Agri Men Sura

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AGRIMENSURA GENERALIDADES Entre las multiples aplicaciones que puede darse a un palno topográfico pueden citarse: obtención de perfiles, determinación de pendientes, cálculo de áreas, división de superficies, cálculo de volúmenes, etc; ya que el interés de contar con el palno topográfico de un terreno no siempre es unicamente la obtención de la forma planimétrica y altimétrica, sino que a partir de dicha representación ha de obtenerse una serie de datos que son de utilidad para otros

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Page 1: Agri Men Sura

AGRIMENSURA

GENERALIDADES

Entre las multiples aplicaciones que puede darse a un palno

topográfico pueden citarse: obtención de perfiles,

determinación de pendientes, cálculo de áreas, división de

superficies, cálculo de volúmenes, etc; ya que el interés de

contar con el palno topográfico de un terreno no siempre es

unicamente la obtención de la forma planimétrica y

altimétrica, sino que a partir de dicha representación ha de

obtenerse una serie de datos que son de utilidad para otros

fines y que frecuentemente están ligados o relacionados con

la ingeniería en general.

Page 2: Agri Men Sura

DEFINICIÓN

El término Agrimensura puede definirse como la técnica que

sirve para determinar la medición de tierras, entendiéndose

que no solamente implica el hecho de la medición misma,

sino también la determinación de lagunas características en

cuanto a forma, superficie, líneas de división, etc.

Page 3: Agri Men Sura

AREADO DE SUPERFICIES

Para encontrar la superficie de un terreno que este

representado en un plano topográfico puede hacerse uso de

los siguientes métodos:

- Métodos o procedimientos analíticos.

- Métodos o proecdimientos mecánicos.

Entre los procedimientos analíticos están: Descomposición del

área total en figuras parciales, por ordenadas a intervalos

iguales, por las coordenadas de los vétices.

Entre los procedimientos mecánicos pueden citarse:

Método del compás y el papel milimetrado y por medio del

planímetro.

Page 4: Agri Men Sura

AREADO POR DESCOMPOSICIÓN DEL AREA TOTAL EN FIGURAS PARCIALES

Como su nombre lo indica, el método consiste en dividir el área

total en figuras parciales y que correspondan a: triángulos,

cuadriláteros, rectángulos, cuadrados, trapecios, sectores de

círculos, sectores parabólicos y/o elípticos, etc. Según como

pueden dividirse la superficie total. El valor del área o superficie

total será la suma algebraica de todos los valores de las

superficies parciales.

El método de descomposición generalmente es empleado

cuando la superficie total tiene la forma poligonal o el perímetro

de ella es de forma irregular. En la aplicación de este método,

es aconsejable tener en cuenta las siguientes consideraciones:

Page 5: Agri Men Sura

- Si la superficie total es un polígono, divídala en rectángulos, fig.

a.- Si la superficie total tiene perímetro irregular (segmentos de

rectas y/o curvas), tener una recta que atraviese las superficie y

baje perpendiculares desde los vértices, a la recta trazada, fig

b.- Tal vez que sea posible, divida la superficie total en el menor

número de figuras parciales.- Toda vez que sea posible tome los segmentos mayores para el

cálculo de áreas.- En algunos casos es conveniente completar figuras, lo cual

debe descontarse en el cálculo matemático.- Cuando se tenga que medir ángulos, no es aconsejablela

medición con transportador, sino calcular el ángulo por

relaciones matemáticas.

Page 6: Agri Men Sura

S1

S2

S4

S3

FIGURA a.

ni

1ipSS

S : Superficie total

Sp : Superficie parciales

(en este caso triángulos)

Page 7: Agri Men Sura

ni

1ipSS

S1: Area de un sector circular

S2: Area de un triángulo

S3: Area superficie irregular con ordenadas a intervalos iguales.

S4: Area de rectángulo – Area de un sector parabólico.}

S5: Area de un trapecio

S6: Area de un trapecio

S6

S5

S4

S3

S1

S2

Page 8: Agri Men Sura

FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS ELEMENTALES:

Triángulo

)(21

))()((

2.

2.

S

cbap

cpbpapp

Senbahb

Cuadrado

a

a

d

hc

a

b

hc

a

b

2S

22 da

Page 9: Agri Men Sura

b

h

d

Rectangulo

φSen2d

b.tS2

Trapecio

h

b

B

d1 d2mediana:m

φSen2.dd

whb)h(B21

S

21

Page 10: Agri Men Sura

Cuadrilatero:

b

c

dd1 d2

rocuadrilatedeldiagonaleslasde

direcciónlaenformadoAngulo:

Tg)dcb(a41

φSen2

dxdS

2222

21

Círculo:

dr

4dπ

rπS2

2

Page 11: Agri Men Sura

Sector Circular:

Sector Parabólico:

rArco

2r.Arco

360rπ

S2

I

ba

a.b32

S

Page 12: Agri Men Sura

Elipse:

b

b

a ax

y

ax

SenArcbayxsombreadoSector

ba

..

.S

Page 13: Agri Men Sura

AREADO POR ORDENADAS A INTERVALOS IGUALES

Fracuentemente la forma de superficie cuya area se desea

calcular tiene uno o mas de sus lados perimetrales de la forma

de una línea irregular o de segmentos de curvas con inflexiones

en uno y otro sentido; en estos casos es adecuado trazar una

linea recta de referencia al interior o al exterior de la figura total

(según convenga), para luego tomar perpendiculares a

intervalos (espacios) iguales hacia la línea irregular. El área

limitada por la línea de referencia, las ordenadas extremas y la

línea irregular, pueden ser calculadas siguiendo los siguientes

métodos:

- Regla de trapecio, y

- Regla de Simpson.

Page 14: Agri Men Sura

Regla del Trapecio o Regla de Bezout:

Este metodo considera que los segmentos de la línea irregular

que cortan las ordenadas, son segmentos de rectas

obteniendose por consiguiente una serie de trapecios unos tras

de otros. Este método se aplica inidistintamente si el número de

ordenadas es par o impar. Sea la figura:

h1

h2

h3 h

4h

5 hn-1

hn

d d d d d d d

Línea irregular

Page 15: Agri Men Sura

La regla del trapecio o regla de Bezout se expresa:

“El valor de la superficie total, es igual al producto del valor de

intervalo constante por la suma de la media de las ordenadas

extremas mas las ordenadas intermedias”

Demostración:

1n432n1

n1nn

433

322

211

h.............hhh2

hhdS

2hh

dS

................ ...

2

hhdS

2

hhdS

2hh

dS

Page 16: Agri Men Sura

Regla de Simpson:

Este método considera que los segmentos de la línea irregular

que cortan las ordenadas, son segmentos de parábolas. Este

método se aplica directamente cuando el número de ordenadas

es impra y se desea tener el valor más aproximado de la

superficie ya que da resultados más exactos que el método del

trapecio. La regla de Simpson se expresa:

“El valor de la superficie es igual al tercio de la

multiplicación del valor del intervalo constante por la

suma de las ordenadas extremas con el doble de la

suma de las ordenadas impares y el cuadruple de la

suma de las ordenadas pares”

Page 17: Agri Men Sura

Demostración:

Con referencia a las figuras anteriores, si se toma las dos

primeras superficies parciales, asumiendo que la líena irregular

es un arco de parábola:

321

31231

312

31

h4hh3d

2

hh2h

32d

hhd

2

hhh

3

22d

2

hh2d

BCDparabólicosectorAreaABDEtrapecioAreaLDCBAArea

Page 18: Agri Men Sura

Tomando las dos siguientes superficies parciales, tendremos

que:

54343 h4hh3d

S

A

B

CD

E

h1h3h2

S1S2

d d

Parabola

Page 19: Agri Men Sura

Y así sucesivamente:

S.... = .... ..............

n1-n2-nn1n h4hh3d

S

Sumando todas las superficies se tiene:

1n422n53n1 h...hh4h...hh2hh3d

S

Page 20: Agri Men Sura

Ejercicio:

Calcular el valor de la superficie de la figura:

S5

S4

S3S1

S2

17.2 19.011.6

22.2

66.8

25.5

cuadradasunidades3,147.63S

u851.702

25.566.8S

u812.522

22.673.2S

u424.562

11.673.2S

u555.752

19.058.5S

u503.102

17.258.5S

25

24

23

22

21

Page 21: Agri Men Sura

Ejercicio:

Calcular el valor de la superficie de la figura:

S5S6 S7

S2S1

S3S4

66.7

41.0

120.9

108.0

132.8

48.2

20 20 20 20 48.0 72.471.8

G

H

I

AF

E

D

C

B

g h o

121.3 127.9 130.5 125.8 117.2 129.2 96.1

124.2 130.0 128.6 120.1 120.0 52.0

69.5°

Page 22: Agri Men Sura

Solución:

SUPERF VALORES PARA EL CALCULO AREA u2

S1 1/2 (72.4 X 71.8) 2599.16

S2 1/2 (48) (96.1 + 77.2) 4159.20

S3 3.1416 X 522 X 69.5° X 1/360° 1639.98

S4 1/3 (20) (250.0 + 1002.8 + 2491.6) 24966.00

S5 1/3 (41.0 X 66.7) 911.57

S6 1/2 (120.9) (41.0 + 108.0) 9007.05

S7 1/2 (132.8) (48.2 + 108.0) 10371.68

Superficie Total: S = 53654.64

Page 23: Agri Men Sura

Por el método de la Ruta Nor Este – Sur Este

Ruta Nor Este: Ruta Sur Este:

460.2 x 270.3 = 124392.06 215.6 x 685.1 = 147707.56

685.1 x 530.4 = 363377.04 270.3 x 743.7 = 201022.11

743.7 x 810.2 = 602549.74 530.4 x 564.8 = 299569.92

564.8 x 700.5 = 395642.40 810.2 x 200.6 = 162526.12

200.6 x 355.4 = 71293.24 700.5 x 162.1 = 113551.05

162.1 x 215.6 = 34948.76 355.4 x 460.2 = 163555.08

2.4606.215

1.1624.355

6.2005.700

8.5642.810

7.7434.530

1.6853.270

2.4606.215

Suma = 1592199.24 m2 Suma = 1087931.84 m2

2m252133.7021087931.84-1592199.24

S

Page 24: Agri Men Sura

AREADO POR MEDIO DEL PAPEL MILIMETRADO Y EL

COMPAS

Este método es una variación del método de descomposición

del área total en figuras parciales y que en este caso, dado que

la figura, al encontrarse dibujada en papel milimetrado, ya está

dividida en una serie de trapecios (muchas veces triangulos en

los extremos), entonces puede aplicarse la regla de Bezout para

el cálculo del área. En consecuencia en la figura:

ni

1iiSS

Pero: Si = Base x Mediana

= (a) x (m)

En consecuencia:

ni

1iimaS

a a a a a a

m1 m2 m3 mn

Page 25: Agri Men Sura

El valor de la sumatoria de las medianas se obtiene con la ayuda del compás de puntas secas, por aberturas sucesivas al ir sumando los segmentos representativos de las medianas. Muchas veces las figuras parciales de los extremos no llegan a tener la altura igual al valor: “a”, en estos casos se calcula por separado estas áreas, para luego agregarse al valor encontrado por la multiplicación de: a Σ mi

AREADO POR MEDIO DEL PLANTIMETROEl plantímetro polar es un instrumento que consta basicamente de:- Un polo (que se ubica fijo) unido por un brazo a la rueda de la caja integradora.- Una rueda integradora.- Una punta que debe recorrer todo el perímetro de la figura por arear, unida a la caja de la rueda integradora por un brazo diferente al del polo.

Page 26: Agri Men Sura

- Un vernier de lectura para las unidades integradas.

Para determinar el área de superficie por medio del planímetro

polar puede optarse por disponer el polo dentro o fuera de la

superficie. La fórmula específica para determinar el area

cuando el polo del planímetro se encuentra fuera del área es:

S = K (Lectura final – Lectura inicial)

En donde:

S = Superficie areada

K = Constante del planímetro, para una longitud del brazo

del polo y para una escala específica del plano.

Page 27: Agri Men Sura

- Compruebe que la constante K, es la correcta.- Ejecute todo el trabajo sobre una superficie totalmente

horizontal.- En ningún instante la rueda integradora debe salir de la

lámina que conviene la superficie por arear, ya que los

golpes en los bordes pueden hacer saltar las lecturas.- Asegúrese que el polo del planímetro permanece totalmente

fijo durante el areado.- Si la superficie es muy grande, dividala en áreas parciales.- Asegúrese que las lecturas son las correctas.- Es aconsejable que para cada areado se ejecute cuando

menos cuatro operaciones de determinación del area,

obteniéndose luego el promedio de ellas.

Entre las recomendaciones que debe tenerse presente para un buen trabajo con el planímetro, se cita:

Page 28: Agri Men Sura

- Con la punta trazadora, recorra con mano firme todo el

perímetro de la superficie, habiendo marcado previamente el

inicio del recorrido.

El uso del planímetro es ampliamente ventajoso cuando la

superficie tiene perímetros totalemente irregular, asimismo

cuando tiene segmentos de rectas.

Page 29: Agri Men Sura

VOLUMETRIA

Otros de los muchos fines, a que se puede destinar un plano a curvas de nivel es para la determinación del volúmen contenido entre las curvas, el caso mas patético es el de volúmenes de embalse, asimismo cuando se tiene las secciones transversales o través de un eje longitudinal también es posible encontrar el volúmen que contendrían dicahs secciones como es el caso de secciones de canales o carreteras.

VOLÚMENES DE EMBALSE

Entre los métodos para determinar el volúmen contenido

entre dos curvas de nivel consecutivas y que se cierran, se

tiene: la fórmula de la superficie terminal y la fórmula del

prismatoide.

Page 30: Agri Men Sura

Fórmula de la Superficie terminal:

El volumen contenido entre dos curvas de nivel consecutivas y

separadas por la distancia vertical: “h”, es:

2

SShV 21

21

S1, S2 : áreas encerradas por las curvas de nivel.

En el caso de tener que determinar el volúmen contenido entre

varias curvas de nivel y que todas ellas se encuentren

separadas a una misma distancia vertical: “h”, la fórmula será:

1n432

n1 S.........SSS2

SShV

Page 31: Agri Men Sura

Fórmula del Prismatoide:

Este método brinda mejores resultados que le método anterior,

ya que no supone que la variación del relieve del terreno entre

dos curvas de nivel consecutiva es lineal sino que este varía

como un prismatoide.

La fórmula es:

221121 SSSS3h

V

Para el cálculo del volúmen comprendido entre varias curvas

de nivel separadas la distancia vertical “h” constante, la

fórmula se transforma en:

n1n433221

1n432n1

SS...........SSSSSS

S.............SS2(SSS3h

V

Page 32: Agri Men Sura

Ejercicios:

Determinar el volúmen contenido por el siguiente cuerpo de

agua:

Curva de nivel Superficie Observaciones

2126.4 m.s.n.m. 13580 Fondo de cuerpo2128.0 19990  

2130.0 31820  

2132.0 44900  

2134.0 50250  

2136.0 62660  

2138.0 74480  

2140.0 88230  

2142.0 108430  

2144.0 134510  

2145.0 161420 Espejo del agua

Page 33: Agri Men Sura

Solución:

El volúmen total, para efectos del cálulo, se considerará que

está dado por la suma de tres (3) volúmenes parciales

comprendidos entre las curvas de nivel: 2126.4 y 2128.0 (V1) ,

2128.0 y 2144.0 : (V2) y el comprendido entre 2144.0 y 2145.3

para (V3).

a) Por la fórmula de la superficie terminal:

V1 = 1.6 (13580 + 19990) / 2 = 26856 u3

Page 34: Agri Men Sura

V2 :Curva Superficie Coeficient

eProducto

2128 19990 1/2 9995

2130 31820 1 31820

2132 44900 1 44900

2134 50250 1 50250

2136 62660 1 62660

2138 74480 1 74480

2140 88230 1 88230

2142 108430 1 108430

2144 134510 1/2 67255

Suma = 538020 xAltura (h) = 2Volúmen V2 = 1076040 m3

V3 = 1.3 (134510 + 161420) / 2 = 192354.5 m3

En consecuencia el volúmen total será:

V = 26856 + 1076040 + 192354.5 = 1295250.5 m3

Page 35: Agri Men Sura

b) Por la fórmula del prismatoide se tiene:

31 u26691.319990013580x199913580

31.9

V

V2 : Curva Superficie Coeficiente

Producto

2128 19990 25220.6 1 19990

2130 31820 37798.3 2 63640

2132 44900 47499.7 2 89800

2134 50250 56112.9 2 100500

2136 62660 68314.8 2 125320

2138 74480 81064.0 2 148960

2140 88230 97809.9 2 176460

2142 108430 120768.0 2 216860

2144 134510   1 134510

21SS

Sumas: 534588.2 1076.040 + 534588.2 1610628.2

Page 36: Agri Men Sura

33

3

m8.19208816142016142013451013451033.1

m1.10737522.161062832

V2

xV

Volúmen total:

26691.3 + 1073752.1 + 192088.8 = 1292532.2 m3

Page 37: Agri Men Sura

VOLUMENES POR SECCIONES TRANSVERSALES

La determinación del volúmen de corte y/o relleno en los trabajos de explanación de una carretera es posible calcularlos si se tiene las secciones transversales de los puntos de estacado, los casos que se presentan.

D

C1

C2

21C CC2D

V

AMBOS PERFILES EN

CORTE COMPLETO

AMBOS PERFILES EN

RELLENO COMPLETO

D

R1

R2

21R RR2D

V

Page 38: Agri Men Sura

D

C1

C2

R2

R1

AMBOS PERFILES A MEDIA

LADERA CON

CORRESPONDENCIA DE AREAS

21R

21C

RR2D

V

CC2D

V

UNO DE LOS PERFILES EN

CORTE COMPLETO Y EL OTRO

EN RELLENO COMPLETO

DR

C

RCR

2D

V

RCC

2D

V

2

R

2

C

Page 39: Agri Men Sura

Como se podrá observar, las fórmulas anteriormente indicadas tienen

su fundamento en la fórmula de la superficie terminal ( o área media)

y que suficiente aproximación para la precisión requerida en los

trabajos de exploraciones de carreteras o canales.