1. ENUNCIADOALETA RECTA: ALETA PARABOLICA

Determinar el perfil de una aleta y la eficiencia si la temperatura en la base es de 600°C y disipa calor en el ambiente de 20°C. La conductividad del material y el coeficiente de calor por convección del aire varían con la temperatura como:

h=0,29 (T−T ∞ )0,25 Btu

h ft2° F

T (K) 200 400 600 1000k (vatio/m*s) 10,3 13,5 17 24

La emisividad promedio es 0,1.

Seleccionar unas dimensiones típicas de aleta para realizar los cálculos. Resolver el problema mediante el método Shooting sencillo y calcular el calor transferido por la aleta.

Trabajar con:

m= 20

m= 10

Donde:

y=t(1 B− xL )

2

S'=LB+( L22t ) ln( 2 tL +B)area porunidad de ancho .

B=√1+ 4 t 2L2

2. BALANCE DE ENERGIA:

En primer lugar se encuentra un delta de área convectiva y conductiva para realizar el balance de la aleta parabólica:

∆ Aconductiva=2 t (1−∆ xL )

2

∗w

El área convectiva se calcula suponiendo que el diferencial es tan pequeño que la curva de la parábola se aproxima a una recta quedando de la siguiente forma:

∆x∆y

∆ Aconvectiva=∆ A radiacion=2w∆ x √1+( ∆ y∆ x )

2

Se plantea el balance de energía para un elemento diferencial de la aleta:

qx=qx+∆ x+∆qc+∆qR

qx+∆x−qx+∆qc+∆qR=0

lim∆ x❑

→

0

qx +∆x−qx

∆ x+∆ q❑

∆ x+∆ qR

∆ x=0

dqdx

+ lim∆ x❑

→

0

∆ qc

∆ x+∆ qR

∆ x

dqdx

+ lim∆ x❑

→

0

h∆ xw √1+( ∆ y∆ x )

2

(T ( x )−T ∞)

∆ x+∈σ (T x

4−T ∞4 )∆xw √1+(∆ y

∆ x )2

∆ x

ddx (−kA

dTdx )+hw √1+( dydx )

2

(T ( x )−T ∞ )+∈σ (T x4−T ∞

4 )w√1+( dydx )2

=0 (1)

Resolviendo las derivadas de la anterior ecuación tenemos lo siguiente:

ddx (−kA

dTdx )=−k

ddx (A dT

dx )+A ddx (−k

dTdx )+ dT

dxddx

(−kA )

ddx (−kA

dTdx )=−k (A d2T

d x2+ dTdx

dAdx )+A(−k

dTd x2

−dTdx

dkdx )+(−k

dAdx

−Adkdx )

ddx (−kA

dTdx )=−kA

d2Td x2

−kdTdx

dAdx

−kAd2Tdx

−AdTdx

dkdx

−kdTdx

dAdx

−AdTdx

dkdx

ddx (−kA

dTdx )=−2kA d2T

d x2−2k dT

dxdAdx

−2 A dTdx

dkdx

Para el cual:

A=2tw (1− xL )

2

❑⇒

dAdx

=−4 twL (1− x

L )❑

Como k varia en función de la temperatura entonces se realiza una regresión lineal con los datos dados en el enunciado obteniéndose:

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 11000

5

10

15

20

25

30

f(x) = 0.0172 x + 6.74R² = 0.999652442556478

k=0,017T+6,74❑⇒

dkdx

=0,017 dTdx

Además se halla la siguiente derivada:

y=t(1− xL )

2

❑⇒

dydx

=−2 tL (1− x

L )

Y convirtiendo el coeficiente de calor por convección a las unidades S.I.:

h=0,29(T x−T ∞)0,25

Btu

h ft2° F∗1055,0558J

1 Btu∗1h

3600 s∗10,763910 ft2

1m2 ∗1,8 ° F

1K=1,64669(T x−T ∞)

0,25 Jsm2K

Entonces reemplazando en la ecuación (1) del perfil de la temperatura obtenemos:

4w {[−t (0,017T x+6,74 )(1− xL )

2 d2Td x2

+ 2 tL (1− x

L ) (0,017T x+6,74 ) dTdx

−0,017 t (1− xL )

2

( dTdx )2]+ 12 √1+(−2 tL (1− x

L ))2

[1,6466963 (T x−T ∞ )1,25+∈σ (T x4−T ∞

4 )]}=0(2)Donde podemos eliminar el 4w.

3. METODO DE SHOOTING

Con el perfil de temperatura hallado anteriormente se procede a aplicar el Método Shooting, para encontrar la distribución de temperatura de la aleta.

Primero establecemos las condiciones del problema:

x=0 T=T0

x=L T=T

Luego transformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden así:

dTdx

=u ( x ) d2T

d x2=du

dx

Reemplazando en la ecuación (2) se obtiene:

{[−t (0,017T x+6,74 )(1− xL )

2 dudx

+2 tL (1− x

L )(0,017T x+6,74 )u(x )−0,017 t (1− xL )

2

u2(x)]+ 12 √1+(−2 tL (1− xL ))

2

[1,6466963 (T x−T ∞ )1,25+∈σ (T x4−T ∞

4 ) ]}=0(3)

Escribir el problema en términos de variable discreta. Para ello dividir el sistema en un número de incrementos y definir las derivadas finitas.

Tm+1−T m

∆x=Um

{[−t (0,017Tm+6,74 )(1− xL )

2(U m+1−U m

∆ x )+2 tL (1− xL )(0,017T m+6,74 )Um−0,017 t(1− x

L )2

Um2 ]+ 12 √1+(−2 tL (1− x

L ))2

[1,6466963 (T m−T ∞ )1,25+∈σ (T m4−T ∞

4 )]}=0(4)

Explicitando Tm+1 y Um+1

T m+1=U m∆ x+T m

Um+1=¿

Um+{ −12 t (1−x /L ) √1+(−2 tL (1− x

L ))2

[1,6466963 (T m−T ∞ )1,25+∈σ (T m4−T ∞

4 )]− 2L (0,017T m+6,74 )U m−0,017(1− xL )

❑

U m2

(0,017T m+6,74 )(1− xL ) }∆ x

4. ALGORITMO DE CALCULO:

ITERACION Y GRAFICO EN EXCEL

Para la iteración se dimensiona la aleta de la siguiente manera:

Largo aleta (L)= 3cm=0.03m

Ancho base aleta(t)=2cm=0.02m

TABLA DE RESULTADOS:

Luego de encontrar el perfil. Se supone un Um, y se da el tamaño de paso.

Luego con las dimensiones dadas y el tamaño de paso, se calcula Tm+1.

Luego se itera conforme va aumentando el ∆x.

Y a partir de los datos calculados anteriormente, se calcula el Um+1.

Después el Um supuesto, se realiza la corrección con un programa para dar un mejor resultado con un error de 0,01.

De esto se obtiene la temperatura al avanzar en X en la aleta.

Iteración para diez pasos (m=10)

m x Tm Um0 873,15 -42905,9246

0 0,003 744,432226 -38236,44311 0,006 629,722897 -32973,12032 0,009 530,803536 -27088,6123 0,012 449,5377 -20677,09544 0,015 387,506413 -14055,14715 0,018 345,340972 -7836,51336 0,021 321,831432 -2877,407837 0,024 313,199209 -47,82928178 0,027 313,055721 -3,056370279 0,03 313,046552 #¡DIV/0!

A continuación se presenta la grafica que muestra la relación en la aleta de la posición con la temperatura:

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

x(distancia en aleta)[m]

T(e

n a

leta

)[K

]

El error fue de 0.00903176 el cual se calculó como la T (0.027)-T (0.03).

Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.

Iteración para veinte pasos (m=20)

M X Tm Um

0 873,15 -44192,21790 0,0015 806,861673 -41987,8211 0,003 743,879942 -39653,72222 0,0045 684,399358 -37182,233 0,006 628,626013 -34568,2494 0,0075 576,77364 -31810,95855 0,009 529,057202 -28915,94496 0,0105 485,683285 -25897,69497 0,012 446,836742 -22782,19198 0,0135 412,663455 -19609,13789 0,015 383,249748 -16433,118

10 0,0165 358,600071 -13322,953611 0,018 338,615641 -10358,679312 0,0195 323,077622 -7626,1263113 0,021 311,638432 -5209,8679214 0,0225 303,82363 -3185,9850615 0,024 299,044653 -1616,3583316 0,0255 296,620115 -545,82906117 0,027 295,801372 -2,9100816518 0,0285 295,797006 -6,1302020319 0,03 295,787811 #¡DIV/0!

Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

x(distancia en aleta)[m]

T(e

n a

leta

)[K

]

El error fue de 0.00918327 el cual se calculó como la T(0.0285)-T(0.03).

Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.

Iteración para veinte pasos (m=50)

m X Tm Um 0 873,15 -44390,9571

0 0,00066667843,55602

9 -43438,5774

1 0,00133333814,59697

7 -42462,70022 0,002 786,28851 -41462,6478

3 0,00266667758,64674

5 -40437,7952

4 0,00333333731,68821

5 -39387,588

5 0,004705,42982

3 -38311,5621

6 0,00466667679,88878

2 -37209,3672

7 0,00533333655,08253

7 -36080,7927

8 0,006631,02867

5 -34925,7958

9 0,00666667607,74481

1 -33744,533910 0,00733333

585,248455 -32537,3974

11 0,008

563,556857 -31305,0462

12 0,00866667

542,686826 -30048,446

13 0,00933333

522,654529 -28768,9059

14 0,01

503,475258 -27468,1144

15 0,01066667

485,163182 -26148,1731

16 0,01133333

467,731066 -24811,6261

17 0,012

451,189982 -23461,483

18 0,01266667

435,548994 -22101,2343

19 0,01333333

420,814838 -20734,8558

20 0,014 406,9916 -19366,80121 0,01466667 394,0804 -18001,979822 0,01533333 382,07908 -16645,72223 0,016

370,981932 -15303,7254

24 0,01666667

360,779448 -13981,9898

25 0,01733333

351,458122 -12686,7363

26 0,018

343,000298 -11424,3166

27 0,01866667

335,384086 -10201,1138

28 0,01933333

328,583344 -9023,43918

29 0,02

322,567718 -7897,42993

30 0,02066667

317,302765 -6828,95158

31 0,02133333 312,75013 -5823,5099632 0,022 308,86779 -4886,1764133 0,02266667

305,610339 -4021,52937

34 0,02333333 302,92932 -3233,6143835 0,024

300,773577 -2525,9236

36 0,02466667

299,089628 -1901,39494

37 0,02533333

297,822031 -1362,4303

38 0,026

296,913744 -910,932491

39 0,02666667

296,306456 -548,362264

40 0,02733333

295,940881 -275,824971

41 0,028

295,756998 -94,2342359

42 0,02866667

295,694175 -4,85855243

43 0,02933333

295,690936 -14,5119411

44 0,03

295,681261 #¡DIV/0!

Grafica donde se relaciona la temperatura con la posición:

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.0350

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

x(distancia en aleta)[m]

T(e

n a

leta

)[K

]

El error fue de 0.0096746 el cual se calculó como la T(0.0293)-T(0.03).

Se usaron diferentes valores de Um para conseguir el resultado con un error menor a 0.01 y se realizó con la función “Buscar Objetivo”, de Excel.

CALCULO DE EFICIENCIA:

La eficiencia se calcula de la siguiente manera:

η=−kU 0 Aconductiva

q ficcticio

Donde:

q f=hA (T 0−T ∞ )

De lo anterior se obtiene:

Param=10η=¿79,5658812

Param=20η=¿81,9512174

Param=45η=¿82,3197647

5. CONCLUSIONES

En las gráficas se observa claramente la tendencia descendente de la temperatura con respecto a la posición en la aleta, y como se esperaba la temperatura en la punta de la aleta se acerca a la del ambiente.

En la tabla, el ultimo Um presenta una división por cero, lo que es lógico ya que la ecuación del área convectiva, como conductiva presenta el término (1-x/L), el cual al llegar a la punta de la aleta llega a cero, pero se puede considerar que el ultimo valor de Um es cero.

Según la geometría de la aleta se encuentra un perfil de temperatura, el cual es esencial para determinar que tan eficiente es la aleta dependiendo de las dimensiones que se le asignen.

Se comprobó que entre mas pequeña sea la partición se podrá calcular con mayor exactitud la eficiencia y la temperatura en cada punto.

6. BIBLIOGRAFIA

Holman, J.P. “Transferencia de Calor”, Mc Graw Hill, 8va Edición. 1998.

Incropera, F.P. “Fundamentos de transferencia de Calor”. Pearson Education,1999.