Ajuste de PIDs -...

Clase 09 Reguladores Clásicos.doc 1

1. Ajuste de PIDs 1. AJUSTE DE PIDS ........................................................................................................1

1.1. PORQUÉ REALIMENTAMOS........................................................................................2

1.1.1. Estructura estándar de un PID .........................................................................5

1.1.2. Efecto Antireset Windup up.............................................................................21

1.1.3. Efecto Bumpless...............................................................................................22

1.2. AJUSTES CLÁSICOS DE PIDS ...................................................................................23

1.2.1. Ajuste Empírico Manual..................................................................................24

1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942).................................................................25

1.2.3. Relación entre ambos métodos: ......................................................................30

1.2.4. Método de Asignación de Polos......................................................................33

1.3. CONTROL CON MODELO INTERNO (IMC) ...............................................................38

1.3.1. Paradigma de diseño para IMC......................................................................44

1.3.2. Diseño de F......................................................................................................46

1.3.3. Realización del Controlador IMC...................................................................50

1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden.........................................52

1.4. AJUSTE ITERATIVO EN LAZO CERRADO (IFT) ........................................................57


1.1. Porqué Realimentamos

u

Rr G

y

v

e

u

Rr G

y

v

e

G

G

+

−

+

+

+

+

+−


u

Rr G

y

v

e

GG

+

−

+

+

+−

+

u

R′r

G

y


- Acciones más comunes de control Control de dos posiciones Control proporcional Control Integral Control Derivativo


1.1.1. Estructura estándar de un PID

- Ideal (de libro)

uipKr

y

e+

−

+

++

iiK

idK

( )e t dt∫

( )de tdt

i i ip i d

deu K e K edt Kdt

= + + ∫ [1.1]

ipK : Ganancia proporcional [unidades de salida / unidades de entrada].

100ipK Banda proporcional

iiK : Ganancia integral (reset) [repeticiones/seg] idK |: Ganancia derivativa (rate) [segundos]


- Banda Proporcional

maxy

miny

minu maxu

pK

100

p

BPK

=

-


- Ganancia Integral – Tiempo Integral – Reset Time – Repeticiones

i1

ii

TK

=

pK

i2T i3T 1 minuto


- Modelo Paralelo (sin interacción)

u

ppK

r

y

e+

−

+

++

piK

pdK

edt∫

dedt

p p pp i d

deu K e K edt Kdt

= + +∫ [1.2]

Ojo con las unidades!

- PID con acción velocidad o incremento ude

dtr

y

e+

−PID edt∫


- Acción Directa o Inversa u

r

y

e+

−PID

ur

y

e

+−

PID

- Variantes

ur

y

e+

−PID

ur

y

e+

−

+

+PI

D

ur

y

e+

−

+

+I

PD


- Discretización La mayoría de los controladores son digitales.

( )10

kd

k p k j k kji

TT = k e e e e u T T −=

+ + −

∑ (1.3)

( )k-1

k-1 k-2j dk-1 p k-1 ij=0

= + e eu k e k e k + -

∑ (1.4)

( ) ( )k k-1 p i d k d k-1 d k-2 - = 1 + + - 1 + 2 + u u k k k e k e k e (1.5)


- Acción Proporcional Acción más intuitiva Para error cero se tiene actuación cero. Necesariamente tiene error en el control Alta ganancia, bajo sesgo o error No introduce desplazamientos de fase (se verá más adelante) Ejemplo sea un sistema de primer orden

AY(s) = U(s)1 + sT

(1.6)

Si se lo realimenta con un regulador P resulta

pp

p

p

p

K AK A1 + K A1 + sY(s) = R(s) = R(s)K A 1 + s1 + 1 + K A1 + s

ττ

τ

(1.7)

La constante de tiempo en lazo abierto es τ y en lazo cerrado es 1 pK Aτ

+


Al aumentar K el sistema se hace más rápido.

La ganancia en lazo abierto es A y en lazo cerrado 1p

p

K AK A+

A medida que pK aumenta, la ganancia tiende a uno, objetivo buscado en el control.

Solo con pK = ∞ llegaríamos a ganancia uno

El error permanente es 11 p

r yK A

ε = − =+


Ejemplo:

ur

y

e+

− +

+pK

BIAS

TanqueL

,e eV Q

sQ

z


Caso 1: 50% 50% 50% 50%eV r y BIAS= = = = [1.8]

entonces 0 0 50% e se z u BIAS V V= = = = = [1.9]

e sQ Q y r= = [1.10]

Caso 2: 60%eV = [1.11]

y e z u↑ ↑ ↑ ↑ [1.12]

se debe lograr que e sQ Q= o sea

60%eu V= = [1.13]


En este caso no se logra y r= porque,

60%10%

10 0

e

p p

u Vz u BIAS

zeK K

= == − =

= = ≠

[1.14]

10% 50%p

y e rK

= + = + [1.15]

Para 1 60% 10%pK y d= = = [1.16]

10 51% 1%pK y d= = = [1.17]


El desplazamiento es proporcional a 11pK +

El BIAS se ajusta para compensar el desplazamiento promedio. Se hace BIAS = actuación promedio En muchos casos se fija BIAS = 50% BIAS se puede usar para rechazar una perturbación promedio Notar que la acción de control es proporcional y negativa con respecto al error


- Acción Proporcional + Integral Recupera el desplazamiento

zy

tiempo

%

r

Lazo Abierto

La acción integral aumenta el tiempo de respuesta del sistema Lo inestabiliza Introduce un retardo en la fase (es malo)


- Acción Proporcional + Derivativa

zy

tiempo

%

r

Lazo Abierto

z

y

tiempo

%

r

Lazo Abierto

Aumenta la velocidad de respuesta del sistema No corrige desplazamientos permanentes Introduce avance de fase (bueno). Puede corregir el retardo del I Es anticipativo Altas acciones de control. Bueno para sensores lentos Alta ganancia a altas frecuencias. Amplifica ruido Malo para plantas de no mínima fase (péndulo invertido)


frecuencia

t∂∂

Derivador Ideal

Solo se necesita la acción derivativa hasta cierta frecuencia Se utiliza un pasa bajos para anular la acción a altas frecuencias

fdedt

udK

e pasabajos


frecuencia

t∂∂

Derivador Ideal

pasa bajos

efecto totalcf

[ ]1 12cf Hzπ γ

= [1.18]

en muchos controladores comerciales (SPEC-200, Bailey FC-156) existe este ajuste

0,1 0,2 dKγ = [1.19]


1.1.2. Efecto Antireset Windup up

u

KTds-y

es

u

K

K/Ti 1/s

Actuador

1

iT

-

+

+

+

e v

+

+

+

u

KTds-y

es

u

K

K/Ti 1/s

1

iT

-

+

+

+

e v

+

+

+

ActuadorModelo


1.1.3. Efecto Bumpless

Manual

u

PDy

es1

rT

-

+

e

+

r

Actuaciónmanual

1

rT1s

1s

1

rT

1

mT

Auto

-


1.2. Ajustes Clásicos de PIDs No es magia Los parámetros dependen del proceso Existe una teoría para el ajuste óptimo (se verá más adelante) Existen ajustes empíricos Se requiere una perturbación a la planta


1.2.1. Ajuste Empírico Manual Ajustar primero la respuesta transitoria sin importar el error estacionario. Solo usar P y obtener la mejor respuesta que se pueda obtener (ejemplo control

de caudal) Agregar D e intentar mejorarlo Verificar el error estacionario y eventualmente introducir I sin que afecte el tran-

sitorio Si tiene retardos bajar la derivativa y aumentar integral (no mucho porque osci-

la) Ojo con los autotuners


1.2.2. Método de Ziegler-Nichols (1942) Objetivo: reducir el sobrepico a un cuarto

1s 2s

1

2

4ss=

- Método de Respuesta en frecuencia Es más seguro porque el lazo permanece cerrado incluye todas las no linealidades funciona en dos direcciones


Procedimiento: Se utiliza un controlador solo P Se cambia la referencia y se observa la respuesta Se incrementa la ganancia proporcional hasta que se obtiene una oscilación Si la oscilación crece, disminuir la ganancia o aumentarla si decrece. Cuando la oscilación es sostenida, se registra la ganancia del controlador cK ,

se la denomina ganancia crítica Se mide también el período de la oscilación cT

Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK

P 0,5 cK

PI 0,45 cK 1,2cT

PID 0,6 cK 2cT

8cT


Zieglers y Nichols utilizaron un PID serie neumático (Taylor Fullscope con 0,2 dKγ = )

- Método de Respuesta al Escalón Rápido, solo un escalón da idea de la respuesta de la planta

L

Y

u

T

X

L

u

a

X

YK X= , LYaTX

=


Se calculan los parámetros de acuerdo a la tabla pK iK dK

P 1 TYa LX=

PI 0,9 0,9TYa LX

=1

3L

PID 1,2 1,2TXa LY

=1

2L

2L

¡Ojo con las unidades! ¡Ojo con la forma del PID!


- Método del Relé. Åström – Hägglund (Heladera) Mejora al método de Z-N de respuesta en frecuencia el Z-N introduce grandes oscilaciones

se aproxima entrada y salida a dos senoides y la ganancia crítica de Z-N sería

42cK

A∆

≈ [1.20]

donde ∆ es la amplitud del relé y A la amplitud de la salida Con esto se aplica Z-N

uipKr

y

e+

−Planta

u

y


1.2.3. Relación entre ambos métodos: El método en lazo abierto también es válido para sistemas inestables siempre que la respuesta inicial tenga la forma de la figura. En particular se puede considerar el integrador con retardo siguiente

-sTbG(s) = es (1.21)

que tendrá una respuesta al escalón de la que se obtendrá: L T a bT= = (1.22)

de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será

i d1.2 TK = = 2T = T TbT 2

(1.23)

Si se ensaya de acuerdo al método de respuesta en frecuencia se obtendrá un período de oscilación y una ganancia,

c c = 4T = t k 2bTπ

(1.24)

De acuerdo a esto, el regulador PID será:

i d0.6 0.94 TK = = 2T = T T2bT bT 2

π≈ (1.25)


- Interpretación

( )

cdr c c c c c

ic c c

c

1 2 2t(i ) = 0.6 1 + j - = 0.6 1 + j 0.12 - G k k tT 2t tT = 0.6 + 0.26 j k

πω ω

πω

(1.26)

es un avance de 23

- Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto

pj( + )pp(j ) = G er π φω (1.27)

queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto sj( + )

sB = er π φ (1.28)

mediante un regulador rj

rr(j ) = G er φω (1.29)

Podríamos hacer el diseño por el método de márgen de amplitud es decir que para Φs= 0 la amplitud sea rs= 1 / Am siendo ésta un márgen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir:

s p rj( + ) j( + + )s p r = e er r rπ πφ φ φ

(1.30)


entonces el regulador será:

sr

p

r s p

r = rr

= - φ φ φ

(1.31)

la ganancia proporcional es la parte real del regulador coss s p

pp

( - )r = kr

φ φ (1.32)

el ángulo estará dado por

tand s pi

1 - = ( - )T Tω φ φ

ω (1.33)


1.2.4. Método de Asignación de Polos. sistema de primer orden

pp

1

k = G 1 + s T (1.34)

regulador PI

ri

1 = K 1 + GsT

(1.35)

resultando un sistema de segundo orden en lazo cerrado

p rc

p r

G G = G 1 + G G (1.36)

la ecuación característica será

p p2

1 1 1 i

K K1 k k + s + + = 0s T T T T

(1.37)

y nuestra condición de diseño dice 2 2 + 2 s + = 0s ξ ω ω (1.38)


el regulador PI resulta

1

p

1i 2

1

2 - 1TK = k

2 - 1T = T T

ξ ω

ξ ωω

(1.39)

se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden


- Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden

21 2

1 2

A(z) = + z + a azB(z) = z + b b

(1.40)

regulador PI

r

1

S(z)(z) = H R(z)R(z) = ( z - 1 ) (z)R

(1.41)

una forma genérica sería 2

0 1 2

1

S(z) = + z + s s szR(z) = ( z - 1 ) ( z + )r

(1.42)

la ecuación característica será 2

11 2

21 2 0 1 2

( + z + )( z - 1 )( z + ) +a az r ( z + )( + z + ) = 0b b s s sz

(1.43)


que es de cuarto órden. Se podría especificar un denominador como,

2- h 21 2P(z) = ( z - ( + z + )) p pe zαω

(1.44)

donde

cos 2- h1

-2 h2

= - 2 ( h 1 - )p e = p e

ξω

ξω

ω ξ (1.45)

Ejemplo:

p1(s) = G ( 1 + s )( 1 + 0.26 s )

(1.46)

si el período de muestreo es h = 0.1 seg.

p 2

0.0164 z + 0.0140(z) = H - 1.583 z + 0.616z (1.47)

condición de diseño:

= 0.5 = 4 = 1ξ ω α (1.48)


P será 2 2P(z) = ( z - 0.670 ( - 1.54 z + 0.670 )) z (1.49)

reemplazando

1

0

1

2

= - 0.407r = 6.74s

= - 9.89s = 3.61s

(1.50)


1.3. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

la salida es

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1o

QG QGy r dQ G G Q G G

−= +

+ − + − [1.51]

si el modelo es perfecto,

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.52]


el IMC se puede mostrar como

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+++

C


u

ˆ1QCQG

=−

r G

y

od

e+

−

+

+

El control es diseñado en base al modelo de la planta

( )ˆC C G= [1.53]"


Es muy intuitivo

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

está relacionado con el concepto de predictor de Smith


Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q?

¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.54]

( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.55]

ˆ1ˆ ˆ o

G Gy r dG G

= + −

[1.56]

1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.57]

con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto


Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables


1.3.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige

învQ FG= [1.58]

siendo învG una aproximación estable de la inversa de G

y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.

învG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)

Si se toma esta condición de diseño se obtiene

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1o

QG QGy r dQ G G Q G G

−= +

+ − + − [1.59]

( ) ( )ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv

oinv inv

FG G FG Gy r dFG G G FG G G

−= +

+ − + − [1.60]

suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.61]


resulta

( )1 oy Fr F d≈ + − [1.62]

recordar que elegimos învG como una aproximación estable de la inversa de G

si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ învG G−=

si no es el caso se hace una separación

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ê iB s B s B s

G sA s A s

= = [1.63]

( )êB s contiene los ceros estables y

( )îB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase

se elige

( ) ( )( ) ( )( )

0

ˆˆ

ˆ înv

e is

A sG s

B s B s=

= [1.64]

se considera la ganancia estática de ( )îB s

no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)


1.3.2. Diseño de F ( )1 oy Fr F d≈ + − [1.65]

F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:

- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta

Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre


Generalmente F se elige de la forma

( )1

1 pFsβ

=+

[1.66]

se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual

número de polos y ceros. Por ejemplo

( ) 1ˆ2 1

G ss

=+

, 1

1F

sβ=

+,

2 1ˆ1inv

sQ FGsβ+

= =+

[1.67]

( ) 2

5ˆ2 1

sG ss s

−=

+ +, ( )

2 2 1ˆ5inv

s sG s + +=

−,

( )21

1F

sβ=

+,

( )

2

22 1ˆ

5 1inv

s sQ FGsβ

+ += =

− + [1.68]


β pequeño => F rápido

β grande => F lenta

Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición

β se convierte en un potenciómetro de diseño

Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.


step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1]))

Time (sec.)

Am

plitu

deStep Response

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To: Y

(1)


1.3.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

en la forma "PID" clásica

u

PIDCr G

y

od

e+

−

+

+


de donde se deduce que

ˆ1PIDQCQG

=−

[1.69]

Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo

Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β

- se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropia-das.


1.3.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta

ˆˆˆ 1

KGsτ

=+

[1.70]

el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.71]

ˆ 1ˆˆinv

sGK

τ += ,

11

Fsβ

=+

[1.72]

ˆinvQ FG= [1.73]

el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv

inv

FGQ sCsK sQG FG G G

τββ

+= = = =

− − [1.74]

en el caso de un PI paralelo p

p iPI p

KC C Ks

= = + [1.75]

eligiendo


ˆˆ

ppK

Kτβ

= ,1ˆ

piK

Kβ= [1.76]

dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆPIsC

K K s K sτ τβ β β

+= + = [1.77]

Resumen:

- encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β

Recordar que con β pequeños se obtiene

- rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición


- mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo

% Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh;


kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida


yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


1.4. Ajuste Iterativo en Lazo Cerrado (IFT) Método alternativo de autoajuste de parámetros la planta es

10 ( )k k ky G z u v−= + [1.78]

u

Rr G

y

v

e

el lazo cerrado resulta

0

0 0

11 1

RGy r vRG RG

= ++ +

[1.79]


Objetivo: encontrar los parámetrosθ del regulador tal que minimicen el siguiente

funcional:

( ) ( ) ( )2 2

1 1

12

N Nd

k k kk k

J E y y uN

θ λ= =

= − + ∑ ∑ [1.80]

hay que derivar e igualar a cero:

( ) ( )1 1

1 N Nd

k k kk k

J y uE y y uN

θλ

θ θ θ= =

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ [1.81]

Una forma de ajustar los parámetros es recursivamente en la dirección del gra-diente

( )11k k k k

JR

θθ θ γ

θ−

+

∂= −

∂ [1.82]

El problema está en el cálculo del gradiente, en realidad los términos yθ∂∂

y uθ∂∂


llamando

00

01RGT

RG=

+ , 0

0

11

SRG

=+

[1.83]

sea dy la respuesta deseada a la referencia d

dy T r= [1.84]

0

0 0

11 1

d dRGy y y r y vRG RG

= − = − ++ +

[1.85]

0

0 0

11 1d

RGy T r vRG RG

= − + + +

[1.86]

( ) ( )

2 20 0 0

2 20 0 0

1 1 1G RG Gy y R R Rr r vRG RG RGθ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = − −

∂ ∂ + ∂ ∂ ∂+ + [1.87]

2 20 0 0 0 0 0 0 0

1 1y R R R RT r T r T S v T r T r T S vR Rθ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [1.88]

0T y 0S no son conocidas

se sabe que


20 0 0 0T y T r T S v= + [1.89]

se puede reescribir [1.88]

[ ] ( )0 0 01 1y R RT r T y T r yR Rθ θ θ

∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ [1.90]

en donde sigue sin conocerse 0T .

Pero si se realizan los siguientes experimentos: 1) se realiza un primer ensayo con una referencia 1r r= , obteniéndose una res-

puesta

1 0 0 1y T r S v= + [1.91]

2) el segundo ensayo se efectúa con una referencia 2 1r r y= − , obteniéndose una respuesta

( )2 0 1 0 2y T r y S v= − + (1.92)

Si se reemplaza (1.92) en [1.90] resulta


( ) [ ]0 2 0 21 1y R RT r y y S vR Rθ θ θ

∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ [1.93]

con lo que se podría tomar como aproximación,

21y R yRθ θ

∂ ∂=

∂ ∂ [1.94]

Con la actuación ocurre algo similar. De esta forma se logra el cálculo del gra-diente del funcional.


Ejemplo 1.1. Regulador PI En este caso simplificado, se cumple

( )1

1

11

p ik k zR

z

−

−

+ −=

− (1.95)

por ende 1

1

11

i

p

k zRk z

−

−

+ −∂=

∂ − , 11

p

i

kRk z−

∂=

∂ − (1.96)

( ) ( )( )

1

1 1

2 2 21

1 11

1111 1

1 1111 1 1 11

i

pp

p ip i

i i

k zkky z z y y y

k kk k zk z k zz

θ

−

− −

−

− −−

+ − ∂ − − = = = +∂ + − + − − +−

(1.97)

( )( )

2 2

1

1

1 11 1 1

p

i

i

ku u ukk z

θ−

∂ = = ∆ +∂ − +

(1.98)


( ) ( )1 11 1

1 N Nd

k k kk k

J y uy y uN

θλ

θ θ θ= =

∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ (1.99)

- Algoritmo: 1) Cálculo del vector ∆ 2) Ensayo 1 3) Ensayo 2

4) Cálculo de los gradientes yθ∂∂

y uθ∂∂

5) Cálculo del gradiente Jθ∂∂

6) Ajuste de los parámetros con la ley 11k k k k

JRθ θ γθ

−+

∂= −

∂

7) volver al paso 2)


- Simulaciones plot(yes);grid

0 200 400 600 800 1000 12000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


plot([ym ydd]);grid

0 50 100 150-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

plot(j);grid

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

20

40

60

80

100

120

140


plot(th');grid

1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


- Código %Sistema continuo Bc= 1; Ac=poly([-1 -2 -1]); na=length(Ac)-1; syscont = tf(Bc,Ac); %Sistema en variables de estado Pss = ss(syscont); [a,b,c,d] = ssdata(Pss); % y su respuesta al escalón ... t = 0:0.01:10; u = ones(size(t)); yes = lsim(syscont,u,t); T=.2; % Parámetros del regulador PID kp = 0.05; ki = 0; %kp = 0.1522; % 56 it .001 %ki = 0.0470; % 56 it .001 kd = 0; iter = 5; j=zeros(1,iter); th=zeros(2,iter+1); th(:,1)=[kp;ki]; lambda=.0; Tfin = 30; precision= .02; t = 0:precision:T;


ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); nd = Tfin/T; ed = zeros(nd,1); ud1 = zeros(nd,1); yd1 = zeros(nd,1); ud2 = zeros(nd,1); yd2 = zeros(nd,1); ud3 = zeros(nd,1); yd3 = zeros(nd,1); ym = zeros(nd,1); ydd = []; var =.001; gamma=.5; % Cálculo de La respuesesta del modelo am=.5; for i = 3:nd ym(i) = am*ym(i-1)+ (1-am)*ref; end; for k = 1:iter % Experimento 1 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:nd % Regulador


yd1(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref- yd1(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd1(i)-yd1(i-1)); ud1(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud1(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:)); yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; % Experimento 2 x0= zeros(1,na); y = zeros(size(t)); yy = 0; uu = 0; int = 0; for i = 3:Tfin/T % Regulador yd2(i) = y(ly)+ var*randn; ed(i)=ref - yd1(i) - yd2(i); int = int + ki * ed(i); der = kd * (yd2(i)-yd2(i-1)); ud2(i)=kp*(ed(i)+ int + der); % bloqueador de orden cero u = ud2(i) * ones(size(t)); % Sistema s=size(x0); [y, tt, x0] = lsim(Pss,u,t,x0(s(1),:));


yy = [yy ; y]; uu = [uu ; u']; end; j(k)=(ym-yd1)'*(ym-yd1)+lambda* ud1'*ud1; dydkp=yd2/kp; dydki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dydki(i) = 1/(1+ki)*dydki(i-1)+1/(1+ki)*yd2(i); end; dudkp=ud2/kp; dudki = zeros(nd,1); for i = 3:nd dudki(i) = 1/(1+ki)*dudki(i-1)+1/(1+ki)*ud2(i); end; dydp=[dydkp';dydki']; dudp=[dudkp';dudki']; yt=yd1-ym; djdp=(dydp*yt+lambda*dudp*ud1)/nd; kp=kp-gamma*djdp(1); ki=ki-gamma*djdp(2); th(:,k+1)=[kp;ki]; ydd=[ydd yd1];

end


- Referencias 1. Häkan Hjalmarsson, Michel Gevers, Svante Gunnarsson, Olivier Lequin,, Iterative

Feedback Tuning: Theory and Applications – IEEE Control Systems – Agosto 1998

2. G.C. Goodwin, S.F. Graebe, and M.E. Salgado. Control System Design. Prentice Hall, 2001.

3. K. Astrom, B Wittenmark. Computer Controlled Systems. Prentice Hall, 1997. 4. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 1988

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