Álgebra - 1eroSec - I Bimestre

ÁLGEBRA

ÍNDICE

Pág.

C a p . 1 Historia del Álgebra - Números Enteros ............................................................................. 5

C a p . 2 Adición y Sustracción de Números Enteros ......................................................................... 17

C a p . 3 Adición y Sustracción de Monomios ................................................................................... 25

C a p . 4 Adición y Sustracción de Polinomios .................................................................................. 31

C a p . 5 Multiplicación de Números Enteros .................................................................................... 37

C a p . 6 División de Números Enteros ............................................................................................ 41

C a p . 7 Potencia con Números Enteros ......................................................................................... 51

C a p . 8 Repaso .......................................................................................................................... 59

C a p . 9 Potencia de Exponente Entero .......................................................................................... 65

C a p . 1 0 Multiplicación Algebraica .................................................................................................. 71

C a p . 1 1 Valor Numérico ............................................................................................................... 77

C a p . 1 2 Gráficas lineales .............................................................................................................. 83

C a p . 1 3 Gráficas de Polinomios Cuadráticos ................................................................................... 91

C a p . 1 4 Productos Notables I ........................................................................................................ 99

C a p . 1 5 Productos Notables II ....................................................................................................... 105

C a p . 1 6 Repaso .......................................................................................................................... 111

Á L G E B R A 2010 - TRILCE

Departamento de Publ icac ionesLima - Perú

TRCO1SLIAL1B-10.pmd

1er año de secundaria

C a p . 1 7 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita................................................................... 119

C a p . 1 8 Planteo de Ecuaciones I ................................................................................................... 125

C a p . 1 9 Planteo de Ecuaciones II .................................................................................................. 131

C a p . 2 0 Sistema de Ecuaciones I .................................................................................................. 135

C a p . 2 1 Sistema de Ecuaciones II ................................................................................................. 141

C a p . 2 2 Sistema de Ecuaciones III ................................................................................................ 147

C a p . 2 3 Planteo de Sistema de Ecuaciones .................................................................................... 153

C a p . 2 4 Repaso........................................................................................................................... 157

C a p . 2 5 Polinomios con Coeficientes Fraccionarios y Valores Numéricos Fraccionarios........................ 163

C a p . 2 6 Ecuaciones con Números Fraccionarios.............................................................................. 173

C a p . 2 7 Problemas de texto con Ecuaciones Fraccionarias ............................................................... 181

C a p . 2 8 Manejo de Fórmulas ........................................................................................................ 191

C a p . 2 9 Inecuaciones de Primer Grado .......................................................................................... 197

C a p . 3 0 Sistemas de Inecuaciones de Primer Grado........................................................................ 205

C a p . 3 1 Repaso........................................................................................................................... 215

5Organización Educativa TRILCE

COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO

Síntesis Histórica del Álgebra

1. Una Aclaración Necesaria.

Para ocuparnos de la evolución algebraica esnecesario tener una idea clara y precisa de lo que es elálgebra. Por que si vamos a incluir dentro del álgebracualquier problema que resolviéramos ahora porprocedimientos algebraicos, diríamos que su origen sepierde más allá del siglo XVIII AC. Si vamos a considerarcomo Álgebra el primer esfuerzo sería por tratar deencontrar un lenguaje y un simbolismo algebraico aunquemuy imperfectos; todavía diríamos que su origen estáalrededor del siglo III D.C. Pero, el álgebra comogeneralización de la Aritmética – tal como lo considerabaNewton - ya como sistema orgánico de expresiónsimbólica y de gran perfección operatoria; sólo podemosencontrarla recién en las cercanías del siglo XVII D.C.

2. ALJUARIZMI. (Siglo IX)

Dio a la incógnita el nombre de ‘‘XAI’’, cuyo significadoen árabe es «cosa» con el tiempo en vez de la palabra‘‘XAI’’, se uso abreviadamente su inicial ‘‘X’’. Pararepresentar a la incógnita la cual se consagró a travésde los siglos.

3. El Origen de la Palabra Álgebra.

El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa,más comúnmente llamado ALJUARIZMI, después deestudiar en la India y asimilar la ciencia hindú escribe sufamoso libro ‘‘Al' Djabr W' Al Mukabala’’ que quiere decir‘‘transposición y reducción de términos semejantes’’. Alprincipio esta nueva disciplina se designó con el nombrecompleto de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el sigloXVI se suprimía la segunda parte para llamarlesimplemente ‘‘Al' djabr’’ o sea Álgebra, a la Teoría delas Ecuaciones.

Nota: Aljuarizmi se le considera padre del Álgebra

4. Aportes griegos

Diofanto llego a resolver perfectamente los sistemasde ecuaciones que tienen más ecuaciones que incógnitasy consideraba solamente las soluciones positivas, aúncuando no ignoraba la existencia de soluciones negativas,tuvo verdadera predilección por las ecuacionesindeterminadas. Diofanto inicia el verdadero simbolismo,el método analítico en la resolución de los problemas, la

simplificación y la generalización que al álgebra le hacíanfalta para emprender su vuelo incontenible, laorganización de la teoría de las ecuaciones plasmadapor primera vez al Álgebra en un libro, el libro se llamóAritméticas .

Números Enteros

1. Conexión con la Historia

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizabanbastoncillos de bambú o de madera para representarlos números y realizar, enespecial, cálculos comerciales deuna manera práctica, perotambién para tratar cuestionesrelacionadas con los aumentosy disminuciones de magnitudes,o con distancias recorridas ensentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojossegún que representaran cantidades positivas onegativas.Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan tambiénel uso de números negativos para tratar este tipo deproblema. Los antiguos griegos, por el contrario,rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer losnúmeros negativos de los hindúes, que en el siglo XIIse utilizaban ya ocasionalmente para designar laspérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Duranteel Renacimiento, el manejo práctico de esos númerosen la contabilidad y otros contextos ayudó a su lentaintroducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustinoconvertido al protestantismo y amigo personal de Lutero,fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientesnegativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticasy divulgó el uso del signo menos ( - ) para designar laresta; de hecho, los signos "+" y "-" estaban ya en usoentre los comerciantes alemanes del siglo XV paraindicar el exceso o el defecto de mercancías en losalmacenes. Con todo, la consideración de las cantidadesnegativas como correspondientes a númerosmatemáticamente legítimos alcanzó aceptación generalhasta el siglo XVIII, cuando los números negativosempezaron a ser entendidos como opuestos de lospositivos.

Historia del álgebraNúmeros enteros1

6

Historia del álgebra - números enteros

Primer Año de Secundaria

En la matemática actual el conjunto de los números enterosabarca todos los enteros tanto negativos como positivos, yllega hasta el infinito hacia ambos lados de una rectanumérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvoque como tal se considere el CERO (el cual agregado alconjunto de los números naturales forma el conjunto delos Cardinales).

2. Positivos que no Alcanzan

Para el ser humano es importante contar lo que tiene,lo que quiere, lo que necesita, lo que comparte, lo queda. Esa fue la razón que tuvo para crear números yformó el conjunto de los números naturales:

N = {1, 2, 3, 4 .......}

Luego, necesitó expresar con cifras el conjunto vacío,es decir, identificar que no había nada, no quedaba nadao no faltaba nada. Entonces, apareció el 0, y formó asíotro conjunto numérico, el de los números cardinales:

No = {0, 1, 2, 3, 4 ...}

Contando con estos conjuntos numéricos, resolvióoperaciones: agregó, quitó, dividió, multiplicó. Sinembargo, se le presentaron otros problemas:

¿Cómo indicar temperaturas bajo 0? ¿Cómodiferenciar altura y profundidades de la Tierra?¿Cómo expresar que quedó debiendo algo?

a) Si un día oímos decir que la temperatura en Punoes de cuatro grados, nos quedará la duda de si setrata de cuatro grados bajo cero o sobre cero.

Para expresar cuatro grados sobre cero se escribe+4° y bajo cero - 4°.

b) Las fechas referidas a la Era Cristiana:El año -450 significa el año 450 antes de Cristo y elaño +180 significa el año 180 después de Cristo.

Positivos y Negativos en la línea del tiempo.

a) Las cantidades de dinero que posee o que gana unapersona se consideran positivas, y las cantidades quedebe, gasta o paga se consideran negativas.

Eladio ha ganado 1800 soles se escribe: +1800 soles.

Pedro ha gastado 4600 soles se escribe: - 4600 soles.

POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL DEBE Y EN EL HABER.

Hay magnitudes que varían en dos sentidos. Por conveniodiremos que uno es positivo y el otro negativo.

Debe () Haber (+)

Ganancia de Eladio + 1800

Gasto de Pedro 4600

SENTIDO NEGATIVO SENTIDO POSITIVO

450 Nacimiento +180Antes de Cristo Después


ÁLGEBRA

Para expresar las cantidades positivas se utilizan los números naturales con el signo ( + ).Para expresar las cantidades negativas se utilizan los números naturales con el signo menos ( - ).

3. Conjunto de los Números Enteros

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicarcon un signo «+» si está hacia la derecha y con un signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De éstaforma obtenemos dos conjuntos:

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llamaconjunto de números enteros.

ZZ = {.....-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, .....}

Los números positivos son mayoresque cero.Se escriben precedidos por el signomás ( + ) e indican:

Hacia la derecha. Hacia delante. Al norte del Ecuador. Tiempo posterior al despegue. Sobre el nivel del mar. Temperatura sobre cero. Tengo dinero.

Los números negativos son meno-res que cero.Se escriben precedidos por el signomenos ( - ) e indican:

Hacia la izquierda. Hacia atrás. Al sur del Ecuador. Tiempo anterior al despegue. Bajo el nivel del mar. Temperatura bajo cero. Debo dinero.

- +

0 +1 +2 +3 +4 +5

Z Conjunto de números positivos.+Z

- +

0-1-2-3-4-5

Z Conjunto de números negativos.-Z

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

8



4. Valor Absoluto de un Número Entero

Se llama valor absoluto de un número entero al número cardinal que resulta de prescindir su signo, tambiénse le considera como la distancia del número dado al cero. El valor absoluto de un número se expresa encerrandoeste número entre dos barras.

El valor absoluto de +5 es 5, y se escribe |+5| = 5.El valor absoluto de –6 es 6, y se escribe |–6| = 6.

El valor absoluto de 0 es 0, y se escribe | 0 | = 0.

NOTA: Al valor absoluto también se le llama módulo.

5. El Opuesto de un número entero.

El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de +8 es –8

El opuesto de –15 es + 15

-49 y +49 son números opuestos.

NOTA: Definimos el opuesto de "n" como op(n) = -n

6. Relación de Orden en Z

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros.

Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor,cuando está a su derecha.

Analicemos los siguientes ejemplos:

• Ordenaremos de menor a mayor +7, -6, +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0. Así, tenemos que:

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7.En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.

• En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor -1, +2, +5, 0 y -3. Tenemos:

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

-6-7 +5 +6 +7 +8

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

-6-7 +5 +6 +7 +8


ÁLGEBRA

CONCLUSIONES ÚTILES

Analizando los ejemplos anteriores, podemos sacar algunas conclusiones muy importantes. Estas nos serviránp a r a o r d e n a r n ú m e r o s e n t e r o s s i n d i b u j a r l a r e c t a n u m é r i c a :

* Todo número entero positivo es mayor que 0.* Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.* Todo número entero negativo es menor que 0.* Todo número entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Ejemplos:

a) +7 > +2 b) +87 > +54 c) –5 > –9d) –45 > –72 e) +51 > 0 f) 0 > –6

Entre enteros positivos, es mayor el que tiene un valor absoluto mayor. Por ejemplo, si ordenamos +40, +9,+300 de mayor a menor, tenemos que: el mayor valor absoluto lo tiene 300, luego sigue 40 y finalmente 9.Entonces decimos:

+300 > +40 > +9

Mientras más lejos de 0 esté un número entero positivo, su valor es mayor, porque está más a la derecha.

En los enteros negativos sucede lo contrario; mientras más lejos de 0 esté un número, su valor es menor,porque está más a la izquierda en la recta numérica.

Esta conclusión nos permite determinar que en los enteros negativos, es mayor el que tiene menor valorabsoluto.

Por ejemplo, ordenaremos de menor a mayor -40, -9, -300. El menor es -300, porque tiene el valorabsoluto mayor, le sigue -40 y luego -9.

-300 < -40 < -9

ANTECESOR Y SUCESOROtra característica que presenta un conjunto numérico ordenado es que cada número tiene antecesor ysucesor.Para cualquier número, es antecesor el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él y es sucesor, el queestá inmediatamente a su derecha. Observa:

- +

Número

SucesorAntecesor

8 7 6 5 4 3 2 1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Número

SucesorAntecesor

Número

SucesorAntecesor

10



Efectuar los siguientes ejercicios

1. |+7| =

2. |-8| =

3. |0| =

4. |-15| =

5. |20| =

6. op (+3) =

7. op (-5) =

8. op (op (-20)) =

9. op (op (5)) =

10. |op (-100)| =

Test de Aprendizaje


ÁLGEBRA

Nivel I

1. ¿Cuál es el número entero que separa los númerospositivos de los negativos?

2. ¿Cuál es el número opuesto a –20?

3. ¿Cuál es el opuesto de 30?

4. Si ‘‘x’’ es un número entero; ¿qué valor puede tomar‘‘x’’ de modo que: 2 < x < 4?

5. Responde las siguientes preguntas:

a) Si: 32 grados sobre cero son representados por+32º C. ¿Cómo se representa 5º bajo cero?

b) Si: 20 puntos ganados se representa por +20 puntos.¿Cómo se representa 9 puntos perdidos?

c) Si Elena deposita S/. 5000 en su cuenta de ahorros,se representa por +5000 nuevos soles.¿Cómo se representa un retiro de S/. 600?

6. Expresa con números enteros:

a) Un submarino se encuentra 85m bajo el nivel delmar.

b) Richard tiene una ganancia de S/. 3219.

c) El año 1243 antes de cristo.

7. Contesta las siguientes preguntas:

a) Si: 12m bajo el nivel son indicados por –12m. ¿Cómose puede indicar 35m sobre el nivel del mar?

b) Si: 25m a la izquierda son indicados por –25m.¿Cómo pueden indicarse 45m a la derecha?

c) Si: 3 pisos abajo son indicados por –3 pisos.¿Cómo puede indicarse 5 pisos para arriba?

8. Representar en una recta numérica los siguientesnúmeros:

+4 ; –7 ; +9 ; –5 ; +11 ; –6 ; 8 ; –15 ; +6 ; –2

a) ¿Cuál es el número más próximo al origen?

b) ¿Qué número esta más alejado del origen?

9. Representa en una recta numérica los siguientesnúmeros:

+4 ; –6 ; –5 ; –7 ; +1 ; 0 ; –13 ; +8 ; +6 ; –11

a) ¿Cuál es el número más cercano a – 3?b) ¿Qué número esta más alejado de –3?

10.Ordena los siguientes números de mayor a menor.

–6 ; +8 ; –4 ; +12 ; 0 ; –1 ; +15 ; –100 ; +23 ; –16

Nivel II

11. Completa:

a) |+4| = |–4| =

b) |–8| = | | =

c) op(+7) =

d) op(–15) =

12.Si "x" es un número entero, que valores puede tomar"x". (donde "<" es el signo de "menor que")

a) –2<x<+3

b) 2<op(x)<6

c) |x|<+4

d) 2<|x|<4

13.Comenzando desde el sótano de un edificio; un ascensorsube 5 pisos; después 3 más y, a continuación, baja 7pisos. ¿Dónde se encuentra al final del recorrido?

14.Un avión parte desde un punto situado a 120 Km al oestede su base y vuela hacia un punto situado a 140 Km aleste de su base. ¿Cuántos kilómetros recorrió?

15.Si la temperatura desciende 8 °C cada día; después de4 días la temperatura es:

16.Un atleta comienza a correr desde el inicio 50m; al finalde la carrera retrocede 15m, luego de detenerse iniciaun recorrido de 20m, contrario al anterior. ¿A cuántosmetros de donde inicio la carrera se encuentrafinalmente?

17.Comenzando con 4 °C bajo cero; la temperatura se elevaa 9 °C; después desciende 11 °C y; finalmente, se eleva7 °C. Hallar la temperatura final.

Practiquemos

12



19.Del gráfico anterior, responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora seregistra?

b) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora seregistra?

20.Del gráfico de la pregunta ‘‘18’’ responda las siguientespreguntas:

a) ¿Cuál es el mayor aumento de temperatura?¿Entre que horas se registra?

b) ¿Cuál es el menor aumento de temperatura?¿Entre que horas se registra?

18.En el gráfico, cada división corresponde a 7 grados.

a) ¿Cuál es la temperatura en cada una de las horasseñaladas?

b) Completa la tabla con la variación de temperatura.

D e 8 a 9 D e 9 a 10 D e 10 a 11 D e 11 a 12

-42º

De 13 a 14 De 14 a 15 De 15 a 16

1. Si el campeonato descentralizado de fútbol se realizasecon 24 equipos, ¿cuántos partidos se jugaría en el torneosi todos juegan contra todos? ¿Cuál sería la duración, sicada semana se juegan 12 partidos?

a) 276 y 23 b) 275 y 24 c) 277 y 25d) 275 y 23 e) 277 y 27

2. Al termino de una reunión hubieron 28 estrechadas demanos. Suponiendo que cada uno de los participantesfue cortés con cada uno de los demás, dar el número delos participantes.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

3. Una pelota de jebe se deja caer de 24 metros de alturay cada vez que rebota se eleva la mitad de su alturaanterior. ¿Cuántos metros recorrió la pelota hasta quedarteóricamente estático?

8

a) 48 b) 72 c) 64d) 56 e) 80

4. Se ha pagado una deuda de S/. 1 650 con billetes deS/. 20 y de S/. 50. ¿Con cuántos billetes de S/. 50 sepago, si estos son 12 más que los otros?

a) 27 b) 26 c) 28d) 30 e) 29

5. Un señor tiene S/. 200 000 y su hijo S/. 75 000, cadauno de ellos ahorra anualmente S/. 4 000. ¿Dentro decuántos años la fortuna del señor será el doble de la desu hijo?

a) 12 años b) 12,5 c) 13d) 13,5 e) 14

Autoevaluaciòn


ÁLGEBRA

Nivel I

1. De la siguiente lectura, realiza una línea de tiempo de los principales personajes y acontecimientos que encuentre.

Un poco de Historia

En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemascotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entoncestenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición".No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar laincógnita.

Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El artedel cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, asícomo sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (Suan zí) tenían la posibilidad de representarnúmeros positivos y negativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética y en ellaexpuso varias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vezen la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de primergrado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnitacon un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas deálgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de ecuaciones". A pesarde lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se lepuede considerar como el padre del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar númerospositivos y negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueronfundamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de losnúmeros, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemasde ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usaba primero para referirse a losmétodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente susentido actual de procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombrelatinizado dio origen a la palabra algoritmo que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculosnuméricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquiriendo finalmente su sentido actual deprocedimiento sistemático de cálculo. En cuánto a la palabra álgebra, deriva del título de su obra más importante,que presenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi ycuyos avances en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre lostrabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del sistema de numeraciónindoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco)obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de la aritmética yel álgebra.

Tarea domiciliaria

14



En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los númerosnegativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cualse utilizan indistintamente exponenciales positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d'Eger inventó los símbolos "+" y "-" para sustituir lasletras "p" y "m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizabanpara expresar la suma y la resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamoshoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.

En 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de queel uso de los números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo,tercer y cuarto grado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés Francois Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representalas incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría(1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto modernode Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las Matemáticas fue el descubrimientode la Geometría Analítica que contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones.

En el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán CarlFriedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el planocomplejo (Números complejos).

En los tiempos de Gauss, el Álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladóde las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomasestaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que losmatemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemasson los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos,aunque también difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas depermutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de losmás importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos francesesGalois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantescontribuciones a su estilo.

Las cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan Hamilton,quien desarrolló la Aritmética de los números complejos para las cuaternas; mientras que los números

c o m p l e j o s s o n d e l a f o r m a a + bi (i 1) , las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk:

Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann empezó a investigarlos vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico estadounidense J.W. Gibbs encontró en el Álgebravectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con lascuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir: "Investigaciónsobre las leyes del pensamiento" (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde entonces, elÁlgebra moderna -también llamada álgebra abstracta- ha seguido evolucionando; se han obtenido resultadosimportantes y se le han encontrado aplicaciones en todas la ramas de las matemáticas y en muchas otrasciencias.


ÁLGEBRA2. Expresa como números enteros.

a) 340 km al norteb) Arquímedes nació en el año 287 antes de Cristo.c) El ascensor está en la planta 5 del sótano.

3.a) ¿Cuál es el opuesto de 54?

Rpta: _________________________________

b) ¿ C u á l e s e l o p u e s t o d e 24?

Rpta: _________________________________

4. Si: ‘‘x’’ es un número entero, que valor puede tomar ‘‘x’’de modo que: 3 < x < 1.

Rpta: _________________________________

5. Responda las siguientes preguntas:

a) Si 40 grados sobre cero son representados por +40ºC,¿cómo se representa 8° bajo cero?

b) Si 50 puntos ganados se representa por +50 puntos,¿cómo se representa 18 puntos perdidos?

c) Si Elenita deposita +3500 en su cuenta de ahorros;se representa por 3500 dólares. ¿Cómo serepresentará un retiro de $ 1520?

6. Expresa con números enteros.

a) Un avión vuela a 140 m sobre el nivel del mar.b) Ricardo hace un retiro de $7000.c) El año 1320 después de Cristo.


a) Si 24m sobre el nivel del mar son indicados por +24m,¿cómo se puede indicar 15m bajo el nivel del mar?

b) Si 52m a la derecha son indicados por +52m, ¿cómopuede indicarse 35m a la izquierda?

c) Si 12 pisos arriba son indicados por +12 pasos, ¿cómopuede indicarse 4 pisos abajo?

8. Representa en la recta numérica los siguientes números:

+16; +3; 12; 2; +2; 0; +14; 4

a) ¿Cuál de ellos esta más próximo a +10?b) ¿Cuál de ellos esta más alejado de +10?

9. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

a) +4; 6; 5; 8; +1; 0; 13b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12

10.Ordenar los siguientes números de mayor a menor:

a) 7; +3; 0; 8; +2; 1; 5b) 7; +2; 1; 10; +4; 6; +12

+3600

+3000

+2400

+1800

-1800

-2400

-3000

Nivel II

11.Si Carmen recorre 15 km cada hora. Hace 4 horasestaba:

Rpta: _________________________________

12.Si Pedro hace depósitos de S/. 4 cada semana, al cabode 4 semanas tendrá depositado:

Rpta: _________________________________

13.Comenzando el 6 °C sobre cero; la temperatura se eleva3 °C después desciende 9 °C y finalmente se eleva a 7 °C.Hallar la temperatura final.

14.Un avión parte de un punto situado a 250 km al este desu base; vuela hacia el oeste hasta a un punto situado320 km al de su base. ¿Qué distancia ha recorrido?

En el gráfico; las barras representan los movimientos(depósitos o retiros) de la cuenta de ahorros del Sr.Valladares en la segunda quincena de Marzo.

15.¿Cuál es el depósito o retiro de cada uno de los díasseñalados?

16.¿Cuál es el mayor depósito? ¿en qué día se hizo?

17. ¿Cuál es el mayor retiro? ¿con saldo a favor o en contra?

18.¿Cómo finaliza el mes? ¿con saldo a favor o en contra?

Expresa en la tabla de situación de las amigas antes ydespués de cobrar su sueldo.

Daniela, Carla y Jazmin, trabajan en el Colegio Trilce.Cada una cobra S/. 1000 al mes.

16



I. El 30 de marzo a Jazmin se le acabó el dinero delsueldo y necesitaba comprar medicinas para su hijo.Pidió entonces un vale de S/. 80.

II. Daniela ahorro durante Febrero S/. 120.III. Carla luego llego a fin de mes sin ahorrar, ni pedir

prestado.IV. El 31 de marzo las tres cobraron su sueldo.

A continuación responda las siguientes preguntas:

19.¿Cuál de ellas esta en mejor situación económica?¿cuánto tiene?

20.¿Cuál de ellas esta en peor situación económica? ¿cuántotiene?

Nivel III

21.Calcular:

a) |5| + |5| = _______________________________

b) |17| + |29| = ____________________________

c) |op(+8)| + |+3| = ___________________________

d) |53| |29| = ____________________________

22.Definimos:

Min(a;b) = menor de los números entre "a" y "b".op(a) = opuesto de "a".

Calcular:

a) |Min (3;5)| = __________________________

b) |Min (18;op (+13))|= ____________________

c) |op (Min (7;4))|= ______________________

d) op|Min (18;32)|= ______________________

Observa la tabla de beneficios (en millones de soles) deuna empresa durante 6 meses. Grafica la tabla ycontesta.

23.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayor variaciónen los beneficios? ¿de cuánto fue?

24.¿Entre qué dos meses consecutivos hubo mayordisminución en los beneficios? ¿de cuánto fue?

25.Aproxima las siguientes temperaturas a:

...; -20ºC; -10ºC; 0ºC; +10-C; +20ºC; ...

Importe en S/.Antes de Cobrar Después de Cobrar

Daniela

Carla

Jazmin

MES BENEFICIOS

Enero +12

Febrero -7

Marzo +4

Abril -12

Mayo +8

Junio -3

Temperatura Aproximación Temperatura Aproximación

+33° C -27° C+48° C -7° C+22° C -34° C+16° C -18° C+8° C -39° C



1. Representación Geométrica de un númeroentero.

Todo número distinto de cero se puede representarpor una ‘‘flecha’’ que parte del cero y llega al puntocorrespondiente a dicho número.

Ejm: +4; 5

Nota: Si el número es positivo, la flecha se dirigehacia la derecha; pero si el número es negativo, la flechase dirige hacia la izquierda.

2. Procedimiento para sumar dos números enteros:

1° CASO :Para sumar dos números positivos, se suman susvalores absolutos y al resultado se le antepone elsigno más (+).

(+3) + (+5) = + 8

(+23) + (+49) = _____________________________

(+257) + (+495) = ____________________________

2° CASO :

Para sumar dos números negativos, se suman susvalores absolutos y al resultado se le antepone elsigno menos (-).

(-4) + (-2) = -6

(-76) + (-58) = _______________________________

(-246) + (-349) = _____________________________

Adición y sustracciónde números enteros

3º CASO:Para sumar un número positivo y un número negativo,se resta el menor valor absoluto del mayor valorabsoluto y al resultado se le antepone el signo delnúmero que tenga mayor valor absoluto.

(+5) + (-3) = +2

(-6) + (+2) = -4

(-61) + (+85) = __________________

(+42) + (-71) = __________________

Nota: Un número sin signo es un número positivo

7 = +7 ; 18 = +18

Observación:

a) Para sumar tres o más números positivos, se usa elprimer caso.

(+5) + (+32) + (+27) = +64(+18) + (+9) + (+45) = +72

b) Para sumar tres o más números negativos, se usa elsegundo caso.

(-3) + (-2) + (-7) + (-4) = -16(-24) + (-18) + (-57) = -99

c) Para sumar tres o más números de signos distintos,primero se suman los números positivos, luego losnúmeros negativos y finalmente los dos resultados.

(-14) + (+8) + (-15) + (21) + (-2) + (+12) = +10(+8) + (+21) + (+12) = +41(-14) + (–15) + (–2) = -31(+41) + (-31) = +10

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

-6 +5 +6

-5 +4

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

+5 +6

+5+3

+7 +8

-5 -4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 4

- +

-6-7 + 5

-2 -4

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 4

- +

- 6 + 5

? - 3

+ 5

+ 6

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +4

- +

-6-7

+2

-6

?

2

18

Adición y sustracción de números enteros


d) La suma de un número y su opuesto es cero.(Cero no tiene signo).

(+8) + (-8) = 0(-15) + (+15) = 0

3. Axiomas de la Adición de Números Enteros

1° Axioma de Clausura. La suma de dos númerosenteros es otro número entero.

Si: a ZZ y b ZZ (a+b)ZZ

2° Propiedad Conmutativa. El orden de los sumandosno altera el resultado.

Si: a ZZ y b ZZ a + b = b + a

Ejemplo: (14) + (+6) = (+6) + (14)

–8 = 8

3° Axioma Asociativa. La forma como se agrupen lossumandos no altera el resultado.

Si: a ZZ , b ZZ y c ZZ

entonces: a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplo :

[(+8) + (4)] + (+16) = (+8) + [(4) + (+16)]

(+4) + (+16) (+8) + (+12)

+20 = +20

4º Axioma del Elemento Neutro: En ZZ el elementoneutro es el cero (0), que al sumarse con cualquiernúmero entero, resulta el mismo número.

0 ZZ , a ZZ a + 0 = 0 + a = a

(+15) + 0 = +15(-23) + 0 = -23

5º Axioma del Elemento Opuesto: Todo número tieneun opuesto que sumado con dicho número resultacero.

a ZZ , (-a) ZZ a + (-a) = 0

(+13) + (-13) = 0(-24) + (+24) = 0

4. Sustracción de Números Enteros.

Para calcular la diferencia de dos números enteros,se debe sumar el minuendo con el opuesto delsustraendo.

a - b = a + (-b)(+3) - (-8) = (+3) + (+8) = +11

5. Escritura Simplificada.

(+4) + (-8) = 4 - 8 = -4(-3) + (-5) = -3 - 5 = -8(-12) - (-15) + (-13) = -12 + 15 - 13 = -10(-16) + (+13) + (-3) + (+8) = -16 + 13 - 3 + 8

= 21 - 19 = 2

6. Operaciones Combinadas de adición y sustracción.

La adición y la sustracción en ZZ son consideradascomo una única operación llamada suma algebraica.

Para resolver una suma algebraica debemos aplicarcorrectamente las reglas prácticas que rigen la supresiónde signos de colección:

1° Todo signo de colección precedido por un signo ‘‘+’’puede ser suprimido, escribiendo luego los númeroscontenidos en su interior, cada cual con su propiosigno.

7 + (-5 - 9 + 3) = 7 - 5 - 9 + 314 + (-5 - 8) + (-2 + 5 + 1) = 14 - 5 - 8 - 2 +5 + 1

2° Todo signo de colección precedido por un signo ’’-’’puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno delos números contenidos en su interior con su signocambiado.

Nota: Signos de colección usuales: ( ); [ ]; { }.

(+14) - [(+18) - (+3) + (-15)]= 14 - [18 - 3 - 15]= 14 - 18 + 3 + 15= 14


ÁLGEBRA

Calcular

1. (+13) + (+12) =

2. (+15) + (-3) =

3. (-20) + (+8) =

4. (-10) + (-5) =

5. (-3) + (+10) =

6. -3 + 8 =

7. +4 + 5 =

8. 2 - 10 =

9. -9 - 15 =

10. -12 + 3 =

Test de Aprendizaje

20



Nivel I

1. Representa con una ‘‘flecha’’ cada uno de los siguientesnúmeros.

a) +5 b) –3c) –5 d) +8

2. Calcula y representa en una recta numérica:

a) (+3) + (+5) b) (–3) + (–5)c) (+7) + (–4) d) (–9) + (+6)

3. Calcular:

a) 123 + 254 b) 2415 + 1324c) (–27) + (–54) d) –234 – 342e) (+59) + (–35) f) 748 – 563g) (–48) + (+25) h) –287 + 95

4. Calcular:

a) (+25) + (+13 + (+42)) = _____________________

b) (–46) + (–24) + (–18) = _____________________

c) –81 + 153 – 76 = ___________________________

d) 746 – 256 + 601 – 972 = _____________________

5. Escribe en el cuadrado el número que hace verdaderala igualdad y el axioma utilizado.

a) (–5) + 14 = + (–5) .....................................

b) [(–2) + ] + 5 = (–2) + [4 + ]

.......................................................................

c) 16 + = 0 ...............................................

d) (–54) + = (–54) ....................................

6. Empleando números enteros, calcular las sumassiguientes:

a) 30Kg ganados + 13Kg perdidos._________________________________________

b) 19Kg perdidos + 5Kg ganados._________________________________________

c) 10° C de aumento + 19° C de descenso._________________________________________

7. Calcula las siguientes operaciones:

a) –3 + 9 – (5 – 14 + 7) = _______________________

b) –(4 – 2 + 3) + 5– 12 – (–5 + 3 – 4) = ______________

8. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 40 + 25 + 5 –17 – 8 = _______________________

b) – (–15) + (–7) – 5 + (–3) = ______________________

c) –9 – (–5) + (–11) – (–12) + 5 – (–7) = _____________

9. Restar:

a) (–23) de (–12) = _____________________________

b) (+34) de (+9) = ____________________________

c) (+12) de (–17) = ____________________________

10.Si: A = (+8) + (–5) – (+7) yB = (–4) – (–6) – (+8) + (–17).

Hallar: A + B

Nivel II

11.Si: A = – (–9) + (–3) – (–2) – (+13)B = + (–12) – [+3 – (+7) + (–2)]

Calcular: A – B

12.Restar: A = 2 – [– 4 – (–3 – 5 - (–2) – 11)] + 7De: B = 12 + [ 5 + (7 – (+2) – 4)] – 8

13.Calcular: A + B – C ; si se sabe que:

A = 13 – 9 – 5 + 11B = –7 – {5 – [–8 + (–1 + 3 – 5) – 10]}C = – (–2 + 6) – (–9 + 4)

14.Dadas las expresiones:

A = 4 – {2 – [3 – (–1 + 4)] – (1 – 5)}B = [2 – (–1) + (1–9) – 25] – [1 – (–4 + 9)]

Hallar el valor de: B – A.

15.Si: A = {(–30) + (–100) – (–5)} – (+8 – 9) B = – (–16 + 2 – 5) – {+5 – (–6 – 9)}

Calcular: A – B – [–A – (–A – B)]

Practiquemos


ÁLGEBRA16.Elenita camina 11 pasos a la izquierda de un punto "A";

luego 17 pasos a la derecha y posteriormente 7 a laizquierda. ¿A dónde llega?. Representa en la rectanumérica el problema si el punto "A" coincide con cero ycada paso mide una unidad.

17.Encuentra el término que falta:

a) – 8 = –3 b) – 6 = 4

c) –8 – = 3 d) 9 – = –6

1. Calcular el valor de "A" en:

A = 19 + 99 + 21 + 98 + 23 + 97 + ... + 60

a) 7 700 b) 6 500 c) 4 950d) 4 160 e) 5 500

2. Encuentra el valor de:

13

n 1(4n 5)

a) 237 b) 247 c) 257d) 267 e) 277

3. Los términos de una sustracción suman 1120. Si el doblede la diferencia es 5 veces el sustraendo, ¿cuál es elvalor del menor de los términos?

a) 160 b) 180 c) 190d) 210 e) 220

18.Plantea los siguientes problemas y resuélvelos:

a) ¿Qué número debe restarse a – 8 para que ladiferencia sea 8?

b) ¿Cuál es el minuendo si el sustraendo es –8 y ladiferencia es 6?

19.Un submarino desciende 245m respecto a un punto "A"de la playa y luego asciende 148m. Encuentra la posicióndel submarino respecto al punto inicial.

4. ¿Cuántos cuadrados como máximo se cuentan en untablero de ajedrez?

a) 68 b) 65 c) 63d) 102 e) 204

5. Se define:

x - 2 = 4x + 1

Hallar el valor de "a", si:

a = 77

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

Autoevaluaciòn

22



Nivel I

1. Representa con una flecha cada uno de los siguientesnúmeros.

a) +7 b) -5c) 3 d) -4

2. Calcula y representa en una recta numérica:

a) (+4) + (+6) b) (7) + (4)c) (+9) + (4) d) (11) + (+7)

3. Efectuar las siguientes operaciones:

a) (+345) + (+134) = ___________________________

b) (+457) + (345) = ___________________________

c) -4599 + (234) = ___________________________

d) (348) + (764) = ___________________________


a) (+2615) (+3561) =__________________________

b) (+4539) (1561) = __________________________

c) (2365) (4587) = __________________________

d) (+1594) (2954) = __________________________

5. Efectuar las siguientes operaciones:

a) Sumar (13) con el opuesto de (15).b) Sumar (27) con el valor absoluto de (19).c) Restar (+32) del opuesto de (24).d) Restar (+46) de su opuesto.

6. Efectuar:7 [+8 3 + 5] {9 + 5}

7. En el segundo semestre del año 2005, las ventas de lacevicheria ‘‘Chino Limón’’ cambiaron de la siguientemanera:

* Julio, subieron 12 mil soles.* Agosto, subieron 6 mil soles.* Setiembre, bajaron 14 mil soles.* Octubre, bajaron 8 mil soles.* Noviembre, bajaron 4 mil soles.* Diciembre, subieron 18 mil soles.

Si a fines de Junio la cevicheria habia vendido 42 milsoles, ¿cuántos miles de soles vendió ‘‘Chino Limón’’ enel año 2005?

8. Un móvil recorre 75 metros a la izquierda del punto ‘‘A’’y luego recorre 52 metros a la derecha. Expresa suposición respecto al punto ‘‘A’’.

9. Cierto día el termómetro marcó 13 °C a las 11 de lamañana y (9º) a las 9 de la noche. ¿Cuál fue el cambiode temperatura?

10.A = {(50) + (100) (-7)} (+8 13)B = (19 + 3 7) {+5 - (7 4)}

Calcular: A B [A (A B)]

Nivel II

11.Efectuar:

a) 5 [3 (4 7(3) 9)] + 6b) 6 + [4 + (8 (+6) 5)] 9c) 8 {3 [7 + (3 1)] 7} + 3

Calcule el valor de: A + B + C.

12.Escriba en el cuadrado el número que hace verdaderala igualdad y el axioma utilizado.

a) (-8) + (-5) = + (-8)

Axioma _______________________

b) [(+3) + (-4)] + (-7) = + [(+3) + ]

Axioma _______________________

c) (-17) + = 0

Axioma _______________________

d) (-45) + = (-45)

Axioma _______________________

e) [(+3) + ] + (-5) = (+3) + [(-2) + ]

Axioma _______________________

13.Un buzo desciende 104 metros respecto a un punto ‘‘A’’en la superficie del mar y luego asciende a 54 metros.¿Cuál es la posición del buzo respecto al punto ‘‘A’’?

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA14.Se denomina amplitud térmica a la diferencia entre la

temperatura máxima y la temperatura mínima registradaen un lugar. Observa la tabla correspondiente al día 30de enero del 2006 y responde:

Lugar Máxima Mínima

Puno 8ºC 5ºC

Cuzco 17ºC 2ºC

Arequipa 19ºC 3ºC

Juliaca 6ºC 7ºC

a) ¿Qué ciudad registró la mayor amplitud térmica?b) ¿Qué ciudad registró la menor amplitud térmica?c) ¿Cuál fue la menor temperatura?d) ¿Cuál fue la temperatura mas próxima a cero?

MES VALOR M ES VALOR

E nero 8200 Ju lio 11200Febrero -5400 A gosto -1000M arzo 7500 S ep tiem bre -2000A bril -1000 O ctubre -4000M ayo 8900 N oviem bre 12000Jun io 104000 D iciem bre 15000

15.La empresa de viajes San Ricardo, vende pasajes deavión para los vuelos nacionales e internacionales.Averiguar con base en la tabla los valores en miles desoles e investiga el significado de esta expresión:

a) Ganancias al año.b) Pérdida al añoc) ¿Cuánto ganó o cuánto perdió la empresa en el año?



Término Algebraico

Es aquella expresión algebraica que relaciona constantes(números) y variables (letras) por medio de las operacionesde multiplicación y división.

8z7y4x-4)z,y,x(P

Exponentes de susvariables

Coeficiente

Signo del término

Variables

La parte literal esta dada por las variables y susrespectivos exponentes.

Términos Semejantes.

Dos o más términos, son semejantes si dichos términosposeen la misma parte literal afectados de los mismosexponentes. La adición o sustracción de 2 o más términossemejantes se reducen a un solo término algebraico.

5x3; 9x3;15x3 Son términos semejantes

3x2y3; 7x2y3; 4x2y3; 4y3x2 Son términos semejantes

4x4y5 ; 3x5y4 No son términos semejantes

Ejemplo:

Si: 5x7yb-4 es semejante con 8xa+3 y2

Hallar: a+b

Solución:

Si son semejantes, entonces las variables deben deposeer los mismos exponentes:

En "x": 7 = a + 3 a = 4En "y": b - 4 = 2 b = 6

a + b = 4 + 6 = 10

Monomio

Es un término algebraico; con variables afectados deexponentes enteros y positivos.

Ejemplo:

5 3 5 3 5 3

5 4 3 7 43

24x y ; x y ; 3x y Son monomios

3

5x ; 7x y ; 9x y ; 2x Son monomios

Grados de un monomio

1. Grado Relativo (G.R.)

Esta indicada por el exponente que afecta a lavariable.

2. Grado Absoluto (G.A.)

Esta indicado por la suma de todos los grados relativosdel monomio.

Ejemplo: Encontrar el GR(x); GR(y); GR(z); GA(M)de:

M(x;y;z) = 5x7y5z3

Solución:

GR(x) = 7

GR(y) = 5 GA = GR(x) + GR(y) + GR(z)

GR(z) = 3 GA = 7 + 5 + 3 =15

Adición y Sustracción de Monomios.

Se presentan dos casos:

1° Si son semejantes se efectúan las operacionesindicadas solo con los coeficientes y luego se leagrega la parte literal.

Ejm:

5x3 + 7x3 = (5 + 7)x3 = 2x3

8x2y 13x2y + 2x2y = (8 13 + 2) = 3x2y

2° Si no son términos semejantes la operación quedaindicada, no se puede efectuar.

Ejm:

4x3 + 5x2 = 4x3 + 5x2

3x2y - 9x2 + 5y = 3x2y - 9x2 + 5y

Nota: En este caso, la suma indicada se llama Polinomiode dos o más términos.

Adición y sustracciónde monomios3

26

Adición y sustracción de monomios


Simplificar

1. +2a + 3a =

2. 3a2 - 7a2 =

3. -8mn - 10mn =

4. -4x2y + 2x2y =

5. 8a + 5a2 =

Dados los siguientes monomios, completar:

6. A(x, y) = 7x2y3

GR(x) =GR(y) =GA(A) =

7. R(a, b, c) = -9a2bc5

GR(a) =GR(b) =GR(c) =GA(R) =

8. I(x, y) = 22x3y4z5

GR(x) =GR(y) =GR(z) =GA(I) =

9. Si: t1 = 3xay3, t2 = 8x4yb son semejantesHallar "a + b"

10.Sumar:3x2yz ; 5x2yz ; -2x2yz ; -3x2yz

Test de Aprendizaje


ÁLGEBRA

Nivel I

1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes.

a) + 1 3 a – 2 a – a = .............................................b) +5r2s – 2r2s + r2s = ........................................c) +7rs2 – 2rs2 + rs2 = ........................................d) 5xy + 9xy – 5xy = ..........................................e) 2x2y + 7x2y – 3x2y + 7x2y = ..............................f) 3x2y2 + 6x2y2 – 7x2y2 – 5x2y2 = .......................

2. Efectuar:

a) 4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xyb) 5m + 6m + 7m - 18mc) 3ab - 4bc - 5ab + 6bcd) 3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

3. Reducir:

a) 3a + 4a + 5a - 3(4a + 5)b) -6x + 5 - 3(-2x + 4)c) 3x + 4(3x - 4) + 5x + 4(-5x + 4)d) 2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2)


a) De 32x4 restar 45x4 = ..........................................b) De –17x3y4 restar 8x3y4 = ....................................c) Restar –15abc de 7abc = ...................................d) Restar –24m3n de –18m3n = ..............................

5. Simplificar:

a) 3ab – {2ab – [–5ab – (12ab – 5ab)] – 3ab}b) –[3x2 – 8x2 – (–12x2 + 23x2)]c) 4x – {3x+[–5x – (12x – 23x) + 8x] – 13x} + 7xd) –{3m2 – [2m2 + (3m2 – 8m2) – (–5m2 + 9m2)]}

6. En cada uno de los siguientes monomios, determina sucoeficiente; su parte literal, sus grados relativos de cadavariable y su grado absoluto.

a) E(x,y,z) = –5x3y4z6

b) L(x,y) = 6x5y3

c) C(x,y,z) = 24x3yz2

d) N(x,y,z) = –9xy3z4

e) A(x,y,z) = 25x6y7z5

7. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables)cuyas características son:

a) Nombre: R ; coeficiente = –35 ; Grado relativo a:x = 4 ; Grado relativo a: y = 7.

b) Nombre: F ; coeficiente = –28 ; Grado relativo a:x = 7 ; Grado absoluto = 12.

8. Escribe cada uno de los monomios (de tres variables)cuyas características son:

a) Nombre: V; coeficiente = 7 ; Grado relativo a:x = 9. Grado relativo a: y = 7 ; Grado relativo a: z = 4.

b) Nombre: C ; coeficiente = –24 ; Grado relativo a:x = 3. Grado relativo a: y = 7 ; Grado absoluto = 15.

9. Si el termino 5xay7 es semejante con el término 8x5yb,hallar: a + b.

10.Si: t1 = 2x5yb-3 y t2 = 7xa-2y8; son dos términossemejantes, hallar: b – a.

Nivel II

11.Si: t1 = (a+3)x3yb y t2 = (b+7)xay5; son términossemejantes, hallar: t1 + t2.

12.Si: t1 = (a+5)x6yb+2 y t2 = (b – 3)xa-5y11; son términossemejantes, hallar: t1 + t2.

13.Calcular el coeficiente del monomio: 3a+b–5x2ayb–2 si sugrado absoluto es 10 y el grado relativo a "y" es 2.

14.Si los términos: axa+by2 ; bx6ya–b ; son semejantes, hallarel valor de: 3a + 2b.

15.Si los términos: 5xn+3yn+5 ; –8x2nym+3 ; son semejantes,hallar el valor de: E = 2m + 3n.

16.Al efectuar la siguiente suma de monomios semejantesmxa + (8 – 3m)x6 – m, se obtiene: 2xb - 2.Hallar: (a – b) x m

Practiquemos

28

Adición y sustracción de monomios


Nivel I

1. Hallar las siguientes sumas de términos semejantes:

a) -2x2 - 8x2 - 15x2 =b) -4abc2 + abc2 - 3abc2 + 12abc2 =c) +5x2y + 10x2y - 7x2y =

2. Sumar los siguientes monomios semejantes:

a) -5x3 + 12x3 - 6x3 =b) -3x2yz3 - 5x2yz3 - (-14x2yz3) =c) -8a3b5 + (14a3b5 - 17a3b5) - [-3a3b5 - (+13a3b5)]=


a) De 14x5 restar 4x5

b) De 12x4y2 restar 26x4y2

c) Restar 26abc de 14abc

d) Restar 28mn3 de 54mn3

1. Hallar "P", si la expresión:

P P P2 3 PP(x)A x . x . x ... x

es de octavo grado.

a) 12 b) 15 c) 18d) 21 e) 25

2. Hallar "k" para el cual la expresión:

2k2k

43k232k

)x.)x[(

x]x.)x[(R )x(

es de octavo grado.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

3. La siguiente expresión:

a b a b2 6 4(x)I (a b )x ab x (b a)x

Puede reducirse a un monomio, según esto proporcionarel valor de dicho monomio

a) 4x b) 5x c) 6xd) 7x e) 8x

4. Hallar el grado absoluto del monomio:

I(x) = x100 . x121 . x144 ... x1600

a) 20 000 b) 20 500 c) 21 800d) 21 853 e) 22 000

5. Si el monomio:

b a 2a b(x,y)N 29 x y x y b

Es de grado absoluto 4 y los grados relativos a "x" e "y"son iguales

Calcular: E = 3b - 2a

a) 1 b) -1 c) -2d) -4 e) 5

4. Simplificar:

a) 3ab {5ab [7ab (11ab 3ab)] 23ab}b) [5x2 9x2 (7x2 + 13x2)] + 8x2

c) 6x {7x + [3x (x 21x) + 14x] 6x} + 17xd) {7m2 [m2 + (9m2 4m2) (5m2 + 2m2)]}

5. Si el término: 12x3yb es semejante con el término 9xay7,hallar: E = a + b.

6. Si: 4x4yb1z2; 2xa+3y7zc2 son dos términos semejantes,hallar: L = a + b 3c.

7. Si: xa+5yb1 es un término semejante con el término:x8y3

hallar: E = 4a + b

8. Si los términos:t1 = (2a + 1)xa-5y2b-5

t2 = (b + 3)x7yb+2

son semejantes, hallar: N = t1 + t2

Practiquemos

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA

5x

3x

Nivel II

9. Si los términos:t1 = 3nx2n+4yn+2

t2 = 4mx3nym+2

son semejantes, hallar: t1 + t2

10.Escribe cada uno de los monomios (de dos variables)cuyas características son:

a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6;grado absoluto = 9

b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x =n;grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.

11.Escribe cada uno de los monomios (de tres variables)cuyas características son:

a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7;grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5.

b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a:x = 3; grado relativo a: y = b 2; grado relativo a:z = 5; grado absoluto = 16.

12.En cada uno de los siguientes monomios, determina sucoeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cadavariable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4

L(x,y,z) = 3x2y8z7

P(x,y,z) = 24x4y7z8

Q(x,y,z) = -8x5y4z3

13.Calcular el coeficiente del monomio:

(2)2m+n8x2m+1yn+2

Si su grado absoluto es 16 y su grado relativo a "y" es 5.

14.Calcular el perímetro de la siguiente figura:

15.Elenita se encuentra en el sexto piso de un edificio, luegobaja al tercer piso; vuelve a subir al quinto piso yfinalmente baja al segundo. Si entre piso y piso hay7x3y2 escalones, ¿cuántos escalones ha bajado Elenita?



Polinomios

Definimos

Es la expresión algebraica que consta de 2 o mástérminos no semejantes enlazados por las operacionesde adición y sustracción, cuyas variables están afectadaspor exponentes enteros y positivos.

Notación Polinómica.

Es aquella expresión que nos permite diferenciarmediante un sub-índice a las variables de los constantes.

Sea el polinomio "P" de variable "x" e "y" cuyanotación es la siguiente:

Ejm:

P(x,y) = 2x4y – 5x2y6 + 3x4y2z8

Es un polinomio porque sus variables ‘‘x’’ e ‘‘y’’ estánafectadas por exponentes enteros y positivos; ‘‘z’’ no esvariable y por lo tanto no interesa el exponente que loafecta.

Ejm:

P(x,y) = 4x5 + 2xy-3 + 8x2y4z8

No es polinomio; porque una de sus variables que es‘‘y’’ esta afectado de exponente negativo.

Grados de un Polinomio

1. Grado Relativo (GR).- Esta indicado por el mayorexponente que afecta a la variable en elpolinomio.

2. Grado Absoluto (GA).- Esta indicado por el mayorgrado absoluto de los términos del polinomio.

Ejm: Sea el polinomio:

7

64358

122639

6542

GA

zyx

GA

zyx

GA

zyx)y,x(P

GR(x) = 6GR(y) = 5GR(z) = 0

GA(P) = 9

Ejemplo:

10GA

546

7GA

652

7GA

434 zyx12zyx7zyx5P )y;x(

Calcular: E = GR(x) + GR(y) + GA(P)

Solución:

Nota: Las únicas que tienen grado son las variables quese encuentran en el sub-índice del polinomio ‘‘P’’.

GR(x) = 6GR(y) = 5GA(P) = Al mayor grado absoluto de uno de sus

términosGA = 10

E = 6 + 5 + 10 = 21

Adición y sustracciónde polinomios

Polinomio de una variable.- Es aquel polinomio queconsta de una variable, donde se puede observar que elgrado relativo de la variable coincide con el grado absoluto.


0

72

258

875

52

GAGA

xGA

xGA

x)x(P

Su GR(x) = 8 y su GA = 8

Notación:

P(x)=a0xn + a1x

n - 1+a2xn - 2 + ..... + an

4

P(x;y) = ax + bx y + cy435 4

Coeficientes o constantesVariables

Nombre genérico:Se lee: “P” de “x” e “y”

32

Adición y sustracción de polinomios


Donde:

1. a0 ; a1 ; a2 ; ... ; an coeficientes.2. a1: coeficiente principal (coeficiente del término de

mayor grado).3. an: término independiente (término que no presenta

variable.)4. "x": variable.5. "n" ZZ+ ; n: Grado del Polinomio (mayor exponente

de la variable).


P(x) = 7x5 - 2x3 + 8x6 - 4x9 + 5x - 3

Hallar:

1. Su coeficiente principal: -42. Su término independiente: -33. Grado del polinomio: 94. Suma de coeficientes del polinomio:

7 – 2 + 8 – 4 + 5 – 3 = 11

Dados los siguientes polinomios, completar:

1. P(x, y) = 3x2y5 - 7x4y2 + 8x3y

GR(x) =

GR(y) =

GA(P) =

2. P(x, y, z) = 52x2y4z + 62x3y5z7w3 - 8x5y8w4

GR(x) =

GR(y) =

GR(z) =

GR(w) =

GA(P) =

Reducción de Polinomios.

Para reducir polinomios que contienen términossemejantes se agrupan cada clase y luego se reducecada uno de ellos efectuando las operaciones de sumasy restas según correspondan.

Ejm:

P(a,b)=13a2 - 5b2 + 13ab + 8a2 - 10b2 - 2ab+ 6b2 - 8ab

P(a,b) = (13a2+8a2)+ (13ab- 2ab- 8ab) +(-5b2 - 10b2 + 6b2)

P(a,b) = 21a2 + 3ab - 9b2.

Nota: Si hay signos de agrupación dentro de otros, secomienza eliminando los más interiores.Ejm:

Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x-(5x – 2y)] – (x + 3y)}

Solución:

Q(x,y) = 5x – {-4y – [7x – 5x + 2y] – x – 3y}= 5x – {-4y – 7x + 5x – 2y – x – 3y}= 5x + 4y + 7x – 5x + 2y + x + 3y

Q(x,y) = 8x + 9y

3. P(x) = 3x3 + 4x2 - 5x + 7

Grado:

Coeficiente principal:Término independiente:Término lineal:Término cuadrático:Suma de coeficientes:

4. P(a) = 5a2 - 8a4 - a + 5

Grado:

Coeficiente principal:Término independiente:Término lineal:Término cuadrático:Suma de coeficientes:

Test de Aprendizaje


ÁLGEBRA

5. Hallar "m" , si el grado absoluto es 15P(x, y) = xm+1y2 + xm+2y3

6. Si: GR(x) = 4 y GR(y) = 5, hallar "a + b", en:P(x, y) = 3xa+1yb + 7xayb+1

7. Hallar "a", si el grado absoluto es 5P(x) = 2xa - 5x3

8. Hallar "b", si el grado absoluto es 8P(x) = 3x7 + 8x2b

9. Si el grado absoluto es 20, hallar "k"P(y) = yk-1 + yk + y2k + 2

10.Si P(x, y) = 5x2y5 + 7x3y + 8xy7

calcular: M = GR(x) + GR(y) + GA(P)

34



Nivel I

1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado,el coeficiente principal, el término independiente, eltérmino lineal (variable de 1er grado); el término desegundo grado y la suma de sus coeficientes:

a) E(x) = -3x4 - 2x3 + 7x2 - 8x + 5

b) C(y) = 2y2 - 5y5 + 3y3 - 2y + 11y4 - 3

c) P(n) = -5n3 + 2n - 3n2

2. Dado los polinomios:

A = 3x2 + 8x + 7B = x2 + 7

Con respecto a la diferencia de A y B, indica el valor deverdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

I. Es un polinomio de tres términos ( )II. Su término independiente es cero ( )III. Su coeficiente principal es 4 ( )

3. Si: R(x) = 5x2 - 7x + 3, indique el valor de verdad de lossiguientes enunciados:

I. R(x) es un trinomio ( )II. R(x) es un polinomio de segundo grado ( )III. El coeficiente de su término lineal es -7 ( )IV. Su coeficiente principal es 5 ( )

4. Encuentra la suma de los siguientes polinomios:

a) P = 2x3 - 3x + 5 - 4x2

Q = 7x2 + 4 + 3x3 - 2xR = 3x2 - 5x + 8 - 2x3

Calcular: P + Q + R

b) P = 3a2 – 4ab + 4b2

Q = 5a2 – 4ab + 6b2

R = -4a2 + 3ab – 7b2

Calcular: P + Q + R


a) De 5x – 7 restar 11x + 9

b) De 3x2 – 5x – 4 restar 5x2 + 4x – 6

c) Restar 2x2 + 4x + 9 de – 3x2 + 5x – 7

6. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

a) 15x2 – 8y2 + 6x2 – 9xy – 3xy – 12y2 – 8xy – 7y2

b) 8y3 + 5x3 – 7x2y – 8xy2 – 3xy2 + 10y3 – 5x2 – 3x3 – 4xy2

c) 4x – {-2y – [6y – (3x – 7y)]}

7. Restar la suma de:

a2 – ab + b2 ; 7b2 + 3a2 – 8ab ; – 5a2 – 17b2 + 11ab dela suma de: 3b2 – 2a2 + 7ab con – 5ab – 17b2

Nivel II

8. La edad de Miguel es de "2x + 3" años; la edad de suhermano Andrés es de "3x - 7" años menos y la de suhermana Silvia es de "5 - x" años menos que la de Andrés.¿Cuánto suman las 3 edades?

9. Se compran cuatro casas, la segunda cuesta "x" solesmas que la primera; la tercera "2x - 3" mas que lasegunda y la cuarta "3x - 9" soles menos que la tercera.Si la primera cuesta "5x + 6" soles, ¿cuál es el total dela compra?.

10.Hallar el grado relativo con respecto a las variables ‘‘x’’e ‘‘y’’ de cada uno de los polinomios siguientes:

a) P(x,y) = x4 – 3x3y + 8x2y2 – 5y3

b) Q(x,y) = 7x3y2 – 4xy4 + 6y6 – 3x5

c) R(x,y) = 2x3 + 3x2y – 5xy2 + 7y3 + 4x – y

11.Hallar el grado absoluto de cada uno de los siguientespolinomios:

a) P(x,y) = 3x4y2 + 5x3y5 – 8x2y3 – 7xy6

b) Q(x,y) = -2x3y2 – 7x3y – 3xy5 + 2x2y3

12.Dado el polinomio: P(x,y) = 5x4z10 + 2xy7z2 – 7x6y3z12

Hallar: GR(x) + GR(y) + GA(P)

13.Si se tiene el polinomio:A(x,y) = 3xa+3y4 + 5xa+1y5 + axay7. Donde el GR(x) = 5Hallar la suma de coeficientes del polinomio.

14.En el polinomio F(x,y) = xa+1yb+3 + axayb+1 + bxa-1yb+2.Si se sabe que: el GR(x) = 7 ; GR(y) = 9 ; además:a,b ZZ+. Hallar la suma de coeficientes del polinomio.

15.Si el grado absoluto del polinomio "P" es 11; determinarel valor de "n":

P(x,y) = x3n-1yn – 2x2n-2y2n + xn-3y3n

Practiquemos


ÁLGEBRA

1. Hallar el grado relativo a "x" en el polinomio:

32 n 3 5 7 nn 5(x, y)P 5y x 7x y xy

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Sea:

ann n a nn n n(x, y)P 3x 5y(n )7 z

Donde: GR(x) = GR(y) = 16

Calcular "n"

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 4 2

3. Dado el polinomio:P(x, y) = 2xaya+1 + 7x2aya+3 - axa-6 + aya+7 - 7x2aya+2

Si su grado absoluto es 33, calcular: GR(x) + GR(y)

a) 28 b) 33 c) 37d) 41 e) 44

4. Dado el polinomio:

1 3 3 12 2 2 23 1 1 3(x)P (x 1) (x 1)

Dar el valor de verdad:

I. Su grado absoluto es 9II. Sus coeficientes suman 512III. El término independiente es cero

a) VVV b) FFF c) VFFd) FVF e) VFV

5. Si el grado absoluto de:P(x, y, z) = xmy2n+1z(xm-1yzn-1 - (xy)mzn)es 17 y GR(y) = 9

Hallar: E = m + n

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

Autoevaluaciòn

36



Nivel I

1. En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado;el coeficiente principal; el término independiente; eltérmino lineal (de primer grado); el término de segundogrado y la suma de sus coeficientes:

a) E(x) = 13x3 + 2x5 7x + 18b) C(y) = 2y5 6y3 + 12y2 32y + 5c) P(n) = 8n2 5n3 + 7n4 18n + 3

2. Dado el polinomio:

P(x) = 4x3 + 2x2 + 5x 3

Calcular la diferencia entre la suma de sus coeficientesy su término independiente.

3. Sumar los siguientes polinomios:

P(x) = 3x2 + 5 8xQ(x) = 2 5x2 + 7xR(x) = 4x2 1 + 2x

Calcular la suma de coeficientes del resultado.

4. Calcula la diferencia "P Q" en cada uno de los siguientescasos:

I. P = 5x 7; Q = 9x + 2II. P = 5y2 2y + 4; Q = -2y2 + 4y + 9III. P = 3x5 3x2 + 2x 2x4; Q = 8x2 + 5x4 - 9 3x3

IV. P = 2x3 3x + 8; Q = 4x2 3x3 + 7 + 4x

5. De 4x3 6x2 + 9x 12 restar la suma de: x3 + 3x2 5xcon 4x2 + 7x + 6.

Dar como respuesta la diferencia entre el coeficienteprincipal y el término independiente.

6. Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 + 2x + 4Q(x) = 8x3 + 3x2 + x + 5

Con respecto a la suma de P y Q, indica la verdad ofalsedad de las siguientes proposiciones:

I. Tiene tres términos ( )II. Su término independiente es 4 ( )III. Su coeficiente principal es 8 ( )

7. Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

a) 15x2 8y2 + 6x2 9xy 3xy 12y2 8xy 7y2

b) 8y3 + 5x37x2y 8xy2 - 3xy2 + 10y3 5x2y 3x3 4xy2

8. Suprimir los siguientes signos de agrupación y reducirlos términos semejantes en las expresiones siguientes:

P = 4x {2y - [6y (3x 7y)]}Q = -9x {2x 3y [3y 2x (4y 5x)]}R = -3y + {2x [5x (2y 7x)] + 8x}S = 3x {2y + (3x 5y) 2x + [3y (2x 7y) + 4x]}

Nivel II

9. Pablo es ‘‘2y + 1’’ centímetros mas alto que Antonio yéste es ‘‘y 2’’ centímetros mas bajo que César. Si laaltura de César es de ‘‘3y 7’’ centímetros, ¿cuántosuman las alturas de los tres?

10.Se compran cuatro libros; el segundo cuesta "2x + 3"soles más que el primero, el tercero "3x - 8" soles menosque el segundo y el cuarto "7x - 4" soles menos que eltercero. Si el primero cuesta "8x - 5" soles, ¿cuál es elgasto total de la compra?

11.En el siguiente polinomio:

P(x;y) = 5x9y7 3x12y7 + 9x17y3

Hallar: GA(P) + GR(x) + GR(y)

12.Sea: Q(x;y) = 2x

a-9y

7+ 3x

a-12y

4+ 2x

a-10y

19

Si: GR(x) = 5; hallar el grado absoluto de ‘‘Q’’.

13.Si: R(x;y) = xa+9ya-5 + xa+7ya + xa+1y3 cuyo gradoabsoluto es 27.

Hallar: E = GR(x) + GR(y)

14.En el siguiente polinomio:

P(x;y) = xa+1y2b+3 xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1 xa+7y2b-3

Donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9. Determinar el GA(P).

15.Señale la suma de coeficientes del polinomio:

E(x;y) = x3a+2by2b + ax3a+by2b-1 + bx3a-by2b-3

Donde: G.A. (E) = 18; G.R.(y) = 6

Tarea domiciliaria



* PROCEDIMIENTO PARA MULTIPLICAR DOS NÚMEROS ENTEROS:

1. Si multiplicamos dos números del mismo signo ; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le antepone elsigno mas (+).

Ejm:

(+2) (+7) = +14

(–4) (–5) = +20

2. Si multiplicamos dos números de diferentes signos; se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le anteponeel signo menos (–).

Ejm:

(+3) (–4) = –12

(–6) (+5) = –30

Consideramos:

Regla de Signos

(+) . (+) = (+)(–) . (–) = (+)(+) . (–) = (–)(–) . (+) = (–)

* Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta la siguiente prioridad operativa:

A. Se resuelven los signos de colección: { } ; [ ] ; ( )

B. Se resuelven las operaciones de multiplicación y división (si aparecen seguidas se resuelven deizquierda a derecha).

C. Después de resolver las operaciones de multiplicación y división, se resuelven las operaciones de adición y sustracción.

D. Si se tiene: 3 . 24 ; Primero se desarrolla la potencia y luego se multiplica; es decir: 3 . 16 = 48.

Multiplicación denúmeros enteros5

38

Multiplicación de números enteros


Efectuar:

1. (+5)(+7) =

2. (-10)(+4) =

3. (-7)(-3) =

4. (+8)(-11) =

5. - [(-8)(-5)] =

6. - [(-10)(+2)] =

7. - { - [(+8)(+12)]} =

8. (-8)(+2) + (-1)(+4) =

9. (-4)(-5) + (-2)(-3) =

10. (+7)(-3) - (+5)(-4) =

Test de Aprendizaje


ÁLGEBRA

Nivel II

9. La suma de dos números enteros es –12 y su productoes +35. Hallar dichos números.

10.El triple de un número aumentado en 8 es igual a –10.¿Cuál es el número?

11.Un terreno cuadrado tiene 169m2 de área y se quierecercar con 3 hileras de alambre de púas. ¿Cuántosmetros de alambre de púas se necesitan para cercarlo?

12.Si por cada 3 chapitas; Carlitos puede canjear unabotella de gaseosa, ¿cuántas gaseosas podrá canjearcon 15 chapitas?

13.Elenita al llegar al edificio donde trabaja de 9 pisos;realiza los siguientes movimientos:

1ro: Su jefe la envía al 3er piso para entregar un informea su secretaria.

2do: La secretaria envía a Elenita al 6to piso para quelleve el informe donde se encuentra el subgerentepara que lo firmará.

3ro: El subgerente envía a Elenita al 9no piso donde seencuentra el gerente general para que le de el vistofinal.

Si entre el 1er y 3er piso, cada piso tiene 17 escalonesy del 3ro al 6to piso cada piso tiene 19 escalones y del6to y 9no piso cada piso tiene 15 escalones, ¿cuántosescalones subió Elenita?

14.Si: a * b = 5a + 2ba b = b 2a

Calcular el valor de: [(-2) * (-4)]E = (5 * 4) (3 1)[(+3)*(-1)]

15.Si: a * b = a2 b2

c d = 2c d2

¿Cuál es el valor de: E = (5 * 4) (3 1)

Nivel I

1. Efectuar:

a) (+32) (–7) = ...............................................

b) (+27) (–13) = ..............................................

c) (–214) (+12) = ............................................

d) (–243) (–254) = ..........................................

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

a) 2 (4 + 5) – 4 + [–9 . 3 – 6 + 5]

b) –[–(–4 + 6) (–3) – (–2 – 5 + 3)] – 10 + 8 + 15

c) –{–2 – [3 + (6 + 2.4 – 5)]} – {–5 – [8 – (9 + 3. 2 – 7)]}

3. Efectuar:

a) (11 – 4)5 – 4(6 + 2) + 4(5 – 3) – 2(8 – 6)

b) 3(9 – 2) + 2(5 – 1) (4 + 3) + 3(6 – 4)(8 – 7)

c) 300 – 3(5 – 2) + (6 + 1)(9 – 3) + 4(8 + 1)

d) [(5 + 2)3 + (6 – 1)5] [(8 + 6)3 – (4 – 1)2]

4. Efectuar: E = (+3)(-5) + [(-2)(-5) - (+7)(-8)]

5. Si: A = (-4)(-3)+[-(-5)(+2) - (+4)(-2)] B = (-2)(-3)(+4) + (-7)(-2)(-1)

C a l c u l a r : A .B

6. Si: M = -[-(-2+5) + (-3)(-1)] + (-2)(-3)N = -2+{-[(-3)(+2) - (-4)(+1)] + 7}

Calcular: 2N + 3M

7. Desde hace 6 minutos: José está cargando gasolina enel tanque de su camión, a razón de 7 litros por minuto.En este momento el tanque tiene 51 litros. Indica lacantidad de gasolina que:

a) Tenía hace 3 minutos.b) Tendrá dentro de 2 minutos.

8. La diferencia de un número y el triple de –4 es -8. ¿Cuáles el número?

Practiquemos

40

Multiplicación de números enteros


Nivel I

1. Efectúa:

a) (+13) (-17) = ................................................b) (+157) (-234) = ............................................c) (-347) (+15) = ..............................................d) (-756) (+124) = .............................................

2. Calcular:E = (-2)(-7)(+6) - (+3)(-7)(-5)+[-4-(3-(-2)(+5))]

3. Si: A = -{-3-[2-(3-7)+5]}

B = +2-{5-[3-(-4-2)-5]}

Calcular: A . B

4. Si: M = (+3)[(-2)(+7)-(-3)(-2)(+4)]N = (-2)[-5-(-3)(4) - (+5)(-2)(-1)]

Calcular: M . N


a) (25 + 2) + 2 . [(2 + 3)(5 2)]4 . [(26 20) + (15 19)]b) (25.5) 2 + 10 (50.10) – 2 . (3 – 1) + 3 . (16.4)c) 25 + [3(12 2) + 2 (10.5)] (27.9). 3 + 5 (2 + 8) + 3

6. Calcular: E = (13-7)(4) - 5(8+1) + 5(7-4) - 6(9-7) + 3(9-2) + 3(4-1)(3+2) + 3(5-2)(9-7)

7. Si: x = (-2)(+3) + (-5) [-4+2(7-3(4-6))]y = (-5)(-4) [(+6)(-17)-(-11)(+12)]

Calcular: M = 3x - 2y

8. Un surtidor consume 470L de agua cada hora. Si cadadía funciona 12 horas, ¿cuál es el consumo semanal deagua del surtidor?

Nivel II

9. Felipe compró 84 ovejas a $ 54 cada una. Se le murieron15 y vendió el resto a $ 72 cada una, ¿qué beneficioobtuvo en la operación?

10.La fábrica "Richfer" tiene un gasto diario de $ 2 300.El gasto acumulado hoy es $ 18 500. Calcula el gastoacumulado:

a) Que tuvo hace 4 días.b) Que tendrá dentro de 5 días.

11.El producto de 3 enteros consecutivos es 120. ¿Cuálesson dichos números consecutivos?

12.Elena dispone de 80 soles para su almuerzo durante elpresente mes. Si cada almuerzo cuesta 4 soles con 50céntimos y debe almorzar los 22 días escolares, ¿cuálserá su situación económica a fin de mes?

13.La suma de dos números es 144. Uno de ellos es iguala 5 veces el otro. ¿Cuáles son estos dos números?

14.El producto de dos números enteros es 12. Si uno deellos es primo, hallar la suma de dichos números.

15.Un atleta recorre 3000 metros en una hora, a la 2dahora decide duplicar su recorrido anterior, haciendo unaconstante en las siguientes horas. Al cabo de 9 horas,¿cuánto fue su recorrido final?

1. Hallar dos números cuyo producto es 480, sabiendo queal agregar 15 unidades al multiplicador, el productoaumenta a 930, dar la suma de cifras del multiplicador.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

2. Se toma una hoja cuadriculada de 20 por 20 cuadraditos,se dobla en dos uniendo dos puntos opuestos. ¿Cuántostriángulos se formaron?

a) 420 b) 360 c) 110d) 400 e) 210

3. ¿En cuántas veces su valor habrá aumentado el productode 3 factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en suduplo, el otro en su triple y el tercero en su cuádruplo?

a) 24 veces b) 59 veces c) 23 vecesd) 50 veces e) 48 veces

4. Se define: a * b = a2 - abCalcular "x" en: (x + 2) * (x - 1) = 6x

a) 1 b) 2 c) 4d) 0 e) 7

5. Se define xy = x - y + 2(yx)

Calcular: M = 12 3

a) 3 b) 5 c) 7d) 2 e) 4

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria



Dados dos números enteros "a" y "b"

decimos que la división es exacta, o que

"a" es divisible por "b", si la división de los

valores absolutos de los números es exacta.

División denúmeros enteros

Como -27= (+9)(-3), decimos que -27 es divisible por +9.La división es exacta y da como resultado -3.

Conclusión

Se observa que la división se hará primerocon los valores absolutos de -27 9 y

anteponiendo el signo -.

Por otro lado, no se puede multiplicar (-7) por otro número enteroque nos de (+15), por lo tanto +15 no es divisible por (-7).

El cociente de los valores absolutos de 157no es exacto (No es un número entero)

¿Es divisible -27 por +9?¿Es divisible +15 por -7?¿Cómo podríamos saber si un número entero es divisible por otro número?

6

42

División de números enteros


Ejercicios básicos

I. Distribuye los números del cuadro para que se cumplanlas multiplicaciones siguientes:

-4 3 -7 9 -1 -1

a) (-4) = (-36)

b) (+5) = (-20)

c) (+5) = (-5)

d) (+10) = (-70)

e) (+5) = (+15)

f) (+1) = (-1)

II. Distribuye los números del cuadro para que cumplan lassiguientes divisiones:

8 -1 6 -7 6 1

a) (+1) (+1) =

b) (+12) (+2) =

En la división de números enteros se cumple la siguiente"ley de signos"

( + ) ( + ) = ( + )( + ) ( ) = ( )( ) ( + ) = ( )( ) ( ) = ( + )

Nota:

a. Al dividir dos números enteros puede ser que no resulteotro número entero.

b. Nunca se puede dividir por el número "0".

Ejemplo:

• 50

no se puede dividir..

• 0

0,5

si se puede dividir..

c) (-80) (-10) =

d) (+36) (+6) =

e) (-21) (+3) =

f) (-1) (+1) =

* La división es la operacióninversa de la multiplicación.

Dividir es hallar el número porel que se debe multiplicar aldivisor para obtener el dividendo.

Sabías que

Dividendo divisorcocienteresiduo

* Si residuo es igual a "0":

Dividendo divisor = cocienteDivisor . cociente = Dividendo


ÁLGEBRA

Efectuar:

1. (+8) (+2) =

2. (-10) (5) =

3. (+20) (-4) =

4. (-40) (-8) =

5.8016

6. 4515

7. 427

8. 05

9. 328

10. 6432

Test de Aprendizaje

44



CADA NÚMERO DEL CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DE LA IZQUIERDA DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA.

Los resultados son los números de abajo, colócalosen las casillas correspondientes de la derecha.Obtendrás otro cuadrado mágico multiplicativo.

4.

-1 3 -2 2

4 -1 3 -1

-3 2 -2 1

1 -2 1 -6

(-1) =

Producto de cada línea = 12 Producto = 12

-4 6 1 -2 -1 1 -2 2 2 -1 -3 2 3 -3 -1 1

Nivel I

1. Calcula las siguientes divisiones de enteros.

a) (-24) (+3) = ................................................

b) (+12) (+2) = ................................................

c) (-15) (-5) = ................................................

d) (+11) (+1) = ................................................

e) (+9) (-9) = ................................................

f) (-6) (+1) = ................................................

g) (+6) (-1) = ................................................

h) 0 (-4) = ................................................

2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de númerosenteros.

a)

404

.........................................................

b)

153

.........................................................

c)

4812

.........................................................

d)

755

.........................................................

e)

186

.........................................................

f)

155

.........................................................

3. Calcular:

a) 1488 -16 = ................................................

b) -1517 -37 = ................................................

c) -6420 12 = ................................................

d) -3015 -45 = ................................................

e) -34858 -601 = ................................................

f) -9867 -143 = ................................................

g) -66234 798 = ................................................

h) 98775 -225 = ................................................

Practiquemos


ÁLGEBRA5.

10 -80 -10

Producto = 8000 Producto = -64

(-5) =-20 20 -20

-40 -5 40

-4-8 -4 8 -2 4 16 4 21

6. Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados sonlos números de abajo y colocamos en las casillas correspondientes de la derecha .

7. Completa el cuadrado:

8. Reemplaza dentro del con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera:

a) - 2 4 3 40 8

b) -10 -2 -25 5

c) 28 -7 -35 -5

d) -72 6 -48 +6

46



Watt mes

Consumo Total

Importe consumo deenergía eléctrica

Nivel II

9. Calcula:

a)

(10)[2 (7 4 3)3](2)

b)

(20 10)(18 16)36 (3 (3))3

10. Completa cada serie:

a) 16 ; -8 ; 4 ; -2 ;

________________________________________

b) 48 ; -24 ; +12 ; -6 ;

________________________________________

c) -80 ; +40 ; -20 ; +10 ;

________________________________________

11. Calcular el número que falta:

12. Desde hace 5 minutos Gordosky está cargando gasolinaen el tanque de su auto, a razón de 7 litros por minuto.En este momento el tanque tiene "x" litros. Indica lacantidad de gasolina que:

a) Tenía hace 3 minutos.b) Tendrá dentro de 2 minutos.

13. Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce partedel fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún lesobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos defertilizante esparció en cada campo?

14. S e d e f i n e : a b = (a + b) (a - b).Calcula: 5 3 + -9 -3

15. Una familia dispone 15 soles para el pago del consumomensual de energía eléctrica. En el cuadro inferioraparecen los artefactos que posee la familia y el consumorespectivo. Si el costo de 20 000 watt es de 1 sol, y seconsideran los meses de 30 días para hallar el consumomensual.

a) ¿Qué pasará a fin de mes? ¿Ese dinero dispuestoserá suficiente para el pago del recibo de luz?

b) ¿Cuál es la cantidad que sobra o falta?


ÁLGEBRA

Nivel I

1. Calcula las siguientes divisiones de enteros.

a) (-48) (+2) =

b) (-15) (-3) =

c) (+25) (-5) =

d) (+18) (-6) =

e) (+15) (-15) =

f) (-12) (-4) =

g) (+8) (-1) =

h) 0 (-5) =

2. Resuelve las siguientes divisiones exactas de númerosenteros.

a) 726

b)

243

1. El número 296 se divide entre cierto número,obteniéndose como cociente la mitad de este y comoresiduo los 2/3 del cociente. Dar el valor del divisor.

a) 12 b) 37 c) 16d) 24 e) 48

2. Un muchacho debía dividir 6875 por un cierto número,pero el 7 del dividendo lo cambió por 1 y resulta que seobtuvo un cociente inferior en 5 unidades al que debióobtener, pero el resto no varió. Hallar el residuo.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

3. Se tienen tres números consecutivos. Si el cociente delproducto de estos tres números entre su suma es 16,¿cuál es el intermedio?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. Si:2

a b 1a(b a)

Calcular: 10 45 2

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

5. Si3 3

2 2a b

a ba ab b

Hallar: (28 6) (345 344)1589 1588

a) 351 b) 395 c) 2d) 1 e) 27

c)

567

d)

5117

e)

48

16

f) 14

2

3. Calcular:

a) 1440 -12 =

b) -6939 +9 =

c) -3125 -25 =

d) -4096 64 =

e) -3322 -22 =

f) +1024 -16 =

g) 115148 5234 =

h) 6860 3430 =

Autoevaluaciòn

Tarea domiciliaria

48



6. Divide los números de las casillas correspondientes. De estos cuadrados mágicos multiplicativos los resultados son losnúmeros de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.

* CADA CUADRADO MÁGICO MULTIPLICATIVO DIVÍDELO POR EL NÚMERO DE AFUERA.Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha.


ÁLGEBRA7. Completa el cuadro:

8. Reemplaza dentro del con < , = ó > para hacer una afirmación verdadera:

a) -8 +4 -12 - 3

b) +15 + 5 -75 -15

c) -81 + 27 +54 -18

d) +36 - 9 -125 + 5

Nivel II

9. Calcular:

(16)[5 (3 2 1)3]a

2

(30 10)(15 7)

b28 (2 (2))1

10.Completa la serie:

a) -81; +27 ; -9 ; +3 ; _____

b) +64 ; -32 ; +16 ; -8 ; _____

c) 162 ; -54 ; ____ ; +6 ; +2

11. Calcular:

12.El colegio Trilce tiene un gasto diario de $ 700. El gastoacumulado hasta hoy es, en dólares, "x". Calcula el gastoacumulado.

a) ¿Qué tuvo hasta hace 5 días?b) ¿Qué tendrá dentro de 3 días?

13.Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante. Esparce partedel fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún lesobraron 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos defertilizante esparció en cada campo?

14. S e d e f i n e : a*

b = (a

2 - b2) (a - b).Calcula: (3 * -5) * (-7 * 2)

15.Reemplaza ? con "1" ; "-1" ; "n" o el opuesto de "n" paratener una afirmación verdadera ("n" representa unnúmero entero)

a) Si n0, entonces el cociente de "n" y el opuesto de"n" es ?.

b) n -1 = ?c) El producto de "n" y el opuesto de -1 es ?.



Es aquella expresión que se representa por:

an = P

aBasenExponentePPotencia

Exponente Entero Positivo

Definición:

Siendo : * a ZZ* n ZZ+ n 2

Ejemplos:

* 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16* (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27

En efecto, como podemos notar elexponente nos indica la cantidad deveces que se va a multiplicar la base

por sí misma.

Observar:

1. Para: n = 1 a1 = (1)(a) = a, luego a1 = a

2. Para: n = 0 a0 = 1; a ZZ ; a 0

Ejemplos:

* (-2)0 = 1* -20 = -1

Podemos notar que en el primer ejemplo, el exponente nuloafecta a todo lo que está entre paréntesis y en el segundoejemplo únicamente el exponente nulo afecta al valornumérico 2, sin tomar en cuenta el signo, por ello obtenemosrespuestas distintas.

Resuelve los ejercicios siguientes:

1) (-200)0 = .............................................................

2) -1759340 = ...........................................................

3) -50 + (-5)0 = .........................................................

4) [1720 - 1840 + 1010]0 = ..........................................

TEOREMAS

1. Multiplicación de bases iguales:

am x an = am + n

Ejemplo:

* (-7)20 . (-7)4 = (-7)24

* (12)205 . (12)7 = (12)212

2. División de bases iguales:

m

m nn

aa ; a 0

a

* (-25)15 (-25)13 = (-25)2 = 625

* 4 2

(-17) (-17) (-17)

3 2

(-17) (-17)

1

(-17) -17

Potencia connúmeros enteros

Procedemos deizquierda a derecha.

7

52

Potencia con números enteros


3. Potencia de Potencia:

(am)n = am n

Ejemplo:

* (52)3 = 56 = 15625

* ((-2)3)4 = (-2)12 = 4096

Observación: y yx xa (a )

En efecto:

LEY DE SIGNOS PARA LA POTENCIACIÓN

( + )PAR = ( + )( + )IMPAR = ( + )( - )PAR = ( + )( - )IMPAR = ( - )

Observaciones:

1. Cualquier número entero positivo elevado a un exponentepositivo par o impar, tendrá siempre una potenciapositiva.

2. Si se tiene una base entera negativa, entoncesobtendremos:

(Negativo)Par = Positivo

(Negativo)Impar = Negativo

Ejemplos:

(-7)3 = (-7)(-7)(-7) = -343 (entero negativo)

(-10)2 = (-10)(-10) = 100 (entero positivo)

Antes de comenzar a practicar, observemos éste ejercicioresuelto, con la finalidad de ilustrar nuestros conocimientosteóricos:

Ejercicios resueltos

1. Reducir: E = (8)4 (-2)5 x (-4)6 (-8)5

Resolución:En este caso procedemos de izquierda a derecha.

1er PASO:

En este caso procedemos de izquierda a derecha.(8)4 : (-2)5

2do PASO:

Por Ley de signos:

4

58

2

3er PASO:

Uniformizando bases y por potencia de potencia:

4312

5 5

2 2

2 2

4to PASO:

Ley de signos y la división de bases iguales, obtenemos:-27. Tenemos : -27 . (-4)6

5to PASO:

Ley de signos y uniformizando bases, y potencia depotencia, obtenemos: - 27 . (-22)6 = -27 . 212

6to PASO:

Producto de bases iguales, obtenemos -219. Tenemos:-219 (-8)5

7mo PASO:

Ley de signos, uniformizando bases y potencia de potencia

tenemos: -219 (-23)5 = -219 -215

8vo PASO:División de bases iguales, tenemos: 24 = 16


ÁLGEBRA

Efectuar:

1. (+5)2 =

2. (-5)2 =

3. (+2)3 =

4. (-2)3 =

5. -(-2)2 =

6. -(-3)3 =

7. 80 =

8. (-8)0 =

9. -80 =

10. (102 - 100)0 =

Test de Aprendizaje

54



5. Calcular la potencia de potencia de:

a) 35(3) = ..............................................

b) 60(5) = ..............................................

c) (-42)3 = ..............................................

d) (82)3 = ..............................................

e) (69)3 = ..............................................

f) (-23)5 = ..............................................

6. Simplificar:

a)

02629352010623

....................................................................

b) (-7)9 . (-7)6 : (-7)10 . (-7)3 : (-7)8 =

....................................................................

c)

25

2552325 ::

.....................................................................

7. Ordenar de mayor a menor:

A = (-3)2 . (-3)3 (-3)4

B = 24

54

)(

C = (-1)100 (-1)99

034D (2)

8. Siendo:

043200115

3017 )()(A

052420090

0315 )()()(B

Hallar el valor de: AB.

Nivel I

1. Hallar cada una de las siguientes potencias:

a) 152 = .....................................................

b) (-5)2 = .....................................................

c) -24 = .....................................................

d) (-2)4 = .....................................................

e) (-3)5 = .....................................................

2. Calcular las siguientes potencias y contesta:

12 ; 13 ; 120 ; 18 ; (-1)7 ; (-1)4 ; (-1)6 ; (-1)5 ; (-1)11

a) ¿Cuánto valen todas las potencias de 1?b) ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a

un exponente par?c) ¿Cuánto valen las potencias de base -1 elevadas a

un exponente impar?d) Determine el valor de: (-1)759376581 ; -1200730012

3. Calcula los productos de las siguientes potencias de igualbase.

a) 32 . 33 = .............................................

b) (-2)4 (-2)2 = .............................................

c) (-1)7(-1)5 (-1)3 = .............................................

d) (-5)3 . (-5)2 = .............................................

4. Calcular el valor de los siguientes cocientes:

a) 5

2

2

2 ...................................................

b)

8

5

(7)

(7) ...................................................

c)

0

0

20006

(2600)....................................................

d)

2000

1998

(13)

(13)...................................................

e)

777

774

(9)

(9) ...................................................

f)

215

12

2

2 ...................................................

Practiquemos


ÁLGEBRA

Nivel II

9. Simplificar:

I. [(-72)3 . (73)2] (74)3

II. [12x(-12)3 . (-12)4] [(-12)5 . (-12)2 ]

III. [85 215]5

10.Simplificar:

16 9 4

3 4 4

(2)(3). (25)E

(5)(9)(16)

11.Reducir: 10 15 7

14 10 6 2

21 . 25 . 16E

20 .35 .15 .9

12.Luego de reducir:

4 3 4

2 7

18 .72 .60A

600 . 36

4 3

2 3 2

700 .15B

49 . 300 . 25

Hallar: (A - B)3 (B - A)2

13.Si: a * b = a2 - b2

c d = c3 - d2

Determine el valor de:

E = [(-3) * 2] [5 * (-6)]

14.Si:

a = a3 ; cuando "a" es par.

a = a2 ; cuando "a" es impar.

Calcular: E = 4 - 2 - 7

15.Siendo:

a = a - 1 ; si: a < bb

a = b + 1 ; si: a > bb 2

Determinar el valor de:

34

- 43

1

1. Dar el equivalente

2x 42x 3

2x 5 x 3225

A5 4 25

a) 25 b) 35 c) 45d) 55 e) 65

2. Reducir:

12 12R (0,25)(0,5)(0,3)(0,1)

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

3. Hallar "k", si:

k 1 k 1 242 1 . 2 1 3 2 2

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4. Si:

12416A 81

y

124449B 27

Calcular: A + B

a) 9 b) 12 c) 15d) 18 e) 21

5. Efectuar:

1 1 11 1 14 3 21 1 1

N4 3 2

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

Autoevaluaciòn

56



Nivel I

1. Hallar cada una de las siguientes potencias:

a) 162 =

b) (-7)3 =

c) -34 =

d) (-5)2 =

e) (-2)5 =

2. Calcular los productos de las siguientes potencias deigual base:

a) 53 . 52 =

b) (-3)3 . (-3)2 =

c) (-1)300 (-1)100 (-1)4477 =

d) (-2)2 (-2)5 =

3. Calcular el valor de los siguientes cocientes:

a) 7

10

2

2

b) 12

15

)11(

)11(

c) 0

0

1998

)1998(

d) 2

3

)150(

150

e)

3

8

10

3

3

4. Calcula la potencia de potencia de:

a) [(-2)3]2 =

b) [(-13)0]100 =

c) [[(-17)2]3]0 =

d) [[(-5)2]3]1 =

5. Efectuar:E = ((-25)6)3 - ((-23)5)6

6. Efectuar: E = -73210 + 7250

7. Ordenar de menor a mayor:

2

3

5

)5(A

B = (-7)2 (-7)10 (-7)9

C = (-1)20 (-1)50 (-1)15

032)3(D

8. Siendo:

1000075001 )18()14(16A

030723000 )20()5()200(B

Hallar el valor de : AB

Nivel II

9. Simplificar:

a) [92 - 970 - 1200][52 - 72+173]0

b) (-5)6 . (-5)9 (-5)8 . (-5)4 (-5)10

c) (((-7)2)3)4 (77)3 (-7)3

10.Simplificar:

I. [274 (-9)5]2

II. [15.(-15)3 . (-15)4] [(-15)5 . (-15)2]III. [(-92)3 . (33)4] (-272)4

11.Si: a b = b2 - a ; c $ d = d3 - cDetermine el valor de:

E = [(-5) # 2] $ [17 # (-4)]

Tarea domiciliaria


ÁLGEBRA

12.Si:

a = a - 1 ; cuando “a” es impar.

a = 1 - a ; cuando “a” es par.

2

2

Calcular:

E = 3 - 2 + -5

13.Simplificar:

15 10 5

3 13 2

(3)(2)(16)E

(32).6 (3 )

14.Reducir:

10 8 3

6 5 10

77 .16 .25E

256.20 .49 .22

15.Luego de reducir:

4 3 5 2 2 0

3 2 5

3 2 3

A (9 ):(9 )(81 ):(27)

(10 ).100B

(1000)(10 )

Hallar el valor de: ABAAB 32



Repaso81. |-333| =

2. (+4) - (-3) + (-5) =

3. Dado: M(x, y) = 3x2y4, señalar:

GR(x) = _______

GR(y) = _______

GA(M) = _______

4. Dado: P(x) = 3x - 2x2 + 5 ; señalar:

Grado ______________

Coeficiente principal ______________

Término independiente ______________

Término lineal ______________

Término cuadrático ______________

Suma de coeficientes ______________

5. -[(-8) + 5] + [(-4)(+7)] =

6.32 44 2

7. 50 + (-3)0 - 70 =

8. (22)3 + 223

=

9. Dado: A(x, y) = 3x2y4 - 5xy9 + x3y; señalar:

GR(x) = _______

GR(y) = _______

GA(A) = _______

10.Calcular:

2( 4) 1R ( 5)( 3) 7( 3) 4.( 2).( 2) 4

Test de Aprendizaje

60

R e p a s o


9. Escribe cada uno de los monomios (de dos variables)cuyas características son:

a) Nombre R, coeficiente = 15; grado relativo a: x = 6;grado absoluto = 9

b) Nombre F; coeficiente = (n+2); grado relativo a: x =n;grado relativo a: y = 4; grado absoluto = 7.

10.Escribe cada uno de los monomios (de tres variables)cuyas características son:

a) Nombre V; coeficiente = 15; grado relativo a: x = 7;grado relativo a y = 8; grado relativo a: z = 5.

b) Nombre C; coeficiente = (2b + 3); grado relativo a:x = 3; grado relativo a: y = b 2; grado relativo a:z = 5; grado absoluto = 16.

11.En cada uno de los siguientes monomios, determina sucoeficiente, su parte literal, sus grados relativos a cadavariable y su grado absoluto.

E(x,y,z) = -5x6y2z4

L(x,y,z) = 3x2y8z7

P(x,y,z) = 24x4y7z8

Q(x,y,z) = -8x5y4z3

12.Simplificar:

a) 3ab {5ab [7ab (11ab 3ab)] 23ab}b) [5x2 9x2 (7x2 + 13x2)] + 8x2

c) 6x {7x + [3x (x 21x) + 14x] 6x} + 17xd) {7m2 [m2 + (9m2 4m2) (5m2 + 2m2)]}

13.Elenita se encuentra en el sexto piso de un edificio, luegobaja al tercer piso; vuelve a subir al quinto piso yfinalmente baja al segundo. Si entre piso y piso hay7x3y2 escalones, ¿cuántos escalones ha bajado Elenita?

14.En cada uno de los siguientes polinomios indica: el grado;el coeficiente principal; el término independiente; eltérmino lineal (de primer grado); el término de segundogrado y la suma de sus coeficientes:

a) E(x) = 13x3 + 2x5 7x + 18b) C(y) = 2y5 6y3 + 12y2 32y + 5c) P(x) = 8n2 5n3 + 7n4 18n + 3

15.Pablo es ‘‘2y + 1’’ centímetros mas alto que Antonio yéste es ‘‘y 2’’ centímetros mas bajo que César. Si laaltura de César es de ‘‘3y 7’’ centímetros, ¿cuántosuman las alturas de los tres?

16.Se compran cuatro libros; el segundo cuesta ‘‘2x + 3’’soles más que el primero, el tercero ‘‘3x - 8’’ soles menosque el segundo y el cuarto "7x-4" soles menos que eltercero. Si el primero cuesta ‘‘8x - 5’’ soles, ¿cuál es elgasto total de la compra?


a) Si 24m sobre el nivel del mar son indicados por +24m,¿cómo se puede indicar 15m bajo el nivel del mar?

b) Si 52m a la derecha son indicados por +52m, ¿cómopuede indicarse 35m a la izquierda?

c) Si 12 pisos arriba son indicados por +12 pasos, ¿cómopuede indicarse 4 pisos abajo?

2. Representa en la recta numérica los siguientes números:

+16; +3; 12; 2; +2; 0; +14; 4

a) ¿Cuál de ellos esta más próximo a +10?b) ¿Cuál de ellos esta más alejado de +10?

3. Comenzando el 6°C sobre cero; la temperatura se eleva3ºC después desciende 9ºC y finalmente se eleva a 7ºC.Hallar la temperatura final.

4. Un avión parte de un punto situado a 250km al este desu base; vuela hacia el oeste hasta un punto situado a320km de su base. ¿Qué distancia ha recorrido?

5. En el segundo semestre del año 2005, las ventas de lacevichería ‘‘Chino Limón’’ cambiaron de la siguientemanera:

* Julio, subieron 12 mil soles.* Agosto, subieron 6 mil soles.* Setiembre, bajaron 14 mil soles.* Octubre, bajaron 8 mil soles.* Noviembre, bajaron 4 mil soles.* Diciembre, subieron 18 mil soles.

Si a fines de Junio la cevichería habia vendido 42 milsoles, ¿cuántos miles de soles vendió ‘‘Chino Limón’’ enel año 2005?

6. Un móvil recorre 75 metros a la izquierda del punto ‘‘A’’y luego recorre 52 metros a la derecha. Expresa suposición respecto al punto "A".

7. Cierto día el termómetro marcó 13°C a las 11 de lamañana y (9º) a las 9 de la noche. ¿Cuál fue el cambiode temperatura?

8. A = {(50) + (100) (-7)} (+8 13)B = (19 + 3 7) {+5 - (7 4)}

Calcular: A B [A (A B)]

Practiquemos


ÁLGEBRA17.Simplifica cada uno de los siguientes polinomios:

a) 15x2 8y2 + 6x2 9xy 3xy 12y2 8xy 7y2

b) 8y3 + 5x37x2y 8xy2 - 3xy2 + 10y3 5x2y 3x3 4xy2

18.Un terreno cuadrado tiene 169m2 de área y se quierecercar con 3 hileras de alambre de púas. ¿Cuántosmetros de alambre de púas se necesitan para cercarlo?

19.Un surtidor consume 470L de agua cada hora. Si cadadía funciona 12 horas, ¿cuál es el consumo semanal deagua del surtidor?

20.Felipe compró 84 ovejas a $54 cada una. Se le murieron15 y vendió el resto a $72 cada una. ¿Qué beneficioobtuvo en la operación?

21.Elena dispone de 80 soles para su almuerzo durante elpresenta mes. Si cada almuerzo cuesta 4 soles con 50céntimos y debe almorzar los 22 días escolares, ¿cuálserá su situación económica a fin de mes?

22.La suma de dos números es 144. Uno de ellos es iguala 5 veces el otro. ¿Cuáles son estos dos números?

23.Un atleta recorre 3000 metros en una hora, a la 2dahora decide duplicar su recorrido anterior, haciendo unaconstante en las siguientes horas. Al cabo de 9 horas,¿cuánto fue su recorrido final?

1. El campeonato de futbol va a durar 39 semanas. Si encada semana se juegan 4 partidos, ¿cuántos equiposparticipan sabiendo que se jugarán 2 ruedas?

a) 13 b) 12 c) 11d) 14 e) 15

2. Aumentando en 7 a cada uno de los 2 factores de unamultiplicación, el producto aumenta en 364. Hallar elproducto original, si la diferencia de sus factores es 5.

a) 492 b) 512 c) 485d) 500 e) 490

3. Si el monomio: P(x, y, z) = 8xm+3n+2py2m+n+3pz3m+2n+p

es de grado 40calcular: m + n + p

a)103

b)203

c) 10

d)403

e)503

24. Calcula la siguiente división de enteros: (+18) (-6)

25. Resuelve la siguiente división exacta de números

enteros:6

72

26.Calcula la siguiente división: -4096 64

27.Calcula la siguiente división: 115148 5234

28. Luego de reducir:

72

434

36.600

60.72.18A

232

34

25.300.49

15.700B

Hallar: (A - B) (B - A)2

29.Hallar la siguiente potencia: 162

30. C a l c u l a l a p o t e n c i a d e p o t e n c i a d e : [ (- 1 3 )

0]100

4. En el polinomioF(x, y, z) = 22x2k+pyk+p+2 + 33x2k+p-3yk+p+1

El grado absoluto es 10 y la diferencia entre los gradosrelativos a "x" e "y" es 4.Hallar "k+p"

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Reducir:

2x3x

4x3x

4.8

16.2F

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

Autoevaluaciòn

62

R e p a s o


2. Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda. (2 puntos)

a. Se considera como "Padre del Álgebra" a Aljuarismi ............................................................................. ( )

b. Al sumar dos números que tienen signos diferentes, se restan y se coloca el signo del menor ............. ( )

c. (+8) + (-8) = 0; se aplica la propiedad del inverso aditivo ........................................................................ ( )

d. (+7)(1) = (+7); se aplica la propiedad del elemento neutro multiplicativo ................................................ ( )

3. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro

- Término algebraico - Grado absoluto - Numérica- divisibles - término semejante - exactos- Grado relativo - Literal - Expresión algebraica

a. Dos términos son semejantes si poseen la misma parte ________________________ (2 puntos)

b. En un monomio; el _______________________ esta indicado por el exponente de la variable.

c. En un polinomio; el _______________________ es el mayor grado absoluto de uno de sus términos.

d. Si la división de dos enteros es exacta, se dice que estos son _____________________.

4. Resolver lo siguiente:

Si: A = {(-50) + (-100) - (-7)} - (+8 - 13)

B = - (-19 + 3 - 7) - {+5 - (-7 - 4)}; calcular "A - B" (2 puntos)

1. Relaciona adecuadamente los enunciados de la izquierda con los de la derecha (2,5 puntos)

Izquierda Derecha

+ 2

-35 m

230

-x2y2

-12

12

-9x4y4

-2

+35 m

1024

A 35 metros a la izquierda, los represento como:

B El resultado de: Op(-4) + |-8| =

C Al operar: -5x2y2 + 4x2y2, se obtiene:

D Calcular: (-2)(+5) - (+4)(-3)

E ¿Cuánto es: 25 . 23 .22 ?

INSTRUCCIONES

1. La prueba tiene una duración de 50 minutos.2. No se permite el uso de calculadoras3. Los cálculos auxiliares deberán realizarse en la misma prueba en los espacios en blanco.4. No se permite el uso de tablas o fórmulas.5. Cualquier intento de copia el tutor o profesor responsable anulará la prueba con nota cero.

Modelo de examen bimestral


ÁLGEBRA5. Simplificar: -3ab - {5ab - [7ab - (-11ab - 3ab)] - 23ab} (2 puntos)

6. a) En el siguiente monomio, determina: (1 punto) b) Escribe el monomio que tiene las siguientes (1 punto) E(x, y) = -5x6y2z4 características:

coeficiente: _____ Nombre: Vgrado relativo de x: _____ Coeficiente: 15grado relativo de y: _____ grado relativo de x: 7grado absoluto: _____ grado absoluto: 12

Rpta. ___________________

7. Ordenar de mayor a menor: (2 puntos)

2

3

5

)5(A

; B = (-7)3 (-7)10 (-7)11 ;

032)3(C ; D = ([(-17)2]3)0

el orden es: __________________

8. Si: t1 = (a - b)xa-1y4 es semejante con t

2 = (a + b)x4yb+1, (2,5 puntos)

Hallar: t1 + t

2

9. En el siguiente polinomio: E(x) = -13x3 + 2x2 - 7x + 18, indicar: (1 punto)

El grado : ________ término lineal : ________

coeficiente principal : ________ término cúbico : ________

término independiente : ________ suma de coeficientes : ________

10.Un agricultor tiene 360 kg de fertilizante, esparce parte del fertilizante en 3 parcelas del mismo tamaño y aún lesobran 72 kg del mismo. ¿Cuántos kilogramos de fertilizante esparció en cada campo? (2 puntos)

Álgebra - 1eroSec - I Bimestre

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