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ADMISIÓN 2015 - 1

Créditos

ACADEMIAS

GERENTE GENERAL ADJUNTO: Ricardo Campodonico Gómez

JEFE DE OPERACIONES:

Mario Mendoza Gloria

SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez

DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Elena Trujillo Moreno

COORDINACIÓN DE MATERIALES: Elizabeth Gerónimo Ayala

PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Visurraga | Sergio Bautista

Juan Ramos | Cristehan Miguel | Ruben Quispe Jesús Bustillos | Áaron Ramos | Ernesto Quispe

Ynfanzon Quispe | Dehivy Montiel

PRE PRENSA DIGITAL

DIAGRAMACIÓN UNI:Linda Romero | Erika Cuadros

COLABORADORES: José Siesquén | Karina Ubillus | Ynes Romero Linda Canaval | Julissa Ventocilla | Ursula Nunura José Luis Pacherres | Sara Yañez | Betty Picoy

© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2015

www.pamer.edu.pe

Presentación

Estimado(a) amigo(a):

Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda, eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la Corporación Educativa PAMER te brinda el solucionario del examen de admisión UNI 2015-I, que es una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conocimien-tos y conocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.

La Corporación Educativa PAMER es conocedora del alto nivel académico que exige la UNI en su examen de admisión para seleccionar a sus futuros estudiantes. Por esta razón, presentamos un modelo de preparación enfocado directamente en lo que requiere esta universidad.

En PAMER trabajamos en equipo y hacemos nuestro tu objetivo. Contamos con un sistema de tutoría que trabaja arduamente de la mano de cada alumno orientando, exigiendo y motivando con miras al gran resultado: ¡Que seas un CACHIMBO UNI!

Nuestro equipo de profesores es especialista en preparación UNI y desarrolla un alto nivel académico con clases dinámicas. A nuestros profesores realmente les interesa que aprendas y, con la finalidad de que puedas consultar y pedir ayuda cada vez que lo requieras, te brindan toda la confianza necesaria.

Sin duda, somos un equipo sólido y es por eso que tenemos la seguridad de que este material que hoy tienes en tus manos te beneficiará. Estamos y estaremos gustosos de ayudarte siempre que lo necesites.

Tus amigos,

Corporación Educativa Pamer

ACADEMIAS

Examen de Admisión

UNI 2015 - IMatemáticasACADEMIAS

4Primera Prueba Matemáticas

MATEMÁTICAS

1. Sea el número E = 22001 + 32001. Calcule el residuo de dividir E entre 7.

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

C) 2

2. ¿Cuántos números de la forma:

(4a – 3)(3b)(4a – 3)

son primos?

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

3. En la expresión siguiente, b ≠ 0

0, ab – 0,ba = 044

Entonces la suma de todos los valores po-sibles de 0,ab que satisfacen la ecuación anterior es:

A) 0,61 D) 3,11

B) 1,33 E) 4,16

C) 2,16

4. Se tiene la siguiente igualdad:

(aaa1(9))1/3 = 1(a +2)(9)

Entonces podemos decir que el conjunto:

a∈ {1,2,3,...8}/(aaa1(9))1/2 existe

A) No posee elementos

B) Posee un solo elemento

C) Posee dos elementos

D) Posee tres elementos

E) Posee cuatro elementos

5. Semanalmente, un trabajador ahorra cier-ta cantidad en soles, y durante 40 semanas ahorra las siguientes cantidades:

21 35 29 31 23 22 28 33

28 25 31 26 24 27 27 33

37 29 19 36 23 18 46 12

26 41 30 18 39 15 24 4

25 33 10 28 20 27 17 31

Se construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de igual longitud fija A. Si F5 es la frecuencia acumulada del quinto intervalo (or-denados los extremos de los mismos de forma creciente). determine el valor de (A + F5) – 1.

A) 30 D) 38

B) 32 E) 39

C) 37

6. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Sean A ⊂ B ⊂ C ⊂ D, entonces la pro-babilidad:

P(D) = P(D\A) + P(C\A) + P(B\A) + P(A)

II. Se lanzan dos dados normales, enton-ces la probabilidad que su suma sea 7

es 112

.

III. Se lanzan dos dados normales, uno cada vez, entonces la probabilidad de que

salga 3 dado que antes salió 1 es 136

.

A) VVV D) FFV

B) VFV E) FFF

C) FVV

7. Sabiendo que:

K = ab(4) = cd(5) y a + b + c + d = 11

en el sistema decimal con a ≠ 0, c ≠ 0. Deter-mine K en el sistema decimal.

A) 14 D) 41

B) 23 E) 51

C) 32

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Matemática

Examen de Admisión



8. Se sabe que en una división entera el divi-sor es 50 y el residuo es 15. ¿Cuántas uni-dades como mínimo se le debe disminuir al dividendo, para que el cociente disminuya en 13 unidades?A) 614 D) 617B) 615 E) 618C) 616

9. En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coorde-nadas enteros positivos, esto es:

A = {(m, n)/m ∈ , n ∈ } A cada punto (m, n) de A se le asigna el

valor de 12m+n

. Calcule la suma de todos

los valores de los puntos (m, n) de A con coordenadas m ≥ n.A) 1/3 D) 2B) 2/3 E) +∞C) 1

10. Si S es el conjunto solución de la inecuación:

|x + 1| –|x – 2| < 2 se afirma:

I. ⟨1/4, +∞⟩ ⊂ SII. S ⊂ ⟨1/3, +∞⟩III. S ∩ ⟨–∞, 1/2⟩ ≠ f

¿Cuáles son afirmaciones correctas?A) solo I D) I, IIB) solo II E) II y IIIC) solo III

11. Respecto a la función f(x) = |x| – x, indi-que la secuencia correcta, después de de-terminar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. f(x +y) ≤ f(x) + f(y); ∀ x, y ∈ . II. Si hacemos g(x) = x2 – 2x – 3 enton-

ces el conjunto solución de g(x) = f(x) es {– 3 , 3}.

III. Si hacemos h(x) = x2 – 3x + 5 enton-ces el conjunto solución de h(x) = f(x) es vacío.

A) VFV D) FVVB) VFF E) VFVC) VVV

12. Indique el intervalo al cual pertenece el va-lor de m, para que la inecuación:

4 + x – 4x2

x2 – x + 1 < m

se cumpla para todo x ∈ .A) ⟨–∞, –13/3⟩ D) ⟨3, 9⟩B) ⟨1; +∞⟩ E) ⟨5, +∞⟩C) ⟨2; +∞⟩

13. Sea una función f:

→ ⟨0; +∞⟩ que cum-ple f(a + b) = f(a) • f(b) ∀a, b ∈ . Calcule el valor de f(a) • f(–a).A) –1 D) 2B) 0 E) 3C) 1

14. Considere la siguiente función f: → de-finida por f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b > 0. Si f(0) = 2 y Rang (f) = [b; +∞⟩, determine el siguiente valor:

M = 8a – b2

abA) 1 D) 4B) 2 E) 5C) 3

15. Sea f una función cuya regla de correspon-dencia está dada por:

f(x) = loga (x + x2 + 1) Encuentre su función inversa.

A) ax + a–x D) ax – a–x

2

B) ax + a–x

2 E) ax

2

C) ax – a–x

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Examen de Admisión



16. Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresión:

((AX)–1)t = 0,5 B–1

A) x = 0,5 A–1Bt D) x = 2 B–1At B) x = 0,5 BtA–1 E) x = 2 A–1Bt

C) x = 2 A–1 B

17. Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones no lineales:

x2 + y2 – 2x – 2y + 1= 0 x2 –2x –y + 1 = 0

A) {(3;1), (1;1), (–1;–1)}B) {(2;–2), (2;1), (1;1)}C) {(–1;0), (1;1), (1;2)}D) {(1;0), (0;1), (2;1)}E) {(1;–1), (1;0), (2;–1)}

18. Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar maíz o trigo. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación de verano. En el caso del maíz el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/. 40 por acre, mien-tras que en el trigo el trabajo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/. 30 por acre. ¿Cuántos acres de maíz y trigo debe plantar respectivamente, para maximizar su utilidad?A) (160, 320) D) (320, 160)B) (140, 340) E) (180, 300)C) (340, 140)

19. Considere la sucesión:

1, 122 , 1

32 , ..., 1n2 , ...

Determina el menor valor de n ∈ , de modo que se cumpla:

1n2

< 1 × 10–7

A) 2081 D) 3001B) 2091 E) 3163C) 2991

20. Halle el menor grado del polinomio xn +ax + b, a ≠ 0, (n>1) para que x2–1 sea un divisor:A) 2 D) 5B) 3 E) 6C) 4

21. El punto P se encuentra situado sobre la altura de un tetraedro regular de lado a. Si P equidista de cada vértice, calcule esta distancia.

A) a 3

4 D)

a 64

B) a 2

3 E)

a 22

C) a 3

3

22. Un vaso de forma de prisma recto exago-nal, con diagonal mayor de la base que mide 6 cm, contiene agua "al tiempo". Para enfriarla se coloca un cubo de hielo y se observa que el nivel del agua sube 2 cm. Calcule la longitud de la arista del cubo de hielo (en cm).A) 3 D) 3 3 3

B) 3 6 3 E) 3 3

C) 3 4 3

23. En un cilindro de revolución de 5 cm de altura se inscribe un paralelepípedo rec-tangular con superficie lateral de 250 cm2. Una de sus aristas, ubicada en la base del cilindro, mide 16 cm. Calcule la razón (en cm) entre el volumen y el área lateral del cilindro.

A) 3374

D) 337

2

B) 3372

E) 337

C) 337

4

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Matemática

Examen de Admisión



24. En la Panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4πm y 2πm. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros cú-bicos.

10 m

A) 3π D) 10πB) 5π E) 11πC) 7π

25. En un tronco de cono de revolución el ra-dio de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Si el volumen del tronco de cono es 336 πcm3 y el radio de la base menor es 6 cm, entonces el volumen de una esfera tangente a las bases del tronco de cono (en cm3) es:

A) 303

π D) 333

π

B) 313

π E) 343

π

C) 323

π

26. En una pirámide cuadrangular regular la arista básica mide 8u y su altura mide 15u. ¿A qué distancia (en u) de la base de la pirámide se debe trazar un plano parale-lo a dicha base, para que el volumen del prisma recto, que tiene por base a dicha sección y por altura la distancia de la sec-

ción al vértice de la pirámide, sea los 38

del

volumen de la pirámide?A) 9,5 D) 6,5B) 8,5 E) 5,5C) 7,5

27. En el gráfico AB = AD = DC, calcule α (en grados).

A

B

C

D7α

2α α

A) 8 D) 12

B) 9 E) 13

C) 10

28. En la figura las circunferencias tienen ra-dios r = 3u y R = 6u respectivamente, C es punto de tangencia y D es centro. Calcule producto DA • DB (en u2).

A

BC

D

R

r

A) 18 D) 36

B) 24 E) 40

C) 30

29. En la figura se muestra el triángulo rectán-gulo ABC recto en B. Si AB = 5 cm y AD = 3 cm, entonces la medida (en cm) del segmento EF es:

A

B

CD F

E

A) 2,14 D) 2,56

B) 2,16 E) 2,82

C) 2,25

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Examen de Admisión



30. En la siguiente figura, I es el incentro del triángulo ABC, BI = 6u, DE = 1u. Calcule BE (en u).

CDE

A

B

I

A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

C) 10

31. En la figura AC = CD, AD = 6u y área (∆BCD) = r (área ∆ABD). Halle r.

C

D

A

B

α

2α

2α

3α

A) 1 + 3 D) 1 + 2 3

B) 2 + 3 E) 2 3 – 1

C) 2 – 3

32. ABC es un cuadrado y desde su centro O se traza un segmento OE perpendicular al plano ABC, si OE = AB entonces la medi-da del diedro E–DC–B es:

A) arc tan 12

D) arc tan (2)

B) arc tan (1) E) arc tan 52

C) arc tan 32

33. Si x ∈ π; 3π2

entonces determine los va-

lores de:

y = 4 – 9 csc2 x + 2π3

A) ⟨–∞; –12⟩ D) ⟨–∞; –9⟩

B) ⟨–∞; –11⟩ E) ⟨–∞; –8⟩

C) ⟨–∞; –10⟩

34. Al simplificar la expresión:

k = cos2 – cos2 – (1 – sen(2x))+ x

π3

– xπ3

32

se obtiene:

A) – 3

2 cos2 (2x) D)

32

csc(x)

B) 3

2 sen2 (2x) E)

32

C) – 3

2 sec (2x)

35. Si x ∈ 0; π2

y 1 + sen(x)1 – sen(x)

= tan π2a

πa

+

Calcule el valor de (a2 + 1).

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

36. Sea la función:

f(x) = x3

arctan(x) – x

Dadas las siguientes proposiciones:

I. La función f es impar.

II. Si x ∈ Dom(f), entonces –x ∈ Dom(f).

III. La gráfica de f corta a la curva y = x2.

Son correctas:

A) Solo I D) I y II

B) Solo II E) II y III

C) Solo III

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Matemática

Examen de Admisión



37. Si ABCD es un cuadrado de lado 2u y T es un punto de tangencia, entonces el área sombreada (en u2) es igual a: (O centro de la circunferencia que pasa por A, T y D).

TBA

O

D C

A) 0,57 D) 0,81

B) 0,68 E) 0,92

C) 0,79

38. En todo triángulo ABC la suma de los cua-drados de sus lados es igual a:

K(bc cosA + ac cosB + ab cosC)

donde K vale:

A) 14

D) 2

B) 12

E) 4

C) 1

39. Al resolver la ecuación: sen(2x) – 12(sen(x) – cos(x)) + 12 = 0 obtenemos como soluciones:

A) kπ; k ∈

B) 2kπ y 12

k + π ; k ∈

C) 2kπ y kπ, k ∈

D) (2k + 1)π y 12

2k + π ; k ∈

E) (3k + 1)π y 12

k + π ; k ∈

40. Del gráfico mostrado, el resultado de:E = tgθ + tgβ + tgΦ

es:

θ

Φβ

(–4;–2) (4;–2)

(–1;2)x

y

A) –4 D) 2B) –2 E) 4C) 0

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Examen de Admisión

UNI 2015 - ISolucionarioACADEMIAS


resolución 1Tema: Divisibilidad

Ubicación de incógnitaCalcule el residuo al dividir E entre 7.

Análisis de los datos o gráficosSe tiene: E = 22001 + 32001

Operación del problemaLas potencias pueden ser expresadas como:

22001 = (23)667 = (7+ 1)667 → 22001 = 7 + 1

32001 = (33)667 = (7 – 1)667 → 32001 = 7 – 1

Reemplazando:

E = (7 +1) + (7 – 1)

E = 7

Conclusiones y respuesta ∴ El residuo es cero

respuesta: a) 0

resolución 2Tema: Números primos

Ubicación de incógnitaCuantos primos existen de la forma:

(4a – 3)(3b)(4a – 3)

Análisis de los datos o gráficosConsiderando que a y b son dígitos a solo pue-de ser 1; 2; 3.

En el número (4a – 3)(3)(4a – 3), a y b son dígitos.

Operación del problema

• a = 1 ⇒ 1(3b)1 = 101; 131; 161; 191

Divisibilidad por primos ≤ 191 (2; 3; 5; 7; 11; 13).

Aplicando divisibilidad por 2; 3; 5; 7; 11; 13

(primos ≤ 191)

161 = 7 (no es primo)

Hay 3 números primos: 101; 131 y 191

• a = 2 ⇒ 5(3b)5 = 5 (no es primo)

• a = 3 ⇒ 9(3b)9 = 3 (no es primo)

respuesta: c) 3

resolución 3

Tema: Racionales

Ubicación de incógnita

Halla la suma de todos los valores de 0, ab

Análisis de los datos o gráficos

Se tiene:

0, ab – 0, ba = 0,44


Generatriz de los decimales.

ab – a90

– ba – b90

= 44 – 490

(9a + b) – (9b + a) = 40

a – b = 5 b ≠ 0

↓ ↓ 6 1 7 2 8 3 9 4

Conclusiones y respuesta

La suma de los valores de 0,ab es:

S = 0,61 + 0,72 + 0,83 + 0,94

S = 3,11

respuesta: D) 3,11

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Matemática

Examen de Admisión



resolución 4

Tema: Potenciación


Hallar los valores de “a” en:

(aaa1(9))1/3 =1(a + 2)(9)


Por divisibilidad:

9 + 1 = (9 + (a + 2))3 ⇒ (a + 2)3 = 9 + 1

a = 2; 5


a = 2. (2221(9))1/3 = 14(9)

(1639)1/3 = 13 no cumple

a = 5: (5551(9))1/3 = 17(9)

(4096)1/3 = 16 si cumple


El conjunto posee un solo elemento.

respuesta: B) Posee un solo elemento

resolución 5

Tema: Estadística


Determinar el valor de: A + F5 – 1


Sea

R: Rango

A: longitud

K: N° de intervalos


[4 10⟩ I 1 1

[10 16⟩ III 3 4

[16 22⟩ IIIII 6 10

[22 28⟩ IIIII IIIII 12 22

[28 34⟩ IIIII IIIII 12 34

[34 40⟩ IIII 4 38

[40 46⟩ II 2 40

fi Fi

Rango: R = 46 – 4 mayor menor dato dato R = 42 y K = 7

Longitud: A = RK

→ A = 427

A = 6

Conclusiones y respuestaA = 6 F5 = 34piden A + F5 – 1 = 39

respuesta: e) 39

resolución 6Tema: Probabilidad

Ubicación de incógnitaAnalizar si cada proposición es verdadera o falsa.

Operación del problemaI. Falsa. Si A ⊂ B ⊂ C ⊂ D entonces: P(D) = P(B\A) + P(C\B) + P(D\C) + P(A)II. Falsa. Al lanzar dos dados el espacio muestral es

6 × 6 = 36 Suma = 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3),

(5, 2), (6, 1)

Probabilidad = 636

= 16

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Examen de Admisión



III. Falsa. Si antes salió 1: {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4),

(1; 5), (1; 6)} Luego que salga 3: {(1; 3)}

Probabilidad = 16

respuesta: e) FFF

resolución 7Tema: Numeración

Ubicación de incógnitaDeterminar K en el sistema decimal

Análisis de los datos o gráficosSe tiene:• a + b + c + d = 11

• k = ab4 = cd5

Operación del problemaDescomponemos polinómicamente los nume-rales. 4a + b = 5c + d3a + a + b = 5c + d

3a + 11 – c – d = 5c + d

3a + 11 = 6c + 2d↓ ↓ ↓3 2 4

a = 3 c = 2 d = 4 b = 2luego:

k = ab4 = 324

k = 14

respuesta: a) 14

resolución 8Tema: Cuatro operaciones

Ubicación de incógnitaHallar la menor cantidad (x) que se le debe dis-minuir a el dividendo.

Análisis de los datos o gráficosDe los datos tenemos:

D 50 q15

D – x 50 q – 13r

Operación del problemaPor el algoritmo de la división, tenemos:D = 50q + 15 .... (1)D – x = 50 (q – 13) + r .... (2)(1) – (2)x = 665 – rx será mínimo si r = 49 (máximo)∴ x = 616

respuesta: c) 616

resolución 9Tema: Series

Ubicación de incógnitaPiden la suma de los puntos de la forma

12m+n

Análisis de los datos o gráficosm ∈ N ∧ n ∈ N ∧ m ≥ n


Si n = 1: 122

+ 123

+ 124

+ ... = 12

Si n = 2: 124

+ 125

+ 126

+ ... = 18

Si n = 3: 126

+ 127

+ 128

+ ... = 132

S = 12

+ 18

+ 132

+ ... =

12

1– 14

+


∴ S = 23

respuesta: B) 23

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resolución 10Tema: Inecuaciones II

Ubicación de incógnitaDeterminar el conjunto solución S

Análisis de los datos o gráficos|x + 1| – |x – 2| ≥ 0 ........ (1)|x + 1| – |x – 2| < 4 ....... (2)

Operación del problemaDe (1):(2x – 1)(3) ≥ 0 ⇔ x ≥

12

De (2):–1 ≤ x < 2 ∨ x ≥ 2 ⇔ x ≥ – 1Al intersectar:

x ≥ 12


∴ S = 12

;∞⟩respuesta: B) solo ii

resolución 11Tema: Funciones

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad

Análisis de los datos o gráficosf(x) = |x| – x

Operación del problemaI. Verdadero En efecto, f(x + y) ≤ f(x) + f(y); ∀x, y∈.

Se fundamenta por desigualdad triangular.II. Verdadero En efecto, g(x) = f(x) ⇔ x2 – 2x – 3 = |x| – x CS = {– 3; 3}

IIII. Verdadero En efecto, h(x) = f(x) ⇔ x2 – 3x + 5 = |x| – x CS = ∅ Conclusiones y respuestaI. V II. V III.V

respuesta: c) VVV

resolución 12Tema: Inecuaciones I

Ubicación de incógnitaIntervalo para m


4 + x – 4x2

x2 – x + 1 < m; ∀x ∈

Operación del problemaComo x2 – x + 1 > 0; ∀x ∈ , tenemos4 + x – 4x2 < mx2 – mx + m(m + 4)x2 – (m + 1)x + (m – 4) > 0; ∀x ∈ Según trinomio positivo:(m + 1)2 – 4(m + 4)(m – 4) < 0 ∧ m + 4 > 0

m > 5

Conclusiones y respuesta∴m ∈ ⟨5; ∞⟩

respuesta: e) ⟨5; +∞⟩

resolución 13Tema: Función exponencial

Ubicación de incógnitaCálculo de un valor numérico

Análisis de los datos o gráficosf(a + b) = f(a) . f(b)

• Según la teoría reconocemos que: f(x) = Kx ; K ∈ R+ – {1}

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Examen de Admisión



Operación del problemaf(a) . f(–a) = Ka . K–a

f(a) . f(–a) = K0

f(a) . f(–a) = 1

Conclusiones y respuesta∴ f(a) . f(–a) = 1

respuesta: c) 1


Ubicación de incógnitaCálculo de un valor numérico.

Análisis de los datos o gráficosf(x) = ax2 + bx + c; a > 0, b > 0 ∧ f(0) = 2

Según la teoría:

Ran(f) = [f b2a

; ∞⟩


f b2a

= a b2a

2

+ bb2a

+ c

Como f(0) = 2, c = 2 y según condición.

b = b2

4a –

b2

2a + 2

4ab = b2 – 2b2 + 8a

4ab = 8a – b2

Conclusiones y respuesta ∴ M = 4

respuesta: D) 4

resolución 15Tema: Función Logarítmica

Ubicación de incógnitaPiden: f–1(x)


Tenemos: f(x) = Loga(x + x2 + 1)


y ↔ x: x = Loga(y + y2 + 1)

ax – y = y2 + 1

a2x – 1 = 2axy

⇒ y = ax – a–x

2


f–1(x) = ax – a–x

2

respuesta: D) ax – a–x

2

resolución 16

Tema: Matrices


Despejar la matriz x


((Ax)–1)T = 0,5 B –1


[((Ax)–1)T] –1 = 12

. B–1– 1

(Ax)T = 2B

Ax = 2BT


∴ x = 2A–1 . BT

respuesta: e) x = 2a–1BT

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 17Tema: Sistema de ecuaciones

Ubicación de incógnitaPiden el conjunto solución del sistema no lineal.

x2 +y2 – 2x – 2y+1 = 0 ...(1)x2 – 2x – y + 1 = 0 ... (2)

Operación del problemaDe(2): y = (x – 1)2

En (1): y2 – y = 0 → y = 0 ∨ y = 1

En (2): Para y = 0: x2 – 2x + 1 = 0 x = 1 Para y = 1: x2 – 2x = 0 x = 0 ∨ = 2

Conclusiones y respuestaC.S={(1; 0), (0;1); (2;1)}

respuesta: D){(1;0), (0;1), (2;1)}

resolución 18Tema: Programación lineal

Ubicación de incógnitaPiden el número de acres de maíz y trigo para maximizar f(x,y)


x ymaíz trigo 2 1

f(x; y) = 40x + 30y


Restricciones: x+y ≤ 4802x+y ≤ 800x ≥ 0; y ≥ 0

x

y

800

480

480400

2x + y = 800

(320; 160)x+y =480

f(x; y) = 40x + 30y

Conclusiones y respuestaEvaluamos: (0; 480) : 14400 (320; 160): 17600 (400; 0) : 16000

respuesta: D) (320; 160)

resolución 19Tema: Sucesiones

Ubicación de incógnitaMenor valor de n


an1n2=


1n2 < 1. 10–7

1n2

< 1

107 ↔ n2 > 107

n > 10.1000

Conclusiones y respuesta∴ n(mín) = 3163

respuesta: e) 3163

ACADEMIAS

Examen de Admisión




Ubicación de incógnitaGrado mínimo del polinomio

Análisis de los datos o gráficosP(x) ≡ xn + ax + b; divisor de P(x): x2 – 1

Operación del problemaSegún la teoría en mínimo valor de n es tres.

Conclusiones y respuesta∴ n = 3

respuesta: B) 3

resolución 21Tema: Poliedros

Ubicación de incógnitaPiden:AP = BP = CP = PD = R

Análisis de los datos o gráficosDato: arista del tetraedro: AB = a

Operación del problemaReconocemos que “P” es el centro de la esfera circunscrita al tetraedro regular ABCD, luego por propiedad:

R = 4

a 6

B D

C

R

R

Ra

RP

A

respuesta: D) 4

a 6

resolución 22Tema: Prisma

Ubicación de incógnitaPiden: longitud de la arista del cubo = x

Análisis de los datos o gráficosDatos: AD = 6 → AB = 3 h = 2

Operación del problemaAl derretirse el cubo de hielo de arista “x” el nivel de agua en el prisma se incrementa en 2, la cual es altura de otro prisma hexagonal de volumen V tal que:

V = V(cubo)

como V = A(base) × 2

xhielo

6

333

D

CB

A 6

33

33

3

3

2 = h


V = 32

(3)2 3 . 2

V(cubo) = x3

→ x3 = 33 . 3

∴ x = 3 36

Importante: Para que el problema tenga so-lución es necesario que el prisma sea regular.

respuesta: B) 3 36

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 23

Tema: Cilindro


Piden: V(cil)AL(cil)


Datos:

H = 5 cm; AB = 16 cm

AL(paral) = 250 cm2

Operación del problemaPor dato:

AL(paral) = 250

→ 2(a + 16) . 5 = 250

→ a = 9

BAD: 92 + 162 = 4R2

R = 2337

luego: V(cil)AL(cil)

= πR2.52πR.5

= R2

55

5 5

C

DA

16

BO

R

Ra=9

H = 5

Conclusiones y respuesta:

∴ V(cil)AL(cil)

= 4337

respuesta: a) 4337

resolución 24

Tema: Cono


Piden: Volumen del tronco: VT

VT = πh3

(r2 + R2 + Rr)


Datos:

r = 1

R = 2

g = 10


Trazamos la altura BT

luego: BO = TO’ = 1

→ AT = 1

ATB: h2 + (1)2 = ( 10)2

→ h = 3

luego:

VT = π33

(12 + 22 + 2.1)

∴ VT = 7π

10g = 10h

1 rO CB

A T DO’11 R = 22

respuesta: c) 7π

ACADEMIAS

Examen de Admisión



resolución 25Tema: Sólidos


Piden: VESFERA = 4π3

R3

Análisis de los datos o gráficosDato: VTRONCO = 336π CONO Operación del problema

2R

r=6

H=2R

2r=12

R

VTRONCO = Hπ3

(62 + (12)2 + 6.12) CONO

4 = H = 2R 2 = R Conclusiones y respuesta

VESFERA = 4π3

(2)3

VESFERA = 32π3

respuesta: c) 32π3

resolución 26Tema: Pirámide

Ubicación de incógnitaPiden: x

Análisis de los datos o gráficosDato:

VP.MNLT

VP.ABCD

= 83


P

CN

LT

M

A

Dx 15

B15–x

VP.MNLT

VP.ABCD

= 83

= (15)3

(15–x)3

x = 7,5

Conclusiones y respuestax = 7,5

respuesta: c) 7,5

resolución 27Tema: Triángulo

Ubicación de incógnitaPiden: α

Análisis de los datos o gráficosAD = DCmBACD = 2α


A

B

T

C

D

7α

6α

10α

6α

2α 2αα

a

aa

aα

iABCmBCAT = 10αiABDmBDAT = 12α

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión




⇒ mBABD = mBADB = 6α

∴mBDBC = α

⇒ BD = a

∴6α = 60°

⇒ α = 10°

respuesta: c) 10°

resolución 28

Tema: Semejanza de triángulos


Piden: DA(DB) = ab

Sea: DA = a y DB = b


r = 3 y R = 6

A

B

C

D

R

rr

a

b


iABD

(Teorema de Brahmagupta)

ab = 2R(r)


ab = 2(6)(3)

ab = 36

respuesta: D) 36

resolución 29

Tema: Relaciones métricas


EF = x


m∠ABD = 37°

53°

37°M

B

E

A

5

3 D F

x4ax

4–x

C


m∠DBE = 53°

BED

BE = 3a

ED = 4a


BED

x4 – x

= 42

32

⇒ x = 2,56

respuesta: D) 2,56

resolución 30

Tema: Semejanza de triángulos


Piden: BE


BI = 6 y DE = I

ACADEMIAS

Examen de Admisión



α

α α

θθ

A

E

C

2α 2αa+1 1

D

aα+θI

6

B


m∠ABE = α

m∠CBE = α

m∠BAI = θ

m∠CAI = θ

⇒ m∠CAE= α

m∠AIE = α + θ

⇒ AE = a + 1

9BAE

(Teorema de antiparalelas)

(a + 1)2 = (7 + a)1

⇒ a = 2

BE = 7 + a

BE = 9

respuesta: B) 9

resolución 31Tema: Áreas


Piden: r = A9BCD

A9ABD


Dato: AC = CD

(AD = 6; no es necesario)

C

D

A

B

αα α

2α

3α

2α

3αθ θ

θ

L

P3α

K

H

K

K

K 3


En iACD trazamos CL altura

En iBCP “A” excentro

θ = 60°; m∠CBD = 90°

A9ABD = A9ABC

A9ABC = (BC)K

2

A9BCD = (BC)K(1+ 3)

2


A9BCD

A9ABD

= (1 + 3 )

respuesta: a) (1 + 3)

resolución 32Tema: Geometría de Espacio


Medida del diedro

E – DC – B = θ


OE = AB

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión




Sea:

OE = AB = 2a

⇒ OM = a

Por teorema de las tres perpendiculares

EM ⊥ CD

θM

C2a

a2a

2a D

O

A

B

E


EOM

Tgθ = 2

respuesta: D) arc tan(2)

resolución 33Tema: Circunferencia trigonométrica


y = 4 –9 Csc2 2π3

x +

π < x < 3π2

5π3

< x + 2π3

< 13π6


–23 < Sen 2π

3x + < 1

2

Csc 2π3

x + = 2π3

x +

1

Sen

∈ ⟨–∞; – 2

3⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩

Csc2 2π3

x + ∈ ⟨ 43

; +∞⟩ ∪ ⟨4; +∞⟩ = ⟨ 43

; +∞⟩

Formando y resulta:

y = 4 – 9 Csc2 2π3

x + ∈ ⟨–∞; –8⟩

respuesta: e) ⟨–∞; –8⟩

resolución 34Tema: Identidades trigonométricas de arcos

dobles


k = Cos2 π3

+ x – Cos2 π3

– x – 23 (1 – Sen2x)

Aplicamos: Cos2β – Cos2α = Sen(α + β).Sen(α – β)


k = Sen 2π3

.Sen(–2x) – 23 .(1 – Sen2x)


k = –23 . Sen2x –

23 (1 – Sen2x)

k = –23 (1 + Sen2x)(1 – Sen2x)

k = –23 . Cos22x

respuesta: a) – 23 . cos22x

resolución 35Tema: Indentidades trigonométricas del arco

mitad


x ∈ 0; 2π ⇒ Senx ≡ Cos

2π – x

ACADEMIAS

Examen de Admisión




1 – Senx1 + Senx = Tan

ax +

2aπ


1 – Cos 2π – x

1 + Cos 2π – x

= Tan ax +

2aπ

Cot 4x –

2π = Tan

4x +

2aπ

Tan 2x +

4π = Tan

ax +

2aπ

a = 2

Conclusiones y respuestaPiden: a2 + 1 = 22 + 1 = 5

respuesta: D) 5

resolución 36Tema: Funciones trigonométricas inversas


f(x) = x3

arctan(x) – x


f(–x) = (–x)3

arctan(–x) – (–x)

f(–x) = –x3

–arctanx + x

f(–x) = –x3

–(arctanx – x)

f(–x) = x3

arctanx – x = f(x) ⇒ f es par

Conclusiones y respuestaNótese que si x ∈ Df ⇒ –x ∈ Dff ∃ si arctanx ≠ x ⇒ x ≠ 0Averiguamos para que otro valor de x ≠ 0 f corta a y = x2

y = x3

arctanx – x = x2 ⇒ 2x = arctanx

y = arctanx

x

y y = 2x

– π2

π2

Nótese qué ∃ x ≠ 0, por lo tanto: I. Es falsoII. Es verdaderoIII. Es falso

respuesta: B) son correctas solo ii

resolución 37Tema: Longitud de arco


53°/2

2

2

T

1

1

1

O

D C

E53°

A B

53°/2

12

53°2


ASOM = –A A E

CDA

A E

CDÁrea =

Área = (1)2 =

=2+ 1

22

2 52

π π2 2A O D

∴ A sombreada: 52

– π2

= 0,92

respuesta: e) 0,92

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 38

Tema: Resolución de triángulo


B

C a

CbA

Teorema de Cosenos

Cos B= a2+c2–b2

2ac

Cos A=

Cos C= a2+b2–c2

2ab

b2+c2–a2

2bc


a2+ b2 + c2 = (bcCos A + acCos B + abCos C)

a2+b2 +c2 = k

+ +b2+c2–a2

2a2+c2–b2

2a2+b2–c2

2


a2 + b2 + c2 = k a2+b2+c2

2

k = 2

respuesta: D) 2

resolución 39

Tema: Ecuaciones trigonométricas


Expresar la ecuación en su forma elemental

Sen2x – 12(Senx – Cosx) + 12 = 0


12(Senx – Cosx – 1) – 2Senx ∙ Cosx + 1 – 1 = 0

12(Senx – Cosx – 1) + (Senx – Cosx)2 – 1 = 0

12(Senx – Cosx – 1) +

(Senx – Cosx + 1)(Senx – Cosx – 1) = 0

(Senx – Cosx – 1)(Senx – Cosx + 13) = 0

Senx – Cosx = 1

CosJKLx+

π4

NOP

=– 2

2

x + π4

= 2kπ ± 3π4

x1: 2kπ + 3π4

– π4

; x2: 2kπ – 3π4

– π4

x1: 2kπ + π2

; x2: 2kπ – π


x1: πJKL2k +

12

NOP

; x2 = π(2k + 1)

C.S.: Z[\

(2k+1)π; JKL2k +

12

NOP

π_`a

respuesta: D) (2k+1)π yJKL2k+

12

NOP

π , k∈Z

ACADEMIAS

Examen de Admisión



resolución 40

Tema: R.T. de ángulo en P. N

Ubicación de incógnitaUbicar los ángulos en posición normal

Análisis de los datos o gráficosy

x

(–4;–2)

(4;2)

-ββ

Tanβ=– 12

y

x

(2;1)(–1;2)

θθ

Tanθ= 12

y

x

(4;–2)

(2;4)

φ

φ

Tanφ = 2


E=Tanθ + Tanβ + Tanf

E= 12

– 12

+2

∴ E = 2

respuesta: D) 2

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