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ALGEBRA LINEAL
MsC. Andrés Baquero
Capítulo III: “Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional”
jueves, 2 de julio de 15
Introducción a los vectores
jueves, 2 de julio de 15
Vectores Geométricos
jueves, 2 de julio de 15
Vectores Geométricos
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Vectores Geométricos
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Vectores Geométricos
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Vectores Geométricos
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Vectores en sistemas de coordenadas
jueves, 2 de julio de 15
Vectores en sistemas de coordenadas
jueves, 2 de julio de 15
Vectores en sistemas de coordenadas
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Vectores en el espacio 3D
• Así como los vectores en el plano se pueden describir por parejas de números reales, los vectores en el espacio tridimensional se pueden describir por ternas de números reales introduciendo un sistema de coordenadas rectangulares.
• Para construir ese sistema de coordenadas, se elige un punto O,denominado el origen, y se eligen tres rectas perpendiculares entre si, denominadas ejes de coordenadas, que pasan por el origen.
• Los ejes se identifican con x , y y z y se elige una dirección positiva para cada eje de coordenadas,así como una unidad de longitud para medir distancias (figura a).
jueves, 2 de julio de 15
Vectores en el espacio 3D
• Cada par de ejes de coordenadas determina un plano denominado plano de coordenadas.
• Estos planos se denominan plano xy, plano xz y plano yz.
• A cada punto P en el espacio tridimensional corresponde una terna de números (x, y , z ) denominados coordenadas de P , como sigue:
• Por P se hacen pasar tres planos paralelos a los planos de coordenadas, y los puntos de intersección de estos planos con los tres ejes de coordenadas se denotan por X. Y y Z (figura b).
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Vectores en el espacio 3D
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Vectores en el espacio 3D
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Vectores en el espacio 3D
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Vectores en el espacio 3D
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Vectores en el espacio 3D
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Vectores en el espacio 3D
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Traslación de ejes
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Vectores en el espacio 3D
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Norma de un vector: Aritmética vectorial
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Propiedades de las operaciones vectoriales
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Propiedades de las operaciones vectoriales
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Propiedades de las operaciones vectoriales
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Norma de un vector
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Norma de un vector
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Norma de un vector
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Norma de un vector
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Norma de un vector
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Producto punto: Proyecciones
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Producto punto de vectores
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Producto punto de vectores
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Fórmula de las componentes para el producto punto
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Fórmula de las componentes para el producto punto
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Fórmula de las componentes para el producto punto
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Cálculo del ángulo entre dos vectores
jueves, 2 de julio de 15
Cálculo del ángulo entre dos vectores
jueves, 2 de julio de 15
Cálculo del ángulo entre dos vectores
jueves, 2 de julio de 15
Cálculo del ángulo entre dos vectores
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Vectores ortogonales
• Los vectores perpendiculares también se denominan vectores ortogonales.
• Por el teorema 1.3.lb: dos vectores dierentes de cero son ortogonales si y sólo si su producto punto es cero.
• Si se acuerda en considerar a u y v como perpendiculares cuando alguno o los dos son cero, entonces se puede afirmar sin excepción que dos vectores u y v son ortogonales (perpendiculares) si y sólo si u · v = O.
• Para indicar que u y v son vectores ortogonales, se escribe
jueves, 2 de julio de 15
Vectores ortogonales
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Vectores ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Proyecciones ortogonales
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Rectas y planos en 3D
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Planos en 3D
• En geometría analítica plana, una recta se puede especificar dando su pendiente y uno de sus puntos.
• De manera semejante, un plano en el espacio tridimensional se puede especificar proporcionando su inclinación y especificando uno de sus puntos.
• Un método conveniente para describir la inclinación es especificar un vector diferente de cero (denominado normal) que es perpendicular al plano.
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Planos en 3D
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Forma vectorial de la ecuación de un plano
jueves, 2 de julio de 15
Forma vectorial de la ecuación de un plano
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Rectas en el espacio 3D
jueves, 2 de julio de 15
Rectas en el espacio 3D
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Rectas en el espacio 3D
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Rectas en el espacio 3D
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Rectas en el espacio 3D
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Forma vectorial de la ecuación de la recta
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Forma vectorial de la ecuación de la recta
jueves, 2 de julio de 15
Forma vectorial de la ecuación de la recta
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15
Algunos problemas donde interviene la distancia
jueves, 2 de julio de 15