Algebra 5

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231 R a d i c a l e s Simplificación de radicales Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice Procedimiento Para simplificar radicales se procede de la siguiente manera: 1. Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores. 2. La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice 3. La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz

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R a d i c a l e s

Simplificación de radicales

Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice

 Procedimiento

Para simplificar radicales se procede de la siguiente manera:

1.  Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.2.  La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean    potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice3.  La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz  

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Simplificar:

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R a d i c a l e s

Simplificación de radicales

Cuando la cantidad subradical es una fracción

 Procedimiento

1.  Se factoriza el subradical: de los radicales solo se pueden sacar factores.2.  La parte numérica se descompone en factores de tal forma que los más sean    potencias con exponentes múltiplos del índice de la raíz: para luego poder sacar del radical dichas potencias al dividir el exponente por el índice3.  La parte literal se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible con exponentes múltiplos del índice de la raíz 4.  Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la cantidad necesaria que haga que el denominador tenga raíz exacta

S i m p l i f i c a r :

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Simplificación de radicales

Cuando los exponentes de los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor común

 Procedimiento

1.  Se expresan los coeficientes numéricos en potencias de sus factores primos.2.  Se expresa la raíz como un producto de potencias (escribiendo las potencias con exponentes fraccionarios cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y cuyo denominador es el índice de la raíz)3.  Se simplifican los exponentes4.  Se transforma la potencia en su equivalente radical

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S i m p l i f i  c a r :

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R a d i c a l e s

Introducción de cantidades bajo el signo radical

 Procedimiento

1.  Una cantidad se puede introducir, como factor, dentro de un signo radical, con un exponente igual al índice de la raíz

Nota:  Se dice que un radical es entero cuando su coeficiente es 1.

Hacer enteros los radicales:

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R a d i c a l e s

Reduccción de radicales al mínimo común índice

 Procedimiento

1.  Se halla el M.C.M. de los índices, éste será el índice común2.  Se divide el índice común, hallado en 1, entre el índice de la raíz3.  Se escribe cada cantidad subradical, elevada a un exponente igual al cociente hallado en 2, dentro de un radical con el índice común4.  Cuando uno de los radicales tiene, coincidencialmente, el mismo índice que el índice común, obviamente, se deja tal cual Nota: la notación que utilizo para escribir el M.C.M. (mínimo común múltiplo] es[a, b, ...] =

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Reducir al mínimo común índice:

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R a d i c a l e s

Reduccción de radicales al mínimo común índice

Magnitudes relativas de los radicales

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 ProcedimientoPara ordenar en orden de magnitud a varios radicales, se procede de la siguiente manera:1.  Se reducen los radicales al mínimo común índice siguiendo los pasos a a da.  Se halla el M.C.M. de los índices, éste será el índice comúnb.  Se divide el índice común, hallado en 1, entre el índice de la raízc.  Se escribe cada cantidad subradical, elevada a un exponente igual al cociente hallado en 2, dentro de un radical con el índice comúnd.  Cuando uno de los radicales tiene, coincidencialmente, el mismo índice que el índice común, obviamente, se deja tal cual Nota: la notación que utilizo para escribir el M.C.M. (mínimo común múltiplo] es  [a, b, ...] = Se ordenan los radicales comparando la magnitud de las cantidades subradicales

Escribir en orden creciente de magnitudes:

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R a d i c a l e s

Reduccción de radicales semejantes

 ProcedimientoDos radicales son semejante cuando tienen el mismo índice e igual cantidad subradical; difieren únicamente en el coeficiente. Por lo tanto, para reducir dos o más radicales semejantes basta con: 1.  Realizar la suma algebraica de los coefientesSe escribe el total obtenido en el paso anterior anteponiéndolo a la parte radical común

Reducir:

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R a d i c a l e s

Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

Procedimiento

1.  Se simplifican los radicales2.  Se reducen los radicales semejantes3.  Se escriben los radicales no semejantes con su propio signo

Simplificar:

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239R a d i c a l e s

Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

 Procedimiento

1.  Se simplifican los radicales2.  Se reducen los radicales semejantes3.  Se escriben los radicales no semejantes con su propio signo

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Simplificar:

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R a d i c a l e s

Operaciones con radicales

Multilplicación de radicales

 Procedimiento

1.  Se multilplican los coeficientes entre sí2.  Se multiplican las cantidades subradicales entre sí3.  Se simplifica

Multiplicar:

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R a d i c a l e s

Operación con radicales

Multiplicación de radicales compuestos

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P r o c e d i m i e n t o

1.  Se escriben los factores entre paréntesis2.  Se efectúan las operaciones indicadas, mutiplicando cada término de un paréntesis por todos los términos del otro paréntesis3.  Para multiplicar dos radicales del mismo índice se efectúa el produco bajo el mismo signo radical común4.  Se sacan los factores del signo radical, dividiendo los exponentes respectivos por el índice de la raíz5.  Se reducen los radicales semejantes

Multiplicar:

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242R a d i c a l e s

Operación con radicales

Multiplicación de radicales con distinto índice

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 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se reducen los radicales al mínimo común índice siguiendo los pasos a a da.  Se halla el M.C.M. de los índices, éste será el índice comúnb.  Se divide el índice común, hallado en 1, entre el índice de la raízc.  Se escribe cada cantidad subradical, elevada a un exponente igual al cociente hallado en 2, dentro de un radical con el índice comúnd.  Cuando uno de los radicales tiene, coincidencialmente, el mismo índice que el índice común, obviamente, se deja tal cual Nota: la notación que utilizo para escribir el M.C.M. (mínimo común múltiplo] es  [a, b, ...] = 2.  Se multiplican como radicales del mismo índice:a.  Se multilplican los coeficientes entre síb.  Se multiplican las cantidades subradicales entre síc  Se simplifica

Nota: para adiestrarse en la reducción de radicales al mínimo común índice, consulte le Ejercicio235.

Multiplicar:

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R a d i c a l e s

Operación con radicales

División de radicales con el mismo índice

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se dividen los coeficientes entre sí2.  Se dividen las cantidades subradicales entre sí3.  Se simplifica

Dividir:

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R a d i c a l e s

Operación con radicales

División de radicales de distinto índice

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 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se reducen los radicales al mínimo común índice siguiendo los pasos a a da.  Se halla el M.C.M. de los índices, éste será el índice comúnb.  Se divide el índice común, hallado en 1, entre el índice de la raízc.  Se escribe cada cantidad subradical, elevada a un exponente igual al cociente hallado en 2, dentro de un radical con el índice comúnd.  Cuando uno de los radicales tiene, coincidencialmente, el mismo índice que el índice común, obviamente, se deja tal cual Nota: la notación que utilizo para escribir el M.C.M. (mínimo común múltiplo] es  [a, b, ...] = 2.  Se dividen como radicales del mismo índice:a.  Se dividen los coeficientes entre síb.  Se dividen las cantidades subradicales entre síc  Se simplifica

Nota: para adiestrarse en la reducción de radicales al mínimo común índice, consulte le Ejercicio235.

Dividir:

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R a d i c a l e s

Operación con radicales

Potenciación de radicales

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se eleva el coeficiente a la potencia dada2.  Se eleva la cantidad subradical a la potencia3.  Se simplifica

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Desarrolllar:

Elevar al cuadrado:

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R a d i c a l e s

Operación con radicales

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Radicación de radicales

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se multiplican entre sí los índices de las raíces2.  Se escribe la cantidad subradical bajo una sola raíz cuyo índice es el producto hallada en el paso anterior3.  Se simplifica

Simplificar:

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R a d i c a l e s

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Operación con radicales

Racionalización

(El denominador es un monomio)

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se multiplican los dos términos de la fracción por un radical, del mismo índice de la raíz en el denominador, que multiplicado por éste se elimine el signo radical2. Se simplifica

Racionalizar el denominador de:

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Radicales

Racionalización

Expresiones conjugadas

P r o c e d i m i e n t o

1.  Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador2.  Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades ... 3.  Se reduce y se simplifica

Racionalizar el denominador de:

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249Radicales

Racionalización

Expresiones conjugadas

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se asocian dos de las raíces en el denominador2.  Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador3.  Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades ... 4.  Se reduce y se simplifica5.  Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador 6.  Se efectúan los productos indicados; en el denominador, la suma por la diferencia de dos cantidades ... 7.  Se reduce y se simplifica

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Racionalizar el denominador de:

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Radicales

Racionalización

División de radicales cuando el denominador es compuesto

 P r o c e d i m i e n t o

1.  Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la conjugada del denominador con el objeto de racionalizar el denominador2.  Se reduce y se simplifica

Dividir:

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