms pedaggica y novedosa de las publicadas hasta hoy en idioma espaol.

    Los editores estimamos oportuno introducir algunos aadidos que contribuyan a completar el contenido de los programas vigentes. Tales aadidos son, por citar slo algunos, las notas sobre el concepto de nmero; nota sobre las cantidades complejas e imaginarias y el cuadro de los pos bsicos de descomposicin factorial.

    Esperamos que el profesorado de Hispanoamlica sepa aquilatar el ingente esfuer-zo rendido por todos los tcnicos que han intervenido en la confeccin de esta obra Slo nos queda reiterar nuestro ms profundo agradecimiento por la acogida que le han dispensado siempre.

    Los editores

    Con acendrada devocin y justo orgullo, dedico este esfuerzo edi-torial, a la inolvidable memoria de mi madre, Profesora Ana Luisa Serrano y Poncet que tuera Presidenta de esta Empresa de 1921 a 1926.

    Dr. Jos A. Lpez Serrano

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    Concepto de nmero en los pueblos primitivos (25000-5000 a. C.). Medir y contar fueron las primeras actividades matemticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los rboles lograban la medicin del tiempo y el conteo del nmero de animales que posean; as surgi la Arit-

    mtica. El origen del lgebra fue posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara un concepto abstracto del nmero, base indispensable para la formacin de la cien-cia algebraica

    PRELIMINARES ,

    ALGEBRA es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad considerada del modo ms general posible.

    CARCTER DEL LGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMTICA El concepto de la cantidad en lgebra es mucho ms amplio que en Aritmtica.

    En Aritmtica las cantidades se representan por nmeros y stos expresan valores deter-minados. As, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nmero distinto de 20.

    En lgebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. As, a representa el valor que noso-tros le asignemos, y por tanto puede representar 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestra eleccin, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, sta no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

    NOTACIN ALGEBRAICA Los smbolos usados en lgebra para representar las cantidades son los nmeros y las letras.

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    6 BALDOR LGEBRA

    Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o

    desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, e, d, ... Las cantidades desconocidas se representan por las ltimas letras del alfabeto: u, v, w,

    X, Y, l. Una misma letra puede representar distintos valores diferencindolos por medio de comi-

    llas; por ejemplo: a', a'', a'", que se leen a prima, a segunda, a tercera, o tambin por medio de subndices; por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

    4 FRMULAS Consecuencia de la generalizacin que implica la representacin de las cantidades por medio de letras son las frmulas algebraicas.

    Frmula algebraica es la representacin, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

    As, la Geometra ensea que el rea de un rectngulo es igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A al rea del rectngulo, b a la base y ha la altura, la frmula

    A=b x h

    representar de un modo general el rea de cualquier rectngulo, pues el rea de un rectn-gulo dado se obtendr con slo sustituir b y h en la frmula anterior por sus valores en el caso dado. As, si la base de un rectngulo es 3 m y su altura 2 m, su rea ser:

    A = b x h = 3 m x 2 m = 6 m2

    El rea de otro rectngulo cuya base fuera 8 m y su altura 3~ m sera:

    5 SIGNOS DEL ALGEBRA

    Los signos empleados en lgebra son de tres clases: signos de operacin, signos de relacin y signos de agrupacin.

    & SIGNOS DE OPERACIN ,

    En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en Aritmtica: suma, resta, multiplicacin, divisin, elevacin a potencias y extraccin de races, que se indican con los signos siguientes:

    t> En el captulo XVIII, pgina 270, se estudia ampliamente todo lo relacionado con las frmulas algebraicas.

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    PRELIMINARES

    El signo de la suma es +, que se lee ms. As a + b se lee "a ms b".

    El signo de la resta es - , que se lee menos. As, a - b se lee "a menos b".

    El signo de la multiplicacin es x , que se lee multiplicado por. As, a x b se lee "a multiplicado por b".

    En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y tambin se indica la multiplicacin colocando los factores entre parntesis. As, a by (a)(b) equivalen a a x b.

    Entre factores literales o entre un factor numrico y uno literal el signo de multiplicacin suele omitirse. As abe equivale a a x b x e; 5xy equivale a 5 x x x y.

    El signo de la divisin es + , que se lee dividido entre. As, a+ b se lee "a dividido entre b" . Tambin se indica la divisin separando el dividendo y el divisor por una raya horizontal. As, m equivale a m+ n.

    n

    El signo de la elevacin a potencia es el exponente, que es un nmero pequeo coloca-do arriba y a la derecha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. As,

    a3 = aaa; b5 = bbbbb

    Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. As, a equivale a a1; mnx equivale a m1n1x1

    El signo de raz es { ,.llamado signo radical, y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raz. As, .fa equivale a raz cuadrada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad a; Vb equivale a raz cbica de b, o sea la cantidad que

    elevada al cubo reproduce la cantidad b.

    COEFIClENTE

    En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor.

    As, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a =a+ a+ a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b = b + b + b + b + b. stos son coeficientes numricos.

    En el produc'to ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b ... a veces. ste es un coeficiente literal.

    En el producto de ms de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. As, en el producto abed, a es el coeficiente debed; abes el coeficiente de ed; abe es el coeficiente de d.

    Cuando una cantidad no tiene coeficiente numrico, su coeficiente es la unidad. As, b equivale a 1b; abe equivale a 1abe.

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    8 BALDOR LGEBRA

    SIGNOS DE RELACIN Se emplean estos signos para indicar la relacin que existe entre dos cantidades. Los prin-cipales son:

    = , que se lee igual a. As, a = b se lee "a igual a b". > , que se lee mayor que. As, x +y > m se lee "x +y mayor que m". < , que se lee menor que. As, a < b +e se lee "a menor que b + e".

    9 SIGNOS DE AGRUPACIN Los signos de agrupacin son: el parntesis ordinario ( ), el parntesis angular o corchete [ ] , las llaves { } y la barra o vnculo .

    Estos signos indican que la operacin colocada entre ellos debe efectuarse primero. As, (a+ b)e indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por e; [a- b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a+ b} -7 {e - d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de e y d.

    10 MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS EN ARITMTICA Y LGEBRA Exponemos a continuacin un ejemplo para hacer notar la diferencia entre el mtodo arit-mtico y el algebraico en la resolucin de problemas, fundado este ltimo en la notacin algebraica y en la generalizacin que sta implica.

    Las edades de A y 8 suman 48 aos. Si la edad de 8 es 5 veces la edad de A, lqu edad tiene cada uno?

    MTODO ARITMTICO

    Edad de A ms edad de B = 48 aos.

    Como la edad de B es 5 veces la edad de A, tendremos:

    Edad de A ms 5 veces la edad de A = 48 aos. -O sea, 6 veces la edad de A = 48 aos;

    luego, Edad de A = 8 aos R. Edad de B = 8 aos x 5 = 40 aos R.

    MTODO ALG.EBRAICO Como la edad de A es una cantidad desconocida la represento por x.

    -

    Sea Entonces

    x=edad de A 5x ::;;; edad de 8

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    PRELIMINARES

    Como ambas edades suman 48 aos, tendremos: x + 5x= 48 aos

    o sea, 6x= 48 aos

    Si 6 veces x equivale a 48 aos, x valdr la sexta parte de 48 aos, o sea,

    Entonces x = 8 aos, edad de A R.

    5x = 8 aos x 5 = 40 aos, edad de 8 R.

    CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS

    En lgebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condicin o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condicin o modo de ser (valor relativo) de la cantidad por medio de los signos + y - , anteponiendo el signo+ a las cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponiendo el signo - a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).

    As, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -. Para expresar que una persona tiene $100 de haber, diremos que tiene +$1 00, y para expresar que debe $100, diremos que tiene -$1 OO.

    Los grados sobre cero del termmetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. As, para indicar que el termmetro marca 1 oo sobre cero escribiremos+ 1 oo y para indicar que marca 8 bajo cero escribiremos -8.

    El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se designa con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de un punto se representa con el signo -. As, si hemos recorrido 200 m a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido +200 m, y si recorremos 300 m a la izquierda de un punto escribiremos -300 m.

    El tiempo transcurrido despus de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo. As, + 150 aos significa 150 aos d. C. y -78 aos significa 78 aos a. C.

    En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porcin que se halla del suelo hacia arriba y con el signo - la porcin que se halla del suelo hacia abajo. As, para expresar que la longitud del poste que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m, escribiremos + 15 m, y si la porcin introducida en el suelo es de 8 m, escribiremos -8 m.

    La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el signo -; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situacin geogrfica sea: +45 de longitud y -15 de latitud se hallar a 45 al este del primer meridiano y a 15 bajo el Ecuador.

    ElECCIN DEL SENTIDO POSITIVO La fijacin del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir, que podemos tomar como sentido posi-tivo el que queramos; pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a ste ser el negativo.

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    10 BALOOR lGEBRA

    As, si tomamos como sentido positivo al camino recorrido a la derecha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto ser negativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto sera negativo.

    As, si sobre el segmento A8 tomamos como positivo el sentido de A hacia B, el sentido de 8 hacia A sera negativo, pero si fijamos como sentido positivo de 8 hacia A, el senti-do de A hacia 8 sera negativo.

    + + A --------8 A - - ------8

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    No obstante, en la prctica se aceptan generalmente los sentidos positivos de que se trat en el nmero anterior.

    CERO es la ausencia de cantidad. As, representar el estado econmico de una persona por O equivale a decir que no tiene haber ni deudas.

    Las cantidades positivas son mayores que O y las negativas menores que cero: As, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que O; +5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que O, mientras que -3 es una cantidad que es tres unidades menor que O y - 5 es una cantidad que es cinco unidades menor que O.

    De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; as, +5 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: - 3 es mayor que - 5; - 9 es menor que - 4.

    Ejercicios sobre cantidades positivas y negativas

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    1) Un hombre cobra $1 30. Paga una deuda de $80 y luego hace compras por valor de $95. cunto tiene? Teniendo $130, pag $80; luego, se qued con $50. Despus hace un gasto de $95 y como slo tiene $50 incurre en una deuda de $45. Por tanto, tiene actualmente - $45. R.

    1. Pedro debla 60,000 bolvares y recibi 320,000. Expresar su estado econmico. 2. Un hombre que tena 11 ,700,000 sucres, hizo una compra por valor de 15,150,000. Expresar su

    estado econmico. 3. Tenia $200. Cobr 56 y pagu deudas por $189. cunto tengo?

    4. Compro ropas con valor de 665 nuevos soles y alimentos por 1, 178. Si desp~s recibo 2,280, .. - cul es mi estado econmico?

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    PRELIMINARES

    5. Tenia $20. Pagu $15 que debla, despus cobr $40 y luego hice gastos por $75. cunto tengo? 6. Enrique hace una compra por $67; despus recibe $72; luego hace otra compra por $1 6 y despus

    recibe $2. Expresar su estado econmico. 1. Despus de recibir 20,000 colones hago tres gastos por 7,800, 8,100 y 9,300. Recibo entonces

    4,100 y luego hago un nuevo gasto por 5,900. cunto tengo? a. Pedro tenia tres deudas de $45, $66 y $79, respectivamente. Entonces recibe $200 y hace un gasto

    de $1 o. cunto tiene? 1

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    2) A las 6 a.m. el termmetro marca -4. A las 9 a.m. ha subido 7 y desde esta hora hasta las 5 p.m. ha bajado 11. Expresar la temperatura a las 5 p.m.

    A las 6 a.m. marca - 4. Como a las 9 a.m. ha subido 7, contamos siete divisiones de la escala desde -4 hacia arriba y tendremos 3 sobre cero (+3); como desde .esta hora hasta las 5 p.m. ha bajado 11 , contando 11 divisiones de la escala desde +3 hacia abajo llegaremos a - 8. Luego, a las 5 p.m. la temperatura es de - 8. R.

    1. A las 9 a.m. el termmetro marca+ 12 y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15. Expresar la ,., temperatura a las 8 p.m.

    2. A las 6 a.m. el termmetro marca -3. A las 1 o a.m. la temperatura es so ms alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6. Expresar la temperatura a las 9 p.m.

    3. A la 1 p.m. el termmetro marca + 15 y a las 1 O p.m. marca -3. cuntos grados ha bajado la temperatura?

    4. A las 3 a.m. el termmetro marca - 8 y al medioda +5. cuntos grados ha subido la tem-peratura?

    5. A las 8 a.m. el termmetro marca -4; a las 9 a.m. ha subido 7; a las 4 p.m. ha subido 2 ms y a las 11 p.m. ha bajado 11. Expresar la temperatura a las 11 p.m.

    6. A las 6 a.m. el termmetro marca -8. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razn de 4 por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m.

    1. A las 8 a.m. el termmetro marca - 1. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razn de 2 por hora ~de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razn de 3 por hora. Expresar la temperatura a las 1 O a.m., a las 11 a.m., a las 12 a.m. y a las 2 p.m.

    8. El dla 1 O de diciembre un barco se halla a 56 al oeste del primer meridiano. Del dia 1 O al 18 recorre 7o hacia el este. Expresar su longitud este da.

    9. El di a primero de febrero la situacin de un barco es: 71 o de longitud oeste y 15 de lat~ud sur. Del dla primero al 26 ha recorrido 5 hacia el este y su latitud es entonces de so ms al sur. Expresar su situacin el da 26.

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    ,

    BALDOR LGEBRA o e

    10. El da 5 de mayo la situacin de un viajero es 18 de longitud este y 65 de latitud norte. Del da 5 al 31 ha recorrido 3 hacia el este y se ha acercado 4 al Ecuador. Expresar su situacin el da 31.

    11 . Una ciudad fundada el ao 75 a. C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de su des-truccin .

    .. F _ ..

    _....,_ .. ..- - ----

    3) Un mvil recorre 40 m en lnea recta a la derecha de un punto A y luego retrocede en la misma direccin a razn de 15 m por segundo. Expresar a qu distancia se halla del punto A al cabo del1 er., 2, 3er. y 4 segundos.

    El mvil ha recorrido 40 m a la derecha del punto A; luego, su posicin es + 40 m, tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.

    Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentido negativo) a razn de 15 m por segundo; luego, en el primer segundo se acerca 15 m al punto A y como estaba a 40 m de este punto, se halla a 40 - 15 = 25 m a la derecha de A; luego, su posicin es +25 m. R.

    En el 2 segundo se acerca otros 15 m al punto A; luego, se hallar a 25- 15 = 1 O m a la derecha de A; su posicin ahora es + 1 O m. R.

    En el 3er. segundo recorre otros 15 m hacia A, y como estaba a 1 O m a la derecha de A, habr llegado al punto A (con 10m) y recorrido 5 m a la izquierda de A, es decir, 10-15 = -5 m. Su posicin ahora es - 5 m. R.

    En el 4 segundo recorre otros 15 m ms hacia la izquierda y como ya estaba a 5 m a la izquierda de A, se hallar al cabo del 4 segundo a 20 m a la izquierda de A, o sea - 5 - 15 = - 20 m; luego, su posicin ahora es - 20 m. R.

    (SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A ARRIBA)

    1. Expresar que un mvil se halla a 32 m a la derecha del punto A; a 16 m a la izquierda de A.

    2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 1 O m y tiene enterrados 4 m.

    3. Despus de caminar 50 m a la derecha del punto A recorro 85 m en sentido contrario. A qu distancia me hallo ahora de A?

    4. Si corro a la izquierda del punto 8 a razn de 6 m por segundo, a qu distancia de 8 me hallar al cabo de 11 s?

    5. Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 m por s y el que corre hacia la derecha va a 9 m por s. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 s.

    6. Partiendo de la lnea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 m de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy 3 vueltas a la pista en sentido contrario, qu distancia hemos recorrido?

    7. Un poste de 40 pies de longitud tena 15 pies sobre el suelo. Das despus se introdujeron 3 pies ms. Expresar la parte que sobresale y la enterrada. .

    r

    -

    ,

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    PRELIMiNARES

    8. Un mvil recorre 55 m a la derecha del punto A y luego en la misma direccin retrocede 52 m. lA qu distancia se halla de A?

    9. Un mvil recorre 32 m a la izquierda del punto A y luego retrocede en la misma direccin 15 m. lA qu distancia se halla de A?

    10. Un mvil recorre 35 m a la derecha de 8 y luego retrocede en la misma direccin 47 m. lA qu distancia se halla de B?

    11. Un mvil recorre 39 m a la izquierda de M y luego retrocede en la misma direccin 56 m. lA qu distancia se halla de M?

    12. A partir del punto 8 una persona recorre 90 m a la derecha y retrocede, en la misma direccin, primero 58 m y luego 36 m. lA qu distancia se halla de 8?

    13. Un mvil recorre 72 m a la derecha de A y entonces empieza a retroceder en la misma direccin, a razn de 30 m por S. Expresar SU distancia del punto A al cabo del 1 er, 2, 3er y 4 S.

    14. Un auto recorre 120 km a la izquierda del punto M y luego retrocede a razn de 60 km por hora. lA qu distancia se halla del punto M al cabo de la 1 er, 23, 3er y 43 hora?

    VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO

    Valor absoluto de una cantidad es el nmero que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo es el sentido de la cantidad, representado por el signo.

    As, el valor absoluto de +$8 es $8, y el valor relativo haber, expresado por el signo +; el valor absoluto de -$20 es $20, y el valor relativo deuda, expresado por el signo -.

    Las cantidades +JO y -7 tienen el mismo valor absoluto, pero su valor relativo es opues-to, pues el primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero; - 8 y - 11 o tienen el mismo valor relativo (grados bajo cero) y distinto valor absoluto.

    El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa colocando el n-mero que corresponda a dicho valor entre dos lneas verticales. As, el valor absoluto de +8 se representa 181.

    CANTIDADES ARITMTICAS Y ALGEBRAICAS De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantidades aritmticas y alge-braicas.

    Cantidades aritmticas son las que expresan solamente el valor absoluto de las can-tidades representado por los nmeros, pero no nos dicen el sentido o valor relativo de las

    cantidades. As, cuando en Aritmtica escribimos que una persona tiene $5, tenemos solamente la

    idea del valor absoluto $5 de esta cantidad, pero con esto no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda. Escribiendo que el termmetro marca 8, no sanemos si son sobre cero o bajo cero.

    13

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    14 BALDOR LGEBRA

    Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y ade-ms su sentido o valor relativo por medio del signo.

    As, escribiendo que una persona tiene +$5 expresamos el valor absoluto $5 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo +; escribiendo -$8 expresamos el valor ab-soluto $8 y el sentido o valor relativo (deuda) expresado por el signo -; escribiendo que el termmetro marca +8 tenemos el valor absoluto so y el valor relativo (sobre cero) expresado por el signo+, y escribiendo -9 tenemos el valor absoluto go y el valor relativo (bajo cero) expresado por el signo - .

    Los signos + y - tienen en lgebra dos aplicaciones: una, indicar las operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condicin de las cantidades.

    Esta doble aplicacin se distingue porque cuando los signos + o - tienen la significacin de suma o resta, van entre trminos o expresiones incluidas en parntesis, como por ejemplo en (+8) + (- 4) y en (-7)- (+6). Cuando van precediendo a un trmino, ya sea literal o num-rico, expresan el sentido positivo o negativo, como por ejemplo en -a, +b, +7, - 8.

    REPRESENTACIN GRFICA DE LA SERIE ALGEBRAICA DE LOS NMEROS Teniendo en cuenta que el O en lgebra es la ausencia de la cantidad, que las cantidades positivas son mayores que O y las negativas menores que O, y que las drstancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de un punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un punto negativas, la serie algebraica de los nmeros se puede representar de este modo:

    - 5 -4 - 3 - 2 - 1 o + 1 +2 +3 +4 +5 --- ---

    NOMENCLATURA AlGEBRAICA EXPRESIN ALGEBRAICA es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas.

    ,

    a, 5x, .[4a, (a+b)c, (Sx -23y)a

    X

    t8 TERMINO es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo+ o- . As, a, 3b, 2xy, * 'son trminos.

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    PRELIMINARES

    Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

    Por el signo, son trminos positivos los que van precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo-. As, -ta, +Bx, +9ab son trminos positivos y -x, - 5bc y -~ son trminos negativos.

    El signo + suele omitirse delante de los trminos positivos. As, a equivale a +a; 3ab equivale a +3ab.

    Por tanto, cuando un trmino no va precedido de ningn signo es positivo. El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el primero, de los factores

    del trmino. As, en el trmino 5a el coeficiente es 5; en -3a2t el coeficiente es -3. La parte literal la constituyen las letras que haya en el trmino. As, en 5xy la parte literal

    383y4 x3y4 es xy; en 2ab la parte literal es ab .

    15

    EL GRADO DE UN TRMINO puede ser de dos clases: absoluto y con relacin a una letra. 19 Grado absoluto de un trmino es la suma de los exponentes de sus factores literales.

    As, el trmino 4a es de primer grado porque el exponente del factor literal a es 1; el trmino ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2; el trmino a2b es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 1 = 3; 5a4b3c2 es de noveno grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4 + 3 + 2 = 9.

    El grado de un trmino con relacin a una letra es el exponente de dicha letra. As el trmino bt es de primer grado con relacin a b y de tercer grado con relacin a x; 4x2t es de segundo grado con relacin a x y de cuarto grado con relacin a y.

    CLASES DE TRMINOS

    Trmino entero es el que no tiene denominador literal como 5a, 6a4b3, ~

    Trmino fraccionario es el que tiene denominador literal como ~ .

    Trmino racional es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que tiene radical, como .[ib, ;. .

    2a

    Trminos homogneos son los que tienen el mismo grado absoluto. As, 4x4y y 6x2y3 son homogneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

    Trminos heterogneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a2, que es de segundo grado.

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    16

    ..

    BALDOR LGEBRA

    1. Dgase qu clase de trminos son los siguientes atendiendo al signo, si tienen o no denominador y si tienen o no radical:

    2 ~ 1 23 5a2 -4a3b ~ _ Sb fa_ _ 3 5b2 ~ _ 4a b . 1

    '' 3' 6, >J d , '6' .-'f 6a

    2. Dgase el grado absoluto de los trminos siguientes: -

    Sa, -6a2b, a2b2, -5a3b4c, aty6, 4m2n3, -xyt 3. Dgase el grado de los trminos siguientes respecto a cada uno de sus factores literales:

    -a3b2, -sty3, 6a2bt, -4abcf, 1 Om2n3b4c5 4. De los trminos siguientes escoger cuatro que sean homogneos y tres heterogneos:

    -4a3b2, 6ab3, -t, 6ty, - 2a3t, - ab5, 4abcx2, -2ac

    ,

    ..

    5. Escribir tres trminos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negati-vos, fraccionarios e irracionales.

    6. Escribir un trmino de cada uno de los grados absolutos siguientes: de tercer grado, de quinto grado, de undcimo grado, de dcimo quinto grado, de vigsimo grado.

    1. Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuarto grado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que sea de sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factores literales que sea de dcimo grado con relacin a la b.

    1

    - '!'.- ... ..... '

    CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 21 MONOMIO es una expresin algebraica que consta de un solo trmino, como:

    x2y 3a, -5b, 4n3

    22 POLINOMIO es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino como a + b, a + X - Y, t + zr +X + 7.

    Binomio es un polinomio que consta de dos trminos, como: 2 5 4

    a+b x-y !_ _ mx 1 ' 3 6b2

    Trinomio es un polinomio que consta de tres trminos, como:

    23 EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relacin a una letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su trmino de mayor grado. As, en el

    polinomio t - st + 1- - 3x el primer trmino es de cuarto grado; el segundo, de tercer gra-do; el tercero, de segundo grado, y el ltimo, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.

    -

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    PRELIMINARES

    Grado de un polinomio con relacin a una letra es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. As, el polinomio a6 + a4x2 - a2x4 es de sexto grado con relacin a la a y de cuarto grado con relacin a la x.

    1. Ogase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a) t +f+ x b) 5a - 3a2 + 4a4 - 6 e) a3b- a2b2+ ab3 - b4 d) t- 6ty3- 4a2b +ft- 3f

    2. Ogase el grado de los siguientes polinomios con relacin a cada una de sus letras: a) a3 + a2 - ab3 b) t+4t-6tt - 4xf e) 6a4/P- 4a2x + ab9 - 5a3b8t d) m4n2 - mn6 + mty3 - t + y15 - m 11

    CLASES DE POLINOMIOS

    Un polinomio es entero cuando ninguno de sus trminos tiene denominador literal como t + 5x- 6; t -~ + ~; fraccionario cuando alguno de sus trminos tiene letras en el denomi-nador como ~+ ~-8; racional cuando no contiene radicales, como en los ejemplos ante-riores; irracional cuando contiene radical, como .[a+ .[b- .{c- ~abe; homogneo cuando todos sus trminos son del mismo grado absoluto, como 4a3 + 5a2b + 6ab2 + b3, y hetero-gneo cuando sus trminos no son del mismo grado, como t + t + x- 6.

    Polinomio completo con relacin a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, des$ el ms alto al ms bajo que tenga dicha letra en el polinomio. As, el polinomio t + >t - t + x2 - 3x es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesivos de la x desde el ms alto 5, hasta el ms bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 es completo respecto de a y b.

    Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo.

    As, el polinomio >t - 4t + 2x2 - 5x + 8 est ordenado de manera descendente con rela-cin a la letra ordenatriz x; el polinomio a5 - 2a4b + 6a3b2 - 5a2b3 + 3ab4 - b5 est ordenado de manera descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto a la letra ordenatriz b.

    ORDENAR UN POUNOMIO es escribir sus trminos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. As, ordenar el polinomio - 5t + xfi - 3x + >t - 1 + 6 en orden descendente con relacin a x ser escri-birlo: t + >t- 5t-t- 3x + 6.

    Ordenar el polinomio >ty- ?t y - 5t + 6xy4 + y5 - t y2 en orden ascendente con relacin a x ser escribirlo:

    -

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    -

    18 BALDOR LGEBRA

    TRMINO INDEPENDIENTE DE UN POUNOMIO CON RELACIN A UNA LETRA es el trmino que no tiene dicha letra.

    As, en el polinomio a3 - a2 + 3a - 5 el trmino independiente con relacin a la a es 5 porque no tiene a; en x4 - 6x3 + Bx2 - 9x + 20 el trmino independiente es 20; en a3 - a2b + 3ab2 + b3 el trmino independiente con relacin a la a es b3, y el trmino inde-pendiente con relacin a la b es a3. El trmino independiente con relacin a una letra puede considerarse que tiene esa letra con exponente cero, porque como se ver ms adelante, toda cantidad elevada a cero equivale a 1.

    As, en el primer ejemplo anterior, -5 equivale a -5a0, y en el ltimo ejemplo, b3 equivale a a0b3

    1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dgase de qu clase son los polinomios siguientes:

    a) a3 + 2a2- 3a e) Ja+.[b-2c+ fd a4 a3 a2 ~ b) ---+--a d) 4a+-~d - 6b+4 2 3 2 2

    2. Escribir un polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de dcimo grado absolut o.

    3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m.

    4. De los siguientes polinomios: a) 3a2b + 4a3 - 5b3 d) 4a- 5b + 6e2 - 8d3 - 6 b) a4- a3b + a2b2 + ab3 e) Ys- ay4 + a2y3- a3i- a4y + ys e) x5 - bx4 + abx3 + ab3x2 f) -6a3b4 - 5a6b + 8a2b5 - b7

    escoger dos que sean homogneos y dos heterogneos. 5. De los siguientes polinomios:

    a) a4 - a2 -~; a - a3 d) m5 - m4 +. m3 -m + 5 lJ) 5x4- 8x2+ x- 6 e) ys _ by4 + b2y3 _ b3y2 + b4y e) x4y _ x3y2 + x2y3 _ y4

    dgase cules son completos y respecto de coles letras. 6. Escribir tres polinomios homogneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto~ dos

    polinomios completos. 1. Ordenar los siguiente~polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente-:

    a) m2 + 6m - m3 + m4 b) 6cif - s+ 2a2x +r e) -a2b3 + a4b + a3b2- ab4 d) a4 - 5a. + 6a3 - 9a2 + 6 e) -xsl + x 10 + 3x4y6 _ 'X6y4 + x2ys f) -3m 15n2 + 4m 12n3 - 8m 6n5 - 1 Om3n6 + n7 - 7m9n4 + m 18n

    8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en oren ascendente: 1 ..;' :l a) a2 - 5a3 + 6a d) a2b4 + a4b3 - a6b2 + a8b + b5 b) x-5x3+6X2+9x4 e) y12_x9y6+x12y4-x3io e) 2y4 + 4l- 6y + 2l + 5y3 :; 1\ ._

    '

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    PRELIMINARES

    TRMINOS SEMEJANTES .

    Dos o ms trminos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

    Los trminos 4ab y - 6a2b no son semejantes, porque aunque tienen iguales letras, stas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del primero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2.

    Los trminos - bx4 y ab4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponen-tes, las letras no son iguales .

    REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES es una operacin que tiene por objeto con-vertir en un solo trmino dos o ms semejantes.

    ' En la reduccin de trminos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes: 1) Reduccin de dos o ms trminos semejantes del mismo signo.

    REGLA Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuacin se escribe la parte literal.

    1) 3a + 2a = 5a R. 6) 1ab+ 2ab= Zab 2 3 6 R. 2) - 5b - 7b = - 12b R. 7) -1xy-.f~=-xy 3 3 R. 3) -a2 - 9a2 = - 1 Oa2 R. 8) 5X+X+2x= 8x R. 4) 3ax-2 + 5ax-2 = aax-2 R. 9) -m -3m- 6m - 5m = - 15m R. 5) - 4am + 1 - 7 am + 1 = -1 1 a m + 1 R. 10) 1x2y+1x2y+1x2y= 7 x2y

    2 4 8 8 R.

    Reducir: 1. X+ 2x 6. -9m - ?m 1 1 1 4 2. 8a - 9a 7. 4ax + sax 11. 2a + 2a 14. - 5xy- 5xy 3. 11b + 9b S. 5ax + 1 + Bax'+ 1 12. ~ab ++oab 15. - i a2b - ~a2b 4. -b- Sb 9. -mX+ 1 - 5mX+ 1

    s. -Bm - m 13. t xy + ~ xy 7 10. - 3ax -2, _ ax- 2 . t6. - a- 8a

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    20 BALDOR LGEBRA

    11. 8a + 9a + 6a 18. 15x + 20x + x 19. - 7m-8m-9m 20. -a2b - a2b - 3a2b 21 . ax + 3ax + Bax 22. - 5ax + 1 - 3ax + 1 - sax + 1

    1 2 23. a+2a+ a

    2 1 24. - x- 3x- 6x

    25. ~ax+ 1~ax+ax

    29. - x2y - Bx2y - 9x2y - 20x2y 30. -3am - 5am - 6am - 9fl

    1 1 1 3L 2a+4a+8a+a 2 1 1 1 32. 5ax + 2ax + 10ax + 20ax

    33. O.Sm + 0.6m + O. ?m + O.Bm 34 -1ab-j_ab-_1_ab-ab

    . 7 14 28

    35 - 2x3y-1x3y- 1x3y - j_x3y . 3 6 9 12

    36. ab1 + ab2 + 7ab2 + 9ab2 + 21ab2

    37. -m-m- Bm - 7m -3m

    26. -~a2x-~a2x-a2x 21. 11 a + 8a + 9a + 11 a

    38. -xa + 1 - axa + 1 - 4xa + 1 - sxa + 1 - xa + 1 1 1 1 1 1 39. 2a+ a+ a+ 5a+ 6a

    28. mx + 1 + 3m X + 1> + 4mx + 1 + 6mx + 1 40 - 1ab - 1ab-1ab-j_ab-1ab . 3 6 2 12 9

    2) Reduccin de dos trminos semejantes de distinto signo. REGLA Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuacin se escribe la parte literal.

    1) 2a - 3a =- a R. 5) 25ax+1- 54ax+ 1 =- 29ax+1 R. 2) 1& -11x= 7x R. 6) 1a-~a=-1a 2 3 6 R.

    7) -~a2b+ a2b = 4a2b R. 3) - 20ab + 11 ab = - 9ab R. 7 7 4) - Bax + 13ax = 5ax R. 8) _5aX+, + 3aX+1 =-iaX+, 6 4 12 R.

    De la regla anterior se deduce que dos trminos semejantes de iguales coeficientes y de signo contraro se anulan.

    Reducic 1. 8a-6a 2. 6a - 8a 3. 9ab - 15ab 4. 15ab- 9ab

    As: -Bab + Bab = O R.

    5~ 2a-2a 6. -7b + 7b 7. - 14xy+32xy 8. - 25x2y + 32x2y

    9. 4o.ty - s1.ty 1 o. -m2n + 6m2n 11. -15xy + 40xy 12. 55a3b2 - 81a3b2

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    PRELIMINARES

    13. -x2y + x2y 14. - 9ab2 + 9ab2

    15. 7x2y - 7x2y

    33. - Xa+l +Xa+ l

    34. -am--2 +~am-2 23. - .4x2y +_ix2y

    7 14

    24 3am- 5am . 8 4

    16. - 101mn + 118mn 25. -am+ am 5 17. 502ab - 405ab 18. - 1024X+ 1018x 19. -1 5ab + 15ab 20. ~a -~a

    26. imn-~mn 27. -a2b+~a2b 28. 3. 4a4b3 - 5. 6a4b3 29. - 1. 2yz + 3. 4yz

    36. 4a2 -~a2

    37. - 5mn + ~mn 38. Bax+2bX+ 3 - 25aX+2bX+ 3

    21 . ~a-~a 22. ~a2b - ~a2b

    30. 4ax- 2a~ 31 . -BaX+ 1 + BaX+ 1 32. 25ma- 1 - 32ma-l

    39. -Zaambn +ambn

    40. O.B5mxy - i mxy

    3) Reduccin de ms de dos trminos semejantes de signos distintos. REGLA Se reducen a un solo trmino todos los positivos,fse reducen a un solo trmino todos los negativos y a los dos resuitados obtenidos sea plica la regla del caso antrior .

    1) Reducir 5a - 8a +a- 6a + 21a. Reduciendo los positivos: 5a + a + 21 a = 27 a Reduciendo los negativos: -Ba - 6a = - 14a Aplicando a estos resultados obtenidos, 27a y - 1 ~~ la regla del caso anterior, se tiene: 27a - 14a = 13a R. Esta reduccin tambin suele hacerse trmino a trmino, de esta manera: 5a- 8a = - 3a; -3a +a= - 2a; - 2a - 6a = - Ba; - Ba + 21a = 13a R.

    2) Reducir -~bx2 + gbx2 + ~bx2-4bx2 + bx2 Reduciendo los positivos 1bx2 +~bx2 + bx2 = ~bx2

    . 5 4 20 Reduciendo los negativos: -~bx2 -4bx2 = -~bx2 Tendremos: ~bx2 - fjbx2 = -~bx2 R.

    Reducir: 1. 9a - 3a + 5a 5. 19m- 10m+ 6m 2. -Bx+ 9x - x 6. -11ab - 15ab + 26ab 3. 12mn - 23mn - 5mn 7. -5ax + 9ax- 35ax 4. -x + 19x - 18x 8. -24aX+ 2 - 15aX+ 2 + 39aX+ 2

    21

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    22

    11. ~a2b+~a2b-a2b 12. -a+ Ba + 9a -15a 13. 7ab - 11ab + 20ab- 31ab 14. 25x2 - 50x2 + 11x2 + 1 Jx2 15. -xy- Bxy -19xy + 40xy 16. 7ab + 21ab - ab- BOab 17. -25xy2 + 11xf + 60xy2- 82xy2 18. -72ax + 87ax -1 01ax + 243ax 19J - 82bx - 71 bx- 53bx + 206bx 20. 1 05a3 - 464a3 + 58a3 + 301a3 21. 1x -lx +l x - 1x 2 3 4 5 22. 1y-J y+1y-J. y

    3 3 6 12

    BALDOR LGEBRA

    23. 3a2b-1a2b+l a2b-a2b 5 6 3 ~4. - 5 ab2 - .1ab2 + ab2 - ab2 6 6 8 25. -1 +8a-11a+15a -75a 26. -7c + 21c + J 4c- 30c + 82c 27:-'--mn + 14mn - 31 mn - mn + 20mn 28. a2y- 7a2y - 93a2y + 51a2y + 48a2y 29. -a +a -a +a - 3a + 6a

    30. lX+-~x-Ix+lx-x 2 3 6 2 31. -2x+~X+~X+X-~X 32. 7ax- 30ax- 41 ax- 9ax + 73ax

    33. -a.n 1 - 7 ax + 1 - 11 aX+ 1 - 20aX+ 1 + 26aX+ 1 34. a + 6a - 20a + 150a - BOa + 31 a 35. -9b -1 1b -17b- 81b -b + 110b 36. -a2b + 15a2b + a2b - 85a2b - 131 a2b + 39a2b 37. 84m2x- 501m2x- 604m2x- 715m2x t 231m2x + 165m2x 38. a3b2 +f:a3b2 -1a3b2 -'a3b2 +4a3b2 6 3 4 8 . 39. 40a- 81a + 130a + 41a- 83a- 91a + 16a 40. -21ab + 52ab- 60ab + 84ab - 31ab- ab - 23ab

    29 REDUCCIN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TRMINOS SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES

    1) Reducir el polinomio 5a - 6b + Be + 9a - 20c - b + 6b - c. Se reducen por separado los de cada clase:

    5a +9a =14a -6b-b+6b =-b Be - 20c - e = - 13c

    Tendremos: 14a - b - 13c R. 2) Reducir el poHnomio

    Ba3b2 + 4a4b3 + 6a3b2 - a3b2 - 9a4b3 - 15 - 5ab5 + B - 6ab5 Se reducen por separado los de cada clase:

    4a4ba _ 9a4b3 = _5a4b3 8aab2 + 6aab2 _ a3b2 = 13asb2

    -5ab5 - 6ab5 = -11 ab5 - 15+B =-7

    Tendremos: - 5a4b3 + 13a3b2 - 11ab5 - 7 R.

    3) Reducir el polinomio ~x4 - ~x8y +3x4- y4 +~y4 - 0.3x4 - ~x3y - 6+ x3y -14+2~y4

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    Tendremos: ~x4 +3x4 -0.3x4 =3~x4 x3y - 1x3y - -xly =-_1x3y

    2 5 10 21y4 +y4-y4 =21y4

    3 6 6 - 6 - 14 =-20

    3l-x4 -_1x3y+21y4 - 20 R. 10 10 6

    23

    L-----------------------------------------------------------~~

    Reducir los polinomios siguientes: 1. 7 a - 9b + 6a - 4b 2. a + b - e - b - e + 2e - a 3. Sx -11y- 9 + 20x - 1 - y 4. - 6m + 8n + 5 - m - n - 6m - 11 5. -a + b + 2b - 2c + 3a + 2e - 3b

    ~ - 81x + 19y- 30z+ 6y + 80x +X - 25y 7. 15a2 -6ab - 8a2 + 20 - 5ab - 31 +a2 -ab 8. - 3a + 4b- 6a + 81b - 114b + 31a- a - b 9. -71b- 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2 - 45a3b + 18a3b

    1 o. -a + b - e+ 8 + 2a + 2b - 19 - 2c - 3a - 3 - 3b + 3e 11 . m2 + 71 mn - 14m2 - 65mn + m3 - m2 - 115m2 + 6m3 12. x4y - x3y2 + x2y- 8x4y- x2y -10 + x3y2 - 7x3y2,- 9 + 21x4y-y3 + 50 13. 5aX+ 1- 3bX+ 2 - 8CX+ 3 - 5a.u.1 - 50 + 4bx 2 - 65 - bx_.+2 + 90 + CX+ 3 + 7cX+.3 14. n+2 - n+ 3 - 5 + 8- 3am+2 + s_xnr+J- 6 + am-f2._ sxn+3 15. O. 3a + O. 4b + O. Se - O. 6a - O. 7 b - O. 9e + 3a - 3b - 3e

    112 3 131 16. - a+ ..,b+ a-3b - a- ...:;b+- - 3 2 3 4 6 4 2

    17. ~m2 -2mn+~m2-1mn+o2mn-2m2 5 10 3

    18. - 3a2+1ab - 5b2 + 21a2 - 3ab +1b2-1b2- 2ab 4 2 6 3 4 6 3

    19. 0.4x2y+31+ 3 xy2 - 0.6y3 - 2 x2y -0.2xy2 + 1 y3 - 6 8 5 4

    20. l_am-1 _ ]_bm-2 +~am-1 _J_bm-2 - 0.2a m- 1 +1bm-2 25 50 5 25 5

    VALOR NUMRICO Valor numrico de una expresin algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numri_cos dados y efectuar despus las operaciones indicadas.

    -

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    ....

    24

    VALOR NUMRICO DE EXPRESIONES SIMPLES

    Hallar el valor numrico de 5ab para a = 1 1 b = 2. Sustituimos la a por su valor 1 1 y la b por 21 y tendremos:

    5ab = 5 X 1 X 2 = 1 o R. ~-

    2) Valor numrico de a2b3e4 para a = 21 b = 31 e =~.

    BALDOR LGEBRA

    a2b3e4 =22 x33x(1)4 = 4x27x .1 =fZ =6-- R. 2 16 4 4

    3) Valor numrico de 3ae~ 2ab para a = 21 b = 91 e=~ . 3ae~2ab =3x2x ~x~2x2x9 =2x.J36 =2x6= 12 R.

    4a2b3 4) Valor numrico de Sed para a =~~ b= j~ e= 21 d = 3.

    ()2 ( )3 4x 1 x 1 4x 1 x 1 1 4a2b3 _ 2 3 _ 4 27 _ 27 _ 1 Sed - Sx2x3 - 30 - 30- 810 R.

    Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para:

    a = 1 b = 2 e = 3 m =J n =1 p = 1 '

    1 1 2 1 3 ' 4

    1. 3ab 7. rrfncpa 5b2m2 24mn 8. ~ab-1m c-2 13. 16. 2. 5a2b3c np 2Jn2p2 6

    3. b2mn 3 b3 9. J2bc2 3V64b3c6 4. 24m2n3p 14. 4 17. 10. 4mV12bc2 2 2 2m

    5 2 a4b2m3 - e 11 . mnJBa4b3

    3 . 3

    3 Japb2 15. 2m 18. 5

    6. l c3p2m 12. 4a fn2 ~~125bm 12 3bc

    31 . VALOR NUMRICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS

    1) Hallar el valor numrico de a2 - 5ab + 3b3 para a = 3, b = 4. a2 - 5ab + 3b3 = 32 - 5 x 3 x 4 + 3 x 43 = 9-60 + 192 = 141 R.

    2) Valor numrico de 3a2 - 5ab + JL para a = 2 b = 1 x = 1 4 x ax 1 3 1 6'

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    5x2x1 1 10 1 3a2 _5ab+--=3x22 - 3+ 3 =3----+3 4 x ax 4 1 2x1 1 1

    6 6 6 3

    = 3 - 20 + 1 = - 16 R.

    Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para:

    1. a2 - 2ab + b2

    2. c2 + 2cd+~ 3 . .! + Q

    e d

    ..

    a=3 b=4 e= .! d=1 m=6 n=1 1 1 31 21 1 4

    13. a;b _ b~m

    - 14. b-a + m-b + 5a

    n d

    15. 12c - a _ 16n-a + 1 2b m d 16. J4b + ~ - ~ 17 lb+ .[2d - & + [ad

    . 2 4

    ' ) ... 11. 3c2 + 4n2

    4 m '

    ..

    18. 2~ + 3~ -af , 12. ~2 + 16;2 -1: .. - -- o ~ - -

    3) Valor numrico de 2 (2a - b) (t + y) - (a2 + b) (b - a) para: .

    a=2 b=3 x=4 y=1 1 , 1 2 Las operaciones indicadas 2(2a- b) = 2 x (2 x 2- 3) = 2 x (4- 3) = 2 x 1 = 2 dentro de los parntesis. deben 2 = 42 + 1 = 16 + 1 = 161 efectuarse antes de mnguna / x +Y 2 2 2 otra, as: a2 + b = 22 + 3 = 4 + 3 = 7

    b-a=3-2=1 Tendremos:

    2(2a- b)(x2+ y)-(a2 +b)(b-a)=2x16~ -7x1=2x~- 7 =33-7 =26 R.

    - ..

    Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para:

    a=1 b=2 C=3 d= 4 m=1 n=2 p=1 x =o 1 1 ' 1 21 3' 4'

    1. (a+b)c - d 6. (e- b)(d - c)(b- a)(m-p) 10. x + m(ab + de - ca) 7. b2(c + d)- a2(m + n) + 2x 8. 2mx + 6(b2 + c2) - 4d2

    2. (a +b)(b - a) 3. (b - m)(c - n) + 4a2

    ~11. 4(m+p) + az+ bz a c2

    4. (2m.:t- 3n)(4p + b2) 5. ( 4m + Bp )(a2 + b2}(6n - d) 9. (Sm + 16p)a 9n b

    12. (2m + 3n + 4p)(Bp + 6n-4m)(9n + 20p)

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    en o -c. E Q) -w

    BALDOR LGEBRA

    13. c2(m + n)- d2(m + p) + b2(n + p) /c2+d2. 2

    19. 3(c-b)J 32m -2(d -a)J16p-~ n

    14. ~ --;:::; m a fd

    15. (4p + 2b)(18n- 24p) + 2(8m + 2)(40p +a) a+E. 5+1.,

    16'. b x m2 d-b p2

    17. (a+b)Jc2+8b-m4-;2 fa+c [oh 1

    18. ~ +>. +(C+d)vP 2 b

    20 .f6ibc + J3mn _ cdnp 2-JraE 2(b-a) abe a2 + b2

    21. 2 2 + 3(a + b)(2a+3b) b - a 22. b'+(~+ ~)~ +~)+(;+ ~)' 23. (2m+ 3n)(4p + 2c) - 4m2n2

    b2 _f. 24. 3 - n "41

    2ab - m b m

    EJERCICIOS SOBRE NOTACIN ALGEBRAICA Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden hacerse las mismas opera-ciones que con los nmeros aritmticOS/ Como la representacin de cantidades por medio de smbolos o letras suele ofrecer dificultades a los alumnos, ofrecemos a continuacin algunos ejemplos.

    1) Escribase la suma del cuadrado de a con el cubo de b. a2 -+- b3 R.

    2) Un hombre tena $a; luego recibi $8 y despus pag una cuenta de $c. cunto le queda? Teniendo $a recibi $8 luego tena $(a + 8). Si entonces gasta $e le quedan $(a+8-c). R.

    3) Compr 3 libros a $a ~ada uno; 6 sombreros a $b cada uno y m trajes a $x cada uno. cunto he gastado?

    3 libros a $a importan $3a 6 sombreros a $b importan $6b m trajes a $x importan $mx

    Luego el gasto total ha sido de $(3a + 6b + mx) R. 4) Compro x libros iguales por $m. cunto me ha costado cada uno?

    Cada libro ha costado $7 R. 5) Tena $9 y gast $x. cunto me queda?

    Me quedan $(9 x) R.

    1. Escrbase la suma de a, b y m. 2. Escrbase la suma del cuadrado de m, el cubo de b y la cuarta potencia de x. 3. Siendo a un nmero entero, escrbanse los dos nmeros enteros consecutivos posteriores a a.

    - ::1 > . , 11 -

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    4. Siendo x un nmero entero, escrbanse Jos dos nmeros consecutivos anteriores a x. 5. Siendo y un nmero entero par, escrbanse los tres nmeros pares consecutivos posteriores a y. 6. Pedro tena $a, cobr $x y le regalaron $m . cunto tiene Pedro? 7. Escrbase la diferencia entre m y n. 8. Deba x bolvares y pagu 6,000. cunto debo ahora? 9. De una jornada de x km ya se han recorrido m km. cunto falta por andar?

    11t Recibo $x y despus $a. Si gasto $m, cunto me queda? 11. Tengo que recorrer m km. El lunes ando a km, el martes b km y el mircoles e km. cunto

    me falta por andar? 12. Al vender una casa en $n gano $300,000. cunto me cost la casa? 13. Si han transcurrido x das de un ao, cuntos das faltan por transcurrir? 14. Si un sombrero cuesta $a, cunto importarn 8 sombreros; 15 sombreros; m sombreros? 15. Escribase la suma del doble de a con el triple de b y la mitad de c. 16. Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m de largo y b m de ancho. 17. Una extensin rectangular de 23m de largo miden m de ancho. Expresar su superficie. 18. cul ser la superficie de un cuadrado de x m de lado? 19. Si un sombrero cuesta $a y un traje $b, cunto importarn 3 sombreros y 6 trajes?, ix sombreros

    y m trajes? 20. Escrbase el producto de a + b por x +y. 21 . Vendo (x +-6) trajes a $8 cada uno. cunto importa la venta? 22. Compro (a - 8) caballos a (x + 4) bolvares cada uno. cunto importa la compra? 23. Si x lpices cuestan 750,000 sucres; cunto cuesta un lpiz?

    24. Si por $a compro m kilos de azcar, cunto importa un kilo? 25. Se compran (n -1) caballos por 300,000 colones. cul es el val0r de cada caballo? 26. Compr a sombreros por x nuevos soles. A cmo habra salido cada sombrero si hubiera

    comprado 3 menos por el mismo precio? 21. La superficie de un campo rectangular es m m2 y el largo mide 14 m. Expresar el ancho. 28. Si un tren ha recorrido x + 1 km en a horas, cul es su velocidad por hora? 29. Tena $a y cobr $b. Si el dinero que tengo lo empleo todo en comprar (m - 2) libros, a

    cmo sale cada libro? 30. En el piso bajo de un hotel hay x habitaciones. En el segundo piso hay doble nmero de habitaciones

    que en el primero; en el tercero la mitad de las que hay en el primero. cuntas habitaciones tiene el hotel?

    31, Pedro tiene a sucres, Juan tiene la tercera parte de lo de Pedro, Enrique la cuarta parte del doble de lo de Pedro. La suma de lo que tienen los tres es menor que 10,000,000 sucres. cunto falta a esta suma para ser igual a 10,000,000 sucres?

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    28 BALDORLGEBRA

    NOTAS SOBRE El CONCEPTO DE NMERO El concepto de nmero natural (vase Aritmtica Terico-Prctica, 33), que satisface las exigencias de la Aritmtica elemental no responde a la generalizacin y abstraccin caracte-rsticas de la operatoria algebraica.

    En lgebra se desarrolla un clculo de validez general aplicable a cualquier tipo espe-cial de nmero. Conviene pues, considerar cmo se ha ampliado el campo de los nmeros por la introduccin de nuevos entes, que satisfacen las leyes que regulan las operaciones

    fundamentales, ya que, como veremos ms adelante, el nmero naturai

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    Como se ve, en oposicin a los nmeros fraccionarios tenemos los nmeros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente de una divisin exacta, como por ejemplo, 1, 2, 3, etctera.

    5 [_ 8 1!_ o 1 o 2

    NMERO RACIONAL Y NMERO IRRACIONAL Siguiendo el orden histrico que nos hemos trazado, vamos a ver ahora cundo y cmo surgieron los nmeros irracionales.

    Es indudable que fueron los griegos quienes conocieron primero los nmeros irraciona-les. Los historiadores de la matemtica, estn de acuerdo en atribuir a Pitgoras de Samas (540 a. C.), el descubrimiento de estos nmeros, al establecer la relacin entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo. Ms tarde, Teodoro de Cirene (400 a. C.), matemtico de la escuela pitagrica, demostr geomtricamente que ./2, ./3, ./5, !t. etc. , son irracionales. Euclides (300 a.C.), estudi en el Libro X de sus "Elementos", ciertas magnitudes que al ser medidas no encontramos ningn nmero entero ni fraccionario que las exprese. Estas magni-tudes se llaman inconmensurables, y los nmeros que se originan al medir tales magnitudes se llaman irracionales. (2> Ejemplos de tales magnitudes son la relacin del lado de un cuadra-do con la diagonal del mismo, que se expresa con el nmero irracional ~a2 + b2 y la relacin de la circunferencia, al dimetro que se expresa con la letra n = 3.141592 ...

    ~1 Rgurn1~----------------------------------------------

    e

    C = Circunferencia D b O= Dimetro

    a

    g =n =3.14159 ...

    (1l En los ejercicios de la divisin se usa la notacin: Cociente Dividendo 1 Divisor que equivale a la notacin Divisor 1 Dividendo Residuo Cociente Residuo

    (2) Al exponer sistemticamente los nmeros irracionales, Euclides los llam asymmetros, y a los racionales los llam symmetros, palabras que significan sin medida y con medida. Para sealar el hecho de que estos nmeros (los irracionales) no tenian expresin los designaba con la voz alogos. Boecio (475-554 d. C.), al traducir emple commensurabils e ncommensurab/s. Sin embargo, Gerardo de Cremona (1114-1187), en una traduccin de un comentario rabe sobre Euclides, utilz errneamente rationals e irrationals, al tomar lagos y alagas como razn y no en la acepcin de palabra (verbum), usada por Euclides. Este error se difundi a lo largo de toda la Edad Media, prevaleciendo en nuestros das el nombre de nmeros irracionales.

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    30 BALDOR LGEBRA

    Como consecuencia de la introduccin de los nmeros irracionales, consideramos ra-cionales el conjunto de los nmeros fraccionarios y el conjunto de los nmeros enteros. Definimos el nmero racional como aquel nmero que puede expresarse como cociente de dos enteros. Y el nmero irracional como aquel nmero real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

    Llamamos nmeros reales al conjunto de los nmeros racionales e irracionales. ,

    NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los nmeros negativos no fueron conocidos por los matemticos de la antigedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo 111 d. C.?), que en su Aritmtica, al explicar el producto de dos diferencias, introduce un nmero con signo +. En el siglo VI, los hindes Brahmagupta y Bhskara usan los nmeros negativos de un modo prctico, sin llegar a dar una definicin de ellos. Durante la Edad Media y el Renacimiento los matemticos rehuyeron usar los n-meros negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de estos nmeros. Posteriormente Harriot (1560-1621 ) introdujo los signos + y- para caracterizar los nmeros positivos y negativos.

    La significacin de los nmeros relativos o con signos (positivos y negativos) se com-prende claramente, cuando los utilizamos para representar el resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades pueden tomarse en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de medir la longitud geogrfica de una regin determinada; o de expresar el grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar de longitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente (Greenwich). En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero o grado bajo cero. Convencionalmen-te fijamos los nmeros positivos o con signo + en una direccin, y los nmeros negativos o con signo - , en la direccin opuesta.

    Si sobre una semirrecta fijamos un punto cero, a partir del cual, hacia la derecha, se-alamos puntos que representan una determinada unidad, nos resultan los puntos A, B, e, etc. Si sobre esa misma sellJirrecta, a partir del punto cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendremos los puntos a, b, e, etc. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indicados a la derecha del punto cero representan los nmeros positivos (A, 8, e, etc.); los puntos sealados a la izquierda (a, b, e, etc.), representarn nmeros negativos.

    e b a A 8 e ---+-----~-----r-----+----~------~----+

    - 2 - 1 o +1 +2 +3

    Histricamente, los nmeros negativos surgen para hacer posible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una operacin inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor un sustraendo mayor.

    Los nmeros y smbolos literales negativos se distinguen por el signo - que llevan ante-puesto. Los nmeros positivos y su representacin literal llevan el signo +, siempre que no inicien una expresin algebraica.

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    El nmero cero. Cuando tratamos de aprehender el concepto de nmero natural, vemos cmo ste surge de la comparacin de conjuntos equivalentes o coordinables entre s. Por extensin llamamos conjunto al que tiene un solo elemento y que se representa por el nmero 1. Ahora, consideramos el nmero cero como expresin de un conjunto nulo o vaco, es decir, un conjunto que carece de elementos.

    Por otra parte, el cero representa un elemento de separacin entre los nmeros negati-vos y positivos, de modo que el cero es mayor que cualquier nmero negativo y menor que cualquier nmero positivo.

    El siguiente diagrama nos aclarar las distintas clases de nmeros con los cules vamos a trabajar:

    ------....---,--NMEROS REALES

    1,... ---- - Negativos Cero

    Racionales Irracionales

    Enteros Fraccionarios

    LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NMEROS REALES

    l PosHivos

    Racionales

    Enteros Fraccionalios

    Irracionales

    Hemos visto sumariamente cmo a travs del curso de la historia de las matemticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de los nmeros, hasta llegar al concepto de n-mero real. El camino recorrido ha sido, unas veces, el geomtrico, que siempre desemboca en la Aritmtica pura, formal; otras veces. el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar en lo intuitivo, en lo geomtrico. Como ejemplos del primer caso, tenemos los nmeros irracionales, introducidos como razn de dos segmentos con el propsito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible la expresin del resultado de la radicacin inexacta. Y tambin, los nmeros fraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes conmensurables, y que hacen posible la divisin inexacta. Como ejemplo del segundo caso, estn los nmeros negativos que aparecen por primera vez como races de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando el minuendo es menor que el sustraendo esta operacin carece de sentido cuando trabajamos con nmeros naturales. Ms tarde, estos nmeros negativos (relativos) servirn para expre-sar los puntos a uno y otro lado de una recta indefinida.

    Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numrico, vamos a exponer las leyes formales (esto es, que no toman en cuenta la naturaleza de los nmeros) de la suma y de la multiplicacin, ya que las dems operaciones fundamentales pueden explicarse como inversas de stas, as, la resta, la divisin, la potenciacin, la logaritmacin y la radicacin. Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carcter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuir a la comprensin de los problemas que ulteriormente le plantearn

    31

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    32 BALDOR LGEBRA

    las matemticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituir una definicin indirecta de los nmeros reales y de las operaciones fundamentales. Estas le-yes que no requieren demostracin, pues son de aprehensin inmediata, se llaman axiomas.

    Igualdad

    l. Axioma de identidad: a =a. 11. Axioma de reciprocidad: si a = b, tenemos que b =a.

    111. Axioma de transitividad: si a= b y b =e, tenemos que a= c.

    Suma o adicin

    1. Axioma de uniformidad: la suma de dos nmeros es siempre igual, es decir, nica; as, si a= b y e= d, tenemos que a+ e= b +d.

    11. Axioma de conmutatividad: a + b = b + a. 111. Axioma de asociatividad: (a+ b) +e= a+ (b +e). IV. Axioma de identidad, o mdulo de la suma: hay un nmero y slo un nmero, el cero,

    de modo que a + O = o + a = a, para cualquier valor de a. De ah que er cero reciba el nombre de elemento idntico o mdulo de la suma.

    Multiplicacin

    l. Axioma de uniformidad: el producto de dos nmeros es siempre igual, es decir, nico, as si a = b y e = d, tenemos que a e = bd.

    11. Axioma de conmutatrvidad: ab = ba. 111. Axioma de asociatividad: (ab)c = a(bc) . IV. Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que a(b +e)= ab + ac. V. Axioma de identidad, o mdulo del producto: hay un nmero y slo un nmero, el uno

    (1), de modo que a 1 = 1 a = a, para cualquier valor de a. VI. Axioma de existencia del inverso: para todo nmero real a =t O (a distinto de cero)

    corresponde un nmero real, y slo uno, x, de modo que ax = 1. Este nmero x se llama inverso o recproco de a, y se representa por 1/a.

    Axiomas de orden

    l. Tricotoma: si tenemos dos nmeros reales a y b slo puede haber una relacin, y slo una, entre ambos, que a > b; a = b o a < b.

    11. Monotona de la suma: si a > b tenemos que a + e > b + c. 111. Monotona de la multiplicacin: si a > b y e > O tenemos que ac > be.

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    PRELIMINARES

    Axioma de continuidad l. Si tenemos dos conjuntos de nmeros reales A y B, de modo que todo nmero de A es

    menor que cualquier nmero de B, existir siempre un nmero real e con el que se verifi-que a ~ e ::: b, en que a es un nmero que est dentro del conjunto A, y b es un nmero que est dentro del conjunto B.

    OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NMEROS RELATIVOS

    Suma de nmeros relativos En la suma o adicin de nmeros relativos podemos considerar cuatro casos: sumar dos nmeros positivos; sumar dos nmeros negativos; sumar un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un nmero positivo o negativo.

    1) Suma de dos nmeros positivos. REGLA Para sumar dos nmeros positivos se procede a la suma aritmtica de los valores absolutos de ambos nmeros, y al resultado obtenido se le antepone el signo +. As tenemos:

    (+4) + (+2) = +6 Podemos representar la suma de dos nmeros positivos del siguiente modo:

    ----1 Figura2 1----------------------~------+6--~--~ ......---- +4 ---...,.;-- + 2 ~

    - 4 - 3 - 2 ....:1 o + 1 +2 +3 +4 +5 +6 + 7

    2) Suma de dos nmeros negativos. REGLA Para sumar dos nmeros negativos se procede a la suma aritmtica de los valores absolutos de ambos, y al resultado obtenido se le antepone el signo - . As tenemos:

    (-4) + (-2) = -6 Podemos representar la suma de dos nmeros negativos del siguiente modo:

    ----1 Figura 3

    - 6 1

    - 2 ("" 1 - 4 1 --- ---

    - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 o +1 +2 +3 +4

    -

    33

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    34 BALDOR LGEBRA

    3) Suma de un nmero positivo y otro negativo.

    -

    REGLA Para sumar un nmero positivo y un nmero negativo se procede a hallar la diferencia aritmtica de los valores absolutos de ambos nmeros, y al resultado obtenido se le antepone el signo del nmero mayor. Cuando los dos nmeros tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero. As tenemos:

    (+6) + (- 2) = +4 (- 6) + (+2) = - 4 (-6) + (+6) =o (+6) + (- 6) =o

    Podemos representar la suma de un nmero positivo y otro negativo de los siguientes modos:

    Representacin grfica de la suma de un nmero positivo y un nmero negativo, en que el nmero positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo:

    ~~ ~um4 ~---------------------------------------

    +4 ~ +6

    l - 2 . r- 1

    . .

    --- ---

    - 3 - 2 - 1 o +1 +2 +3 +4 +5

    Representacin grfica de la suma de un nmero positivo y un nmero negativo, en que el nmero negativo tiene mayor valor absoluto que el positivo:

    ~ ~um5 ~~~-----------------------------------

    Representacin grfica de la suma de un nmero positivo y un nmero negativo, en que el valor absoluto de ambos nmeros es igual.

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    PRELIMINARES

    4) Suma de cero y un nmero positivo o negativo. REGLA La suma de cero con cualquier nmero positivo o negativo nos dar el mismo nmero positivo o negativo.

    As tenemos:

    En general:

    ( + 4) +o=+ 4 (- 4) +o=- 4

    { a+O=O+a=a En que a puede ser positivo, negativo o nulo.

    Sustraccin de nmeros relativos Llamamos opuesto de un nmero al mismo nmero con signo contrario. As, decimos que -m es opuesto de +m. Ya vimos en un caso de la suma que:

    (+m) + (-m) = o La sustraccin es una operacin inversa de la suma que consiste en hallar un nmero x

    (llamado diferencia), tal que, sumado con un nmero dado m, d un resultado igual a otro nmero n, de modo que se verifique:

    x+m =n (1) Llamando m' al opuesto de m, podemos determinar la diferencia x, sumando en ambos

    miembros de la igualdad (1 ), el nmero m'; en efecto: x + m + m' = n + m' (2)

    Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2), veremos que aplicando el axioma de asociatividad tenemos: m+ m'= O, y como x +O= x, tendremos:

    x=n +m' (3) que es lo que queramos demostrar, es decir, que para hallar la diferencia entre n y m basta sumarle a n el opuesto de m (m/). Y como hemos visto que para hallar el opuesto de un n-mero basta cambiarle el signo, podemos enunciar la siguiente

    REGLA Para hallar la diferencia entre dos nmeros re-lativos se suma al minuendo el sustraendo, cam-bindole el signo.

    As:

    (+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4 (+8) - (-4) = (+8) + (+4) = + 12 (-8)- (+4) = (-8) + (-4) = -12 (-8)- (-4) = (-8) + (+4) = -4

    Representacin grfica de la sustraccin de nmeros relativos Por medio de la interpretacin geomtrica de la sustraccin de nmeros relativos, podemos expresar la distancia, en unidades, que hay entre el punto que representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, as como el sentido (negativo o positivo) de esa dis-tancia.

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    36 BALDOR LGEBRA

    Para expresar la diferencia (+4) - (- 8) = + 12, tendremos: ~I R~m l r---------------------------------------

    ~---------------+12 ----------------~ --- ---

    - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 o + 1 +2 +3 +4

    Para expresar la diferencia (- 8) - (+4) = -12, tendremos: ~~ ~~8 ~--------------------------------------

    *---------------- -12 --------------~~ --- ---

    - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 o + 1 +2 +3 +4

    Multiplicacin de nmeros relativos

    REGLA El producto de dos nmeros relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado llevar signo positivo (+),si los signos de ambos factores son iguales; llevar signo negativo (- ), si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es O el producto ser O.

    Cuando operamos con smbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma a x b; bien en la forma a b; y ms usualmente ab.

    As:

    (+2)(+3) = +6 (-2)(-3) = +6 (+2)(-3) = - 6 (-2)(+3) = - 6

    (0)(+3) =o (0)(-3) =o

    00= 0

    El siguiente cuadro es un medio de recordar fcilmente la ley de los signos en la multipli-cacin de los nmeros relativos.

    + por + da + - por- da +

    -+ por- da -= por + da -

    Representacin grfica del producto de dos nmeros relativos El producto de dos nmeros relativos puede expresarse geomtricamente como el rea de un rectngulo cuyo largo y cuyo ancho vienen dados por ambos nmeros. A esta rea podemos

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    PRELIMINARES

    atribuirle un valor positivo o negativo, segn que sus lados tengan valores de un mismo sen-tido o de sentidos distintos respectivamente.

    ~ R~m9 ~-------------------------------------------

    ,__ _ __.,_ - 6 -+---1 +2 +2 1--- --+- +6 -+---1

    - 3 +3

    -3 +3 r

    1-----+- +6 --+--- -1 - 2 - 2 - 6

    Potencia de nmeros relativos Llamamos potencia de un nrnero relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a es un nmero relativo cualquiera y n > 1 es un nmero natural, tendre-mos la notacin an, que se lee a elevado a la ensima potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces. As:

    n veces an=aaa ... a

    En la notacin an = X, llamamos potencia al producto X, base al nmero que tomamos como factor a, y exponente a n, que nos indica las veces que debemos tomar como factor a a. A la operacin de hallar el producto x, la llamamos potenciacin o elevacin a potencia.

    Ejemplo: 45 = 1 ,024 En este ejemplo, 4 es la base; 5 es el exponente, y 1,024 es la potencia.

    REGLA La potencia de un nmero positivo siempre es positiva. La poten-cia de un nmero negativo ser positiva si el exponente es entero y par: negativa si el exponente entero es impar. As:

    a2 =+A (-a)2 =+A

    a3 =+A (-a)3 =-A

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    Producto de dos potencias de igual base REGLA Para multiplicar dos potencias de igual base, se eleva dicha base a la potencia que resulte de la suma de los exponentes respectivos. Ejemplo: Potencia de una potencia REGLA Para hallar la potencia de una potencia se multipli-can los exponentes y se mantiene la base primitiva. Ejemplo:

    Hay que poner especial cuidado en no confundir la potencia de una potencia, con la elevacin de un nmero a una potencia cuyo exponente, a la vez est afectado por otro exponente. As, no es lo mismo (42)3 que (42\ Ejemplo:

    Divisin de nmeros relativos

    BALDOR LGEBRA

    am. an = am+n

    (3)2(3)4 = 32+ 4 = 36 = 729

    (an)m = an xm = anm (-22)3 = - 22x3 = - 26 = -64

    (42)3 = 42x3 = 46 = 4,096 (423) = 42x2x2 = 48 = 65,536

    Ya vimos, al tratar de las leyes formales de la multiplicacin, qu~ de acuerdo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo nmero real a'# O, corresponde un nmero real, y slo uno, x, de modo que ax = 1: Este nmero x se llama inverso o recproco de a, y se representa por 1/a.

    El inverso o recproco de un nmero relativo cual-quiera distinto de cero tiene su mismo signo.

    El inverso de +4 es +l. El inverso de -4 es -. El inverso de -./3 es --}3 El inverso de + ~ es +2.

    La divisin es una operacin inversa de la multiplicacin que consiste en hallar uno de los factores, conocidos el otro factor y el producto. Es decir, dado el dividendo d y el divisor d' hallar el cociente e, de modo que se verifique d'e =d.

    Recordamos que esta operacin slo es posible si d' es distinto de cero. Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos que:

    Sabemos que: Eliminando queda:

    1/d' (d'e) = 1/d' d 1/d' (d'e) = (1/d' d') e= (+ 1 )e= e e= 1/d' d

    De lo cual deducimos la siguiente REGLA Para dividir un nmero cualquiera d entre otro nmero distinto de cero d', multiplicamos d por el recproco d'{1/d'). El cociente que resulte ser positivo si los dos nmeros son del mismo signo; y negativo, si son de signos contrarios.

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    PRELIMINARES

    Con el siguiente cuadro podemos recordar fcilmente la ley de los signos de la divisin con nmeros relativos.

    + entre + da + - entre - da +

    + entre - da -- entre + da -

    Ahora que estudiamos la divisin, podemos enunciar tres casos de la elevacin a poten-cia de un nmero cualquiera.

    1) Si un nmero cualquiera a * O, se eleva a la potencia O es igual a+ 1. As:

    2) Si un nmero cualquiera a * O, se eleva a un exponente negativo cualquiera -m es igual al recproco de la potencia am, de expo-nente positivo. As:

    3) La divisin de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la potencia que d la diferencia de ambos expo-nentes. As:

    3-2_1_1 - i)2 - -3 9

    Uniformidad de las operaciones fundamentales con nmeros relativos Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber: suma, resta, multiplicacin, potencia-cin y divisin, que se cumple en todas ellas el axioma de uniformidad. Quiere esto significar que cuando sometemos dos nmeros relativos a cualquiera de las operaciones mencionadas, el resultado es uno, y slo uno, es decir, nico. Sin embargo, cuando extraemos la raz cua-drada de un nmero positivo, teRemos un resultado doble. Pues como veremos, al estudiar la extraccin de las races, un nmero positivo cualquiera siempre tiene dos races de grado par, una positiva y otra negativa.

    As: ~+a= a' porque: del mismo modo: ~+64 = 8 porque:

    POSIBILIDAD DE AMPLIAR El CAMPO NUMRICO

    (+a')2 = (+a')(+a') =+a (-a')2 = (-a')(-a') =+a (+8)2 = (+8)(+8) = +64 (-8)2 = (-8)(- 8) = +64

    Los nmeros reales no cierran la posibilidad de ampliacin del campo numrico. Tal posibili-dad se mantiene abierta para la introduccin de nuevos entes, siempre que tales entes cum-plan las leyes formales. Dentro de los lmites de este texto, el estudiante todava se enfrentar con una nueva ampliacin del campo numrico. Se trata del nmero complejo, que es un par de nmeros dados en un orden determinado y que est constituido por un nmero real y un nmero imaginario. Con estos nmeros podremos representar un punto cualquiera en el plano. En el captulo XXXII se presentar una discusin amplia sobre estos nmeros.

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    El lgebra en el Antiguo Egipto (5000-500 a. C.). En Egipto, maravilloso pueblo de faraones y pirmides. encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemtica. Sus exigencias vitales, sujetas a las peridicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la Aritmtica y la Geome-

    Captulo /

    SUMA

    ~ ~ ,, ,,,

    tra. En el papiro de Rhind, el ms valioso y antiguo documen-to matemtico que existe, debido al escriba Ahmes (1650 a. C.), se presentan entre mltiples problemas, soluciones de ecuaciones de segundo grado.

    33 LA SUMA O ADICIN es una operacin que tiene por objeto reunir dos o ms expresiones algebraicas (sumandos) en unasola expresin algebraica (suma).

    As, la suma de a y b es a + b, porque esta ltima expresin es la reunin de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b.

    La suma de a y - b es a - b, porque esta ltima expresin es la reunin de las dos ex-presiones dadas: a y - b.

    34 CARCTER GENERAL DE LA SUMA ALGEBRAICA En Aritmtica, la suma siempre significa aumento, pero en lgebra la suma es un concepto ms general, pues puede significar aumento o disminucin, ya que hay sumas algebraicas como la del ltimo ejemplo, que equivale a una resta en Aritmtica.

    Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad posi-tiva de igual valor absoluto.

    As, la suma de m y -n es m - n, que equivale a restar de m el valor absoluto de -n que es 1 n 1.

    La suma de - 2x y - 3y es -2x- 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 13YI

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    ~ 1

    '

    CAPTULO 1 Suma

    REGLA GENERAL PARA SUMAR

    Para sumar dos o ms expresiones algebraicas se escriben unas a continuacin de las otras con sus propios signos y se reducen los trminos semejantes si los hay. l. SUMA DE MONOMIOS 1) Sumar 5a, 6b y Be.

    Los escribimos unos a continuacin de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a, 6b = +6b y Be = +Be la suma ser: 5a + 6b + Be R. El orden de los sumandos no altera la suma. As!, 5a + 6b + Be es lo mismo que 5a + Be + 6b o que 6b + Be + 5a.

    Esta es la ley conmutativa de la suma. 2) Sumar 3a2b, 4ab2, a2b, 7ab2 y 6b3

    Tendremos: 3a2b + 4ab2 + a2b + 7 ab2 + 6b3

    Reduciendo los trminos semejantes, queda: 4a2b + 11ab2 + 6b3 R. 3) Sumar 3a y - 2b.

    Cuando algn sumando es negativo, suele incluirse dentro de un parntesis para indicar la suma; as: 3a + ( -2b)

    La suma ser: 3a - 2b R. 4) Sumar ?a, - Bb, - 15a, 9b, -4e y B.

    Tendremos: 7 a + ( -Bb) + ( -15a) + 9b + ( - 4e) + B = 7 a - Bb - 15a + 9b - 4e + B

    = - Ba + b - 4e + B R.

    5) Sumar .fa2 1ab - 2b2 - 3 ab 1a2 -3 b2 3 '2' 4 '3' 5 ~a2 + ~ab + (-2b2) + (- %ab) + ~a2 + (-~b2)

    =fa2 + 1ab - 2b2 - ~ab + 1a2 - ~b2 = a2 - 1ab - 1-b2 R. 3 2. 4 3 5 4 5

    Sumar: 11 . -11m, Bm 1 1 1. m, n 18. - 2xy, -2xy 24. a, -b, 2e ...

    2. m, -n 12. 9ab, -15ab 25. 3m, -2n, 4p 3. -3a, 4b

    13. -xy, - 9xy 19. -~abe - E. abe 26. a2, - 7ab, - 5b2 5 ' 5 4. Sb, - 6a 21. r , -3xy, -4f

    5. 7, - 6 14. mn, -11mn 20. -4x2y, ~x2y 28. r, -ry, 6 . ' '

    -6. -6, 9 1 2b ,. ' 15. 2a, - 3 3 3 29. 2a, - b, 3a -7. - 2x, 3y 21 - mn - - mn .. l 3b 3 . 8 ' 4 ...... 30. -m, -8n, 4n -8. 5mn, -m 16. 5 , 4e 22. a, b, e 31 . -?a, 8a, -b 9. 5a , 7a

    10. - Bx, -5x 17. ~b. ~b 23. a, -b, e 32 1 2 3 . 2x, 3y, - x

    4 1

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    42

    BALDOR LGEBRA

    3 2 42. m3, -4m2n, 5m3, -7 mn2, -4m2n, -5m3

    33 - - m - m -~mn -"1

    . 5 ' ' 3 43. 9x, - 11y, -x, - 6y, 4z, -6z - ---44. 6a2, -7b2, - 11 , -5ab, 9a2, - 8b2 34. - 7a2, 5ab, 3b2, -a2 -..,

    45. -Ir\ . - 5xl -4y", 7xy3, - 8, x21 r 35. - 7mn2, -5m, 17mn2, -4m .. 36. ~. -Bty, 5, -7~. 4t y 46, 3a, ~b, -4, - b, -~a. 6 1 _,. 37. 5f, 9xy, -6xy, 7f, -t 712 5 2 132 52 38. -8a2b, 5ab2, -a2b, -1 1ab2, - 7b3 4 .2 x, 3xy , 6Y , - 3xy , X , - 6y

    39. m3, - 8m2n, 7mn2, -n3, 7m2n 48. 5ax, -6aX+ 1, BaX+ 2, a X+\ 5aX+ \ - 5ax ..

    3 2 2 12 1 2 5 2 1 2b 1 1b 6 49. 4x, - 3xy, 3y , - 3xy, x , y ~

    40. 2a, 3 ,-4a, s ,- .~ 41 . a,-3b, - 8c,4b,-a , 8c 50 3 a

    2b 1ab2 - 1a2b 1ab2 a2b _.ab2 . 4 ' 2 ' 4 ' 2 ' ' 6 1

    - ---

    11. SUMA DE POLINOMIOS 1) Sumar a - b, 2a + 3b - e y -4a + 5b.

    La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro de parntesis; as: (a - b) + ( 2a + 3b - e) + (-4a + 5b)

    Ahora colocamos todos los trminos de estos polinomios unos a continuacin de otros con sus propios signos, y tendremos:

    a - b + 2a + 3b - e - 4a + 5b = -a + 7 b - e R. En la prctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los otros de modo

    que los trminos semejantes queden en columna; se hace la reduccin de stos, separndolos unos de otros con sus propios signos.

    As, la suma anterior se verifica de esta manera:

    a- b 2a +3b- c

    -4a +5b -a + 7b - c R.

    2) Sumar 3m - 2n + 4, 6n + 4p - 5, Bn - 6 y m - n - 4p. Tendremos: 3m - 2n + 4

    6n + 4p - 5 Bn - 6

    m- n- 4p 4m + 11n - 7 R.

    PRUEBA DE LA SUMA POR EL VALOR NUMRICO Se halla el valor numrico de los sumandos y de la suma para los mismos valores, que fija-mos nosotros, de las letras. Si la operacin est correcta, la suma algebraica de los valores numricos de los sumandos debe ser igual al valor numrico de la suma.

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    CAPTULO 1 Suma

    1) Sumar Ba - 3b + 5e - d, -2b + e - 4d y -3a + 5b - e y probar el resultado por el valor numrico para a = 1, b = 2, e = 3 y d = 4. Tendremos: Ba - 3b + 5e- d = 8 - 6 + 15 - 4= 13

    - 2b + e - 4d = - 4 + 3 -16=-17 -3a + 5b - e = -3 + 1 O - 3 = 4

    5a + 5c - 5d 5 + 15 - 20 = O La suma de los valores numricos de los sumandos 13 - 17 + 4 = O, igual que el valor numrico de la suma que tambin es cero.

    -

    -

    -.

    Hallar la suma de: -

    ...

    1. 3a+2b - e;2a + 3b + e 7. - 7x - 4y+6z; 10x-20y-8z;-Sx+24y+2z 8. - 2m + 3n - 6; 3m - Bn + 8; - Sm + n - 1 O 2. ?a - 4b +Se; - ?a+ 4b - 6e l 1 -

    ... .-- -

    -3. m+ n - p; - m - n + p 9. - Sa - 2b - 3e; ?a- 3b +Se;- Ba + Sb - 3e 10r ab+be+ed; -8ab - 3be - 3cd; 5ab+2be+2ed 4. 9x - 3y + S; -x-y+ 4; -Sx + 4y - 9

    5. a + b - e; 2a + 2b - 2e; -3a - b + 3e 11. ax - ay - az;-Sax-7ay - 6az;4ax+ 9ay+ 8az 6. p + q + r; -2p - 6q + 3r; p + 5q - Br 12. Sx - ?y + 8; - y + 6- 4x; 9- 3x +By

    13. -am + 6mn- 4s; 6s- am- Smn; -2s - Smn + 3am 14. 2a + 3b; 6b - 4e; -a + 8e o 15. 6m - 3n; -4n + Sp; - m- 5p 16. 2a+3b; Se-4;8a+6;7e - 9 11. 2x - 3y; 5z + 9; 6x- 4; 3y- 5

    -;;; -

    _ S W

    18. 8a + 3b - e; Sa- b +e; -a-b - e; ?a - b + 4c - -19. 7x + 2y - 4; 9y- 6z + 5 -y + 3z - 6;- S + Bx - 3y 1

    o

    ... -

    20. -m- n-p; m+ 2n -5; 3p- 6m + 4; 2n.:t Sm- 8 21. Sa.( - 3am - 7 a"; - Bax + 5am - 9a"; - 11 ax + 5am + 16a"

    ..

    - 1

    - -

    23. Bx +y + z + u; -3x - 4y- 2z + 3u; 4x + S y + 3z - 4u; - 9x - y - z + 2u 24. a + b - e + d; a - b + e - d; -2a + 3b - 2e + d; -3a - 3b + 4e - d

    ... 25. 5ab - 31Je + 4ed; 2be + 2cd - 3de; 4bc - 2ab + 3de; -3be - 6ed- ab 26. a - b; b -e; e + d; a -e; e - d; d - a; a - d

    3) Sumar 3x2 - 4xy + y2, - 5xy + 6x2 - 3y2 y - 6y2- Bxy- 9x2. Si los polinomios que se suman pueden ordenarse con relacin a una letra, deben

    ordenarse todos con relacin a una misma letra antes de sumar.

    Asf, en este caso vamos a ordenar de manera descendente con relacin a x y tendremos: -~

    3x2 - 4xy + y2 6x2 - 5xy - 3y2

    -9x2 - Bxy - 6y2 - 17xy - 8y2 R.

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    44 BALDOR LGEBRA

    4) Sumar ~3b - b4 + ab3, - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4 y 5a3b - 4ab3 - 6a2b2 - b4 - 6.

    a3b + ab3- b4 Ordenando con relacin a la a

    se tiene: - ----------- - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4

    5a3b - 6a2b2 - 4ab3 - b4 - 6 6a3b - 8a2b2 + ab3 - 6 R.

    -4., 1.x2+4x; --5x+x2 8. 3x+x3;-4x2 +5;-r+4r-6

    Hallar la suma de:

    2. a2 + ab; -2ab + b2 9. x2 - 3xy + y2; - 2y2 + 3xy- i~; x2 + 3xy- y2 3. x3 + 2x; -x~ + 4 10. a2 - 3ab + b2; -5ab + a2 - b2; 8ab- b~ - 2a2 4. a4 -3a2;a3+ 4a 11. -7r;:5x-6;8x- 9 +~;-7x+14-r 5. - x2 + 3x; x3 + 6 12. a3 - 4a + 5; a3 - 2a2 + 6; a2 - ?a+ 4 6. x2 -4x; -7x+6; 3x2 -5 13. -