Álgebra Booleana y

Propiedades

1

Sea B ={0;1}. Definimos la suma y el producto y

complemento para los elementos de B como

• 0+0 = 0.

• 0+1 = 1+0 = 1+1 = 1.

• 0.0 = 0 = 1.0 = 0.1

• 1.1 = 1

•

•

Una variable x es una variable booleana si x sólo toma

valores de B. en consecuencia x + x = x y x.x = x para

cualquier variable booleana x.

• Si x, y son variables booleanas, entonces

• 1) x+y = 0 si y solo si x = y = 0

• 2) x.y = 1 si y solo si x = y = 1

2

0 1

1 0

3

LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE

Definición:

Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto B), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b B; a x b y a + b B.

Propiedades del algebra de Boole:

1 Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a B :

• a + 0 = a (elemento neutro)

• a x 1 = a (elemento identidad)

4

2. Ley de Conmutatividad

Para a y b B :

a + b = b + a

a x b = b x a

3. Ley de Asociatividad

Para a, b y c B :

a + ( b+c ) = ( a + b ) + c

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:

5

4. Ley de Distributividad

Para a, b y c B :

a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c)……..(demostrar)

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c)

5. Elemento inverso

Para cada elemento a B existe su elemento inverso tal que :

a a 1

a a 0

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:

6

Establece que si una expresión es valida en el

álgebra de Boole, entonces su expresión dual

también lo es.

Determinamos la expresión dual remplazando los

operadores “+” por “x” y viceversa y todos los

elemento 0 por 1 y viceversa.

Ejemplo:

a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0

Principio de Dualidad

7

Teoremas

• Teorema 1: Operaciones con “0” y “1”

• Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”:

• Teorema 3:operaciones superfluas con una variable

a a a

a a a

0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0

A 1 1 A 0 0

8

Teoremas

• Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de

A es igual a A).

• Teorema 5: teorema de Absorción:

• Teorema 6: teorema de simplificación:

A = A

a a b a

a (a b) a

a a b a b

a (a b) a b

9

Teoremas

• Teorema 7:

• Teorema 8:

a b a b a

(a b) (a b) a

a b a b c a b a c

(a b) (a b c) (a b) (a c)

10

Teoremas

• Teorema 9: Teorema de Morgan

• En general:

a b a b

a b a b

a b ... z a b c ... z

a b c ... z a b c ... z

• Simplifique la siguiente función booleana a un

numero mínimo literal

• A)

• B)

• C)

• D)

• E)

11

x + x.y

x x + y

xyz + xyz + xy

xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

xyz + xyz + xyz + xyz

12

xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

13

xyz + xyz + xyz + xyz

14

Una compuerta AND recibe entradas a y b, donde a y

b son bits, y produce una salida denotada por a∧b,

donde

COMPUERTA AND

1 si a 1 y b 1a b

0 de otra manera

Una compuerta AND se dibuja como se indica en la

figura 1

15

COMPUERTA OR

Una compuerta OR recibe entradas a y b, donde a y b

son bits, y produce una salida denotada por a∨b,

donde 1 si a 1 ó b 1

a b0 de otra manera

Una compuerta OR se dibuja como se indica en la

figura 2.

16

Una compuerta NOT (o inversor) recibe una entrada a,

donde a es un bit, y produce una salida denotada por

, donde a

COMPUERTA NOT

1 si a 0a

0 si a 1

Una compuerta NOT se dibuja como se indica.

17

Funciones de Conmutación

Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno

representa un 0 o un 1, definiremos:

• Función de conmutación: es una correspondencia que asocia

un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones

de las n variables x1, x2, … , xn.

Ejemplos:

En general una función de conmutación queda definida por una

tabla de verdad.

0000)1,1,0(

),,( 313211321

F

xxxxxxxxxF

n2

18

Representación de una función de

Conmutación

• Tabla de Verdad:

Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los

colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario

ascendente.

Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b

a b a+b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

a b axb

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

19

Tabla de Verdad

• Describa una función de conmutación con 3 entradas

a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando

al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1).

a b c f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

20

cbcbacbacbaf ),,(

1

1

1

0

1

0

0

0

100111

001110

010101

000100

100011

000010

000001

000000

fcbcbacbaabc

21

Representación de una función de

Conmutación Formas Algebraicas

• Suma de Productos: se construye al sumar (or)

términos productos (and).

Ejemplo:

• Producto de Sumas: se construye con el producto

(and) de términos suma (or).

Ejemplo:

dcadbcbadcbaf ),,,(

)()(),,,( dacbadcbaf

22

Representación de una función de

Conmutación

• Formas Canónicas:

Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con

características especiales. Existe una única forma canónica

para cada función de conmutación.

Mintérmino: término de una función de conmutación que

corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada

una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejemplo:

Maxtérmino: término de una función de conmutación que

corresponde al OR de todas las variables, en donde cada

una aparece bien sea complementada o sin complementar.

Ejemplo:

),,( cbaf cbacbacbam ;

),,( cbaf )(),( cbacbaM

23

Formas Canónicas Suma de Productos

cbacbacbacbaf ),,(

a b c f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

cba

cba

cba

Relación con la tabla de verdad:

Cada mintérmino está asociado con la

línea de la tabla, tal que:

• Las variables no están complementadas

si tienen el valor 1 para la combinación en

la cual la función vale 1.

• Las variables están complementadas si

tienen el valor 0 para la combinación en la

cual la función vale 1.

24

1100111

0000011

0000101

0000001

0000110

1010010

0000100

1001000

fcbacbacbacba

cbacbacbacbaf ),,(

Formas Canónicas Suma de Productos

25

• Expresar la operación lógica F; según la tabla:

26

a b c f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

• Expresar la operación lógica F; según la tabla:

27

a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

• Expresar la operación lógica F; según la tabla:

28

a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

29

Formas Canónicas Producto de Sumas

)()()(),,( cbacbacbacbaf

a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

Relación con la tabla de verdad:

Cada maxtérmino está asociado con

la línea de la tabla, tal que:

• Las variables no están

complementadas si tienen el valor 0

para una combinación en que la

función vale 0

• Las variables están complementadas

si tienen el valor 1 para una

combinación en que la función vale 0

cba

cba

cba

30

Formas Canónicas Producto de Sumas

)()()(),,( cbacbacbacbaf

1111111

0110011

1111101

1111001

0101110

1111010

1111100

0011000

fcbacbacbacba

31

Representación de una función de

Conmutación • Especificación decimal:

– Suma de Productos:

– Producto de Sumas:

)7,5,3,1(),,(

),,(

)()()()(),,(

7531

Mcbaf

MMMMcbaf

cbacbacbacbacbaf

)7,6,3,1(),,(

),,(

),,(

7631

mcbaf

mmmmcbaf

cbacbacbacbacbaf

32

Relación Mintérminos - Maxtérminos

)5,4,1,0()7,6,3,2(),,( Mmcbaf

mM

Mm

ii

ii

33

Deducción de Formas Canónicas

• Teorema de expansión de Shannon:

• Ejemplo:

Si falta se multiplica por la suma es igual a 1

3213221321 ),,( xxxxxxxxxxf

),...,,1(),...,,0(),...,,(

),...,,0(),...,,1(),...,,(

212121

212121

nnn

nnn

xxfxxxfxxxxf

xxfxxxfxxxxf

ix )( ii xx )( ii xx

)7,2,6,4,5(),,(

),,(

)()(),,(

321

321321321321321321

32111323321321

xxxf

xxxxxxxxxxxxxxxxxxF

xxxxxxxxxxxxxxF

34

Convertir a Suma de Productos Canónica

)7,6,4,3,1(

)()(

)0,,()1,,(

)()(

),0,(),1,(

)(

),,0(),,1(

),,(

m

cbacbacbacbacba

babacbababac

bacbafc

cbacbacbaba

cacabcaab

cabcafb

cacba

cbfacbfa

cacabacbaf a b c f

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

35

Convertir a Suma de Productos Canónica

)7,6,4,3,1(),,(

),,(

13

46

67

mcbaf

mmcbacbaca

mmcbacbaca

mmcbacbaba

cacabacbaf

ababa

36

Convertir a Producto de Sumas Canónica

)3,2,1,0(

)()())(()()(

)()()()(

))()(())()((

)()(

)(),,(

M

cbacbacbacbacbacba

cbacbaccbaccba

cbabaccbaba

cbbaccbba

caacbaf

37

xy x y z y

38

x y x y z