Algebra 4

205P o t e n c i a c i ó n

Potencia de un monomio

P r o c e d i m i e n t o

1. Si el monomio es positivo la potencia simpre es positiva. Si el monomio es negativo, la potencia será positiva si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar2. Se eleva el coeficiente al exponente de la potencia3. El exponente de cada letra se multiplica por el exponente de la potencia

Desarrollar:

206

P o t e n c i a c i ó n

Cuadrado de un binomio


1. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"3. Cada término, una vez desarrollados los paréntesis, se desarrolla como en el ejercicio anterior: Ejercicio 205.Nota: recuérdese que en el producto de dos o más potencias con igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes.

Desarrollar:

207


Cubo de un binomio


1. Se emplean las fórmulas generales:

2. Se identifican a y b y se aplican en alguna de las fórmulas anteriores, según corresponda3. Se efectúan las operaciones indicadas4. Se reduce

D e s a r r o l l a r :

208


Cuadrado de un polinomio


Para hallar el cuadrado de un polinomio, se procede de la siguiente manera:

1. Se aplica la siguiente regla: "El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos más el duplo de las combinaciones binarias que con ellos puede formarse"2. Se efectúan las operaciones que quedan indicadas3. Se reducen términos semejantes

Nota1: En las combinaciones binarias, cada término se toma con su respectivo signoNota2: El número de términos del primer desarrollo del polinomio es igual a la suma de los términos del polinomio más el número de las combinaciones binarias; veamos:

Esto es:El cuadrado de un trinomio, en su primer desarrollo, tendrá un total de 3 + 3 = 6 términos.El cuadrado de un cuadrinomio, en su primer desarrollo, tendrá un total de 4 + 6 = 10 términos.El cuadrado de un polinomio de cinco términos, en su primer desarrollo, tendrá un total de 5 + 10 = 15 términos.El cuadrado de un polinomio de seis términos, en su primer desarrollo, tendrá un total de 6 + 15 = 21 términos....

Elevar al cuadrado:

210


Binomio de NewtonElevar un binomio a una potencia entera y positiva


Para desarollar un binomio elevado a una potencia entera y positiva, se procede de la siguiente manera:1. Se aplica la fórmula general de la "Ley del binomio", que a partir de:

se resume como:

Nota: los factores de los coeficientes de los términos también se pueden obtener a partir del "Triángulo de Pascal", como se enseña en el Ejercicio 211.

Desarrollar:

211


Triángulo de pascal

P r o c e d i m i e n t o Para obtener los factores de los coeficientes en el desarrollo de un binomio. mediante el triángulo de Pascal, se procede de la siguiente manera:1. Se forma el tríangulo de pascal hasta formar la fila cuyo segundo número es el exponente del binomio (aquí lo vamos a construir hasta la fila que nos muestra los factores de los coeficientes para un exponente n = 9):a. En l aprimera fila se escribe 1b. En la segunda fila se escribe 1 y 1c. A partir de la tercera fila se comienza escribiendo 1 y luego se escriben los resultados de las sumas de dos números consecutivos en la fila nterior

2. A partir del Triángulo de Pascal, se toman los factores de los coeficientes de los términos en el desarrollo del binomio3. En lo demás se procede como en el Ejercicio 210.

Desarrollar, hallando los factores de los coeficientes por el triángulo de Pascal:

212


Término general


213

R a d i c a c i ó n Raíz de un monomio

Procedimiento

1. Se extrae la raíz enésima del coeficiente. Si es necesario, se expresa el coeficiente en forma de potencia, para lo cual se descompone previamente en sus factores primos. Para sacar una potencia del signo readical se divide el exponente por el índice de la raíz. 2. Se extrae la raíz enésima de cada letra; para lo cual dividimos el exponete de cada letra por el índice de la raíz. Previamente debemos descomponer los factores literales en otros factores tales que sus exponentes sean múltiplos del índice de la raíz. Las letras cuyo exponente no es múltiplo del índice de la raíz y que a su vez son menores que éste, se dejan dentro del signo radical3. Si el índice de la raíz es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es par, la cantidad subradical debe ser positiva (estamos trabajando con números reales), el resultado debe ir precedido de los signos .Nota: cuando la cantidad subradical es una fracción, se extrae la raíz al numerador y al denominador por separado.

Hallar las siguientes raíces:

214

R a d i c a c i ó n Raíz cuadrada de polinomios

Raíz cuadrada de polinomios enteros

Procedimiento

1. Se ordena el polinomio (radicando) en forma descendente con respecto a una letra2. Se halla la raíz cuadrada del primer término del radicando. Ésta será el primer término de la raíz.3. Se eleva al cuadrado el término hallado en el paso anterior, y el resultado se resta del primer término del radicando4. Se bajan los dos siguientes términos del radicando y se divide el primero de éllos por el duplo del primer término de la raíz.5. El cociente anterior es el segundo término de la raíz.6. El segundo término de la raíz se escribe junto al duplo del primer término de la raíz; este binomio así formado se multiplica por el segundo término.7. El producto hallado en el paso anterior se resta de los dos términos que bajamos en el paso 48. Se bajan los términos necesarios para tener tres términos. Se duplica la parte de raíz ya hallada y se divide el primer término del residuo entre el primero de este duplo. El cociente es el tercer término de la raíz.9. El tercer término de la raíz hallado en 8, se escribe al lado del duplo de la raíz hallada hasta el momento para formar un trinomio; este trinomio se multiplica por por el tercer término de la raíz y el producto se resta del residuo.10. Se continua el procedimiento anterior, dividiendo siempre el primer término del residuo entre el primer término del duplo de la raíz hallada, hasta obtener residuo cero.Nota: el procedimiento es esencialmente el mismo para cualquier polinomio que tenga raíz cuadrada exacta, aunque puede variar ligeramente dependiendo del polinomio; por ejemplo cuando faltan términos, esto es, cuando al ordenar el polinomio no existe un término para determinado exponente ...

Hallar la raíz cuadrada de:

218

Teoría de los exponentes


1. Se expresan todos los exponentes como fracciones propias (fracciones donde el denominador es mayor que el numerador: donde el cociente es menor que 1). Al terminar la transformación de una fracción impropia resultará una parte entera y una fracción propia. 2. Para expresar una cantidad elevada a un exponente fraccionario en su equivalente radical, se escribe la base con exponente igual al numerador dentro de un signo radical cuyo índice es el denomonador del exponente3. Para expresar una cantidad que está escrita bajo un signo radical en su equivalente en forma de potencia con exponente fraccionario, se escribe la base elevada a un exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente la otencia original y cuyo denominador es el índice de la raíz

Expresar con signo radical:

219


Transformar una expresión con exponentes negativos en una expresión equivalente con exponentes positivos


1. Para transformar una potencia con exponente negativo en su equivalente de exponente pisitivo, se cambia de término en la fracción; esto es, si está en el numerador se pasa al denominador y, viceversa, si se encuentra en el denominador se pasa al numerador:

Nota: la potencia pasa como factor del numerador al denominador o viceversa

Expresar con exponentes positivos y simplificar:

220



1. Se puede pasar una potencia del numerador al denominador o, viceversa, del denominador al numerador, simplemente cambiando el signo del exponente

Pasar los factores literales del numerador al denominador:

Pasar los factores literales del denominador al numerador:

Expresar sin denominador:

221

T eoría de los exponentes


1. Se expresan las potencias negativas en sus equivalentes con exponentes positivos: pasandolas de numerador a denominador o, viceversa, de denominador a numerador2. Se reducen las potencias, si es el caso3. Se transforman las potencias en sus equivalentes radicales: se escribe la base con exponente igual al numerador del exponente y dentro de un signo radical cuyo índice es el denominador del exponente4. Para hallar el valor de una potencia con base y exponente numérico, se procede así:a. Se transforma la base, si es posible, en una potencia con exponente igual al denominador del exponente dadob. Se aplican las propiedades de los exponentes:

c. Se eleva al exponente resultanted. Se simplifica

Expresar con signo radical y exponentes positivos:

Expresar con exponentes positivos:

Hallar el valor de:

222

T eoría de los exponentes


1. Se expresan las potencias en sus equivalentes radicales2. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico3. Se extraen las raíces4. Se elevan las potencias5. Se simplifica

Hallar el valor numérico de:

223

Multiplicación de monomios con exponentes negativos y fraccionarios


1. Se escribe la base común y se suman los exponentes

224


Multiplicación de polinomios con exponentes negativos y fraccionarios


1. Se ordenan los polinomios2. Se efectúa el producto indicado3. Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se suman los exponentes

Multiplicar, ordenando previamente:

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