Ahoz eIa euskaraz irakurtzeko~an, noia

irakurri behar dira algebrazko formulak?

Karlos SANTAMARIA

Algebrazko kalkulua hizkuntza formalizatu bat da. Bere elementuak, letrak eta zenbakiak izaten dira.

Elementu horik, konektagailuak deituko ditugun ikur berzi batzuen bidez lotzen dira, formulak osatzeko.

Konektagailu bakoitzak eragiketa bat itxuratzen du. Ez ordea beqte aldera, eragiketa batzuek ez bait dute ikurrik izaten. Adibidez, berreketa delakoak ikurrik ez du, jakina denez. Biderkaketa ere, kasu askotan. iku- rrik gabe erabiltzen da.

Izan ere, konektagailuak guztiz konbentzional eta desberdinak dira, ncihiz beren formak gatik, nahiz beren erabili moldeak gatik. Anarkia Amen arrazoia historiatik dator, noski, gure lehengo artikuluan esan genuen bezala.

Hona hemen konektagailueii errenkada. Bakoitzerako itxura, ázciaa eta berak itxuratzen duen eragiketa, ematen dira, errenkada honetan bertan

g ehi ken bider

>>

zati >>

batuketa kenketa biderkaketa

>>

zatiketa >?

erro esroketa

Baldin elgebrazko formula bat ezkerretatik eskuitara eta goitik be- hera, ikurrez ikur aztertzen badugu, elementu eta konektagailuen segida bat agertzen da (segida/sucesión) .

Adibidez,

formula, prekauzio horiekin aztertzen baldin bada, honeko ikur segida hau arkitzen da:

Eta, ikur bakoitzari bere izena emanaz, ikur segida hori irakurtzean, bitz segida bat agertzen da,,alegia:

c a ; erro ; bost ; zati ; hamar »

hitz segida.

Erraz ikusten da segida honen estruktura aldizkakoa dela, alegia, elementuak eta konektagailuak txandaka agertzen direla, lehenengoa eta azkenekoa, hain zuzen ere, elementuak izanik.

Estruktura honen eeskema honako hau da beraz:

ELEM KONEK ELEM KONER ELEM KONEK.. . KONEK ELEM Aipatutako hitz segidari frase izena emango diogu, formula baten

azaldura delako. Kalkulu idatziak formulak erabiltzen ditu, kalkulu min. tzatuak frasaek erabiltzen dituen modura.

Halere, ikur izkutu zenbait dagoelako, esan dugunez, zenbait oharpen egin behar dugu honi buruz.

Nahiz eta ageriko ikurrik ez izan, izen bat ezarri behar diogu berre- ketaren ikur izkutuari; «ber» izena alegia.

Adibidez

fo rm~~la irakurtzean, «a ber hirum irakurriko dugu.

Biderkaketari buruz gauza bera esango dugu, «bider» ikurra askotan izkuturik uzten bait da. Adibidez

formula aa gehi b bider c» irakurtzea komeni da, batzutan behintzat

Bigarren graduko erroketan ere, 2 indizea kendu ohi da kasu gehie-

riaetan. 45-idazten da, eta cz S/5. Hala eta guztiz ere, formuka horren egiazko irakurtza «bi erro boct» dela onartuko dugu.

Ezkermakoak eta eskumakoak

Aipatu ditugun elementu eta konektagailuez gainera, beste ikur kon- plemcntariak erc erabiltzen dira; maProak deitzen ditugunak alegia.

Makoak, bi motatakoak izan ohi dira.

( ezkemiako deitzen duguna eta

» ) ?> eckumako deitzen duguna

Badago zenbait erregcla makoak ongi jartzeko; hemen ez ditugu emango, ordea, lan hau gehiegi ez luzatzeko.

Dena den, ezkermako bat formularen hasieran ez baldin badago, edo becie ezkermako baten ondoan ez badago, elementu bat eta konektagah baten artean izan behar da, KONEK EZKERMAKO ELEM ordenean hain zuzen ere. Eta eskurnako bat formularen bukaeran ez baldin badago, edo becte eskumakoaren ondoan ez badago, elementu bat eta konektagailu baten artean izan behar du, nahi eta nahi ez, ELEM ESKUMAKO KONEK ordenean hain zuzen ere.

Adibidez: aeskermako hiru bider bost ber bi eskermako zati hiru eskumako eskumako fracea gaizki eraturik dago, «bi eskermako zati» ordenazioa egolcia ez delako.

Ordea, ezkermako hiru bider bost ber ezkermako bi zati Mru esku- ~nako eekumako» ongi eratua da, nahiz eta makoak beharrezko ez izan. Hriren eskema EZK ELEM KONEK ELEM KONEK EZK ELEM KONEK EZK ELEM KONEK ELEM ESK ESK da.

Ezkermako bakoitzari eskumako bat dagokio, haren eskuialdean da- goena, eta biek makopare bat osatzen dutela esaten dugu. Halaber, esku- mzko bakoitzari ezkermako bat dagokio, eta bien artean niakopare pa;e bat osatzen dute.

EXENPLOZ: Delako cbi bider ezkermahco hiru ken ezkennako bost ken ezkermako cei gehi zazpi eskumako eskumako» Erasea ongi osaturik dago eta, berehala ikusten denez,

í'ocmulari dagokio.

Makoen egiinkizuna, formularen zati bat aapiformula bat dela azaltzea da -azpiformula hitz honen esannahia gdrokoan erakusten da- hau da, ni~kopare baten barruan dagoen zatia egiazlto formula bat dela berez ctn. honen lekuan bere baloiea jartzen haldiii bada, formula berria lehe- nengoarekin baliokidca dela.

Adibidez, idatzi berri dugun formulean

6+7

batuketaren lekuan, honen balorea jartzen badugu, 13 dena,

2 x (3-(5-13))

agcrtzen den formula berria, lehengoaren baliokidea da.

Hau da, berriz ere diogu, makoen esannahia.

Azpifraseak, azpifrase egokiak eta azpiformulak.

Honeraino esandakoa erraza eta argia badirudi ere, eragozpenak eta anbiguetateak berehala agertzen dira formula batzuk irakurtzean. Guzti hmi ongi garbitzeko eta gauzak beren lekuan jartzeko, beharrezkoa dugu orain zenbait definizio eta argipen ematea.

Orain esango duguna izanen da, apika, gure irakurleentzako artikulu honen punturik zailena. Irakurle gehienak, ordea, errigortasuna alde ba- tera utzirik, nahikoa izanen du exenploak ulertzearekin.

Frase batetan, edo hitz segida huts batetan, bi nolanahiko hitz har dezagun, mugak bezala. Bi hitz muga hauen artean dauden hitz guztiak, batere utzi gabe eta dauden ordenean bertan, beste hitz segida bat osa- tzen dute. Hitz segida hau irekia ala itxia izan daiteke.

Mugak, berak mugatutako hitz segidan bertan sartzen direla onartzen denean, hitz segida itxia dela esaten da. Bestela, mugak ez ba dira hiiz segidan sartzen alegia, hau irekia dela esaten da.

Adibidez,

«a ber bost gehi hiru erro pe zati hiru erro en

frasean «bost» eta «zati» hitzak mugatzat hartzen ba ditugu,

cgehi hiru erro pe»

izanen da berak mugatutako hitz segida, irekia izatekotan, eta

abost gehi hiru erro pe zatin

hitz segida itxia izanez gero.

Oharraraz dezagun ordea, hitz segida horik ez direla fraseak, ez bata ez bestea, beraiek ez bai dagozkio inolako formulari.

Ordea, «hiru» eta «pe» hitzak hartzen baditugu. mugatzat,

shiru erro pe» hitz segida erdesten da egiazko frase bat dena, bera

formulari dagokionez gero. Hori dela eta, ai~atutako hitz segida, frase osoaren azpifrase bat dela esango dugu, honako er~egela honen arabera: frase jakin batean, bi hitzek mugatutako hiiz-segida, edozein formulari dagokionean, hitz segida horri «azpifrase» izena ematen diogu.

Bi kasu desberdin ager daiteke azpifrasetan.

Har dezagun, esate baterako,

6+4 -

F delako formula guztiz erraza. Formula honi dagokion S fras-a honako hau da:

«sei gehi Iau zati bim

Frase honetan

alau zati bis

azpifrase bat da,

formulari dagokionez gero. Formula honen balorea 2 da; alegia «bi».

Ordezka ditzagun beraz «lau zati bi» hitzak, «bi» hitzaz. S frasearen lekuan

«si gehi bi»

Si frase berria izango dugu,

Fi formulari dagokiona.

Baina F1 formularen baiorea, 8 da. Berehala ikusten da beraz kalku- lua gaizki egina dela. Ondorea hau da: egin dugun ordezkatzea ez da zilegi.

Beste gauza bat gertatzen da

«cei gehi lau»

S frasearen azpifraseari begisatzen badiogu. Kasu honetan zilegi da azpi- frase hori «hamar» hitzaz ordezkatzea, eta

«hamar zati bi»

SI frase berria onartzea. Gauza bera esaten dugu F formulari buruz. Zi- lesi da

6i-4

2 F formulan

f zatia, honn 10 baloreaz ordezkatzea. Ft formula berria

izango da.

Gertaera hau azaltzeko ~azpifrase egoki* kontzeptua sartzen du~gu. Delako «lau zati bi», S frasearen azpifrase egoki bat ez dela esaten dugu, ordezkatzea zilegi ez delako. Ordea, «sei gehi bi» delako frasea, S Era- searen azpifrase egoki bat dela esaten dugu, ordezkatzea zilegi denez gere.

DEFINIZIOA. Baldin F formularen S frasean s azpifrase bat bada, era s azpifraseari dagokion formula f bada, f r deituko diogu f formularen baloreari; SI deituko diogu f1 balorearen izenari; Si deituko diogu S fra- sean s azpifrasea SI izenaz ordezkatzearen ondoreari eta Fl deituko diogu SI fraseari dagokion formulari. Guzti hau honela izanik, F eta FI formuhk baliokideak baldin badira, s delakoa S Erasearen azpifrase egoki bat dela esaten diigu eta f delakoa, F formularen azpiformula bat dela esaten dugu.

EXENPLUZ:

F eta R formulak baliokideak direlako, s delakoa S frasearen azpi- frase egoki bat dela esan daiteke, eta f delakoa F formularen azpiformula bat dela esan daiteke ere.

Irakurtzearen anbiguetatea

Formula bat ikurrez ikur irakurri behar dela esan dugu. Eri-egeia honeil bidez nolanahiko F formula S frase bakar bati dagokio dudarik gabe.

Baina beste aldera ez da gauza bera gertatzen, zeren formula desber- di11 eta cz-baliokideei irakurtze berdina bait dagokieke.

Har dezagun, adibidez, lau formula hau

Irakurketa ikurrez ikur egitekotan, frase bakar batera eramaten dute la11 formula horiek, alegia,

«a gehi be zati ze gehi de»

frasera.

Hemen agertzen da anbiguetatea. Formula batetik frase batera pa. sarzea posible bada ere, frasetik formulara bihurtzerik ez dugu kaso a s j ~ t an.

Berehala saiatuko gara i~ahasme~l hau garbitzen.

Hita: dissziatzailleak

Direlako «gehi» eta «]ten» I~itzak, dtsozEatzaPleak direla esaten dugtgii. Frase batean holako hitz batzu agertzen bada, paremakoen barruan dan- dcnak kendu eta, hitz disoziatzaileen segida bat osatzen ciugu. Adibicicz:

«hiru ber bi GEHI ezkernnako bi gehi hiru eskumako ber hiru KEN hiru zati bi GEHI bi erro bost»

SOILIK HITZ MARKATUAK, hartzen baldin baditugu, «gehi» ez-marka- tu3 alde batera utziz, paremakoen artean dagoelako, honako segida hau osatzen da

«GEHI KEN GEHI»

Egin ere, holako kasuetan antolapen hau egiten da beti: hitz disozia- tzaileek mugatutako hitz segidak, azpifrase egokitzat hartzen dira beti, bcsterik esaten ez bada.

Adibidez, lehengo frasean,

«him ber bis eezkermako bi gehi hiru eskmnako ber himn

«hirii zati bi»

«bi erro bostn

azpifraseak, azpifrase egokiak direla esaten dugu aipatutako antolapena- ren arabera. Eta hortik

a~piformulak dira. Beraz, lehengo frasearen interpretazioaz ez da batere ai-ibiguetaterik gelditzen, eta frase horri dagokion formula honako hau da

Orain lehengo parrafoan emandako exenplua, alegia FI, Fz, F3, F4 for- mrilen exenplua, berriz ere aztertzen badugu, batere anbiguetaterik ez dagoela ikusten dugu egindako antolapenari esker. Izan ere

«a gehi be zati ze geki de»

frasea, hiru azpifrase egokitan zatitzen da, eta, batere zalantzarik gabe, FI formulari dagokio. Beste problema bat agertzen zaigu beraz alegia FII, Firr eta FIv formulak nola irakurri behar diren jakiteko problema. Gerakoan emango diogu erantzuna.

Direlako «bider» eta «zati» hitzak ere disoziatzaileak dira, baina ba!- dintza batekin, alegia, interpretatu behar den frasean «gehi» eta «ken» hitzak ez agertzea (makoen artean izan ezik). Antolapen hau egiten dugd. beraz: formula batetan; baldin «gehi» eta «ken» hitzak agertzen ez badira, makoen artean izan ezik, cbidern eta «zati» hitzak hitz disoziatzaileak

dira; eta berak mugatutako azpifraseak azplfrase egokitzat hartzen dka, Iehengoan «gehi» eta «ken» hitzei b~~ruz esan ditugun kondizio berdinetan.

DeIako «b zati ze erro a ber pe bider te» frasea interpretatzen saíatzeri garenean, hirri azpifrase egokitan zatitzen zaigu bera alegia,

aze erro a ber pe»

ate»

goiko horik azpifrase egokiak direlarik.

Beraz frase horren inierpretazio zuzena honalco haii da, batere anbi- guetaterik gabe

#R

Reste interpretazioak v a r e t a abar bezalalakoak, ez dira zu- zenak, «bider» eta «zati» hitzak disoziatzaileak direlako. Bajna problema berri bat dugu orain, lehengoan esan dugun bezala, beste interpretazioak nola irakurri behar diren jakiteko.

Ahozko makoak

Kalkuluaren ikurrak epoka diferentetan sarturik izan dira materna- tika sailean, eta asmatzaile anitz izan da hortaz. Ez da beraz estraiiia izanen ikur horien artean desberdin asko ager dadiil. Kalkulu idatziaren anarkia galanta!

Adibidez, berehala ikusten da horietako ikur batzuek makoen egin- kizuna egiten dutela eta beste batzuek, berriz, holako abantailarik ez dutela.

Delako « 4 » erroketaren ikurrak makopare baten eginkizuna egiten du. Biderkaketaren ikurrak, « x » ek, ez du holako eginkizunik egiten, eta horkegatik batzutan makoen erabiltzea eskatzen du.

Adibidez. batetik:

idazten da makorik gabe, eta bestetik ordea

idzttzi behar, rnakopare batekin.

Halaber, zatiketaren «-2 ikurrak makopare eginkizuna egiten du, baina a : » zatiketaren ikurrak ez du horretarako balio.

Adibidez a+b - c+d

makorik gabe idazten da baina

(a+b) : (c+d)

bi makoparez idatzi behar

Irakurtzean ordea, alegia kalkulu idatzitik kalkulu mintzatura bihur- tzen denean, esan dugun ikiir batzuren abantaila hori galdu egiten da; eta hau da, hain zuzen ere, anbiguetate askoren kausa.

Adibidez, baldin P d a + b

formula ahoz irakurtzen badugu «pe erro a gehi be» frasea agertzen da. Baina frase honen interpretazio zuzena 11 a + b Formula da, «gehi» hitza, disoziatzailea delako.

Gauza bera gertatzen da P

a+b formulareki~i, «pe zati a gehi be» frasearen bidez irakurtzen da; baina frase horren egiazko esannahia

a formula da, eman ditugun erregelen arabera.

Anbiguetatea, erdaraz ere agertzen da, jakina, baina pratikan, ingu- rurnari, pausu eta abots doinuaren aldaketen bidez kendu ohi da.

Asmakeria eta atrikulu guzti horik ez zaizkigu zientifikoak iduritzen, in~laz ere, eta euskaraz beste moduz jokatu behar dugula uste dugu, esandakoa baino garbiagoa izan dadin.

Beraz, eragozpen hau gainditzeko, ahozko rnakoak edo erabiltzea pro- posatzen dugu.

~Ahozko mako» direlakoak «has» eta abukan hitzak izango dira gure jokabidean.

Formula bat ahoz irakurtzean, «has» eta «buka» hitzen arteka tar- tean dagoen hitz segida azpifrase egoki bat dela onartuko dugu, makoe- tarako erregela berdinak errespetatuz gero.

Ikus dezagun, adibidez, erregela honen arabera nola irakurri behar diren lehengo FII, FIrr etc FIV formulak.

FII delako

formula, «has a gelii be buka zati ze gehi de» frasearen bidez irakurriko d u g . Erdaraz ere zenbait ingurumari egin behar da irakurtze honetsn ai-ibiguetatea kentzeko. Delako «a más b partido por c más d» esatea ez da nahiko, eta «la suma a más h partida por c y todo ello más d» edo I-iolako zerbait irakurri behar da. Geuk proposaizen dugun irakurtzea hori baino hamaika bider garbiago da, noski.

Halaber, F11r delako

b a + -

c+d

formula «a gehi b zati has ze gehi de buka» fraseaz irakurriko da, batere anbiguetaterik gabe.

Azkenean,

FIV formulari dagokion frasea, «has a gehi be buka zati has ze gehi de buka» frasea izanen da.

Halaber, lehengoan aipatu dugun

b - X t C

\f ap

formula berriz ere aztertzen badugu, formula batzu agertzen dira eta for- mula bakoitzak bere frase egokia du, batere anbiguetaterik gabe. Adi- bidez

b - Xt C

ap

GT formula,

«b zati ze erro a ber pe bider te» irakurtzen da.

G ~ I formula

«has be zati ze buka erro has a ber pe buka bider te» ira- kurtzen da.

Grrr formula abe zati has ze erro a ber pe bider te» irakurtzen da.

b

GIV formula «be zati ze erro has a ber ge bider te bukas irakurtzen da

Etabar, zeren eragiketa beroriekin beste konbinaketa batzuk ere egin bai t daitezke.

Beste aldera, baldin «has be zati ze buka erro a ber has pe bider te bukam frasea ematen bazaigu, berahala aurkitzen da berari dagokion formula. Azifrase egokiak honako hauk dira, besteak beste.

«be zati zen, zeren «has» eta «bukan hitzen artean dagoelako. «pe bider te», arrazoi berdinagatik.

Beraz, esandako formula honako hau da b

Ariketa erraz batzu

Formularik korapilotsuenetan sarturik gabe, hona hemen pratikan interes handia duten exenplu batzuk.

Formulak a - b

Fraseak

(has a zati be buka zati zes

uha zati has be zati ze buka.

a i b x c

a d b x c

Has eta buka dezagun geuk ere.

Donostian 1976ko Irailak 6.

«has a zati be buka zati has ze zati de bukan

«a ber be gehi zen

«a ber has b gehi ze bukan

«a ber be bider ze»

.a ber has b bider ze buka»

«a erro be bider zen

«a erro has be bider ze bukan

«a erro has b gehi ze buka*

aa erro be gehi zem

Karlos Santamaría