Alg Sup Funciones(2)

8/17/2019 Alg Sup Funciones(2)

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Funciones de Conjuntos

Recordemos: Sean A,B conjuntos y R A B una relación. Diremos queR es una función de A en B; si

8a 2 A [9!b 2 B; (a; b) 2 R]

Es decir,

8a 2 A ([9b 2 B; (a; b) 2 R] ^ [(8c 2 B; (a; c) 2 R) ) (c = b)])

Notación: En este caso, denotaremos a R como R : A ! B ó A R! B : Y

como para cualquier a 2 A, la b 2 B tal que (a; b) 2 R es única, denotaremos ab =: R(a): Es decir,

A R

! Ba 7! R(a)

Ejemplos importantes:1. Sea A un conjunto, la relación identidad, 1A = f(a; a); a 2 Ag es función.

Y vimos que es biyectiva.2. Sean X un conjunto y ; el conjunto vacío. Entonces

2.1. ; X = ;.2.2. Y si R := ; como relación, R es función ; ! X:La demostración la hicimos por vacuidad. Es decir, negando la proposición:8a 2 ; ([9b 2 X; (a; b) 2 R] ^ [(8c 2 X; (a; c) 2 R) ) (c = b)])

Negación:: [8a 2 ; ([9b 2 X; (a; b) 2 R] ^ [(8c 2 X; (a; c) 2 R) ) (c = b)])] es9a 2 ;; (: [9b 2 X; (a; b) 2 R] _ : [(8c 2 X; (a; c) 2 R) ) (c = b)]) es9a 2 ;; ([8b 2 X; (a; b) =2 R] _ [(8c 2 X; (a; c) 2 R) ^ (c 6= b)]) es una proposi-

ción Falsa.

Por lo tanto, la proposición 8a 2 ; ([9b 2 X; (a; b) 2 R] ^ [(8c 2 X; (a; c) 2 R) ) (c = b)])es verdadera y R : ; ! X es función.

2.3. Sean X un conjunto y f X : ; ! X la función vacía. Demostrar (porvacuidad) que f X es inyectiva.

2.4. Demostrar que la función f ; : ; ! ; es biyectiva. De hecho, f ; = 1; esla función identidad del conjunto vacío.

3. De…nición de Composición de funciones:

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Sean f : A ! B y g : B ! C funciones. Para que no haya confusión,denotaremos por Rf A B y Rg B C a sus respectivas relaciones. Es

decir,Rf = f(a; f (a)) 2 A B; a 2 Ag y Rg = f(b; g(b)) 2 B C ; b 2 Bg:La composición de f con g, denotada por g f : A ! C es la relación

Rgf := f(a; g(f (a))) 2 A C ; a 2 Ag:Es decir, para toda a 2 A, [g f ] (a) := g(f (a)) 2 C:3.1. gf es función. Es decir. demostrar que 8a 2 A [9!c 2 C; (a; c) 2 Rgf ] :3.2. Demostrar que la composición de funciones cumple las siguientes propiedades.a. Asociativa. Es decir,Sean f : A ! B , g : B ! C y h : C ! D funciones. Entonces (h g) f =

h (g f ):b. f 1A = f c. 1b g = g

4. Teorema. Sea f : A ! B una función.4.1. f es una función inyectiva , [8; : C ! A ([f = f ] ) [ = ])] :4.2. Más aún, si A 6= ;, entoncesf es una función inyectiva , 9g : B ! A; g f = 1A:En este caso, a g se le llama una inversa izquierda de f :4.3. Sean f : A ! B y h : B ! C funciones.4.3.a. Si f y h son funciones inyectivas, entonces la composición h f es

inyectiva.4.3.b. Sean f : A ! B y h : B ! C funciones. Si h f es inyectiva entonces

f es inyectiva.

4.4.Tarea. Dar conjuntos A; B,C y funciones f : A ! B y h : B ! C tales

que h f sea inyectiva y h no sea inyectiva.4.5.Tarea. Dar conjuntos A; B y f : A ! B función inyectiva con dosinversas izquierdas distintas.

5. Teorema. Sea f : A ! B una función.5.1. f es una función suprayectiva , [8; : B ! C ([ f = f ] ) [ = ])] :5.2. Más aún, si B 6= ;, entoncesf es una función suprayectiva , 9k : B ! A; f k = 1B:En este caso, a k se le llama una inversa derecha de f :5.3. Sean f : A ! B y h : B ! C funciones.5.3.a. Si f y h son funciones suprayectivas, entonces la composición h f

es suprayectiva.5.3.b. Si h f es suprayectiva entonces h es suprayectiva.

5.4.Tarea. Dar conjuntos A; B,C y funciones f : A ! B y g : B ! C talesque g f sea suprayectiva y f no lo sea.

5.5.Tarea. Dar conjuntos A; B y f : A ! B función suprayectiva con dosinversas derechas distintas.

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6. Teorema. Sea f : A ! B una función.f es una función biyectiva , 9!g : B ! A; g f = 1A: y f g = 1B::

En este caso a g se le denotará por f 1 y se le llama la inversa de f :6.1. Sean A y B conjuntos. Diremos que A y B son conjuntos biyectivos si

existe f : A ! B tal que f es biyectiva. En este caso se denotará por A ' B:

7. De…nición-Proposición. Sea f : A ! B una función.a. La imagen de f; Imf := fb 2 B; 9a 2 A; b = f (a)g (es conjunto por

axioma de comprensión).b. La siguiente es función y es suprayectiva:

f jImf : A ! Im f a 7! f (a)

y se le llama la restricción de f a Im f:

c. En A de…nimos la siguiente relación: 8a; a0 2 A; a a0 si y sólo sif (a) = f (a):

c.1. es una relación de equivalencia.c.2. Denotamos por A= := f[a] ; a 2 Ag al conjunto de clases de equiva-

lencia de A:c.3. De…nimos la siguiente que es función y es inyectiva:

f : A= ! B[a]

7! f (a)

c.4. Corolario. La siguiente función es biyectiva.

f jImf : A= ! Im f

[a] 7! f (a)

8. De…nición. Sean A y B conjuntos. Diremos que A y B son conjuntosbiyectivos si existe f : A ! B tal que f es función biyectiva.

9. De…nición. Sea A un conjunto. Diremos que A es un conjunto …nitosi existen n 2 f0; 1; 2; 3;:::g y f : f1;:::;ng ! A función biyectiva.

En este caso diremos que la cardinalidad de A; denotado por #A = jAj = n:9.1. En particular, j;j = 0:9.2. De…nición. Si A conjunto no es un conjunto …nito, diremos que A es

un conjunto in…nito.

10. Recordemos que una construcción de los números racionales es la

siguiente:Tomemos el conjunto Z (Znf0g) donde Z es el conjunto de los númerosenteros.

Sean (a; b); (c; d) 2 Z (Znf0g); diremos que(a; b) (c; d) si y sólo si ad = bc:10.1. es una relación de equivalencia.

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10.2. Denotaremos por ab

:= [(a; b)]

a laclase de equivalencia de (a; b) 2Z (Znf0g)

Y por Q :=ab ; (a; b) 2 Z (Znf0g)

y les llamamos los números racionales.

10.3. Tenemos la función suma en Q:

+ : Q Q ! Qab

; cd

7! ad+bc

bd

Notación: +ab

; cd

=: a

b + c

d

Y la función producto en Q:

: Q Q ! Qab

; cd

7! ac

bd

Notación: ab ;

c

d

=:

a

b

c

d

TAREA.10.4. Demostrar que si a

b 2 Q entonces a

b = a

b y a

b = a

b = 1

1 a

b:

10.5. Demostrar que (Q; +; ) es lo que llamamos un campo. Es decir,Sean a

b; cd

; ef

2 Q.+:1: Conmutatividad: a

b + c

d = c

d + a

b

+:2: Asociatividad: ab

+cd

+ ef

=

ab

+ cd

+ e

f

+:3: Neutro aditivo:9e 2 Q, 8 ab

; ab

+ e = ab

(= e + ab

).+:4: Inverso aditivo. 8a

b9 cd

(ab

+ cd

= e (= cd

+ ab

))

:1: Conmutatividad.:2: Asociatividad.

:3: Neutro multiplicativo.:4: Inverso multiplicativo.

Distributividad:d:1: 8 a

b; cd

; ef

2 Q se cumple que ab

cd

+ ef

=

ab

cd

+ab

ef

OBSERVACIÓN: Verán en algunos libros que cuando de…nen campo (ogrupo o anillo, etc.) piden primero que la suma y el producto sean cerrados.

Pero yo de…ní la suma y el producto +; : Q Q ! Q como funciones cuyocontradominio es Q. Esto implica que estas operaciones son cerradas.

10.6. Demostrar que el neutro aditivo (+.3) es único.10.7. Demostrar que 8 a

b; su inverso aditivo es único.

11. Sean A;B:C conjuntos y A B el producto cartesiano. Demostrar que11.1. A B ' B A:11.2. A (B C ) ' (A B) C 11.3. Sean A y B conjuntos no vacíos. Demostrar que las siguientes son

funciones y son suprayectivas.

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A : A B ! A(a; b) 7! a

y B : A B ! B

(a; b) 7! b

11.4. Además tienen la siguiente propiedad (que llamamos PropiedadUniversal del Producto Cartesiano):

8f : C ! A8g : C ! B; 9!' : C ! A B tal que A ' = f y B ' = g:Como ' es única la denotaremos por (f; g):

12. Demostrar que el conjunto de los números naturales N no es un conjunto…nito.

13. Demostrar la siguienteProposición: Sean A y B conjuntos …nitos, digamos jAj = n y jBj = m: Y

sea f : A ! B función.a) Si f es inyectiva entonces n m:b) Si f es suprayectiva entonces n m:

c) Si f es biyectiva entonces n = m:d) Si n = m entonces A ' B:

14. Sea f : Q !Q la función "mayor entero menor o igual que"

f : Q ! Zab

7! n

donde n ab

y 8m 2 Z tal que m ab

entonces m n:14.1. Demostrar que f es función suprayectiva.14.2. Describir las clases de equivalencia de la relación dada en (7.c).

15. Recordemos que en Z de…nimos una relación de equivalencia, la cual

denotaré por 2de la siguiente manera:8a; b 2 Z, a 2 b si y sólo si 2j(a b) (2 divide a a b). En este caso se dice

que a y b son equivalentes módulo 2.El conjunto de clases de equivalencia, Z=2 = f0 := [0]2 ; 1 := [1]2g donde 0

es el conjunto de los números pares y 1 el de los impares.A Z=2 se le denota también como Z2 = f0; 1g y se le puede dar estructura

de campo con las siguientes funciones:

+ 0 10 0 11 1 0

y 0 10 0 01 0 1

Demostrar que (Z2,+; ) es un campo.

16. Sea (R,+; ) el conjunto de los números reales con su suma y productousuales.

Dibujar en R3 := (R R) R los siguientes conjuntos.16.1. A B dondeA = f(x; y) 2 R R; x2 + y2 = 1g y B = fz 2 R;0 z 1g:

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16.2. El conjunto T:=([0; 1] [0; 1]) = el conjunto de clases de equivalenciade la siguiente relación en [0; 1] [0; 1]:

(a; b) (c; d) si (a; b) = (c; d) ó (a = c y b = 1 y d = 0) ó (a = c y b = 0 yd = 1) ó (b = d y a = 1 y c = 0) ó (b = d y a = 0 y c = 1)

Demostrar primero que es de equivalencia y luego dibujen T.16.3. El conjunto K:=([0; 1] [0; 1]) = el conjunto de clases de equivalencia

de la siguiente relación en [0; 1] [0; 1]:(a; b) (c; d) si (a; b) = (c; d) ó (a = c y b = 1 y d = 0) ó (a = c y b = 0 y

d = 1) ó (a = 1 y c = 0 y d = 1 b) ó (a = 0 y c = 1 y d = 1 b):Demostrar primero que es de equivalencia y luego dibujen K.¡Suerte!

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