1.1.4. Superficie Extendida

La cantidad de calor que disipa un cuerpo a un medio fluido depende de su

temperatura y área de transferencia de calor: cuando no puede modificar la

superficie del cuerpo, extendiéndola mediante el uso de “aletas”: estas aletas

tiene diversas formas y tamaños que pueden adaptarse a superficies ya sean

planas, cilíndricas, esféricas u otras.

El cálculo de dichas aletas debe realizarse en forma teórica, concluyendo este

estudio con el concepto práctico de la “eficiencia de aletas”, cuya utilización es

muy rápida y efectiva dentro de la ingeniería moderna.

Diversos tipos de aletas se muestran n las figuras 1.1.4.a. y 1.1.4.b.

1.1.4.1. Clasificación de las Superficies Extendidas

Las superficies extendidas son muy diversas y cuando más complicadas son, más

difícil de obtener un modelo matemático de cálculo; la clasificación que

presentamos en la figura 1.1.4.1 se refiere a superficies extendidas que poseen

modelos matemáticos de cálculo.

Tipo de Aletas Nº Perfil Nombre Tipo de Sección

RE

CT

AS

1 RECTANGULAR Recta Constante

2 PARABÓLICA Recta Variable

3 PIRAMIDAL Recta Variable

4 HIPERBÓLICA Recta Variable

CIR

CU

LAR

ES

5 RECTA Curva Variable

6 HIPERBÓLICA Curva Variable

SE

CC

IÓN

CIR

CU

LAR

(ES

PIN

AS

)

7 CILÍNDRICA Circular Constante

8 PARABÓLICA Circular Variable

9 CÓNICA Circular Variable

10 HIPERBÓLICA Circular Variable

1.1.4.2. Ecuación General para Superficies Extendidas

Las superficies extendidas de uso práctico se caracterizan por lo siguiente:

El espesor de las aletas generalmente es pequeño, en consecuencia el

gradiente de temperaturas también es pequeño en esta dirección y el modelo

unidimensional es un método muy aproximado para su evaluación.

El material con el cual se los construye tiene una conductividad térmica

elevada a fin de transmitir mejor el calor.

La conductividad térmica para los metales y algunas aleaciones puede

considerarse constante.

Generalmente se les ubica del lado del fluido que tiene un coeficiente

pelicular pequeño.

La longitud de la aleta es relativamente grande con respecto a su espesor.

La hipótesis unidimensional nos ofrece un resultado diferente al

comportamiento real de una aleta. Por eso los cálculos con las ecuaciones no

son valores “exactos” para dichas aletas.

La hipótesis unidimensional implica que la temperatura en cada sección

recta sea constante.

La sección recta de la aleta puede ser constante o variable según las

necesidades de uso.

En consecuencia para la superficie extendida mostrada se puede escribir un

balance termodinámico a fin de obtener una ecuación general que nos permita

evaluar la distribución de temperaturas y el flujo de calor.

Balance Calor

+ = +

Matemáticamente

Con la serie de Taylor:

Remplazando en la ecuación matemática sin tomar en cuenta la

generación interna:

→

La ecuación general de conducción para superficies extendidas es:

Donde:

= Coeficiente combinado de transferencia de calor en .

= Área lateral de la superficie extendida en .

= perímetro del sólido diferencial en .

= Temperatura de la superficie exterior de la superficie extendida y

temperatura en toda la sección en la posición x en .

= Temperatura del medio fluido que rodea a la superficie extendida en .

Calor que ingresa por conducción por unidad de tiempo dθ

Calor generado por el cuerpo en el tiempo dθ

Calor que sale por conducción por unidad de tiempo dθ

Calor por convección y radiación en la superficie por unidad de tiempo dθ

1.1.4.3. Superficies Extendidas de Sección Recta Constante

En este tipo de superficies extendidas la sección recta puede adoptar diferentes

geometrías que pueden ser círculos, cuadrados, rectángulos, triángulos y

cualquier otra geometría que podamos imaginar siempre y cuando sea constante

a todo lo largo de la aleta.

En la figura indicamos un caso genérico que nos ilustra las características de este

tipo de superficies extendidas donde el perímetro “ ” es un valor constante.

La Ecuación Diferencial

La ecuación de Fourier:

Reemplazando en la ecuación general de conducción:

Si en la “superficie” de sección recta constante el perímetro , el área de la

sección recta y la conductividad térmica , se mantienen constantes,

entonces la ecuación diferencial puede escribirse de la siguiente manera:

La Ecuación de Distribución de Temperaturas

Haciendo:

La solución de la ecuación diferencial es:

Condiciones de Contorno:

Reemplazando en la ecuación integrada se tiene:

Resolviendo se encuentran las constantes de integración:

Reemplazando en la ecuación integrada se obtiene la ecuación de

distribución de temperaturas:

La Temperatura Mínima

Entonces:

Nota.- La temperatura mínima se obtiene reemplazando en la ecuación de

distribución el valor de “x” por “ ” entonces: de la aleta.

Las Ecuaciones para el Flujo de Calor

Flujo de calor en :

Si el gradiente de temperaturas es:

Reemplazando en la ecuación de Fourier:

Flujo de calor en :

Si el gradiente de temperaturas es:

Reemplazando en la ecuación de Fourier:

Flujo de Calor al Medio Periférico

Si: →

Con: , constantes →

Si:

→

Integrando:

Con: , usando , y simplificando, se obtiene:

1.1.4.4. Casos Particulares

En la práctica existen superficies extendidas cuyas características son

particulares, en ellas se usan ecuaciones simplificadas en forma más directa.

Existen 3 casos particulares simples y de utilidad práctica, cuyas ecuaciones

también pueden reducirse a partir de las ecuaciones de distribución de

temperaturas y flujo de calor. Estos casos particulares son:

a) Superficies extendidas de longitud infinita.

b) Superficies extendidas con un extremo adiabático.

c) Superficies extendidas en las cuales se considera el calor perdido en el

extremo libre, en contacto con el fluido.

En la figura 1.1.4.4. se muestran estas superficies extendidas.

a)

b)

c)

Superficies Extendidas de Longitud Infinita

Sea una superficie extendida de sección recta constante de longitud , con

temperaturas en sus contornos y ; como se muestra en la figura

1.1.4.4., para lo cual calcularemos la distribución de temperaturas y el flujo de

calor.

Ecuación de Distribución de Temperaturas

Utilizando la ecuación generalizada con la condición, para ,

se obtiene:

Ordenando la ecuación en forma conveniente:

Y si entonces: y

y

En consecuencia la distribución de temperaturas es:

Ecuaciones para el Flujo de Calor

El calor disipado por la superficie extendida se disipa por la superficie lateral “S” y

este calor ingresa por la raiz de la superficie extendida.

En consecuencia puede calcularse de dos maneras:

Usando el Flujo de Calor Conducido en la Raiz

Para la condición la ecuación de conducción se reduce a:

Multiplicando y dividiendo por para levantar la indeterminación cuando

Cuando , entonces:

Por lo tanto:

Usando el Flujo de Calor Convectivo en el Área Lateral de la Sauperficie

Extendida

,

Usando

El término y con se tiene:

Nota: El mismo resultado se obtiene reduciendo la ecuación general de calor

para la superficie extendida.

MAGNITUDES SELECCIONADAS DE LAS FUNCIONES BESSEL

Z Io(z) I1(z) 2 K0(z)/π 2 K1(z)/π

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

5.2

5.4

5.6

5.8

6.0

6.2

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

8.4

8.6

8.8

9.0

9.2

9.4

9.6

9.8

10.0

1.0000

1.0100

1.0101

1.0920

1.1665

1.2661

1.3937

1.5534

1.7500

1.9896

2.2796

2.6291

3.0193

3.5533

4.1573

4.8808

5.7472

8.7818

9.0277

9.5160

11.3019

13.4425

16.0104

19.0926

22.7937

27.2399

32.5836

39.0088

46.7376

56.0381

67.2344

80.7200

96.9800

116.5400

140.1400

168.6000

202.9000

244.3000

294.3000

354.7000

427.6000

515.6000

621.9000

750.5000

905.8000

1093.6000

1320.7000

1595.3000

1927.0000

2329.0000

*********

0.0000

0.1005

0.2010

0.3137

0.4329

0.5652

0.7147

0.8661

1.0810

1.3172

1.5986

1.9141

2.2901

2.7534

3.3011

3.9534

4.7313

5.6701

6.7927

8.1404

9.7585

11.7056

14.0462

16.8626

20.2528

24.3356

29.2543

35.1821

42.3283

50.9462

61.6419

73.8000

89.0300

107.3000

129.3800

156.0400

188.3000

227.2000

274.2000

331.1000

399.9000

483.0000

583.7000

705.4000

852.7000

1030.9000

1246.7000

1507.9000

1624.0000

2207.0000

*********

Infinito

1.1160

0.7095

0.4950

0.3599

0.2680

0.2028

0.15512

0.11966

0.09290

0.07251

0.05683

0.01170

0.08527

0.02790

0.02212

0.017568

0.013978

0.011141

0.028891*

0.027185

0.025643

0.024551

0.023648

0.022927

0.022350

0.021888

0.021518

0.021221

0.069832

0.087920

0.036382

0.035156

0.034151

0.033350

0.032704

0.032184

0.031765

0.031426

0.031153

0.049325

0.047543

0.046104

0.044941

0.044000

0.043239

0.042624

0.042126

0.0417226

0.0413962

0.0411319

Infinito

3.0100

1.3910

0.8294

0.5185

0.3832

0.2767

0.2013

0.15319

0.11626

0.08904

0.06869

0.00533

0.01156

0.03254

0.02556

0.02014

0.015915

0.012602

0.029999*

0.027947

0.026327

0.025044

0.024027

0.023218

0.022575

0.022062

0.021653

0.021326

0.021065

0.038556

0.036879

0.035534

0.034455

0.033588

0.032891

0.032331

0.031880

0.0311517

0.0312250

0.049891

0.047991

0.046458

0.045220

0.044221

0.043415

0.042763

0.0422360

0.0418100

0.0414360

0.0411870

En las columnas para K0(z) y K1(z) desde estos puntos hacia abajo las cifras ubicadas en los centésimos indica el # de ceros después del punto decimal.

Ejercicio

Con la finalidad de mantener un sistema a 400°C, es necesario disipar por lo

menos 180 Watt. Si se sabe que el otro ectremo se encuentrra mantenido a

100°C , por otro sistema como se muestra en la figura.

a) Verificar si se dsipan por lo menos 180 Watt, procedentes del sistema a

400°C.

b) Calcular cuanto es disipado hacia el aire.

c) Calcular cuanto es disipado al medio a 100°C.

Barra extendida cilíndrica:

Conductividad térmica:

Coeficiente pelicular superficie – aire:

Longitud:

Temperatura del aire:

Solucion:

Ubicando la superficie extendida en un eje de coordenadas se tiene:

Calculo del calor disipado por el sistema a 400 ºC

Si ;

→

→

→

→

Reemplazando valores

Luego el sistema a 400ºC disipa 210.86 W > 180 W, en consecuencia es

conforme esta condición.

Calculo del calor entregado al aire:

Reemplazando valores:

Calculo del calor disipado al medio a 100ºC

El calor disipado al medio a 100ºC es la diferencia de ambos calores

→

Este calor puede ser también obtenido mediante la expresión y el

resultado es el mismo

Problema

El sistema de sujeción para la galvanización de tubos consta de tres cables de

2cm de diámetro como muestra la figura. Cuando se sumerge el sistema en el

baño de zinc, calcular:

a) La temperatura en la intersección de los tres cables.

b) El calor que pierde la cuba de zinc por intermedio de los cables de

sujeción.

Coeficiente combinado entre el cable y el aire:

Temperatura ambiente:

Conductividad termica del cable:

Temperatura del baño de zinc:

Solucion:

Usando los siguientes sistemas coordenados:

Balance de Calor en el Sistema

Si:

Cable con Eje y

→

Cable con Eje x

Calculo del Calor Conducido en y=o (Superficie extendida con extremo

adiabático)

… (A)

Calculo del Calor Conducido en x = 0 (Suprficies Ext. Con T1 y T2 = 400°C)

… (B)

Igualando las ecuaciones (A) y (B):

→

Cálculo del Calor en x = 0

→

Cálculo del Calor en x = L

El calor que pierde la cuba por los cables es:

→

Ejercicio

Comparar la disipación de calor por unidad de masa de aletas rectangulares con

pirámides, instaladas en una pared de 600 °C y el coeficiente combinado es de

. Para una temperatura ambiente de . Cualquiera de las

aletas tiene 3 cm de espesor en la base y 10 cm de altura; el material es acero

inoxidable ( ); determinar también las ecuaciones de distribución de

temperatura.

Solución:

Calculo de la aleta piramidal

Valor B:

El flujo de calor es:

Si:

Para 1 m de ancho:

Masa de la aleta por metro de ancho:

Calor por unidad de masa que disipa la aleta piramidal:

Calculo de la aleta rectangular:

Valor de m

Calor por unidad de masa que disipa la aleta recta

La masa de la aleta es el doble de la piramidal entonces:

1.1.4.5. Eficiencia de Aletas y Eficiencia de Superficies Aleteadas

a) Eficiencia de aletas

Se define la eficiencia de una aleta como la relación entre el calor teórico

entregado y el calor disipado como si la aleta estuviese a la temperatura de la

raíz. Matemáticamente:

Donde:

El calor teórico se calcula con cualquiera de las ecuaciones teóricas calculadas

con los modelos matemáticos anteriormente dados y el calor a la temperatura

máxima de la raíz es aquel calor convectivo como si toda la aleta estuviese a

dicha temperatura, con respecto al medio ambiente. Por ejemplo:

Aleta Genérica

Si

Aleta Particular

b) Eficiencia total de las superficies aleteadas

Para la superficie aleteada que se muestra, se observa que existen partes o

superficies que no tienen aletas y que también ceden calor al medio fluido,

entonces para una superficie aleteada el calor cedido al medio fluido esta

compuesto por el calor cedido por las aletas más el calor cedido por la superficie

que no posee aletas.

Matemáticamente se puede expresar asi:

Esta ecuación básica puede adoptar diferentes formas incluso en función de la

eficiencia de las aletas como sigue.

Calor Disipado por las Aletas

La eficiencia de aletas es:

Calor de la Superficie sin Aletas

El Calor Total Disipado es entonces

Si el calor disipado se le define en función de una eficiencia total se puede

escribir:

Igualando estas dos últimas expresiones se tiene:

Conclusion

Si se conoce el calor teórico y los otros parámetros de las aletas también pueden

conocerse entonces el calor a la temperatura máxima de la raíz en consecuencia

la eficiencia de la aleta. Estos resultados han sido procesados y llevados a tablas

o graficas, donde con las relaciones dimencionales pueden obtenerse las

eficiencias de las aletas mas conocidas. Al final de la sección las graficas 1.1.4.5

se muestran eficiencias de aletas resumidas en un solo grafico y además

eficiencias para aletas particulares.

Rectangular

Af = 2wLc

Lc = L+(t/2)Triangular

Af = 2w[L2 + (t/2)2]1/2

nf = (I1(2mL) / I0(2mL))

ParabólicaAf = w[C1L2 + (L2 /2)ln(t/L + C1 )]C1 = [1+ (t/L)2]1/2 nf =

Rectangular

Af =2r2c =r2+(t/2)

nf =C2

C2 =

Ejercicio

Para un tubo transmisor de calor con fluidos interior y exterior de ,

con y , con ; al cual se le quiere

mejorar la transmisión de calor con aletas circulares de 1 cm de espesor, cuy

altura es de 3 cm y se encuentran espaciadas 1.5 cm. Calcular en cuanto

aumentará esta disipación de calor si las aletas con 50 y 60 W/mK

respectivamente y considerando que el tubo mencionado tiene los siguientes

diámetros:

,

Solución:

El flujo de calor es:

Calor disipado por el tubo sin aletas

La resistencias son:

→

Calor disipado por el tubo con aletas

La resistencias térmicas por unidad de longitud son:

Cálculo de :

Número de aletas: →

Área de las aletas:

Área no aleteada:

Área total de transferencia de calor: →

Calculo de la eficiencia total:

→

→

→

→

Utilizando el gráfico de eficiencias:

→

Por lo tanto: →

El calor es: →

PRIMERA PRÁCTICA DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA

Problema 1

Un cilindro compuesto, en cuyo interior se ha hecho el vacío, tiene alojada una

resistencia eléctrica cilíndrica de 0.05 m de diámetro y se encuentra a 300 ºC (en

su superficie).

a) Calcular la temperatura de interfase (T2).

b) Calcular el flujo de calor al medio ambiente.

Solución:

Flujo de Calor en el vacío

Flujo de Calor en el sólido 1 y 2

Flujo de Calor en el sólido 2 y 3

Flujo de calor en la película exterior

Iterando desde :

0 -201.0619 -0.3069 -0.5231 975.3508

58.5100 975.3508 59.9986 61.0476 975.2251

58.5037 975.2251 59.9921 61.0410 975.2252

a) La temperatura aproximadamente.

b) El calor disipado en el ambiente es aproximadamente.

Problema 2

Una barra de 30 mm de diámetro y de 0.8 m de longitud de acero ,

se encuentra unida en sus extremos a dos paredes que se mantienen a 160 ºC.

La temperatura ambiente es de 20 ºC y el coeficiente pelicular es de .

a) Hallar la ecuación de distribución de temperaturas.

b) Hallar la mínima temperatura de la barra y su ubicación.

c) Hallar el calor transferido por la barra al ambiente.

Solución:

Calculo de m

→

La ecuación de distribución de temperaturas

La posición de la mínima temperatura

La mínima temperatura en la barra

Calor transferido por la barra al ambiente

Problema 3

Calcular la temperatura máxima y su ubicación en la siguiente placa con

generación interna de calor.

Fluido i Fluido e

Placa Aletas

Solución:

Calculo de la temperaturas superficiales T1 y T2 (considerando que el flujo de calor

es igual en X = 0 y en X = L).

… (1)

, →

… (2)

De las ecuaciones (1) y (2):

Posición de la Temperatura Máxima:

Temperatura Máxima:

EXAMEN PARCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Problema 1

Un horno cilíndrico está formado por 3 capas de materiales diferentes (la pareces

no generan calor). Los materiales son los siguientes:

Ladrillo al cromo: ; Temp. máxima de operación 1500 ºC

Ladrillo al magnesio: ; Temp. máxima de operación 800

ºC

Ladrillo común: ; Temp. máxima de operación 300 ºC

Calcular el espesor de cada una de las capas del horno.

Fluido interior

Fluido exterior

Problema 2

Para calentar aire desde 15 ºC hasta 27 ºC, a presión constante, se utilizan dos

tubos con aletas circulares como se muestra en la figura. Calcular la cantidad de

kg/hr que deben pasar para las condiciones dadas.