15 10

5 15

10

20

20 5

R B

A

U

15 10

25 5

M V m

13 5

3 7

20

2

30 20

E A

F

U

ÁLGEBRA – EJERCICIOS CAPITULO 1

En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes:

Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres

idiomas 3.

a). ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b). ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

n(U) = 100 n(E ∩ A ∩ F)=3 n(A ∩ F)=5 n(E ∩ F)=10 n(E ∩ A)=8 n(F)=42 n(A)=30 n(E)=28

n(E ∪ A ∪ F) = n(E)+ n(A)+ n(F) – n(E ∩ A) – n(E ∩ F) – n(A ∩ F) + n(E ∩ A ∩ F) = 28+30+42–8–10–5+3=80

a). No estudian idiomas = n(U) – n(E ∪ A ∪ F) = 100 – 80 = 20

b). Sólo francés 30

Cierto número de tarjetas rojas, blancas y azules es repartido entre 100 personas de las cuales 5 no reciben

ninguna tarjeta, 45 personas reciben rojas, 45 reciben blancas, 60 reciben azules, 15 personas reciben rojas y

blancas, 25 reciben tarjetas blancas y azules, 20 personas reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores.

a). Cuántas personas reciben una tarjeta. b). Cuántas personas reciben dos tarjetas. c). Cuántas personas reciben una tarjeta blanca pero no azul.

n(R)=45 n(B)=45 n(A)=60 n(R ∩ B)=15 n(B ∩ A)=25 n(R ∩ A)=20 n(R ∩ B ∩ A)=5

a). 15+10+20 = 45 personas reciben una tarjeta. b). 10+20+15 = 45 personas reciben dos tarjetas. c). 10+10 = 20 personas reciben una tarjeta blanca pero no azul.

Hay 15 veteranos de los cuales 10 son muchachos; 15 muchachos que no son veteranos; 30 mujeres, a) cuántos

estudiantes hay en la clase, b) cuántas mujeres no son veteranas.

a). Los estudiantes que están en clase: 55 b). Las mujeres que no son veteranas: 25

3x

4

M = x Q F

x

4 4

x

2

6

30 5

10 15

15

10

20

A B

C U

Un curso de 40 alumnos tienen que optar por tres especialidades Matemáticas, Física y Química, seis alumnos

quieren solo Química, 4 alumnos eligen Química y Física, el número de alumnos que escogen sólo física es la mitad

de los que eligen matemáticas y es el doble de los que eligen matemática y química, no hay ningún alumno que

escoge matemáticas y física. a) Cuántos alumnos eligen química. b) Cuántos eligen matemáticas. c) Cuántos eligen

sólo física y d) cuántos eligen sólo física y química.

n(U) = 40 n(solo Q) = 6 n(Q ∩ F) = 4 n(solo F) = n(M)/2 n(solo F) = 2*n(M ∩ Q) ⇒ n(M ∩ Q)= n(F)/2 n(M ∩ F)=0 ⇒ M y F disjuntos n(M)=x 3x/4 + x/4 + 10 + x/2 = 40 x 3x + x + 40 + 2x = 160 a). 15 alumnos eligen química. b). 20 alumnos eligen matemáticas. c). 10 alumnos eligen sólo física. d). 4 alumnos eligen sólo física y química. Entre un grupo de 105 Ingenieros civiles reunidos en un seminario de perfeccionamiento, conversan acerca de 3

métodos de diseño de estructuras: los métodos son A, B y C. De esta conversación se llega a las siguientes

conclusiones: 60 ingenieros aplican el método A, 40 aplican el B, y 55 el C; 15 ingenieros aplican tanto el A como el

B, 20 el B y el C y 25 el A y el C. Si todos los ingenieros saben aplicar al menos uno de los tres métodos, determine

1) cuántos profesionales de la ingeniería aplican los 3 métodos, 2) cuántos aplican únicamente el método A,

3) cuántos sólo el B. 4) Cuántos sólo el C. 5) Cuántos aplican únicamente 2 métodos.

Datos

n(A ∪ B ∪ C)= n(A)+ n(B)+ n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) U= 105 1. n(A ∩ B ∩ C) = n(A ∪ B ∪ C) – n(A) – n(B) – n(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) n(A)=60 n(A ∩ B ∩ C) = 105 – 60 – 40 – 55 + 15 + 20 +25 n(B)=40 n(A ∩ B ∩ C) = 10 n(C)=55 2. n(A ∩ B)=15 n(B ∩ C)=20 n(A ∩ C)=25 n(A ∪ B ∪ C)=105 1) 10 aplican los 3 métodos

2) 30 aplican únicamente el método A,

3) 15 aplican sólo el B.

4) 20 aplican sólo el C.

5) 5 + 15 + 10 = 30 aplican únicamente 2 métodos.

z

A C I

50 x 80 y

80 50 110 80

20

A C I

80

A C I

50 110 80

20

En una encuesta realizada a 340 estudiantes del curso preuniversitario, se llegó a establecer 3 categorías de

alumnos: astutos, charlatanes e ingenuos. Se conoce que 50 alumnos son astutos y charlatanes. Los ingenuos

exceden en 60 a los astutos. Los charlatanes exceden en 50 a los astutos, 80 estudiantes sólo son ingenuos.

Establezca 1) cuántos estudiantes son sólo astutos, 2) cuántos son charlatanes, 3) cuántos son ingenuos y

charlatanes.

Datos: n(U)= 340 n(A ∩ C) = 50 n(I) = n(A) + 60 n(C) = n(A) + 50 340 – n(A ∪ C) = 80 = sólo I

1. 340 - n(A ∪ C) = 80

340 - n(A) - n(C) + n(A ∩ C)= 80 340 - n(A) - n(A) - 50 + n(A ∩ C)= 80 340 - 2n(A) - 50 + 50= 80 - 2n(A) = -260 n(A) = 130

n(I) = n(A) + 60 = 130 + 60 = 190 n(C) = n(A) + 50 = 130 + 50 = 180

2. 80 + x = z +50 + 60 (1) x – z = 30

x + y + 50 = 50 +z +50 (2) x + y – z = 50

x + y + z + 130 = 340 (3) x + y + z = 210

y + 30 = 50 x + z = 210 – 20 = 190 y = 20

x + z = 190 x – z = 30 2x = 220 x = 110

-z = 30 – 110 z = 80 1). 80 2). 180 3). 110

1). 80 2). 180 3). 110

8 0

6X 5

2X

6

X

A C

D U

En una encuesta realizada a 154 personas, se obtuvieron las siguientes informaciones:

6 personas cenan y desayunan pero no almuerzan

5 personas desayunan y almuerzan solamente

8 personas almuerzan solamente

Él número de personas que realizan las tres comidas es el séxtuplo de las que sólo desayunan y el triple de las que

solo cenan, nadie declara almorzar y cenar solamente. ¿Cuántas personas cenan por lo menos?

n(C) = 6X + 6 + 2X + 0

n(U) = 154 = 6X + 6 + 2X + 0 + 8 + 5 + x ⇒ 9X + 19 = 154

⇒ 9X=135

⇒ X = 15

Una empresa de cosméticos ha lanzado al mercado dos productos A y B. De los cuales pasado un mes, ha

contratado una empresa encuestadora para determinar la preferencia sobre sus productos A y B.

Se selecciona a 100 personas entre señoritas y señoras para dar su preferencia sobre los productos mencionados,

obteniéndose los siguientes resultados:

60 de ellos prefieren el producto A

50 de ellos gustan del producto B

Además 20 prefieren sólo el producto A

¿Cuál de los productos tuvo más impacto en las damas y cuántas de ellas no prefieren ninguno de los productos

lanzados al mercado?