Agents que Raonen de Forma Lògica

Agents que Raonen de Forma Lògica

Ja des dels seus començaments, la Intel·ligència Artificial com a Ciència ha estudiat mètodes i algorismes per a aconseguir agents amb una de les capacitats més representatives de la intel·ligència humana: la capacitat de raonar. Ès a dir, la capacitat de derivar nous coneixements a partir dels ja existents de manera fiable i sistemàtica.

Sensors

Efectors

KBModel del mòn

Evolució del mònConeixement general

Motor d’Inferència

Què s’ha de fer en aquest moment: Objectius a satisfer

Entorn

Agents que Raonen de Forma Lògica

Raonament fent servir LP1

La lògica de predicats de primer ordre és un dels formalismes de representació del coneixement més potents i generals. A més s’ha estudiat exhaustivament al llarg dels segles.

Representarem el coneixement com un conjunt de fórmules LP1, i el contemplarem com una part d’una teoria lògica que ens permetrà raonar (fer inferències).

Equivalència raonament-demostració d’un teorema. Per tant cal estudiar mètodes de demostració de teoremes fàcilment automatitzables.

Raonament fent servir LP1

La Maria treballa a la Diputació

),( diputaciomariatreballa

Els treballadors de la Diputació cobren bons sous

)(),( xbonsoudiputacioxtreballax

La Maria està casada amb en Joan

),(),( joanmariacasatmariajoancasat

Hi ha marits que estan contents si les seves dones guanyen bons sous

)x(content))y(bonsou)y,x(casats(yx

Mètodes de demostració en LP

Mètodes sintàctics: Els de la lògica clàssica. Basats en el concepte de teoria lògica. El coneixement es representa com un conjunt de fórmules i fem servir un conjunt de regles de deducció per a manipular simbòlicament aquest conjunt i obtenir noves fórmules. Les teories lògiques volen representar subconjunts del món. Validesa, completitud i consistència.

Mètodes semàntics: Basats en conceptes de lògica modal. Una fórmula F és conseqüència lògica d’un conjunt de fórmules C sii tot model per a C (assignació de valors de veritat als predicats de C que fa certes totes les fórmules de C) també ho és per a F. Normalment es fan servir taules de veritat

A partir de i derivarba b ca

Demostració sintàctica : Formem una teoria lògica prenent les dues primeres fórmules com axiomes i triant un conjunt de regles de deducció (per exemple modus tollens i introducció de la disjunció).

caab

ba disjuncióintrod.

tollensmodus

A partir de i derivarba b ca

Demostració semàntica : Dibuixem la taula de veritat

ba b ca

Problemes a l’hora d’automatitzar els mètodes de demostració de teoremes

• Les fórmules a partir de les quals fem les inferències poden ser arbitràriament llargues i complexes

• Les taules de veritat (i d’altres mètodes semàntics equivalents) són molt costoses de construir.

• Gran varietat de regles d’inferència.

Solució: Mètodes Uniformes de Demostració

• Representació uniforme de les fórmales

• Una sola regla d’inferència.

• Fàcilment automatitzables i força eficient.

• Estudiarem un d’aquests mètodes (o una família d’ells), els basats en la regla de resolució. Per exemple, el que fa servir el prolog es diu SLDNF-Resolució.

Resolució en LP0

Forma normal conjuntiva d’una fórmula LP0 : Tota fórmula LP0 pot ser expressada en FNC (com una conjunció de disjuncions). Calen tres passes:

)dba()cba(

)dc(ba

)dc()ba(

)ba()ba(

)dc()ba(

vaDistributi

Morgan) De i neg. (doble negacions abast Reducció

nsimplicacio Eliminació

Resolució en LP0

Podem representar una fórmula LP0 en FNC de manera més concisa amb la seva forma clausal mitjançant un conjunt de clàusules o conjunt clausulat. La forma clausal de la fórmula de l’exemple anterior seria }}d,b,a{},c,b,a{{

De la mateixa manera, podem representar tot un conjunt de fórmules en forma clausal mitjançant el conjunt clausulat resultant de la unió dels conjunts clausulats corresponents a les fórmules individuals.

Hem aconseguit un mètode per reduir qualsevol conjunt, possiblement heterogeni, de fórmules a un conjunt uniforme de clàusules, més adequades per ser processades de forma automàtica.

Resolució en LP0

1) Seleccionar dues clàusules paternes tals que una d’elles contingui un literal de la forma p i l’altra un de la forma no p.

2) Formar la clàusula resolvent com la unió de les clàusules paternes, a excepció dels literals p i no p

3) Afegir la clàusula resolvent al conjunt clausulat C per formar un nou conjunt clausulat C’

Donat un conjunt clausulat C, l’aplicació de la regla de reolució consisteix a

Resolució en LP0

Clàusula nul·la : La que s'obté quan s’aplica la regla de resolució a dues clàusules de la forma }q{}q{ i

}q{}q{

Que puguem derivar la clàusula nul·la indica una inconsistència en el conjunt de fórmules

Resolució en LP0

Tancament d’un conjunt clausulat sota resolució: Sigui C un conjunt clausulat. Definim R*(C)

)C(R)C(R que tal )C(R)C(*R

)}C(R d' clàusules de resolvents{)C(R)C(R

)}C(R d' clàusules de resolvents{)C(R)C(R

C)C(R

iii

-1nnn

O

1

1

01

0

Resolució en LP0

Teorema de Resolució : Un conjunt clausulat C és consistent (representa un conjunt consistent de fórmules) si i només si el seu tancament sota resolució no conté la clàusula nul·la.

db

da

)d)c)ba(((

Exemple:

Demostracions per refutació fent servir resolució en LP0

Per a demostrar que una fórmula f és conseqüència lògica d’un conjunt de fórmules F

Corol·lari : La regla de resolució (per a LP0) és completa. Donat un conjunt de fórmules C, permet trobar totes les fórmules que son conseqüència lògica de C.

1) Trobem els conjunts clausulats C i c’ equivalents a F i a la negació d’f, respectivament.

2) Demostrem que conté la clàusula nul·la.

)'cC(*R

Exemple: a partir de demostrar

}c,a)),cb(a{(F b

Resolució en LP1

Forma normal conjuntiva d’una fórmula LP1 : Tota fórmula LP1 pot ser expressada en FNC (com una conjunció de disjuncions). Calen sis passes:

Exemple

))y(s)x(s()z(rz)y,x(ay,x)y,x(q))x(px(y

))y(s)x(s()z(rz)y,x(ay,x)y,x(q))x(px(y

BABA

ABBABAnsimplicacio Eliminació

AA

MorganDeBA)BA(

BA)BA(

AxAx

AxAx

negacions abast Red.

variables Reanomenar

))y(s)x(s()z(rz)y,x(ay,x)y,x(q))x(px(y

))y(s)x(s()z(rz)y,x(ay,x)y,x(q))x(px(y

))v(s)u(s()z(rz)v,u(av,u)y,x(q))x(px(y

universals dorsquantifica Elim.

)( cióSkolemitza Skolemd' funcionsconstants/ sónf i 2K ,1K

vadistributi prop. Aplicació

))v(s)u(s()z(rz)v,u(av,u)y,x(q))x(px(y

))()(()),((),(),()(, 211 vsusvufrvuaKKqKpvu

))v(s)u(s())v,u(f(r)v,u(a)K,K(q)K(p 211

)v(s))v,u(f(r)v,u(a)K,K(q)K(p

)u(s))v,u(f(r)v,u(a)K,K(q)K(p

211

211

))v(s)u(s()z(r)v,u(a)y,x(q)x(pzv,uxy

Resolució en LP1

De manera similar a com ho feiem en el cas de les fórmules LP0, podem expressar més concissament qualsevol fórmula LP1 en FNC mitjançant la seva forma clausal. Per exemple, el conjunt clausulat equivalent a la fórmula de l’exemple anterior és:.

)}}v(s)),v,u(f(r),v,u(a),K,K(q),K(p{

)},u(s)),v,u(f(r),v,u(a),K,K(q),K(p{{

211

211

Resolució en LP1

1) Seleccionar dues clàusules paternes tals que una d’elles contingui un literal de la forma p i l’altra un de la forma no q i tals que p i q es puguin unificar.

2) Formar la clàusula resolvent com la unió de les clàusules paternes, a excepció dels literals p i no p, mantinguent les instanciacions de les variables produïdes en el procés d’unificació.

3) Afegir la clàusula resolvent al conjunt C per a formar un nou conjunt clausulat C’

Donat un conjunt clausulat C, l’aplicació de la regla de reolució consisteix a

Resolució en LP1

Tancament d’un conjunt clausulat sota resolució: Sigui C un conjunt clausulat. Definim R*(C)

)C(R)C(R que tal )C(R)C(*R

)}C(R d' clàusules de resolvents{)C(R)C(R

)}C(R d' clàusules de resolvents{)C(R)C(R

C)C(R

iii

-1nnn

O

1

1

01

0

A diferència de LP0, a LP1 el tancament sotav resolució d’un conjunt clausulat pot ser infinit. Per exemple:

))x(s(n)x(nx

)(n

0

Resolució en LP1

Clàusula nul·la : La que s'obté quan s’aplica la regla de resolució a dues clàusules de la forma tals que p i q es poden unificar

}q{ i }p{

Que puguem derivar la clàusula nul·la indica una inconsistència en el conjunt de fórmules

)}piolin(ehom{ )}x(e{hom

x/piolin

)}piolin(ehom{ )}plato(e{hom

no s’unifiquen

Resolució en LP1

Teorema de Resolució : Un conjunt clausulat C és consistent (representa un conjunt consistent de fórmules) si i només si el seu tancament sota resolució no conté la clàusula nul·la.

Sigui un conjunt de fórmules F i una fórmula S de la que volem demostrar que és conseqüència lògica de F.  

1) Convertir totes les fórmules de F a forma clausal.  

2) Negar S i convertir el resultat a forma clausal. . . Afegir-lo al conjunt de clàusules trobat al pas 1).  

Un algorisme de demostració per refutació fent servir resolució en LP1.

3) Repetir fins que es trobi una contradicció (clàusula nul·la), o no es faci cap progrés o s’hagi consumit una quantitat d’esforç predeterminada.  

a) Seleccionar dues clàusules paternas tals que 1es pugui aplicar la regla de resolució.  

b) Resoldre-les, obtenint una clàusula resolent a la que es conservaran les substitucions fetes durant el procés de resolució.  

c) Si el resolent és la clàusula nul·la llavors existeix una contradicció Si no, afegir el resolent al conjunt de clàusules.  

4) Si s’ha trobat una contradicció llavors S es conseqüència lògica d’F. Si no s’ha trobat la clàusula nul·la i no es poden fer més progressos llavors S no és conseqüència lògica d’F. Si s’ha consumit ja la quantitat d’esforç prefixada sense que s’hagi donat cap de las anteriors circumstàncies conclourem que S no és conseqüència lògica de F (encara que en realitat no està demostrat).

 

Alguns somnis són terriblesCap xai és terrible

Les ostres no són fòssils

Alguns éssers que beuen cafè no són ferotgesAlguns éssers ferotges no beuen cafè.

Cap fòssil pot estar ferit d’amorUna ostra pot estar ferida d’amor

Alguns lleons no beuen cafèTots els lleons són ferotges

Alguns somnis no són xais

Algunes monedes de mig euro no són coixins

Alguns coixins són tousCap moneda de mig euro és tova

Els gossos que no paren quiets sempre agraeixen el préstec d’una pilota

Alguns coixins no són monedes de mig euro

Un gos coix mai et donarà les gràcies si li ofereixes una pilota en préstec

Ningú excepte els gossos coixos es preocupa mai de fer “petit point”

Els gossos que no paren quiets no es preocupen mai de fer “petit point”