Álgebra abstracta 1

Álgebra abstractaEl álgebra abstracta es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo,cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, elestudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. Elestudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las quese basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de lamatemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentementediferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuelasecundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a losnúmeros reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX comoálgebra moderna.

Historia y ejemplos

Definición históricaBirkhoff y Mc Lane nos dicen: "Se puede definir el álgebra abstracta como el estudio de las propiedades de lossistemas algebraicos que se conservan en los isomorfismos". Vid Pág. 37 de su Álgebra Moderna (1960) Barcelona.Históricamente, algunos temas surgieron en alguna disciplina diferente al álgebra- caso de espacios lineales yálgebra de Boole-. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Poreso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática y fuera deella.

Listado de sistemas algebraicosCon una sola operación matemática son los:•• Cuasigrupos• Semigrupos• Monoides•• GruposCon dos o más operaciones son:•• Dominios de integridad• Anillos y cuerpos• Módulos y Espacios vectoriales• Álgebras asociativas y Álgebras de Lie• Retículos y álgebras de BooleEl álgebra universal es un campo de las matemáticas que provee del formalismo para comparar las diferentesestructuras algebraicas.

Álgebra abstracta 2

Un ejemploEl estudio sistemático del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica comúnconceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: lacomposición de aplicaciones, , y el producto de matrices, . Estas dos operaciones son, de hecho, lamisma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas por unvector de una columna, . Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer con =

= . Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructurasllamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos ycontiene un elemento tal que, para cualquier valor de , . Ciertamente, que dos conjuntosisomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.

Texto de consultaFraleigh, John B. : álgebra abstracta(sic)(1987)

Enlaces externos• John Beachy: Abstract Algebra On Line [1], Lista de definiciones y teoremas, en inglés.• Joseph Mileti: Mathematics Museum: Abstract Algebra [2], una buena introducción a la materia en términos

sencillos, en inglés.

Referencias[1] http:/ / www. math. niu. edu/ ~beachy/ aaol/ contents. html[2] http:/ / www. math. uiuc. edu/ ~mileti/ Museum/ algebra. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 3

Fuentes y contribuyentes del artículoÁlgebra abstracta  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64463827  Contribuyentes: AlfonsoERomero, Barrie, Castelo, Dnu72, Elwikipedista, Euclides, Fmariluis, HiTe, IngeniosoHidalgo, Interwiki, JA Galán Baho, Joselarrucea, Juan Marquez, Julio grillo, Kordas, ManuelGR, Paintman, Sxim, Tomatejc, Tostadora, Txortx, Vitamine, 23 ediciones anónimas

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