AL OTRO LADO DE LAS FRONTERAS DE LAS MATEMÁTICAS … · departamento de didÁctica y organizaciÓn...
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DEPARTAMENTO DE DIDCTICA Y ORGANIZACIN ESCOLAR
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN UNIVERSIDAD DE MLAGA
AL OTRO LADO DE LAS FRONTERAS DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES
Problemas y dificultades en el aprendizaje matemtico de los nios y nias de
tercer ciclo de Primaria
Tesis Doctoral presentada por Manuela JIMENO PREZ
Dirigida por
Nieves BLANCO GARCA
MLAGA, 2002
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A la memoria de Antonio Fortes, pues sin l este trabajo no se
hubiera ni iniciado. Y a mi madre, Victoria, que
siempre ha estado ah, para que yo pudiera ser y hacer lo que
quisiera ser y hacer.
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NDICE
INTRODUCCIN........................................................................................................................... 5
I : LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN PRIMARIA
1.1.- Introduccin ....................................................................................................................... 13 1.2.- Por qu ensear matemticas? ................................................................................ 14
1.2.1.- Contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico ...................................... 20 1.2.2.- Contribucin al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y poltico de la sociedad .....
22
1.2.3.- Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a enfrentarse a la vida en sus diferentes esferas ...........................................................................................
26
1.3.- Matemticas para todos ................................................................................................ 29 1.4.- Los currculos de matemticas para todos .................................................................... 34
1.4.1.- Propsitos .................................................................................................................. 35 1.4.2.- Contenidos ................................................................................................................. 37 1.4.3.- Aprendizaje matemtico y orientaciones didcticas .................................................. 40 1.4.4.- Evaluacin ................................................................................................................. 48
1.5.- El curriculum de matemticas desde una perspectiva cultural ................................ 51 1.5.1.- La enculturacin matemtica ..................................................................................... 52 1.5.2.- La etnomatemtica .................................................................................................... 54
1.6.- La prctica educativa en las aulas de Primaria ...................................................... 57 1.6.1.- La perspectiva japonesa opend-end ....................................................................... 57 1.6.2.- La educacin matemtica realstica (REM) ............................................................ 60 1.6.3.- Instruccin guiada cognitivamente (CGI) ................... 63
1.7.- Las aulas de matemticas: su cultura, sus miembros y sus prcticas ....................... 68 1.7.1.- La cultura en las aulas de matemticas ........................................................................ 68 1.7.2.- Los participantes en el aula : profesorado, alumnado ................................................... 73
1.7.2.1.- Las creencias de los profesores y profesoras ......................................................... 74 1.7.2.2.- Las percepciones de los estudiantes sobre las prcticas matemticas, el conocimiento desarrollado y su uso........................................................................................
77
1.7.3.- Las prcticas matemticas en las aulas: prcticas matemticas tradicionales versus prcticas matemticas progresistas..........................................................................................
80
1.8.- Las matemticas en la Educacin Primaria en Espaa ................................................ 86 1.8.1.- Introduccin ................................................................................................................... 86 1.8.2.- El Diseo Curricular Base para la Educacin Primaria (Junta de Andaluca) ............... 91
1.8.2.1.- Objetivos generales para la Educacin Primaria ..................................................... 93 1.8.2.2.- Los contenidos y la evaluacin ................................................................................ 94 1.8.2.3.- El curriculum de matemticas ................................................................................. 96
1.9.- Qu est sucediendo en los centros de Primaria? .................................................... 105 1.10.- Los resultados educativos de los alumnos y alumnas .............................................. 112
1.10.1.- Resultados en matemticas segn el gnero ............................................................ 131 1.10.2.- Resultados segn factores socioeconmicos y culturales .......................................... 137
II : DIFICULTADES DE APRENDIZAJE MATEMTICO
2.1.- Introduccin ...................................................................................................................... 141 2.2.- Las dificultades de aprendizaje ....................................................................................... 143
2.2.1.- Las definiciones de dificultades de aprendizaje ............................................................ 143 2.2.2.- Crticas a las definiciones ............................................................................................. 147
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- 2 -
2.2.3.- La cuestin del diagnstico ............................................................................................ 149 2.2.3.1.- Propuestas para el diagnstico ................................................................................ 155
2.3.- Dificultades de aprendizaje matemtico: consideraciones preliminares..................... 161 2.4.- Las perspectivas neurolgicas ........................................................................................ 164
2.4.1.- Acalculia ....................................................................................................................... 166 2.4.2.- Las dificultades de aprendizaje matemtico de los estudiantes ................................... 173
2.4.2.1.- Discalculia ................................................................................................................ 174 2.4.2.2.- Subtipos de dificultades de aprendizaje relacionadas con las matemticas ........... 176
2.4.3.- La neuropsicologa cognitiva ......................................................................................... 183 2.4.4.- La relevancia de los datos neuropsicolgicos para las DAM y crticas a las definiciones ...............................................................................................................................
188
2.5.- Perspectivas cognitivas ................................................................................................... 191 2.5.1.- Retraso o diferencia ? ................................................................................................. 193 2.5.2.- Patrones acadmicos y perfiles cognitivos de los EDAMs ............................................ 196
2.5.2.1.- El proceso de recuento ............................................................................................ 198 2.5.2.2.- Los hechos aritmticos bsicos ............................................................................... 199 2.5.2.3.- El clculo escrito ...................................................................................................... 204 2.5.2.4.- Las dificultades en la resolucin de problemas aritmticos verbales ...................... 213 2.5.2.5.- Relaciones entre dificultades en el rea de lenguaje y dificultades en matemticas ...........................................................................................................................
223
2.5.2.6.- Algunas consideraciones sobre la validez y relevancia de las investigaciones cognitivas ................................................................................................................................
228
2.5.3.- Una perspectiva de desarrollo ................................................................................... 230 2.6.- Programas de intervencin para mejorar los logros en matemticas de los EDAMs 239
2.6.1.- Consideraciones preliminares .................................................................................... 239 2.6.2.- Estudios de intervencin para mejorar las destrezas de clculo ................................... 243
2.6.2.1.- Intervenciones conductistas ................................................................................. 243 2.6.2.2.- Intervenciones cognitivistas ................................................................................. 245
2.6.3.- Resolucin de problemas ........................................................................................... 249 2.6.3.1.- Instruccin directa en palabras claves, esquemas base, etc. .................................. 250 2.6.3.2.- Utilizacin de la manipulacin con objetos concretos o materiales didcticos ........ 253 2.6.3.3.- Instruccin en estrategias cognitivas/metacognitivas ......................................... 255 2.6.3.4.- Instruccin guiada cognitivamente ....................................................................... 259
2.6.4.- Algunas consideraciones sobre estos estudios ......................................................... 261
III : LA EQUIDAD EN LA EDUCACIN MATEMTICA
3.1.- Introduccin ...................................................................................................................... 265 3.2.- Gnero y matemticas .................................................................................................. 266
3.2.1.- Introduccin ............................................................................................................... 266 3.2.2.- Un esbozo de las diferentes aproximaciones a las cuestiones sobre gnero y matemticas .............................................................................................................................
269
3.2.3.- Las diferencias entre gneros en matemticas ......................................................... 280 3.2.3.1.- Los chicos tienen mejores capacidades y habilidades matemticas que las chicas? ...................................................................................................................................
281
3.2.3.2.- Las chicas tienen diferentes creencias, actitudes y conductas respecto a las matemticas que los chicos? ................................................................................................
285
3.2.3.3.- Las chicas son tratadas y actan en las aulas de matemticas de forma diferentes que los chicos? .....................................................................................................
290
3.2.3.4.- Las chicas tienen diferentes estilos de aprendizaje que los chicos y necesitan un clima en el aula distinto al que necesitan los chicos?............................................................
293
3.2.3.5.- El problema no son las chicas, sino las matemticas ...................................... 295 3.3.- Educacin y clase social .............................................................................................. 300
3.3.1.- Introduccin ......................................................................................................... 300 3.3.2.- La escuela es neutra por qu fracasan los nios y nias de las clases ms bajas? . 304 3.3.3.- Las teoras de reproduccin social ........................................................................... 308 3.3.4.- Las teoras de Bernstein ........................................................................................... 314
3.3.4.1.- Cdigos y clase social ......................................................................................... 315 3.3.4.2.- El dispositivo pedaggico .................................................................................... 321 3.3.4.3.- Las reglas de interaccin de la prctica pedaggica .............................................. 323
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- 3 -
3.3.5.- Las teoras crticas en educacin ................................................................................ 326 3.3.6.- Clase social y educacin matemtica .......................................................................... 337
3.3.6.1.- Las capacidades y habilidades matemticas de los nios y nias de las clases ms bajas ...............................................................................................................................
338
3.3.6.2.- Teoras crticas de educacin matemtica ............................................................ 341 3.3.6.3.- Las diferencias en las aulas ................................................................................. 345 3.3.6.4.- La inclusin de actividades realistas en los currculos de matemticas, beneficia o perjudica a los nios y nias de las clases sociales ms bajas? ......................
356
3.4.- Equidad en matemticas, una cuestin de justicia social ....................................... 361 3.4.1.- Delimitando el concepto de equidad ...................................................................... 361 3.4.2.- Equidad en matemticas ........................................................................................... 370
IV : PROBLEMAS Y DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS: Una visin sociocultural (gnero y clase social), educativa y cognitiva
4.1.- El proceso de investigacin ......................................................................................... 379 4.1.1.- La puesta en marcha : Puntos de partida y mis primeros contactos con el centro ....... 381 4.1.2.- El establecimiento de las interrelaciones personales .................................................... 386 4.1.3.- el desarrollo de la investigacin ............................................................................. 388 4.1.4.- La recogida de informacin ....................................................................................... 394
4.1.4.1.- Las observaciones ................................................................................................ 394 4.1.4.2.- Cuestionario dirigido a los estudiantes ................................................................. 396 4.1.4.3.- Conversaciones y entrevistas .............................................................................. 398 4.1.4.4.- Pruebas que se han pasado a los nios y nias ............................................... 400 4.1.4.5.- Documentos ......................................................................................................... 401
4.1.5.- El tratamiento y anlisis de datos .......................................................................... 401 4.1.6.- La negociacin del informe ........................................................................................ 406
4.2.- Al otro lado de las fronteras de las matemticas escolares (Informe) ........................ 408 4.2.1.- Introduccin .............................................................................................................. 408 4.2.2.- Contexto .................................................................................................................... 409 4.2.3.- Creencias, expectativas y actitudes del profesorado sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas y cmo atender a la diversidad del alumnado .......................
417
4.2.4.- El alumnado ............................................................................................................... 429 4.2.4.1.- Una visin general ................................................................................................ 429 4.2.4.2.- Algunas diferencias entre gneros ....................................................................... 433 4.2.4.3.- Los nios y nias con problemas o dificultades en el aprendizaje de las matemticas ...........................................................................................................................
437
4.2.4.3.1.- Los nios y nias del bloque .................................................................... 439 4.2.4.3.2.- El papel de la motivacin ............................................................................ 450 4.2.4.3.3.- El esfuerzo por comprender ............................................................................ 453 4.2.4.3.4.- Las dificultades especficas que manifiestan estos nios y nias en el aprendizaje de las matemticas ..........................................................................................
454
4.2.5.- Las clases de matemticas ........................................................................................... 462 4.2.5.1.- Lo que sucede en el aula ..................................................................................... 463 4.2.5.2.- Las diferencias en el aula ..................................................................................... 473 4.2.5.3.- La evaluacin ...................................................................................................... 479
4.2.6.- Trabajando juntos fuera del aula ............................................................................... 481 4.2.6.1.- Desarrollo de la experiencia ................................................................................. 483 4.2.6.2.- Actitudes y conductas de los alumnos y alumnas ................................................ 486 4.2.6.3.- Comprensin y modos de resolucin ............................................................... 492
4.2.7.- Una breve recapitulacin ............................................................................................... 504
V : ATRAVESAR LAS FRONTERAS DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES : UNA DIFCIL TAREA
5.1.- Las matemticas escolares ............................................................................................. 513 5.2.- Las aulas de matemticas ............................................................................................ 518
5.2.1.- Las diferencias en las aulas de matemticas ............................................................ 528 5.3.- Equidad en Matemticas ............................................................................................... 538 5.4.- Los nios y nias de las clases ms desfavorecidas ................................................... 544 5.5.- Las dificultades cognitivas en el aprendizaje de las matemticas .............................. 554
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- 4 -
5.6.- Las nias ante sus dificultades en el aprendizaje matemtico .................................... 568
ATRAVESANDO FRONTERAS, ELIMINANDO BARRERAS ........................................................ 577
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 589
ANEXOS
Anexo 1 .................................................................................................................................... 645 Anexo 2 .................................................................................................................................... 649 Anexo 3 ................................................................................................................................... 651 Anexo 4 ................................................................................................................................... 653
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- 5 -
Esta institucin que llamamos escuela, es lo que es, porque as la hicimos. Si resulta inoperante, como dice
McLuhan; si aparta a los nios de la realidad, como afirma Nobert Weiner; si educa para la antigedad,
como defiende John Gardner; si no desarrolla la inteligencia como sostiene Jerome Bruner; si impide el
aprendizaje de lo que realmente importa, como recrimina Carl Rogers; si provoca alienacin como declara Paul Goodmann; si castiga la creatividad e
independencia como le imputa Edgar Fridenberg; en suma, si no realiza aquello que necesariamente debe
hacerse, podemos transformarla. Debemos transformarla. Creemos en esta posibilidad, porque son muchas las personas competentes que, de un
modo u otro, nos han ofrecido ideas claras e inteligentes que llevar a la prctica. Mientras tales
ideas y las alternativas que ellas sugieren, estn en nuestras manos, no tenemos ningn motivo para
abandonar la esperanza.
(Neil Postman y Charles Weingartner, La enseanza como actividad crtica)
INTRODUCCIN
La cuestin central en esta investigacin son los problemas y dificultades
en el aprendizaje matemtico de los nios y nias en la Educacin Primaria. Las
investigaciones sobre las dificultades de aprendizaje matemtico se han realizado
casi exclusivamente desde el campo de la psicologa, pero aunque los aspectos
psicolgicos son una parte importante en esta cuestin, este trabajo los encuadra
dentro de una perspectiva ms amplia considerando el contexto en el que se
llevan a cabo los aprendizajes y los antecedentes socioculturales de los
estudiantes.
Los aprendizajes acadmicos se realizan dentro de un contexto escolar,
con sus normas y prioridades y en l se determina cules son los conocimientos
matemticos que deben aprender los estudiantes y cmo deben hacerlo; la
enseanza se realiza a travs de unos profesores que tienen sus propias ideas
sobre las matemticas y la forma de ensearlas; profesores y profesoras que
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Manuela Jimeno Prez
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enjuician las capacidades de sus estudiantes y les asignan unas expectativas de
futuro y todo ello influye de manera considerable en el aprendizaje de los
estudiantes y en la percepcin de ellos mismos como aprendices de matemticas.
Por otra parte, algunas investigaciones han subrayado la influencia del gnero en
el aprendizaje matemtico y en las actitudes de los estudiantes hacia esta
materia. Adems la literatura existente, aunque no muy extensa en esta cuestin,
parece indicar que existen ms nios que nias con dificultades de aprendizaje.
Con el propsito de analizar estas cuestiones comenc la investigacin con una
serie de interrogantes. La primera de ellas sera por qu no aprenden los nios y
nias las matemticas escolares?, pero ante esta pregunta surgen muchas otras:
qu es lo que se pretende que aprendan los nios y nias sobre las
matemticas?, por qu deben aprenderlo?, quines deciden lo que deben
aprender?, cmo se les ensea?, cmo determinar lo que han aprendido o lo
que no han aprendido?, qu sucede en el aula y fuera de ella para que la
enseanza recibida produzca efectos diferentes en el aprendizaje de las nias y
los nios que se supone que tienen capacidades similares?, cmo viven los
nios nias sus dificultades en el aprendizaje de las matemticas?, cules son
los problemas y dificultades en el aprendizaje de las matemticas de las nias y
los nios?, etc. Estas son slo algunas de las cuestiones, pues de cada una de
ellas surgen otros interrogantes.
El marco en el que se inscribe este trabajo es el de la investigacin
cualitativa, en particular un estudio de caso. Los procesos de enseanza y
aprendizaje se producen dentro de un contexto determinado y estos son nicos.
Para tratar de hacer visible qu es lo que sucede en las aulas y las razones que
hay detrs de ello y que dan sentido a las actuaciones del profesor y profesora y
de cada uno de los estudiantes que conforman el aula, lo que determina las
prcticas matemticas en las clases, los problemas y dificultades que encuentran
los nios y nias en los aprendizajes acadmicos, etc., es necesario sumergirse
en las aulas, participar en las situaciones que all se producen y se desean
investigar. Situaciones complejas , pues estn influidas no slo por lo que
acontece dentro de las aulas, sino por el entorno institucional en el que se
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Introduccin
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desenvuelven y los antecedentes socioculturales, experiencias, sentimientos,
actitudes intereses, expectativas,, de cada uno de los componentes del aula.
En un estudio de caso las cuestiones a investigar se van reformulando a lo
largo de la investigacin. Este trabajo se ha desarrollado en cuatro aulas de
matemticas de tercer ciclo de la Educacin Primaria y al entrar en las aulas, en
un contexto particular, van surgiendo aspectos no considerados, al menos
explcitamente, y algunos de estos aspectos van cobrando una mayor relevancia
que otros. En este estudio de caso la presencia de nios y nias de clase social
baja y con graves problemas en los aprendizajes acadmicos hizo necesario
incorporar la clase social como un aspecto importante en los problemas y
dificultades de aprendizaje matemtico de las nias y nios.
La realidad es algo complejo, cambiante e interpretable. Los diversos
aspectos que pueden llegar a hacernos comprender lo que percibimos son como
hilos que se entrecruzan y entrelazan y a veces es difcil desenmaraar el ovillo
que se forma y nos presenta los hechos. Algunos hilos pueden perderse, otros
estn mezclados y an algn otro puede no ser reconocido. En este trabajo se
han considerado mltiples aspectos: cognitivos, educativos, gnero, clase social,
actitudes, afectos y sentimientos, etc., en un intento de sacar a la luz lo que
puede determinar e influir en los problemas y dificultades en el aprendizaje
matemtico de las nias y nios. Haber prescindido de algunos aspectos habra
reducido la complejidad y probablemente hubiera permitido una mayor
profundidad en otros aspectos, pero pienso que es importante considerar esta
cuestin dentro de un amplio contexto tal y como indica Herbert Ginsburg (199
:31): una visin holstica que tenga en cuenta al nio por completo y la ecologa
de la escuela. Aunque no tengo la seguridad de haber conseguido plasmar en
las pginas siguientes todo lo que deseaba y ha estado presente a lo largo de
todo este trabajo, o no haber dejado atrs algn aspecto importante y, soy
consciente de que mis propias creencias y mis puntos de vista han influido en la
visin que se presenta.
Por otra parte, la interpretacin de los datos obtenidos con el trabajo de
campo necesita recurrir a las diversas teoras que se han ocupado de estas
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Manuela Jimeno Prez
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cuestiones, teoras que permitan interpretar y dar forma al conocimiento surgido
desde la prctica y que propicie la generacin de nuevo conocimiento. No es fcil
construir conocimiento terico a partir de una situacin prctica ni tratar de
interpretar y esclarecer una situacin prctica a travs del conocimiento terico.
Los aspectos considerados han sido muy diversos y ello dificulta tratarlos todos
ampliamente desde una perspectiva terica. Hay tres hilos conductores en los
propsitos de la investigacin y el informe y ellos han servido para elaborar la
base terica:
Aspectos educativos
Dificultades de aprendizaje
Aspectos referentes al gnero y clase social englobados bajo la cuestin
de la equidad en la educacin matemtica.
El primer captulo, La educacin matemtica en la Educacin Primaria,
tiene dos partes diferenciadas. En la primera se presentan algunas
consideraciones sobre la educacin matemtica en la que se ha prestado una
especial atencin a los propsitos y razones para la educacin matemtica y la
visin de una matemtica para todos y por todos (Volmink, 1994: 58). La
segunda parte presenta y analiza el curriculum de matemticas para la Educacin
Primaria que establece la LOGSE y algunas cuestiones referentes a cmo el
nuevo marco educativo se refleja en los centros y en las aulas de Primaria,
terminando con los resultados educativos en matemticas de los nios y nias de
Primaria y las diferencias existentes entre nias y nios en estos resultados y
entre estudiantes procedentes de distintas clases sociales.
El captulo segundo, Dificultades de aprendizaje matemtico, se sita en
el campo de la psicologa. En l se exponen las dificultades especficas en
matemticas que pueden presentar los nios y nias en esta etapa educativa y
los programas de intervencin desarrollados. Se ha incluido una breve visin
histrica sobre este campo de investigacin y la perspectiva neurolgica, aunque
se presta mayor atencin a las perspectivas cognitivas, pues los orgenes han
tenido una gran influencia en la conceptualizacin y la construccin de lo que se
entiende por dificultades de aprendizaje.
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Introduccin
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El tercer captulo, La equidad en la educacin matemtica, tiene tres
partes. La primera se ocupa de las cuestiones sobre gnero y matemticas, en
ella se exponen las diversas aproximaciones a estas cuestiones y las
investigaciones referentes a las diferencias por gnero en matemticas tanto en
el aprendizaje como en las actitudes y creencias. La segunda parte se ocupa de
la influencia de la clase social en los resultados educativos abordndolos desde
diferentes perspectivas y particularizando al final en la educacin matemtica. Por
ltimo, se engloban las cuestiones de gnero y clase social en el marco de la
equidad en la educacin matemtica, en la necesidad de un sistema educativo
ms justo y equitativo.
En el cuarto captulo, Los problemas y dificultades en el aprendizaje de
las matemticas de los nios y nias de tercer ciclo de Primaria, se expone
en primer lugar cmo se ha ido desarrollando la investigacin, las cuestiones de
partida, los instrumentos utilizados, el tratamiento de la informacin obtenida, etc.
y a continuacin el informe; informe al que he titulado Al otro lado de las
fronteras de las matemticas escolares y que da ttulo a esta tesis.
El captulo quinto, Atravesar las fronteras de las matemticas escolares
: una difcil tarea, realiza un anlisis terico del informe, estructurndolo a partir
de los aspectos que he considerado ms relevantes y tratando de establecer una
continuidad entre los diferentes aspectos: las matemticas escolares, las aulas de
matemticas, equidad en matemticas, los nios y nias de las clases ms
desfavorecidas, las dificultades cognitivas en el aprendizaje de las matemticas y
las nias ante sus dificultades en el aprendizaje matemtico.
Este trabajo termina con, Atravesando fronteras , eliminando barreras.
No se puede considerar un captulo, sino reflexiones finales. Bajo este epgrafe se
intenta exponer algunas consideraciones que puedan contribuir a eliminar
algunos obstculos con los que se enfrentan los nios y nias con problemas y
dificultades en matemticas, consideraciones que surgen del trabajo realizado con
los nios y nias y mis observaciones. Estas pginas no son un punto final, sino
un posible punto de partida para conseguir una mejor educacin matemtica para
todos y todas.
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Manuela Jimeno Prez
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Para terminar, quisiera desde estas pginas agradecer a todas aquellas
personas que han contribuido a que este trabajo fuera posible. En primer lugar a
los profesores y profesoras de las aulas en las que he estado pues me han hecho
sentirme incluida en ellas y siempre han estado dispuestos a conversar, y a
proporcionarme aquello que necesitaba o quera hacer. A la profesora de
Educacin Especial que me abri las puertas de su aula, con la que he
conversado en mltiples ocasiones y cuyos comentarios y observaciones me han
ayudado mucho en mi trabajo, a la orientadora del centro y la profesora de
Audicin y Lenguaje. Todos y todas han contribuido a que pudiera desarrollar mi
trabajo en el centro y elaborar las informaciones. Tambin tengo que agradecer su
acogida a los restantes profesores y profesoras del centro, pues las
conversaciones en la sala de profesores a la hora del recreo no slo me hacan
sentir incluida en ese ambiente sino que me han ayudado en el trabajo que estaba
realizando.
A los nios y nias de cada uno de los cursos en los que he estado y, en
particular a los que mostraban problemas o dificultades en el aprendizaje, no
tengo palabras para mostrarles mi agradecimiento, ellos me han dado su
confianza y su afecto y han hecho que sintiera que mereca la pena el trabajo que
estaba realizando. Ahora estarn en secundaria y es improbable que puedan leer
estas lneas, pero ellos y ellas son los protagonistas de este trabajo y mi deuda
con ellos es infinita, pues no slo han permitido que mi trabajo pudiera seguir
adelante sino que me han hecho ver la educacin y las relaciones sociales desde
otro punto de vista, lo que ha tenido influencia no slo en mi trabajo sino en mi
propia persona.
A Antonio Fortes Ramrez, mi primer director de Tesis, pues sin l este
trabajo no se hubiera ni comenzado; amigo y compaero me anim a iniciarlo y
gui mis pasos. Educador preocupado y comprometido por la equidad en la
educacin y por las personas ms desfavorecidas socialmente, me hizo entrar en
este mundo de las desigualdades que son evidentes pero toleramos,
transmitindome su preocupacin y compromiso . Su prdida fue un duro golpe,
pero siempre estar en mi memoria.
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Introduccin
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A Nieves Blanco que continu con la direccin de la Tesis y no slo me ha
prestado una ayuda inestimable para concluir este trabajo, sino que me ha
proporcionado el nimo y la serenidad necesaria para hacerlo. Sus comentarios,
sus aportaciones, el estar dispuesta siempre a escucharme, su compaa, han
hecho que este trabajo no sea tan arduo.
Por ltimo quisiera agradecer su apoyo y comprensin a mi familia y
compaeros y compaeras . Miguel Angel, Lola, Blanca y muchos otros y otras
han estado a mi lado durante estos aos, en los que a veces estaba distrada,
otras preocupadas y siempre me han estado alentando y apoyando para que
continuara y me han brindado su ayuda.
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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-Dame un ejemplo de axioma- pidi Raschid. - Una lnea recta se puede prolongar de manera indefinida-dijo
Jack. -No, no puede- intervino Aysha, que estaba dando vueltas a la
mesa con un cuenco de higos. Los invitados sintieron cierto sobresalto al or que una joven intervena en la conversacin, pero Raschid se ech a rer r
indulgente. Aysha era su favorita. - Y por qu no?- le pregunt Jack
- En un momento dado ha de terminar- respondi ella. - Pero en tu imaginacin puede prolongarse indefinidamente-
aleg Jack. - En mi imaginacin , el agua puede correr hacia arriba y los
perros hablar latn- respondi con desenfado. Su madre que entraba en aquel momento en la habitacin, oy
aquella rplica. - Aysha! - exclam con tono duro- Afuera!
Todos los hombres rieron. Aysha hizo una mueca y sali. - Quienquiera que se case con ella se las va a ver y desear-
coment el padre de Josef.
(Ken Follet, Los Pilares de la Tierra)
CAPTULO PRIMERO
LAS MATEMTICAS EN LA EDUCACIN PRIMARIA
1.1.-Introduccin
Hablar de las matemticas en la Educacin Primaria implica multitud de
factores. Desde la formulacin del curriculum de matemticas que se pretende
desarrollar en el aula y la puesta en prctica de tal curriculum, hasta lo que
realmente aprenden las alumnas y alumnos a los que va dirigido, se han tenido que
ir tomando un buen nmero de decisiones y llevado a cabo muy diversas
actividades en distintos niveles, por los diversos participantes en todo el proceso.
Qu se pretende conseguir con la educacin matemtica, quines y cmo se toman
las decisiones, el papel asignado y las actuaciones de los diversos participantes en
el proceso educativo, y otras muchas cuestiones entran en juego y en ellas estn
implicadas no slo las instituciones educativas y las personas que intervienen en las
diferentes fases del establecimiento y desarrollo de la educacin, sino tambin la
sociedad en general. La educacin es una actividad social, incluida en un contexto
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Manuela Jimeno Prez
- 14 -
cultural y una sociedad concreta, por lo que no est fuera de la esfera de valores e
intereses, o de las circunstancias ideolgicas, polticas, econmicas y culturales
dominantes en esa sociedad.
Las razones por las que en una sociedad concreta se propone una educacin
matemtica especfica, es una cuestin importante pues va a determinar los
diferentes aspectos del curriculum que se disee y su puesta en prctica. Dentro de
una misma sociedad pueden existir discrepancias entre las razones de los diferentes
participantes en el proceso educativo; este proceso abarca desde la toma de
decisiones a niveles polticos, hasta la puesta en marcha en las escuelas , incluidos
tambin los padres. Las metas y justificaciones de la educacin matemtica que
provienen de las razones para incluir tal educacin configuran el marco, estructura y
organizacin de la educacin matemtica. Las metas del sistema poltico y
administrativo y de las instituciones especficas se reflejan en el marco y
condiciones para la educacin matemtica (nmero de alumnos por clase,
preparacin de profesores, contenidos, materiales de enseanza, recursos
materiales y humanos, etc.). Las metas de los expertos en educacin matemtica
se reflejan en la forma en que se disea y organiza el curriculum y tambin en los
libros de texto y materiales curriculares. Las metas de los padres se reflejan en el
grado de estmulo y apoyo que prestan a sus hijos para que aprendan matemticas.
Las metas de los profesores se reflejan en cmo organizan la enseanza,
seleccionan y presentan el material, su perspectivas de los distintos individuos
dentro del aula, etc. Estas metas tienen fuertes implicaciones tanto en la forma que
adopta la enseanza y lo que sucede en las aulas de matemticas como en el
aprendizaje de los estudiantes y la evaluacin de ste (Niss, 1996 : 20).
Por todo lo anterior creo conveniente detenernos en analizar cuales son las
razones para ensear matemticas y las metas que pueden derivarse de ellas.
1.2.- Por qu ensear Matemticas ?
El marco educativo se ha modificado profundamente por la consecucin del
ideal de una educacin para todos (al menos en los pases desarrollados), lo que
supone intentar ofrecer a todos los nios y nias y jvenes el derecho a alcanzar
las posibilidades que les permitan sus propias capacidades individuales, sea cual
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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sea su situacin econmica o social o sus antecedentes culturales. En las ltimas
dcadas nos encontramos con una educacin masiva y una diversidad en las aulas
como no ha existido en pocas anteriores. Por otra parte, en los pases
desarrollados, la educacin formal que se recibe en las escuelas conforma slo una
parte de la educacin recibida por los ciudadanos, pues cada vez ms se
desarrollan programas educativos fuera del sistema general, y los medios de
comunicacin y la tecnologa proporcionan un acceso a la informacin y a nuevos
aprendizajes cada vez ms amplios y sofisticados. Todos estos hechos han
producido una complejidad tal que hace necesario replantearse la educacin formal
en los sistemas educativos reglados (Coombs, 1985).
Alan Bishop (2000a: 7) manifiesta que la complejidad a la que nos
enfrentamos en el momento actual representa un reto mucho mayor que el que
conocieron los educadores en el pasado y puede generar sentimientos negativos y
desasosiego entre el profesorado y sus formadores. En particular la nueva
complejidad est en relacin con :
- La diversidad del alumnado, de sus aspiraciones y de sus expectativas.
- Las presiones econmicas sobre la educacin, especialmente para que se
forme a los jvenes para el trabajo y para los estudios universitarios.
- Los aspectos polticos en torno al curriculum de matemticas y a la decisin de
a quin va a corresponder la responsabilidad de establecerlo.
- Las presiones de otros campos de conocimiento para que las matemticas
sean ms relevantes segn sus necesidades.
- Las presiones de las nuevas tecnologas de la comunicacin y de la
informacin.
- La necesidad de relacionar la educacin con el nuevo contexto educativo
global.
Todos estos hechos, entre otros, provocaron que a partir de finales de los
setenta y con fuerza desde los ochenta, la pregunta por qu ensear
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Manuela Jimeno Prez
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matemticas? haya sido considerada como una cuestin importante en el campo de
la educacin matemtica. Plantearse las razones para ensear matemticas deriva
en cuestiones tales como: es necesario en la sociedad actual que todos los
estudiantes aprendan matemticas ?, qu es lo que deberan aprender?, cules
son las razones para ello?, las matemticas deben ser obligatorias en la educacin
secundaria ?, etc.
Las matemticas han estado presentes en las escuelas desde que stas
existen. Leer, escribir y las cuatro reglas, se consideraban los requisitos mnimos
indispensables que, entre algunas otras cosas, haba que transmitir en la escuela.
Pero las sociedades han cambiado y con ellas la educacin. La tecnologa y los
medios de comunicacin han cambiado la visin del mundo, un mundo globalmente
conectado donde el acceso a cualquier tipo de informacin o conocimiento cada vez
es ms fcil .
La educacin pblica para amplios sectores de la poblacin surge en el siglo
XIX, con la industrializacin y resurgimiento de los ideales democrticos, y en ella se
incluye las matemticas. Anteriormente, la enseanza formal estaba reservada a
unos pocos, normalmente ricos y en algunas instituciones de carcter
administrativo, cientfico o religioso . La gran mayora no reciba una educacin
formal, en todo caso se limitaba a un aprendizaje prctico de una profesin u oficio.
Esta educacin pblica se restringa a una educacin primaria, permaneciendo la
educacin secundaria, y aun ms la universitaria, slo accesible a grupos
minoritarios.
Las matemticas que se enseaban en las escuelas se limitaban a las
destrezas de clculo y sus aplicaciones y algunas nociones bsicas de geometra
con nfasis en las cuestiones de medida. Este curriculum matemtico, al que se
suele denominar curriculum cannico, que consta de aritmtica, geometra
descriptiva bsica y medida, prcticamente no ha variado a lo largo de casi dos
siglos aunque se hayan modificado considerablemente los marcos educativos.
(Kilpatrick, 1996) . En la poca anterior a las calculadora y el ordenador, se
intentaba formar autnticos calculadores humanos, pues eran necesarios para las
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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empresas y el comercio, por lo que las destrezas en el clculo podan ofrecer a los
individuos expectativas de futuro para su vida profesional y privada.
A partir de los 60 se van produciendo cambios sociales (movimientos
igualitarios, mayor desarrollo econmico, desarrollo tecnolgico acelerado, nuevas
demandas sociales, generalizacin de la enseanza a una mayor poblacin ....),
nuevos conocimientos sobre la educacin y, en el caso que nos ocupa, sobre la
educacin matemtica ( teoras psicolgicas, teoras educativas, resultados de
investigaciones,.. ); nuevas visiones sobre la ciencia, las matemticas y el
pensamiento cientfico. Y, tambin estrechamente relacionados con todas estas
cuestiones, el deseo de cambios en la educacin por muy diversos factores ( las
desigualdades en los resultados educativos, intereses comerciales, intereses
polticos, ....); pero la realidad educativa y en concreto la educacin matemtica no
ha cambiado demasiado en la educacin primaria en los currculos establecidos a lo
largo del siglo XX, como se refleja en los libros de texto, a pesar de haber existido
corrientes crticas y propuestas de cambio. El giro ms significativo, hasta hace
pocos aos, se produjo en los cincuenta y sesenta al introducir lo que se ha llegado
a conocer como nuevas matemticas .
Las nuevas matemticas enfatizaban el estudio de estructuras abstractas
con la esperanza de que los estudiantes llegaran a comprender y apreciar ms las
matemticas si vean la simplicidad y elegancia de sus leyes , suponiendo que la
profundizacin en las estructuras matemticas les ayudara posteriormente a
aprender las matemticas que necesitaran para sus vidas sin necesidad de tratar
este aspecto de forma especfica . Los partidarios de las nuevas matemticas
subrayaban que la sociedad moderna requera individuos, ciudadanos y
trabajadores que deban poseer una amplia variedad de capacidades personales
generales de una naturaleza formativa, tanto en lo relativo a la formacin del
carcter (concentracin, observacin, exactitud y perseverancia), como al desarrollo
de la capacidad intelectual (poder de abstraccin, generalizacin, pensamiento
lgico, actitudes analticas y de investigacin....). Pero a pesar de que se haya
practicado en muchos lugares y, en algunos con xito, el juego formal en y con las
estructuras definidas en trminos de conjuntos y de lgica, a menudo ha estado
desprovisto de intentos de darle sentido fuera de estas estructuras, y ha quedado
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Manuela Jimeno Prez
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patente que estas capacidades desarrolladas dentro de estructuras formales de las
matemticas no tienen por qu extenderse a otras situaciones o contexto, lo que
lleva a replantearse de nuevo la educacin matemtica ( Kilpatrick, 1996; Niss,
1996; Hernn y otros, 1987; Howson y Wilson, 1987 ).
Por otra parte, las matemticas escolares han tenido un carcter fuertemente
selectivo dentro de los sistemas educativos. Existe una arraigada creencia de que
las matemticas son difciles, que no todos pueden aprenderlas: (Las
matemticas) eran por encima de todas, la materia que separaba a los
acadmicamente brillantes de los que no lo eran (Howson y Wilson, 1987 : 24) ;
pero a la vez tambin existe una conciencia social sobre su importancia y utilidad,
tanto en lo referente al papel de las matemticas en los avances de la civilizacin ,
como su importancia para el futuro de los individuos. As Mogens Niss (1994 : 370 )
expone que las condiciones materiales, sociales, culturales y de trabajo de un
individuo estn fuertemente influenciadas por el nivel de competencia matemtica
que los individuos poseen, as como el estatus y el prestigio que stos disfrutan.
Cules seran las razones para ensear matemticas a toda la poblacin?
Las razones a menudo no son explcitas sino que forman parte de un complejo
conglomerado de otras razones sociales o de grupos de intereses, culturales,
polticas, etc. Incluso aunque sean explcitas, hay que profundizar en ellas para
poder elucidar el papel real de las razones de los sistemas educativos para
establecer o mantener la educacin matemtica. Luis Rico (1997) identifica cuatro
amplias categoras de finalidades para la educacin matemtica : culturales,
sociales, formativas y polticas . Mogens Niss (1996: 13) desde una perspectiva
histrica y contempornea, expone que hay muy pocos tipos de razones
fundamentadas para la educacin matemtica , presentando tres diferentes :
1. Contribuir al desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad en general,
ya sea para ella misma o en competicin con otras sociedades o pases.
2. Contribuir al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y poltico de la
sociedad en general, ya sea para ella misma o en competicin con otras
sociedades o pases.
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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3. Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a enfrentarse a
la vida en sus diversas esferas : educacin o ocupacin, vida privada, vida como
ciudadano.
Estas tres razones han tenido un peso diferente a lo largo de la historia
(Niss,1996). Antes de la Era Moderna la vinculacin entre matemticas y desarrollo
tecnolgico y socioeconmico no est presente, aunque a partir del siglo XV va
ganando terreno paulatinamente. As la educacin matemtica, en sus comienzos,
parece ser una cuestin de mantenimiento y desarrollo poltico, ideolgico y cultural
de la sociedad. La idea de suministrar a un amplio nmero de individuos los
prerrequisitos necesarios para poder desenvolverse adecuadamente en su vida
privada y social es ms moderna, pues tiene su origen en el incremento de la
importancia y el poder obtenido por la burguesa (comerciantes, financieros,
industriales... ) y los movimientos democrticos de finales del siglo XVIII y principios
del XIX.
Durante el siglo XIX, el nfasis se sita en la contribucin al desarrollo
tecnolgico y socioeconmico sobre todo, pero en los pases donde existen fuertes
movimientos democrticos, se prioriza la necesidad de equipar a los individuos con
las herramientas necesarias para su vida privada, social y profesional. La
contribucin al mantenimiento y desarrollo cultural, ideolgico y poltico, no parece
que sea una razn importante para ensear matemticas en este siglo.
En el siglo XX, las tres razones entran en juego aunque con diverso nfasis
en tiempos y lugares diferentes. Las razones utilitarias ( desarrollo tecnolgico y
socioeconmico y herramientas tiles para la vida cotidiana y profesional,... ) han
predominado a lo largo del siglo en muchos pases, sobre todo desde principios de
siglo hasta 1930, y en los setenta y ochenta y al principio de los noventa. El
mantenimiento y desarrollo de la cultura y la sociedad ha ido recibiendo
relativamente ms peso en tiempos de progreso y optimismo cultural y econmico
(principios del 20, final de los 50 y los 60). De todas formas esto es un patrn muy
general, pues las circunstancias varan en los diversos pases y cada uno tiene
historias distintas. La historia de los pases en vas de desarrollo es completamente
diferente, pero tambin existen grandes diferencias en los pases desarrollados.
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Manuela Jimeno Prez
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Centrndonos en las ltimas dcadas seria conveniente, aunque sea
brevemente, analizar que est detrs de cada una de estas razones: contribuciones
de las matemticas al desarrollo tecnolgico y socioeconmico; contribuciones al
desarrollo y mantenimiento cultural ideolgico y poltico y suministrar prerrequisitos a
los individuos que puedan ayudarle a enfrentarse a la vida en sus diversas esferas
1.2.1.- Contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico
Las sociedades suelen atribuir una gran importancia a las matemticas. Por
un lado, las matemticas, son a la vez una ciencia pura, una ciencia aplicada, un
sistema de instrumentos (o herramientas) tiles para la vida cotidiana, un campo
esttico y una materia de enseanza (pues no se aprende espontnea y
automticamente). Por otra parte, la propiedad ms importante de las matemticas
es su irrazonable efectividad ya sea como ciencia aplicada o como sistemas de
instrumentos en prcticas sociales, las matemticas son generales y pertinentes
para un increblemente amplio rango de temas extramatemticos y reas prcticas.
Adems, las matemticas ( debido a lo anterior) estn ntimamente relacionadas con
el funcionamiento y desarrollo de la sociedad en general (Niss, 1994 : 368 ).
La importancia que se ha concedido a las Matemticas desde hace algunos
siglos, queda reflejada en la siguiente frase de Galileo Galilei :
La filosofa est escrita en un gran libro - quiero decir el Universo- que permanece
continuamente abierto a nuestra vista, pero no puede entenderse a menos que uno aprenda la
lengua e interprete los caracteres en que est escrito . Est escrito en el lenguaje de las
matemticas y sus caracteres son tringulos , crculos y otras formas geomtricas, sin las
cuales es humanamente imposible entender una sola palabra de l ; sin ellas uno vagabundea
en un oscuro laberinto.
Las matemticas estn estrechamente relacionadas con el funcionamiento y
desarrollo de las sociedades, por la necesidad que tienen de ella las otras ciencias y
porque se encuentran implicadas en un buen nmero de reas prcticas
especializadas: prediccin; descripcin y pronstico de fenmenos y sucesos de la
naturaleza, quizs modificables por el hombre y la sociedad; utilizacin y asignacin
de recursos naturales, renovables o extinguibles; y diseo, puesta en marcha y
regulacin de sistemas industriales y sociotcnicos (Niss, 1994).
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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Nadie niega la importancia que han tenido las matemticas en el desarrollo
socioeconmico y tecnolgico y en el progreso de las distintas sociedades, y por
tanto la necesidad de asegurarse , al menos, un grupo reducido de expertos
matemticos. Pero como subraya Ubiritan DAmbrosio (1994a), las matemticas han
impresionado al mundo intelectual desde el siglo XVIII hasta hoy en da, y estn
impregnadas an del pensamiento cartesiano: que los seres humanos deben
separarse de la tierra, la mente del cuerpo, la naturaleza debe ser sometida y los
sentimientos suprimidos. As las matemticas han contribuido a la formacin de una
cultura donde se considera que las ciencias y las matemticas son las formas ms
eficientes de conseguir el progreso y la paz, pero las matemticas a la vez que han
procurado a la humanidad y la civilizacin ventajas, tambin han contribuido a
grandes desastres :
En los ltimos 100 aos, hemos visto enormes avances en nuestro conocimiento de la
naturaleza y en el desarrollo de nuevas tecnologas... Y tambin, este mismo siglo ha mostrado
una conducta humana despreciable. Medios sin precedentes de destruccin de masas, de
inseguridad, enfermedades nuevas terribles, hambre injustificada, abuso de drogas,
decadencia moral, equiparables slo a una irreversible destruccin del entorno. Muchas de
estas paradojas se han llevado a cabo con una ausencia de reflexin y consideracin de valores
en los acadmicos, sobre todo en las disciplinas cientficas, tanto en la investigacin como en la
educacin (DAmbrosio, 1994a: 443).
La conciencia de que el desarrollo cientfico y tecnolgico ha supuesto
grandes progresos pero tambin ha producido grandes desastres est presente en
la sociedad actual; el optimismo ante los progresos que proporcionan la ciencia, las
matemticas y la tecnologa ya no es tan fuerte y es necesario analizar el papel de
los conocimientos y los usos que se hacen de l.
Por otra parte Miguel de Guzman (1994 : 20-21) seala el hecho de que los
logros obtenidos gracias al desarrollo de las matemticas son de tal magnitud ,
especialmente en el siglo XX, que nos pueden hacer olvidar las profundas
limitaciones del pensamiento matemtico, que provienen , al igual que su potencia,
de lo ms hondo de su naturaleza. El xito de las matemticas se debe a que son
una mutilacin de la realidad, una abstraccin. Mediante esta abstraccin
dominamos ciertos aspectos de la realidad, pero no la realidad misma en su
totalidad. Podemos sentir que con nuestras construcciones dominamos la realidad,
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Manuela Jimeno Prez
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pero esto no es as, pues hemos dejado fuera aspectos que pueden resultar
enormemente importantes para el ser humano. Las matemticas son muy tiles en
nuestro intento de obtener cierto dominio de la naturaleza, pero el ser humano es
mucho ms profundo que lo que pueden abarcar las estructuras matemticas.
En resumen, las matemticas han contribuido y contribuyen al mantenimiento
y desarrollo de la sociedad, pero estas contribuciones no pueden estar exentas de
crtica. Es preciso analizar el papel de esos conocimientos, tanto en el desarrollo
cientfico y tecnolgico como en la influencia que tienen en el mantenimiento de la
cultura, la ideologa y la poltica, y todo ello en nuestra vida cotidiana, en nuestro
trabajo y en nuestro futuro.
La contribucin al desarrollo tecnolgico y socioeconmico evidencia la
necesidad de formar personas que puedan mantener y seguir avanzando en estos
progresos, y por tanto la necesidad de educacin matemtica, pero ya no est tan
claro que sea una razn poderosa para que todos aprendan matemticas. La
necesidad de personas con un conocimiento especializado es limitada, no todos van
a ser expertos matemticos, entendiendo por stos no slo los matemticos
profesionales, sino todos aqullos que necesitan de unas matemticas avanzadas.
Una educacin matemtica para todos no puede basarse nicamente en esta
necesidad, ni debera primarla por encima de otras que pueden ser ms importantes
para todos los individuos.
1.2.2.- Contribucin al desarrollo y mantenimiento cultural, ideolgico y
poltico de la sociedad
Al exponer algunas consideraciones sobre la contribucin de las matemticas al desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad, podemos ver cmo esta
contribucin influye considerablemente en la cultura, ideologa y poltica de la
misma. Para Leslie White (1988 : 190 ) la cultura es una organizacin de fenmenos
- actos (pautas de conducta), objetos (herramientas ; cosas hechas con
herramientas), ideas (creencias , conocimientos) y sentimientos (actitudes,
valores)- que depende del uso de smbolos. La cultura comenz cuando apareci
el hombre como primate articulado que usaba smbolos. White divide las
componentes de la cultura en cuatro categoras (White, 1959, cit Bishop, 1999 :
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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35): a) Ideolgica: se compone de creencias, depende de smbolos, filosofas. b)
Sociolgica: costumbres, instituciones, normas y pautas de comportamiento
interpersonal. c)Sentimental: actitudes, sentimientos relacionados con personas,
comportamientos. d) Tecnolgica: fabricacin y empleo de instrumentos y utensilios.
Leslie White defiende que las cuatro componentes estn interrelacionadas y
la componente tecnolgica es bsica pues las otras dependen, al menos de una
manera general, de sta. Las instituciones sociales de un pueblo dependen de su
tecnologa. Por ejemplo, la tecnologa de la era industrial cre muchas instituciones
sociales, forj muchos procesos sociales y desarroll muchas de las costumbres
sociales que an permanecen. Algo parecido ocurre con los factores ideolgicos y
filosficos. La tecnologa de una cultura est estrechamente relacionada con su
ideologa y los cambios tecnolgicos crearan cambios en la filosofa de la cultura.
Quizs el factor sentimental sea el que parece menos influenciado, aunque esto en
parte es debido a la consideracin de los sentimientos como cuestiones menos
importantes que las instituciones sociales o los sistemas de creencias, pero Leslie
White (cit. Bishop, 1999 :35) muestra cmo los cambios en la tecnologa pueden
influir en los sentimientos y para ello considera la evolucin de las actitudes sobre
cuestiones tales como: castidad, eutanasia, esclavitud, divorcio, frugalidad o
derroche, reglas especficas, etc.
Para White las matemticas son un fenmeno cultural con una componente
tecnolgica importante y el simbolismo matemtico es una herramienta que
influencia considerablemente la cultura de una determinada sociedad:
Las matemticas son, naturalmente , una parte de la cultura. En la herencia que todo pueblo
recibe de sus predecesores, o de sus vecinos contemporneos, junto con maneras de cocinar,
de casarse, de profesar religiones, etc., figuran maneras de contar, calcular , y toda otra cosa
propia de las matemticas. Las matemticas son en realidad una forma de conducta : la
respuesta de una clase particular de primates a un conjunto de estmulos. Que un pueblo
cuente de a cinco unidades, o por decenas, docenas o veintenas; que tenga o no nmeros
cardinales que pasen de cinco, o que posea los conceptos matemticos ms modernos y
altamente desarrollados, su conducta matemtica es determinada por la cultura que posee
(White, 1988 : 345-346).
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Manuela Jimeno Prez
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Investigaciones antropolgicas y crosculturales han puesto de manifiesto
diferentes matemticas en diferentes culturas y la estrecha relacin que existe entre
cognicin y cultura. As, las matemticas como parte de la cultura, contribuyen al
mantenimiento y desarrollo de sta y, como muestra Leslie White, tiene influencia
en los sistemas de creencias, las ideologas e incluso los sentimientos. Las
matemticas no estn libres de valores (DAmbrosio, 1994a; Bishop, 1991,1999) ;
han contribuido al mantenimiento y desarrollo de ideologas y nuestros sistemas de
creencias :
La historia del mundo moderno, el pensamiento moderno, la historia de la tecnologa y la
filosofa moderna, estn altamente influenciadas por el pensamiento matemtico, mucho ms
que por las humanidades, por las religiones, o por cualquier conjunto de valores y tradiciones
(DAmbrosio, 1994a: 443).
La educacin matemtica ha contribuido , o se ha pretendido que contribuya,
a la superestructura cultural, poltica e ideolgica de la sociedad desde hace siglos y
estas metas se han puesto de manifiesto explcitamente. Por ejemplo, Von
Schieddeberg (1915, cit. Niss, 1996 : 13) manifiesta que la educacin matemtica
puede contribuir a : educacin para la defensa nacional, educacin para un trabajo
serio, diligente y concienzudo, educacin para trabajar en una comunidad , y
educacin para el patriotismo. Particularmente insiste en que la educacin
matemtica puede conducir a una absoluta devocin al deber, subordinacin del
individuo a los organismos de trabajo y preparacin para la obediencia.
Desde una postura crtica , diversos autores (DAmbrosio, 1986, 1994a,
1994b; Mellin-Olsen, 1987; Noss, 1994; Skovsmose, 1994; Volmink, 1994;
Skovsmose y Nielsen, 1996) resaltan el papel de las matemticas en los aspectos
culturales , polticos e ideolgicos de la sociedad. En esta lnea , Ubiritan
DAmbrosio (1994a : 445 ) expone que la educacin matemtica ha estado
dominada por objetivos que favorecen el orden del mundo que ha sido establecido
gradualmente desde el siglo XVI, basado en conquistas, colonialismo e imperialismo
capitalista; y John Volmink (1994 : 52) manifiesta :
Las matemticas no slo han sido un misterio impenetrable para muchos, sino que tambin,
ms que otras materias, han tomado el papel del juicio objetivo en orden a decidir en la
sociedad que podemos y que no podemos hacer. Adems es una puerta para participar en los
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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procesos de toma de decisiones en la sociedad. Denegar a alguien el acceso a participar en
matemticas , es tambin determinar a priori quin mueve el progreso y quin estar detrs.
Por el importante papel que tiene y ha tenido en la sociedad, la educacin
matemtica debe contribuir a la formacin de ciudadanos crticos que tomen parte
activa en la vida poltica , para lo cual es necesario democratizar la educacin
matemtica, entendiendo que la democracia es una forma de vida, un proyecto
siempre en marcha. (Skovsmose 1994; Skovsmose y Nielsen ,1996).
En muchos pases se seala que la educacin matemtica debe contribuir a
fines generales, ya sea a inculcar una determinada ideologa o una educacin
matemtica para la democracia. Los valores siempre surgen a la hora de discutir
qu se pretende con la educacin matemtica y las respuestas al problema de
justificar la educacin matemtica pueden ser muy diferentes si deseamos que
contribuya a establecer, expandir o fortalecer un gobierno democrtico
descentralizado en la sociedad, que si quisiramos alcanzar una sociedad
autoritaria, jerrquica y centralizada.
En opinin de Mogens Niss (1996), en lneas generales, las sociedades con
tradicin democrtica consolidada y no completamente subordinadas a la economa
de libre mercado, tienden a dar un mayor nfasis a suministrar a los individuos los
prerrequisitos necesarios para que sea un ciudadano competente, activo,
preocupado por los problemas sociales y crtico. En contraste, las sociedades que
manifiestan tradiciones autoritarias, tienden a descuidar o desechar ( o incluso a
combatir activamente) el pensamiento crtico, la capacidad de tomar decisiones
independientes y el poder de actuacin de la poblacin en general para una
ciudadana democrtica, lo que afecta tambin a la educacin matemtica. En
estos pases la razn principal es la contribucin de la educacin matemtica al
desarrollo tecnolgico y socioeconmico de la sociedad y suele venir acompaada
de la contribucin de la educacin matemtica a la conservacin y mantenimiento
del poder poltico e ideolgico (Niss, 1996 :24).
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1.2.3.- Suministrar a los individuos prerrequisitos que puedan ayudarle a
enfrentarse a la vida en sus diferentes esferas
Parece que existe un sentimiento general de que para vivir una vida normal
en muchas partes del mundo al final del siglo XX se requiere usar alguna clase de
matemticas en la vida cotidiana. Estos sentimientos pueden ser, en parte, el
resultado de la presin existente en las escuelas para obtener buenos resultados en
Matemticas, lo que lleva a percibirlas como tiles, pero a la vez se percibe
tambin su inutilidad en muy distintas formas ( Christiansen, Howson y Otte, 1986).
La falta de conexin entre las matemticas enseadas en las escuelas y situaciones
reales y cotidianas, la adquisicin de un conocimiento que muchas veces no se sabe
aplicar a situaciones significativas y otras muchas cuestiones hacen que, a pesar de
considerarlas tiles, sean bastantes los que piensan que sern tiles, pero para
otros, para los privilegiados que las entienden.
Uno de los principales objetivos de los distintos sistemas educativos desde
hace muchos aos era conseguir la alfabetizacin de todos los ciudadanos, pues
saber leer y escribir se consideraba como un requisito mnimo e indispensable para
desenvolverse en la sociedad, pero hoy en da se necesita algo ms que esto. De
forma paralela al concepto de alfabetizacin (literacy) surgen los trminos
numerate, numeracy o mathemacy, refirindose a la alfabetizacin en
matemticas o alfabetizacin numrica, que se refieren a los requisitos mnimos
en matemticas que todo individuo debe adquirir para poder desenvolverse en la
sociedad. El informe Cockroft (1985) entiende por numerate la posesin de dos
atributos: el primero de ellos es una familiaridad con los nmeros y la capacidad de
usar las destrezas matemticas que permiten afrontar las exigencias matemticas
prcticas de la vida cotidiana. El segundo es cierta apreciacin y comprensin de la
informacin que se presenta en trminos matemticos, por ejemplo, en grficos,
mapas o tablas, o referencias al aumento o disminucin de porcentajes.
Considerados en conjunto, estos dos atributos suponen que una persona
numricamente competente (numerate), tendra que ser capaz de apreciar y
comprender algunos usos de las matemticas como medio de comunicacin. Si se
quiere conseguir dicha cualidad para los alumnos y alumnas, hay que prestar
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atencin a sus aspectos ms amplios y no contentarse con desarrollar simplemente
las destrezas de clculo (Cockroft, 1985 : 15).
La alfabetizacin debe comprender las matemticas y las ciencias e ir ms
all de proporcionar unas competencias matemticas bsicas para la vida cotidiana,
pues debe contemplar tambin otras esferas sociales, culturales y polticas (Zen,
1992). Una formacin matemtica y cientfica bsica es necesaria, pues sta
convierte a los individuos en menos dependientes de los dems, de modo que los
procesos democrticos, los valores sociales y las oportunidades individuales, no
lleguen a estar dominados por las lites ilustradas (Krugly-Smolska, 1990).
Los conocimientos matemticos bsicos deben incluir las destrezas
intelectuales necesarias para examinar los pros y los contras de cualquier desarrollo
tecnolgico, examinar sus beneficios potenciales y ser conscientes de las fuerzas
sociales y polticas subyacentes que dirigen este desarrollo (Flemings, 1989).
Qu comprende la alfabetizacin y en este caso la alfabetizacin matemtica
es una cuestin controvertida y con mltiples aproximaciones. Desde aquellos que lo
consideran como los conocimientos mnimos que debe poseer un individuo para
poder desenvolverse en la sociedad, refirindose simplemente a las destreza y
tcnicas necesarias para enfrentarse a las actividades cotidianas; hasta quines
consideran que la alfabetizacin debe perseguir el propsito de introducir a los
individuos en formas de conocimiento que les provean y les den la conviccin y
oportunidad para luchar por una calidad de vida en la que todos salgan
beneficiados. Siguiendo los trabajos de Paulo Freire, se enfatiza que la escuela
debe preparar a los estudiantes para que lleguen a ser ciudadanos crticos,
preparados para acciones que impliquen una mayor igualdad social y que crean que
sus acciones pueden marcar una diferencia en la sociedad en general. As la
alfabetizacin ( que abarcara tambin la alfabetizacin matemtica) viene a ser una
precondicin para la emancipacin social y cultural ( Skovsmose, 1994 : 214).
A travs de las razones para ensear matemticas a toda la poblacin,
hemos podido ir viendo que la vida cotidiana, social y poltica cada vez est ms
matematizada (tambin informatizada) y esto conlleva riesgos que habra que tener
en cuenta. Miguel de Guzman (1994: 21-22) expone algunos de estos riesgos:
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Manuela Jimeno Prez
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* Pensar ingenuamente que todo puede ser matematizado sin residuos. Hay que
aceptar desde un principio la existencia de lo inmatematizable. De este modo no
caeremos fcilmente en la ceguera hacia otros aspectos tan ricos del Universo como
la vida y los valores del espritu humano.
* Dejar que nuestra vida se ahogue en cifras y formalismos matemticos. El gran
peligro no es, como algunas pelculas de ciencia ficcin pretenden, que el ordenador
pase a ser cuasihumano, sino que el hombre, por adaptarse a su maquina, pase a
ser un robot.
* Inducir al matemtico a jugar a aprendiz de brujo. Se piensa que para cada
situacin real hay un modelo matemtico adecuado, sin tener en cuenta que la
matematizacin comporta cierta amputacin de la realidad y existen elementos de
los que se hace caso omiso, los que pueden ser enormemente importantes y su
exclusin catastrfica. Hay muchos aspectos de la vida del hombre demasiado
importantes como para pedir a las matemticas que nos los aclare.
* Confundir manipulacin con sabidura. Nuestros ordenadores nos permiten
actualmente manipular con xito fragmentos de la realidad sin que comprendamos,
pero no conviene perder de vista que el xito manipulativo est an lejos de la
comprensin a la que podemos y debemos aspirar.
* Caer en el mito del genio universal que puede pontificar infaliblemente sobre
cualquier asunto. Parece que existe en muchas personas, tanto de la calle como de
la propia ciencia, la idea de que ciertas figuras distinguidas de las ciencias y las
matemticas modernas estn en situacin privilegiada para juzgar adecuadamente
sobre el destino del mundo. Como pas con Einstein que, muy a su pesar, fue
convertido en sumo pontfice de la verdad no slo cientfica, sino religiosa y moral.
Sera bueno recordar que, muy a menudo, el matemtico y cientfico en general,
fuera de su propia esfera de competencia suele ser tan superficial y sesgado como
el que ms.
A lo largo de este breve anlisis de las tres razones para ensear
matemticas, pienso que ha quedado claro que las razones estn estrechamente
relacionadas, no son independientes y cmo el primar una de ellas o la perspectiva
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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que adoptemos, tambin afecta a las decisiones que se tomen respecto a las otras.
Tambin, que la sociedad actual est fuertemente impregnada por las matemticas
y stas han cobrado una gran importancia, no slo en lo referente a su contribucin
al desarrollo socioeconmico y tecnolgico, sino tambin a la vida cotidiana, social,
cultural y poltica. As no slo son importantes los contenidos matemticos, sino los
usos que se hacen de ellos y el papel que juegan en la sociedad en general.
Por las razones expuestas, existe cierta unanimidad en la necesidad de
ensear matemticas a todos los individuos y aunque algunos expresen la
opinin de que deben ser para determinados individuos las mnimas posibles, la
tendencia general es que las matemticas estn presentes al menos hasta los 14
aos, mantenindose en algunos pases en todo los cursos que abarca la educacin
obligatoria. Pero no existe un consenso en cules deberan ser estas matemticas,
e incluso si deben ser las mismas para todos. Quizs los desacuerdos ms
importantes surjan en las metas y objetivos concretos de una educacin
matemtica para todos y cules seran los contenidos y los medios para
conseguirlas, pues se priorizan unas razones sobre otras y las metas y los objetivos
que se pueden derivar de las diferentes razones son distintos.
1.3.- Matemticas para todos
Las necesidades e intereses individuales de formacin matemtica pueden
diferir considerablemente, y las diferencias entre los individuos en cuanto al
aprendizaje de las matemticas tambin, por lo que en esta materia surge con
fuerza la cuestin de adoptar un curriculum nico, que puede ser adaptado a las
particularidades de cada sujeto, o un curriculum diferenciado. El curriculum
diferenciado se considera ms eficiente y, en una sociedad como la actual donde
siempre se est persiguiendo la eficiencia, no es extrao que se implante (Howson y
Wilson, 1987); pero el curriculum diferenciado puede chocar con la igualdad de
oportunidades defendida por los sistemas democrticos. Un curriculum diferenciado
puede llegar a crear una lite que controle el progreso cientfico y la sociedad
(Hernn y otros, 1987; Romberg, 1991; Niss, 1994; Rico, 1997 ), apartando a una
gran parte de la poblacin de la posibilidad de continuar una educacin superior,
conseguir una formacin que le permita acceder en igualdad al mercado laboral ,
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Manuela Jimeno Prez
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desarrollar al mximo sus aptitudes y capacidades y un pensamiento crtico y
reflexivo.
De todas formas, como seala Ken Clements (2000), un curriculum nico no
implica que todos los estudiantes tengan las mismas oportunidades para el
aprendizaje, y promueva la equidad, especialmente cuando van acompaados de un
sistema rgido de evaluacin de su efectividad y se interprete el curriculum y la
escolarizacin bajo el enfoque de una educacin basada en resultados estndar.
Clements y Ellerton (1996) se preguntan si es realmente sensato esperar que todos
los alumnos sigan el mismo curriculum bsico. Cmo se puede compaginar la idea
de un curriculum bsico con los diferentes, intereses, antecedentes socioculturales y
capacidades de los nios y nias? Si no existen cambios profundos en la educacin,
en las prcticas educativas y en las formas de evaluar los resultados, no parece
creble que un curriculum nico y bsico para todos llegue a conseguir la equidad en
la educacin matemtica, y una gran parte de los estudiantes pueden llegar a
convertirse en corderos para el sacrificio. Como exponen Clements y Ellerton
(1996: 36) :
la mayora de los estudiantes a los que se le exige aprender matemticas se convierten en
corderos para el sacrificio en los altares mellizos de la eficiencia educativa y el racionalismo
econmico .
El considerar unas matemticas para todos, debido a la imagen social
tradicional de las matemticas, conlleva plantearse seriamente qu matemticas
pueden y deben ser para todos, y aqu surge la cuestin de si las matemticas que
pueden ser para todos son verdaderas matemticas. Hay una concepcin
enormemente extendida de la naturaleza de las matemticas que presupone que las
verdaderas matemticas no pueden ser para todos, y que para todos slo puede
pretenderse unas matemticas edulcoradas, desnaturalizadas. Segn esta
concepcin, si se quieren mantener las verdaderas matemticas, stas han de
perder su carcter obligatorio y slo deben quedar como obligatorias unas
pseudomatemticas al alcance de la mayora, pues si no se llevara al fracaso a una
multitud de personas. Las matemticas necesarias para la vida cotidiana son pocas,
as que su aprendizaje slo requerira unos pocos aos. Evidentemente, si no se
cambian los conceptos de qu es aprender matemticas y qu es ensear
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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matemticas y que son las verdaderas matemticas, es cierto que se podra llevar
a la mayora de los estudiantes al fracaso ms absoluto (Hernan y otros, 1987).
Alan Bishop (2000b: 46) resalta el hecho de que hay muchas maneras de
entender las ideas matemticas, muchas aproximaciones para adquirir
conocimientos y muchas bases para desarrollar actividades matemticas. Como
seres humanos todos somos distintos, debido a nuestros genes, nuestras familias,
nuestras historias culturales y nuestras preferencias y aspiraciones. La enseanza
que presupone que todos somos iguales est destinada al fracaso desde un
principio. Valorar las diversas aproximaciones a la adquisicin del conocimiento, las
diferentes formas de resolver las situaciones, y tener en cuenta las caractersticas
individuales y culturales de los diversos individuos son requisitos indispensables
para conseguir unas matemticas para todos.
Por otra parte, las matemticas nos pueden ayudar a estructurar nuestras
experiencia del mundo, a articular imgenes e ideas sobre el mundo y ver las
contradicciones en l. Conocer y comprender es un derecho humano bsico y, si
este derecho se niega, al menos en parte, por la forma en que se ve y se ensea las
matemticas, entonces existe la necesidad de democratizar las matemticas. Esto
significa en primer lugar que hay que desmitificarlas. Desmitificarlas no es
simplemente hacerlas accesibles a todos, sino tambin que los que han sido
apartados lleguen a ver que ellos pueden participar en la creacin matemtica,
hacerlas suyas, y puedan participar de su belleza y poder (Volmink, 1994 : 52).
Dentro de una perspectiva crtica de la educacin, en particular de la
educacin matemtica, sta no debera ser slo cuestin de proporcionar
conocimientos o formas de construir el conocimiento, sino tambin de analizar el
papel que han tenido o pueden tener, cmo se utilizan y su influencia en la
sociedad y en la vida de los diversos individuos. Se considera como meta
fundamental de la educacin matemtica desarrollar un pensamiento crtico y poder
de actuacin para cambiar la sociedad. Aunque no exista una nica corriente dentro
de la educacin matemtica crtica, ni formas de llevarla a cabo, todas en lneas
generales comparten el punto de vista de que las escuelas pblicas deben ser
defendidas como un importante servicio pblico, que educa a los estudiantes para
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Manuela Jimeno Prez
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ser ciudadanos crticos, que puedan pensar, retar, aceptar riesgos, y creer que sus
acciones pueden marcar una diferencia (Skovmose, 1994; DAmbrosio, 1994a;
Volminlk, 1994; Skovsmose y Nielsen, 1996 ). Como seala John Volmink (1994 :
58) :
Tengo esperanzas en una sociedad mejor, una sociedad en la que cada uno llegue a participar
por completo en las elecciones que afecten a sus vidas. La aparicin de las escuelas estatales
en el curso del ltimo siglo ms o menos, a pesar de todas sus imperfecciones, me proporciona
la ms fuerte esperanza de democratizacin del conocimiento. En particular, es un medio del
que podemos esperar tener unas matemticas para todos y por todos
Damerow y Westbury (1985) analizan esta cuestin en tres niveles diferentes:
a) La distribucin del conocimiento. Con la implicacin de que rechazamos el
supuesto de que el conocimiento matemtico es una prerrogativa de ciertas
comunidades culturales y no de otras y consideramos por el contrario las
matemticas como algo potencialmente apropiado para todas las personas. En este
nivel, la idea de las matemticas para todos comporta cuestiones de intercambio
cultural (en y entre grupos sociales y comunidades geopolticas).
b) El sistema escolar y su integracin en la sociedad. La idea de las matemticas
para todos plantea la cuestin de la educacin general frente a la educacin elitista.
En este nivel las matemticas para todos nos compromete a todos en un
replanteamiento de las cuestiones tradicionales de la enseanza de las
matemticas, alejado de las necesidades de las lites y cercano a las necesidades
tanto de las lites como de los alumnos medios; nuestro sentido de la cumbre del
xito no procede de los logros de unos pocos, sino de los que obtenga la mayora.
Nuestro ndice de rendimiento ser la produccin global del sistema escolar (esto
es, del porcentaje de una cohorte que domina determinados conjuntos de
contenidos y destrezas) en lugar del rendimiento de contenidos y destrezas
exclusivamente de los ms aptos.
c) Interaccin en el aula. Las matemticas para todos plantean problemas de
oportunidades de aprendizaje y de relacin con la dinmica del proceso de
aprendizaje. Este nivel de inters debe incluir un anlisis de los supuestos, los
modelos y las prcticas de la divisin de los alumnos, dentro de las escuelas, en
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Las matemticas en la Educacin Primaria
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grupos de actitud, que estn generalizados en la enseanza de las matemticas
desde los primeros cursos de la enseanza secundaria (Damerow y Westbury, 1985
; cit Romberg, 1991: 339-340).
El plantearse unas matemticas para todos, surge dentro de los movimientos
nacionales e internacionales que abogan por un cambio significativo en la
educacin, y en nuestro caso en la educacin matemtica, cambios que prestan una
mayor atencin a los procesos que a las destrezas y tcnicas; que pretenden
desarrollar un pensamiento matemtico superior y la creatividad ; adems de
conseguir que los estudiantes aprecien la utilidad y la esttica del conocimiento
matemtico y sean capaces de aplicarlo tanto en sus vidas cotidianas como en la
sociedad en la que se desenvuelven y en su profesin. stas tendencias tienen en
cuenta las nuevas concepciones del conocimiento matemtico, por lo que sealan
que se debera fomentar ms el hacer matemticas, que proporcionar
conocimientos ya hechos o rutinas; y que estos objetivos deben ser para todos.
Evidentemente esto supone cambios profundos, no slo en los currculos que se
establezcan, sino tambin en la propia organizacin y estructura de los sistemas
educativos y en las prcticas escolares.
Los sistemas educativos, como indica Resnick (1987 : 45) nunca han sido
construidos bajo la asuncin de que todos, y no slo una elite, pueden llegar a ser
pensadores competentes. Plantear reformas educativas basadas en un amplio
concepto de competencias que pueden ser alcanzadas en diversas formas por todos
los estudiantes y no en la mera adquisicin de hechos, destrezas y procedimientos,
se encuentra con obstculos de muy diversa ndole (Abrantes, 2001): presiones
polticas por controlar el curriculum, opiniones y puntos de vista populares sobre la
educacin , tensiones entre la autonoma y seguridad del profesorado, que
encuentran difcil tratar con la incertidumbre, con un amplio concepto de
competencia que es difcil aceptar, ya que competencias tales como el pensamiento
o el razonamiento son complicadas de operativizar , de convertirlas en algo
medible y cuantificable, por lo que la evaluacin tradicional ya no sera vlida y se
requeriran nuevos mtodos de evaluacin. Todo ello, entre otros aspectos, puede
llevar a que las reformas planeadas en este sentido se queden en mera retrica y no
consigan cambiar las prcticas en el aula.
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Aunque existen puntos en comn, tambin existen discrepancias. Los puntos
que he sealado, pueden encontrarse en la mayora de las propuestas, pero unas
acentan ms unos aspectos que otros y pueden diferir considerablemente las
formas en que se pretende llevar a cabo. As aunque se parta de la idea de unas
matemticas para todos, las metas, desarrollo y puesta en prctica difieren
considerablemente.
1.4.- Los currculos de matemticas para todos
He expuesto en lneas generales las razones por las cuales debe ensearse
matemticas a todos los estudiantes