aletas tdc

Tema 3. Conducción en régimen permanente unidireccional: superficies adicionales

- 35 -

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

3. TEMA 3: CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL: SUPERFICIES ADICIONALES 36

3.1 INTRODUCCIÓN 36

3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ALETAS 37

3.3 ECUACIÓN GENERAL DE LAS SUPERFICIES ADICIONALES 37

3.4 ALETA RECTA DE ESPESOR UNIFORME Y AGUJA DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE 39 3.4.1 Solución de la ecuación general 39 3.4.2 Caso A: flujo de calor en el extremo 40 3.4.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo 41 3.4.4 Caso C: aleta de gran longitud 41

3.5 ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE 42 3.5.1 Solución de la ecuación general 42 3.5.2 Caso A: flujo de calor en el extremo 43 3.5.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo 43 3.5.4 Caso C: aleta de gran longitud 43 3.5.5 Método de resolución gráfico 44

3.6 OTROS TIPOS DE ALETAS 45 3.6.1 Aleta recta de perfil trapezoidal 45 3.6.2 Aleta recta de perfil triangular 46

3.7 EFECTIVIDAD DE LAS ALETAS 47

3.8 EFICIENCIA DE LAS ALETAS 48

3.9 CALOR TRANSMITIDO POR UNA SUPERFICIE ALETEADA 49

Capítulo 2. Transmisión de calor por conducción

- 36 -

3. TEMA 3: CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL: SUPERFICIES ADICIONALES

3.1 INTRODUCCIÓN

Cuando en ingeniería se desea aumentar la disipación de calor entre una superficie (superficie primaria) y un fluido ambiente circundante, se recurre a aumentar el área de intercambio de calor por medio de las llamadas superficies adicionales o aletas, que se unen a la superficie primaria (ver Figura 3.1). Éste es el caso de los radiadores de calefacción en las viviendas, los radiadores e intercambiadores (intercooler) de los vehículos, las superficies de disipación de calor montadas en microprocesadores electrónicos, los motores de motocicleta refrigerados por aire, o los transformadores eléctricos.

hT

superficie

primariaTs aletas

hT

Ts

Figura 3.1. Adición de aletas (superficies adicionales) a una superficie primaria.

La adición de dicha superficie aumenta, a veces hasta en órdenes de magnitud, el área por la que se intercambia calor entre el objeto y el medio. Así, la transferencia de calor por convección aumenta, según dicta la ley de enfriamiento de Newton, )( ∞−= TThAQ SSconv

& . Sin

embargo, la situación no es tan simple ya que la temperatura de la superficie adicional (aleta) es más reducida que la de la superficie primaria original, y por tanto también disminuye la diferencia entre la temperatura de la superficie y la del fluido. Sólo en el caso de aletas con conductividad térmica infinita dicha temperatura se mantiene constante, y es por ello que las aletas se construyen siempre con materiales que son buenos conductores del calor. Para mayor dificultad, la adición de aletas puede disminuir el coeficiente de película del ambiente, especialmente en el espacio situado entre aleta y aleta, debido al efecto de encerramiento del fluido, el cual dificulta la aparición de corrientes de convección. En consecuencia, teóricamente el calor intercambiado no es necesariamente superior al que se transfiere en la configuración sin aletas, ya que debe considerarse no solo el aumento de área, sino también la disminución de la temperatura y del coeficiente de película. De todo esto se deduce que el intercambio de calor con aletas depende de: • Coeficiente de película de la aleta con el medio. • Conductividad térmica (material) y geometría de la aleta. • Relación entre el área añadida y el área que sirve de soporte a la aleta.

Dichas superficies adicionales siempre se encuentran en contacto con fluidos de bajos coeficientes de película (es ahí donde el potencial de aumento de la transferencia de calor es mayor, como se discute más adelante), y se realizan con materiales de alta conductividad térmica. Por ello, en el caso de intercambiadores agua-aire (por ejemplo, los radiadores de


- 37 -

calefacción), las aletas se encuentran en el lado del aire, ya que como se vio en el Capítulo 1 el coeficiente de película de un gas es, en general, menor que el de un líquido.

Además, un diseño correcto de una superficie aleteada requiere considerar no sólo el área superficial de las aletas, sino también su volumen. Aletas poco voluminosas ocupan menos espacio y, por tanto, permiten adosar un mayor número de ellas a la superficie primaria. Esta condición hace que, en general, la longitud de las aletas sea mucho mayor que su espesor, por lo que se puede considerar conducción unidireccional en la dirección en la que se extiende la aleta. Por simplicidad, en este texto se limita el estudio de la transmisión de calor con aletas al régimen permanente, es decir, a aquellas situaciones en las que la temperatura en cada punto de la aleta no cambia con el tiempo.

3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ALETAS

Las superficies adicionales suelen clasificarse en: • Aletas rectas, unidas a paredes planas. Pueden ser de espesor uniforme (Figura 3.2 A) o

variable (Figura 3.2 B) a lo largo de la aleta. • Aletas anulares, unidas concéntricamente a una superficie cilíndrica. Su espesor es, en la

mayoría de aplicaciones, constante (Figura 3.2 C). A diferencia del resto de aletas de espesor constante, en las aletas anulares la sección transversal varía con la distancia desde la superficie primaria.

• Agujas. Tienen forma cilíndrica y pueden unirse a cualquier tipo de superficie. Existen agujas de sección constante (Figura 3.2 D) y variable (Figura 3.2 E).

A

B

C

D

E

Figura 3.2. Tipos de aletas.

En la práctica, la elección del tipo de aleta óptimo en cada caso depende de varios factores. Los más importantes son el espacio disponible, la efectividad, los costes económicos y la pérdida de presión en el fluido que supone la adición de las mismas (especialmente en el caso de convección forzada).

3.3 ECUACIÓN GENERAL DE LAS SUPERFICIES ADICIONALES

Sea una superficie adicional, de geometría cualquiera, tal y como la presentada en la Figura 3.3, en la que se cumplen las siguientes hipótesis (además del ya mencionado régimen permanente): • Conductividad térmica constante K. • Generación interna de calor nula (g0=0). • Coeficiente de película (h) uniforme en toda la superficie de la aleta. • Longitud de la aleta suficientemente larga (conducción en régimen unidimensional).


- 38 -

Un sencillo balance de energía al elemento diferencial detallado en la Figura 3.3 conduce a la ecuación (3.1):

dA (x)S

A(x)

A(x+dx)

Qx Qx+dx

Qconv

dx

x

hT

Figura 3.3. Balance energético en una superficie adicional (aleta).

convdxxx QQQ &&& =− + (3.1)

Calor que entra y sale por conducción: xQ& , dxxQ +&

La ecuación anterior indica que la diferencia entre el calor que entra y sale de la aleta por conducción debe coincidir con el calor disipado por convección hacia el fluido circundante. Un desarrollo en serie de Taylor del calor transmitido por conducción en x+dx, despreciando los términos de segundo orden y superiores, ecuación (3.2), permite expresar el primer miembro de la ecuación (3.1) según la ecuación (3.3),

dxdx

QdQQ x

xdxx

&&& +=+ (3.2)

( )dx

dx

xAxddx

dx

QdQQ x

dxxx

)()(φ−=−=− +

&&& (3.3)

donde A(x) es, en cada punto de la aleta, el área transversal (sección transversal, en este caso), es decir, normal a la dirección de la conducción del calor.

Por otra parte, el calor disipado por convección (segundo miembro de la ecuación (3.1)) será,

( ) )()( xdATxThQ Sconv ∞−=& (3.4)

donde AS(x) es el área superficial (o área de la superficie lateral) de la aleta, es decir, área de contacto entre el fluido y la aleta.

Sustituyendo (3.3) y (3.4) en el balance energético (3.1), e introduciendo la ley de Fourier, se llega a la expresión (3.5):

( ) 0)(

)()(

)( =−−

∞

dx

xdATxT

K

h

dx

xdTxA

dx

d S (3.5)

Finalmente, definiendo la temperatura de exceso como ∞−= TxTx )()(θ , en cuyo caso

se cumple que dθ(x)=dT(x), y aplicando la regla de la derivada de un producto de funciones, se llega a la ecuación diferencial de la transmisión del calor en aletas, ecuación (3.6):

0)(

)(

)()()(

)(

1)(2

2

=−+dx

xdA

xA

x

K

h

dx

xd

dx

xdA

xAdx

xd Sθθθ (3.6)


- 39 -

3.4 ALETA RECTA DE ESPESOR UNIFORME Y AGUJA DE SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE

3.4.1 Solución de la ecuación general

La aleta recta de espesor uniforme y la aguja de sección transversal constante pueden tratarse de modo idéntico porque en ambos casos la sección transversal y el perímetro de la misma son constantes (Figura 3.4).

e

W

L

x

hT hT

L

x

R

T0 T0

Figura 3.4. Aleta recta de espesor uniforme (izquierda) y aguja de sección transversal constante (derecha)

Por ser el área A(x)=A constante, el segundo miembro de la ecuación (3.6) se anula. Además, en ambos caso el área de la superficie lateral (en contacto con el fluido) AS(x), y su derivada respecto de la coordenada x se pueden expresar en función del perímetro P de la sección transversal (ecuación (3.7)):

Pdx

(x)dAPx(x)A S

S =⇒= (3.7)

Con esto, la ecuación (3.6) queda simplificada según la expresión (3.8), siendo ésta una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, homogénea, y de coeficientes constantes,

Lx θ(x)mdx

θ(x)dθ(x)

AK

hP

dx

θ(x)d≤≤=−⇒=− 000 2

2

2

2

2

(3.8)

donde se ha definido e introducido el parámetro [ ]AK

Phm =−1m :

• Para aletas rectas, WeK

hWem

)22(2 += , y como e<<W se puede aproximar a

eK

hm

22 ≈ (valor

este último independiente de la anchura W de la aleta)

• Para agujas, RK

h

KR

Rhm

2

π

π22

2 ==

La solución de la ecuación (3.8) puede expresarse con funciones hiperbólicas de la siguiente forma:

[ ] [ ] Lx m(L-x) +Cm(L-x)Cθ(x) ≤≤= 0shch 21 (3.9)


- 40 -

donde conviene recordar que: 2

eech

yy

y−+

= ; 2

eesh

yy

y−−

= . Además, es fácil comprobar

que ( )

ydy

ydsh

ch= ,

( )y

dy

ydch

sh= , expresiones necesarias para la aplicación de las

condiciones de contorno que se realiza a continuación.

Para poder encontrar la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta es necesario conocer dos condiciones de contorno que permitan calcular las constantes C1 y C2. Una condición de contorno es, en la mayoría de casos, la temperatura en la base de la aleta, que debe coincidir con la temperatura de la superficie primaria (T(x=0)=T0) si no existe resistencia térmica de contacto entre ambas. Para la segunda condición de contorno, se presentan a continuación tres casos típicos.

3.4.2 Caso A: flujo de calor en el extremo

Las condiciones de contorno en este caso son las indicadas en la expresión (3.10),

L)θ(xhdx

dθKLxTT)θ(xx e

Lx

==−→==−==→==

∞ 0000 θ (3.10)

donde T0 es la temperatura en la base de la aleta (Figura 3.4) y he es el coeficiente de película del fluido en el extremo de la aleta (que, para ganar en generalidad, puede ser distinto al que se registra en el resto de la superficie, h).

Con estas condiciones de contorno, se obtienen los siguientes valores de C1 y C2 (expresión (3.11)) y perfil de temperatura en la aleta (ecuación (3.12)).

( ) ( ) ( ) ( )

mLmK

h+mL

mK

hθ

C

mLmK

h+mL

θC

e

e

e shchshch

0

20

1 == (3.11)

[ ] [ ]

( ) ( )Lx

mLmK

h+mL

m(L-x)mK

h+m(L-x)

θθ(x)e

e

≤≤= 0shch

shch

0 (3.12)

L

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

x (m)

150

160

170

180

190

200

θ(º

C)

=T

-T

(ºC

) m = 7 m-1

m = 10 m-1

m = 15 m-1

K = 100 W/(m·K)L = 0.05 m

he = 15 W/(m2·K)

θ0 = 200 ºC

8


- 41 -

Figura 3.5. Representación gráfica de la distribución de temperaturas en una aleta recta de espesor constante con flujo de calor en el extremo.

La Figura 3.5 muestra la representación gráfica de la ecuación (3.12) para distintos valores del parámetro m [m-1]. Lógicamente, la temperatura es decreciente a lo largo de la aleta, ya que el calor que se conduce a través de ella necesita de una disminución de temperatura según la ley de Fourier. Además, la pendiente se suaviza al aumentar la distancia desde la base de la aleta (x=0), ya que esta pendiente es proporcional al calor conducido (recuérdese la ley de Fourier), y éste es cada vez menor ya que parte se ha disipado por convección al ambiente. Ambas características son comunes en todos los tipos de aletas. Por último, la pendiente de la gráfica no puede anularse por completo en el extremo de la aleta (x=L), ya que la condición impuesta es la existencia de un determinado flujo de calor en dicho extremo.

El calor cedido por la aleta al ambiente puede calcularse integrando el calor transmitido por convección desde la superficie de la aleta (teniendo en cuenta que no solo la superficie lateral disipa calor por convección, sino también el extremo), ecuación (3.13). Sin embargo, resulta más fácil obtener el calor teniendo en cuenta que todo el calor disipado por la aleta debe ser conducido previamente a través de la base de la misma (x=0), ecuación (3.14):

∫ =+=)(

)()()(xA

eSconv

S

LxAhxdAxhQ θθ& (3.13)

( ) ( )

( ) ( )mLmK

h+mL

mLmK

h+mL

KmAθdx

xdKAxQQ

e

e

x

conv

shch

chsh)()0( 0

0

=−====

θ&& (3.14)

3.4.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo

Éste es el caso, por ejemplo, de una aleta muy fina o acabada en punta. Las condiciones de contorno corresponden a las expresiones (3.15). Sin embargo, también se puede resolver como una particularización del caso anterior para he=0. Los resultados para el perfil de temperatura y el calor transmitido se muestran en las ecuaciones (3.16) y (3.17), respectivamente.

000 00 =−→==−==→==

∞

Lxdx

dθKLxTT)θ(xx θ (3.15)

[ ]( )

Lx mL

m(L-x)θθ(x) ≤≤= 0

ch

ch0 (3.16)

( )mL=KmAθQ th0& (3.17)

3.4.4 Caso C: aleta de gran longitud

Ahora se supone que la aleta es suficientemente larga para que en su extremo se alcance la temperatura del ambiente, T∞. Por tanto, las dos condiciones de contorno es este caso son:

000 00 ==→==−==→= ∞ L)θ(xLxTT)θ(xx θ (3.18)

Su resolución se obtiene partiendo de cualquiera de los dos casos anteriores, y haciendo el límite de la distribución de temperaturas y el calor total transmitido por la aleta cuando mL→∞. El resultado obtenido se muestra en las ecuaciones siguientes:


- 42 -

Lx θθ(x) mx ≤≤= − 0e0 (3.19)

0=KmAθQ& (3.20)

3.5 ALETA ANULAR DE ESPESOR CONSTANTE

3.5.1 Solución de la ecuación general

Este tipo de aleta (Figura 3.6) suele emplearse, por ejemplo, en los tubos de ciertos intercambiadores de calor líquido-gas y en los cilindros de los motores refrigerados por aire.

ri

re

e

T0

Figura 3.6. Aleta anular de espesor constante.

Los símbolos re y ri representan los radios del extremo y de la base de la aleta, respectivamente, y e es el espesor, constante, de ésta. Las áreas de la sección transversal y de la superficie exterior (superficie de transmisión de calor por convección) crecen con la distancia desde la superficie primaria, según la expresión (3.21). Se observa que la sección transversal depende de la coordenada radial, lo que se va a traducir en una mayor complejidad en la ecuación diferencial y su solución.

)(π2)( π2)( 22S irrrArerA −== (3.21)

La ecuación (3.6) se puede escribir, utilizando coordenadas cilíndricas (ya que la coordenada radial es la más representativa de esta configuración), de la forma:

0)(

)(

)()()(

)(

1)(2

2

=−+dr

rdA

rA

r

K

h

dr

rdA

dr

rd

rAdr

rd Sθθθ (3.22)

Sustituyendo las expresiones (3.21) en la ecuación anterior, se obtiene la ecuación general de transmisión del calor en una aleta anular de espesor constante, ecuación (3.23). Se trata de una ecuación modificada de Bessel de orden cero, donde se ha definido el parámetro

[ ]Ke

hn

2m 1 =− .

ei rrrrndr

rd

rdr

rdr

Kw

h

dr

rd

rdr

rd≤≤=−+⇒=−+ 0)(

)(1)(0)(

2)(1)( 22

2

2

2

θθθ

θθθ

(3.23)

La solución general de esta ecuación es una combinación de funciones de Bessel modificadas, expresión (3.24), las cuales se encuentran tabuladas en el Anexo I,

)()()( 0201 nrKCnrICr +=θ (3.24) donde: I0 = función de Bessel modificada de primera especie, orden cero. K0 = función de Bessel modificada de segunda especie, orden cero.


- 43 -

Nuevamente hacen falta dos condiciones de contorno para encontrar el valor de las constantes de integración.

3.5.2 Caso A: flujo de calor en el extremo

De la misma forma que en el caso de aletas rectas, las condiciones de contorno son,

)rθ(rhdr

dθKrrTT)rθ(rrr ee

rr

eii

e

==−→==−==→==

∞ 00 θ (3.25)

siendo he el coeficiente de película en el extremo y T0 la temperatura en la base de la aleta.

Para calcular la derivada propuesta se deben emplear las relaciones recogidas en el Anexo I. Aplicando las anteriores condiciones de contorno en la ecuación (3.24), se obtiene el valor de las constantes C1 y C2 para el caso tratado y con ello la distribución de temperatura,

)()()(

)()()( 0

10

010

01

i

eee

eeei nrK

nrnKKnrKh

nrIhnrnKInrI

C

−

+−

=θ

(3.26)

)()()(

)()()( 0

01

100

02

i

eee

eeei nrI

nrIhnrnKI

nrnKKnrKhnrK

C

+

−−

=θ

(3.27)

donde: I1 es la función de Bessel modificada de primera especie, orden uno. K1es la función de Bessel modificada de segunda especie, orden uno.

Para calcular la cantidad de calor disipada por la aleta anular, basta con aplicar la ley de Fourier en la base de la aleta:

))()(()(

1211 ii

rr

nrKCnrICKAndr

rdKAQ

i

−−=−==

θ& (3.28)

donde C1 y C2 corresponden a las expresiones (3.26) y (3.27), respectivamente.

3.5.3 Caso B: flujo de calor despreciable en el extremo

Las nuevas condiciones de contorno, así como la distribución de temperatura en la aleta y el calor cedido al ambiente, vienen dados por las expresiones anteriores pero anulando he (ecuaciones (3.29) y (3.30)).

)()()()(

)()()()()(

0110

10100

ieei

ee

nrKnrInrKnrI

nrInrKnrKnrIr

+

+= θθ (3.29)

)()()()(

)()()()(π2

0110

1110

ieei

eieii

nrKnrInrKnrI

nrKnrInrInrKrKnwQ

+

−= θ& (3.30)

3.5.4 Caso C: aleta de gran longitud

Al igual que en el caso de aletas rectas se puede considerar aleta muy larga cuando la temperatura en el extremo coincida aproximadamente con la temperatura del medio (θ(re)=0).


- 44 -

Para calcular las nuevas expresiones (ecuaciones (3.32) y (3.33)) se busca el límite cuando nre→∞ en las ecuaciones anteriores (teniendo en cuenta las relaciones sobre límites de las funciones de Bessel mostradas también en el Anexo I). De esta forma:

)(

)()(

0

00

inrK

nrKr θθ = (3.31)

)(

)(π2

0

10

i

ii

nrK

nrKKnwrQ θ=& (3.32)

3.5.5 Método de resolución gráfico

Como se observa hasta ahora, la resolución de un caso de aletas anulares conlleva cierta complejidad matemática en las ecuaciones a emplear. Esto no es problema cuando se programan las ecuaciones y la resolución se realiza por ordenador, pero no es práctico cuando se necesita resolver un caso sin ayuda de programas informáticos. Por ello se desarrolla a continuación un método de resolución por medio de gráficas para el caso en el que el flujo de calor es despreciable en el extremo de la aleta (caso B).

Previamente, es útil definir tres parámetros característicos, expresión (3.33). El parámetro βan está relacionando con el coeficiente de película del medio, αan con el tamaño de la aleta, y finalmente ηan, único de los tres que no es constante, con la posición en la aleta. Es fácil comprobar que todos ellos son parámetros adimensionales.

eK

hrnr e

ean

22==β ;

e

ian

r

r=α ;

e

anr

r=η (3.33)

Sustituyendo estos parámetros en la ecuación (3.29), se obtiene (3.34):

( ))()()()(

)()()()(

0110

10100

anananananan

anananananan

KIKI

IKKIr

αβββαβ

βηββηβθθ

+

+= (3.34)

Esta ecuación es función de tres parámetros y, por tanto, no es fácil de representar en un gráfico. Sin embargo, es posible reducirla a dos parámetros si previamente se calcula la temperatura en el extremo de la aleta anular (r=re), ecuación (3.35), evaluando la ecuación (3.29) en re e introduciendo los nuevos parámetros definidos en (3.33).

( ))()()()(

)()()()(

1010

10100

anananananan

ananananee

IKKI

IKKIrr

βαββαβ

ββββθθθ

+

+=== (3.35)

La expresión anterior depende sólo de dos parámetros, βan y αan. De hecho, introduciendo una nueva función, G1(x,y), definida y calculada según la ecuación (3.36), es fácil convertir la ecuación (3.35) en la (3.37). La función G1(x,y) se encuentra representada gráficamente en el Anexo I.

( ))()()()(

)()()(),(

1010

10101

yIyxKyKyxI

yIyKyKyIyxG

+

+= (3.36)

),()( 10 ananee Grr βαθθθ === (3.37)

Además, dividiendo la ecuación (3.34) entre la (3.35), la temperatura de exceso queda expresada también en función de dos parámetros (ecuación (3.38)).


- 45 -

),(

1

)()()()(

)()()()(1

)(1

1010

1010 anan

e

anananananan

anananane

G

IKKI

IKKIr

βηθ

βηββηβ

ββββθθ =

+

+=

(3.38)

En resumen, para determinar la temperatura en un punto situado a una distancia r del centro de una aleta anular se procede, si se usa el método gráfico descrito en este apartado, de la siguiente manera: 1. Calcular los parámetros n, según su definición en la ecuación (3.23), y θ0. 2. Calcular los parámetros de la aleta βan, αan y ηan (expresión (3.33)). 3. Calcular la temperatura de exceso en el extremo de la aleta, θe, con la ecuación (3.37),

haciendo uso de la gráfica de la función G1 mostrada en el Anexo I. 4. Calcular la temperatura de exceso en la posición r de interés, ecuación (3.38), usando la

misma gráfica.

Así mismo, el calor disipado por la aleta anular con convección despreciable en el extremo también se puede calcular de forma gráfica según la siguiente expresión,

),()1(π 222

0 anananan GKwQ βααβθ −=& (3.39)

donde la función G2(x,y), representada nuevamente de forma gráfica en el Anexo I, se define como:

( )( ))()()()()1(

)()()()(2),(

01012

11112

yxKyIyxIyKxy

yKyxIyIyxKxyxG

+−

−= (3.40)

3.6 OTROS TIPOS DE ALETAS

3.6.1 Aleta recta de perfil trapezoidal

Sea la aleta que se muestra en la Figura 3.7, en la cual se puede suponer conducción unidireccional (eje x), siempre que su espesor sea despreciable comparado con su longitud, es decir, e<<L-xe. Como en el caso de aletas anulares, la sección transversal de la aleta no es constante a lo largo de su longitud, ecuación (3.41), lo que complica su resolución matemática. En la expresión (3.41) se ha incluido, además, el área de transmisión de calor por convección, AS(x), obtenida aplicando leyes de semejanza de triángulos. El parámetro f se

calcula como 2

21

+

L

e, aunque en la mayoría de los casos se puede considerar 1≈f

(porque e<<L).

L

xe

hT

x

x=0e

x-xe

T0W

ex/L


- 46 -

Figura 3.7. Aleta recta de perfil trapezoidal.

)fxW(xL

e)W(x-x

L

xxe)(x-xW(x)= AW

L

exA(x) ee

eeS −=

+=

−+= 2

212

22;

222

(3.41)

Introduciendo la expresión (3.41) en la ecuación general de las superficies adicionales,

ecuación (3.6), se obtiene la expresión (3.42), donde Ke

fhLp

2= :

01 2

2

2

=−+x

θp

dx

dθ

xdx

θd (3.42)

La ecuación diferencial (3.42) es nuevamente una ecuación de Bessel, cuya solución es:

Lx xxpKCxpICx e ≤≤+= )2()2()( 0201θ (3.43)

Para el cálculo de C1 y C2 se supone en este apartado conocida la temperatura de la base, T0, y despreciable el flujo de calor en el extremo de la aleta (x=xe), expresión (3.44), correspondiente al caso más habitual de los anteriormente mostrados (caso B).

000 =→==−==→==

∞

exx

edx

dθxxTTL)θ(xLx θ (3.44)

Calculando las constantes de integración y sustituyendo, se obtienen las siguientes expresiones para la distribución de temperaturas y la tasa de calor disipado al ambiente:

)2()2()2()2(

)2()2()2()2()(

0110

01100

LpKxpIxpKLpI

xpKxpIxpKxpIx

ee

ee

+

+= θθ (3.45)

)2()2()2()2(

)2()2()2()2(

0110

11110

LpKxpIxpKLpI

LpKxpIxpKLpI

L

pKwHQ

ee

ee

+

−=

θ& (3.46)

3.6.2 Aleta recta de perfil triangular

Este caso, Figura 3.8, es igual al de la aleta de perfil trapezoidal con xe=0. Así, se obtiene:

)2(

)2()(

0

00

LpI

xpIx θθ = (3.47)

)2(

)2(

0

10

LpI

LpI

L

pKeWQ

θ=& (3.48)

Figura 3.8. Aleta recta de perfil triangular.


- 47 -

Este caso es de gran aplicación práctica, por lo que es útil encontrar un método gráfico similar al empleado para aletas anulares con flujo de calor despreciable en el extremo. Para ello, sean los siguientes parámetros adimensionales (expresión (3.49)) y funciones (expresión (3.50)):

L

x η

Ke

fhLL pβ tt ===

282 (3.49)

(x)I

(x)I(x) G

(y)I

(yx)I(x,y)G

0

14

0

03 == (3.50)

Las funciones G3 y G4 se representan gráficamente en el Anexo I. Haciendo uso de estas funciones, las ecuaciones (3.49) y (3.50) se transforman, respectivamente, en (3.51) y (3.52):

),β(ηGθθ(x) tt30= (3.51)

)(βGL

β=KeWθQ t

t40 2

& (3.52)

3.7 EFECTIVIDAD DE LAS ALETAS

El objetivo de añadir superficies adicionales a un sistema es el de aumentar su superficie de intercambio de calor y, por tanto, la transmisión de calor por convección entre el sistema y el fluido que lo baña. Sin embargo, dicho aumento superficial lleva consigo un descenso en la temperatura superficial media (la temperatura de la aleta será menor, en cualquiera de sus puntos, que la temperatura de su base), tal y como se mencionó en el apartado 3.1. Este efecto provoca una disminución del calor transmitido (ley de Newton). Por tanto, se tienen dos efectos contrapuestos. En consecuencia, el objetivo de un buen diseño debe ser el de potenciar el aumento de área, y al tiempo minimizar esta disminución de temperatura. Es por ello que en este apartado y en el siguiente se presentan parámetros para cuantificar el beneficio logrado con la adición de aletas.

Se define la efectividad, εal, de una aleta como la relación entre el calor real transmitido por la misma y el que se trasmitiría si no existiese la aleta (Figura 3.9 y ecuación (3.53)). En esta ecuación A0 y θ0 son el área y la temperatura de exceso de la base de la aleta, respectivamente. La efectividad cuantifica el beneficio, en términos de transmisión de calor, logrado con la adición de aletas, y es un parámetro adimensional. Se supone en esta definición que la temperatura de la base, T0, no se ve modificada por la adición de aletas.

Qaleta

hA0θ0

Figura 3.9. Calor real disipado por una aleta (izqda.) y calor disipado si no existiera la aleta (dcha.)

00θhA

Qε aleta

al

&

= (3.53)


- 48 -

Evidentemente, el objetivo de todo diseño debe ser el de conseguir una efectividad, al menos, mayor que la unidad. No obstante, si la efectividad es sólo ligeramente mayor que uno, en raras ocasiones se justifica el coste económico asociado a la adición de aletas, por lo que en la práctica este criterio debe ser más restrictivo (εal>2).

Considérese el caso de una aleta recta de espesor constante (o aguja de sección transversal constante) y de longitud infinita. El numerador de la expresión (3.53) viene dado por la ecuación (3.20), por lo que la efectividad de esta aleta queda simplificada a la expresión (3.54),

hA

KP

θhA

KmAεal ==

00

0θ (3.54)

donde se ha introducido la expresión del parámetro m dada en la ecuación (3.8) y A=A0 (para el caso analizado).

La ecuación (3.54), aunque sólo válida para el tipo de aletas especificado en su deducción, proporciona unas guías cualitativas aplicables a todo tipo de aletas, con independencia de su tipología: • La efectividad es mayor al aumentar la conductividad térmica del material. Por ello las

aletas se fabrican con buenos conductores del calor, como las aleaciones de aluminio y cobre.

• Interesa una relación perímetro/área lo más alta posible o, en otras palabras, un buen diseño debe tratar de aumentar en lo posible la superficie específica de la aleta (relación área superficial/volumen). Así no sólo se consiguen aletas más efectivas, sino un ahorro de coste y menor peso.

• La efectividad aumenta con la disminución del coeficiente de película. En consecuencia, es más efectivo el uso de aletas cuando el fluido es un gas que cuando es un líquido, y aún mejor si se trata de transmisión de calor por convección natural en lugar de convección forzada. Es por ello que en los radiadores de los vehículos y viviendas (intercambiadores de calor aire-agua), las aletas están colocadas siempre del lado del aire.

Por último, haciendo uso de la analogía eléctrica introducida en el tema anterior, es posible expresar la efectividad de una aleta como un cociente de resistencias térmicas, ecuación (3.55), según la cual la resistencia térmica de la aleta (Rt,al) debe ser menor que la de la base (Rt,b.a.).

alt

abt

abt

altal

ab

alal

R

R

Rθ

Rθ

θhA

Q

Q

Qε

,

..,

..,0

,0

00..

====&

&

&

(3.55)

3.8 EFICIENCIA DE LAS ALETAS

Otro parámetro importante es la eficiencia de una aleta, η, también adimensional. La eficiencia se define como la relación entre el calor real transmitido por la aleta y el que se trasmitiría si toda la aleta se encontrase a la temperatura de la base, es decir, el calor transmitido en la situación ideal. Por tanto, la eficiencia de una aleta nunca puede superar la unidad. La ecuación (3.56) muestra la expresión matemática de la eficiencia, donde AS es el área de transferencia de calor de la aleta con el fluido que la envuelve. Aunque estrictamente habría de considerarse el área de la superficie lateral como la del extremo, es habitual despreciar esta última por ser mucho menor comparada con la primera.


- 49 -

0θhA

Q

Q

Q

S

al

ideal

al&

&

&

==η (3.56)

A continuación se calcula la eficiencia de varios tipos de aletas vistos anteriormente, suponiendo en todos los casos que el flujo de calor es despreciable en el extremo:

Aleta recta (aguja) de espesor (sección transversal) constante con flujo de calor despreciable

en el extremo

Sustituyendo el calor real transmitido por la aleta dado en la ecuación (3.17), el área de transferencia de calor de la aleta (AS=PL) y la definición del parámetro m (ecuación (3.8)), la expresión (3.56) se reduce a:

mL

mL

PLhθ

mLKmAθη

thth

0

0 == (3.57)

Aleta anular de espesor constante con flujo de calor despreciable en el extremo

Operando análogamente al caso anterior, se obtiene la ecuación (3.58):

),()(π2

),()1(π2

022

222

0

0anan

ie

anananan

S

al Gθrrh

GKe

θhA

Qη βα

βααβθ=

−

−==

&

(3.58)

Aleta recta de perfil triangular

En este caso, la eficiencia queda reducida a la expresión (3.59):

)(2

22

40

40

0t

t

tt

S

al GLfWθh

)(βGL

βKeWθ

θhA

Qη β

β===

&

(3.59)

Es importante notar que en cualquiera de las tres expresiones anteriores (y, en general, en cualquier tipo de aleta) se cumple que la eficiencia de las mismas tiende a la unidad cuando la longitud de la aleta tiende a cero. La contrapartida es que, en este caso, su efectividad tiende también a uno, valor muy reducido e inadmisible en la práctica. De forma contraria, cuando la longitud tiende a infinito, la eficiencia se anula, pero se consiguen valores elevados de efectividad.

Por último, la ecuación (3.56) permite calcular el valor de la resistencia térmica de una aleta, ecuación (3.60). Dicha resistencia se ha calculado utilizando el calor real disipado por la aleta al ambiente, y, por tanto, en la expresión (3.60) ya está incluida tanto la resistencia térmica asociada a la conducción del calor en el interior de la aleta como la resistencia térmica asociada al proceso de convección.

S

aletatS

alt

alhA

RhAR

Qη

θηθ 1

,0,

0 =⇒==& (3.60)

3.9 CALOR TRANSMITIDO POR UNA SUPERFICIE ALETEADA

En todas las aplicaciones en las que se emplean superficies adicionales no se usa una sola aleta, sino un conjunto de ellas, unidas a la superficie primaria. El calor total transmitido


- 50 -

por la configuración resultante no es sólo el calor trasmitido por las aletas ya que, además, debe considerarse el calor trasmitido desde la superficie libre (sin aletas) hacia el fluido circundante. El análisis se realiza dividiendo la configuración resultante en N conjuntos unitarios, compuestos cada uno por una aleta y una porción de superficie libre (Figura 3.10).

conjuntos

unitarios

Figura 3.10. Ejemplos de superficies aleteadas. Conjunto unitario.

El calor transferido por un conjunto unitario se calcula con la ecuación (3.61),

0..00..0.... )( θθηθθη hAAhAhAhAQQQ SucSlsSlsaluc −+=+=+= &&& (3.61)

donde los subíncices c.u. y s.l. se refieren, respectivamente, al conjunto unitario y a la superficie libre incluida en él.

Definiendo ..uc

S

AA

=ω , la ecuación anterior se transforma en la expresión (3.62),

donde al término ( )ωηω −+1 se le conoce con el nombre de eficiencia ponderada de la superficie aleteada, ηs.a.

0....0.... )1( θηθωηω ucasucuc hAhAQ =−+=& (3.62)

Por último, para calcular el calor total cedido por una configuración determinada dotada de N aletas, se multiplicará la ecuación anterior por N, resultando la ecuación (3.63),

0...... θη asasas hAQ =& (3.63)

donde As.a., definido como NAc.u., es el área total de la superficie aleteada que se encuentre en contacto con el fluido.

Introduciendo la analogía eléctrica para el calor transmitido por una superficie aleteada, e identificando términos con la ecuación (3.63), se obtiene el valor de la resistencia térmica de la superficie aleteada, ecuación (3.64). Al igual que en el caso de una sola aleta, esta resistencia ya tiene en cuenta el calor disipado por convección (desde las aletas y desde la superficie libre) y el calor transmitido por conducción a través de las aletas. En la práctica, si las aletas se encuentran fabricadas en el mismo bloque que su superficie primaria, entonces no existe resistencia térmica de contacto. En caso contrario, habrá de considerarse adicionalmente dicha resistencia, salvo en los casos en los que se despreciable.

......

1

asas

ashA

Rη

= (3.64)

aletas tdc

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