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aletas y disipadores para aumentar el calor disipado por convección q = hA c (T - T ∞ ) aumentar h (mayor velocidad o densidad del flujo) reducir T ∞ ,(enfriando el fluido entrante) aumentar el área convectiva A c (a través de aletas) algunas geometrías características ideales: buen conductor de calor (si k = ∞→ T = T base ) maximizar A c , sin afectar el flujo Transferencia de Calor – p. 1/1
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aletas y disipadorespara aumentar el calor disipado por convección
q = hAc(T − T∞)
aumentar h (mayor velocidad odensidad del flujo)
reducir T∞, (enfriando el fluidoentrante)
aumentar el área convectiva Ac(a través de aletas)
algunas geometrías
características ideales:
buen conductor de calor (si k =∞→ T = Tbase)
maximizar Ac, sin afectar el flujo
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perfil de temperaturabalance térmico en elemento de aleta
qx = qx+δx + δqc
con qx = −kA(x)dTdx ,
qx+δx ' qx + δxdqxdx
resulta en
1
A
d
dx
(AdT
dx
)−hPkA
(T−T∞) = 0
con condiciones de borde resulta en el perfilT = T (x) y la disipación
q0 = −kA0dT
dx
˛̨˛̨x=0
sección rectangular:A = zt, P = 2(z + t)
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aleta rectacon A = cte y definiendo θ ≡ T − T∞
d2θ
dx2− hP
kAθ = 0 −→ θ(x) ∼ e±mx m ≡
√hP
kA
condiciones de borde:
1. base: θ(0) = θb = Tb − T∞
2. extremo x = L:cuatro casos:
A) disipación convectiva
B) extremo aislado
C) mantenido a temperatura cte.
D) aleta infinita (L→∞)sección rectangular:A = zt, P = 2(z + t)
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A: disipación convectiva en x = L
en la base θ(0) = θb y en el ex-tremo
−kA dθ
dx
∣∣∣∣x=L
= hAθ(L)
tomando θ(x) = C1emx + C2e
−mx
con m = (hP/kA)1/2 resulta en
T(x)
x L0
Tb
2 parámetros adimensionados:ξ1 = (hL/k)1/2 � 1
ξ2 = (PL/A)1/2 � 1
θ(x) = θb
[cosh(m(L− x)) + (h/mk) sinh(m(L− x))
cosh(mL) + (h/mk) sinh(mL)
]
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A: calor disipado
el calor disipado por la aleta es el que llega de la base
q = −kA dθ
dx
∣∣∣∣x=0
= M
[sinhmL+ (h/mk) coshmL
coshmL+ (h/mL) sinhmL
]
parámetro: M ≡ θb√hPkA
Obs.un balance de calor también da el calor disipado
q = hP
∫ L
0θ(x) dx+ hAθ(x = L)
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B: extremo aislado
en la base θ(0) = θb y enel extremo
dθ
dx
∣∣∣∣x=L
= 0
por tanto θ(x) = C1emx + C2e
−mx
resulta en
θ(x) = θbcosh(m(L− x))
cosh(mL)
T(x)
x L0
Tb
aproximación válida a caso A:
h/mk = (hA/kP )1/2 � 1
en la práctica t� z
A/P ' t/2→ ht/k � 1
solución simple: se puede usar como aproximación al caso (A)con error despreciable si ht/k � 1.
Transferencia de Calor – p. 6/17
B: calor disipado
el calor disipado por la aleta es el que llega de la base
q = −kA dθ
dx
∣∣∣∣x=0
= M tanh(mL)
parámetro: M ≡ θb√hPkA
(esta expresión aproxima la de QA con error despreciable si ht/k � 1).
Obs.un balance de calor también da el calor disipado
q = hP
∫ L
0θ(x) dx
Transferencia de Calor – p. 7/17
longitud corregida
al usar expresiones de (B) extremo aisladopara el caso (A) extremo convectivo,
se puede tener en cuenta el efecto de la convección en elextremo sustitutyendo
L→ Lc = L+ t/2
usando esta corrección,
θA(x) ' θbcosh(m(Lc − x))
cosh(mLc), qA 'M tanh(mLc)
con error despreciable si
ht/k . 0.06
Transferencia de Calor – p. 8/17
C: extremo a T fija
en la base θ(0) = θb y en el extremo
θ(x = L) = θL = TL − T∞
por tanto θ(x) = C1emx + C2e
−mx resulta en
θ(x) =θL sinh(mx) + θB sinh(m(L− x))
sinh(mL)
calor disipado:
q = −kA dθ
dx
∣∣∣∣x=0
= Mcosh(mL)− θL/θb
sinh(mL)
balance
q = hP
∫ L
0θ(x) dx+ hAθL
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D: aleta muy larga
en la base θ(0) = θb y en el extremo
θ(x→∞) = 0 (TL = T∞)
por tantoθ(x) = θbe
−mx
calor disipado:
q = −kA dθ
dx
∣∣∣∣x=0
= hP
∫ L
0θ(x) dx = M = θb
√hPkA
es un caso límite de (C) con L→∞ y θL = 0.
tanh(mL)→ 1 si mL→∞
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aletas rectas (en suma)
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efectividad de una aleta
εf =calor disipado por la aleta
calor disipado sin aleta=
q
hAθb� 1
solo si εf & 2 puede justifiar agregar aletas...
por ejemplo, para el caso D
εf =M
hAθb=
√kP
hA
mejora si
k
hL↗ PL
A' 2L
t↗ (aleta fina)
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resistencia térmica de aleta
Rf ≡θbq
(debe ser lo más pequeña posible)
para el caso D, por ejemplo
Rf =1√
hPkA
la resistencia de la base es Rb = θb/qb de modo que
εf =RbRf
el calor disipado por la base (sin aleta) es qb = hAθb
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eficiencia de aleta
el máximo calor se disiparía si θ = θb en toda la aleta...
ηf ≡calor disipado
calor disipado si θ = θb=
q
qmax. 1
calor máximoqmax = hPLθb + hAθb
por ejemplo, caso (B), extremo aislado: (M =√hPkAθb)
ηf =M tanh(mL)
hPLθb=
tanh(mL)
mL
que es approximadamente 1 si mL = L (hP /kA)1/2 � 1...→ la eficiencia mejora para buenos conductores hL/k � 1
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otras geometrías
el parámetro
mLc =
rhP
kALc ≈
r2h
ktLc
introduciendo Am = tLc
mLc 's
2h
kAmL
3/2c
la eficiencia ηf esta graficadapara diversas geometrías....el calor disipado se obtiene de
q = ηfh(PL+A)θb
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eficiencia conjunta
para caracterizar un disipador (array de aletas) se define
η0 =calor total disipado
calor total disipado si θ = θb=
qtqt,b. 1
calor total disipado a θ = θb
qt,b = hAtθb
con At = area total (incluyendo Ab, el áreaexpuesta sin aletas)
At = Ab + Af qt = hAbθb + ηfhAf θb
entonces (Af = área total de aletas)
η0 = 1− Af
At(1− ηf )
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ejemplo: transistor encamisado
transistor con disipador de alumino(k = 200 w/mK) opera a T1 = 80oC.en ambiente a T∞ = 20oC.* 12 aletas, sección rectangular* dimensionesr1 = 2 mm, r2 = 3 mm, r3 = 13 mm
L = r3 − r2 = 10 mm
H = 6 mm t = 0, 7 mm
* resistencia de contacto(transistor-encamisado de Aluminio)R̃′′ = 10−3 m2K/w por unidad de área* disipación convectiva (h = 20 w/m2K)
a) ¿potencia disipada?b) ¿eficiencia conjunta del disipador?c) ¿eficiencia de las aletas?
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