Algebra 1
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DEFINICION l. Si a es un número real y n es un emero positivo, enlonces : donde a II n" se le denomina exponente, "a"se conoce como base y o" recibe el nombre de n-ésimo potencia de o. Por ejemplo XS es la quinta polencia de x I donde = X.X . X.X.X 5 Cuando una letra o símbolo se escribe sin exponente, se sobreentiende Que éste es uno (IJ. Así : x =x'. 1.l) TEOREMAS DE Sin, m e N y o, b e tR, enlenceS; DI) a .. O IV) (a.br -o".b" V) (:f ; botO Cuando el eJtponente es cero (O) ó negativo, se requieren definiciones adicionales: www.PDFN.blospot.com
Transcript of Algebra 1
DEFINICION l.
Si a es un número real y n es un emero positivo, enlonces :
donde a IIn" se le denomina exponente,
"a"se conoce como base
y o" recibe el nombre de n-ésimo potencia de o.
Por ejemplo XS es la quinta polencia de x I donde
~ = X.X . X.X.X
5 rc.dor~s
Cuando una letra o símbolo se escribe sin exponente, se sobreentiende Que éste es uno (IJ.Así : x =x'.
1.l) TEOREMAS DE EXI'O~ENTES
Sin, m e N y o, b e tR, enlenceS;
DI) ~~,........ a .. O
IV) (a.br -o".b"
V) (:f ~~ ; botO
Cuando el eJtponente es cero (O) ó negativo, se requieren definiciones adicionales:
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DEflNICION 2.
Si a e ¡Il y -n es un entero negativo, entonces se define'
0-1'1 =-.1_ el'
lal Que. a * O
En la dctualidad se dt>fine O" : 1
Puede demostrdrse que 105 teoremas de 105 exponentes cuando estos son enteros positivos. también son válidos para exponentes cero y enteros negativos y con IdS re~lriccione~ convenientes tambien son válidos para exponentes reales .
CASO ESPECIAL (Exponentes Sucesivos)
f.-Indicar el equivalente de :
A)1 8)2
Resoh,dÓn._
15'.124.59.64
- 10".314.s' C)3
I
D)4 E)5
A primerd vista es fácil reconocer ,¡ue las bases de todas las potencias da.das, pueden expresarse en función de sus factores primos 2: 3; yS) ; 011 hacer esto la expresión origindl Quedaña lista para aplicar los Teoremas de Exponentes vistos en el item 1.1. Veamos
15 = 3 5 12 =~ 3 6 = 2 3 10 = 2 .5
Así la expresión propuesta se transrorma en
Aplicando elleorema IV, obtenemos:
Redllcit'ndo potenciciS de bases iguales .
Efectuando operaciones en los exponenles
~lInplificando lérmlnos órriba y abaJO, nos QtJl~d..1
E=
E
(35}'(2'.3)' (5)9(2.3)'
(25)" (3¡"5'
3'.56.2".3'.5' 2".3' 211511.311.51
28+1 .3[,"·I+'1 .5 6t9 E ~ -- --
ll .31>1 51 h·,'
3"'.51"12' 2 E= '2'I ,S1í 31<1
RPTA.8
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2.- Encontrar un número que sea equivalente de :
A) 1 B) 1/2 C) 113
ResolyclÓn.-
Procediendo del mismo modo Como en el ejercicio anlerior, escribiremos cada número encerrado por paréntesis en (unción de sus (actores p rimos :
Aplicando el teorema IV se tendrá:
Efectuando las adiciones indicadas, nos queda :
V por el Teorema V. se obtiene :
3.- Simplificar:
A) 4,5 B)3,5 C)2,5 D) ,f3
Resolu(ión.-
(18)6.( 54) ' .(8¡-6 .1 36)2 T - - ----
- (24¡-'.(3¡-6. (O,5 )4.(27)'
D) 1~ E) 115
(23')" (233)3.(i')""".(2'.3' )' T = (2' 3) '(3) 6.(2')' .(3.)5
T=
T=
t .31' . • 3.3-". 2- 18• 2'. 3' 2-6.3-' .3-6.2-' .:jl 5
i'- 3- IS+4.312- 9+4
2-"-6-11 , 3- 2- 6;15
2- 11.3' 2-10.3'
T = I 2
E) J2 UNI94-1
En este tipo de ejercicios se combinan los teorema .. de exponentes con la factorizaci6n, para ello es necesario expresar lodas las polencias en función de sus raclores primos, en esle caso es en base 2, ~ueso elcctwr operdcione5 y reconocer el factor COfTIÚII. El resto solo cunsistirá en hacer simplificaciones; veamos :
E.xpresemos todas las potencias en base 2 :
Aplicando el teorema U a los parénte~is :
Elecluando las adiciones en los exponenles :
Faclorizando la potencia 2-ln :
M = Z"+I.(2T"'+1 + (23r" 2'(2") 3
2n . ¡ -4'1+2 + 2 -3n+6
--T 3n+-'--
2- 3n+3 ... 2 ln-t-6 M- ~~--- 2-" ,..,.4
M=
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Simplificando arriba Y abajo: M = 8+64 = 9 16 2 => M = 4,5 RPTA.A
4." Calcular el valor de : B=(Hwmwm' A) 27 Bd C)9 D) ~ E) N.A
Reaolyclón.-
Ejercicios de esta naturaleza se resuelven generalmente aplicando los Teoremas y definiciones de Exponentes desde la pane superior hacia la pane inrerior, para lo cual se recomienda tener bastante cuidado al reconocer a las bases y sus respectivos exponentes. Veamos :
Utilizando el concepto de exponentes sucesivos, inicia
remos nuestras operaciones ~on : (~r3
lo indicado arriba es igual a (~J3, luego nos queda:
Reronooendo QUe lo indicado en el paso anterior es igual a 27, ter'ldremos:
l::Jecluando el produClo mOicado, encontrarnos que :
Utili:zando la definición 2, concluimos que:
5.~ Hallar el valor numérico de:
A) i' B)T D) :z6 ResoluciÓn.-
Utilizando la condición para XX y operando lo indicado :
Utilizando el teorema ni en elsccLor indicado :
Empleando la condicIón para X X :
B = (!)-{;\)(!)i W
B= (nW (~r'
B = m-{n" M = (tr' 8 = 3'= rr
siendo x Ji = 2
\ \_, 4 E=x x"
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Simplificando nos queda:
Aplicando clleorcma I en lo indicado, oblcnemos :
Ordenando y agrupando convenientemente: x'
E ~ (x')
Finalmente reemplazamos la condición para XX :
AJ-/¡ B) 10
ResoluciÓn,-
1 C)Tij D) 11
Reduciendo y simplificando cada lérminos del corchete, se obliene :
'J(-27)' ~ ('tK-27) J' ~ (-3)' ~ 81
-2-' _1 .1 44.H" - 44.11l" 2 - 44.16-2 ~ 44.t ~ 11
1 1 Luego se lendrá : N ~ 181+27+2+11(2 ~(J2J1 2 = Jf2i
N=-II
E) 12
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· i.í i _: OH1NICIONES 01: AAOI<:AlES
DEnNICION 3 :
n es el ¡ndice del radical (n:#O); xes el radicando (XE ~ .además, cuando n es par.x ~ O). e.yeslaraízn·ésima dex.
DEflNICION 4 : 1 .,-
x" e yX .r e ~ ; n ~ O
DEflNICION 5 :
Sffin x,y,m,n, e ~R , m.,eO ; n.,eO
VI) ",/Ji • -.¡; - ".j >t.." VII) ftJi ~.fi
".ji fi
VDI) .. ~'!f% .-AJi
En estos teoremas, ningún radicando debe ser negativo cuando n es par.
(+r=+
(+r-=+
(-fa+
[-j"- =- ~=-
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, . ,
7.- Efectuar y reducir:
A) ~ B) ~ e)9 D)3 E) 1
ReSQluclón.-
En primer lugar reconocemos que la parte común a las dos expresiones .!>on los exponernes de 105 radicandos, por tanto empezaremos nuestras operaciones reduciéndolos hd..~ta un minimo posible:
A oonlinuación reemplazamos en la expresión originaJ :
Ahora utilizamos la definición 5 para radicales:
Expresando los raclicandos como potencias de 3 , nos da :
Simplificando exponentes con índices de radical:
E1ecluando el producID indicado :
Fin.aImenle operando con los exponentes nos Queda:
M = ~243 1 , ~27 I
M = [~&¡iW7t
M=[~ ,~r ,
M = [33J'
M= (32)'
8.- HallBr el valor numérico de : ..
cuando x= 2 7
RPTA.B
1 A) 2' B) 2' e) z5 D) :i' E) , puep92-11
Resolución.-
fmpleando la definición 4 para lodos los radicales. tendremos :
Utilizando los teoremas I y 111 en el corchete : ( I+~_ I)} E= x .) 2
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Luego de operar los exponentes fraccionarios, nos Queda :
Efectuando el producto de exponentes :
Reemplazando ahora la condición para x :
y después de multiplicar exponentes, Lendremos :
1 E= x JO
E= 2 Z
9. -Indicar el valor que se obtiene al efectuar: • W "" .·1 58 , T 3M 1
~+2 +~t2 + S,·a +3h-1I
A) 10 8) 15 C)20 OJl E) N.A.
Utilizando el teorema 1 en el pñmer radicando:
Descomponiendo 200 y raclorizando 4° en el denominador :
Operando del mismo modo en el segundo radicando. tendremos:
SO- l+:rr-I
~:...I+ 0-1 5o-I.~1
Reemplazando (1) y (2) en la expresión original, tendremos :
1 Do- Cdlcular el valor de :
A) 12 8)24
Resoluclón.-
3 3JS 3.fi1i E= 3
C) 144 0)432
(~)
RPTA.C
E) 256
RPTA. D
Operando dentro de los radicales, de arriba hacia abajo, y recordando lambién Que : 16 = ti . 216 = 53 Y 256 = 44 • tendremos :
Utilizando la definición 5 para radicales:
E ~ ~3W . ~4V4' . J2Jii
E~ U . 114' Ji4
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Simplificando exponentes con índices de radical:
Finalmente efectuando las potencias ; E = 27.4.4 = 432 RPTA.D
11._ Efectuar: (.X·)3 .( .,,:,)'.( ,,3'}( " .. , }(_x(-3¡')
A) ". B) -x· e) ".9 D)-,,' E) ,, "
Resolydón ••
Empleando las leyes de signos vislas en el ¡tem 1.4, operaremos cada faclor por separado; para luego sustituirlos en Id expresión original y finalmente proceder a la multiplicación de potencias con bases iguales. Veamos :
a) (- x2f ;oo_x2.3 ""_x6
d) x-i2 = x-9
e) _xC-3)2 = _ x 9
Sustituyendo estos resultados pardales en la ex· presión original, lendremos :
Efectuando la multiplicación indicada y agrupando convenientemente, se tiene :
Aplicando la definición 2 • obtenemos:
Finatmenle nos Queda '
=
=
ti 6 • • ( ') -x.x _ x.x .-x
6-6 9-9 9 ~ 'L ' X
I I
I.I.~
.r' RPTA. D
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10$) CASOS ESPECIALES
.. -
PROBLEMAS RESUELTOS (GRuH 1/1)
12.-EI exponente tinal de"1I" en: , es:
A)B B)28 C)3B D)4a E)511
ResoluclÓn.-
Recordemos el caso especial (a) :
Luego en nuestra expresi6n se tendría:
Operando en los exponentes :
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Efectuando el producto de bases iguales en cada radicando :
Escribiendo asi .
fJecruando la división de bases ¡guaJes en el corchete ·
Exponente final de "'x" = la RP1A.c
13.~ Indique el exponente de x después de simplificar:
A} 4"·1 B}~- I 4
C} ~"/I " D} 4 -1 4"
E} 4"
Resoly(iÓn.~
Aplicando la fórmula (b) de los casos especiales la expresión. se Iransfonna en:
Finalmente el exponente de x es :
14.- Después de opersr, el exponente de x es :
B} ~ C} ~ Resolyción.-
Sea E la expreslÓIl que se va a reducir .
D} ~
4"_-) 4"
1 E} 21
RPTA.D
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Reduciendo los dos primeros radicales:
Aplicando la fórmula (e) de los casos especiales: E = 2'-U '= x 4/ 20
E _ XiII RP'lA.C
15.- ¿Cuál es el exponente dex al reducir:
Al 2+ (n +2l .2'" B}2of1+1. n +-2 D}2-n .2-n
ResoJllch)n.-
Reconocemos que hay n radicales yque cadaxljene finalmente un exponente fraccionario, de modo que al sumarlos se tendrá el exponente resultante (E) :
123 n E = 2 + 22 + -¡3 + ............... + ~
El valor de E depende del valor de n . .según la labia siguiente:
2 1= : 2'-4 ~
3 11 2" - 5 • En general, para cualquier valor natural de n ; 8 -2'
4 2l; 2' - 6 E= 211+1 _ (JI + 2)
16 =zr T'
5 57 -':Lcr 32 - 2'
El exponenle oblenido equivale a :
2-(n +2). 2-' RPTA.C
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MISCELANEA
, , 1 ,
16.- Dados los siguientes números: 2 2 , 3 3 ; 8' Y 9 9
s, o,~nBrlos de mllyor B menor. los dos primeros son :
I I 1 ! J I A) 3' Y 2 2 8)33 Y SB e) 3' y 9"
I I D) SB y 9" E) N.A.
ResolUción.-, .l
1«» Reconocemos que : 22 :> 88
EslO es cierto puesto que al elevar cada miembro de la desigualdad a la pOlencía 8, se obtiene
que: . (2~r = 24 =16 . y. (gA)" =8 Ojo.~ Se ha elegido la potencia 8. porque este número es el m.c.m. de Jos denominadores de los
exponentes.
~) También se observa que: 2~ > 9~ Para veñficar esta afirmación conviene elevar cada miembro de la desigualdad a la potencia 18 (este es m.e.m. de los denominadores 2y9J, obteniéndose en cada caso :
22 = 2' = 512 • y. 99 = 9' = 81 ( ')" ( ')" Ojo.- Hasta aquf se ha deducido que: 2i ::> 8~
, I
3m ) Asimismo, se puede afirmar que : 33" > 2~
Procediendo del mismo modo como en los pasos anteriores, elevaremos cada miembro de la desigualdad a la potencia 6 (este eS m .c.m. de 2y 3)
De los resullados oblenidos en los pasos anteriores se deduce que : 3i y 21 son k>s dos mayores.
RP1A.A
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17.-5/: p= 8b' q=sbm
el valor de: E= pm-"
A)I 8)-1
Resol~l!.':iQn·-
Reemplazando los datos en la expresión dada, se obliene :
f= abft 8" O
n·' .q . l-m es:
C)O D) -~ E) Faltan clBrO$ UNFV88
E ~ a.bt . a.bm . a.b" ( )m-n ( )no, ( ),-m
Aplicando el teorema 11, se tiene: E = ,¡n-n . br(m-n) . an-I . bm(n-t) . ti-m. br(t-m)
Por el teorema 1, agrupamos "Jas potencias de igual base : E = an-r1+n- l+l - m • bt(m-n)t-TT(n-d+nCr-m }
Operando en los exponentes:
y de la definición 2, nos queda :
n 18.-lndícarelexponentede n" en n"
A)n 8) n"
ResoIuciÓn.-
RPTA.A
E) N.A
nn En la expresión n no es correcto afirmar que el exponente de nn es n .
Para hallarlo debemos transformar nd' en una potenCia cuya base sea n" elevada a cierto exponente. Aunque pudiera parecer contradictorio con lo anteriormente planteado, lo Que
n" haremos es extraer una raiz de modo que n quede expresado en una (orma equivalente a lo solicitado.
I'Q) Elevamos a lan y extraemos raíz rt.
or;;' ,r;b ~) Reconociendo que : V x b = a"xc • intercambiaremos
los exponentes .
3"') Utilizando la definición S, expresaremos el radical anterior como exponente fraccionario :
410) Aplicando el teorema 111 en el exponente del2do miembl'"O :
Asi resulta que el exponente de nn es : n-I n RPTA.D
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19.- 2 - (2kt-1' _ 2- (2k 1} + 2-2k • es equivalente B:
A) ?" S) 2"Í2k-11 0)0 E)2
ResQlud6n.-
De acuerdo con los distractores dados, nueSlro trabajo consistirá en reducir toda la expresión en una. sola pOlencia, para lo cual tralaremos de recOnocer el faclorcomun de los sumando5 dados para luego proceder a su reducción final. Veamos:
Eliminando parénlisis de los exponente dados:
En base a1leorema 11, acomodamos las potencias :
Faclorizando la polencia 2-2.1!, se tiene :
Operando dentro del paréntesis, nos queda : = 2 2k ( t) Empleando ahora la definición 2 ; = - 2- 2k 2- 1
Finalmenle aplicamos elleorema I : = _2- (2" 1,
20.- De las afirmaciones:
1 ,
I)VBE Q.seriene (B2y =8
11) V BE 'O, V rE ~,: , existe 8'
111) Si B e Q y V r e ~,! I existe s' • entonces existe rll .
Se puede deducir que :
A) l. 1/ Y 111 son falsas
e} Solo 11 es vercIBdero
S) Solo" y 111 son verdaderas O) Solo l/es fslsa
. E) Solo 1/ y 111 son /alsas
,Resoludón.-
1) Esta afirmación es ralsa, puesto Que :
11) Esta afinnación también es ralsa dado que existen ciertas restricciones':
111) Escogemo:. ;
Por ejemplo
a e Q A r e 'R rales que á exista
0= -1 '=0.
RPTA.C
UNI94·1
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Enlonces : (_1)° = 1
Sin embargo (Orl "" ~ ,lo cual segun la definición 2 no existe
Luego esta afirmación también resulta falsa,
I
RYTA.A
.L 21.-5;: x= t' , y= t'- I ; I>Q; t* t , una relación enlrexey es:
D)1C'=y' E) N.A
Resoluclón.-
Nuestra eSfrategia consistirá en buscar un modo de relacionarx cony, de tal suerte de encontrar una expresión para el parámelro I en función de aquellas dos. A continuación se recomienda transformar la expresión original de x, o, y, en una forma tal Que aparezca un equivalente de cualquiera de ellos, para finalmente sustituir allí la expresión obtenida anteriormente para el parámetro t. Veamos :
Una forma de relacionarxcony, es dividiendo las expresiones dadas para cada lJnO:
Empleando el teort!lna V. tendremos :
Efecluando operaciones en Jos exponentes de t :
F'ina1mente simplificando, obtenemos :
Por otro lado de los datos, reconocemos Que :
Utilizando ei teorema U, trataremos que en el 21111 miembro aparezca una expresión equivalente de ~así ;
Reconocemos Que el paréntesis esx, luego :
luego reemplazando C*) en C .. ) , obtenemos:
Elevando ambos miembros al exponente x :
22.- Si: x'" = 2 , calcular fa ra(z cuadrada de:
A) 2' 8)2' C) z"
1: ,6 X -,-
,'-1 1:
.L. ..L "" 11- 1 1-' x
ti 1: = ,1- 1 X
1: ~ I. ... {.) x
y = .L
t,-I
y (/1 J y x' 00.0 Cn )
r y XX
yJC = x y RPTA.c
0= X JI. 1.p2K'.p·
D) :z' E) 2"
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ResoluciÓn .•
Utilizando los Teoremas de Exponentes, trataremos de hacer aparecer en donde sea posible la expresión 1(x I cuyo valor es conocido.cOO lo cual la expresión onginal se ir.á reduciendo cada vez más; iniciaremos eslo desde los exponentes superiores hada los inferiores. Asimismo. de acuerdo con los dislractores no debemos perder de vista el hecho de que e l resultado final sea un número conocido. Veamos '
Empleando el teorema I pa~ la potencia xl-tx :
Utilizando el dato para x Jt • tendremos :
Efectuando operaclones en el exponente :
Utilizando el teorema 11 en lo indicado, tendremos :
Agrupando convenientemente a los exponentes :
Acontinuaci6n utilizamos ia condición dada para XX :
Finalmente la raíz cuadrada solicitada es:
Q= X I.¡.2x2
Q=x
x' .x4X Q=x
Q = xx(x"Y'
(x'f Q = (xx)
23.· Sabiendo que : ab = bb = 2 r calcular el valor de : E :: abab.t>
A) 16 8}4ab
ReSOlución ••
, C) 4a D)4b E) 32
Utilizando la condición dada para ab en e l último exponente: E = ab ob1
Descomponiendo la potencia b2 ,tendremos :
Su~tiluyent1u la l:undit:ión para uú en el Varémesis :
En virtud a l leore ma 11 . acomodamos la polencia b2b :
Sustituyendo la condición para b b :
fIectuando la polencia indicada nos queda :
24,- Reducir : E =
A) J5 8)5" C)5
, E = ab?h
2 E = 0(2)
E= 40
E) N.A.
RPTA. D
RI'TA.C
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ResoluciÓn.-
Utilizando el teorema vm, multiplicamos los índices para obtener un solo radical:
Descomponiendo la pa lencia 2n
-tl, tendremos :
Aplicando el teorema 1 en el sector indicado : 3.2" ,~
E =' .,¡( 5' J Finalmente por la definición S, reducimos exponentes con fndices, obteniéndose: E= 2~ =
25.- El equivalente de : _ (7+.1·'r { ~ j a 'l]' 1""
E_ S l'S ) J , es :
AI1 BIs e) Sil DI~
ResoIuclón.-
Oectuando opel'".,dones en el parentesi:o;. del I'"adicando ... :o;.e tie ne .
Aplicando el teorema IJ en el corchete anterior, se tendrá :
Reduciendo a una sola base dentro del corchele :
A continuadón efectuamos la potencia aa :
Agrupando ténninos en los exponentes :
Reconociendo el binomio en el exponente :
Nótese que el exponente p del radicando a es idéntico al indice del radical dado, por ello se obtiene una expresión delaforma :
5 RPTA.C
E)N..A.
r a[ I =a ]al"a 010 u .u J
{ ,ara a o 0 .0 a a .0 .0
a{a,a·.'.al
1 .. 2(0.0" )t_IO.O")'1. a
p
a ( '.a'~f
a RPTA.B
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26.· Expresar con un solo radical:
A) 'ra¡; R.eioIu.clón .•
B) >(,lb C) ¡¡¡; D) .#b E)~
Transformando los radicales en exponentes fraccionarios :
.... (0)
Efecluando operaciones con lOS exponentes de cada base, resulla :
Dea . 2+ 1 + 5 + 7 :.. 80+8+25+7 ."3 15 24 120 - 120
1 1 1 Deb: Ti) + 24 + 40
12+5+3 120
Reemplazando en (. ), tendremos ; I
Q' . b~ RPTA.D
27.· El equivalente de : m- n ,/5x2m +J3x m
+n
J5 xffl -l-n + Ji x2n • es:
A)2K
Res.oIudón..
B) 1 CJK
Reacomodando las potencias dex, tendremos :
Factorizando X m y X n arriba y ahajo respecti
vamente, se tendria :
Simplificando en el radicando, obtenemos :
=
T= m
E)mn
n ../5xm.xl1l I I3xm .x " ~ mn¡;;nn
.¡5x .X +v3x .X
x'!,! (./Sxlfl + ..f3xn) x'tJsx'" +..J3x
n)
T = nl - n
T= x RPTA.C
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· · ·····u····· .,' ................ -
28.· Si: .,
• n .: a , reducir:
A)D 8)1
ReSQlyclón.-
[)el dato tenemos :
I ro) Del primer sumando:
2""') Del segundo sumando ;
c)a D)28
J n = a Q = f{;j
Reuniendo eslOS resullados : a+a = 2a
29.· El equivalente de: • es:
A)Blb 8) bis C)ab D) I/ab
Re;wluci6n.-
Llamemos "E" a la expresión dada, la cual se puede escribir asi :
.... aclorizando en el radicando, se obtendrá'
E) 2 ti'
Rl'TA.D
Luego de slmptificar y aplicando una divisiÓll de bases Iguales en el radicando, nos Qlleda . E = b·V~:.: = b aJ(% j a
30,· Indicar el equIvalente de:
A) ,,2 8)"
E = o/a
[ , , ]' ,. , _ x J( +x "
T- 2 I
x+.r •
C} ".,
RP'L\. B
E} ,,'"
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ResoluciÓn.-
Faclorizando en el numerador y denominador de la expresión encerrada en el corchete :
Simpljficando las expresiones entre paréntesis denlro del corchele, lendremos
31.- Proporcionar el equivalente de:
A)J 8)x
Resolución.-
Escribiendo asi la expresión :
C) X2
RP'1i\. B
D) x ·Y E) x-2
z " Efectuando la división de bases iguales en cada ténnino . E "" 2 . 7 -!IX 2
X
It 1"-7 7 - '.[;
Simplificando se tendría . X2
E=2x · - =- E = 2x-x x
E=x RPTA.B
32.· El valor más simple de : , es:
A)5 8)15 C)25 D)45 E) 225
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ReSQlu(ión.-
Escribiendo en función de la base cinco. los términos del radicando quedarian así;
E'iecluando operaciones en los exponentes :
Luego, factorizando lo indicado:
Reduciendo el paréntesis, nos Queda:
Efectuando la división de bases iguales en el radicando:
Utili~ndo el teorema rv. tendremos:
SimplificandO ;
33.- Simplificar:
[.
"" x)'+rJl' +1 x)' +y JI
T = x-Y +,rJl+ 1 x)' + yK
Al "'y' B)xy e) ,,'y'
ResoluclÓn.-
Efectuando el exponente negativo tenemos:
E = 2n3
E = 2r+3
54.11'+8 . g2x+4
5"'·5 . (4+5)
S4ua . 92.t+4
52x+S . 9
E = (5 .9)
E=45 RP'L\.D
I I +.1_ J
l,,}(Y y' I y • +
x +y
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Operando cada radicando del corchele se lendria : y.x +x
y +1
1"1 x'r(xY +yx)
Simplificando cada radicando. se obliene :
fJectuando Operaciones en el corchete :
Simplificando dentro del corchete:
finalmente :
34.- La expresión:
E ~ x"y'
..... -., x·.R ............ R
)-.
rx.rx··········.rx 328 faclore.
A)x B) x' D)",J;
ResQhgión.-
RPTA.C
t equivale a :
Reduciendo el exponente: -1-t-1 ~ r.-I 1 _1
8\ ~ 8\- ' ~ 8\-" = 8r 2 ~ 8\ 2
J8i' =9' =o \ 9
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Si llamamos "r a la expresión se tendrá :
Aplicando la definición 1 en cada radicando :
Operando en los paréntesis:
finalmenle : T=x
50 lacfofV$
35.- Simplificar: fs3. fs3 ......... (,l ~.ra ......... ~
6OfM:to~
A) 1 B) S5 C) a-' Resolución .•
, 1 00 locIOl'es
'.[;2.'.[;2 ............ '.[;2
'.íxW ... WJ' 328 (oclcxes
, 9
, [x'j"
RPTA.A
E)a
Empezaremos reduciendo el numerador (N) y el denominador (O).
l m)N ~ (fal]'" ~ a ~ ~ «'.
2"'lD ~ -~lTa'" ~ ~r!"/3 ~ V ~ 0 -5
Luego reemplaumos : iN = ~~ = 7,fo3S VD a-s o' RPTA.B
36.· Calcular:
A) 1 B)2 C)3 D)4 E) .J3
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Be!lnlm:IÓn._
Efectuando las tr.msfonnaciones más adecuadas, tendremos :
Rerluciendo exponenle e fndice, encontramos que : b~d"" = a" Empleando el dato. concluimos que : RPTA.C
37.- Reducir s su menor expresión:
AJb DJ ¡,z. EJ 1
Resolución.-
Reduciendo el exponente del corchele, tendremos :
Reconociendo que la expre5ión oñginal p_~ de la fOrTT\a .
. ' PorestarazónreconocemosQue : m.n= _ b-b ~ m.n=-I
El resu11ado final será : ~n = b 1 = 1 b
38.-S¡·x·verifica: 4x..-2 .5.(4x)= 99 , indicare/valor de~ T= J32Jt
-143
AJ 10 BJ8 CJ6 DJ4 • EJN.A
ResolyciÓn.-
Del dato . 4,·2 .5(4') = 99
Factorizando 4x , tendremos : 4; (42_5) =99
RPTA.C
Escribiern::lo así : (~r.11 =99 => 2" = 9 => 2' =3 ... (·)
Sustiluyendo (*) en la expresión "T" : T = J32' 143 ~ J(ir - 143
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tornodando el paréntesis : T = J(2X)' -143
T= hS- 143 = h43 - 143
ectuando la raiz I se obtiene : T- 10 RPTA.A
).- El equivalente de:
3T[3~4+ ~4+ ~ r , se encuentra en el Intervalo.
h['J4+ 3J4+ 3J4T .... ] 1
B) (3;5)
:solydÓn._
amemos "A" a la expresión :
J"'o<le será necesario designar a cada ¡cpresión enlre corchetes. por "m" :
ora la expresión "N Queda así ·
feduando operaciones :
e) (4;7) D) (0,5; 3,S; E) (2,5; 3/
A= 3T[V4+V4+3~ ]2
1+[ V4+ 3J4 + ;14+ ..... r m=
3+m2 A= -
I+m' ¡
A = 3m+m3
l+m
... " . (a)
"' ," (P)
í late1aCión (o) : m= V4+V4+"J4+ " ....
provechando la naturaleza infinita de la expresión : m = 3J 4 + m
levando al exponente 3 • tendremos :
eempLnando (e) en !P), obtendremos : A == 3m+4+m l+m
A=4
""'" (O)
4(m+ 1)
I+m
RPTA.B
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PRD8I.EMAS PRO'UESTOS
NIVELA
l.· Señale verdadero o falso (V 6 F)
1. 271/3 = 9
A ) VVFF
O)VFVF
1I ·6'=36
B)FFVV
E)VFFF
IV. (-~ r = 3CVB
elVFFV
2.- ¿Cuáles son verdaderas y \.:uáles falsas'!
1. y' = 11 DI. (.3)' =·9 IV. UJ' =4
A)FFFV' D)VfFF e)VFVV
O) VFFV El FVVF
3.- ¿Cuál deeslas equivalencias NO STEMPRE es verdadera?
e l xO = 1
~} (X'j" = x' ·
D) ]O'. = 10"'· ' 10'"
4.·' Elevar una polcm': l3 a olra polenda s610 es: .. una multiplicación <::ontinuada. Así. el valor d~\
(a1f equivale a :
E)N. A.
5 .. (10' ) . (10') e.iguala :
A) uf ,6,1000000
BISO
C) lO' .6.100000
O) loo"
E) N.A.
6.-Si .rx.l =a ; XX =h ; entonces se puedeatirmarque:
A)b' =0 B)'" =0 C)b = a'
DlX'=b EIN. A.
7.-Hallarelvalordc 221 . (22)l
A132 B)O e)l92 0)8 E)2
8.-Elvalornuméricode ~x'¡¡ cuandox= 112 es:
0 ) "J2 2
Bl _1-
'./2
E)~
el2
7 7 5 Al 52 Bi TI e) 7 D) 1 E) N.A.
10.· Efectuar : [¡(6561)1/2]"'r'
A)':J3
0)3
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N1\"ELB
11.- Efectuar: n".n".n" ..... n" n (3Clon:s
A),," .11
O) ,,211
12.- En lacxpresiÓll reducida de:
1 l· 1 A = (ab-' . e')' . (a'b'. e')' . (a' .he).
en cuánlo excede el exponente de e al exponcnlc de ll.
A}I 3
B}1
l3.- Efectuar:
C)! 3
O}~ 3
E}~ 3
A)O,25 B) 1 C)0,5 0)4 E} 16
Al}' B} x'· C) x4 O} x, E) x"
15.- Hallar el eqpivalenledc : 'JVXV,HI
A)x V)x' C)'Jx 0)1 E)O
Ui.- Simplificar:
A) 1 B) 2 C)J O) 4 E}5
17.- Simphficando la expresión :
6 4m r ]'.' L42mt-1 "-+ 2-1",+1
se obtiene:
C}1 4
18.- Sabiendo que:
0)4 E) 16
ah ~ab= 16 ~indicareJvalordctra
A)v.I
O)rz
19.- Reducir:
B},J2
E)2
M = [9999N9J99999 j:":'
'A}9 B)99 C)9' 0}999 E)9"
20.- Simplificar: 2(8")-(0,5)'-"
(0,125)' "
All2 Bll6 CjM D)R E)32
21.- Siendo a + b::;: 2 ; reducir :
A)2 B)4 1> 1 D) 16 E)8
22.- Caleu lar :
(0.25) (16)~ (0,0625>10,12'''0."
A) 1 B)2 O) ~
23.- Simplificar :
5.2 1+1 2 1+ 4 +6 . 2"-1 2J'''''- 15. 2 r -2 _ 2, ... 3
L
A)3 B) 17 e) 13 O) 19 E)7
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"
24.· Si: ¿' =,fi ; <aleular [ ... .12)' .• "
A)J'i B)2 C)4 0)2.tf. E)8
2S.~ Reducir : x I 31 J+4, ~ 1+6,-1
41 • +61~ , +8' ..
A) 36 B) JIT C) 144 O) 24 E)48
NIVELC
Yi.-Simpllficar
M =h~r·J Al I Bla C) n' Ol a '6 E) 256
27.· Reducir '
r 'ffx IJ:ffx -=: 'ffx]' [~] J 3J .'''' . x".lTx L x x ,¡x·
A)'ifi B), C)..,l O) I E) VX
28.- SlInph ficar .
[~164,n'r: A)8 B)16 C)2 Dl4 E,64
29.· EfcclUar .
ni ~_ I .I.A , .r;;:¡ .. r.;,---;;r VÁ VA .. , oJX"- ' . V V ... -~.x
~--~.-'~~'-Q7b-----
30.- Encontrar la suma de los exponenles de .t e y al efe(;tuar . •
Vx ~, V·, 9.), ...... ~
A) 5 B)3 3 2
5 C) 11
31.- Efccluar y reducir .
B) .. ~ e) .. E) 3 ..
32.- Enconlrllr el valor numérico de
d-Vax M+V;¡ E
u+~ D tJ- l,--.x ,,¡ax
sabiendo que C~ mdependlente de x
A) ,fj
O) Vfi B) W
E)N.A.
33.- Sabiendo que IJ t = 1.2.3. "
A)n"' B)(n')" C~n! D)n E) 1
34.- Simphfir.:.or:
J,Q,'1<'".0 J ~VV ... "P
A) 1 B) ," C) ,n" O)... E) 'ifi
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i.- Determine el exponente dcxen:
I (n-I)2"+1
)2"-n+1
S.- Simplificar :
.)2
)8
B) 1/2
E) 16
D) T"-n+1
C)4
7.- Mostrare! equiyalente de:
.) 1 B) x"hc
1) x""< .1 D)x
i)\:ll~. I
8.~ El equivalente de :
, :
)2
39.- La forma más simple de :
2
[ "jIH+I) (11.1)3 x +x
A) x'" ,
B).x1nt.1)
4O.-lndicar el equivalente de:
A)S B)JS C)2S
D) 115 E) 1125
es;
41.- Si : a = b'x ¿Cuál es el equivalente de :
42.- Reducir :
A)I
e) a" D)ab E) 1
J ,
B) x ."ero
E)x
x l'
C) x"
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DEFlNICION.·
las ecuaciones exponenciales SOQ aquellas que contienen a la o las incógnitas sólo en el exponente
Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas ' técnicas que ensegllida se enuncian y describen :
1 fiI) Consegu;I' (inO ecuación donde queden ;gfJOfadas dos potencias que tengan ro misma base.
Ejemplo.- Resolver. 9M -2 = 3Xt-1
Después de expresar 9 corno 32 ,tenemos:
Efectuando operaciones en los exponentes:
Acontinuación igualarnos exponentes:
Finalmente. resolvemos y obtenemos que:
(32),X-2. ax-+l
32x 4 = 3xtl
2x · 4=x+ I
x~5
2d:9) En aquellos casos en donde exislGn términos de la forma k X • ~ hace un cambio de
UQ,iable del tipo kX = y. para J;tener una ecuación algebmica respecto a y
Ejemplo.- Resolver : '1! + ZX+2 = 40
Utilizando el Teorema 1 de e.'<pOnenlcs :
Haciendo la transformación y = ~ ,obtenemos :
Resolviendo encontramos que .
y regresando a la incógnita original,diremos que :
2' +2' i ~ 40
y +4y ~ 40
y~8
2"'~8 => x~3
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JtSl) Existen caso~' en los qllf! en fa ecuación se consigue una igualdad en el expOnente
=>
Adernias en este caso se admitirá x ::= O cuando a+- b
Ejemplo.- Resolver : (2n)~ = (3 + n)"'-
De la ecuación se deduce 2 n = 3 + n ~ n = 3
. , , ,
1.- Hallar x = 5
A) 9 8)3 C)2 D) 1 E)O
Resoluclón.-
Nuestra '~cnica consistirá en aplicar la primera regla de convertibilidad. esto es, tralaremos de expresarla ecuación dada en otra cuyos miembros tengan la misma base, para luego proceder a ¡guaJar los exponentes :
1) Eliminaremos el radical elevando la ecuación al exponente 7
2) RealIzando las operaciones InClcadas tendremos :
3) Pasando al segundo miembro ¡as pOlendas 5K :
4) Luego de factorizar en ambos lados, nos queda :
5) Eliminando los paréntesis obtendremos:
2.- Hallar:
A)2
ResQ!udÚn,-
27211 ' 125
8) 3 C)4 D)5
RPTA.A
E) 6
En base a lo aplicMO pn pi pjt'rC'ino anterior, procederenKls a igual.1r las bases de ambos mielnbros para luego ¡guajar los exponentes.
3 1) R€<:ordando que 125 = 5 , Iendremos '
,, ' 125" = 1253
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2) Igualando exponentes se lendrá . 27'lx 1 = 3
1 3) Debes saber que 3 es equi\'alenle a 27 3 , luego : 272x-
1 1 = 273
4) Ahura solo Queda JXlr igualar: 2>: -1 I 3
5) Aplicando la definición 2 de exponentes negativos : 2 I x 3
=> x~6 RPTA.E
3. - Resolver:
A) I 8)2 C)3 0)4 E)5
Re:soludón.-
Tal COIno hicilnos en los ejercicius anteriores, expresaremos la ecuación de manera que las bases sean iguales para así igualarlos exponentes. Para este caso es necesario lener en cuenta que:
0,2 ~ ~ = S, I ; 0,04 = I ~ = is = 5.2 • Según esto resulta evidente que las bases serán 5.
1) Sustiluyendo los decimales, y ert.'Ctuando operaciones tendremos . (S' I r -0,5 == 5. S ¿. (s-2r -1
2) Erecluando operaciones en lus exponentes :
3) Keduclendo loS exponentes en el segundo miembm . O,5·x = -b + 3,:>
4) Despejando x se obtiene ' x = 3 L.- RPTA. (
4,- 51: (2~t' = 3136. entonces el valor de X2 + 1 es:
A}32 8)29 C) 75 0)23 E)37 UNMSM95
ResoluciÓn.-
Pdra poder aplicar la técnica de los ejercicios anteriores debemos r~conocer que al descompuner 3131 en sus (aclores primos, se obtiene : i J .72 ; es decir: 3 136 = 26.72
1) Al reemplazar el producto anlerior en la ecuación dada, telldremos :
2) Acumodando el segundo miembro se logra establecer que
3) Igualando exponentes se lendrá . > - 6
4) F"lnalmente lo solicifado será :
(2Y1)' = t7'
(2~)' = ('fl,ff)6
RPTA. E
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5.-ResolverJaecuación: 4)( +2)( 1-1 -24=0; ydare/lllJ/orde: X+X 1
A) '% B) ~ C) '; 0)2 E) N.A.
Resolucioo.-
A partir de este ejercicio aplicaremos la segunda lécnica de convertibilidad, para lo cual será necesario reconocer qué término exponencial de la ecuación original presenta a la variable x . Podemos establecer que :
4' ~ (22)' ~ (r)2 ,y, r ·' ~ 2.r
1) Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original, rerx.lremos (2,)2 +2 .r .24~O
?+2Y-24~O'
(y . 4)(y+6)~O
2) Haciendo el cambio de variable y = 2)( ,obtenemos :
3) Descomponiendo en dos faclores, se tiene:
4) Igualando cada faclor a cero, obtenemos los valores de y son :
5) Relornando a la variable original x ,se lendrá: 2' ~ 4
y ~ · 6
r ~ -6
6) f\Jesto que ~ essien~repositivo,soIola Ir.;¡ eruaciónlendrd soluciónreaJyesla es: x= 2
7) f.slo permite hallar lo solicitado :
6.- Resolver:
A)2 B)-2 C) ,
ResaludÓn.-
1) Ordenando los términos de la ecuación se tendrá :
2) Aplicando el teorema I de exponentes ;
3) Factorizando 3"'" y SX • se tiene '
4) Eft!Cluando operaciones, obtenemos:
5) Simplificando, la expresion queda así :
6) Finalmente la ecuación queda reducida a :
x+ x
0)-'
, 5 V 2
• E) O
RYTA.B
3' (21. 81) ~ 5' (25·125)
3' ( -GO) ~ 5' ( -100)
, 7) En base a lo explicado en la 2ºª [écruca de convertibilidad, reconocemos que la ecuación
obtenida solo puede cumplirse si :
x+I==O x =·1 RPTA.D
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- 7.- El tla/or de J( que satisface la ecuación: 4]( -3](·~
B) ~ UNI 84
ResoluciÓn ••
Salla a la viSla que lalémica consislirá en convertir la ecuación en una igualdad de bases direrenles. los cuales serán 2 y 3 .
1) Lu@'godetransponertérminos,ordenamos·:
2) Faclorizando en cada miembro : 2z x 1
2 '(2+1)=3 '(3+1)
3) Efectuando y acomodando nos queda:
4) Reduciendo los coclenles, se litme :
S) Acomodando los exponentes del segundo miembro :
, 6) Corno 2"- 32 , la ecuación solo Se cumple si :
x ' 3 ' = -3-
~ 3 = 3' ( , )2X ~3
2x·3=0 => x= l RPli\.C
8.· En la siguiente ecuacIón: 16.fi. 256 ;;::: 60. 4Ji el tl8'Or de x es :
A) 3 8)4 C)-4 D)9 E) 1
ResoluciÓn.-
Preparamos la ccuacion para ere<: tuar el cambio de variable
1) Teniendo en cuenta nueslro cambjo, la e('uación será :
2) Empleando la variable y. se tendr¡; :
3) Ordenando y factorizando, obtenernos:
4) Al resolver esta ecuación reconocemos que solo es admisible:
S) Sustituyendo y, lendrpmos :
6) Igualando exponentes :
UNMSM92
(4 JX )'. 256 = 60 . 4JX
r' . 256 = 60y
(y . 64) (y + 4) = O
y= 64
r=9 RPTA.D
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Las ecuaciones exponenciales son un caSo particular de ~cuaciones no algebraicas o trascendentes, que se caractcrilan por presentar a la variable COIlJO base y exponente aJ,a\'t!lJ)
afectadas por algUñ operador de función trascendente. A continuación presentamos algunos ejemplos:
x. 4x !: r+2 ;
2senx=cos2x+ I
log (sen x) =x + 1
2'r=x + I
la resolución de una ecuación Irascendente se reduce a La resolución de una ecuación algebraica sólo en algunos casos dado que la mayoría de veces se resuelven por aproximaciones o métodos gráficos.
Una de eslas excepciones es el mélodo de fOflnar analogías, COI 00 por ejemplo:
Xf = 0 0 implica x = Q
xx" ::: QOb implica x = Q : etc.
Estas técnicas no aseguran la obtención de lodas las soluciones de la ecuación, debiéndose recurrir a otros métodos Que pueden exceder el nivel elemental que pretendemos con este texto .
. . 9.-Enlaexpresión: (nx"-' :::nnn , elva/orde x en términos de n es:
A) n-l1 S) nn E) N.A. UNFV87
Resolución. - v
En el presenle ejercicio aplicaremos lécnk..as de convertibilidad. que nos pcrrnitiran rormar una analogía, puesto que la ecuación es trascendente.
1) Elevemos alnbos miembros de la igualdad al exponente -n".
2) Haciendo operaciones en los exponentes dell'" miembro yUIl cambio en el orden de los exponenles del ZOO, lenclremos .
3) Formada la analogía, igualamos'
4) De donde : " n
[(nxrr [nn"J"
(nx)'" = [nnr
RPTA.C
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10.- Resolver: X2x2
X = 4 • y dar el va/arde: .. 4 + .. 2
A) 20 . B)6 C) 72 D) 40
Resolucion.-
1) Preparemos la ecuf'ci6f1 para aplicar la lécnica de la analogía '
2) lnlercamblando exponenles en e l primer miembro:
3) Acomodando los ~",ponenl(!.s del I ~ Y 200 miembro :
4) Luego de comparar, se pu~dc igualdr :
5) Finalmente lo ~uhdlddo es : x 4 + x2 = 4 + 2 = 6
• I 11.- Al resolver la ecuación : x = f2 el valor de x es:
E) N.A •
X2 =2 => x = J2
RPTA.B
B) ~ 1 C) 18
1 D) 16
I E) 24 UNFV94
Como x apmece fanto en k"\ Ilél~C como en el e"1>Onente. solo se puC'dc (onn.u ulla ¡¡n¡¡logra, para lo cual se hacen transfortTU\dones en el segundo miembro :
1) Recordando que 4. ~ es igual a la unidad. lendremos : Ji' = h~J~ 2) Utilizando el h.!orenld 7 de "ddkiJlc~, se tiene : x· = iI1~
2
3) fmpleando Ii! definición 5 de radicdles, se obtiene : XX = fflff 4) Efecluando operaciones se !('udrá : x' = .1(;;
16
5) Y recurriendo a la definición 4 de radicale . obtenemos : • U x ' = (M6
6) Finalmenl~. por cornp..lfi1ción . x I RPTA. O 16
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~
(2.-Resolver: -1: =64. y dar el valor de x·_
A)4 8)9 C) 1} D) 3;: E) N.A.
Resolución.-
Existen casos en donde para establecer una analogia, debe hacerse previamente un cambio de variable; en el caso
dado, conviene hacer : x = l . De esta manera el lado' .~ izquierdo de la igualdad queda 'fransfonnadO en :
Así la ecuación a resolver es :
Ahora se puede comparar :
De esta igualdad es fácil reconocer que ;
A continuación relomamos a la variable inidal, de ITKJdo que:
Seguidamente calcularemos lo solicitado :
Finalmente. al hacer operaciones se obtiene :
1 ~- Resolver:
A) .[2
Resolución.-
8)2
.2 = 256 , Y dar el valor de x
e) 4 D) 16
l 1 ..1L ..1L
~ (~r n"-I =64
n,,-l = 43
n=4
x= 1 4
xx= 1 (!),
x' ...L tI4
E) N.A.
= n" = nn-I n
~ 1 2
RPTA.C
Recordemos que : 256 = 44 ;}' según esto tralaremos de forl1l~r en ambo~ lado!ó de la igualdad, potencias qtJe nos permitan establecer una analogia. rara ello lOtenlaremos transformar el primer miembro en una potencia cuya base sea igual a su exponente pélra finahncnre compararlo con : 44
Trabajando con el 1 CI miemhro, se tiene :
Ahora establecemos la igualdad :
Esrablecida la analogía, se lendrd que : " x =4
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Dándole al ~ miembro una fonna similar al de l lW, se lendrá : _ 4 - 4 _(4r.{W)
4- .. 4 - ov4J
A conti nuación podemos establecer que:
Nuevamente por analogía se tiene que :
Finalmente encontraremos lo solicitado :
'4.- Resolver la ecuacIón trascendenfe :
A)2
Resolución.- 1/
8)4 C) J2 D)B
• (4 {'.141' xJt::: '.f4] J
x='Y4=J2
",' = J2 J2' = .122
RPTA.B
E) 16
La ecu.ación trascendente dada se puede reducir a una ecuación algebraica si efectuamos algunas transformaciones.-Veamos :
x ~, =Ji+2 X"'l+!
=> XX
Multiplicamos ambos miembros por x :
Operando los exponentes del 2m miembro :
A cada miembro le asigremos la misma base x :
Acomodando los exponentes para conseguir una analogía .
Procediendo a igualar los exponentes. enconlramos que
'x'f . x = (JX+2)x Jx+1 X
x 1l . x= (JX+2)x 5 + 2
r .¡; +2 xJt:'( l ' = x,."Jt:+2)]1:
x = JX +2
Dado quex debe ser positivo,esta ecuación tiene solución única : x:: 4 RPTA. B
15.- S; : X = 2+ 2+ ./2 , entoncesesvercJsdque:
A)x > 2 8)1' = 2 C)" > 2 E)x=7s
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ResoluciÓn.-
Haciendo una inspección de las alternativas, podemos reconocer que no se pide un valor exacto dex, que pennita verificarla relación dada. Por tal razón nuestra eslrategia consistirá en apoyarnos
en la siguiente aproximaciÓn :.ti. - 1 ,4142 ~ A continuación detallamos el proceso resolutivo Que nos conducirá a la respuesta correcta. Veamos :
Luego sera correcto eslabecer ; Ji < 2 .... C')
Enseguida trataremos de formar la expresión dada para xen ellf'r miembro de (.) , para lo cual será necesario conservar el sentido del signo de relación> . Observa :
Sumando 2 a cada miembro, tendremos :
Extayendo signo radical de índice (2) :
Sumando 2 a cada miembro, tendremos :
Extrayendo signo radical de índice (2) :
Finalmenle hemos obtenido en ellt..T miembro a x .
2+ ./2 <4
J2+./2 < 2
2+J2+./2<4
x<2
16. ' S,'.' (,,+1)(JH'}(~"')' 2 e 'Id la' I ? = ¿ ua e s ecuacIones se cump e
8)2"=2,[2
D),,· '=·2 E) ? ·2=,[2-,
ResoluciÓn.-
Como los exponentes sucesivos equivalen a 2, la ecuación se reduce a :
RPTA.C
v UNI7B
(x + l)' =2
De donde al extraer raíz cuadrada, se obtiene : X+I=./2, ó,x+I= . ./2
De la primera opción se deduce que : x +2 = ../2 + 1 RPTA.A
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.~ ~ • • ~ . ....... . v ___ ., _ _ •• _ •• _ •••• __
17.-Los VlIlores de x que sstísfacena la ectJ8Ción: xJ2X-1 = (Ji}w. tienencomoproducto:
A)O 8)2 C)4 D) 1 E) 12 UN/91
ResoluciÓn.-
Nuestro problema consiste en averiguar más de un valor de x que satisfaga la ecuación dada Haciendo una simple inspección resulla evidente que un valor que verifica la ecuación es x = 1, lo que se comprueba, con sólo reemplazar este valor en la ecuación dada. A conlinuaci6n intentaremos aplicar la técnica hasla aqui empIcada en los ejercicios anteriores, es decir buscarenlO~ bases Iguales para iguala r luego los exponentes.
1) Acomodando el segundo miembro leodremos :
2) Al igualar los exponenles. se tiene:
3) flcvando al cuadrado y ordenando :
4) Despejando se obtiene la ecuación cuadrat.ica :
5) RC50lviendo descubrimos que las raíces son :
x./íX-í = x~
.J2x-1 % t 2x. I =X'l
4
8± J64 - 4(4) x= 2
x = 4 ± 2,/3
6) Tanto : x = 4 + 2,,3, como x = 4 - 2/3. son posilivos ysal isfacen la ecuación origina l.
7) Luego con estas soluciones se forma el producto :
p= 16-1 2= 4 RPTA. e
1.
18.- Resorver: 2 _ Ji-'.fi4 = o
A) 9 8)4 C) 16 D)25 E) ~
Resolución.-
En primer lugar expresaremos la ecuación dada de modo que en ambos miembros existan bases iguales para después iguaJarexponenles. Veamos :
1) Acomodando la ecuación se liene :
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2) Operando con los exponentes, tendremos :
3) Efertuando el producto indicado en los exponentes del 11:1 miembro, lendremos:
4) Igualando los exponentes. se establece :
5) Efecluando operaciones ;
6) Haciendo el cambio Ji = y • se tendrá:
7) Dcsromponiendo en dos faclores :
B) Igualando a cero cada factor, los valores de y son :
9) Como la raíz cuadrada negativa no es válida, lendremos sók> :
1+ ·fu:J. ~ 2 2.fi = 2.fi-1
1+ 5+3 = 4 25 ~
35+3 e _ 4_ 25 Jx -I
3x-3 = 8 5
3y'-8y-3 = O
(3y + 1) (y - 3) = O
-! y 3
5=3 => .. =9
I
RPTA.A
19.- Al resolver: 3 )(+3 ~ 3 ]( ... 2. 3 ](+' ~ 3]( =60x , el valor de x es :
A)O 8)- , C) ,
1) Empleando el leorema I de exponentes
2) Faclorizando 3x , se tendrá :
3) EteclUan<1o operaciones :
4) Reacomodando para formar bases iguales :
5) Efecluando el cociente indicado. se obtiene :
D)2 E)3
3' (27 - 9 + 3 - 1) = 60'
20.X" = 20::::) x=1
fiO'" = 20 3'
RPTA.C
20.· Al resolver : ( 2),2 x· - x :; O. la suma de los valores de x es :
A)3 8) ' ,5 C)2,5 D)5 E) 6
Resoludón.-
1) Formando la igualdad : x" = x'Xl
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2) la Ira solución evidente es x = 1. (Se comprueba al reemplazar)
3) Las otra..'i soluciones se obtienen a l igualar exponentes: x ~ 2x2 ..• (')
4) Es fácil deducir que x - O • sin embargo esta no es admiSible.
5) Simplificando en (.) :
FinaJmentc concluimos que las soluciones son : I Y I 2
X = 1 2
21.· calcular el valor de "n " si : 2 n .2n-1.~2 ...... (2n - 1} factores = 3~
A) 201 B) 121 C)34 D) 64 E) lJ3
Resolu('ión.-
El exponente del último factor será ellénnino de lugar (211 - 1) en la sucesión :
n , (n · 1), (n · 2), ..... .
El valor de dicho exponente será: n - (2n - I - 1) = ·n + 2 = -(n - 2)
De este modo la ecuación dada se escribirá asi :
2".2" -1.2n-2 ....... 21.20,2 1 ...... . 2 (tl ·2) = (tt)33
RPTA.B
Por la simelría de la dislribución que señala la llave, Jos exponenles se anu lan y la expresión original se reduce al producto de los dos primeros términos.
2".2" ' .1 _ 2'65 => 22n--' _ 2'65
Igualando exponentes ;
, 22.- Dada la progresión : 10"
2n · 1 - 165 => n::;:: 83
2 10 11
3 n 1011 ; ....... ; lO"
IIYIA.E
Determine el valor de n para que el prOducto de los n primeros términos de lB progresi6n sea exactamente 1 000 000 (un miJIón).
A)5 B)6 C)7 D) 11
Resolución.-
F.xpresamos el producto d~ potencias como la ~uma de exponentes.
• n(n+1) Recordando ahord que· t + 2 + 3 + . + n = --2- se tendrá '
Efecluando operaciones en los exponenles, tendremos:
E}l5
p = IOO ~2+3.¡. .. +n)/Il
Jrr<n,J) ]11I p _ 1 2
n{n · l) p_ 10 22-
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Como el resultado debe ser l 000 000 Ó 106 ,tendremos :
A continuación igualamos los exponentes:
n(n+1)
10 22 = 106
n(n+ 1) = 6 22
Efectuando operaciones, se establece que : n (n + 1) = 132 ~ n (n + 0 = 11 . 12
Finalmente la solución positiva es :
23.- Resolver el sistema:
AI5 B)7
ResohldÓn.·
{
X V- 2 = 4
X2y- 3 = 64
Cl9
n = 11 RPTA.D
• y dar el valor de x +y
DI 16 El 25
Elevamos al cuadrado Ja ),a ecuación: X 2y- 4 = 16
y con la ~ fonn.amos un cociente: 64 16
Efectuando operadones con los eXJX>nemes del primer miembro, obtenemos: x = 4
Sustituyerxio este valor de x en la Ira ecuación, se estable que : 4,,-2 = 4
De donde deducimos que :
Finalmente .
y-2=1 Ó y=3
x+y= 4+3 = 7 RYL\.B
24.-SitenemosQtJe: xn . yffl = la" ; Xffl.y" = 10m ,entonceselllBlordeA= (xy)yl .w será:
Al 10'0
, BI (fo)"
Resolución.-
( 1 )" CI 10 _t
0110'0
Multiplicando y dividiendo entre sí ambos miembros de las dos ecuaciones :
b) x"-m + yn-m = Ion m ~ (~r-m = 10"- 111 .•.... (2)
Analizando estas ecuadones deducimos que : xy = 10 . x = 10 6 !' = 1 'y x 10
Entonces lo solicitado será : A = ¡Im'/ ID RPTA. D
UN/84
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25 .. Resolverel sistema: x-t-y -IXY' , [ '~l" y'}X-fyJ ='/3 • ~X+y = Jz ;ydare/va/orde:x+y
A13.J2 8)2./3 C)8 DI 20 El 16
ResoluciÓn ..
Transformando la 1" ecuación : . ... (11)
Debemos expresar el1 tr miembro como una potencia en la que el exponente sea idéntico a la base :
.... (~)
De (11) Y (6) deducimos que ; 1 3'ó,y=3x .... (I)
luego en la 2d'" ecuación tendremos :
2rJ4X-1 = J2-1
hJ4X = 'J2'
x-3.'f,/x + 3x
=
Por comparación : 2x = 8 ::) x = 4 ; lo cual implica que : y = 12
Entonces : x+y = 16 RYfA.E
nn . , n 26.-¿Oué valor de "x u verifica la siguiente igualdad: x}( = "Jn , donde: ne NI n~ 1997
Al ~1Iñ CI "Tn Resolución.·
Elevando al exponente : ,(1 a ambos miembros de la igual· dad , se tendña :
Recordandoque : (ab}C ={aC)b, seconsigue :
E) "~'.!ñ
[xxnn'T
[x""(" n
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Trabajando con los exponentes del Ir, miembro :
Dando al ~ miembro una forma similar al 1.0 :
Por analogía se conduye que : x"" ~ '!ñ
; n [xd'rr
[xnnjXn"r ;
=> n"
X ; n.ln RPTA. D
27.' SI : n+~J2 l. n ',{]'2;1 ~24j3 + 2J2 ,tCuáleselvalo,de"n"?
A)7 8)6 C)5
Resolución.·
Debemos tener en cuenta que:
Extrayendo signo radical de ¡ndice n + 1, esta última expresión quedará asf
Ahora reemplacemos en la Igualdad dada :
A.comodando el primer mlcmbro, tcndremos .
Efpcluando en el primer mu~mbro :
Reduciendo ("n el exponenle del \ .... miembro .
D)4
~lTollando el bmolOlo dEl radicandO, se liene :
Comparando· n=5
E)3
.,' V(./2 + 1)' ; '':)3+2./2
n' ~3+2J'1 ~ 24Js+2F2
RPTA.C
".- S;: xzx2 -2x • 1 = Jt proporcionar el valor numérico de : t = ,r <4- x·2
A) 1 8)2 C)3 D)4 E)5
ResqlyclÓn..
Transponiendo · 1 al 2<" miembro, la igualdad queda así·
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Utilizando la definición del exponente negativo : ",'
L- = x+ 1 :I.r X
Pasando el denominador del l"c .al2do miembro ; x2.r2 (x+l)x'"
Multiplicando por .. x2 .. a ambos miembros: x' x ,,' x'(x +1) x2x . , Acomodando los térmmos. de cada miembrQ.; [x' ](x,)lx'l = Ix + 11 {x')'"''
~ t
Comparando las expresiones de ambos miembros: X2 =x + I
Dividiendo a ambos miembros por "x" se consigue:
EJcvando al cuadrado a ambos miembros de esta última igualdad tendremos ;
,/ (x - x ,)' = (1)' '=3 RPTA.C
A) I 8)2 C)3 0)4 E)5
Resolución •.
En primer lugar enconlraremos el yalor de x, para ello escribiremos el segundo miembro de la iguak1ad en función de la base lIes :
Por analogía se pUE:de establecer Que : 4" =4t
Escribiendo en función de la base dos : (2')" = 2' 2' => 2' ,.
Nuevamente, por analogía se tiene:
Simplificando tendremos :
Finalmente lo solicitado es :
30.· calcular .,; • 8 partir de :
A)4 8)6
Resohlci6n.-
Dando forma al segundo miembro :
x' X
2 . 2' -8
2' = 4 = 2' = 2' = Jx' +5 = 3
e)8 D) 10 E) 12
w( ,)'.3-12 . r-1(.3 ( 'T2"l'·~'
x"='8 =~'
=2"
x=2
RPTA.C
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Simplificando denlJ"o del paréntesls : x x' W21+3J2
= '8
Agrupando convenientemente: x" 1",Ji
= (VB') Simplificando y efectuando las potencias : / J8( ra, )Ji
y recordando que : 2./2 = J8 , diremos que: x x' ra./i = J8
Finalmente por analogía se concluye Que : x=J8 .. x2 =8 RPTA.C
31.- Luego de resolver: 41h2 + 4JC+4 + 41C+5 .. 81 = O; indicar el valor de : t = X + x - 1
A) ~ B) - ~ C) ~ ResoluclÓn.-
Escribiendo convenientemente, la igualdad queda as f :
Factoriundo 4 x +2 , losrarnos obtener :
Efectuando operaciones dentro del paréntesis :
D) - ~ E) ~
4¡ Xf2(1+42 +43) =81
4"' (81) = 81
Luego de simplificar 81 de ambos miem bros, nos queda :
Empleando la :S'. ') éCnlca de Convertib ilidad. oblendremos : K+2=0:::) x=·2
A continuación calculamos lo solicitado : t =x+ I ""'.2 + I -x -2
RPTA.D
32.-lnd;C8rlaraizcúbicade ")C" aparlirde: Jx " ..lxxJ ¡J 1(4 .... . I = 496 V V V X •• , X radIca es ...
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
Resoh,dÓn ,-
Transforrnat1do convenientemente el radical, se tendrá : x[?w~xxv ..... ....... = 496
"x" raclores
Efectuando operaciones en los primeros radicales : xr:2 x'lQ r 3I;i 96 vxx l/ x· ~x~ ........... = 4
"x~ raCIOfes
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Simplificando cada ractor : XX _xx _Xli __ ., __ . ___ = 496
.. x~ factores
Por la definición de potencia, se tendrá:
Efecluando el produclO de exponentes :
~ Dando forma al segundo miembro :
Efectuando los calculos de potencias :
Finalmenle por analogfa se obtiene que: x = 8 '.¡;; = 2 RPTA. A
33.-5/: lIb 'fi; ~27,f2 ,'a>b ; calcular: E- a ~ b - 8 - b
A)6
Resolndón.-
8)9 C)3 D) 12 E)5
Homogenizando los indices de radicales del 1 ro miembro : oifiJi at¡;;ü <= ~ ,J27J2
Operando en el Il'r miembro y trdnSrorrnando el ~ , queda : oIJaobb <= ~.fiJ2 R J2
Ji ro ,,/2 Descomponiendo convenientemente la expresjón J26 2 : at¡jaobb = IJ J2"¡2( J23) Dando la rorma del l ~ miembro a12do miembro, se tendría : oIi/aobb ;;::: ~J2¡2 ./8-/8
FinalJTIcntc descomponemos" 16 of{}aobb = Jl'J2.}./BJ6 J2.ti
Por analogía se puede reconocer que :
Por último calculamos lo solicit~do : E= a + b a-b E=3 RPTA.C
2 26 .1
34.-Siseverifica:JXJx2 Jx3 Jx" .... HnH rad;cales ... = J( r S ; entoncesefVltlorde-n"es:
A) 25
Resoludón.-
8)26 C)28 DJ30 E} 32
Encontremos el cquivil.lenle del I~ miembro de la igualdad aplicando el método mduclivo.
I 22
- (2+1) IX = x 2 =:;;) x - 2-1 radica] ;
\ "7
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2 radicales:
11 3 radicales : = x 6
Observar Que para los -n~ radicales el equivalente será :
Por condición se establecerá Que:
Establecida esta analogia, concluimos que:
Para darla forma. dell ~' miembroaJ~. ser.i necesario ml,.lUiplicar a su numeradOr y denominador por: 1>
Luego de efectuar operaciones, se obtiene:
Descomponiendo convenientemente el :zoo miembro :
~1 _(2..-n) x--"'--
2"" - (2+n) _~ 2" -:z"
2"" -X+n
) ~ (2~! l[~l
2n+1_(2+ n ) _ 231_32 2" - - z3"
2""-(2+n) 2"""' - (2+30)
2" z3" y por una simple comparaci6n deducimos que: n = 30 RPTA.D
A) 4 B) 8 C)6 D)2 E) F.D
Resoluti6n.-
De la condici6n tenemos : (23)'
Efectuando la operaciones indicadas . 3'" - z'" 2''3'
Dividiendo a ambos miembros por ; ZX . 3'" : (.32)' _ (3~)X ~! ..... (0)
Hagamos ' nr = m .doMP PS fácil reconocer que: m > O .
Reemplazando en (e), se tendrá : m - l = I m
mZ_m· I = O
Completando cuadrados se tendría ' rrt -2 (m) m + m' -m' -1 ~ o
Reemplazando los indicado por un TC.P. : (m - i)' ~ ~O ;> (m-D' - ~
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Extrayendo signo radical de índice dos : m - ~~ 1 => m~ . ./52+1
Radonallzando : (./5 ... %/5 -1)
=> m~
(./5)'- (1)' m~
2(./5 - 1) 2(-15 - 1)
E1ecluando operaciones, enconlramos : m ~ 4
2(./5 -1) => m - 2 - ~ ....... (1)
Pero debemDs recordar que : ...... (2)
A continuación igualamos (1) Y (2) : 3' 2 2' ~ 'J5-I
Efectuando el produCIO en aspa : 3' (./5 1) ~ 2x+1
Extrayendo signo radical de indice "X + 1": x+$3'(.J5 - I) ~ " h n l ... (0)
Recordando que la condición del problema es :
Finalmente en (. ) se tendrá que : 1= x-tJ2H1 1=2 RPTA.D
J/ 3 Ji .3J/-#-J 1 36.-Siseverl6c.a:3x=( 3,ÍX + 1) ¿QuepodemosafVmardelequivalenlede:3Jt+(3X!, ?
A) es par
D) es una tracci6n
ResoIJlciÓn.-
En la igualdad ddda :
B)esimpar
E) N.A.
Elevarnos a ambos miembros al exponente. x 3 ... :
Efe.ctuando en los exponenles del ~ miembro :
Por analogía las bases deben ser iguales ;
Transponiendo términos, lendremos :
l.JJego elevamos ambos miembros al exponente 2 :
Flectuando operaciones , oblenemos :
e) es irracional
(3x)"") = (3,J; + 1)''',1;·.,
3x =3 ,J;+1
3x - 1=3 ,J;
(3x _1)' (3,J;)'
9x' - 61+ 1 =91
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Simplificando convenientemente, se obtiene :
Dividiendo a ambos miembros por 3x : 9x'+1 _ 15\
3x - ~
Reducieooo, obtenemos lo solicitado: 3x + (3X)- 1 = 5 RPlA.B
37.- Encontrar el valor de x que satisface laecuación :
8 A) 27 B)sH C)sr;
2 E) sr:; D) 3 27
Reso)utióu.-
De la ecuación dada, haremos el siguiente cambio :
Dada la naturaleza infinita de los exponentes I sustituimos lo indicado por A :
Luego elevando a ambos miembros de la igualdad al expo
nente: I ~ A , tendremo~ :
irabajando ahora con el ~ miemdo de la igualdad dada, se tendrá que :
Aprovechando la naluralezCi ¡nfinilé:! de los radicales, sustituimos los indicado por A ;
Elevando al exponente 2, y despejando. obtendremos :
Igualando (<X) Y (9), logramos establecer que :
Por analogía los exponentes deben ser iguales, luego:
finalmente en "O" : x=
x
" l . lC , ... 1 . 1/
~ I+x +Jt A
xl+A = A
1
x= A1+A .. ,' (al
JI A
l'
f: =A
3 x = AS ..... (S)
_L , Al+A =A'
I 3 -' A= ~ I+A 5
=> 3
RJ'fA.E
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(
._~ - '. ' '"
t~I.E~_ PRt1fIIIEfflIS
NIVELA
1_- Señale verdadero (V) ó falso (F)
1. Si (-2)' =-8.cnlonccs r=3
11. Si \ 'i = 3<; . cntoncc!O x= 3
lILSL (1 =42 .cntllnCC$; x=4
A)VVV
OlVFV
BlFFV
E)FVF
C)VVF
2.-Si t·=5t~clv~lIordcx ... ICS
AJO.I p"J0.2 C)s 0)0,5
3._SI :3"1.1
=3.c1"alordc (:r)' es :
E)3
Al3 B) 113 C) I 0)9 E)81
-l.- La CCUólClón exponencial
A) No tlcne ~olut:ión
B) Tu:nc una SolUl':lón JX)Slllva
el Tiene \ ari:.t.~ ~oluclOne~
(23)' -- (JZ)'
DI Tlt:nc L-omo conjunto solución: 101
E) N.A.
5.- Scñ<tlc Vcru.'dcro o Falso:
1. 3( ;: 81 es una ccuación cKponcllCla1
11. x' = .Ji es CCU~CII)n tmn-..ccndcnlc
111 . ..-. 2 ;:: 5 ... \ C!O ecuación cxponcnci;¡tl
A,VFF
o)VVV
BIFVF
FlVVF
e¡FFV
6.- ah = h/I se cumple
I. cuando a= 2 : b=4 '
lI.cuClndu a=-2 ,b=-4
IrI. cuando (/ = 1/2 tI = 1/4
Son verdadero ..
Al Sólo I BJI Y 11
O) 1.11 Y 111 E) NlIlguna.
'.-Fn 42, =64:c1vl'I lordcxcs :
e) Sólo 11
A) entero p~ltlVO
01 raciom,l poSlllVO
E) irmCJonal
B) entt'fO negativo
D) racional ncgaflvo
8.- Si 102 ,+1 =0.001 : el valar de ID' scra·
A)O,I
DII
BIO.OI
E) N.A.
e) 10
9.- El valor dc \ en: 21+. + 21-, = 17 . es :
MI BI -1 C)2
2 ' IO.-Rc~t)I\'cr :i~ =~12
D)3
Al I B)2 C)O D)3 E)4
E)4
11.- El valor real de x lal que 64 r-I dlviJido por 4 I 1 C'ii Igual a 25621 es;
A)_l 3
O) I 4
B) I - 3
E) 3 8
I
00
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NIVFLB
12.-51 )1\ ... 9= 1O(3 ' ) . enIOnces dvalordc ). 1 + 1 es
A) I solamcnlc 8)5so1Clmcnlc C) l.ó .5
D12 EllO
(23)' · (98)' -- ~~ 13.- Resolver ' \H
AlO B11 C)2 D13 EI4
:IX 1 14.- Resolver ; x ::;: 9
A¡9 B,3 q! 3
D)6 E) Jj
15.- Hallar el valor dC.r en : 9 2 ' :;;: 38--
Al3 B) 1 C)6 Dl 1 2
E) 1 J
16.· Hallar \ en : 4 HI + 4 l _1 = 34
A¡ ! B) l 2 2
17.- Si . 4 , +1 + 22 '
,,' oc (2)) - eS :
A)6J6 BIM •
e)4 D)O E)I
J = 288. cntoncc~ el valor
e)l6 D14,/2 E)l2
18.- El valor real de x que resuelve In ecua-, ci{m:x c =3
A) c!!.uí cnlre O y I B.c ... táentrc 1 y2
C}eslácnlrc2yJ D) C~ nCl;!utivo
E)NA
A)2 B)2,/2 el I 2
D) ,fi 2 ElNA
20.- Rc~olver el Sl~ll!ma : 2' . 3' :12
2", 3' = 18
Y dar el valor de . , , ,. + y
Al5 B)l7 e131 0)9 E) 10
21.· La suma de los v<llores rcalc~ de \"quc resuelven 1" ccum:ión : ,
A13
x JT =!"':' . es:
BI5 C)7
B) 1 2
D) ~ E) 7 2
C)O A)2
D) -2 E,.\ puede ser cUlllqulcr# real
23.- Cakularcl valor de ren:
A)2 B)4
L' ±.l6' _ 64'+\, ' - 2
el8 D) 16
24.- Hallan" en : .\ lle> = 'U2
A)-!J2
D¡ ./ll
25.- Hallar .: en :
q'ffi
5'.5'.5' ... ... 5" = (0.04('
EI32
All6 B) 15 C) 13 D)9 El7
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•
,
NIVELe
26.- Resolver: ...,
21+1 + 2,·2 + 2,'+l +.! ..... + 21+10 =4092
A)O S)I C,2 D)3
27.- El lado izquierdo de la ecuacIón;
contiene "11" radicales. Además k = 80 3"
Calcular 11 + X.
A)3
D)7
B)4
E)8
28.· Al resolver el siSlcma :
3.2' -+ 3 1+1"-+-1 = 87
El \ alor de 2,' - v que resulta es :
A)-I
0)2
B)O
E)NA
C)6
01
E)4
29.- i..Cuánto vale "m" si : A P ~ B'" A q = B"; p+q=2; m - ,,=2?
A)....!'..-1'-1
2-'1 D) 1 -q
q-2 B) 1 -q
1- P E) -
p-2
30.- Resolver el sistema:
( x)f =x:' . \ ..
Darclvalordc s,:c 't 4)'.
p - 2 C) --
1- l'
A)32 C)45 D)60 E)40
31.- Resolver la (.'cuaclón trnsccndentc .
JX~I = (x+I)'"
A),ti
O),ti -1
B12,ti
E)2,ti-1
c¡,ti+1
32.- Resolver '
(!)(:) (~)' =
BIt13
1:-:)2
33.- Resolver :
O) ,ti
34.- Resolver .
B) Vi"
Elt'2
Pr 7 .,¡x
e) ;¡s
( 2) .' 4 ,(>-.) x+ .X = ..\
A) I B)2 C)3 0)4 E)S
35.- La suma de v¡\lorcs reales deA que resuelven la ecuación :
2 ? +1 1'1 21.-1 4 (2+.0)' -o. +(2 - n) · __ _ - 2- n
es :
A)2 B) 1 C)4 0)5 E)6
36.- Halle O'x" en .
• www.P
DFN.blos
pot.c
om
•
(25)' (34l)'~' _ 7 49 . 121 - 5
A) 1 B)2 CJ! 0)4 El 1/4
37.- Resolver
x> 1
B) 2 0)5 E)3
38.- Halle la suma de todm. Los valores de "n"quc verifican
A)5
1 O) 12.1
C)25
El 125
42.- Calcular O'x" en :
(o,n' (0,2) (0,3)'·' (0.5)'" = (0.0151"
A)IO B)13 C)5 D) 14 E) 15
43.- Si x' = ~20+ 14 J2 + '.j20-14 J2
calcular . ).J. + 2'
Al 2 + 2J'i
0)8
B) 17
E) 16
C)32
44.- i.Qué valor asume ;.K - 6 a pi:\rtir de :
A)2
D) 1 + li
45.- Si:
8)4.12
E)NA
,Jlr, = 1 2
39.- La diferencia de lo~ valores pennisihlcs calcular el valor de : para "x" en _
3(3' + 1) = 10./3' , es :
A)I
0)4
40.- Halle ",,"de .
A)3 B)5
A) 1 B)3
B)2
E)5
C)7
C)5
C)3
D)9
0)7
E16
E)9
,¡; 'V Jfi :r. In;: :r. -, rJ;; x ... v:t'''-- + ,,\'''' ~' + .... .. .
B) 1 2 Cl"¡~ 0)2 E) 1
46.-LaiguDldad : 0'- =a' ,se \lt:rifica(uJndo:
(1) .,=.,. ; "ia E R
([1) a=O ; "ix:r e O'
(111) a = 1 ; "i "y E I
(IV) 1I= - 1 ,'tIx;y e Nparcs
Scnalc b pnlposu::ión Incorrecta
A)I B)ll C)III D)IV E) Ninguna
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Entendemos que A1gebra es la parle de la Matemática que estudia a la cantidad en su rorma más general posible , empleandoconSlanles yvoriables ylas operaciones que con ellas se rea1izan en los conjuntos numéricos.
Es una combInación de constantes yvariables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, Sin variables en los exponentes.
. x'·x + 1 . Ex· ir , , z
Nota.· Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se deno· mina expresión no algebraica o trascendente.
[j01$: ZX + 5./3 + log.r2 ; 1 +.r + x2 + x 3 + ...... ,
Ls la rrúnirnll e7ipresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados pOr libo diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción Sus partes se indican en el siguiente esquema :
signo ~· G
coeficiente j
~ exponentes
3 2 x y ~
parte literal (variables)
Son aquellos que tienen la misma parte lileral. Dos o rnás ténninos se pueden sumar o restar sólo si son semejan.es, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal.
[jm: 7x l ; . x y2 ; J2 -W)'2 son semejantes y se pueden reducir a:
(7.1 + J'i)xy' = (6 + J'i)xy2
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3.4 ) CLASlflCACh)N DE tAS ,EX1'RESI\JNES Al.GEORAI - -
Las expresiones algebraicas se JJueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes ó por el número de sus términos.
Según la na
turaleza del exponente
Según el número
de h~rminos •
{
. {entera Racional r . . racclonana
Irracional
¡Monomios {BinomiOS :
PohnomlOs Tnno~ios _ -+
CualnnomlQS -+
1 término
21érminos
31érminos
41érminos
H) EXPRESIONES IAlvÉORAlCI\S RAc-íONAlES .-, _. ~ __ ~ _r
Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios .Estas expresiones se sub-dasifican en :
a) Radonales enteras.- Son aquellas expresiones en los Que al transponer todas las variabl'es al nwnerador, sus exponentes resullan ser enteros no negativos.
Ejm: 2x'y . x+1 . J2x+y' • 3 •
b) Rarlonolcs frnlCdono.ri4.$.- Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador. o si están en el numerddor, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo.
EJm: I
3xY + x
2x+1 x-I
Estas expresiones se caracterizan por qu~ sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.
I
EJm: S.Jx -3 ; J6xy' ; Sx' y + M
Se denominagrooo a la caracteñstica relacionada con los exponentes de las variables de una expresión algebraica. Se dislinguen dos lipos de grados : El Absoluto y el Relativo. empleándose para eOo las sjguientes notaciones :
G-R. ~ Grado Relativo y G.A. ~ Grado Absoluto
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3.7AGRADO RELATIVO
Cuando nos referimos al grado relativo. éste debe asociarse a una sola variable y a un término de la expresión o a toda la expresión.
a) G.R. en un lérmino.- Es el exponente de la variable seleccionada.
b) C.R. en una expreslón.- Es el mayor exponente que arecta la variable seleccionada en loda la expresión.
3.7B GRADO ABSOLUTu
Cuando nos referimos al grado absoluto. éste depende de todas las vanables y puede asignarse a un término o a toda la expresión.
a) CA en un término.· Es la suma de los exponenles que afectan a lodas las variables.
b) G.A. en una expresión.- Es el grado absoluto o simplemente grado del térTTrino de mayor grado en la expresión.
Ejemplo.- En el término : J2 x 3 y1l2 Z
El grado relativo a x es : e.K (x) ~ 3
El grado relativo a y es G.R. (y) 1/2
El grado relativo a z es G.R. (z)
El grado absoluto es CA I 9 3 .. - .. 1~ -2 2
Ejemplo.- En la expresión : 3x2y ... 5xSyl + 2
C.R. (x) - 5 ; G.R. (y) ~ 3
El término de mayor grado es el segundo; G.A.= 5 + 3 = 8, luego el grado de la expresión es 8.
NOTA.- El grado de una consJante numérica no nula es cero.
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPtJ 1)
1.- Después de reducir: -1X. J( -~ xJ(-.t ~ x 2Jt • el resultado se puede c/asft/carcomo:
A) Expresión algebraica racional entera
8) Expresión algebraica racional fraccionaria
C) Expresión algebraica irracional
D) Expresi6n exponenc;al
E) Expresión cúbica
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ResoJuciÓn.-
Por leoremas de exponenles,la expresión se reduce a :
E = xl+( - xJ _ r -2• x-1 • x 2x ... x
Luego la expresiÓn es racional entera por lener exponenle entero y positi\lO. RPTA.A
x 1t -T 1
2_- Luego de reducir : 1 , la expresi6n que resulta es : XX -+- , + X
A) Racional entera
DI Exponencial
ResQluclÓn.-
Reduciendo:
B} Racional fraccioneria
El Trascendente
XX + 1 -1 ~
x(x' .1) 1 • J ~ - ·1 x •
C) Irrscional
Vemos que resulta una expresión racional rraccionaria porque la variable en el denominador tiene exponente entero positivo.
RI'Jj\. B
x~ 3.- SI el monomio : 31 ' es de tercer grado. entonces el valor de m es :
.¡ xm ... 2
AI/2 BI/S CI22 D)20 E)2S
Rew1udÓn.-
Hadenc:lo uso de las denn1clones de radicales. tendre mos:
Empleando los teoremas I y 111 de exponentes;
¡ UNALM90
m·2 X l . x l
F(x) ~ m .2 x - ' -
l .. m-2 _ m.2 F(x) ~ x 2 ,
Por condición, el monomio es de tercer grado, es decir el exponenle de x es 3, entonces se puede establecer Que: 1 + m2~ - m;2 ~ 3
ResolViendo se tendrá : 3m - 6·2m· 4 ~ 2 6
m = 22 RPTA. C
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4.- ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado sbsoluto del monomio:
A2 8 6
C12
D20
....•• ,sea 1 120
Al 18 BI12 el 13 {JI 11 El 14
ResQludón.-
Grado del monomio = 2 + 6 + 12 + 20 + ....... = 1 120
c= (12+t)+ (22+2)+ (32 ... 3)+ (43+ 4}+ ......... n ténníno$
G = (1 + 2 + 3 + ..... + n) + (12+~+32+ ...... +n2)
Cada suma, por rónnu1as ya conocidas, se reduce a una eJ<presi6n equivalente; n(n~l) n(n+I)(2n~l)
G = -2- + 6 = 1120
Transformando:
Efecluandooperaciones:
Despejando el numerador;
n(n2+~ [1~2n3~1] = \120
n(n~I~(n~2) = 7.160= 14 . 5.16
n(n+I)(n+2)=14.15 . 16
Por comparación, deducimos que:
5.- HslIsr el coeficiente de : MI ., ( ' )". 9 m • x3m .. ~n • ..6m n x;y,~ 2 y
cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a x es 14
Il@Qlución.-
BI16 81
9 DI 16
n = 14
E) 81 16
RPTA.E
Nuestra estrategia consistirá en calcular los valores de los exponentes n y m de las cantidades numéricas que posee el monomio, elJo nos pennitirá idenfificar con racilidad al coeficiente de la expresión dada. Veamos:
Por condición de) problema, se sabe que el G.A.CM) =20. luego ; 3m + 2n + 5m - n = 20
R~uciendo lérminos semejantes, lendremos :
Asimismo se sabe Que el G.R. (x) = 14 , Iu~go :
ResoJviendo el sistema de ecuaciones. encontramos que :
Fmalmenle el coeficienle es : 81 16
8m+n=20 ... (1)
3m + 2n = 14 ... (2)
m=2 ; n=4
RPTA. E
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Defi.nición.~ Polinomio es una expresión algebraica racional entera Que consta de dos o más términos (monomios) en cantidad finita. Cuando los coeficientes son reales. se dice Que es un polinomio en !:R.
Monomio.- Es la expresión algebraica racional entera de un solo término.
Binomio ,- Es el polinomio de dos terminos.
Trinomlo.- Es el polinomio de tres ténninos.
Notación PolinóDÚca.- Si un polinomio tiene una sola variable ~X' su notación será:
donde n e Z" ; n : grado del polinomio.
l10 : coeficiente principal no nulo.
an : término independiente i
Los polinomios con dos o más variables se denotan pOr:
p (x, y) : Polinomio con variables X, y
P(x,y,z) : Polinomio con variables x,y,z .
Aunque cada polinomio se denota como identidad, siendo su símbolo la notación = , se empleará en lo sucesivo el símbolo de igualdad (=).
Es el valor que adquiere el pol¡nomio cuando se le asigna determinados valores a sus variables.
[jros:
P(x) = x' ·3x + 2
P(J) = 12 .3(1)+2=0
P(2) = 22 . 3(2) + 2 = O
P(·2) = (-2)'. 3(.2)+ 2 = 12
Propiedades :
E <oefldentes de p(x) = P(I) Térndno independiente de p(.~) = P(O)
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J.1" ) REl'lUóSENTAClON GENERAL DE POLINOMIOS DE ACVERDO Al GRADO
Ojo :
Considerando la variable "x· y las constantes a, b, e A d, tal Que a ~ O tenemos;
- Polinomio de grado cero : a
- Polinomio de grado uno o de .", ,grado : ax + b
- Polinomio de grado dos o de ~ grado : a x2 + bx + e
- Polinomio de grado tres o de 3"" grado: a x3 + b x2 .... ex +d
I J.II ) GRADOS EN OPERACIONES 'C'ON POÚNÓMIOS .......... ' ,. Sean los polinomios P(x) de grado m. y, Q(x) de grado n • con m > n
-Suma
- Resta
- Producto
• Cociente
- Potencia
- Raíz
P(x) + Q(x) e. de grado : m
P(x) - Q(x) es de grado : m
P(x) Q(x) es de grado: m + n
P(x) + Q(x) es de grado : m-n
[p(x)r = p' (x) es de grado : m. k
~P(x) , es de grado : ';:
6.- Señalar las proposiciones falsas :
1) Si sumamos un polinomio de grado 4 con uno degrado 6, entonces el grado del poHnomio resultante es 6.
• 1/) SI restamos DOS polinomios del mismo grado, el resunado siempre será de un grado menor.
111)51 el grado de P(x)e. mayor que el grlldo de Q(x), el que tiene ro" términos es P(x),
A)I Y 11
D)II Y 111
B) 11 solamente
E) Ninguna
el' solamente
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Resollld6n ..
J) Verdadera. FJ grado de la suma es el del polinomio de mayor grado.
11) Falsa, puede quedar inalterado el gr~do.
IU)Fa),a,porejm : P(x) = ,(> + 1 es de mayor grado que
Q(x) = x2 + X + 1 , pero Q(x) tiene más términos.
7.- Calcular lB suma de coeficientes de: P(IC) = (IC -11" + (x-21 + IC' + 5
A)3 B)5 C)7 D)9 E) 11
Resolución.-
RPTA,D
Por las propiedades vistas en el item 3.$ ,sabemos que P (1) es equivalente a la suma de los coeficientes, entonces :
P(I) = (1_1)20 ... (1 _ 2)' + (1)' ... 5
POl=O+(-Il+ 1 +5
P (1) = 5 RPTA.B
B.- SI: P(x) = (IC + 2f + (x - 31' - (x + 2) (x - 3), el término Independiente de P(IC) es :
A) 15 B) 13 C)l1 D) 10 E)9
Re.solud6n.-
Recordando la :?d" propiedad visla en el item 3.9 ,sabernos que P(Q) equivale al término independiente de P(x), entOnCes ;
prO) = (0+2); + (0 _ 3)3 -(O + 2)(0 - 3)
prO) = 32 + (-27) - (-6)
P(O) = 11 RPTA.C
9.- En el polinomio: P{x; y) =- 2 xm yn-J + (3 x m+J y" + 7 xm-2 yn+2 + 6 xm+3 yn+l
El,gradO relativos "x· es 12 y el grado absoluto es 18. Hallar el grado relaUvo B "y .
A) 3 B)5 C)7 D)9 E) 11
ResolyciÓn.-
Con relación a x, se observa que su máximo exponente es : m+3
Empleando la condición del problema tendremos : m + 3 = 12
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Resolviendo se deduce que: m ~ 9 ___ .. (')
Observando el polinomio reconocemos Que los grados absolutos de los ténninos son :
(m+n-l) ; (m+n+ 1)
De esta Usta idenbficarnos al mayor ;
luego por condición del problema se tendrá:
Sustituyendo lo obtenido en (.) :
Ahora, el grado relativo a y resulta ser :
(m+n) ; (m+n+4)
(m + n + 4)
m+n+4=18
n=5
n +2 = 7
.... .. c··)
RPTA.C
10.- Hallar un polinomio de segundo grado cuyo coeficiente de x y término inde"e.ndiente son iguales. Si P (1) ~ 7 Y P (2) = 18. Dar como respuesta el coeficiente de x2
A) 1 8)2 e)3 D)4 E)5
Resolyción.-
Por lralarse de un polinomio de 200 grado, es lE! tE!ndrá la siguiente f01T1la :
E.mpIendo las condiciones del problerna, se tendrá :
Luego de resolver el sistema ,se liene :
Fí~almenle eliXHinomio es :
P(x) ~ ax' +bx+b
P (1) = 7 => o + 2b = 7
P(2) =18 => 4o+3b = 18
0=3; b=2
2 P{x) =3x + 2x + 2 RPTA_C
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3.IZA POUNOMIO HOMOGENEO
Es aquel cuyos lénninos están constituidos por más de una variable y presentan el mismo grado.
Ejemplo: P(z,y) = 2xy" -3x 3l + ¡ es homogéneo de 510 grado.
3.128 POUNOMIOORDENADO
Cuando los Clq>Onentes de la variable que se toma como rererencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o descendente.
Ejemplo: P(x, y) == XSy • x3y2 + x y1 • es ordenado en forma decreciente respecto a x. y en forma creciente respecto a y.
3.12C POUNOMIO ENTERO ENX
Es aquel que depende unicamente de la variable x, siendo sus coeficienles númerOs enteros.
Ejemplo: P(x} = 3 x3 + 2x - 1 i es un polinomio entero en x de lercer grado.
3.120 POUNOMIO MONICO
Es aquel polinomio entero cnx que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad.
E¡emplo : P(x) ~ x2 + 7x + 4 ; es un polinomio mónica se segundo grado (cuadrático).
3.12E POUNOMIOCOMPLETO
Es el Que contiene lodos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor ex¡xmente hasta el exponente cero o término indep€ndiente.
Ejc?mplo: P(x) = ·2-.:..f.. 3x2 + .xl ·7 es completo, de 3'" grado y tiene cuatro términos, uno más Que el grado
3.12F POUNOMIOS IDENTICOS
Son aqueJlos cuyos lérminos semejantes poseen el mismo coelicienle.
Ejemplo : Si P(x) - a x' + b x' + e y Q(x) - m x' ~ n x' + p
son idénticos (P(x) ji! Q (x}). se cumplirá qUE!: a = m ; b = n y e = p
3.12G POUNOMIOS EQUIVALENTES
Sonaquellos polinomios Que teniendo rormas dirrentes aceptan igual valos numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables
Ejemplo : Dadoslospolinomios: P(x;y) = (x+yj'.(x - yl' A Q(x.y) ~ 4.ry
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Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de Mx" A Y . entonces serán equivalenles; veamos:
Hagamos: x == 2 A Y = 1 en : P (x ; y)
Hagamos : x = 2 " Y = 1 en: Q (x ; y)
Observar que·
P(2; 1) = (2+ 1)' . (2 _ 1)' = 8
Q(2; 1) =4(2)(1) =8
P(2; 1) = Q(2; 1)
Enconsecuencia P(x ;y) A QCx ;y), son poünorruos equivalentes y se les podrá representa.ro:.si :
1'(,0- ;.)') < > Q(x ;1')
3.12H roUNOMIO IDENTICAMEI\'TE NULO
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.
Ejemplo : Si P(x) = a x3 + bx + e , es idénticamente nulo, se cumpli~: a - O ; b = O Y e "'" O
y se podrá representar asf : P (x) = O
11.- Dadas las propos;ciones:
1) Todo po/;nom;o completo es homogéneo
11) Un polinom;o completo de quinto grado tiene cinco términos
111) Un polinomio completo de quince términos es de grado 14.
Son falsas:
Al/y'" B)IIylll C)S6/o/ D)/ Y 11 El Todas
ResoludÓn.-
1) Es ralsa. porque por ejemplo : x2 + x + 1 es completo, pero no es homogéneo.
11) Es ralsa, porque si es de grado S y completo, debe tener S + I = 6 lénninos.
111) Es verdadera porque cumple la regla: Si es de gradon, dEbe tener o + I lénninos.
12.~ Clasificar el pollnom;o:
27 3 1 SI: n= 1024 125
RPTA.D
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A} Homogéneo BIO,denado
E) Irracional
el eomplelo en y
D} Completo y ordenado
ResoluciÓn.-
!
1m Hallamos n : n = 1024 125-27
-' n = 1024 125 ' = 1024 5-
1 .••••• (1 024 = 210
)
1
n = (tO)5 = 4
2'l" Reemplazamos : () 2 23 34 P x,y =4.3y +2.I'y +3x y .4x y
R€I!SpeCIO a x é y es completo y ordenado crecientemenle. RPTA.O
13.-EIg,ado del polinomio homogéneo: R(x,y,z)= ax'y>i' + bx·y' z - cxyz",
es JO. Entonces,'a suma de los coeficientes será :
A)O BH e)-3 D)5 E)·4
Resolución.-
Por ser homogéneo cada ténnino tiene el mismo grado absoluto (10), Juego :
3+a+2= 10
b + 6+ 1 = 10
1+ I+ c= IO
Al resolver se obtiene: 0=5: b =3 : c=8
De acuerdo con lo obtenido el polinomio es :
De este modo la suma de coeficientes será: 5+3·8= O RPTA.A
14.-Hal1arel término Independiente del polinomio: P(x} = x"+2 + x m-' .,. ..... + mx..,. (m + n)
que es completo y ordenado, de grado 7.
A) 16 B)l2 e) 10 D)B E)6
ResoluclÓn.-
Si es de grado 7, se deberá cumplir que.
y por ser un pohnomio completo y ordenado se cumplirá que :
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Por último ellérmino independiente será: m +n = 12 RPTA.B
15.- Si el poljnomio ordenado decreciente y completo : P(x) = x2 .... , f.2 x tH3 + 3 x C.,.2 + •.•..
posee 2c términos. hallar: a + b + e
A) 12 B) 13 e) 14 D) 15 E) 16
RUQlud6n.-
Para empezar debemos recordar que el número de térmInos que posee un polinomio de grado n es n+ l . Asimismo debemos tener en cuenta Que por tratarse de un JXllinomio ordenado en forma decreciente, la variable x del primer término debe lener un exponente que coincidirá con el grado del polinomiO. Veamos :
Según condición del problema :
Por dalas del problema, se tendrá ;
Reduciendo términos, obtenemos ;
# TERM - G.A.(p) + 1
2<-(20+ 1)+ 1
c -o+I ...... (1)
fmpleando ahora el orden decredente del JX>linomio, se tendrá que.
20 + 1 . 1 - b + 3 .. .... (2)
b+3 - I-c+2 ...... (3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tendrá que: a = 4 ; b = 5 ; e = S
Finalmente se eSlablece Que: 0+ b +c = 14
16.- Si el polinomio P(x, y) es idénticamente nulo. hallar m"
P(x,y)~ (10-mj¿y + mrr + 5¿y - 2xr
A) 15 B)30 C) 125 D)225 E) N.A.
ResQ1ucJÓn.-
RPTA.C
A partir de la definición de polinomio idénlicamenle nulo, primero trataremos de reducir términos semejantes, a continuación igualaremos a cero cada uno de los coeficienles del polinomio. Veamos:
2 .r; P(x,y)~ (I0·m)x y + nxy +
t
P(x,y) ~ (IS-m)x'y + (n - 2)x!
15 - m = O ;> m - 15
n-2=O :) n=2
Finalmente ; m" IS'
-, 1- , Sxy-2xy
t
RPTA.D
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17.~ Calcular el grado de' polinomio entero y ordenado decrec;entemente :
P (xl = x2nr + xm.3 + x 4•m
A)6 B) 18 C)20 D) 14
Resolución.-
Dado que el polinomio es decreciente, tendrem,os :
m-3 > 4-m
2m > 7
m> 3,5
y
4-m ~ O
4 '" m m ~ 4
Como m es entero. concluimos por las desigualdades obtenidas que ; m = 4
Entonces el polinomio dado será : P(x) - x, +x+ 1
De esto último diremos Que el grado de P (x) es :
18.- Enlaexpres;6n : p(x)= x2 .,.xy.,.xz.,.yZ
Si : E ~ J p (y), p (z). P (o) , ' el valor de E es:
A)2yz B)2yz(y+z) C)y+z D)xy
Reso1ydón ..
P [y) _ y2 + y2 + yz + yz _ 2y [y + z)
P (z) - z' + zy + z' + yz = 2z [y + z)
P(o)-yz
8
E) N.A.
E)8
Reemplazando en la expresión dada :
Fiectuando las multiplicaciones indicadas :
E- J2y . (y+z) . 2z(y+z) . yz •
E - J2' . Y' . z' (y + z),
Simplificamos exponentes y radicales :
19.-S;: (S4+36) X+ r +s m6+ 13r " Se cumple para todo número real x, los valores reales de a SOn:
A)-2y3 8)2 y -3 C)2, -2, 3 y-3 D)2y3 E)-2y-3
UNFV90
RPTA.B
UN/80
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ReAoludÓn.-
Si se cuITlple para todo número real x, hacemos x = O: (a4 +36) . O + a2 ... a = 6 ... 13 a2 .O
Efectuando operaciones y Iransponiendo : 02 + a - 6 = O
FaclOrizando la ecuación, encontramos Que : (a + 3) (a - 2) = O
Resolviendo deducimos Que: a=·3 ; a=2 RP1A.B
20.· 5i P(x)=ax~b , y, P [P (P(x)}} = 8x+ 154; determinar: P{P(3)]
A) 27 8)33 C)78 D) 81 E) 96
Resol,!dón.-
loo Determinando P (P(x») : p(x) = ox ;. b . _____ (')
=> P )P(x») =0 (ax;. b);.b = a'x;. ob -+ b
2"'Encontrando P IP IP(x )11 e igualando : PIPIP(x)1I = o (a'x + ab +b) +b ~ 8x + 154
Efectuando operaciones encontramOS que:
En esta última identidad se deduce que:
De esta relación se deduce que ;
ResoMendo esta última ecUitoón. se obtiene :
Reemplazando estos resutlados en e-), se tiene :
Haciendox = 3 en C-·), encontramos Que :
Haciendox = P(3) en ( •• ) . enconlramos Que :
Efectuando conclufmos que .
a3x+(o'b;'ab;.b) ~ 8x+ 154
a3 = 8. y . a'b;.ab+b=l54
o = 2 => 4b + 2b + b = 154
b = 22
P (x) = 2x ;. 22 ____ (,.)
P (3) - 2 (3) + 22 = 28
P IP(3») = P (28) = 2 (28) + 22
P (P(3») = 78 RYfA. C
21.-Sllsexpresi6n : (s.,.if)BJx·-b - ab4,fx·+b + (b -s)x ; puede reducirse s monomio, este monomjo es :
A)x 8)2x' C)ax'
ResoludÓn._
Según conchci6n , los términOS deben ser tales que :
A partir de esta relaCión se puede establecer do~ ecuaciones -
Resolviendo estas ecuaciones. se cumple que ,
E)5x
a - b _ a+jJ _ 1 6 - 4 -
a·b =6 y a+b =4
0=5 y b =- I
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Reemplazando a y b en la expresión dada : (5+(-11') 'IIx' . (5}(· J) ~ + (· ] - 5)x
Efectuando operaciones esto se reduce a : 6x + 5x. 6x = s.: RPTA. E
22.- SI el poflnomio: P (x~ y) = 3 x m-2 y"" . (X' + .,'"-3 ) • es homogéneo, con grado de homogeneidad 16, hallar m • n.
A) 1 B)2 C)3 0)4 E)5
ReSQluclón.-
Desde que el polinomio dado es homogéneo, se deberá venficar que el grado de sus ténrunos debe ser el mismopara lOdos ellos. &.to nos sugiere desarrollar el poIinorJÜo P (K,)'), ya cOlltinuación identificar el grado de cada ténnino, para finalmente igualar cada grado con 16. Veamos :
Efectuando operaciones en la rel(tción dada :
Identificando el grado del ler término, se tendrá: m+S+n-1 ~. 16
Transponiendo términos, se obtiene:
l<lentlficando el gra<lO del 2do témlino, se tendra :
m +n = 12
m-2+3n-4 = 16
......... (l)
Transponiendo términos, se obtiene ;
Resolviendo (1) y (2). se tiene por solución :
Finalmente lo solicitado se obtiene asi :
m+3n=22 .... .... (2)
m=7 A n=5
m·n z RPTA.B
p3(X) 23.· Dados lospolinomiosP(x) y 0(,,), 5e Sllbe que Jos polinomios: P(x). a' (x) y Q(lC) ,
son de grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado de P(x). Q(x)
A)4 B)6 C) 10
ResoluciÓn.-
Sean que p y q los grados de P(x) yQ(x) respectivamente; entonces al hacer uso de las reglas expuestas en el item 3.11, se puede establecer Que :
Resolviendo el sislema de ecuaciones, se tendrá;
Finalmente el grado del producto P (x) _ Q (x) es :
O) 15 E) N.A.
p+2q= 17 }
3p·q=2
p = 3 " q=7
p+q=IO RPTA.C
24.- Si el trinomio: "J J(a+b- + b.) xfH.c + c;¡ x S•c • es hom0g4neo. de grado 10.
De qué grado es el monomio: -W _ c¡;a _ rrzc ?
AI7 B)13 C)27 0)33 E) 30
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ResoluciÓn.-
RecOrdando la teoría vista en el item 3.9 sobre grado de una raíz. Por ello se cumplirá que . a-t-b = b+c = a+( = 10
a b e
Efectuando la división de Jos numeradores :
EJim:inanclo I en cada miembro, tendremos : b=c=o=9 a b e
... (0)
Finalmente el monomio es de grado G. tal Que: G = b+'l.+c (") a e b ...
Reemplazando (.) en (n), tendremos: G = 27 Rl'TA.C
25.· Sean: P (x, y) = zb+c x2b-1 yb-3 A Q (x, y) = J(C+2 r+4 • SilOs grados sbsolutos de P{x, y) y O(x, y) son 8 y 4 respectivamente; hallar el coeficiente de P Ix, y).
A) 1 8)2 C)4 0)8 E) 16
Re!iQlytI2D·-
El G.A. de P (x, y) es: 2b · I+b-3=8 => 3b = 12 => b = 4
El G.A. de Q (x, y) es : c+2"'c+4=4 => 2c ~ -2 => e = -1
Luego el coeficiente de P (x , y) es : RPTA.O
26.- Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente trlnomjo: m
p (x, y) ¡;¡ (m _ 3) x 9 -m + mxm-2 y Jo + y11 0 2m
A)4 8)6 C)8 O) 10 E) N.A.
Resolución.-
Sabiendo que se pide ti) suma de .coefi<:ient~s, aplicaremos las propiedades del item 3.9, es to es : L Coel. = P( 1;1) = Cm - 3).1 + m.I .1 + 1
Efecluando operaciones encontramos que: · l:eoer. = 2m - 2 ........... (.)
De esta última relaciÓn reconOcemOS qUI(! es necesario encon(~r el valor de "m",
Como P (x.y) es un trinorrUo, entonces es fácil predecir Que : m"#; 3 1\ m;e O. Además anaJizando los exponentes se debe rumplir que :
9 - m ~ O :) m
m - 2 ~ O => m
17 - 2m ~ O => m
< 9 }
: :,5 Inrerseclando los intervalos :
2 ~ m ~ 8,5 .. .. ( .. )
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Dadoque '; debe ser un número natural, entonces concluimos Quem es un múltiplo de tres.
m(3
De (.o) : 6
Pero recordando que : m;t 3, concluimos que m = 6
l: COEl' = 10
27.-$1: P("J= 8 x2 +b ; y: P (PMJ=B ,,' +24,,2 +c
e/va/arde : 8+b+c. es:
A)2B 8)32 C)30 D)31 E) 26
Kesoluclón.-
Evaluamos: P IP (x))
P(P(rll=P[ax'+b)
= a (ax'+b)' +b
Este polinomio es idémico a: 8x4 ~ 24x2 + e se concluye Que :
a" = 8
Resolviendo, obtenemos : a = 2
2a'b=24 ; ab' +b=c
b = 3 ; e = 21
RPTA.D
Reemplazamos este valor en las e.'XpreSione~ correSpOndientes a los términos dados :
Entonces : a+b+c;: 26 RPTA.E
28.-0adas:
Si : O[ p(x). Q(x) . R(x)] = 289 ; calcular el grado de : M (x) . ( 11 "no + 1 J' (x2n _ x" )
A)6 8)8 C)9 D)12 E) 16
RtSQluciÓn.-
Debemos reconocerQlle al referimos úrut;:amenle al grado de un polinomio nos eslamos refiriendo implicitamente al Grado Absoluto. Del mismo modo la notación °IP (x) l. está referida al Grado AbsoIUlO de P ex).
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MOTa, de acuerdo con la teoría del item 3.11, se tendrá ;
O(P(x») ~ (n"") (nn") =(nnnr O\QCx») = (n"") (2) = 2 (n"") O\R(x)) = I
Teniendo en cuenta la condición del problema ; O(P(x). Q(x). R(x») = 289
y por tratarse de un producto de polinomios, setendr.\ que: O(P(x)( + O(Q(x») + O(R(x)] = 289
Reemplazando; (nn")' + 2 (nn") + I =289
Reduciendo ell~ miembro:
Comparando los expanenetes se deduce que;
Finalmente diremos que:
29.- Calcular -m .. n- si el polinomio:
n=2 '(M(x») = 2(nn) + 2n
'\M{x») = 12
P( ., 3 2mtn.f mtn·2 5 2m+n-3 m+n+l 7 2m#M-2 m#n JI.. y,.x y +x y -JC y
es de grado 10 y la diferencia entre los grsdos re'sUvos s "Ji" e "y" es 4_
A) 1 8)2 C)3 D)4
Resoluc
RPlA.D
E}5
Recordemos que el "IP(x,y} 1 viene d ... do por 1" rrmyor sumo. de exponenles de lotlS .... o.ñ ... bles de uno de sus términos. Pues bien, si observamos los exponentes de la parte Hleral de cada uno de los lérminos, concluiremos que el polinomio es homogéneo y cuyo grado viene dado por:
O)P(x, y)] = 3m + 2n - 2 .......... C·)
Por condición : 3m + 2n - 2 = \O = 3m + 2n = 12 .......... C")
Tambié.n se reconoce que : GR Cx) = 2m + n - 2
GR (y) = m + n + 2
Donde por condición : GR (x) - GR (y) = 4 = m = 8
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Reemplazando en (00) : 3 (8) + 2n ~ 12 ~ n ~ - 6
Finalmente enconlramos que : m .... n=2 RPTA.B
30.- Proporcionar el valor de: CI1 + cx2 • CI3 •
s;~cumpleque;50x3+5x2.8x+ 1111! a, (a3x+1t'. (a2X-(l,t~
A)2 8)4 C)6 V)8 E) 10
ResoluciÓn.-
Al efectuarse las potencias y los productos indicados, es previsible Que el exponente de x en el segllildo miembro sea (al -t CI3)' Es interesante saber que esto se obtiene haciendo que en cada paréntesis solo quede la variable x.
Luego, de la identidad se deduce que:
Haciendo x ::;;; 0, obtenemos el término ¡ndependienle en el2dc miembro y por la identidad se establece que :
EJectuando y reduciendo, encontramos que :
Como ce, y Q.3 son naturales, reconocemos que los únicos valores que satisfacen (1) son:
Es fácil reconocer el coeficiente principal en la identidad pues esto se consigue así :
Reemplazando (2) en (3). lendremos
luego de erectuary extraer raiz Clladrada :
finalmenlc concluímos que :
Cll+CXJ =3/{al;a2}c N
1 ~ a, (l)a, .(-a, t, 1 ~ a, (-<l,)a, ..... (l)
..... (2)
50 ~ "1 (a,)O, (a2)a, .... (3)
50 ~ (1) (2)' (a2)2
RPTA.B
31.- Calcula, ,. suma de coeficientes del siguiente polinomio completo.
P(x). e (x· + x b } + a(xb + XC ) .. b(x" .. XC ) ... abe
A)6 8)9 C) 12 V) 15 E) 18
ResoluclÓn.-
Fiecluando [os productos indicados, el polinomio tendrá la siguiente ronna :
p (x) !! e X U +c x b + a x b + o xC + b x Q + b XC + abe
Agrupando términos semejantes y raclorizando. obtenemos:
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P (x) ~ (b + e) x" + (a + e) x b + (a + b) XC + abe
Recordando que la suma de coeficientes se obriene haciendo x= 1, tendremos :
L coer. P(x) - P(I) => L coer. P(x) = 2 (o + b + e) + abe
Desde que p(x) es un polinomio completo }' posee 4 términos. conclLliremos que P(x) es de Icreer grado . Por esto se establece que los exponentes de x son tales que:
{
O+b+C.,-1+2+3=S
{a;b;e }~ { 1;2;3} =>
0.b ,e= L2,3=6
, .. ','.' ......... (1)
Finalmente se concluye que : LCoef.P(x)- 2(a+b+c) +obc ......... (2)
y reemplazando (1) en (2) , lendremos : L caer. P(x) = P (1) = 18 /
RJ'TA.E
32.· En el polinomio : P(x + 1) e (2x.f.lf + (x+2f . 128(2x+ 3) ; donde "n"es Impar, lB suma de coeficientes y el térmIno independiente suman 1; luego el "810r de "nto es :
A)5 B)7 C)9 V) 11 E) 13
Resolución.-
Por condición del problema se debe cumplir que: P(l) + P(Q) = 1 ........ (1)
Si enel polinomio hacemos:x = -1, tendremos : P(Ol = ,128 ........ (2)
Si ahora hacemos: x = O. Se eslablecerá que : P(!) = 2" - 383 ........ (3)
Recmpla7..ando (2) Y (3) en (1) • obtendremos :
Reconociendo que 512 = z? , lendremos : 2" - i' __ n=9 Rf"U\. e
33.- Vados: Q (x) ~ 2x + 3 ........... (1)
Q[F(x)+G(x)] ~ 4x+3 ............ (11)
Q [F(x)-G(x)] .. 7 ................ .... (111)
Calcular: T=F(G(F(G( ... F(G(!)) ..... ))))
A)I B) -1 C)O V)2 E)-2
Resolución.-
Nues tra cstwlcgia consislirá en aislar a los polinomios F(x) y G(x), de este modo será rácil determinar el valor numérico de T
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De las relaciones: ( I ) Y (11), inducimos que : x = F(x) + e (x)
Si lrabajamos ahora con esta relación en (1): QIF(x) + e(x)1 ~ 21F (x) + e (x) I + 3
Utilizando la relación (11), 1t!lldremos : 4x + 3 SI 2 I F (x) + G (x)' + 3
Despejando, se puede establecer que : FJx) + e (x) • 2x ........ (1)
De las relaciones (1) Y (111), se induce que : x = F (x) - e (x)
Fmpleando esta relación en (1), tendrerros : QIF(x) - e(x) I ~ 2 IF (x) - G (x)1 + 3
Sustituyendo ell ~ miembro por (111) : 7 ~ 2 IF (x) - e (xli + 3
Despejando se oblendrá :
Resolviendo (1) y (2), encontramos que:
Ahora calOJlaremos el valor numérico de T :
{
e(l)=o Haciendo x = 1, en (a):
F (O) = I
F (x) - G (x) ~ 2 ....... (2)
F(x) =x+1 " G (x) =x-I ..... (n)
T = F (G (F (G ( ... F (e (1)) ..... »)))
T = F (G (F (e ( ... F (O) ... .. »)))
T = F (G (F (e ( _ .. F (G (1)) .... »)))
Es Fácil reconocer C)tle cada vez que reemplazamos: G (1) = O A F (O) = 1, va surgiendo una repetición de vaJores : 1 y O, los que se van sucediendo Qrdenadamente desde adentro hada afuera. Puesto que la última nOladón es de F, concluimos que:
T = F(O) T" 1 RPTA.A
34.- Dada /a re/ac/6n : F (x+25 ) ~ x + 45 .4 halle usted: F (x -2,Jx )
A)X-4./x +4 B)x C)2x D)X+4
ResoludÓn .•
De la idenlidad : F(x+2Jx)"./x2 +4./x +4" (JX+2)' .... (1)
Haciendo un cambio de variables : x + 2 ¡; :::- m .... (*)
Sumando I a cada miembro : ¡;2 + 2.rx + 1 = m + l
2 Reduciendo, se tiene : (rx + 1) = m .... I
Extrayendo raíz y despejando :
Reemplazando en (1) .
Finalmente reemplazamos (.) en la rela-ción(II) , encontrando que .
5 = Jm + I -1
F(m) . (Jm+I+I)2 ..... (11)
F(x - 2./x) ~ (Jx - 25+1+1)'
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F(x-2/X) ~ UX-2.IX+ I+I)'
Reconociendo un T.C.P. en lo indicado: F(x-2/X) a (J(JX-I)2 +Ir Simptificando el exponenle y el radical : F (x- 2.IX) ~ (.IX _1+1)'
Reduciendo y simplificando obtenemos: RPTA.B
35_- SI; F ( 8X~b)§ !1X ax-b b ; {a ; b} eN
calcular el valor de ; E = F (F (F ( ___ _ F (F (7) ---- }) I
AI7
ResQ!lldó n.-
Del dato ;
Hagamos:
2000 W C8S
SI ~ el ~
F(':,~~) " a; ___ .( 1 )
ax+b ax_h=m
Aplicarx:lo las propiedades de proporciones. SE: tendrá :
Reemplazando (2) en (1 J. lendremos ;
A partir de la relación (3), se establece que:
Finalmente analizando cuidadosamente la expresión ''C', tal corno lo hicimos en el Prob.34, se concluye que :
ax b
El 14
m+ 1 m:}
m+ 1 F(m) s m- I
[=7
___ (2)
... (3)
RPTA.A
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NIVELA
1.- Señale Verdadero o Falso :
1. .fi4 x2), es una E.A. racional entera.
11. ~ x3 y2 es una E.A. racional fraccionaria.
111. xr + 2,1 no es una expresión algebraica.
A)VVF
O)FYF
B)VW
E)VFV
C)VFF
2,~ Hallar el grado absoluto de la expresión :
x 2,,+ x3YZ-X:\'l+ x 3 }'3
6.- La expresión :
A} Es un trimonio
B) Se puede reducir a binomio
e) Se puede reducir a monomio D) Equivale a cero (O)
E) N.A.
7.- Al ordenar decrecientemcntc el polinomio:
x6 +y' +X'y'+x'y +x3)"'
respecto a "x" o respeclo a "y" ¿Qué tl!nnino ocupa en ambos casos el mismo lugar?
A)2 B)3 C)6 0)9 E)15 A)x. B»"' C)x',2 O)x')" E)xJ)~
3.- Con rcspcclo al monomio 7 xl )'4 ZI es
FALSOquc:
l) Su grado absoluto es 9
II)SuG.R. (x) es3
III) Su G.R. (:) es mayor que GR (x)
A¡ Solo II
O) Solo 111
B)5010 I
E)lyIlI
4.- Son lénninos semejantes:
C) I Y 11
A) 5hZ Y 5a '
C)99a' y (- ¿la' E)N.A.
B)3a'hr y 3,,' b
S.-¿Cuál es el cocr lCicnte nwnérico de laexprcsión
8.- Señale la afinnación Falsa :
A) Un polinomio completo no siempre está ordenado
B) Un polinomio ordenado no siempre eslá completo.
e) Un polinomio complt!lOde Erado 8. siempre tiene 9lérminos.
D) U n polinomio ordenado de grado ó, siempre tiene 7 términos.
E) Un polinomio complClopuede cstarordenado.
9.- Hallar el valor dc a para que el grado del si guiente polinomio sea 9 :
3x<'+1 y_4tJ+2 x" )'_5...l2
B)7 C)8 0)9 E)5
10.- El polinomio : J!'u- l + x'1I+1 yn + \,4 es homogéneo. Hallar : m +', A)4
0)6
B)3 C)5
E) No se puede detenninar
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¡W\'EL 8
11.· Hallar el grado del producto:
peX)::(6Xl+lf (.x2 +1+lf (r~-8) A) 15 8) 7 C)20 O) 17 E)l9
12.- Señale verdooero o falso respecto a estas expresiones :
1) fu ,)" e~ irracional.
11) 3x:r + y2 es racIOnal entera.
12)' 111) 3x+ I csradonal fmccionaria.
A)VFV
D)FFF
B)VFF
ElVVF qvvv
13.- Halle.r m + b. si se tiene que.
(20 - b) x2 + 4b, .2e " 7 x2 + 20x - 5
A)21 8) 17 C) 19 0111 E)I)
14.- Hal1ar el "'aJorden. paraquc el grado de , (2t·n
+2 r) .~ca 18
A}I 8)3 C)4 0)5
15.- Respecto a \ . la cxprc~lón ;
)02'\ ,72 2_,0 03~1j .. \ +, - x +x
A) Es de 1" grade B) Es de 2"' genda
C)E,dc3~ grado D)Esdcgrado6
El E, de grado ~ .
E)7
16.- SI clsiguicntc polinomiot.:s homogéneo :
p(' . y) = XS + ,," y2 + X"')"4 + ,.r-I
Hallar m +n +r.
1\)5 D\\I1 Eln
17.- El polinomio .
P(x. y) == Q\,f _ a 2 ),2 y + a\:)'2 _ a ol .\,3
Al Ea .. heterogéneo, onlcnooo y completo.
B) Es homogéneo. ordenado y completo.
(l) Es homogéneo. ordenado e incompleto.
D) Nocs~éneo. nocs<X'dcnadoni COITq)IeIO
E) Ninguna anhmor.
18.- SI el polinomio es completo. h.111ar 11.
P(l") = .,.".1 + 3xH+2 + x"t-) + 5
AH B)O C)I D)2 E)3
19 .• Indique Verdadero o falso:
1) ~)= \: .2 + 3\,·1 +2 cspolinomioenteroan.
H)ax2
yJ . cona constante es degrado absoIulO5.
lB) sen \' + .\ 2. e .. una cxprc!)lón algebraica.
AIVFF
D1VVF
B)FFF
E)FVF
20.- Dada. la expresión '
cm-v
Hallar: G.A. + G R (,) - G.R. (z)
A)3 B)5 C)8 0)9 E)12
21.-Si : (1l+2)x 2l .... '\ y .lb' l ; Ib_31.."'.nfS y:!afh-l
son s('mcj"n(cs~ !l.U suma es :
A)2t 7 \,2
D)_2x1 yJ
B) _.l5 y '
E)5,' )"
22.- &ñuJc l"C!<>pcclo a qoc v3nahJc. el ténnIl1O:
11 U' ¡;_. .. .licn: el mayor grado rcJativn \ " ,.
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A)u B)v C)x O» E)!
23.- Hallar n de tal forma que la expresi6n :
, 3x" ' + (2" Jx''') 7
!i.+1 + n x ~
sea de grado "3 . Luego respeclo al valor de 11
se puede afmnar .
A)2, 1 <11<2,5
C)4<,,<5
E)3<,,<4
24.- Los pohnomios :
B) 1,5<,,<2,2
0)0,5<n< 1
p(x)=2 (tln+n)l +lIu·2 • 211
R(x) = 4 (9x2 +8.,+ 1') son idénticos. Hallar P( - 1). si además se sabe quc : m>O
A)8 B) 12 C)-4 0)0 E) ·6
28.- Dctcnninnr la suma de coeflcientcs de P( t). sabiendo que su ténnino independiente es 17. además se cumple que:
p(x+ I)=(x+ l)(ax+2)+(a·l)(x+2)+ a
A) 34 B)27 C)8 0)9 E) 17
29.- Hallar el gtadodc:
A 6 . 8 24 . C 60 . 0120 .. _ ... (n-1) factores
,,(211+ 1) (20+3) (/1 ' + 1) (2/1+1) A) 6 8)--4 - -
(211+ 1) (2,,' - 5) C) 6
fI (n + 1) (,,2 +4) O) 6
/1 (/1+ I)(n' +/1-2) E) 4
30.- Conn:;t O,la siguicnlc expresión se puede reducir a monomiO:
11 " 2_ 1 xrJ -tl.l. 2x"(n+llu -u+! ( )" , 25.- Tenemos tul polinomiO p(x)ordcnadoycom-plctodc grado61J . Al suprimirloclos los términos + (1/ _ 2) _1"~+<l · 1 de cxponcnlC par. Quedan 82 ténninos. i.. Cuánto vale ,,? El coeficiente del monomio reducido es :
A)41 B)82 C)81 0)27 E)24
NIVELe
26.-Si : P(x)= 1 +x+x' + x' + .. , .. ,
Halle : P(I ·xl
A) 1 B)2 C)X O) , E)x+ 1
27,·5, '
Q<.x)=.x+2x 2 +3x~:¡ +4x' + ...... + IOOx tOO
Halle :Q(-I)
A)IOO 8)99 C)5Q 0)25 E)I99
A) ·4 8) · 5 C)2 0)3 E)4
31.- El polinomio :
x (ax 2 +bx+c) - 2r(b.\2 +cx+d) +2d. I
«J,-;--; es idénticamente nulo. Halle ' .yam..·d
All B)2 C)3 Dl4 E)5
. "l _l~ 32.- Stlaexprcslón : .¡ { .... , - . con 11 ~ 1
,+ ' es racional entera, (.De qué tipo es x " ?
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A) Racional colera B) RaciOOil1 fraccionaria
C) Irrac,onal
E)N A.
D» T rasccndcnte
33.· Encontrar el polinomio cuadrático F(x) que verifictl :
para luego indicar la suma de sus coeficientes:
A) 1 B)8 Cj2 0)9 E) 13
34.· La suma de los gmdos absolulos de Lodos los términos de un polinomio entero, bJmogéneo y completo de dos variables es 600. ¿Cuál cs su grado absoluto?
A) 12 B) 30 C)24 0)36 E) 25
35.· Si se cumple que
+ 5x" + c
Halle el valor de: (b + d )Q'
Al2 B)3 C)4 019 E) 16
36.·Si la expresión
es de grado cero, calcular "/J"
A) 48 B) 12 C)24 0)6 E) 16
37.· 5i :
p(x ;y)=(al)("+ 16) , "}~ . (/,,· + 0) x"J'
+ (b-c)x·u J '
~ un polmomio idcnticamcnlc nulo. Cakular "o+b+c"
Alg B14 Cj2 0)1 E)O
38.- Calcular:
AlI Bl2 0)4 ElQ
39.- C.I<ular. P(- I ; J'i +1 )dclsiguicnlc polinomio homogeneo,
A)-4 Bl-J'i -4 C) .fi -4
D) .fi ,4 E) 1
40.- 5; : p(x'+ r' ) " 1:' +x; hallar: P(ll
AI5 BI4 C)3 0)2 ElI
41.-5; · P(.\" l" a'¡b<+C) + b'(m +n)
+ b~(lI\: + b)' )
Q( , .. 'l = 9<I.L + 5b.,. • - (ne)"' (ac)"'
Halle el equivalcnlc de .
siendo : P{x, \) <> Q(r ; v)
C) 10 71
42.~ En el ~igUlcnlc fK)linomio homogcnco:
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calcular el valor de: 200 + 24n
A) 48 B)52 C)2ó O) 100 E)50
43.-Si : p( x' +2n+ 1): 6x' + lb,
P[F(x)]" 24x+ 12
proporcionar el valor de . F(n - 1)
A)2n
0)4(n · 114)
8)2,, - 2
E)4n
C)4n-2
44.- Se liene una función que verifica :
F(IIl+F(II - Il=;i:-¡ A F(I)=~
Luego la roid6n :
F(I)+ F(2) + F(3)+ F(4) + _______ _ .
es equivalente a :
A)2 8)2" C) ~ D) ~ E) 2'
45.- Inchear la suma de lodos los valores de "Il"
de tal modo que al simplificar '''''2 /t''''~., + ~ '1- r+ 1
se obtenga una E.A.R.E.
A)O 8) 1 C)2 D)3 El4
46.- Si la suma de los grados ahsolutos de los Lénnino.. .. de :
2h-14 h 1 M(x:,')" ax" -Sabl.'J)" +b)'
¿Qué valor asume "b'''?
A) 13 S) 14 OIS O) 16 EH7
47.-5i el polLnonuo :
p(x) " (,1>' - 4) x' + (ll" -2 )x+rI'-4
es idcnlicamcnlc nulo. Calcular el valor de
a' + ¡f + C'
A)6 S)7 C)8 D)9 E) ID
48.-Si : F(x)" Jx'+2FCx) : V XE R.
lal que : F(x) ~ 2 :
calct¡lru- : 2 DOO - F( JI 997' -1 )
A)O S)] 02 D)3 El4
49.- El polinomio complclO y ordenado :
P(x ;)~;;;;. x4"-1 + ).Arr- 2 y + ... +};" y4l1 - 2
+ y4n- 1
que ramhién es homogéneo. se vcrifica que la suma de los grados absolulos de sus ténninos es 240. según esto halle Ud. su grado de homogeneidad.
Al 20 E) 15 C)IO DlS E) 25
50.~ Si : p(x) y Q(x), son polinomios enterOs enxcumpliéndose que: p(xJ < > Q(x). SIendo además :
proporcionar la suma de todos los valors de "a".
A) 12
D) 17
BllO
E)NA
C)14
51.-Si: [FCx)J'F(I~x) ,,(1)' calcular el valor de : F(3)
A)2 8)5 C)-6 D)3 EH
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Se les da este nombre por ser el resuJtado de multaplicaciones indicadas, con el agregado de ser nolables porque estos resultados tienen formas que resultan ráciles de identificar y que pueden serescrilos en forma directa, sin necesidad de efectuar lodoslos pasos de la multiplicación.
4.1) TRINOMIO CVADRADO PERfECTO
(a+b)l' = a' + 2ab + b'
(a-bf ~ a' - 2ab + b'
4.2) DIfERENCIA DE CVADRADOS
(a+b) (a-b) = a' -b'
(011' + b ft ) (011'. b n ) = a 2n _ b Zn
4.~1 CVADRADO DE VN TRINOMIO
(o + b+c)2 = al +b1 +c2 + 2nb + ~ ... 2nc
= a 1 +bZ +c2 + 2(ab + be + ac)
1.· Si x es un número real distinto de cero, tal que 4 (x" + ,) ; 5 .2; entonces el valor de
(.+fr es:
e) ~ 7 D) -.. E)2 UNMSM92
ResoI"dÓD._
Podemos reconocer que la expresión, cuyo valor nos es solicitado, corresponde a un Trinomio Cuadrado Perrecto, por tanto 10 que nos proponemos es convertir de algún modo a la igualdad dada para que de ella pueda surgir un valor n~sariamente conocido.
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fJectuando transformaciones a partir del dato:
Transponiendo términos tendremos :
Erectuando en el primer miembro :
Sumando 2 a cada miembro:
[J ler miembro de la úllimaigualdad es un trinomiocuadrado perfeclo idéntico a la expresión que se busca :
5 4"
5 4"
13 4
RPTA.B
2.-Siy:JC+ -}; enlonceslBexpresión: x"+JC3 _ 4x2 +JC+ 1=0; seconvlerteen :
A} r'-2y+6=0
D} .-2(1"+21 - 6)' =0
Resoluclón.-
B} 1" -y-6=O
E} .-2(r -1'+6) UN/90
Nuestro trabajo consistirá en transfonnar la expresión dada, empJeando para ello la igualdad propuesta. De acuerdo con los distractores, es previsible elevar al cuadrado por kJ menos una ve2 a la condición del problema. Veamos :
Multiplicando Y dividiendo la expresión dada por x' :
Agrupando términos dentro del corchete se tendrá :
A partir de la condición dada se tiene :
X2[X2+X-4+~+~2]=O ..•. (1)
(x2+ ~2)+ (X +~)- 4 ........... (.) I
x+ X =y ~ X'+ J,= y'.2 x
Utilizando esta última relación en cada paréntesis de (.), se tendrá: (r - 2) + y. 4 .... (2)
Finalmente sustituimos (2) en (1) : .r2(,1 + y- s} _ O RPTA.C
3.- 5/: p-q-r=2 • Y. pq+pr=qr; entonces: P" +<1 +r . es/guBls:
A}4 B}-4 C}2 D}-2 E}O UNMSM90
Resolución.-
Elevamos la 1 ra condición al cuadrado: (p-q-r)' = 2'
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Desarrollando el cuadrado dellrinomio: p2 + q2 + , 2 _ 2pq _ 2pr + 2qr = 4 ..... (1)
De la 2da condición lenemos que : pq + pr = qr
Multiplicando ahorapor-2: - 2pq. 2pr = - 2q, ..... (2)
A conlinuaci6n reemplazamos (2) en (l) : p2 + q2 ... r 2 - 2qr + 2qr = 4
Eliminando ténninos semejantes:
4. a Diga en cuál de lo~ siguientes pasos se cometld el ~n'OI' :
JC=y 2 <D. x-~y' => x--xy~y'-"y
~ ~ -y' ~ ~ -xy ~ (H!1 (x-!1 ~x(x -!1 @ ® ® :) 1l+Y =11 ~ 2X=1I ~ 2;;::'
A)2 8)3 C)4 0)5
Res()ludÓU.-
(1) es correclo (a ambos lados se resta lo mismo)
(2) es conedo (se utiliza adecuadamente x = y)
(3) es correclo (se aplic~ diferencia de cuadrados)
E)6
RPTA.A
UPCH89
(4) parece correclo porque se climina(x -y). pero como x = y la diferencia (x -y) es igual a cero (O) Esto significa que se ha hecho :
(x+y) . O= x . O x+y=x
EsIO es absurdo puesto que no se puede dividir por cero. RPTA.C
5.- ClJlculs,: 445. 444 - 447. 443
AII 8)3 C)4 0)6 E)7
ResoIucIón.-
Esle modelo de ejercidos nos pcrn .. lilá apreciar la enonne utilidad de los productos nolables ¡,.\fa el calculo de operaciones aparen lemente tediosas, Veamos :·
tl.H'jcndo l: = 445,1a operación se convierte en; (x + 1) (.K - l). (x + 2)(x - 2)
Aplicando productos nolables se obtiene ;
y reduciendo lénninos seme:anlcs, outenemos : -1 +4= 3 RPTA.B
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4.4) CVDo DE VN BINoMIO •
(Q+b~ = a' + 3aZb + 3abZ + b 3
=0' +b'+3ab(0+b)J
(a - b)' = a' . 3a'b + 3ab' . b' EQUIVALENCIAS DE CAUCHY
= a'. b' ·3 ab(a·b)
4.5) SVMA y DIFERENCfA DE CVDOS .
(a+b) {a'·ab +b')=a' +b'
(a·b) (a 2 +ab+b') = a' · b'
4.6) CVDO DE VN' Í'lUNOMIO . . .' ,l,i ..• " .:- >.'; "
(a+b+e)' = a' +b' +e' + 3 (a + b) (b + e) (a + el
= aS +b3 +c3 + 3 (a + b + e) (ab + be + oc)· 3abc
= a' + b' +e' + 30' (b + el + 3b' (a + el + 3e'{a .o b) + 6 abe
= 3 (o + b + e){a' +b' +e'). 2{a' +b3 +e') + 6Gbe
4.'.) EQVIVA1.t;;NClA DE GAVSS
PROBLEMAS RESUE.LTOS (GRUPO 11)
6.-Sisecumpleque: x+y=6 , xy= 7 ; hallar el valor de x3 +- y3
A) 20 8)40 e) 60 D)80 E) 90
Resolución.-
PUCP91-1
Recordando el producto notable :
Reemplazamos los datos x + y = 6; xy = 7 :
Despejando la suma de cubos :
(X+y)3 = x'+y3+3xy(X+y)
63 = x'+ r' +3 . 7:6
x'+; = 63 ·3 , 7.6
finalmente obtenemos : x'+y3= 90 RPTA.E
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7. - Sabiendo que : 8 + b = IIb = 5 : calcular e/lIslor de :
A) ~ S) 1 C) ~ Resolución ••
A. ~rtir de las equivolencios vislas en los ilems 4.1 y 4.4, despcjarno5 convenientemenle para obtener :
a'+I>' = {a+/» '-2ab
c} +bJ = (a + b) [a2 _ ab+b2]
Si ahora 5Usliluimo!O los valores dados en la eondiC'ión del problema, tendremos :
a'+/>' = 5' -2 . 5 = J5
a3+b3 =5(15-5)=50
E.I valor pedido es : 15 +5 50 + 10
20 60 RP'L\.C
8. - Efectuar: Jl000_IOO1_l002_1003+ 1
A) 1 003 001 S) 1004001 C)' 002 001 D)' 005 DO' E) N.A.
Resolución.-
Es evidente que el valor de la expresión dada resulta muy tediosa de calcular si lo hacemos por las multiplicaciones indicadas. Sin embargo al rerunir a lasequivalencias, el cálculo puede resultar menos laborioso. Veamos ~
Haciendo: x = I 000 ; x + I = 1 001 : ....
De este modo la cantidad dentro del radical queda así : = x{x + 1) (,x + 2) (x + 3) + 1
Cambiando el Orden de los radores : = x (x + 3) . (x + 1) (x + 2) + 1
Desarrollando el producto en las llaves : :: (x2 +3x) .(x2 +3x + 2) + I
Efecluando I;!:I producto indicado : = (x2 +3x)2 + 2 (x2 +3x) + I
Podemos reconocer en la úllima expresión a un Tri- = [(x' + 3x) + 11' namia Cuadrado Perfecto :
Ahora si aplicamos eJ radical ; J(x2 +3x+ 1)2
Luegodeextraerrafzcuadradanosqueda : x2+3x+ I
Como x = 1 000 ; el valor de la expresión resultante es : 1 000 000 + 3 000 + 1 = ] 003 001 RPTA.A
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![Algebra en Babilonia[1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55cf9dd1550346d033af5848/algebra-en-babilonia1.jpg)
![Algebra Intermedia[1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55cf9c87550346d033aa234d/algebra-intermedia1.jpg)
